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5.2 一次函数的意义
课标要点
1.理解一次函数、正比例函数的定义，掌握两种函数的一般解析式形式。
2.明确正比例函数与一次函数的包含关系，能准确区分、辨别两类函数。
3.能根据定义判断函数是否为一次函数或正比例函数，会利用定义求参数的值。
4.能结合简单实际情境列一次函数解析式，初步感知一次函数模型。
学习重难点
重点：
1.掌握一次函数、正比例函数的定义与一般形式；
2.准确辨析一次函数与正比例函数；
3.根据定义判定函数类型、求解参数。
难点：
1.理解一次函数中k≠0、b 为任意常数的限定条件；
2.区分含参数式子的函数类型，规避参数取值遗漏条件；
3.结合实际情境正确列出一次函数关系式。
知识点
一次函数的概念
1. 一次函数：一般地，函数y＝kx+b（k、b 都是常数，且k≠0），叫作一次函数。
2. 正比例函数：形如y＝kx（k 是常数，k≠0）的函数叫作正比例函数，其中k 叫做比例系数。
第五章
一次函数
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随学随练
1．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）下列四个函数中是一次函数的是（ ）
A．𝑦= 𝑥2 + 2
B．𝑦= 𝑥+ 1
C．𝑦=
2
𝑥−3
D．𝑦=
1
𝑥
2．若y 关于x 的函数𝑦= (5 + 𝑚)𝑥+ |𝑚| −5是正比例函数，则m 的值为（ ）
A．±5
B．5
C．−5
D．0
知识点
待定系数法求解析式（重点）
1.待定系数法求解析式的步骤：
①设所求的一次函数表达式为y＝kx+b，其中k，b 是待确定的常数，k≠0；
②把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y＝kx+b，得到关于k，b 的二元一次方程组；
③解这个关于k，b 的二元一次方程组，求出k，b 的值；
④把求得的k，b 的值代入y＝kx+b，就得到所求的一次函数表达式。
这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。
随学随练
1．（25-26 八年级下·湖北·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，当𝑥= 1时，𝑦= 5；当𝑥= −1时，𝑦= 1．求一
次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的解析式．
易错提醒
1）忽略𝑘≠0前提，𝑘= 0时变为常函数，不再是一次函数；
2）自变量在分母、根号内的式子不是一次函数；
3）误认为一次函数就是正比例函数，混淆包含关系；
4）误判化简后式子，只看原式不看最简形式。
易错提醒
1）设式错误，求正比例函数多设𝑏，或一次函数漏写𝑏；
2）代入坐标时横纵坐标代反；
3）解方程计算出错，符号正负混乱；
4）求出系数后不回代、不写最终解析式；
5）忽略题目隐含条件限制𝑘≠0。
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2．（2026·新疆和田·模拟预测）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象过点(0,2)和
(1,3)，求k、b 的值．
拓展
一次函数与正比例函数从属及概念对比
对比维度
一次函数
正比例函数
解析式形式
𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（k、b 为常数，𝑘≠0） 𝑦= 𝑘𝑥（k 为常数，𝑘≠0）
参数取值
k 不为0，b 可取任意常数
k 不为0
从属关系
通用函数，包含正比例函数
特殊的一次函数（常数项为0）
函数特征
变量为一次整式，存在常数项
变量为一次整式，无常数项，图象必过原点
活学活用
1．下列函数关系式：①𝑦= −8𝑥；②𝑦= −
7
𝑥；③𝑦= 𝑥+ 1；④𝑦= −5𝑥2 + 1；⑤𝑦= 0.5𝑥−3，一次
函数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．若𝑦−5与x 成正比例，则y 是x 的（ ）
A．正比例函数
B．一次函数
C．其他函数
D．不存在函数关系
3．下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．
1
𝑥= 𝑦
B．𝑥=
1
𝑦
C．𝑦= 2𝑥+ 2𝑥
D．𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛（𝑚，𝑛是常数）
拓展
易错点归纳
1. 参数取值易错：无论是一次函数还是正比例函数，k≠0 是硬性前提，若k=0，式子变为常函数，不再
是一次函数。
2. 概念判定易错：正比例函数一定是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数，只有当一次函数中𝑏=
0时，才为正比例函数。
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3. 解题条件易错：待定系数法求解析式必须有两组点坐标，仅有一组坐标无法解出两个参数，无法确定
