文档内容
专题 14 预备知识十四：函数的应用（一）
1、会利用已知函数模型解决实际问题（一次函数、二次函数、分段函数模型）
2、能建立函数模型解决实际问题
3、运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
知识点一：常见几类函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 ( ， 为常数， )
二次函数模型 ( ， ， 为常数， )
分段函数模型
幂函数模型 ( ， ， 为常数， )
知识点二：对钩函数（耐克函数）
1、对钩函数（一般模型）：对勾函数是一种类似于反比例函数的一般双曲函数，又被称为“双勾函数”、
“勾函数”、“对号函数”、“双飞燕函数”；所谓的对勾函数，是形如： （ ，
）的函数；
①定义域： ；
② 是奇函数，图象关于原点对称；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司③ 在 ， 上单调递减；在 ， 上单调递增；
④当 时， ；当 时， ；
2、（高频考试模型）特别的，对钩函数的简易形式： （ ）其图象如图：
①定义域： ；
② （ ）是奇函数，图象关于原点对称；
③ 在 ， 上单调递减；在 ， 上单调递增；
④当 时， ；当 时， ；
对点特训一：一次函数模型
典型例题
例题1．（23-24高一上·四川眉山·开学考试）冰墩墩（Bing Dwen Dwen）、雪容融（Shuey Rhon Rhon）
分别是2022年北京冬奥会、冬残奥会的吉祥物．冬奥会来临之际，冰墩墩、雪容融玩偶畅销全国．小雅
在某网店选中两种玩偶，决定从该网店进货并销售，第一次小雅用1400元购进了冰墩墩玩偶15个和雪容
融玩偶5个，已知购进1个冰墩墩玩偶和1个雪容融玩偶共需136元，销售时每个冰墩墩玩偶可获利28元，
每个雪容融玩偶可获利20元．
(1)求两种玩偶的进货价分别是多少？
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(2)第二次小雅进货时，网店规定冰墩墩玩偶的进货数量不得超过雪容融玩偶进货数量的1.5倍．小雅计划
购进两种玩偶共40个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少元？
例题2．（23-24高一上·吉林长春·期中）某种商品在30天内每件的销售价格P(元)与时间t(t∈N )(天)的函
＋
数关系用如图的两条线段表示，该商品在30天内日销售量Q(件)与时间t(t∈N )(天)之间的关系如下表：
＋
t/天 5 10 20 30
Q/件 35 30 20 10
(1)根据提供的图象(如图)，写出该商品每件的销售价格P与时间t的函数关系式；
(2)根据上表提供的数据，写出日销售量Q与时间t的一个函数关系式；
(3)求该商品日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的
销售价格×日销售量).
精练
1．（2024高一·全国·专题练习）商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价为20元，茶杯每个定价为5元，该
商店现推出两种优惠办法：
（1）买一个茶壶赠送一个茶杯．
（2）按购买总价的92%付款．
某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个（不小于茶壶数），若购买茶杯数为x（个），付款数为y（元），试用
两种优惠办法分别建立y与x之间的函数解析式，并指出如果顾客需买茶杯40个应选择哪种优惠办法．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一·全国·课后作业）如图所示，是某辆汽车的行驶情况记录，根据图中数据回答下列问题.
（1）汽车从开始行驶到最后停止共行驶了多少分钟？期间的最大速度是多少？汽车有几个时间点的时速
为20千米/小时？
（2）写出汽车出发10分钟到18分钟之间速度 (千米/小时)与时间 (分钟)的函数关系式，并算出这段时间
中，在多少分钟时的速度为20千米/小时.
