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5.1 常量与变量、函数
课标要点
1.理解常量、变量的概念，能在实际问题中准确区分常量与变量。
2.理解函数、自变量、函数值的定义，掌握函数“唯一对应”的核心本质。
3.能根据解析式、表格、情境判断函数关系，会求自变量取值范围与对应函数值。
4.了解函数的三种表示方法，初步建立变量与数形结合的函数思想。
学习重难点
重点：
1.区分常量与变量；
2.理解函数的概念与唯一对应关系；
3.会求函数值与自变量取值范围。
难点：
1.透彻理解函数“唯一对应”的本质，辨析非函数关系；
2.结合实际情境确定自变量取值范围。
第五章
一次函数
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知识点
常量和变量的概念
1. 变量和常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。
随学随练
1．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）小丁去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数
据，则其中的变量是（ ）
A．金额
B．数量
C．单价
D．金额和数量
2．（25-26 八年级下·贵州遵义·期中）某市居民用电价格是0.58元/千瓦时，居民应付电费为𝑦元，用电量
为𝑥千瓦时，其中（ ）
A．0.58，𝑥是常量，𝑦是变量
B．0.58是常量，𝑥，𝑦是变量
C．0.58，𝑦是常量，𝑥是变量
D．𝑥，𝑦是常量，0.58是变量
知识点
函数的概念
1. 函数：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确
定的值与之对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量。
2. 函数表达式：用等式表示函数与自变量之间的关系，这种等式叫作函数表达式，简称为函数式。用函数
表达式表示函数的方法也叫解析法。
随学随练
易错提醒
1）误认为数字一定是常量、字母一定是变量；
2）忽略前提条件，脱离变化过程判断常量与变量；
3）多个变量的问题中，分不清主动变化和随动变化的量。
特别提醒
核心关键：一个x 只能对应一个y，一个y 可以有多个x。
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1．（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期末）下列式子中y 不是x 的函数的是（ ）
A．𝑦= 5 −4𝑥
B．𝑦= 𝑥2
C．𝑦2 = −3𝑥
D．𝑦=
1
𝑥
2．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）一个水箱里装有30 升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2 升／分
钟，则水箱中剩余水量𝑄（升）与流出时间𝑡（分钟）的函数关系式是（ ）
A．𝑄= 0.2𝑡
B．𝑄= 30 −0.2𝑡
C．𝑡= 0.2𝑄
D．𝑡= 30 −0.2𝑄
知识点
函数的三种表示方法（重点）
1. 函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法。
定义
特点
备注
列表法
把自变量的所有取值与对
应的函数值列成一张表来
表示函数关系的方法
能具体地反映自变量与函数的数值对
应关系，在实际生活中应用非常广泛
解析法
用数学式子表示函数关系
的方法
准确地反映了函数与自变量之间的对
应规律，根据它可以由自变量的取值求
出相应的函数值，反之亦然
其中的数学式子叫作函
数表达式或函数解析式
图象法
用图象来表示两个变量间
的函数关系的方法
直观地反映函数值随自变量的变化而
变化的规律
随学随练
1．（25-26 八年级下·河南许昌·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度𝑦(cm)与所挂重物的质量
𝑥(kg)有下面的关系，那么弹簧总长𝑦(cm)与所挂重物𝑥(kg)之间的关系式为（ ）
𝑥(kg)
0
1
2
3
4
5
6
𝑦(cm)
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
A．𝑦= 𝑥+ 12
B．𝑦= 0.5𝑥+ 12
C．𝑦= 0.5𝑥+ 10
D．𝑦= 𝑥+ 10.5
2．（25-26 八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（ ）
易错提醒
1）列表法只能体现部分对应值，不能完全代表整体函数变化；
2）图象法中零散点不连线，无法体现连续变化规律；
3）三种方法混用解题时，信息对应错位。
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A．记录某病人一天内不同时刻的体温
B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量
C．用公式计算圆柱高h 一定的情况下的体积V 与底面半径r 之间的关系
D．展示某运动员在100 米比赛中速度随时间的变化
知识点
函数值与自变量的取值范围（重点）
1. 函数值：指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值。
2. 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13 中的x；
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零；
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义。
随学随练
1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）函数𝑦=
𝑥+1
