文档内容
专题 14 预备知识十四：函数的应用（一）
1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型）
2、能建立函数模型解决实际问题
3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
知识点一：常见几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ( ， 为常数， )
二次函数模型 ( ， ， 为常数， )
分段函数模型
幂函数模型 ( ， ， 为常数， )
知识点二：对钩函数（耐克函数）
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、
“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如： （ ，
）的函数；
①定义域： ；
② 是奇函数，图象关于原点对称；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司③ 在 ， 上单调递减；在 ， 上单调递增；
④当 时， ；当 时， ；
2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式： （ ）其图象如图：
①定义域： ；
② （ ）是奇函数，图象关于原点对称；
③ 在 ， 上单调递减；在 ， 上单调递增；
④当 时， ；当 时， ；
对点特训一：一次函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）
分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅
在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容
融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，
每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划
购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】(1)冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元
(2)冰墩墩进货24个，雪容融进货16个；最大利润是992元
【分析】（1）先设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．再根据题意列出相应的二元一次方程
组，然后求解即可；
（2）先设冰墩墩进货a个，则雪容融进货 个，利润为w元，再根据题意可以写出w和a的函数关
系式，再根据题意求得a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得利润的最大值．
【详解】（1）设冰墩墩的进货价为x元，雪容融的进货价为y元．
得 ，解得 ，
所以冰墩墩的进货价为72元，雪容融的进货价为64元．
（2）设冰墩墩进货a个，则雪容融进货 个，利润为w元，
则 ，
因为 ，所以w随a增大而增大，
又因为冰墩墩进货量不能超过雪容融进货量的1.5倍，
即 ，解得 ，
所有当 时，w最大，此时 ， ，
答：冰墩墩进货24个，雪容融进货16个时，获得最大利润，最大利润为992元．
例题2．（23-24高一上·吉林长春·期中）某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N )(天)的函
＋
数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N )(天)之间的关系如下表：
＋
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的
销售价格×日销售量).
【答案】(1)
(2)
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(3)第25天时，该商品日销售金额的最大值为1125元
【分析】（1）根据图象为两条线段，设出函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）根据散点图猜想销售量Q为时间t的一次函数，设出函数解析式，利用待定系数法求解检验即可；
（3）先根据日销售金额＝每件的销售价格×日销售量列出日销售金额函数，再利用二次函数性质分别求各
段最值，最后比较两个最值取较大者即可.
【详解】（1）根据图象，设 ，
当 时，代入点 ，求得 ；
当 时，代入点 ，求得 ，
所以每件的销售价格P与时间t的函数关系式为 .
（2）描出实数对 的对应点(如图)，
.
从图中可以发现，点(5,35)，(10,30)，(20,20)，(30,10)基本上分布在一条直线上，
设这条直线为l： ，代入点(5,35)，(30,10)，求得 ，
所以直线l为 ，
通过检验可知：点(10,30)，(20,20)也在直线l上，
所以日销售量Q与时间t的函数关系式为 ．
（3）设日销售金额为 (元)，则
，
若当 时，则当 时， ；
若 时，则当 时， ；
由于 ，所以 ，
故这种商品日销售金额的最大值为1125元，30天中的第25天的日销售金额最大．
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该
商店现推出两种优惠办法：
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．
（2）按购买总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用
两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．
【答案】优惠办法（1）： ，优惠办法（2）： ；选
择优惠办法（2）.
【分析】根据已知条件写出两种优惠办法对应解析式，再将 代入解析式求 ，比较不同优惠下 的
大小，选择优惠办法．
【详解】由优惠办法（1）可得函数解析式为 ；
由优惠办法（2）可得函数解析式为 ．
当该顾客买茶杯40个时，采用（1）应付款 （元）；采用（2）应付款
（元）．
由于 ，故选择优惠办法（2）．
2．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，是某辆汽车的行驶情况记录，根据图中数据回答下列问题.