对点特训二：二次函数模型
例题1．（23-24高一下·湖北·开学考试）某甜品店今年年初花费21万元购得一台新设备，经估算该设备
每年可为甜品店提供12万元的总收入，已知使用 年 所需的总维护费用为 万元．
(1)该甜品店第几年开始盈利？
(2)若干年后，该甜品店计划以2万的价格卖出设备，有以下两种方案：
①当年平均盈利最大时卖出；
②当盈利总额达到最大时卖出；
试问哪一方案较为划算？说明理由．
例题2．（23-24高一上·广东佛山·期末）交通运输部数据显示，2023年中秋国庆假期（9月29日至10月
6日）期间，营业性旅客运输人数累计4.58亿人次.游客旅游热情高涨，全国各类景区景点非常火爆.据统计，
某景区平时日均接纳旅客1万人次，门票是120元/人，中秋国庆期间日均接客量是平时的4倍.为进一步
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司提升中秋国庆期间的旅游门票营业额，该景区作了深度的市场调查，发现当门票每便宜10元时，旅游日
均人数可增加m万人（便宜幅度是10元一档，但优惠后的最终门票价格不低于80元）．
(1)当 时，要使该景区降价后的门票日均营业额不低于495万元，则该景区可以如何确定门票价格？
(2)当m在区间 上变化时，总能使得门票日均营业额不低于520万元，则该景区应如何确定门票价
格？
精练
1．（23-24高一上·广东佛山·阶段练习）某商场销售 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单
价与日均销售量的关系如表所示：
销售单价（元） 4 5 6 7 8 9 10
日 均 销 售 量
400 360 320 280 240 200 160
（件）
请根据以上数据分析，此商品如何定价（单位：元/件），该商品的日均销售利润最大？并求日均销售利润
的最大值.
2．（23-24高一上·河北石家庄·期末）据国家气象局消息，今年各地均出现了极端高温天气．漫漫暑期，
某制冷杯成了畅销商品．某企业生产制冷杯每月的成本（单位：万元）由两部分构成：①固定成才（与生
产产品的数量无关）： 万元；②生产所需材料成本： 万元， （单位：万套）为每月生产产
品的套数．
(1)该企业每月产量 为何值时，平均每万套的成本最低?一万套的最低成本为多少?
(2)若每月生产 万套产品，每万套售价为： 万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制
定计划，才能确保该制冷杯每月的利润不低于 万元?
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对点特训三：分式函数模型（基本不等式工具）
典型例题
例题1．（23-24高二下·北京房山·期中）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为
的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间 ， ， 三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、
月季（其中 ， 区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为 ，鲜花种植的总面积为 .
(1)用含有 的代数式表示 ；
(2)当 的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？
例题2．（23-24高二下·全国·期中）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要
建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用32年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为8万元．该建筑物每
年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度 （单位； ）满足关系： ，设
为隔热层建造费用与32年的能源消耗费用之和．
(1)求 的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用 达到最小，并求最小值．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司精练
1．（2024高一·全国·专题练习）通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻
璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元.
(1)据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万
欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提
高价格到 欧元/平方米（其中 ），其中投入 万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元
作为固定宣传费用，投入 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量 （单位/万平方米）至
少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的
售价.
2．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）某厂家拟在2023年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售
量（即该厂的年产量） 万件与年促销费用 万元满足 （其中 为常数），如果不搞促
销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件
该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括
固定投入和再投入两部分资金）．
(1)求常数 的值，并将2023年该产品的利润 万元表示为年促销费用 万元的函数；
(2)该厂家的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少万元？
对点特训四：分段函数模型
典型例题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题1．（23-24高一下·四川泸州·阶段练习）丽水市某革命老区因地制宜发展生态农业，打造“生态特色水
果示范区”.该地区某水果树的单株年产量 （单位：千克）与单株施肥量x（单位：千克）之间的关系
为 ，且单株投入的年平均成本为 元.若这种水果的市场售价为10元/千克，且
水果销路畅通.记该水果树的单株年利润为 （单位：元）.
