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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.2 反比例函数的图象和性质 （第1 课时 反比例函数的图象和基本性质） （教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第27章《反比例函数》，27.2反比例函数的图象和性质第一课时反比例 函数的图象和基本性质.核心内容为：用描点法画反比例函数的图像；认识反比例函数的图像为双曲线；探 究当k>0和<0)时反比例函数图像的象限分布、增减性基本性质；能利用基本性质判断图像位置、比较函数 值大小.本节课是反比例函数整章性质探究的起始课，是后续学习k的几何意义、综合应用、函数综合题的 基础. 2. 内容解析 本节课承接上一节《反比例函数的概念》，延续初中函数统一研究套路：定义—画图—观图得性质—应用 性质，与一次函数、二次函数研究方法一脉相承.本节课以最简单的y= 3 x、y= 6 x为探究载体，让学生亲手列表、 描点、连线，直观发现反比例函数图像不是直线、不是抛物线，而是两支断开的双曲线.通过对比两个图像 差异，归纳出k的符号决定图像象限与增减性的核心规律.本节内容是本章重难点基础，数形结合思想集中 体现，同时纠正学生“整体单调增减”的认知误区，为第二课时综合运用、几何意义探究做好铺垫. 基于以上分析，本节课的教学重点用描点法画反比例函数图像；掌握反比例函数的图像特征与基本性质. 1. 教学目标 （1）掌握描点法画反比例函数图像的步骤；认识双曲线图像特征；熟练掌握k>0（<0)时反比例函数 的图像位置与增减性质；能利用性质解决基础判断、比较大小题型. （2）经历画图、观察、对比、归纳的探究过程，体会“由特殊到一般”的探究方法，提升识图能力、 归纳概括能力和数形结合分析能力. （3）感受函数图像的对称美、规律美，养成严谨画图、严谨说理的学习习惯，建立系统研究函数的 思维模型. 2.目标解析 目标1学生通过动手作图，具象认知双曲线形态，熟记反比例函数两大基础性质（象限分布、象限内增减性）， 掌握课本基础题型解法，夯实本章核心基础知识. 目标2让学生掌握初中函数通用探究流程，学会以形释数、以数判形，初步建立数形结合解题思维，突破只 会算数、不会看图的短板. 目标3通过类比旧知、自主探究、归纳总结，落实逻辑推理、直观想象、数学抽象核心素养，适配新课标课 堂要求. 九年级学生已经熟练掌握一次函数、二次函数的画图方法，熟悉列表、描点、连线的基本步骤，具备类比 探究新知的能力，且已掌握反比例函数的概念.但学生存在明显认知障碍：习惯了连续函数图像，难以理解 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 反比例函数图像断开、永不与坐标轴相交的特征；极易忽略“每个象限内”这一前提，错误认为整个定义 域内单调增减；初次接触双曲线，画图容易出现连线生硬、跨越象限、与坐标轴相接等错误. 基于以上分析，确定本节课的教学难点准确理解“在每个象限内”的增减性；区分k>0与<0的图像差异；避 免整体范围判断增减性的典型错误. 复习旧知、类比导入 复习提问：什么是反比例函数？一般形式是什么？自变量取值范围是什么？ 回顾研究一次函数、二次函数的学习流程：定义→画图像→看图像→总结性质→应用. 类比设问：我们能否用同样的方法研究反比例函数的图像和性质？ 引出课题：今天通过画图探究反比例函数的图像和基本性质. （设计意图：唤醒学生已有函数学习经验，搭建新旧知识桥梁，让学生明确本节课探究方法，形成统一的 函数研究思维体系，自然过渡新知，降低学习陌生感.） 探究点1 作函数y= k x（k>0）图象，探究函数性质 在研究一次函数、二次函数的图象和性质时，都是先画出函数的图象，再利用图象，结合函数的解析式研 究函数的性质，这种方法同样适用于反比例函数. 有了前面的知识储备，我们换一个角度，从反比例函数的解析式出发，思考它的图象形状，运用数形结合 的方法研究其性质. 与对一次函数的研究一样，需要对反比例函数解析式y= k x（k为常数)中的k分情况讨论.即分k>0，k<0两种情 况.先研究k>0时的情况，我们从具体的反比例函数开始. 活动1：动手画图，探究图象与性质 师生共同完成：画出反比例函数y= 3 x、y= 6 x的图象 列表：选取正负对称的自变量取值（避开0） 描点：在坐标系精准描出对应点 连线：用平滑曲线分别连接左右两侧点，得到两支曲线，如下图： 观察两个函数图象有什么特征和性质： 形状：由两支曲线组成，叫做双曲线； 图像位置：分布在第一、三象限； 变化趋势：每一象限内，x 增大，y 减小； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 特征：图像无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. 