（1）汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟？期间的最大速度是多少？汽车有几个时间点的时速
为20千米/小时？
（2）写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度 (千米/小时)与时间 (分钟)的函数关系式，并算出这段时间
中，在多少分钟时的速度为20千米/小时.
【答案】（1）共行驶了22分钟，期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；
（2）函数关系式 ，发12分钟时车速为20千米/小时.
【分析】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶时间，以及最大速度和车速
为20千米/小时的时间点，得到答案；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，设为 ，根据表中的数据列出方程组，即可求得速度
与时间 的函数关系式，进而得到答案.
【详解】（1）根据某辆汽车的行驶情况记录的函数图象，可得该汽车共行驶了 分钟，
期间的最大速度为80千米/小时，有4个时间点车速为20千米/小时；
（2）在出发10分钟到18分钟这段时间中，速度与时间是一次函数关系，
设为 ，
由图表中的数据，可得当 时， ，当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司代入得 ，解得 ，
所以速度 (千米/小时)与时间 (分钟)的函数关系式： ， 其中
当 时，即 ，解得 ，即出发12分钟时车速为20千米/小时.
【点睛】本题主要考查了一次函数的解析式的求解，以及函数的图象的识别与应用，着重考查数形结合思
想，以及运算与求解能力，属于基础题.
对点特训二：二次函数模型
例题1．（23-24高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备
每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用 年 所需的总维护费用为 万元．
(1)该甜品店第几年开始盈利？
(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：
①当年平均盈利最大时卖出；
②当盈利总额达到最大时卖出；
试问哪一方案较为划算？说明理由．
【答案】(1)第四年，理由见解析
(2)两个方案一样，理由见解析
【分析】（1）表达出 年后所得总利润 ，解不等式，求出答案；
（2）设方案①的年平均利润为 ，表达出 ，由对勾函数单调性求出最大值，再求
出方案②的总利润，比较后得到结论.
【详解】（1）设该甜品店 年后所得总利润为 万元，
则 ，
若开始盈利即 ，
∴ ，解得 ，
∴第四年开始盈利．
（2）方案①：设年平均利润为 ，
则 ，
由对勾函数性质可得 在 上单调递增， 上为单调递减．
又 ， ，
时， ，4年总利润为3万元，
时， ，5年总利润为4万元，故选择第5年卖出，
方案②： ， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司即 时总利润最大为4万元，
故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在 即第5年总利润达到最大值4万元，
加上卖设备的2万元，一共6万元利润．
例题2．（23-24高一上·广东佛山·期末）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月
6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，
某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步
提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日
均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．
(1)当 时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？
(2)当m在区间 上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价
格？
【答案】(1) 元， 元， 元.
(2) 元， 元.
【分析】根据题意列出景区营业额和景区门票的关系，再通过解不等式得出答案.
【详解】（1）设景区降价后的门票日均营业额为 万元，景区门票价格下降了 元，
因为优惠后的最终门票价格不低于80元，所以 ，即 ，
由题意得 ，
当 时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，
则 ，即 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以景区门票价格可以为 元， 元， 元.
（2）由（1）知 ，
，
因为 ，
所以当m在区间 上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，
只要 时门票日均营业额不低于520万元即可，
即 ，
即 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，所以 ， ，
所以景区门票价格可以为 元， 元.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单
价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10
日 均 销 售 量
400 360 320 280 240 200 160
（件）
请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润
的最大值.
【答案】当定价为8.5元时，该商品的日均销售利润最大，且最大值为1210元.
【分析】设定价为 元，日均销售利润为 元，则 ，结合二次函数的性质即可求解.
【详解】由题意表格中的数据可知，当售价为4元时，日销售量为400件，
售价每增加1元，日销售量就减少40件.
设定价为 元，日均销售利润为 元，
则 ，
故当 时， 有最大值.
所以定价为8.5元时，日均销售利润最大，且最大值为1210元.