(1)求函数 的解析式；
(2)求单株施肥量为多少千克时，该水果树的单株年利润最大？最大利润是多少？
例题2．（23-24高一下·浙江·阶段练习）空调是人们生活水平提高的一个标志，炎热夏天，空调使温度调
节到适合人们工作、学习、生活的舒适环境内，心情好，休息好，工作效率也高，这是社会进步的一个里
程碑．为适应市场需求，2024年某企业扩大了某型号的变频空调的生产，全年需投入固定成本200万元，
每生产x千台空调，需另投入成本 万元，当年产量不足30千台时， ，当年产量不小于
30千台时， ．已知每台空调售价3000元，且生产的空调能全部销售完．
(1)写出年利润 （万元）关于年产量x（千台）的函数解析式．
(2)年产量为多少千台时，该厂该型号的变频空调所获利润最大？并求出最大利润．
精练
1．（23-24高一上·内蒙古呼和浩特·期中）某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造
成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千
克）满足如下关系： ，肥料成本投入为10x元，其它成本投入（如培育管理、
施肥等人工费）20x元.已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利
润为 （单位：元）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1)写单株利润 （元）关于施用肥料x（千克）的关系式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少?
2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）第19届亚运会2023年9月在杭州市举办，本届亚运会以“绿色、智能、
节俭、文明”为办会理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，
从而促进经济快速发展.等备期间，计划向某河道投放水质净化剂，已知每投放a个单位（ 且
）的试剂，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（天）变化的函数关系式近似为 ，
其中 ，若多次投放，则某一时刻水中的试剂浓度为每次投放的试剂在相应时刻所
释放的浓度之和，根据试验，当水中净化剂的浓度不低于4（克/升）时，它才能净化有效.
(1)若只投放一次4个单位的净化剂，则有效时间最多能持续几天？
(2)若先投放2个单位的净化剂，6天后再投放m个单位的净化剂，要使接下来的5天中，净化剂能够持续
有效，试求m的最小值.
对点特训五：对钩函数及其应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·山东泰安·期中）2020年我国全面建成了小康社会，打赢了脱贫攻坚战. 某村全面
脱贫后，通过调整产业结构，以秀美乡村建设为契机，大力发展乡村旅游. 2021年上半年接待游客逾5万
人次，使该村成为当地旅游打卡网红景点. 该村原有 户从事种植业，据了解，平均每户的年收入为 万
元. 调整产业结构后，动员部分农户改行从事乡村旅游业. 据统计，若动员 户从事乡村旅游，
则剩下的继续从事种植业的平均每户的年收入有望提高 ，而从事乡村旅游的平均每户的年收入为
万元. 在动员 户从事乡村旅游后，还要确保剩下的 户从事种植业的所有农户年总
收入不低于原先 户从事种植的所有农户年总收入.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司(1)求 的取值范围；
(2)要使从事乡村旅游的这 户的年总收入始终不高于 户从事种植业的所有农户年总收入，求 的最
大值.
（参考数据： ， ， ）
例题2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）如图，某工厂欲将一块边长为40m的等边三角形ABC区域用一
条公共通道DE分成面积相等的两个办公区域，点D，E分别在AB，AC上，设 .（公共通道DE所
占面积忽略不计）
（1）令 ，求y关于x的函数关系式并写出定义域；
（2）若公共通道DE每米造价2000元，请你做一下预算，求出该通道造价最大值和最小值及对应的x值.
精练
1．（23-24高一下·四川攀枝花·期末）为了加强“平安校园”建设，保障师生安全，某校决定在学校门口利
用一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的校园警务室.由于
此警务室的后背靠墙，无需建造费用，甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400
元，左右两面新建墙体报价为每平方米300元，屋顶和地面以及其他报价共计14400元.设屋子的左右两面
墙的长度均为 米 .
