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5.4 一次函数的简单应用
课标要点
1.能从实际情境中提取变量关系，建立一次函数模型。
2.会用待定系数法求解实际问题中的一次函数解析式，确定自变量取值范围。
3.能利用一次函数图象和性质解决求值、比较大小、最值、方案选择等简单实际问题。
4.了解两个一次函数图象交点的实际意义，能解决简单双函数应用问题。
学习重难点
重点：
1.建立一次函数实际模型，求解函数解析式；
2.结合实际确定自变量取值范围；
3.利用函数性质与图象解决实际应用问题。
难点：
1.从文字情境中准确提炼不等关系与变量关系；
2.结合实际意义对函数结果进行取舍、取整；
3.利用数形结合分析函数图象交点、端点的实际意义。
第五章
一次函数
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知识点
一次函数与一元一次方程
1. 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决：一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0 时，
自变量的值，即一次函数图象与x 轴交点的横坐标。
方程 𝑘𝑥+ 𝑏= 0 的解 ⟺ 直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交点的横坐标。
随学随练
1．若关于𝑥的方程3𝑥+ 𝑏= 0的解是𝑥= −3，则直线𝑦= 3𝑥+ 𝑏一定经过点（ ）
A．(−3,0)
B．(3,0)
C．(0,−3)
D．(0,3)
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，一元一次方程3𝑥+ 𝑏= 0的解，对应直线𝑦= 3𝑥+ 𝑏
中𝑦= 0时的𝑥值，据此可确定直线经过的点．
【详解】解：∵方程3𝑥+ 𝑏= 0的解是𝑥= −3，
易错提醒
1）误将交点纵坐标当作方程的解；
2）混淆与y 轴交点的意义，y 轴交点对应𝑥= 0的函数值；
3）不会利用函数图象直观解方程，只会机械代数计算。
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∴当𝑥= −3时，𝑦= 3𝑥+ 𝑏= 0，
∴直线𝑦= 3𝑥+ 𝑏一定经过点(−3,0)．
2．如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象分别与𝑥, 𝑦轴交于𝐴, 𝐵两点．若𝐴(−4,0)，𝐵(0,2)，则关于𝑥的
方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑥=_________．
【答案】−4
【分析】利用函数过𝐴(−4,0)，则有𝑥= −4时函数值为0，则关于𝑥的方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑥= −4．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象与𝑥轴交于𝐴(−4,0)，𝐵(0,2)，
∴关于𝑥的方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑥= −4．
知识点
一次函数与不等式（重点）
1. 一次函数与一元一次不等式的关系：
①从函数（数）的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b 的值大于（或小于）0 的自变量x 的取值范围；
②从函数图象（形）的角度看，就是确定直线y＝kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成
的集合。
2. 用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x 轴交点为(−
𝑏
𝑘, 0)
①当k＞0 时，不等式kx+b＞0 的解为：𝑥＞−
𝑏
𝑘，不等式kx+b＜0 的解为：𝑥＜−
𝑏
𝑘 ；
②当k＜0，不等式kx+b＞0 的解为：𝑥＜−
𝑏
𝑘，不等式kx+b＜0 的解为：𝑥＞−
𝑏
𝑘 。
随学随练
1．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）如图，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(2,0)，𝐵(0, −1)，则关于x 的不等式
易错提醒
1）看错图象上下区域，导致解集方向颠倒；
2）含等号时遗漏实心点、取值包含临界值；
3）两个函数比较时，找错交点分界点；
4）忽略k 的正负对增减性和解集的影响。
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𝑘𝑥+ 𝑏< 0的解集为（ ）
A．𝑥> −1
B．𝑥> 2
C．−1 < 𝑥< 2
D．𝑥< 2
【答案】D
【详解】解：由函数图象可知，当𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏< 0时，𝑥< 2，
即关于x 的不等式𝑘𝑥+ 𝑏< 0的解集为𝑥< 2．
2．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知函数𝑦= 𝑥+ 𝑏与函数𝑦= 𝑘𝑥+ 7的图象交于点
𝑃(2,3)，则关于x 的不等式𝑥+ 𝑏≥𝑘𝑥+ 7的解集是________．
【答案】𝑥≥2
【详解】解：由图象得，当𝑥≥2时，函数𝑦= 𝑥+ 𝑏的图象在函数𝑦= 𝑘𝑥+ 7的图象上方或重合，
∴关于x 的不等式𝑥+ 𝑏≥𝑘𝑥+ 7的解集是𝑥≥2．
3．（25-26 八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数𝑦= −3𝑥的图象与一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象交于
点𝑃(𝑛, 6)，一次函数图象经过点𝐵(2,2)，与𝑥轴的交点为𝐶．
(1)求一次函数表达式；
(2)点𝐶的坐标为_____，不等式𝑘𝑥+ 𝑏> −3𝑥> 0的解集为_____．
【答案】(1)𝑦= −𝑥+ 4
(2)(4,0)；−2 < 𝑥< 0
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【分析】本题考查了一次函数的交点问题，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，是解题的关键．
（1）将点𝑃(𝑛, 6)代入𝑦= −3𝑥，求出n，得到𝑃(−2,6)．把P、B 两点的坐标代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，利用待定系
