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5.2 一次函数的意义
课标要点
1.理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两种函数的一般解析式形式。
2.明确正比例函数与一次函数的包含关系，能准确区分、辨别两类函数。
3.能根据定义判断函数是否为一次函数或正比例函数，会利用定义求参数的值。
4.能结合简单实际情境列一次函数解析式，初步感知一次函数模型。
学习重难点
重点：
1.掌握一次函数、正比例函数的定义与一般形式；
2.准确辨析一次函数与正比例函数；
3.根据定义判定函数类型、求解参数。
难点：
1.理解一次函数中k≠0、b 为任意常数的限定条件；
2.区分含参数式子的函数类型，规避参数取值遗漏条件；
3.结合实际情境正确列出一次函数关系式。
知识点
一次函数的概念
1. 一次函数：一般地，函数y＝kx+b（k、b 都是常数，且k≠0），叫作一次函数。
2. 正比例函数：形如y＝kx（k 是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k 叫做比例系数。
第五章
一次函数
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随学随练
1．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A．𝑦= 𝑥2 + 2
B．𝑦= 𝑥+ 1
C．𝑦=
2
𝑥−3
D．𝑦=
1
𝑥
【答案】B
【分析】一次函数的定义为：形如𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏为常数，且𝑘≠0）的函数叫做一次函数．
【详解】解：A、𝑦= 𝑥2 + 2中，自变量𝑥的次数为2，不符合一次函数定义；
B、𝑦= 𝑥+ 1，符合𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的形式，其中𝑘= 1，𝑏= 1，满足𝑘≠0，符合一次函数定义；
C、𝑦=
2
𝑥−3不是整式形式，不符合一次函数定义；
D、𝑦=
1
𝑥不是整式形式，不符合一次函数定义．
2．若y 关于x 的函数𝑦= (5 + 𝑚)𝑥+ |𝑚| −5是正比例函数，则m 的值为（ ）
A．±5
B．5
C．−5
D．0
【答案】B
【分析】正比例函数要求常数项为0，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可得到𝑚的值．
【详解】解：∵ 𝑦= (5 + 𝑚)𝑥+ |𝑚| −5是正比例函数，
∴ 5 + 𝑚≠0，|𝑚| −5 = 0，
解5 + 𝑚≠0得𝑚≠−5，
解|𝑚| −5 = 0，得𝑚= 5或𝑚= −5，
综上可得，m 的值为5．
知识点
待定系数法求解析式（重点）
1.待定系数法求解析式的步骤：
①设所求的一次函数表达式为y＝kx+b，其中k，b 是待确定的常数，k≠0；
②把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y＝kx+b，得到关于k，b 的二元一次方程组；
易错提醒
1）忽略𝑘≠0前提，𝑘= 0时变为常函数，不再是一次函数；
2）自变量在分母、根号内的式子不是一次函数；
3）误认为一次函数就是正比例函数，混淆包含关系；
4）误判化简后式子，只看原式不看最简形式。
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③解这个关于k，b 的二元一次方程组，求出k，b 的值；
④把求得的k，b 的值代入y＝kx+b，就得到所求的一次函数表达式。
这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。
随学随练
1．（25-26 八年级下·湖北·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，当𝑥= 1时，𝑦= 5；当𝑥= −1时，𝑦= 1．求一
次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的解析式．
【答案】𝑦= 2𝑥+ 3
【分析】将已知两对𝑥与𝑦的值代入一次函数解析式即可求出𝑘与𝑏的值．
【详解】把𝑥= 1时，𝑦= 5；𝑥= −1时，𝑦= 1分别代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中，
得：{ 𝑘+ 𝑏= 5
−𝑘+ 𝑏= 1
，
解得：{𝑘= 2
𝑏= 3
，
∴一次函数解析式为𝑦= 2𝑥+ 3．
2．（2026·新疆和田·模拟预测）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象过点(0,2)和
(1,3)，求k、b 的值．
【答案】𝑘= 1, 𝑏= 2
【分析】利用待定系数法求解即可．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象过点(0,2)和(1,3)，
∴{𝑘+ 𝑏= 3
𝑏= 2
，
∴{𝑘= 1
𝑏= 2
．
拓展
一次函数与正比例函数从属及概念对比
易错提醒
1）设式错误，求正比例函数多设𝑏，或一次函数漏写𝑏；
2）代入坐标时横纵坐标代反；
3）解方程计算出错，符号正负混乱；
4）求出系数后不回代、不写最终解析式；
5）忽略题目隐含条件限制𝑘≠0。
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对比维度
一次函数
正比例函数
解析式形式
𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（k、b 为常数，𝑘≠0） 𝑦= 𝑘𝑥（k 为常数，𝑘≠0）
参数取值
k 不为0，b 可取任意常数
k 不为0
从属关系
通用函数，包含正比例函数
特殊的一次函数（常数项为0）
函数特征
变量为一次整式，存在常数项
变量为一次整式，无常数项，图象必过原点
活学活用
1．下列函数关系式：①𝑦= −8𝑥；②𝑦= −
7
𝑥；③𝑦= 𝑥+ 1；④𝑦= −5𝑥2 + 1；⑤𝑦= 0.5𝑥−3，一次
函数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】形如𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0, 𝑘, 𝑏是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可；
【详解】解：①𝑦= −8𝑥，③𝑦= 𝑥+ 1，⑤𝑦= 0.5𝑥−3均为一次函数；
②𝑦= −
7
𝑥中𝑥的次数为−1，不是一次函数；④𝑦= −5𝑥2 + 1中𝑥的最高次数为2，不是一次函数；综上，
一次函数共有3 个；
2．若𝑦−5与x 成正比例，则y 是x 的（ ）
A．正比例函数
B．一次函数
C．其他函数
D．不存在函数关系
【答案】B
【分析】根据正比例的定义列出关系式，整理后结合一次函数的定义判断函数类型．
【详解】解：∵𝑦−5与x 成正比例，
∴设𝑦−5 = 𝑘𝑥（𝑘≠0，k 为常数），
∴𝑦= 𝑘𝑥+ 5，
∵𝑘≠0，符合一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0，b 为常数）的定义，