2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，
某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生
产产品的数量无关）： 万元；②生产所需材料成本： 万元， （单位：万套）为每月生产产
品的套数．
(1)该企业每月产量 为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?
(2)若每月生产 万套产品，每万套售价为： 万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制
定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于 万元?
【答案】(1)每月产量 万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为 万元
(2)该企业每月生产不小于 万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于 万元
【分析】（1）根据题意，可知平均每套所需的成本费用为 ，再利用基本不等式即可求出结
果；
（2）由题意可知月利润 ，解一元二次不等式 即可求出结果.
【详解】（1）设平均每套的成本为 元，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司由题有 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以企业每月产量 万套时，平均每万套的成本最低，一万套的最低成本为 万元.
（2）设月利润为 万元，
则有 ，
由题知 ，整理得到 ，解得 ，
所以，该企业每月生产不小于 万套，才能确保该制冷杯每月的利润不低于 万元.
对点特训三：分式函数模型（基本不等式工具）
典型例题
例题1．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为
的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间 ， ， 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、
月季（其中 ， 区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为 ，鲜花种植的总面积为 .
(1)用含有 的代数式表示 ；
(2)当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设矩形花园的长为 ，结合 ，进而求得 关于 的关系式；
（2）由（1）知 ，得到 ，结合基本不等式，即可求解.
【详解】（1）解：设矩形花园的长为 ，
因为矩形花园的总面积为 ，所以 ，可得 ，
又因为阴影部分是宽度为1m的小路，可得 ，可得 ，
即 关于 的关系式为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）解：由（1）知， ，
则
，当且仅当 时，即 时，等号成立，
所以当 时，才能使鲜花种植的总面积最大，最大面积为 .
例题2．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要
建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每
年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位； ）满足关系： ，设
为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
【答案】(1)
(2)当隔热层修建 厚时，总费用最小，最小值为 万元
【分析】（1）由建造费与能源消耗费求和可得；
（2）利用基本不等式求解即可.
【详解】（1）每年能源消耗费用为 ，建造费用为 ，
∴ .
（2）因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以当 时， 取得最小值 ，
∴当隔热层修建6cm厚时，总费用最小，最小值为112万元.
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻
璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万
欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提
高价格到 欧元/平方米（其中 ），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元
作为固定宣传费用，投入 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量 （单位/万平方米）至
少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的
售价.
【答案】(1)40
(2)102万平方米，售价为30欧元.
分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得；
（2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得.
【详解】（1）设该种玻璃的售价提高到 欧元/平方米，
则有 ，
解得： ，
所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米.
（2） ，
整理得： ，
除以 得： ，
由基本不等式得： ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以该种玻璃的销售量 至少达到102万平方米时，
才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和，
此时的售价为30欧元/平方米.
2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售
量（即该厂的年产量） 万件与年促销费用 万元满足 （其中 为常数），如果不搞促
销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括
固定投入和再投入两部分资金）．
(1)求常数 的值，并将2023年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；
(2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？
【答案】(1) ， ；
(2)投入3万元，最大利润为21万元.
【分析】（1）当 时 ，求得 ，由题意中变量之间的关系列出函数即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得 ，结合基本不等式计算即可求解.
【详解】（1）依题意，当 时， ，则 ，解得 ，即 ，
又每件产品的销售价格为 元，
因此 ，
所以 ， .
（2）由（1）知， ，
由 ，得 ，当且仅当 ，即 时取等号，
因此当 时， ，
所以该厂家2023年的促销费用投入为3万元时获得利润最大，且最大值为21万元.
对点特训四：分段函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水
果示范区”.该地区某水果树的单株年产量 （单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系
为 ，且单株投入的年平均成本为 元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且
水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为 （单位：元）.