数法即可求出一次函数解析式即可；
（2）先求出点C 坐标，再利用函数图象作答即可．
【详解】（1）解：∵𝑦= −3𝑥过点𝑃(𝑛, 6)，
∴−3𝑛= 6，
∴𝑛= −2，
∴𝑃(−2,6)，
∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏过点𝑃(−2,6)，𝐵(2,2)，
∴{−2𝑘+ 𝑏= 6
2𝑘+ 𝑏= 2
，
解得{𝑘= −1
𝑏= 4
，
∴一次函数表达式𝑦= −𝑥+ 4；
（2）解：把𝑦= 0代入一次函数𝑦= −𝑥+ 4得：−𝑥+ 4 = 0，
解得：𝑥= 4，
∴一次函数𝑦= −𝑥+ 4与𝑥轴的交点𝐶的坐标为(4,0)，
根据函数图象可知：不等式𝑘𝑥+ 𝑏> −3𝑥> 0的解集为−2 < 𝑥< 0．
知识点
一次函数与二元一次方程组（重点）
1. 二元一次方程与一次函数的等价转化：
任意二元一次方程：𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐(𝑏≠0)可变形为一次函数形式：𝑦= −
𝑎
𝑏𝑥+
𝑐
𝑏 。
2. 本质结论：以二元一次方程所有解(𝑥, 𝑦)为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上；
一次函数直线上每一个点的横、纵坐标(𝑥, 𝑦)，都是这个二元一次方程的一组解。
3. 二元一次方程组与两条一次函数直线：
把二元一次方程组的两个方程分别化为𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏1、𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏2两条直线：
方程组的解 = 两条直线交点的坐标(𝑥, 𝑦)；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。
4.三种位置关系（方程组解的三种情况）：
两条直线斜率、截距关系
直线位置
方程组解的情况
图像特征
𝑘1 ≠𝑘2（斜率不等）
两条直线相交
有唯一一组解
存在唯一交点(𝑥, 𝑦)
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𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2（斜率相等，截距不
等）
两条直线平行无交点 无解
无公共点
𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 = 𝑏2（斜率、截距全相
等）
两条直线重合
无数组解
直线上所有点都是解
5. 图象法解二元一次方程组的一般步骤：
①把方程组中两个二元一次方程，分别化成𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏形式；
②在同一平面直角坐标系中画出两条直线；
③读出两条直线交点的横、纵坐标；
④写出方程组的解。
6．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤：
①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组；
②用代入消元或加减消元法解方程组；
③方程组的解(𝑥, 𝑦)就是交点坐标。
随学随练
1．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 5与直线𝑦= −3𝑥+ 𝑏的交点坐标为(−1,2)，则方程
组{ 𝑦= 𝑘𝑥＋5
𝑦= −3𝑥＋𝑏
的解为（ ）
A．{ 𝑥= 2
𝑦= −1
B．{𝑥= −1
𝑦= 2
C．{ 𝑥= 1
𝑦= −2
D．{𝑥= −2
𝑦= 1
【答案】B
【详解】∵直线𝑦= 𝑘𝑥+ 5与直线𝑦= −3𝑥+ 𝑏的交点坐标为(−1,2)，
∴方程组{ 𝑦= 𝑘𝑥+ 5
𝑦= −3𝑥+ 𝑏
的解就是交点的横纵坐标，即{𝑥= −1
𝑦= 2
．
2．（25-26 八年级下·天津河西·期末）如图为一次函数𝑦= 3𝑥与一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛(𝑚≠0)的图象，则方
程组{ 3𝑥−𝑦= 0
𝑚𝑥−𝑦= −𝑛
的解为__________．
特别提醒
1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；
2）两直线相交有唯一解、平行无解、重合有无数解。
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【答案】{𝑥= 1
𝑦= 3
【分析】先将交点横坐标代入𝑦= 3𝑥，即可得交点坐标，再根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象
的交点坐标解答．
【详解】解：由图可知，交点的横坐标为1，
将𝑥= 1代入𝑦= 3𝑥得，𝑦= 3，
∴交点坐标为(1,3)，
∴方程组{ 3𝑥−𝑦= 0
𝑚𝑥−𝑦= −𝑛
的解为{𝑥= 1
𝑦= 3
．
知识点
一次函数的实际应用
1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函
数。
2.一次函数的实际应用一般解题步骤：
①设：设变量，列解析式 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏；
②求：代入两组数据，用待定系数法求出 𝑘、𝑏；
③限：根据实际意义写出自变量取值范围；
④解：利用函数增减性（𝑘> 0递增，𝑘< 0递减）求值、最值、方案，最后作答。
随学随练
1．（25-26 八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13 元的价格购进某商品100 件，售出部分商品后进行
了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66 件时，销售金额
为多少？
特别提醒
根据实际关系列一次函数解析式，结合自变量取值范围求最值、方案选择、对比优劣。
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【答案】1125 元
【详解】解：由图象，当𝑥≥40时，设函数解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
把点(40,800)和点(80,1300)代入可得：{ 800 = 40𝑘+ 𝑏
1300 = 80𝑘+ 𝑏
，解得{ 𝑘=
25
2
𝑏= 300
，
∴𝑦=
25
2 𝑥+ 300，
∴当𝑥= 66时，𝑦=
25
2 × 66 + 300 = 1125．
答：当销售量为66 件时，销售金额为1125 元.