𝑥−2自变量𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥≥−1
B．−1 ≤𝑥< 2
C．𝑥≥−1且𝑥≠2
D．𝑥≠2
2．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）在函数𝑦= −𝑥+ 1中，当𝑥= 3时，函数值𝑦=____________．
3．（25-26 八年级下·上海虹口·期末）已知𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥−2，且𝑓(2) = 4，那么实数k 的值为_______．
知识点
函数的图像（重点）
1. 函数的图像：把一个函数的自变量x 与函数𝑦的对应值分别作为点的横和纵坐标，在直角坐标系中描出
它的对应点，所有这些点所组成的图形叫作这个函数的图象。
2. 由函数表达式画函数图象的一般步骤：
①列表：列出自变量与函数的一些对应值；
②描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
③连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来。
特别提醒
自变量取值范围：使函数解析式有意义、且符合实际问题情境的自变量取值全体；代入自变量求出的
对应y 值即为函数值。
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随学随练
1．（25-26 八年级下·天津滨海新区·期末）下列各曲线中，变量𝑦不是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放
纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象能表示儿童离家距离与时间关系的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）探究函数𝑦= |𝑥−2|的图象和性质．
(1)补全列表：
𝑥
−2
−1
0
1
2
3
4
5
𝑦
4
2
1
0
1
3
(2)描点，并用平滑的曲线连接这些点；
特别提醒
图象上的点坐标满足解析式，满足解析式的点一定在图象上。
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(3)任意写一条该函数的性质．
拓展
函数三种表示方法优缺点对比
1. 列表法、解析法、图象法是函数唯一三种表示形式，三者各有优劣、互为补充，适用场景不同，核心
差异对比如下：
表示方法
核心优点
核心局限
列表法
直观展示自变量与函数的具体对应数值，贴
合实际生活场景，读取数据简单
只能呈现部分数值，无法反映整体变化规
律，不能展示连续变化过程
解析法
精准反映变量间的对应规律，可通用计算任
意自变量对应的函数值，逻辑严谨
抽象性强，无法直观观察函数整体变化趋
势，部分实际问题无法写出解析式
图象法
直观清晰，可直接观察函数随自变量的增减
变化、整体趋势
读数存在误差，无法精准获取精确数值，
只能定性分析无法精算
活学活用
1．（25-26 八年级下·重庆江津·期末）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ）
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A．若𝑦= √𝑥2，则𝑦是𝑥的函数
B．图1中，𝑦是𝑥的函数
C．图2中，ℎ是𝑡的函数
D．若𝑚、𝑛对应关系如下表，则𝑛是𝑚的函数
𝑚
−3
−2
−1
0
1
2
3
𝑛
−2
−3
−6
0
1
4
9
2．表示变量之间关系的方法有列表法、______、______．
3．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每
天造雪量𝑥（单位：m3）和造雪天数𝑦（单位：天）的关系______．
每天造雪量/m3
5000
5200
6500
…
造雪天数
52
50
40
…
拓展
自变量取值范围与核心易错点归纳
1. 函数概念核心易错：函数判定关键为“𝑥每一个确定值，𝑦有唯一确定值对应”，一对多不属于函数关
系，是判定函数的核心依据。
2. 代数式取值易错：分式结构需保证分母不为0；偶次根式需保证被开方数非负；无特殊结构的整式，自
变量可取全体实数。
3. 实际问题取值易错：纯代数式只需满足式子有意义，实际问题函数需额外符合现实逻辑（数量为正、
整数等），不可只看式子。
4. 画函数图象步骤易错：必须严格遵循“列表—描点—平滑连线”，连线需按自变量大小顺序连接，不
可折线、断点连接。
活学活用
1．在函数𝑦=
1
𝑥−3中，自变量𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥≠0
B．𝑥> 3
C．𝑥≠−3
D．𝑥≠3
2．在函数𝑦=
1
√2𝑥−4中，自变量𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥> 2
B．𝑥≥2
C．𝑥≠2
D．𝑥< 2
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题型
变量与常量的辨析
▌例1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）李明到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内
容，在购物过程中，他发现付款金额随购买矿泉水数量的变化而变化，则其中的常量是（ ）
A．数量
B．单价
C．金额和单价
D．金额和数量
▌例2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）若某个三角形一条边长为4，该边上的高为h，则这个三角形的
面积S 与h 之间的关系式为𝑆= 2ℎ，下列说法正确的是（ ）
A．h 是常量
B．2 是变量
C．S 是变量
D．S 是常量
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）在圆的周长公式𝐶= 2π𝑟中，变量是（ ）．