唯一函数。
4. 解析式形式易错：判定一次函数时，必须化简为标准整式形式，含分母、根号、负指数的式子，不属
于一次函数。
活学活用
1．已知一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象经过点(𝑚, 3)，下列也在一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚的图象上的点是（ ）
A．(−1,−1)
B．(0,0)
C．(1,1)
D．(2,1)
2．已知𝑦与𝑥−3成正比例，当𝑥= 5时，𝑦= 8，则𝑦关于𝑥的函数解析式为________．
3．已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式．
题型
一次函数与正比例函数的识别
▌例1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）下列各函数中表示𝑦是𝑥的正比例函数的是（ ）
A．𝑦= 2𝑥−1
B．𝑦= 𝑥2
C．𝑦=
1
𝑥
D．𝑦=
1
2 𝑥
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．𝑦=
1
𝑥
B．𝑆= π𝑟2
C．𝑦= 50 −0.1𝑥
D．𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的是（ ）
A．𝑦= 2𝑥2 + 1
B．𝑦= −4𝑥
C．𝑦= 3𝑥+ 1
D．𝑦=
6
𝑥
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广西桂林·期中）有下列函数：①𝑦= π𝑥；②𝑦=
𝑥
2 −1；③𝑦=
1
𝑥；④𝑦=
−3𝑥；⑤𝑦= 𝑥2 −1．其中是一次函数的有（ ）
解题贴士
1）形如y＝kx+b（k、b 都是常数，且k≠0）是一次函数，y＝kx（k 是常数，k≠0）是正比例函数；
2）只需化简式子，判断自变量次数为1、系数不为0 即可识别。
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A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
题型
根据正比例函数的定义求参数
▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古通辽·期末）若关于变量𝑥，𝑦的函数𝑦= −7𝑥+ 𝑚−2是正比例函数，则𝑚
的值为（ ）
A．2
B．1
C．0
D．−1
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建莆田·期末）如果𝑦= 3𝑥+ 𝑎+ 1是关于x 的正比例函数，则a 的值是
（ ）
A．0
B．
1
3
C．−1
D．1
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖南岳阳·期中）已知𝑦= (𝑘−3)𝑥+ 𝑘2 −9是关于x 的正比例函数，当𝑥=
−4时，y 的值为______．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·上海闵行·期中）如果函数𝑦= 𝑘(𝑥−1) + 2是正比例函数，那么常数𝑘的值
是___________．
题型
根据一次函数的定义求参数
▌例1．（25-26 八年级下·北京门头沟·期末）如果函数𝑦= (𝑚−2)𝑥−1是关于𝑥的一次函数，那么𝑚的取值
范围是（ ）
A．𝑚≠0
B．𝑚< 2
C．𝑚≠2
D．𝑚> 2
▌例2．（25-26 八年级下·上海青浦·期中）已知函数𝑦= (𝑚−1)𝑥|𝑚| −2是关于𝑥的一次函数，则𝑚的值为
_____．
▌例3．（25-26 八年级上·陕西汉中·期中）已知函数𝑦= (𝑚−5)𝑥𝑚2−24 + 𝑛−4．
解题贴士
根据正比例函数定义列双重条件：①自变量次数为1；②常数项为0；③比例系数𝑘≠0，联立求解参数，
舍去使𝑘= 0的解。
解题贴士
紧扣一次函数定义：自变量次数为1，且一次项系数𝑘≠0，常数项无限制；列方程求参数，剔除使系数
为0 的取值。
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(1)若它是一次函数，求m 的值；
(2)若它是正比例函数，求(𝑚+ 𝑛)2025的值
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·河南信阳·期末）若函数𝑦= (𝑚−1)𝑥|𝑚| + 9是一次函数，则𝑚的值为
（ ）
A．1
B．2
C．−1
D．±1
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江苏南通·期中）当𝑘=_____时，一次函数𝑦= (𝑘−1)𝑥+ 𝑘2 −1的图象经
过原点．
▌对点练1-3．已知𝑦= (𝑚+ 1)𝑥2−|𝑚| + 𝑛+ 5．当m，n 满足条件____________时，𝑦是𝑥的一次函数；当
m，n 满足条件____________时，𝑦是𝑥的正比例函数．