(1)求函数 的解析式；
(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)
(2)施肥量为 时，单株年利润最大为 元
【分析】（1）利用利润=单株产量 售价 成本，结合分段函数即可得解；
（2）结合二次函数和基本不等式性质分别求出 和 时对应的 ，从而得解.
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故 ；
（2）当 时， 开口向上，其对称轴为 ，
所以其最大值为 ，
当 时， ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
综上，施肥量为 时，单株年利润最大为 元.
例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调
节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里
程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，
每生产x千台空调，需另投入成本 万元，当年产量不足30千台时， ，当年产量不小于
30千台时， ．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．
(1)写出年利润 （万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．
(2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)
(2)当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元
【分析】（1）根据已知条件，结合利润 销售额 成本公式，分类讨论即可求解；
（2）根据（1）的结论及分段函数分段处理，利用二次函数的性质及基本不等式即可求解．
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
所以
（2）当 时， ，当 时，
取得最大值2925万元；
当 时， ．
因为 ，当且仅当 时，等号成立，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以当 时， 取得最大值2830万元．
因为 ，所以当该企业该型号的变频空调总产量为25千台时，获利最大，最大利润为2925万元．
精练
1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造
成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千
克）满足如下关系： ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、
施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利
润为 （单位：元）
(1)写单株利润 （元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?
【答案】(1) ；
(2)当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.
【分析】（1）根据给定的函数关系，直接求出 的解析式.
（2）结合二次函数最值、基本不等式求最值，分段求出函数 的最大值，再比较大小即可.
【详解】（1）依题意， ，又 ，
所以 .
（2）当 时， ，其图象开口向上，对称轴为 ，
因此 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 上的最大值为 ；
当 时，
，
当且仅当 时，即 时等号成立，
而 ，则当 时， ，
所以当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、
节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，
从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（ 且
）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为 ，
其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所
释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.
(1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？
(2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续
有效，试求m的最小值.
【答案】(1)7天；
(2)2.
【分析】（1）根据给定的函数模型求投放一次4个单位的净化剂的有效时间即可.
（2）由题设 ，将问题化为 在 上恒成立，利用基本不
等式求右侧最大值，即可得求参数最小值.
【详解】（1）因为一次投放4个单位的净化剂，
所以水中释放的浓度为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ，
综上， ，所以一次投放4个单位的净化剂，则有效时间可持续7天.
（2）设从第一次投放起，经过 天后浓度为 ．
因为 ，则 ， ，
所以 ，即 ，令 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，
故为使接下来的5天中能够持续有效m的最小值为2.
对点特训五：对钩函数及其应用
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面
脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万
人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有 户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为
万元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员 户从事乡村旅
游，则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高 ，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为
万元. 在动员 户从事乡村旅游后，还要确保剩下的 户从事种植业的所有农户年总
收入不低于原先 户从事种植的所有农户年总收入.
(1)求 的取值范围；
(2)要使从事乡村旅游的这 户的年总收入始终不高于 户从事种植业的所有农户年总收入，求 的最
大值.
（参考数据： ， ， ）
【答案】(1)
(2)最大值为
【分析】（1）由题意可得 ，解出即可；
（2）分别表示出从事乡村旅游的 户农民年总收入、 户从事种植业的农户总年收入，然后建立不
等式求解即可.
【详解】（1）依题意得 ，
整理得 ，解得 ，
又 ，
所以 的取值范围为 .
（2）从事乡村旅游的 户农民年总收入为 万元， 户从事种植业的农户总年收入为
依题意得 恒成立，
即 恒成立，
所以 恒成立.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司因为函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， 最小，又 ，所以 或者 . …
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，所以 的最大值为
例题2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一
条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设 .（公共通道DE所
占面积忽略不计）
（1）令 ，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.
【答案】（1） ， ；（2）当 时，造价最小为 元；当 或 时，
造价最大为 元.
【分析】（1）由已知条件得 ，再根据三角形的面积公式可求得答案；
（2）在 中，利用余弦定理得 .设函数 ，运用函数的
单调性可求得造价的最小值和最大值，以及所对就的x的值.