A．𝐶,π
B．𝐶, 𝑟
C．2,π
D．2, 𝑟
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）某市居民生活用水的价格为5 元/t，记某户的月用水量
为𝑥t，月应缴水费为y 元，其中的常量是（ ）
A．生活用水每吨的价格
B．某户的月用水量x
C．月应缴水费y
D．某户的月用水量x 和月应缴水费y
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）一个平行四边形的底边长为5，高ℎ可以任意改变，面积
为𝑆．其中变量是_________．
题型
函数的识别
解题贴士
在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量；结合实际情境，锁定变化过
程判断两类量。
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▌例1．（25-26 八年级下·河南许昌·期末）下列关系式中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．𝑦= −4𝑥+ 1 B．𝑦=
3
𝑥
C．𝑦2 = 8𝑥
D．𝑦= √𝑥−1
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·北京门头沟·期末）下列问题中的两个变量不是
．．函数关系的是（ ）
A．正方形面积随边长的变化而变化 B．一天内的时间随气温的变化而变化
C．某人的身高随年龄的变化而变化 D．时间不变，路程随速度的变化而变化
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖北宜昌·期末）下列关于变量𝑥、𝑦的关系，其中𝑦不是𝑥的函数的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·北京·期中）下列关于变量x，y 的关系式：①𝑦= 3𝑥−5；②𝑦= |𝑥|；
③𝑦2 = 2𝑥，其中，y 是x 的函数的是_____（填写序号）．
题型
函数的三种表达方法
▌例1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）一辆汽车以80 km/h的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程
𝑠(km)与所用的时间𝑡(h)之间的关系式为（ ）
A．𝑠= 80 −𝑡
B．𝑠=
𝑡
80
C．𝑠=
80
𝑡
D．𝑠= 80𝑡
▌对点练1-1．（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时
解题贴士
满足唯一对应关系：对于自变量x 的每一个确定的值，函数y 有唯一确定的值与之对应，即为函数；多
对一可以，一对多不是函数。
解题贴士
三种表达方式：解析式法、列表法、图象法；解析式法精准计算，列表法直观局部取值，图象法直观整
体变化趋势，可相互转化。
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间𝑡（单位：h）与出水速度𝑣（单位：t h
⁄ ，t表示吨）之间的关系如下表：
出水速度𝑣(t h
⁄ )
⁄
10
8
5
4
2
…
时间𝑡h
⁄
1
1.25
2
2.5
5
…
用式子表示𝑡与𝑣的关系为（ ）
A．𝑡= 5𝑣
B．𝑡= 10𝑣
C．𝑡=
𝑣
10
D．𝑡=
10
𝑣
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·福建漳州·期末）下列图象能近似地刻画苹果开始下落到落地前的过程中速
度与时间的关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）如图，某商场一辆购物车车身总长为1.2米，将购物车叠
放在一起，每增加一辆购物车，车身总长增加0.2米．用𝑦（米）表示叠放的购物车车身总长，用𝑥（辆）
表示叠放的购物车数量，则𝑦与𝑥之间的关系式为________．
题型
函数图象的识别
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▌例1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）下列图象中，表示𝑦是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）下列曲线中，表示𝑦与𝑥的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·重庆·期末）下列各曲线中，能表示y 是x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·四川绵阳·期末）下列表示𝑦与𝑥关系的图象中，𝑦不是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
解题贴士
作任意一条垂直于x 轴的直线，若这条直线与图象最多只有1 个交点，则y 是x 的函数；若存在竖线
和图象2 个或更多交点，就不是函数。
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题型
求自变量的取值范围
▌例1．（25-26 八年级下·河北石家庄·期中）下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是( )
A．𝑦= −3𝑥
B．𝑦= 4𝑥−1
C．𝑦=
6
𝑥
D．𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·吉林长春·期中）函数𝑦=
7
𝑥−3中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．𝑥> 3
B．𝑥< 3
C．𝑥≠3
D．𝑥= 3
▌对点练1-2．函数𝑦= √𝑥+1
𝑥的自变量x 的取值范围是（ ）
A．𝑥> −1且𝑥≠0 B．𝑥≥−1
C．𝑥> 0
D．𝑥≥−1且𝑥≠0