▌对点练1-4．已知函数𝑦= (4 −2𝑚)𝑥|𝑚−1| + (𝑛+ 3)．
(1)m 的取值满足什么条件时，y 是x 的一次函数？
(2)m，n 的取值满足什么条件时，y 是x 的正比例函数？
题型
求一次函数自变量或函数值
▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）已知一次函数𝑦= 2𝑥−1，下列各点在函数𝑦= 2𝑥−1的
图象上的是（ ）
A．(−2.5,4)
B．(1,3)
C．(2.5,4)
D．(3,2)
▌例2．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）在函数𝑦= 2𝑥+ 3中，当𝑥= 1时，y 的值为__________．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广西南宁·期末）若点𝐴(2, 𝑚)在函数𝑦= −2𝑥的图象上，则m 的值是（ ）
A．4
B．2
C．−2
D．−4
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·福建泉州·期中）已知y 是x 的正比例函数，且当𝑥= 2时，𝑦= −6，当𝑥=
−3时，y 的值为（ ）
A．6
B．−6
C．9
D． −9
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·湖南邵阳·期末）若一次函数𝑦= 2𝑥−5的图象过点(2,𝑎)，则
𝑎=________．
解题贴士
已知自变量，直接代入解析式求𝑦；已知函数值，列一元一次方程求𝑥；存在取值范围时，舍去超出范围
的解。
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▌对点练1-4．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）若点(𝑎, 𝑏)在直线𝑦= −2𝑥+ 4上，则代数式2𝑎+ 𝑏−2的值
是______．
题型
求一次函数解析式
▌例1．（25-26 八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象经过𝐴(2,4),𝐵(0,2)两点，
求k、b 的值．
▌例2．（25-26 八年级下·福建厦门·期中）已知：𝑦−3 = 𝑘(𝑥+ 1)，且𝑥= 2时，𝑦= 6．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若点(𝑎, 2)在这个函数的图象上，求a 的值．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知y 与𝑥+ 2成正比例，且它的图象经过点(−1,2)．
(1)求y 与x 之间的函数解析式；
(2)若点𝐴(𝑎, 7 −𝑎)在此函数图象上，求点A 的坐标．
▌对点练1-2．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）已知关于𝑥的一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 4𝑚−2(𝑚≠0)的图象经
过原点．
(1)求该函数的表达式；
(2)若点𝐴(𝑎, 2)在该函数图象上，求a 的值．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象过点𝐴(1,2)和点
𝐵(2,3)
(1)求一次函数解析式；
(2)若点𝑃(𝑡,
1
𝑡)在此函数图象上，求代数式𝑡4 +
1
𝑡4 + 1的值．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·湖南张家界·期末）已知𝑦与𝑥+ 1成正比例关系，且当𝑥= 2时，𝑦= 6．
(1)求出𝑦与𝑥之间的函数解析式；
(2)若点𝑃(𝑎, −4)在这个函数的图象上，求𝑎的值．
(3)若𝑦的取值范围为−4 ≤𝑦≤4，求𝑥的取值范围．
解题贴士
易错：①正比例函数误设为 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，多此一举且易出错；②代点坐标时代错横、纵坐标；③两点
坐标代入顺序混乱导致符号错误。
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基础通关
1．（25-26 八年级下·河南焦作·期末）下列函数中，为正比例函数的是（ ）
A．𝑦=
3
𝑥
B．𝑦= −2𝑥+ 5
C．𝑦=
1
5 𝑥
D．𝑦= 𝑥2 + 5
2．（25-26 八年级下·云南曲靖·期末）下列函数中，是一次函数的是（ ）
A．𝑦= 𝑥2 + 1
B．𝑦=
2
𝑥
C．𝑦= 3𝑥−1
D．𝑦= |𝑥|
3．（25-26 八年级下·海南省直辖县级单位·期末）下列各点中，在一次函数𝑦= 𝑥+ 2的图象上的是（ ）
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(2,0)
D．(0,2)
4．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）下面哪个点在函数𝑦= 𝑥−3的图象上（ ）
A．(1,−3)
B．(0,0)
C．(−3,0)