【详解】解：（1）∵ ，∴ ，
∴ ，即 ，其中 .
（2）在 中，由余弦定理得 ，整理得 .
设函数 ， .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司又函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ， .
所以当 时，通道长 ，造价最小为 元；
当 或 时，通道长 ，造价最大为 元.
精练
1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利
用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于
此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400
元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面
墙的长度均为 米 .
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 元 ，若无论左右
两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围.
【答案】(1)4米，28800元
(2)
【分析】(1)建立函数模型，利用基本不等式求最小值;(2)根据不等式的恒成立问题求参数的取值范围.
【详解】（1）设甲工程队的总造价为 元，
则
.
当且仅当 ，即 时等号成立.
即当左右两侧墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为28800元.
（2）由题意可得， 对任意的 恒成立.
即 ，从而 恒成立，
令 ，
又 在 为单调增函数，故 .所以 .
2．（23-24高一上·北京通州·期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四
横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新
的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度 （千米/时）（ ）的平方成正比，比
例系数为0.0005；固定部分为 万元（ ）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为 .
(1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用 表示成速度 （千米/时）的函数，并指出这个函数
的定义域；
(2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？
【答案】(1) ，定义域为
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意表示出可变部分的成本与列车的运行时间，即可表示出总的费用f（x）；
（2）分三种情况，结合对勾函数求出 取最小值时的 的值即可.
【详解】（1）解：由题意可知 ，定义域为 ；
（2）解：由（1）知 ，
令 ，（ ， ），
由对勾函数的性质可知，该函数在 上单调递减，在 上单调递增，
① ，即 时， 在 上单调递增，故 时，单程运行一次总费用
最小；
② ，即 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 时单程运行一次总费用最小；
③ ，即 时， 在 单调递减， 时单程运行一次总费用最小.
综上可知， 时， 时，单程运行一次总费用最小； 时， 时单
程运行一次总费用最小； 时， 时单程运行一次总费用最小.
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课后作业）某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－
75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ）
A．30 B．40
C．50 D．60
【答案】C
【分析】根据题意，利润为销售额减去成本，所以设生产x台，建立关系式f(x)＝25x－y，代入求最大值即
可.
【详解】设安排生产x台，则获得利润f(x)＝25x－y＝－x2＋100x＝－(x－50)2＋2 500.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故当x＝50台时，获利润最大.
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，考查二次函数去最值，属于基础题.
2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为 的长方形的某边长度为 ，则该长方形的周长 与 的函
数关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据条件长方形的一边长度为 ，则另一边长为 ，且 ，从而得到周长 与 的函数关系.
【详解】由条件长方形的一边长度为 ，且面积为 .
则另一边长为 ，且 .
所以该长方形的周长 .
故选：C.
【点睛】本题考查长方形的面积公式和周长的计算方法，考查求函数解析式，属于基础题.
3．（23-24高一·全国·课后作业）在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据表中数据可判断函数为一次函数，将各数据代入，验证可得结论．
【详解】解：根据表中数据可判断函数为一次函数，
将各数据代入 中均成立，
故选： ．
【点睛】本题考查函数模型的选择，考查学生的计算能力，属于基础题．
4．（23-24高一上·宁夏银川·期中）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 辆该品牌车的利润
（单位：万元）分别为 和 .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为
（ ）
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
【答案】C
【分析】根据题意建立相应的函数模型，转化为求函数的最大值问题求解即可.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】设公司在甲地销售 辆，则在乙地销售 辆，公司获利为
，∴当 或10时， 最大，为120万元.
故选C.
【点睛】本题主要考查函数模型的实际应用，利用数学知识建立相应的函数模型，将实际问题转化为数学
问题，注意实际问题背景下的自变量取值范围，属于基础题.