活动2.当k>0 时，取几个不同的值，画出函数y= k x的示意图，探究性质. 如图，画出一些函数图象. 观察函数图象，归纳函数图象的特点和性质： 图像位置：分布在第一、三象限； 变化趋势：每一象限内，x 增大，y 减小； 特征：图象无限靠近坐标轴，永不与坐标轴相交. 探究点2 作函数y= k x（k<0）图象，探究函数性质 活动3：类比画图，探究函数y= k x（k<0）图象与性质 学生自主画出 y=- 3 x、y=- 6 x 等图像，小组对比讨论，归纳： 图像位置：分布在第二、四象限 增减性：在每个象限内，x增大，y增大. 总结归纳反比例函数性质： 1. 反比例函数图像是双曲线； 2. 当k>0时，双曲线在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； 3. 当<0时，双曲线在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大； 4. 图像两支永不与坐标轴相交. （设计意图：从教师示范到学生自主操作，由特殊到一般，让学生亲手生成图像、自主归纳性质，避免死 记硬背，突破重难点，落实数形结合思想.） 典型例题 例1.已知反比例函数 y= k−3 x ，根据下列条件求k的取值范围： （1）图像分布在第一、三象限； （2）在每个象限内，y随x的增大而增大. 【分析】 图像在一、三象限 k −3>0；每个象限内y 随x 增大而增大 k −3<0；只需将解析式中的比例式 整体当作k，列不等式求解即可，考查性质的正向运用. 【详解】解：（1）∵ 图像在第一、三象限∴ 比例系数大于0，k-3>0 解得：k>3. （2）∵ 在每个象限内，y随x的增大而增大∴ 比例系数小于0，k-3<0 解得：k<3. 答：图像分布在第一、三象限时k>3；在每个象限内，y随x的增大而增大时k<3. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 例2.如图所示的曲线表示温度 ( ) C ℃与时间( ) h t 之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支，过点 ( ) 1,3 ． (1)求该曲线对应的函数解析式； (2)若 6 t ，求温度 ( ) C ℃的取值范围． 【分析】（1）先根据点( ) 1,3 利用待定系数法求出反比例函数的解析式； （2）令 6 t = ，求得C的值，结合图象即可解答． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为 ( ) 0 k C k t = ， ∵图象经过点( ) 1,3 ， ∴ 1 3 3 k = = ， ∴反比例函数解析式为 ( ) 3 0 C t t = ； （2）令 6 t = ，则 3 1 2 C t = = ， 结合图象可得：当 6 t ，求温度 ( ) C ℃的取值范围为 1 0 2 C ． (设计意图：通过不同形式的练习，让学生掌握基本解法，同时积累解题经验) 课本P70课堂练习. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的 理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1．如图，点 ( ) ,12 A n 和 ( ) 6,2 B 是一次函数 1y kx b = + 的图象与反比例函数 ( ) 2 0 m y x x = 的图象的两个交点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)直接写出当x为何值时， 1 2 y y ． 【详解】（1）解：将点 ( ) 6,2 B 代入 2 m y x = ， 12 m = ∴ ， ∴ 2 12 y x = ， 将 ( ) ,12 A n 代入 2 12 y x = ， 1 n = ， ∴ ( ) 1,12 A ， 将 ( ) 1,12 A 和 ( ) 6,2 B 代入 1y kx b = + ， ∴ 12 6 2 k b k b + = + = ， 解得： 2 14 k b = − = ， ∴ 1 2 14 y x = − + ； （2）解：根据图象可得，当 1 2 y y 时，x的取值范围为：1 6 x ． （设计意图：强化反比例函数的图象与性质） 1．（2025•广西）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”ABCDEFG 的所有线段均与x 轴平行或垂直， 且满足BC＝DE＝FG＝1，点A，C，E，G 均在双曲线y= 𝑘 𝑥的一支上．