2．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的
磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂
加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800 元，每生产1 吨石墨精粉，额外需要原
料、人工等成本120 元．设工厂每日生产石墨精粉x 吨，每日生产总成本为y 元．
(1)请写出y 与x 之间的函数解析式；
(2)若该厂某日生产石墨精粉15 吨，求当日的生产总成本．
【答案】(1)𝑦= 120𝑥+ 800；
(2)2600 元
【分析】（1）根据总成本=固定成本+人工成本，即可得到答案；
（2）把𝑥= 15代入函数解析式即可求解
【详解】（1）解：由题意得：y 与x 之间的一次函数解析式为𝑦= 120𝑥+ 800；
（2）解：当𝑥= 15时，𝑦= 120 × 15 + 800 = 2600
答：生产石墨精粉15 吨时当日的生产总成本2600 元．
拓展
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式数形对应对比
对比对象
代数含义
图象几何意义
核心关联结论
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一元一次方程
𝑘𝑥+ 𝑏= 0
求使𝑦= 0的𝑥值
直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交
点横坐标
方程的解 = 直线与𝑥轴交点横
坐标
一元一次不等式
𝑘𝑥+ 𝑏> 0
求使𝑦> 0的𝑥取值范围
直线在𝑥轴上方所有点
的横坐标集合
𝑘> 0取交点右侧；
𝑘< 0取交点左侧
一元一次不等式
𝑘𝑥+ 𝑏< 0
求使𝑦< 0的𝑥取值范围
直线在𝑥轴下方所有点
的横坐标集合
𝑘> 0取交点左侧；
𝑘< 0取交点右侧
补充规律：𝑘的正负直接改变不等式解集方向，判断范围前需先区分斜率符号。
活学活用
1．画函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象时，列表如下，由表可知方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的根𝑥0最精确的范围是（ ）
𝑥
−3
0
1
3
4
𝑦
−10
−4
−2
2
4
A．−3 < 𝑥0 < 0
B．0 < 𝑥0 < 1
C．1 < 𝑥0 < 4
D．1 < 𝑥0 < 3
【答案】D
【分析】根据当𝑥= 1时，𝑦= −2 < 0，当𝑥= 3时，𝑦= 2 > 0，可知在1 < 𝑥< 3之间存在𝑥0使得𝑦= 0，
所以方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的根𝑥0的取值范围是1 < 𝑥0 < 3．
【详解】解：由表可知，当𝑥= 1时，𝑦= −2 < 0，
当𝑥= 3时，𝑦= 2 > 0，
∴在1 < 𝑥< 3之间存在𝑥0使得𝑦= 0，
即𝑘𝑥0 + 𝑏= 0，
∴方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的根𝑥0最精确的范围是1 < 𝑥0 < 3．
2．已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象如图所示，则当𝑦> 0时，𝑥的取值范围是______．
【答案】𝑥> −1
【分析】本题主要考查一次函数图象和一元一次不等式的解集，根据图象直接解答即可．
【详解】解：根据函数图象可知：当𝑥> −1时，𝑦> 0，
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故答案为：𝑥> −1．
3．一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛的图象如图所示，则不等式组{𝑚𝑥+ 𝑛< 𝑘𝑥+ 𝑏
𝑚𝑥+ 𝑛< 0
的解集是
___________．
【答案】𝑥< 1
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键．
依据题意，由不等式组{𝑚𝑥+ 𝑛< 𝑘𝑥+ 𝑏
𝑚𝑥+ 𝑛< 0
，结合图象可得其解集为满足𝑚𝑥+ 𝑛< 0且𝑚𝑥+ 𝑛< 𝑘𝑥+ 𝑏的部
分为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛在𝑥轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解．
【详解】解：由图象可知满足𝑚𝑥+ 𝑛< 0且𝑚𝑥+ 𝑛< 𝑘𝑥+ 𝑏的部分为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛在𝑥轴下方部分对应的自
变量取值，
∴𝑥< 1．
故答案为：𝑥< 1．
拓展
一次函数与二元一次方程（组）逻辑对比
1. 二元一次方程与一次函数对应关系：
二元一次方程形式
可转化一次函数形式
核心等价结论
𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐(𝑏≠0)
𝑦= −𝑎
𝑏𝑥+ 𝑐
𝑏
方程的所有解，对应直线上所有点的坐标；直线上任意
一点坐标，都是该方程的一组解，二者完全等价。
2. 两条一次函数直线与二元一次方程组解的关系：
两直线参数关系
直线位置关系
对应方程组解的情况
𝑘1 ≠𝑘2
相交
有唯一一组解，解的数值即为两直线交点坐标
𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2
平行
无解，两条直线无公共交点，无公共解