∴y 是x 的一次函数．
3．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．
1
𝑥= 𝑦
B．𝑥=
1
𝑦
C．𝑦= 2𝑥+ 2𝑥
D．𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛（𝑚，𝑛是常数）
【答案】C
【分析】本题考查一次函数的定义，解题的关键是掌握形如𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0，𝑘、𝑏是常数）的函数，叫
做一次函数．
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根据一次函数的定义逐一判断即可．
【详解】解：A、
1
𝑥= 𝑦，即𝑦=
1
𝑥，不是一次函数，故此选项不符合题意；
B、𝑥=
1
𝑦，即𝑦=
1
𝑥，不是一次函数，故此选项不符合题意；
C、𝑦= 2𝑥+ 2𝑥= 4𝑥，即𝑦= 4𝑥，符合𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘= 4 ≠0，𝑏= 0），是一次函数，故此选项符合题
意；
D、𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛（𝑚，𝑛是常数），但未指定𝑚≠0，当𝑚= 0时，𝑦= 𝑛是常数函数，不是一次函数，因此
不一定是一次函数，故此选项不符合题意．
故选：C．
拓展
易错点归纳
1. 参数取值易错：无论是一次函数还是正比例函数，k≠0 是硬性前提，若k=0，式子变为常函数，不再
是一次函数。
2. 概念判定易错：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当一次函数中𝑏=
0时，才为正比例函数。
3. 解题条件易错：待定系数法求解析式必须有两组点坐标，仅有一组坐标无法解出两个参数，无法确定
唯一函数。
4. 解析式形式易错：判定一次函数时，必须化简为标准整式形式，含分母、根号、负指数的式子，不属
于一次函数。
活学活用
1．已知一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象经过点(𝑚, 3)，下列也在一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象上的点是（ ）
A．(−1,−1)
B．(0,0)
C．(1,1)
D．(2,1)
【答案】A
【分析】先求参数𝑚确定函数解析式，再验证各选项的点是否满足解析式．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象经过点(𝑚, 3)，
∴3 = 2𝑚+ 𝑚，解得𝑚= 1，
∴一次函数解析式为𝑦= 2𝑥+ 1，
当𝑥= −1时，𝑦= 2 × (−1) + 1 = −1，点(−1,−1)在一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象上，
当𝑥= 0时，𝑦= 2 × 0 + 1 = 1，点(0,0)不在一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象上，
当𝑥= 1时，𝑦= 2 × 1 + 1 = 3，点(1,1)不在一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象上，
当𝑥= 2时，𝑦= 2 × 2 + 1 = 5，点(2,1)不在一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象上．
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2．已知𝑦与𝑥−3成正比例，当𝑥= 5时，𝑦= 8，则𝑦关于𝑥的函数解析式为________．
【答案】
𝑦= 4𝑥−12
【分析】根据𝑦与𝑥−3成正比例，设出函数解析式，再将已知𝑥, 𝑦的值代入求出比例系数，整理即可得到𝑦
关于𝑥的函数解析式．
【详解】∵𝑦与𝑥−3成正比例，
∴设𝑦= 𝑘(𝑥−3)(𝑘≠0)，
将𝑥= 5,𝑦= 8代入解析式得
8 = 𝑘(5 −3)，
解得 𝑘= 4，
将𝑘= 4代入所设解析式得𝑦= 4(𝑥−3) = 4𝑥−12，
故答案为 𝑦= 4𝑥−12．
3．已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式．
【答案】𝑦=
3
2 𝑥−3
【详解】解：设这个一次函数的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0），
由图象可得，一次函数的图象经过点(2,0)和点(0, −3)，
将两个点的坐标代入函数表达式，得{2𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= −3
，
解得：{ 𝑘=
3
2
𝑏= −3
，
因此这个一次函数的表达式为𝑦=
3
2 𝑥−3．
题型
一次函数与正比例函数的识别
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▌例1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示𝑦是𝑥的正比例函数的是（ ）
A．𝑦= 2𝑥−1
B．𝑦= 𝑥2
C．𝑦=
1
𝑥
D．𝑦=
1
2 𝑥
【答案】D
【分析】本题考查正比例函数的定义，只需根据正比例函数的定义，逐一判断各选项函数的形式即可得到
结果．
【详解】解：根据定义，形如𝑦= 𝑘𝑥（𝑘为常数，且𝑘≠0）的函数叫做𝑦关于𝑥的正比例函数，
∵ 𝑦= 2𝑥−1是一次函数，常数项不为0，不符合正比例函数定义，排除A；
∵ 𝑦= 𝑥2是二次函数，𝑥的次数为2，不符合定义，排除B；
∵ 𝑦=
1
𝑥是反比例函数，不符合定义，排除C；
∵ 𝑦=
1
2 𝑥符合𝑦= 𝑘𝑥的形式，且𝑘=
1
2 ≠0，满足正比例函数定义；
∴ 选D．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．𝑦=
1
𝑥
B．𝑆= π𝑟2
C．𝑦= 50 −0.1𝑥
D．𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义：形如𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏为常数，且𝑘≠0）的函数为一次函数，逐一分析选
项即可求解．
【详解】解：A、𝑦=
1
𝑥，不是一次函数，不符合题意；
B、𝑆= π𝑟2中，不是一次函数，不符合题意；
C、𝑦= 50 −0.1𝑥，符合𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的形式，其中𝑘= −0.1 ≠0，符合题意；
D、𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏未明确𝑘≠0，若𝑘= 0则不是一次函数，不符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A．𝑦= 2𝑥2 + 1
B．𝑦= −4𝑥
C．𝑦= 3𝑥+ 1
D．𝑦=
6
𝑥
【答案】C
【分析】本题考查一次函数与正比例函数的定义，一次函数的定义为形如𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘，𝑏为常数，𝑘≠