▌对点练1-3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数𝑦= −
2𝑥
𝑥−2中，自变量x 的取值范围是__________．
题型
求自变量的值或函数值
▌例1．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）变量𝑦与𝑥的关系式为𝑦= 2𝑥−1，当𝑥= 2时，𝑦的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
▌例2．（25-26 八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点𝑃(3,𝑏)在函数𝑦= 𝑥−
3
𝑥的图象上，则
𝑏=_____．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川绵阳·期末）下列各点在函数𝑦=
3
𝑥−1的图象上的是（ ）
A．(−1,2)
B．(1,3)
C．(2,3)
D．(3,2)
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）变量y 随x 变化的关系式如图所示，当x 从2 增加到4
时，y 的值增加了（ ）
解题贴士
分类型求解：①整式：全体实数；②分式：分母≠0；③二次根式：被开方数≥0。
解题贴士
已知自变量求函数值：直接代入解析式计算；已知函数值求自变量：列方程求解，舍去不在取值范围内
的根。
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A．3
B．4
C．5
D．6
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）电流通过导线会产生热量，电流𝐼（单位：A）、导线
电阻𝑅（单位：Ω）、通电时间𝑡（单位：s）与产生的热量𝑄（单位：J）满足𝑄= 𝐼2𝑅𝑡．已知电阻为5 Ω的
导线1s 时间产生20J 的热量，则电流𝐼的值是_______A．
题型
用描点法画函数图象
▌例1．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）根据学习函数图形的经验，数学社团对函数𝑦= |𝑥−1|开展了数
学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务．
(1)函数𝑦= |𝑥−1|自变量𝑥的取值范围是________；
(2)①函数𝑦= |𝑥−1|中𝑥、𝑦部分对应值如表所示，其中𝑎=________；
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
𝑦= |𝑥−1|
…
3
𝑎
1
0
1
2
3
…
②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
(3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究
函数𝑦= |𝑥−1|的图象性质．
(1)画出函数𝑦= |𝑥−1|的图象；
解题贴士
三步法：列表（取合适自变量值）→描点（对应坐标精准找点）→连线（平滑曲线/直线顺次连接）。
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第一步：列表
x
−3
−1
0
1
2
3
…
𝑦= |𝑥−1|
4
2
1
0
1
2
…
第二步：描点
第三步：连线
(2)写出三条函数𝑦= |𝑥−1|的性质；
(3)当−4 ≤𝑥≤2时，直接写出y 的取值范围．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）【发现问题】设定点𝐴是𝑥轴上表示−3的点，点𝑃为𝑥轴上
的一个动点，𝐴，𝑃两点的距离随着点𝑃的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述．
【提出问题】设动点𝑃(𝑥, 0)到𝐴点的距离为𝑦，探究𝑦与自变量𝑥之间的函数关系并研究其图象和性质．
【解决问题】
(1)填空：该函数的解析式为_________；
(2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象；
𝑥
…
−5
−4
−3
−2
−1
…
𝑦
…
0
…
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(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：
①________________；②________________；
(4)此函数图象与直线𝑦= 2的交点坐标是________________．
题型
从函数图象获取信息
▌例1．（25-26 八年级下·重庆涪陵·期末）音乐中旋律的音高会随时间发生变化，我们可以用平面直角坐
标系中的函数图象来刻画一段旋律的变化规律．下图是某段乐曲的音高y 随时间x 变化的图象，下列说法
正确的是（ ）
A．该图象不能表示y 是x 的函数 B．随着时间推移，音高一直在不断升高
C．时间发生改变，音高就一定会发生改变 D．存在一段时间，时间变化但音高保持不变
▌例2．（25-26 八年级下·福建福州·期末）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面
积𝑆与工作时间𝑡的函数关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)休息前，园林队绿化面积是多少？
(2)园林队中间休息了多长时间？
▌对点练1-1．（2026·广西南宁·三模）《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石
淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的
解题贴士
先明确横纵轴实际含义，读取端点、交点、拐点坐标，分析增减性、最值、变化快慢，结合行程、工程、
经济等情境解题。