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𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 = 𝑏2
重合
有无数组解，直线上所有点的坐标均为方程组的解
双向核心逻辑：求两直线交点坐标，可联立对应二元一次方程组求解；解二元一次方程组，也可通过绘制
对应一次函数直线，利用图象交点判定解的情况。
活学活用
1．（25-26 八年级上·陕西渭南·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘、𝑏为常数，且𝑘≠0）与一次函数𝑦=
−𝑥−2交于点𝑃(−1, 𝑚)，则关于𝑥、𝑦的方程组{𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏
𝑦= −𝑥−2
的解是（ ）
A．{𝑥= −1
𝑦= 1
B．{𝑥= −1
𝑦= −1
C．{𝑥= −1
𝑦= −3
D．{𝑥= −3
𝑦= −1
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一
对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的
一次函数图象的交点坐标，熟练掌握以上知识点是解题的关键．用方程组的解就是两个相应的一次函数图
象的交点坐标解决问题即可．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与一次函数𝑦= −𝑥−2交于点𝑃(−1, 𝑚)，
∴𝑃(−1,−1)，
∴关于𝑥、𝑦的方程组{𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏
𝑦= −𝑥−2
的解是{𝑥= −1
𝑦= −1
，
故选：B．
2．已知方程组{ 𝑦= 𝑥+ 1
𝑦= 2𝑥−3
的解为{𝑥= 4
𝑦= 5
，则直线𝑦= 𝑥+ 1与直线𝑦= 2𝑥−3的交点坐标是（ ）
A．(4,5)
B．(5,4)
C．(4,0)
D．(5,0)
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程
组的解是解题的关键．
两条直线的交点坐标即为对应方程组的解．
【详解】解：∵ 方程组 { 𝑦= 𝑥+ 1
𝑦= 2𝑥−3
的解为 {𝑥= 4
𝑦= 5， 方程组的解表示两条直线的交点坐标，
∴ 直线 𝑦= 𝑥+ 1 与 𝑦= 2𝑥−3 的交点坐标为 (4,5)．
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故选：A．
拓展
函数视角解方程/方程组两种方法对比
1. 代数计算法：纯代数消元、直接计算，结果精准，无误差，但无法直观观察图象位置关系。
2. 图象几何法：画图观察交点、区间，直观体现数形关系，但读数存在近似误差，适合定性分析范围。
3. 使用区分：求精确数值优先代数法；分析取值范围、直线位置关系优先图象法。
活学活用
1．（25-26 八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线𝑙1: 𝑦= −𝑥+ 3与直线𝑙2: 𝑦= 𝑘𝑥+ 1相交于点𝑃(1, 𝑚)，则关
于𝑥，𝑦的方程组{ 𝑥+ 𝑦= 3
𝑦−𝑘𝑥= 1
的解为（ ）
A．{𝑥= 1
𝑦= 3
B．{𝑥= 3
𝑦= 1
C．{𝑥= 2
𝑦= 1
D．{𝑥= 1
𝑦= 2
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的交点与方程组的解的关系，解题的关键是理解方程组的解就是两个函数图象
的交点坐标．把𝑃(1,𝑚)代入𝑦= −𝑥+ 3，求出𝑚的值，再求出方程组的解即可．
【详解】解：∵直线𝑙1: 𝑦= −𝑥+ 3与直线𝑙2: 𝑦= 𝑘𝑥+ 1相交于点𝑃(1, 𝑚)，
∴𝑚= −1 + 3 = 2，
∴𝑃(1,2)，
∴关于𝑥，𝑦的方程组{ 𝑥+ 𝑦= 3
𝑦−𝑘𝑥= 1
的解为{𝑥= 1
𝑦= 2
．
故选：D．
2．在同一平面直角坐标系中，直线𝑦= −𝑥+ 4与𝑦= 2𝑥+ 𝑚相交于点𝑃(3, 𝑛)，则关于x，y 的方程组
{ 𝑦+ 𝑥= 4
𝑦−2𝑥= 𝑚
的解为（ ）
A．{𝑥= 3
𝑦= 1
B．{𝑥= 1
𝑦= 3
C．{𝑥= −1
𝑦= 5
D．{ 𝑥= 9
𝑦= −5
【答案】A
【分析】本题考查了一次函数图像交点坐标与方程组解的关系：对于函数𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1，𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2，
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其图象的交点坐标(𝑥, 𝑦)中x，y 的值是方程组{𝑦＝𝑘1𝑥+ 𝑏1
𝑦＝𝑘2𝑥+ 𝑏2
的解．
两条直线的交点坐标即为对应方程组的解，先求出交点坐标即可
【详解】解：∵点𝑃(3,𝑛)在直线𝑦= −𝑥+ 4上，
∴𝑛= −3 + 4 = 1，
∴𝑃(3,1)，
∴方程组的解为{𝑥= 3
𝑦= 1
．
故选A．
3．（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y 的二元一次方程组{𝑦= 3𝑥−1
𝑦= 𝑘𝑥
的解是{𝑥= 1
𝑦= 2
，则一次
函数𝑦= 3𝑥−1与𝑦= 𝑘𝑥（k 是常数，𝑘≠0）的图像的交点坐标是______．
【答案】(1,2)
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，根据二元一次方程组的解为对应的两条直线的交点的横纵