5．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，
是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆
裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 （单位：米）与时间 （单位：
秒）之间的关系式为 ，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
【答案】A
【分析】利用配方法，求二次函数最大值及相应 值即可.
【详解】由题意， ，
则当 时，即烟花达到最高点，爆裂的时刻是第 秒.
故选：A.
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：
件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式： （ 且 ）．则灯具商店
每月的最大利润为（ ）
A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
【答案】B
【分析】先建立二次函数模型，再由二次函数的性质求解
【详解】设灯具商店每月的利润为z元，
则 ，
，
故选：B
7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，在 中， 于D， ，矩形的顶
点E与A点重合， ，将矩形 沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平
移的距离为x，矩形 与 重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可.
【详解】 于D， ，
, ,
且
故当 时，重合部分为三角形，
三角形的高 ，
面积 ，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项；
当 时，重合部分为直角梯形，
上底长为 ，
下底长为 ，高为4，
故 ，
函数图像为一条直线，故排除D选项；
当 时，重合部分可以看作两个直角梯形，
左边直角梯形的上底长为 ，
高为
两个梯形下底长均为 ，
右边直角梯形上底长为 ，
高为 ，
故 ，
图像为开口下的二次函数，且对称轴为 ，故排除B选项；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：C
8．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P
沿 运动时，点P经过的路程x与 的面积y的函数 的图象的形状大致是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分点P在AB上时，点P在BC上时，点P在CD上时求得函数，再利用函数的性质来判断．
【详解】点P在AB上时, ；
点P在BC上时，
；
点P在CD上时， ；
所以
画出分段函数的大致图象，如图所示．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故选：A．
二、多选题
9．（23-24高一上·山西·期末）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利
润 （单位：万元）与每月投入的研发经费 （单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16
万元，且 ，利润率 .现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是
（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
【答案】BC
【分析】结合题目中所给条件及自变量的实际意义，利用二次函数以及基本不等式进行求解.
【详解】当 时， ，
故当 时，获得最大利润，为 ，故B正确，D错误；
，
当且仅当 ，即 时取等号，此时研发利润率取得最大值2，故C正确，A错误.
故选：BC.
三、填空题
10．（2024·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 ，
已知一驾驶员某次饮酒后体内每 血液中的酒精含量 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是：
当 时， ；当 时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
才可驾车.
【答案】
【分析】根据二次函数的单调性和反比例函数的单调性进行求解即可.
【详解】当 时， ，
当 时，函数有最大值 ，所以当 时，饮酒后体内每 血液中的酒精含量小于
，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当当 时，函数 单调递减，令 ，因此饮酒后 小时体内每 血液中
的酒精含量等于 ，
故答案为：
四、解答题
11．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获
得的利润 （单位：万元）与运转时间 （单位：年）的函数解析式为 （ ，且
）．
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
【答案】(1)这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
(2)当运转3年时，这批机器的年平均利润最大
【分析】（1）配方得到最值，得到答案；
（2）设出年平均利润为 ，表达出 ，利用基本不等式求出最值，得到答案.
【详解】（1） ，
因为 ，且 ，所以当 时， 取得最大值，
故这批机器运转第6年时，可获得最大利润，最大利润为27万元；
（2）设年平均利润为 ，
因为 ，且 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当运转3年时，这批机器的年平均利润最大.
12．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，
每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，
其中固定成本为30万元/年，每生产 万件电子芯片需要投入的流动成本为 （单位：万元），当年产
量不超过14万件时， ；当年产量超过14万件时， ．假设该公司每年
生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本
－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
【答案】(1)
(2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）分 和 两种情况，分别求出函数解析式；
（2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解.
【详解】（1）根据题意得，
当 时， ，
当 时， ，
故
（2）当 时， ，且当 时， 单调递增，当 时，
单调递减，
此时 ．
当 时， ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ，故当 时， 取得最大值24，
即为使公司获得的年利润最大，每年应生产 万件该芯片．
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