0，自变量次数为1）的函数，正比例函数是形如𝑦= 𝑘𝑥（𝑘为常数，𝑘≠0）的函数，即常数项𝑏= 0的一
次函数，根据定义逐一判断选项即可．
解题贴士
1）形如y＝kx+b（k、b 都是常数，且k≠0）是一次函数，y＝kx（k 是常数，k≠0）是正比例函数；
2）只需化简式子，判断自变量次数为1、系数不为0 即可识别。
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【详解】解：
选项A 中，𝑦= 2𝑥2 + 1自变量𝑥的次数为2，不是一次函数，不符合要求；
选项B 中，𝑦= −4𝑥是正比例函数，不符合“不是正比例函数”的要求；
选项C 中，𝑦= 3𝑥+ 1符合一次函数定义，且常数项1 ≠0，因此是一次函数但不是正比例函数，符合要
求；
选项D 中，𝑦=
6
𝑥分母含有自变量，不是一次函数，不符合要求；
故选C．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广西桂林·期中）有下列函数：①𝑦= π𝑥；②𝑦=
𝑥
2 −1；③𝑦=
1
𝑥；④𝑦=
−3𝑥；⑤𝑦= 𝑥2 −1．其中是一次函数的有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】一次函数的定义为：形如𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（k，b 为常数，𝑘≠0）的函数叫做一次函数，当𝑏= 0时，
为正比例函数，是特殊的一次函数根据一次函数的定义形式，逐一判断各函数即可得到结果．
【详解】∵① 𝑦= 𝜋𝑥 符合一次函数定义，是一次函数；
② 𝑦=
𝑥
2 −1，符合一次函数定义，是一次函数；
③𝑦=
1
𝑥，是反比例函数，不符合一次函数定义，不是一次函数；
④ 𝑦= −3𝑥符合一次函数定义，是一次函数；
⑤𝑦= 𝑥2 −1中x 的次数为2，是二次函数，不是一次函数；
∴一次函数共有3 个．
题型
根据正比例函数的定义求参数
▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量𝑥，𝑦的函数𝑦= −7𝑥+ 𝑚−2是正比例函数，则𝑚
的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．−1
【答案】A
【分析】形如𝑦= 𝑘𝑥（𝑘为常数且𝑘≠0）的函数是正比例函数，要求常数项为0，据此列方程求解即可．
【详解】解：∵函数𝑦= −7𝑥+ 𝑚−2是正比例函数，
解题贴士
根据正比例函数定义列双重条件：①自变量次数为1；②常数项为0；③比例系数𝑘≠0，联立求解参数，
舍去使𝑘= 0的解。
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∴常数项满足𝑚−2 = 0，
解得𝑚= 2．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）如果𝑦= 3𝑥+ 𝑎+ 1是关于x 的正比例函数，则a 的值是
（ ）
A．0
B．
1
3
C．−1
D．1
【答案】C
【分析】根据正比例函数的标准形式得到常数项为0，列方程求解a 的值．
【详解】解：∵𝑦= 3𝑥+ 𝑎+ 1是关于x 的正比例函数，
∴𝑎+ 1 = 0，
解得 𝑎= −1．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期中）已知𝑦= (𝑘−3)𝑥+ 𝑘2 −9是关于x 的正比例函数，当𝑥=
−4时，y 的值为______．
【答案】24
【分析】根据正比例函数的定义，解析式形如𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)的函数是正比例函数，据此求出𝑘的值，得到
函数解析式，再代入𝑥= −4计算得到𝑦的值.
【详解】解：∵函数𝑦= (𝑘−3)𝑥+ 𝑘2 −9是关于𝑥的正比例函数
∴𝑘−3 ≠0,且𝑘2 −9 = 0，
解得：𝑘= −3，
∴𝑦= −6𝑥
当𝑥= −4时，𝑦= 24．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·上海闵行·期中）如果函数𝑦= 𝑘(𝑥−1) + 2是正比例函数，那么常数𝑘的值
是___________．
【答案】2
【分析】正比例函数的解析式的形式为𝑦= 𝑚𝑥(𝑚≠0)，先将题目给出的函数整理为一般形式，令常数项
为0，且一次项系数不为0，即可求出𝑘的值．
【详解】解：∵函数𝑦= 𝑘(𝑥−1) + 2 = 𝑘𝑥−𝑘+ 2是正比例函数，
∴{
𝑘≠0
−𝑘+ 2 = 0
，
∴𝑘= 2．
题型
根据一次函数的定义求参数
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▌例1．（25-26 八年级下·北京门头沟·期末）如果函数𝑦= (𝑚−2)𝑥−1是关于𝑥的一次函数，那么𝑚的取值
范围是（ ）
A．𝑚≠0
B．𝑚< 2
C．𝑚≠2
D．𝑚> 2
【答案】C
【分析】根据一次函数定义，自变量x 的系数不为0，据此列不等式即可求出m 的取值范围．
【详解】解：由题意𝑚−2 ≠0，
解得𝑚≠2．
▌例2．（25-26 八年级下·上海青浦·期中）已知函数𝑦= (𝑚−1)𝑥|𝑚| −2是关于𝑥的一次函数，则𝑚的值为
_____．
【答案】−1
【分析】根据一次函数的定义可得𝑥的指数为1，且𝑚−1 ≠0求解即可．
【详解】解：∵函数𝑦= (𝑚−1)𝑥|𝑚| −2是关于𝑥的一次函数，
∴|𝑚| = 1且𝑚−1 ≠0
∴𝑚= −1．
▌例3．（25-26 八年级上·陕西汉中·期中）已知函数𝑦= (𝑚−5)𝑥𝑚2−24 + 𝑛−4．
(1)若它是一次函数，求m 的值；
(2)若它是正比例函数，求(𝑚+ 𝑛)2025的值
【答案】(1)−5
(2)−1
【分析】此题主要考查了一次函数以及正比例函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．
（1）当函数𝑦= (𝑚−5)𝑥𝑚2−24 + 𝑛−4是一次函数时，x 的系数𝑚−5 ≠0，次数𝑚2 −24 = 1求解即可；
（2）根据正比例函数的定义，在满足（1）中一次函数关于𝑚的条件的同时，还需满足常数项为0，即𝑛−4 =
0，求解𝑚, 𝑛的值代入即可．
【详解】（1）解：∵函数𝑦= (𝑚−5)𝑥𝑚2−24 + 𝑛−4是一次函数，
∴𝑚−5 ≠0，𝑚2 −24 = 1，
解得𝑚≠5，𝑚= ±5，
∴𝑚= −5；
（2）∵函数𝑦= (𝑚−5)𝑥𝑚2−24 + 𝑛−4是正比例函数，
解题贴士
紧扣一次函数定义：自变量次数为1，且一次项系数𝑘≠0，常数项无限制；列方程求参数，剔除使系数
为0 的取值。
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∴𝑛−4 = 0，
∴𝑛= 4，
由（1）知𝑚= −5，
∴(𝑚+ 𝑛)2025 = (−5 + 4)2025 = (−1)2025 = −1．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）若函数𝑦= (𝑚−1)𝑥|𝑚| + 9是一次函数，则𝑚的值为
（ ）
A．1
B．2
C．−1
D．±1
【答案】C
【分析】一次函数要求自变量的次数为1，且一次项系数不为0，据此列出条件计算即可．