坐标，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x、y 的二元一次方程组{𝑦= 3𝑥−1
𝑦= 𝑘𝑥
的解是{𝑥= 1
𝑦= 2
，
∴一次函数𝑦= 3𝑥−1与𝑦= 𝑘𝑥（k 是常数，𝑘≠0）的图像的交点坐标是(1,2)；
故答案为：(1,2)．
题型
一次函数与一元一次方程结合
▌例1．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0,5)和点𝐵(−2,0)，则方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的
解是（ ）
A．𝑥= 2
B．𝑥= −2
C．𝑥= 5
D．𝑥= −5
【答案】B
【分析】一元一次方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解是一次函数𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏的图象与𝑥轴交点的横坐标，即当𝑦= 0时对
应的自变量𝑥的值．
【详解】解：∵直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏经过点𝐵(−2,0)，
解题贴士
1）方程kx+b=0 的解，对应一次函数y=kx+b 图象与x 轴交点的横坐标；
2）已知函数值求自变量，可直接转化为一元一次方程求解，数形结合快速解题。
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∴当𝑦= 0时，𝑥= −2，
∴方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的解是𝑥= −2．
▌例2．（25-26 八年级上·宁夏银川·期中）直线𝑦= 2𝑥−𝑏上有一点的坐标是(2,3)，则关于𝑥的方程2𝑥−𝑏=
3的解是_______．
【答案】𝑥= 2
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟
练掌握两者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵直线𝑦= 2𝑥−𝑏上有一点的坐标是(2,3)，
∴当𝑥= 2时，2𝑥−𝑏= 3，
∴方程2𝑥−𝑏= 3的解是𝑥= 2，
故答案为：𝑥= 2．
▌对点练1-1．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥＋𝑏(𝑘> 0)的图象经过点(−2,0)和(0,4)，则关
于x 的方程𝑘𝑥+ 𝑏= 2的解是（ ）
A．𝑥= −1
B．𝑥= −2
C．𝑥= 0
D．𝑥= 3
【答案】A
【分析】利用待定系数法求解解析式为𝑦= 2𝑥+ 4，再进一步求解即可．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥＋𝑏(𝑘> 0)的图象经过点(−2,0)和(0,4)，
∴{
𝑏= 4
−2𝑘+ 𝑏= 0
，解得：{𝑏= 4
𝑘= 2
，
∴一次函数为𝑦= 2𝑥+ 4，
∵𝑘𝑥+ 𝑏= 2即2𝑥+ 4 = 2，
解得：𝑥= −1，
∴方程𝑘𝑥+ 𝑏= 2的解是𝑥= −1．
▌对点练1-2．若𝑥= 2是关于x 的方程𝑚𝑥+ 𝑛= 0(𝑚≠0)的解，则一次函数𝑦= −𝑚𝑥−𝑛的图象与𝑥轴的
交点坐标是( )
A．(3,0)
B．(0,3)
C．(0,2)
D．(2,0)
【答案】D
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【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为𝑎𝑥+ 𝑏= 0
(a，b 为常数，𝑎≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自
变量的值．从图象上看，相当于已知直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏确定它与𝑥轴的交点的横坐标的值．
由方程的解可得𝑛与𝑚的关系，再令一次函数𝑦= 0求解𝑥，即可得交点坐标．
【详解】解：∵𝑥= 2是方程𝑚𝑥+ 𝑛= 0的解，
∴2𝑚+ 𝑛= 0，即𝑛= −2𝑚．
令𝑦= 0，即−𝑚𝑥−𝑛= 0，
代入𝑛= −2𝑚，得−𝑚𝑥−(−2𝑚) = 0，
∴𝑚(−𝑥+ 2) = 0，
∵𝑚≠0，
∴−𝑥+ 2 = 0，解得𝑥= 2．
∴交点坐标为(2,0)．
故选：D．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数𝑦1 = 𝑎𝑥+ 𝑏（a，b 为常数且𝑎≠0）与正
比例函数𝑦2 = 𝑘𝑥（k 为常数且𝑘≠0）的图象交于点𝑃，则关于𝑥的方程𝑎𝑥+ 𝑏= 𝑘𝑥的解是_____．
【答案】𝑥= −4
【分析】方程𝑎𝑥+ 𝑏= 𝑘𝑥的几何意义：求一次函数𝑦1 = 𝑎𝑥+ 𝑏与正比例函数𝑦2 = 𝑘𝑥函数值相等时对应的
自变量𝑥，也就是两条直线交点的横坐标．交点𝑃的横坐标即为方程的解．
【详解】解：方程𝑎𝑥+ 𝑏= 𝑘𝑥等价于求𝑦1 = 𝑦2时𝑥的取值，对应两个函数图像的交点横坐标．
由图可知，直线𝑦1 = 𝑎𝑥+ 𝑏与𝑦2 = 𝑘𝑥的交点𝑃坐标为(−4,−2)，该点横坐标为−4．
因此当𝑥= −4时，𝑎𝑥+ 𝑏= 𝑘𝑥成立，方程𝑎𝑥+ 𝑏= 𝑘𝑥的解是𝑥= −4．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·山东·期末）一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图像经过点(4,2)，则关于𝑥的方程𝑘𝑥+
𝑏= 2的解为____________．
