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1．5 二次函数的应用
第1课时 抛物线形二次函数
1．掌握二次函数模型的建立，会把实际
问题转化为二次函数问题．
2．利用二次函数解决拱桥及运动中的
有关问题．
3．能运用二次函数的图象与性质进行
决策． 解析：这是一个有趣的、贴近学生日常
生活的应用题，由条件可得到出手点、最高
点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点
的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准
确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否
在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，
就是比较当x＝1时函数y的值与最大摸高
3.1米的大小．
解：(1)由条件可得到球出手点、最高点
和篮圈的坐标分别为A(0，)，B(4，4)，C(7，
一、情境导入 3)，其中B是抛物线的顶点．设二次函数关
某大学的校门是一抛物线形的水泥建 系式为y＝a(x－h)2＋k，将点A、B的坐标代
筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧 入，可得y＝－(x－4)2＋4.将点C的坐标代
距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用 入解析式，得左边＝右边，即点C在抛物线
的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确 上，所以此球一定能投中．
定校门的高度是多少？ (2)将x＝1代入解析式，得y＝3.因为
二、合作探究 3.1＞3，所以盖帽能获得成功．
探究点一：建立二次函数模型 【类型二】拱桥、涵洞问题
【类型一】运动轨迹问题 (2014·湖北潜江)如图是一个横
某学校初三年级的一场篮球比赛 断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，
中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离 拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下
地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米， 降1米时，水面的宽度为________米．
当球出手后水平距离为 4米时到达最大高
度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距
地面3米．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，
问此球能否准确投中？
(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米
处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1 解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛
米，那么他能否获得成功？ 物线为y＝ax2，把点(2，－2)代入，得－2＝
a×22，a＝－，∴y＝－x2，当y＝－3时，－x2
＝－3，x＝±.故答案为2.
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方法总结：在解决呈抛物线形状的实际 (12－2m)＋(－m2＋m＋3)＝－m2＋18.因为
问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面 此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0
直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化 时，AD＋DC＋CB有最大值为18.
为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将 三、板书设计
点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；
(4)利用函数关系式解决实际问题．
如图，某隧道横截面的上下轮廓
线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一
部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12
米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建
立直角坐标系．
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，
经历将实际问题转化为函数问题，建立二次
函数模型，解决生活中的实际问题.
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐
标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD－
DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地
面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值
是多少？
解析：解决问题的思路是首先建立适当
的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标
M(12，0)和抛物线顶点P(6，6)；已知顶点坐
标，可设二次函数关系式为y＝a(x－6)2＋
6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；
再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出
有关“支撑架”总长AD＋DC＋CB二次函数
的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，
从而解决问题．
解：(1)根据题意，分别求出M(12，0)，
最大高度为6米，点P的纵坐标为6，底部宽
度为12米，所以点P的横坐标为6，即P(6，
6)．
(2)设此函数关系式为y＝a(x－6)2＋
6.因为函数y＝a(x－6)2＋6经过点(0，3)，
所以3＝a(0－6)2＋6，即a＝－.所以此函数
关系式为y＝－(x－6)2＋6＝－x2＋x＋3.
(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－
m，－m2＋m＋3)，D(m，－m2＋m＋3)．即“支
撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－m2＋m＋3)＋
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