【详解】解：∵𝑦= (𝑚−1)𝑥|𝑚| + 9是一次函数，
∴𝑚−1 ≠0, |𝑚| = 1，
解得𝑚= −1．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江苏南通·期中）当𝑘=_____时，一次函数𝑦= (𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 −1的图象经
过原点．
【答案】−1
【分析】根据一次函数的定义，一次项系数不为0，再结合函数图象经过原点，即原点坐标满足函数解析
式，代入求解即可得到𝑘的值．
【详解】解：∵一次函数𝑦= (𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 −1的图象经过原点(0,0)，
∴将𝑥= 0，𝑦= 0代入函数解析式得0 = (𝑘−1) × 0 + 𝑘2 −1，
解得：𝑘= ±1，
∵该函数为一次函数，一次项系数不能为0，
∴𝑘−1 ≠0，
∴𝑘≠1，
∴𝑘= −1．
▌对点练1-3．已知𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2−|𝑚| + 𝑛+ 5．当m，n 满足条件____________时，𝑦是𝑥的一次函数；当
m，n 满足条件____________时，𝑦是𝑥的正比例函数．
【答案】 𝑚= 1，n 为任意实数 𝑚= 1，𝑛= −5
【分析】本题主要考查了通过一次函数和正比例函数求参数，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的
定义．
根据一次函数和正比例函数的定义，分别要求指数为1、系数不为零，且正比例函数还需常数项为零，进
行求解即可．
【详解】解：①当函数为一次函数时，2 −|𝑚| = 1且系数𝑚+ 1 ≠0，𝑛为任意实数，
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解得𝑚= 1或𝑚= −1（舍去），
∴𝑚= 1，
故答案为：𝑚= 1，n 为任意实数；
②当函数为正比例函数时，2 −|𝑚| = 1、系数𝑚+ 1 ≠0，且常数项𝑛+ 5 = 0，
解得𝑚= 1或𝑚= −1（舍去），𝑛= −5，
∴𝑚= 1，𝑛= −5，
故答案为：𝑚= 1，𝑛= −5．
▌对点练1-4．已知函数𝑦= (4 −2𝑚)𝑥|𝑚−1| + (𝑛+ 3)．
(1)m 的取值满足什么条件时，y 是x 的一次函数？
(2)m，n 的取值满足什么条件时，y 是x 的正比例函数？
【答案】(1)𝑚= 0
(2)𝑚= 0、𝑛= −3
【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识,
（1）根据一次函数的定义可得|𝑚−1| = 1且4 −2𝑚≠0，求解即可获得答案；
（2）根据正比例函数的定义可得|𝑚−1| = 1且4 −2𝑚≠0，且𝑛+ 3 = 0，求解即可获得答案．
【详解】（1）解：由题意得|𝑚−1| = 1且4 −2𝑚≠0，
解|𝑚−1| = 1，可得𝑚−1 = ±1，
∴𝑚= 0或𝑚= 2，
解4 −2𝑚≠0，可得𝑚≠2，
∴当𝑚= 0时函数𝑦= (4 −2𝑚)𝑥|𝑚−1| + (𝑛+ 3)是一次函数；
（2）由题意得|𝑚−1| = 1且4 −2𝑚≠0，且𝑛+ 3 = 0，
解|𝑚−1| = 1，可得𝑚−1 = ±1，
∴𝑚= 0或𝑚= 2，
解4 −2𝑚≠0，可得𝑚≠2，
解𝑛+ 3 = 0，可得𝑛= −3，
综上所述，当𝑚= 0、𝑛= −3时，函数𝑦= (4 −2𝑚)𝑥|𝑚−1| + (𝑛+ 3)是正比例函数．
题型
求一次函数自变量或函数值
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▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数𝑦= 2𝑥−1，下列各点在函数𝑦= 2𝑥−1的
图象上的是（ ）
A．(−2.5,4)
B．(1,3)
C．(2.5,4)
D．(3,2)
【答案】C
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，若点在一次函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，
将各选项点的横坐标代入解析式计算出y 值，和点的纵坐标对比即可得到答案.
【详解】将各选项坐标依次代入𝑦= 2𝑥−1验证：
选项A，把𝑥= −2.5代入得𝑦= 2 × (−2.5) −1 = −6，∵−6 ≠4，∴该点不在函数图象上；
选项B，把𝑥= 1代入得𝑦= 2 × 1 −1 = 1，∵1 ≠3，∴该点不在函数图象上；
选项C，把𝑥= 2.5代入得𝑦= 2 × 2.5 −1 = 4，∵4 = 4，∴该点在函数图象上；
选项D，把𝑥= 3代入得𝑦= 2 × 3 −1 = 5，∵5 ≠2，∴该点不在函数图象上．
▌例2．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）在函数𝑦= 2𝑥+ 3中，当𝑥= 1时，y 的值为__________．
【答案】5
【分析】将𝑥= 1代入函数解析式计算即可得到𝑦的值.
【详解】解：把𝑥= 1代入函数𝑦= 2𝑥+ 3，得 𝑦= 2 × 1 + 3 = 5.
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）若点𝐴(2, 𝑚)在函数𝑦= −2𝑥的图象上，则m 的值是（ ）
A．4
B．2
C．−2
D．−4
【答案】D
【分析】若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点A 的横坐标代入解析式即可求出m 的值．
【详解】解：∵点𝐴(2,𝑚)在函数𝑦= −2𝑥的图象上，
∴将𝑥= 2代入解析式𝑦= −2𝑥，可得𝑚= −2 × 2 = −4．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建泉州·期中）已知y 是x 的正比例函数，且当𝑥= 2时，𝑦= −6，当𝑥=
−3时，y 的值为（ ）
A．6
B．−6
C．9
D． −9
【答案】C
【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x 的值计算y
即可．
【详解】解：∵y 是x 的正比例函数，
解题贴士
已知自变量，直接代入解析式求𝑦；已知函数值，列一元一次方程求𝑥；存在取值范围时，舍去超出范围
的解。
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∴设函数解析式为𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)，
将𝑥= 2，𝑦= −6代入解析式得：−6 = 2𝑘，
解得𝑘= −3，
∴函数解析式为𝑦= −3𝑥，
当𝑥= −3时，𝑦= −3 × (−3) = 9．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）若一次函数𝑦= 2𝑥−5的图象过点(2,𝑎)，则
𝑎=________．
【答案】−1
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点(2,𝑎)代入一次函数解析式，即可求出𝑎的值．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 2𝑥−5的图象过点(2, 𝑎)，