【答案】𝑥= 4
【分析】方程𝑘𝑥+ 𝑏= 2的解是一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中，函数值𝑦= 2时对应的自变量𝑥的值，已知一次函
数图像经过点(4,2)，即可得到方程的解．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图像经过点(4,2)，
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∴当𝑥= 4时，𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏= 2，
∴关于𝑥的方程𝑘𝑥+ 𝑏= 2的解为𝑥= 4．
题型
一次函数与不等式结合
▌例1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过(−3,0)，(0,2)两点，则关
于𝑥的不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集为（ ）
A．𝑥< 2
B．𝑥> 2
C．𝑥< −3
D．𝑥> −3
【答案】D
【分析】根据图像以及坐标即可求解．
【详解】解：根据图象知，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与x 轴的交点为(−3,0)，且y 随x 的增大而增大，
∴不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集为𝑥> −3．
▌例2．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）如图，过点𝐶(0,1)的直线𝑙1：𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与直线𝑙2：𝑦2 = −2𝑥+ 4
相交于点𝐷(1,𝑚)．
(1)求直线𝑙1的解析式．
(2)不等式𝑦1 < 𝑦2的解集为__________；（直接写出答案）
【答案】(1)𝑦1 = 𝑥+ 1
(2)𝑥< 1
解题贴士
易错：①上下区域对应不等号方向搞反；②两函数交点横坐标取舍等号错误；③不会结合图象判断区间，
纯代数计算易出错；④多段图象遗漏部分解集。
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【分析】（1）先求出点D 的坐标为(1,2)，再用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）根据函数图象直接得出答案即可．
【详解】（1）解：∵点𝐷(1, 𝑚)在直线𝑙2：𝑦2 = −2𝑥+ 4上，
∴𝑚= −2 × 1 + 4 = 2，
则D 的坐标为(1,2)，
∵直线𝑙1经过𝐶(0,1)，𝐷(1,2)，
∴{
𝑏= 1
𝑘+ 𝑏= 2
，
解得：{𝑘= 1
𝑏= 1
．
∴直线𝑙1的解析式为：𝑦1 = 𝑥+ 1．
（2）解：根据图象可得：不等式𝑦1 < 𝑦2的解集为𝑥< 1．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知一次函数𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑎与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏的图象如图所
示，当𝑦1 < 𝑦2时，𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥< −2
B．𝑥> −2
C．𝑥< 0
D．𝑥> 0
【答案】A
【详解】解：由函数图象可知，当𝑦1 < 𝑦2时，𝑥< −2．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（k，b 是常数，且𝑘≠0）的图
象分别交x 轴、y 轴于点(4,0)，(0,2)，则不等式𝑘𝑥+ 𝑏≤2的解集为__________．
【答案】𝑥≥0
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，确定直线与y 轴的交点坐标，结合函数的增减性，找出函数
值小于或等于2时对应的自变量x 的取值范围．
【详解】解：由图象可知，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象与y 轴交于点(0,2)，
∴当𝑥= 0时，𝑦= 2，且y 随x 的增大而减小，
∴当𝑥≥0时，𝑦≤2 ，
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∴不等式𝑘𝑥+ 𝑏≤2的解集为𝑥≥0．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，直线𝑦= 3𝑥与直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)相交于点
𝑀(1,3)，则关于𝑥的不等式3𝑥> 𝑘𝑥+ 𝑏 的解集是_________．
【答案】𝑥> 1
【详解】解：观察图象得：当𝑥> 1时，直线𝑦= 3𝑥在直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的上方，
∴关于𝑥的不等式3𝑥> 𝑘𝑥+ 𝑏 的解集是𝑥> 1．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·江西九江·期末）如图，一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝐴(0,2)，点