若点A 的坐标为（4， 3 2），则第 三级阶梯的高EF＝（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．3 C． 7 2 D． 5 2 【解答】解：∵点A（4， 3 2）在双曲线y= 𝑘 𝑥上， ∴k＝4× 3 2 =6， ∴反比例函数的解析式为y= 6 𝑥， ∵BC＝1 且BC 与x 轴平行，AB 与y 轴平行，点A 坐标为（4， 3 2）， ∴点C 的横坐标比点A 的横坐标小1，即横坐标为3， ∵点C 在y= 6 𝑥上， ∴C 点坐标为（3，2）， 同理，DE＝1，则点E 的横坐标为2，把x＝2 代入y= 6 𝑥，则y＝3， ∴求得E 点坐标为（2，3）， FG＝1，则点G 的横坐标为1，把x＝1 代入y= 6 𝑥，则y＝6， ∴G 点坐标为（1，6）， 观察图象可知，EF 的长度等于点G 的纵坐标减去点E 的纵坐标， 即EF＝6﹣3＝3． 故选：B． 2．（2025•内蒙古）已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y= −3 𝑥的图象上，则下列结论一定 正确的是（ ） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0 时，y1＜y2 D．当m＜﹣1 时，y1＜y2 【解答】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0 时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1 时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 3．（2025•天津）若点A（﹣3，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在反比例函数𝑦= −9 𝑥的图象上，则y1， y2，y3 的大小关系是（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1 【解答】解：∵反比例函数的k＝﹣9＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y 随x 的增大而增大， ∵点A（﹣3，y1）在第二象限， ∴y1＞0， 又∵1＜3， ∴y2＜y3＜0， ∴y2＜y3＜y1． 故选：D． 4．（2025•河北）在反比例函数y= 4 𝑥中，若2＜y＜4，则（ ） A． 1 2 ＜x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 【解答】解：∵反比例函数y= 4 𝑥，k＝4＞0， ∴在每个象限内，y 随x 的增大而减小， ∴当2＜y＜4 时， 4 4 ＜x＜4 2， ∴1＜x＜2． 故选：B． 5．（2025•浙江）已知反比例函数y= −7 𝑥.下列选项正确的是（ ） A．函数图象在第一、三象限 B．y 随x 的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 D．y 随x 的增大而增大 【解答】解：∵反比例函数y= −7 𝑥，k＝﹣7＜0， ∴函数图象在第二、四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大， 故选项C 符合题意． 故选：C． （ 设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检 验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：掌握了描点法画反比例函数双曲线图像的完整步骤；认识了反比例函数图像形态与特征；熟记 k>0、k<0对应的象限分布与增减性规律；能根据解析式判断图像位置、根据性质求参数取值. 思想方法：（1）数形结合思想：通过图像直观理解函数增减与分布，以形助数、以数释形；（2）类比思 想：类比一次函数探究方法学习反比例函数，实现知识迁移；（3）特殊到一般思想：通过具体函数图像归 纳通用性质. 易错提醒：（1）最核心易错：增减性必须带“在每个象限内”，不能说全体定义域单调增减；（2）画图 易错：连线跨越象限、图像与坐标轴相交、曲线生硬不平滑；（3）判断易错：混淆k>0与k<0对应的象限和 增减规律；（4）认知易错：忘记双曲线永远不与坐标轴相交. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：习题27.2第1、2、3题. 探究性作业：习题27.2第4题 （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 27.2 反比例函数的图像和性质（第1课时） 一、画图形状 二、核心性质 三、易错警示 副板书 例题 学生练习板演