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溶解度𝑠（单位：g）与温度𝑡（单位：°C）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ）
A．氯化钾的溶解度比的硝酸钾溶解度小
B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低
C．40 ≤𝑡≤60时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度大
D．溶解度为40g时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图
象，这一天气温最高的时刻是______时．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山西阳泉·期末）环卫工打扫公园，某天上午累计打扫面积𝑆(m2)与工作时
间𝑡(h)的函数关系图象如下．已知这天上午环卫工打扫中途休息了一段时间．由图象可知，环卫工休息之
后每小时打扫的面积为___________m2．
▌对点练1-4．（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图象表示甲、乙两车同时从A 地出发驶向B 地的
行驶时间和路程情况，请根据图象回答下列问题：
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(1)出发6 分钟后，甲、乙两车相距_____千米．
(2)甲车的速度是_______千米/分
(3)行驶4 千米的路程，甲车比乙车少用_____分钟．
(4)如果图象中表示甲车已经行驶到B 地，那么乙车在速度不变的情况下从A 地行驶到B 地一共需要_____
分钟．
(5)在（4）的条件下，如果甲车到达B 地后，按照原来的速度立即返回，则当乙车到达B 地时，甲乙两车
相距_____千米．
基础通关
1．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）在圆面积的计算公式𝑆= π𝑟2中，变量有（ ）
A．𝑆,π
B．π, 𝑟2
C．π, 𝑟
D．𝑆, 𝑟
2．水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为𝑅，圆周长为𝐶，下列关于等式𝐶= 2π𝑅的说法正确的是
（ ）
A．𝐶，π，𝑅是变量，2是常量
B．𝐶是变量，2，π，𝑅是常量
C．𝐶，𝑅是变量，2，π是常量
D．𝑅是变量，π，𝐶是常量
3．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）下列各曲线中不能表示𝑦是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
4．（25-26 八年级下·贵州遵义·期中）下列各点中，在函数𝑦= 2𝑥2 −5的图象上的是（ ）
A．(−1,3)
B．(0,1)
C．(1,−1)
D．(2,3)
5．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，小明出去散步，从家走了20 分钟到一个离家900 米的
报亭，他在报亭看报10 分钟，然后用15 分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的
关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关
系的创造性应用：小明制作了一个简单的漏刻模型，并实验发现每分钟水位上升的高度相同，水位ℎ(cm)
和时间𝑡(min)之间存在如下表所示的关系，6 min时对应的水位为________cm．
时间𝑡（min）
1
2
3
4
水位ℎ（cm）
2.4
2.8
3.2
3.6
7．（2026·江苏徐州·模拟预测）在函数𝑦=
2026
𝑥+1中，自变量𝑥的取值范围是_______．
8．（25-26 八年级下·湖南郴州·期末）小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某
种金属导体的电阻𝑅（单位：Ω）与温度𝑡（单位：°C）之间满足函数关系式𝑅= 0.6𝑡+ 8，当温度𝑡= 10°C
时，电阻𝑅=______Ω．
9．（25-26 八年级下·广东中山·期末）已知正方形的边长为x，则其周长y 关于边长x 的函数解析式为
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________．
10．（25-26 九年级下·江苏无锡·期中）小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回
家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程𝑠（单位：m）与时间𝑡（单位：min）
的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______m．
11．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）已知一个正方形的边长为𝑥 cm（𝑥> 0），这个正方形的周长为
𝑦 cm．
(1)求𝑦与𝑥之间的关系式；
(2)当𝑥= 3时，𝑦等于多少？
12．如图是一位病人从发烧到退烧过程中的体温变化(0h −24h)，观察图象的变化过程，回答下列问题：
(1)自变量是 ，因变量是 ；
(2)这个病人当天的最高体温是 ℃，最低体温是 ℃；
(3)若人体体温为37.5℃及以上时即为发烧，则这位病人发烧的时间段为几时到几时？
素养提升
1．（25-26 七年级下·江苏徐州·期末）如图是某日不同时刻气温𝑇(°C)与相对湿度𝐻(%)的预报信息，若
15 ≤𝑇≤25且40 ≤𝐻≤60适宜户外运动，则该日适宜户外运动的时段为（ ）
A．8 ≤𝑡≤10或16 ≤𝑡≤18
B．6 ≤𝑡≤12或16 ≤𝑡≤20
C．8 ≤𝑡≤10或16 ≤𝑡≤20
D．6 ≤𝑡≤12或16 ≤𝑡≤18