𝐶(−1,0)，并且与一次函数𝑦2 = −4𝑥+ 𝑎的图象交于点𝐵．
(1)由图可知，不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集是__________；
(2)若不等式𝑘𝑥+ 𝑏> −4𝑥+ 𝑎的解集是𝑥>
1
2．
①求点𝐵的坐标；
②求𝑎的值．
【答案】(1)𝑥> −1
(2)①(
1
2 , 3)；②5
【分析】（1）根据函数图象找到一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏的图象在x 轴上方时自变量的取值范围即可得到答
案；
（2）①利用待定系数法求出直线𝐴𝐶的解析式，根据不等式的解集可得一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与一次函数
𝑦2 = −4𝑥+ 𝑎的交点的横坐标为
1
2，据此可求出点B 的坐标；②把点B 的坐标代入𝑦2 = −4𝑥+ 𝑎中求解a
即可．
【详解】（1）解：∵一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝐶(−1,0)，
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∴由函数图象可知，不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集是𝑥> −1；
（2）解：①∵一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝐴(0,2)，点𝐶(−1,0)，
∴{−𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= 2
，
∴{𝑘= 2
𝑏= 2
，
∴直线𝐴𝐶的解析式为𝑦1 = 2𝑥+ 2；
∵不等式𝑘𝑥+ 𝑏> −4𝑥+ 𝑎的解集是𝑥>
1
2，
∴一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与一次函数𝑦2 = −4𝑥+ 𝑎的交点的横坐标为
1
2，
在𝑦1 = 2𝑥+ 2中，当𝑥=
1
2时，𝑦1 = 2 ×
1
2 + 2 = 3，
∴𝐵(
1
2 , 3)；
②把点B 的坐标代入𝑦2 = −4𝑥+ 𝑎得3 = −4 ×
1
2 + 𝑎，解得𝑎= 5．
▌对点练1-5．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知直线𝑦1 = 𝑥+ 𝑎经过点𝐴(−6,0)，直线
𝑦2 = −2𝑥+ 𝑏与直线𝐴𝐵相交于点M，与x 轴交于点D，点M 的横坐标为−3．
(1)根据图象，直接写出当𝑥+ 𝑎> −2𝑥+ 𝑏时，x 的取值范围是______．
(2)求a 和b 的值；
(3)若点P 在直线𝐴𝐵上，且𝑆△𝐴𝐷𝑃= 3𝑆△𝐴𝐷𝑀，求点P 的坐标．
【答案】(1)𝑥> −3
(2)𝑎= 6，𝑏= −3．
(3)𝑃的坐标为(3,9)或(−15, −9)
【分析】（1）对于不等式𝑥+ 𝑎> −2𝑥+ 𝑏，因为其几何意义是直线𝑦1 = 𝑥+ 𝑎在𝑦2 = −2𝑥+ 𝑏上方时对应
的𝑥范围，所以结合两直线交点M 的横坐标即可直接确定取值范围．
（2）求𝑎的值，因为点𝐴(−6,0)在直线𝑦1 = 𝑥+ 𝑎上，所以将点A 坐标代入即可计算；求𝑏的值，先将M 的
横坐标代入𝑦1表达式得到M 的纵坐标，再将M 点坐标代入𝑦2 = −2𝑥+ 𝑏即可计算．
（3）解决三角形面积问题，先求出点D 的坐标，可得𝐴𝐷的长度为定值，因为△𝐴𝐷𝑃和△𝐴𝐷𝑀同底𝐴𝐷，
所以面积比等于高的比，即点P 纵坐标的绝对值是点M 纵坐标绝对值的3 倍，再结合点P 在直线𝐴𝐵上，
代入直线解析式即可求出P 的坐标．
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【详解】（1）解：∵不等式𝑥+ 𝑎> −2𝑥+ 𝑏表示直线𝑦1 = 𝑥+ 𝑎在直线𝑦2 = −2𝑥+ 𝑏上方的部分对应的𝑥范
围，两直线交点𝑀横坐标为−3，
∴由图象可得：𝑥> −3．
（2）解：将𝐴(−6,0)代入𝑦1 = 𝑥+ 𝑎，
得0 = −6 + 𝑎，
解得𝑎= 6，
∴𝑦1 = 𝑥+ 6．
∵𝑀横坐标为−3，
∴代入𝑦1得𝑦𝑀= −3 + 6 = 3，
∴𝑀(−3,3)．
将𝑀(−3,3)代入𝑦2 = −2𝑥+ 𝑏，
得3 = −2 × (−3) + 𝑏，
解得𝑏= −3．
（3）解：对𝑦2 = −2𝑥−3，令𝑦2 = 0，得0 = −2𝑥−3，
解得𝑥= −
3
2，
∴𝐷(−
3
2 , 0)．
∵𝐴(−6,0)，𝐷在𝑥轴上，
∴△𝐴𝐷𝑃和△𝐴𝐷𝑀同底为𝐴𝐷，
面积比等于对应高（纵坐标的绝对值）的比：
∵𝑆△𝐴𝐷𝑃= 3𝑆△𝐴𝐷𝑀，
得∣𝑦𝑃∣= 3 ∣𝑦𝑀∣= 3 × 3 = 9，
即𝑦𝑃= 9或𝑦𝑃= −9．
∵𝑃在直线𝐴𝐵: 𝑦= 𝑥+ 6上：
当𝑦𝑃= 9时，9 = 𝑥+ 6，解得𝑥= 3，得𝑃(3,9)；
当𝑦𝑃= −9时，−9 = 𝑥+ 6，解得𝑥= −15，得𝑃(−15,−9)．
∴点𝑃的坐标为(3,9)或(−15,−9)．
题型
一次函数与二元一次方程组结合
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▌例1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）已知直线𝑦= 2𝑥+ 1与直线𝑦= 𝑚𝑥−𝑛相交于点(𝑎, 2)，则关于
𝑥，𝑦的二元一次方程组{𝑦= 2𝑥+ 1
𝑦= 𝑚𝑥−𝑛
的解是（ ）
A．{𝑥=
1
2
𝑦= 2
B．{
𝑥= 2
𝑦=
1
2
C．{𝑥= 𝑚
𝑦= 𝑛
D．无法求解
【答案】A
【分析】求出交点坐标，再根据以直线解析式构成的二元一次方程组的解即为交点坐标即可求解．