∴将𝑥= 2，𝑦= 𝑎代入𝑦= 2𝑥−5得𝑎= 2 × 2 −5
计算得𝑎= −1．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）若点(𝑎, 𝑏)在直线𝑦= −2𝑥+ 4上，则代数式2𝑎+ 𝑏−2的值
是______．
【答案】2
【分析】将点(𝑎, 𝑏)代入直线解析式，得到2𝑎+ 𝑏= 4，再整体代入计算求值即可．
【详解】解：∵点(𝑎, 𝑏)在直线𝑦= −2𝑥+ 4上，
∴𝑏= −2𝑎+ 4，
移项得2𝑎+ 𝑏= 4，
∴2𝑎+ 𝑏−2 = 4 −2 = 2．
题型
求一次函数解析式
▌例1．（25-26 八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象经过𝐴(2,4),𝐵(0,2)两点，
求k、b 的值．
【答案】k、b 的值分别为1、2．
【分析】将两个点的坐标代入函数关系式得出二元一次方程组，再解方程组求出解即可．
解题贴士
易错：①正比例函数误设为 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，多此一举且易出错；②代点坐标时代错横、纵坐标；③两点
坐标代入顺序混乱导致符号错误。
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【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝐴(2,4), 𝐵(0,2)，
∴{2𝑘+ 𝑏= 4
𝑏= 2
，
解得{𝑘= 1
𝑏= 2
，
即k、b 的值分别为1、2．
▌例2．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）已知：𝑦−3 = 𝑘(𝑥+ 1)，且𝑥= 2时，𝑦= 6．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若点(𝑎, 2)在这个函数的图象上，求a 的值．
【答案】(1)𝑦= 𝑥+ 4
(2)𝑎= −2
【分析】（1）将已知的𝑥、𝑦值代入𝑦−3 = 𝑘(𝑥+ 1)中，求出𝑘的值，再将𝑘代回原式，整理得到𝑦与𝑥的函
数关系式．
（2）将点(𝑎, 2)代入（1）中求得的函数关系式中，解关于𝑎的一元一次方程，求出𝑎的值．
【详解】（1）解：当𝑥= 2，𝑦= 6时，6 −3 = 𝑘(2 + 1)
解得𝑘= 1，
将𝑘= 1代入𝑦−3 = 𝑘(𝑥+ 1)，
∴𝑦= 𝑥+ 4，
∴𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦= 𝑥+ 4．
（2）解：将点(𝑎, 2)代入𝑦= 𝑥+ 4，得2 = 𝑎+ 4，
解得𝑎= −2，
∴𝑎的值为−2．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知y 与𝑥+ 2成正比例，且它的图象经过点(−1,2)．
(1)求y 与x 之间的函数解析式；
(2)若点𝐴(𝑎, 7 −𝑎)在此函数图象上，求点A 的坐标．
【答案】(1)𝑦= 2𝑥+ 4
(2)(1,6)
【分析】（1）先设正比例解析式，代入已知点求出系数，得到函数式即可；
（2）把点𝐴的坐标代入函数式，解出𝑎，得到点𝐴的坐标
【详解】（1）解：设𝑦= 𝑘(𝑥+ 2)（𝑘≠0），
将𝑥= −1，𝑦= 2代入𝑦= 𝑘(𝑥+ 2)中，
可得：2 = 𝑘(−1 + 2)，即2 = 𝑘× 1，解得𝑘= 2，
则𝑦与𝑥之间的函数解析式为𝑦= 2𝑥+ 4；
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（2）解：因为点𝐴(𝑎, 7 −𝑎)在此函数图象上，
所以7 −𝑎= 2𝑎+ 4，解得𝑎= 1，
所以点A 的坐标为(1,6)．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）已知关于𝑥的一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 4𝑚−2(𝑚≠0)的图象经
过原点．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点𝐴(𝑎, 2)在该函数图象上，求a 的值．
【答案】(1)𝑦=
1
2 𝑥
(2)𝑎= 4
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：
（1）将(0,0)代入𝑦= 𝑚𝑥+ 4𝑚−2(𝑚≠0)求解𝑚即可；
（2）将点𝐴(𝑎, 2)代入（1）中求解的函数解析式，即可求解𝑎．
【详解】（1）解：∵关于𝑥的一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 4𝑚−2(𝑚≠0)的图象经过原点，
∴将(0,0)代入𝑦= 𝑚𝑥+ 4𝑚−2(𝑚≠0)，
则4𝑚−2 = 0，
解得𝑚=
1
2
∴该函数的表达式为𝑦=
1
2 𝑥；
（2）解：若点𝐴(𝑎, 2)在该函数图象上，
则
1
2 𝑎= 2，
解得𝑎= 4．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象过点𝐴(1,2)和点
𝐵(2,3)
(1)求一次函数解析式；
(2)若点𝑃(𝑡,
1
𝑡)在此函数图象上，求代数式𝑡4 +
1
𝑡4 + 1的值．
【答案】(1)𝑦= 𝑥+ 1
(2)8
【分析】（1）把点𝐴(1,2)和点𝐵(2,3)代入一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)求解即可；
（2）把点𝑃(𝑡,
1
𝑡)代入一次函数得到𝑡+ 1 =
1
𝑡，即𝑡−
1
𝑡= −1，等式两边同时平方得𝑡2 −2 +
1
𝑡2 = 1，即𝑡2 +
1
𝑡2 = 3，进而得到𝑡4 +
1
𝑡4 = 7，即可求出𝑡4 +
1
𝑡4 + 1的值．
【详解】（1）解：把点𝐴(1,2)和点𝐵(2,3)代入一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)中，
得：{ 𝑘+ 𝑏= 2
2𝑘+ 𝑏= 3
，
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解得：{𝑘= 1
𝑏= 1
，
∴一次函数解析式为𝑦= 𝑥+ 1；
（2）解：把点𝑃(𝑡,
1
𝑡)代入一次函数𝑦= 𝑥+ 1中得𝑡+ 1 =
1
𝑡，
移项得𝑡−
1
𝑡= −1，
等式两边同时平方得𝑡2 −2 +
1
𝑡2 = 1，
∴𝑡2 +
1
𝑡2 = 3，
等式两边同时平方得𝑡4 + 2 +
1
𝑡4 = 9，
∴𝑡4 +
1
𝑡4 = 7，
∴𝑡4 +
1
𝑡4 + 1 = 8．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·湖南张家界·期末）已知𝑦与𝑥+ 1成正比例关系，且当𝑥= 2时，𝑦= 6．
(1)求出𝑦与𝑥之间的函数解析式；
(2)若点𝑃(𝑎, −4)在这个函数的图象上，求𝑎的值．
(3)若𝑦的取值范围为−4 ≤𝑦≤4，求𝑥的取值范围．
【答案】(1)𝑦= 2𝑥+ 2
(2)𝑎= −3
(3)−3 ≤𝑥≤1
【分析】本题考查正比例函数及一次函数．
（1）根据题意用待定系数法设𝑦= 𝑘(𝑥+ 1)，代入(2,6)即可；