D．(2,−1)
5．（25-26 八年级下·福建福州·期末）写出一个比例系数为具体数值的y 关于x 的正比例函数解析式：
_______．
6．（25-26 八年级下·黑龙江牡丹江·期末）若点(𝑚, 𝑛)在函数𝑦=
1
2 𝑥+ 1的图象上，则代数式2𝑚−4𝑛−1的
值是______．
7．（25-26 七年级下·山东东营·期末）已知函数𝑦= (𝑚−3)𝑥−𝑚2 + 9（𝑚是常数）是正比例函数，则
𝑚=_________．
8．（25-26 八年级下·河南周口·期末）一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 3过点(2,7)，则𝑘=________．
9．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知𝑦是𝑥的一次函数，当𝑥= 2时，𝑦= 2；当𝑥= −6时，𝑦=
6．
(1)求这个一次函数的表达式．
(2)当𝑥= 8时，求函数𝑦的值．
(3)当函数𝑦的值为0时，求𝑥的值．
10．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知y 与𝑥−1成正比例，且𝑥= 2时，𝑦= 8．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)当𝑦= 2时，求x 的值．
11．（1）若函数𝑦= 𝑥+ 𝑚+ 1是正比例函数，求m 的值；
（2）若函数𝑦= (𝑚−2)𝑥𝑚2−3 + 𝑚+ 1是一次函数，求m 的值．
素养提升
1．（25-26 八年级下·山东德州·期末）𝐴(𝑥1, 𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)是一次函数𝑦= 2𝑥+ 𝑚图象上的不同的两点，则
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（ ）
A．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) > 0
B．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) = 0
C．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2) < 0
D．(𝑥1 −𝑥2)(𝑦1 −𝑦2)的符号无法判断
2．（25-26 八年级下·贵州黔南·期末）按如图所示的方式操作．下列说法中，正确的是（ ）
A．y 不是x 的函数 B．y 是x 的函数，且是正比例函数
C．y 是x 的函数，且是一次函数 D．当𝑥= 2时，𝑦= 10
3．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）一次函数𝑦= 2𝑥−𝑚的图象经过(3,1)，则𝑚的值是___________．
4．（25-26 八年级下·辽宁营口·期末）已知：𝑦= 𝑥𝑘2−8 + (3 −𝑘)是𝑦关于𝑥的一次函数，则𝑘=________．
5．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点(3,6)，(
1
2 , −
1
2)，确定函数的解析
式．
6．（25-26 八年级下·上海·期末）已知y 是2𝑥−7的正比例函数，且当𝑥= −2时，𝑦= 7．求y 与x 之间的函
数表达式．
7．（25-26 八年级下·福建福州·期末）已知一次函数的图象过点(−4,9)和(6,4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)判断点(2,5)是否在这个一次函数的图象上，并说明理由．
8．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象经过点(−2, −1)和
(1,5)．
(1)求𝑘，𝑏的值；
(2)当−2 < 𝑥< 1时，对于𝑥的每一个值，函数𝑦= 𝑚𝑥(𝑚≠0)的值小于函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的值，直接写出𝑚的
取值范围．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·云南昆明·期末）音乐是声音的艺术，其中蕴含着有趣的数学知识．已知在一定条件
下，某型号钢琴的音量等级（单位：级）与输出声压级（单位：分贝）满足一次函数关系，设音量等级为
x 级（x 为正整数，1 ≤𝑥≤15），输出声压级为y 分贝．当𝑥= 3时，𝑦= 50；当𝑥= 7时，𝑦= 70．
(1)求y 关于x 的函数解析式；
(2)当音量等级调至10 级时，此时的声压级为多少分贝？
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2．（25-26 九年级下·陕西西安·期中）如图，这是一个“数值转换机”，当输入𝑥的值时，通过𝑥不同的取值会
得到对应的𝑦的值，表格中给出了几组𝑥的值以及对应的𝑦的值．
𝑥
…
−4
…
2
…
6
…
𝑦
…
−3
…
0
…
0
…
根据以上信息，解答下列问题：
(1)当𝑥< 4时，求𝑦与𝑥之间的关系式．
(2)当𝑦= −1时，求输入的𝑥的值．