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？并求出最低报价；
(2)现有乙工程队也要参与此警务室的建造竞标，其给出的整体报价为 元 ，若无论左右
两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司2．（23-24高一上·北京通州·期中）从2008年开始的十年间，中国高速铁路迅猛发展，已经建成“四纵四
横”网络，“八纵八横”格局正在构建.到2018年，中国高速铁路新里程已超过两万五千千米，铸就了一张新
的“国家名片”.京津城际高铁丛北京南站到天津站全长约为120千米.假设高铁每小时的运输成本（单位：万
元）由可变部分和固定部分组成；可变部分与平均速度 （千米/时）（ ）的平方成正比，比
例系数为0.0005；固定部分为 万元（ ）.设高速列车在该线路上单程运行一次的总费用为 .
(1)把高速列车在该线路上单程运行一次的总费用 表示成速度 （千米/时）的函数，并指出这个函数
的定义域；
(2)当高速列车在该线路上运行的平均速度是多少时，单程运行一次总费用最小？
一、单选题
1．（23-24高一·全国·课后作业）某机器总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝x2－
75x，若每台机器售价为25万元，则该厂获利润最大时应生产的机器台数为（ ）
A．30 B．40
C．50 D．60
2．（23-24高一上·贵州遵义·阶段练习）面积为 的长方形的某边长度为 ，则该长方形的周长 与 的函
数关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高一·全国·课后作业）在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
x 1 2 3 …
y 1 3 5 …
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是（ ）
A． B．
C． D．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司4．（23-24高一上·宁夏银川·期中）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售 辆该品牌车的利润
（单位：万元）分别为 和 .若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为
（ ）
A．90万元 B．60万元 C．120万元 D．120.25万元
5．（23-24高一上·江西·阶段练习）你见过古人眼中的烟花吗？那是朱淑真元宵夜的“火树银花触目红”，
是隋炀帝眼中的“灯树千光照，花焰七枝开”.烟花，虽然是没有根的花，是虚幻的花，却在达到最高点时爆
裂，用其灿烂的一秒换来人们真心的喝彩.已知某种烟花距地面的高度 （单位：米）与时间 （单位：
秒）之间的关系式为 ，则烟花在冲击后爆裂的时刻是（ ）
A．第4秒 B．第5秒 C．第3.5秒 D．第3秒
6．（23-24高一上·河南新乡·期末）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价10元，每月销售量y（单位：
件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式： （ 且 ）．则灯具商店
每月的最大利润为（ ）
A．3000元 B．4000元 C．3800元 D．4200元
7．（23-24高一上·浙江·阶段练习）如图，在 中， 于D， ，矩形的顶
点E与A点重合， ，将矩形 沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平
移的距离为x，矩形 与 重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）如图，点P在边长为1的正方形边上运动，M是CD的中点，当点P
沿 运动时，点P经过的路程x与 的面积y的函数 的图象的形状大致是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一上·山西·期末）几名大学生创业时经过调研选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利
润 （单位：万元）与每月投入的研发经费 （单位：万元）有关.已知每月投入的研发经费不高于16
万元，且 ，利润率 .现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是
（ ）
A．此时获得最大利润率 B．再投入6万元研发经费才能获得最大利润
C．再投入1万元研发经费可获得最大利润率 D．再投入1万元研发经费才能获得最大利润
三、填空题
10．（2024·重庆·模拟预测）我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 ，
已知一驾驶员某次饮酒后体内每 血液中的酒精含量 （单位： ）与时间 （单位： ）的关系是：
当 时， ；当 时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过
才可驾车.
四、解答题
11．（23-24高一上·上海闵行·期中）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工．据分析，这批机器可获
得的利润 （单位：万元）与运转时间 （单位：年）的函数解析式为 （ ，且
）．
(1)当这批机器运转第几年时，可获得最大利润？最大利润为多少？
(2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司12．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，
每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，
其中固定成本为30万元/年，每生产 万件电子芯片需要投入的流动成本为 （单位：万元），当年产
量不超过14万件时， ；当年产量超过14万件时， ．假设该公司每年
生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润 （万元）关于年产量 （万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本
－流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
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