（2）将点𝑃(𝑎, −4)代入𝑦= 2𝑥+ 2即可得出𝑎的值；
（3）将𝑦的临界值4 与−4分别代入𝑦= 2𝑥+ 2，即可得到𝑥的临界值，从而得到𝑥的取值范围．
【详解】（1）解：设𝑦= 𝑘(𝑥+ 1)(𝑘≠0)，
∵当𝑥= 2时，𝑦= 6，
∴6 = (2 + 1)𝑘，解得𝑘= 2，
∴𝑦= 2(𝑥+ 1) = 2𝑥+ 2，
∴ 𝑦与𝑥之间的函数解析式为𝑦= 2𝑥+ 2；
（2）解：由（1）知，𝑦与𝑥之间的函数解析式为𝑦= 2𝑥+ 2，
把点𝑃(𝑎, −4)代入𝑦= 2𝑥+ 2，得−4 = 2𝑎+ 2，
解得𝑎= −3；
（3）解：由（2）知，当𝑥= −3时，𝑦= −4，
当𝑦= 4时，2𝑥+ 2 = 4，
解得𝑥= 1，
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∴当𝑦的取值范围为−4 ≤𝑦≤4时，𝑥的取值范围为−3 ≤𝑥≤1．
基础通关
1．（25-26 八年级下·河南焦作·期末）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A．𝑦=
3
𝑥
B．𝑦= −2𝑥+ 5
C．𝑦=
1
5 𝑥
D．𝑦= 𝑥2 + 5
【答案】C
【分析】先明确正比例函数的定义，再逐一对照各选项的函数形式，判断符合定义的选项即可．正比例函
数的定义为：形如𝑦= 𝑘𝑥（其中𝑘是不为0的常数）的函数是正比例函数．
【详解】解：选项A：𝑦=
3
𝑥是反比例函数，不符合定义；
选项B：𝑦= −2𝑥+ 5是一次函数，常数项不为0，不符合正比例函数定义；
选项C：𝑦=
1
5 𝑥符合𝑦= 𝑘𝑥的形式，其中𝑘=
1
5 ≠0，符合正比例函数定义；
选项D：𝑦= 𝑥2 + 5是二次函数，不符合定义．
2．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．𝑦= 𝑥2 + 1
B．𝑦=
2
𝑥
C．𝑦= 3𝑥−1
D．𝑦= |𝑥|
【答案】C
【分析】根据一次函数的定义：形如𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘、𝑏是常数，且𝑘≠0）的整式函数叫做一次函数，逐一
判断选项．
【详解】解：选项A：𝑦= 𝑥2 + 1中自变量𝑥的次数为2，是二次函数，不符合题意；
选项B：𝑦=
2
𝑥是反比例函数，不是整式函数，不符合题意；
选项C：𝑦= 3𝑥−1符合一次函数的形式（𝑘= 3 ≠0，𝑏= −1），是一次函数，符合题意；
选项D：𝑦=∣𝑥∣不是自变量𝑥的一次整式，不属于一次函数，不符合题意．
3．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数𝑦= 𝑥+ 2的图象上的是（ ）
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(2,0)
D．(0,2)
【答案】D
【分析】求出𝑥= 1，𝑥= 2和𝑥= 0时的函数值即可得到答案．
【详解】解：当𝑥= 1时，𝑦= 1 + 2 = 3 ≠2，故点(1,2)不在该一次函数的图象上；
当𝑥= 2时，𝑦= 2 + 2 = 4，故点(2,1)，点(2,0)都不在该一次函数的图象上；
当𝑥= 0时，𝑦= 0 + 2 = 2，故点(0,2)在该一次函数的图象上；
4．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）下面哪个点在函数𝑦= 𝑥−3的图象上（ ）
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A．(1,−3)
B．(0,0)
C．(−3,0)
D．(2,−1)
【答案】D
【分析】将各选项点的横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断．
【详解】∵ 函数解析式为𝑦= 𝑥−3，依次代入验证各选项：
A、当𝑥= 1时，𝑦= 1 −3 = −2 ≠−3，∴A 错误；
B、当𝑥= 0时，𝑦= 0 −3 = −3 ≠0，∴B 错误；
C、当𝑥= −3时，𝑦= −3 −3 = −6 ≠0，∴C 错误；
D、当𝑥= 2时，𝑦= 2 −3 = −1，与点的纵坐标相等，∴D 正确．
5．（25-26 八年级下·福建福州·期末）写出一个比例系数为具体数值的y 关于x 的正比例函数解析式：
_______．
【答案】𝑦= 2𝑥（答案不唯一）
【分析】形如𝑦= 𝑘𝑥（𝑘是不为0 的常数）的函数是正比例函数．
【详解】解：由题意得，比例系数为不为0的具体数值，取𝑘= 2，代入得解析式𝑦= 2𝑥．
6．（25-26 八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点(𝑚, 𝑛)在函数𝑦=
1
2 𝑥+ 1的图象上，则代数式2𝑚−4𝑛−1的
值是______．
【答案】−5
【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点(𝑚, 𝑛)代入函数解析式，得到𝑚与𝑛的关系
式，再整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：∵点(𝑚, 𝑛)在函数𝑦=
1
2 𝑥+ 1的图象上，
∴将𝑥= 𝑚, 𝑦= 𝑛代入解析式得：𝑛=
1
2 𝑚+ 1，
整理得：𝑚−2𝑛= −2，
∴2𝑚−4𝑛= 2(𝑚−2𝑛) = −4，
代入2𝑚−4𝑛−1得：2𝑚−4𝑛−1 = −4 −1 = −5．
7．（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知函数𝑦= (𝑚−3)𝑥−𝑚2 + 9（𝑚是常数）是正比例函数，则
𝑚=_________．
【答案】−3
【分析】根据正比例函数的定义，正比例函数的形式为𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)，据此列出式子即可求解𝑚的值．
【详解】解：由正比例函数的定义得：−𝑚2 + 9 = 0且𝑚−3 ≠0，
解方程−𝑚2 + 9 = 0得𝑚2 = 9，即𝑚= ±3，
由𝑚−3 ≠0得𝑚≠3，
因此𝑚= −3．
8．（25-26 八年级下·河南周口·期末）一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 3过点(2,7)，则𝑘=________．
【答案】2
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【详解】解：一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 3过点(2,7)，
∴ 7 = 2𝑘+ 3，解得𝑘= 2．
9．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知𝑦是𝑥的一次函数，当𝑥= 2时，𝑦= 2；当𝑥= −6时，𝑦=
6．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)当𝑥= 8时，求函数𝑦的值．
(3)当函数𝑦的值为0时，求𝑥的值．
【答案】(1)𝑦= −
1
2 𝑥+ 3
(2)−1
(3)6
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将𝑥= 8代入函数解析式求解即可；