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2．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路
线前往．如图，𝑙1，𝑙2分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程𝑠/千米与所用的时间𝑡/时的关系，下列说
法错误的是（ ）
A．小斌比小明晚走2 小时 B．小斌的速度是小明速度的2 倍
C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10 千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明
3．（25-26 八年级下·山东日照·期末）下列图象分别给出了变量𝑥与𝑦之间的对应关系，其中𝑦不是𝑥的函数
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面
高度h 随时间t 的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
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5．（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐷= 10cm，点P 从点B 出
发，沿𝐵𝐴方向运动，经过D，C 两点到点B 停止，点P 的速度为2cm/s，𝑎𝑠时点P 改变速度，速度变为
𝑘cm/s．点P 运动过程中△𝐴𝐵𝑃的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所
示．
𝑎=__________，𝑏=__________，𝑘=__________．
6．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）如图（1）所示，把初温和质量相同的两种不同的液体用同一台红外
灯加热，根据实验数据绘制了如图（2）温度随时间变化的图象，则加热时间4分钟时，𝑎，𝑏两种液体的温
差为____________°C．
7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我
们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数𝑦= {
|𝑥+ 1|(𝑥≤1)
𝑏
𝑥+1 (𝑥> 1)
的图象与性质，探究过程如下，请补充
完整．
(1)列表：
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
m
1
0
1
2
4
3
n
4
5
…
其中，𝑚= ，𝑛= ．
(2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的
点，如图所示，请画出函数的图象．根据函数图象，写出该图像的一条性质
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(3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点𝐴(
7
2 , 𝑦1)，𝐵(5,𝑦2)，𝐶(𝑥1, 4)，𝐷(𝑥2,6)在函数图象上，则𝑦1 𝑦2，𝑥1 𝑥2；（填“>”，“=”或
“<”）
②当函数值𝑦= 1时，则𝑥= ．
(4)若直线𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑡与函数图象有且只有三个交点，请直接写出t 的取值范围．
8．（25-26 七年级下·甘肃定西·期末）为了研究气温对防晒衣销售的影响，网上一家服装店经过一段时间
的统计，得到一组卖出的防晒衣件数与当天最高气温的数据，如表所示：
最高气温/℃
25
26
27
28
29
30
31
32
33
防晒衣件数
13
16
18
22
25
27
31
35
38
用趋势图描述这家服装店一天中卖出的防晒衣的件数与当天的最高气温之间的关系，并根据所做的趋势
图，估计当一天的最高气温为35℃时，服装店卖出的防晒衣为多少件．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开
始．如果把学习后的时间记为𝑥（时），记忆留存率记为𝑦（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所
示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
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(1)𝑦是关于𝑥的函数吗？为什么？
(2)根据图象，写出记忆留存率𝑦随学习后的时间𝑥的变化规律；
(3)小明同学第一次记忆了30个英语单词，请估算第一次学习后的24小时，小明大约能回忆起多少个单词
（结果精确到个位）；
(4)根据艾宾浩斯遗忘曲线所揭示的规律，对于新事物学习，请你提出一条合理的建议．
2．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）项目式学习
主
题
立足数学视角，对经典《龟兔赛跑》故事展开观察、探究与描述
重
温
龟兔从起点同时出发，兔子很快遥遥领先．望着步履迟缓的乌龟，兔子心生骄矜，卧于树荫
沉沉睡去．一觉惊醒，乌龟已然逼近终点，兔子拼尽全力疾驰追赶，却终究错失先机，乌龟
率先到达终点，取得了比赛的胜利．
探
究
若用𝑥表示从起点出发所行的时间，𝑦1、𝑦2表示兔子、乌龟所行的路程，其大致图象如图1．
任务
(1)比赛的总长度有多长？兔子中途一共休息了多久？
(2)乌龟爬到兔子睡觉的阴凉处，用了多长的时间？
(3)结合图2或图3所示的图象所体现的路程、时间变化特征，对《龟兔赛跑》原作进行合理改编，使得故事
发展过程，和图象呈现的数据变化特征吻合（选择一个图象进行改编，有关的数据要在故事中呈现）．
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