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第2课时 二次函数与利润问题及几何问题
1．掌握如何将实际问题转化为数学问
题，进一步理解二次函数在解决实际问题中
的应用；(重点、难点)
2．能应用二次函数的性质解决商品销
售过程中的最大利润问题及图形中最大面
积问题.
解：(1)由题意可得，函数y 的图象经过
2
(3，6)，(7，7)两点，∴解得∴y 的解析式为y
2 2
一、情境导入 ＝x2－x＋(1≤x≤12，x取整数)；
如图所示，要用长20m的铁栏杆，围成 (2)设y＝kx＋b，∵函数y 的图象过(4，
1 1
一个一面靠墙的长方形花圃，怎么围才能使 11)，(8，10)两点，∴解得∴y 的解析式为y
1 1
围成的花圃的面积最大？ ＝－x＋12(1≤x≤12，x取整数)．设这种水
果每千克所获得的利润为w元．则w＝y－
1
y ＝(－x＋12)－(x2－x＋)＝－x2＋x＋，∴w
2
＝－(x－3)2＋(1≤x≤12，x取整数)，∴当x
＝3时，w取最大值，∴第3月销售这种水果，
每千克所获的利润最大，最大利润是元/千
克．
如果花圃垂直于墙的一边长为xm，花 变式训练：见《学练优》本课时练习“课
圃的面积为ym2，那么y＝x(20－2x)．试问：x 堂达标训练”第7题
为何值时，才能使y的值最大？
二、合作探究 探究点二：几何面积问题
探究点一：最大利润问题 用长为32米的篱笆围一个矩形
某水果店销售某种水果，由历年 养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积
市场行情可知，从第1月至第12月，这种水 为y平方米．
果每千克售价y(元)与销售时间第x月之间 (1)求y关于x的函数关系式；
1
存在如图①所示(一条线段)的变化趋势，每 (2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为
千克成本y(元)与销售时间第x月满足函数 60平方米？
2
关系式y ＝mx2－8mx＋n，其变化趋势如图 (3)能否围成面积为70平方米的养鸡场
2
②所示． 如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理
(1)求y 的解析式； 由．
2
(2)第几月销售这种水果，每千克所获得 解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再
利润最大？最大利润是多少？ 根据矩形的面积公式列出函数关系式；(2)已
知矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；
(3)求出y的最大值，与70比较大小，即可作
出判断．
解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜
16)；
(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x
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＝10，x＝6.所以当x＝10或6时，围成的养
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鸡场的面积为60平方米；
(3)方法一：当y＝70时，－x2＋16x＝
70，整理得x2－16x＋70＝0，由于Δ＝256－
280＝－24＜0，因此此方程无实数根，所以
不能围成面积为70平方米的养鸡场；方法
二：y＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，当x＝8
时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最
大面积为64平方米，所以不能围成70平方
米的养鸡场．
方法总结：与面积有关的函数与方程问
题，可通过面积公式列出函数关系式或方程，
再利用函数和方程的思想进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课
堂达标训练”第3题
三、板书设计
本节课主要是用二次函数理论知识解决拱
形(抛物线)类问题、最大面积和最大利润问
题，通过对问题的探究解决，使学生认识到
数学知识和生活实际的紧密联系，提高学习
数学的积极性.
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