（3）将𝑦= 0代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：设这个一次函数的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
∵当𝑥= 2时，𝑦= 2；当𝑥= −6时，𝑦= 6，
∴{ 2𝑘+ 𝑏= 2
−6𝑘+ 𝑏= 6
，
解得{𝑘= −
1
2
𝑏= 3
，
∴这个一次函数的表达式为𝑦= −
1
2 𝑥+ 3．
（2）解：将𝑥= 8代入函数𝑦= −
1
2 𝑥+ 3得：𝑦= −
1
2 × 8 + 3 = −1．
（3）解：将𝑦= 0代入函数𝑦= −
1
2 𝑥+ 3得：−
1
2 𝑥+ 3 = 0，
解得𝑥= 6．
10．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知y 与𝑥−1成正比例，且𝑥= 2时，𝑦= 8．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)当𝑦= 2时，求x 的值．
【答案】(1)
𝑦= 8𝑥−8
(2)
𝑥= 5
4
【分析】（1）先根据正比例的定义设出函数解析式，再用待定系数法求出未知系数得到y 关于x 的函数解
析式；
（2）将y 的值代入解析式，通过解一元一次方程得到x 的值．
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【详解】（1） 解：由题意可设𝑦= 𝑘(𝑥−1) (𝑘≠0)
把𝑥= 2，𝑦= 8代入得，8 = 𝑘(2 −1)
解得𝑘= 8
∴𝑦= 8(𝑥−1) = 8𝑥−8；
（2）解：把𝑦= 2代入𝑦= 8𝑥−8得，2 = 8𝑥−8
解得𝑥=
5
4．
11．（1）若函数𝑦= 𝑥+ 𝑚+ 1是正比例函数，求m 的值；
（2）若函数𝑦= (𝑚−2)𝑥𝑚2−3 + 𝑚+ 1是一次函数，求m 的值．
【答案】（1）𝑚= −1；（2）𝑚= −2
【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的解析
式分别为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)．
（1）根据正比例函数的解析式为𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)得到𝑚+ 1 = 0，即可求解；
（2）根据一次函数的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)得到𝑚2 −3 = 1且𝑚−2 ≠0，即可求解．
【详解】（1）解：∵函数𝑦= 𝑥+ 𝑚+ 1是正比例函数，
∴𝑚+ 1 = 0，
∴𝑚= −1；
（2）解：∵函数𝑦= (𝑚−2)𝑥𝑚2−3 + 𝑚+ 1是一次函数，
∴𝑚2 −3 = 1且𝑚−2 ≠0，
解得𝑚= −2．
素养提升
1．（25-26 八年级下·山东德州·期末）𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚图象上的不同的两点，则
（ ）
A．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) > 0
B．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) = 0
C．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) < 0
D．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2)的符号无法判断
【答案】A
【分析】将点坐标代入函数解析式，化简后判断乘积的符号．
【详解】解：∵𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2, 𝑦2)是一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚图象上不同的两点，
∴𝑦1 = 2𝑥1 + 𝑚，𝑦2 = 2𝑥2 + 𝑚，
∴𝑦1 −𝑦2 = (2𝑥1 + 𝑚) −(2𝑥2 + 𝑚) = 2(𝑥1 −𝑥2)，
∴(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) = (𝑥1 −𝑥2) ⋅2(𝑥1 −𝑥2) = 2(𝑥1 −𝑥2)2，
∵A、B 是不同两点，
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∴𝑥1 ≠𝑥2，
∴(𝑥1 −𝑥2)2 > 0，
∴2(𝑥1 −𝑥2)2 > 0，
即(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) > 0．
2．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（ ）
A．y 不是x 的函数 B．y 是x 的函数，且是正比例函数
C．y 是x 的函数，且是一次函数 D．当𝑥= 2时，𝑦= 10
【答案】C
【分析】先根据按键操作列出关系式𝑦= −3𝑥−4，依据函数定义可知𝑦是𝑥的函数，该式符合𝑦= 𝑘𝑥+
𝑏(𝑘≠0)的一次函数形式，因存在常数项不是正比例函数，再将𝑥= 2代入计算得𝑦= −10，即可解答．
【详解】根据操作流程：输入𝑥，乘以−3，再减4得到𝑦，
∴𝑦= −3𝑥−4，
A．对于任意一个𝑥，都有唯一确定的𝑦与之对应，所以𝑦是𝑥的函数，故本选项错误，不符合题意．
B．正比例函数形式为𝑦= 𝑘𝑥（无常数项），而𝑦= −3𝑥−4存在常数项−4，不是正比例函数，故本选项错
误，不符合题意．
C．𝑦= −3𝑥−4符合一次函数标准形式𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏 (𝑘≠0)，因此𝑦是𝑥的一次函数，故本选项正确，符合题
意．
D．将𝑥= 2代入解析式： 𝑦= −3 × 2 −4 = −10 ≠10，故本选项错误，不符合题意．
3．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）一次函数𝑦= 2𝑥−𝑚的图象经过(3,1)，则𝑚的值是___________．
【答案】5
【分析】一次函数图象经过已知点，则该点坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式，即可求解𝑚的
值．
【详解】解：将(3,1)代入𝑦= 2𝑥−𝑚，得：1 = 2 × 3 −𝑚，解得：𝑚= 5．
4．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）已知：𝑦= 𝑥𝑘2−8 + (3 −𝑘)是𝑦关于𝑥的一次函数，则𝑘=________．
【答案】±3
【详解】解：由一次函数的定义得𝑘2 −8 = 1,解得𝑘= ±3．
5．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点(3,6)，(
1
2 , −
1
2)，确定函数的解析
式．
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【答案】𝑦=
13
5 𝑥−
9
5
【分析】将两点坐标代入一次函数式得到二元一次方程组，用加减消元法求出𝑘、𝑏，然后回代写出解析
式．
【详解】解：由题意知{
6 = 3𝑘+ 𝑏
−
1
2 =
𝑘
2 + 𝑏 ，
解得𝑘=
13
5 ，𝑏= −
9
5，
故函数的解析式为𝑦=
13
5 𝑥−
9
5．
6．（25-26 八年级下·上海·期末）已知y 是2𝑥−7的正比例函数，且当𝑥= −2时，𝑦= 7．求y 与x 之间的函
数表达式．
【答案】𝑦= −
14
11 𝑥+
49
11
【分析】先理解题意，设𝑦= 𝑘(2𝑥−7)，再把𝑥= −2，𝑦= 7分别代入计算，得𝑘= −
7
11，故𝑦= −
14
11 𝑥+
49
11．
【详解】解：∵𝑦是2𝑥−7的正比例函数，
∴设𝑦= 𝑘(2𝑥−7)，
∵当𝑥= −2时，𝑦= 7，
∴7 = 𝑘(−4 −7)，
∴𝑘= −
7
11，
∴𝑦= −
7
11 (2𝑥−7) = −
14
11 𝑥+
49
11，
7．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点(−4,9)和(6,4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)判断点(2,5)是否在这个一次函数的图象上，并说明理由．
【答案】(1)
𝑦= −1
2 𝑥+ 7
(2)
点(2,5)不在这个一次函数的图象上，理由如下：
将𝑥= 2代入𝑦= −
1
2 𝑥+ 7，得
𝑦= −
1
2 × 2 + 7 = 6 ≠5，
∴点(2,5)不在这个一次函数的图象上．
【分析】（1）利用待定系数法求解，先设出一次函数解析式，将已知两点坐标代入得到方程组，解方程组
即可得到函数解析式；
（2）将点的横坐标代入已求得的解析式，计算出对应的纵坐标，将计算结果与点的纵坐标比较，即可判
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断点是否在函数图象上．
【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
将点(−4,9)，(6,4)代入得：
{−4𝑘+ 𝑏= 9
6𝑘+ 𝑏= 4
，解得{𝑘= −
1
2
𝑏= 7
，
∴这个一次函数的解析式为𝑦= −
1
2 𝑥+ 7．
（2）略
8．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象经过点(−2, −1)和
(1,5)．
(1)求𝑘，𝑏的值；
(2)当−2 < 𝑥< 1时，对于𝑥的每一个值，函数𝑦= 𝑚𝑥(𝑚≠0)的值小于函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的值，直接写出𝑚的
取值范围．
【答案】(1)𝑘的值为2，𝑏的值为3
(2)
1
2 ≤𝑚≤5
【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出𝑘，𝑏；
（2）先写出一次函数解析式，整理不等式𝑚𝑥< 2𝑥+ 3，分𝑚< 2、𝑚> 2、𝑚= 2三类讨论，结合𝑥的取
值范围列不等式求解，合并得到𝑚的范围．
【详解】（1）解：∵函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象经过点(−2, −1)和(1,5)，
∴{−2𝑘+ 𝑏= −1
𝑘+ 𝑏= 5
，
解得{𝑘= 2
𝑏= 3
，
∴𝑘的值为2，𝑏的值为3；
（2）由（1）可得，函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的解析式为：𝑦= 2𝑥+ 3，
∵当−2 < 𝑥< 1时，对于𝑥的每一个值，函数𝑦= 𝑚𝑥(𝑚≠0)的值小于函数𝑦= 2𝑥+ 3的值，
∴当−2 < 𝑥< 1时，𝑚𝑥< 2𝑥+ 3，即(𝑚−2)𝑥< 3，
∵当𝑚< 2时，𝑥>
3
𝑚−2，
∴
3
𝑚−2 ≤−2，
解得
1
2 ≤𝑚< 2，
∵当𝑚> 2时，𝑥<
3
𝑚−2，
∴
3
𝑚−2 ≥1，
解得2 < 𝑚≤5，
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∵当𝑚= 2时，(2 −2)𝑥< 3恒成立，
∴𝑚= 2符合题意，
综上所述：
1
2 ≤𝑚≤5．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）音乐是声音的艺术，其中蕴含着有趣的数学知识．已知在一定条件
下，某型号钢琴的音量等级（单位：级）与输出声压级（单位：分贝）满足一次函数关系，设音量等级为
x 级（x 为正整数，1 ≤𝑥≤15），输出声压级为y 分贝．当𝑥= 3时，𝑦= 50；当𝑥= 7时，𝑦= 70．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)当音量等级调至10 级时，此时的声压级为多少分贝？
【答案】(1)𝑦= 5𝑥+ 35
(2)85 分贝
【分析】（1）利用待定系数法即可得到函数解析式；
（2）将𝑥= 10代入（1）中所求的函数解析式，即可求出对应的y 值．
【详解】（1）解：设𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
由题意知，当𝑥= 3时，𝑦= 50；当𝑥= 7时，𝑦= 70，
将其分别代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)中，可得方程组：
{3𝑘+ 𝑏= 50
7𝑘+ 𝑏= 70
，解得：{ 𝑘= 5
𝑏= 35
，
∴y 关于x 的函数解析式为𝑦= 5𝑥+ 35．
（2）解：由（1）可知，𝑦= 5𝑥+ 35，
当𝑥= 10时，将𝑥= 10代入𝑦= 5𝑥+ 35中，
可得𝑦= 5 × 10 + 35 = 85（分贝），
∴当音量等级调至10 级时，此时的声压级为85 分贝．
2．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个“数值转换机”，当输入𝑥的值时，通过𝑥不同的取值会
得到对应的𝑦的值，表格中给出了几组𝑥的值以及对应的𝑦的值．
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𝑥
…
−4
…
2
…
6
…
𝑦
…
−3
…
0
…
0
…
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当𝑥< 4时，求𝑦与𝑥之间的关系式．
(2)当𝑦= −1时，求输入的𝑥的值．
【答案】(1)𝑦=
1
2 𝑥−1
(2)0或8
【分析】（1）把𝑥= −4、𝑦= −3和𝑥= 2、𝑦= 0代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，用待定系数法求出𝑘、𝑏，即可得
到一次函数的解析式；
（2）把𝑦= −1分别代入𝑦=
1
2 𝑥−1和𝑦= −
1
2 𝑥+ 3，求出𝑥的值即可.
【详解】（1）解：根据题意，当𝑥= −4时，𝑦= −3，即−4𝑘+ 𝑏= −3，
当𝑥= 2时，𝑦= 0，即2𝑘+ 𝑏= 0，
可得：{−4𝑘+ 𝑏= −3①
2𝑘+ 𝑏= 0②
，
解得：{ 𝑘=
1
2
𝑏= −1
，
∴当𝑥< 4时，𝑦与𝑥之间的关系式是𝑦=
1
2 𝑥−1；
（2）解：若𝑥< 4，则
1
2 𝑥−1 = −1，
解得：𝑥= 0，0 < 4，符合题意；
若𝑥≥4，则−
1
2 𝑥+ 3 = −1，
解得：𝑥= 8，8 ≥4，符合题意；
综上所述，当𝑦= −1时，输入的𝑥的值为0或8.