【详解】解：将(𝑎, 2)代入𝑦= 2𝑥+ 1，得2𝑎+ 1 = 2，
解得𝑎=
1
2，
∴两直线的交点坐标为(
1
2 , 2)，
∴方程组{ 𝑦= 2𝑥+ 1
𝑦= 𝑚𝑥−𝑛
的解为{𝑥=
1
2
𝑦= 2
．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组{𝑥−𝑦= −1
2𝑥−𝑦= 3
的解为{𝑥= 4
𝑦= 5
，则直线𝑦= 𝑥+ 1
与直线𝑦= 2𝑥−3的交点坐标是（ ）
A．(4,5)
B．(5,4)
C．(4,0)
D．(5,0)
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两条直线的交点坐标就是对应二元一次方程组的
解，将已知方程组变形后即可得到对应直线，根据方程组的解得到交点坐标．
【详解】解：将已知方程组{𝑥−𝑦= −1
2𝑥−𝑦= 3
中的两个方程变形得到，
{ 𝑦= 𝑥+ 1
𝑦= 2𝑥−3
，
∵方程组{𝑥−𝑦= −1
2𝑥−𝑦= 3
的解为{𝑥= 4
𝑦= 5
，
∴直线𝑦= 𝑥+ 1与直线𝑦= 2𝑥−3的交点坐标是(4,5)．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·河北邯郸·期末）平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥与𝑦= −𝑥+ 3的
图像如图所示，则关于𝑥和𝑦的二元一次方程组{
𝑦= 𝑘𝑥
𝑦= −𝑥+ 3
的解是__________．
解题贴士
1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；
2）图象平行无交点则方程组无解，图象重合则方程组有无数组解。
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【答案】{𝑥= 2
𝑦= 1
【分析】根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标，结合图象作答即可．
【详解】解：由图象可知，二元一次方程组{
𝑦= 𝑘𝑥
𝑦= −𝑥+ 3
的解为{𝑥= 2
𝑦= 1
.
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线𝑦= −𝑥+ 2与𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛交点的横坐标为1，则
关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{𝑦= −𝑥+ 2
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛
的解为________．
【答案】{𝑥= 1
𝑦= 1
【分析】先将横坐标为1 代入𝑦= −𝑥+ 2解得两直线交点坐标(1,1)，再结合图像得出关于𝑥，𝑦的方程组
{𝑦= −𝑥+ 2
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛
的解为{𝑥= 1
𝑦= 1
．
【详解】解：∵直线𝑦= −𝑥+ 2与𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛交点的横坐标为1，
∴纵坐标为𝑦= −1 + 2 = 1，
∴两直线交点坐标(1,1)，
∴关于𝑥，𝑦的方程组{𝑦= −𝑥+ 2
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛
的解为{𝑥= 1
𝑦= 1
．
故答案为：{𝑥= 1
𝑦= 1
．
题型
一次函数实际应用——行程问题
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▌例1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，
停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．在整个过程中，这条小船与B码头的距离𝑥（单位：m）与所用
时间𝑡（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速
度分别为（ ）
A．15 m/min，25 m/min
B．30 m/min，15 m/min
C．25 m/min，30 m/min
D．30 m/min，25 m/min
【答案】D
【分析】依据函数的图象获取信息，根据行程问题中的“路程=速度×时间”进行计算．
【详解】解：小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，路程= 1500 m，时间= 50 min，速度= 1500 ÷ 50 =
30 (m min
⁄
)；抵达后停留= 50 min；小船从B码头返回A码头，路程= 1500 m，时间= 160 −100 =
60(min)，速度= 1500 ÷ 60 = 25 (m min
⁄
)．
▌例2．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加
2m/s．
(1)写出滚动的时间𝑡(s)和小球的速度𝑣(m/s)之间的函数关系式；
(2)当小球滚动了3.5s时，其速度是多少？
【答案】(1)𝑣= 2𝑡
(2)7m/s
【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）把𝑡= 3.5代入（1）所得函数关系式计算即可求解．
【详解】（1）解：∵小球由静止开始滚动，其速度每秒增加2m/s，
∴𝑣= 0 + 2𝑡= 2𝑡，
即𝑣= 2𝑡；
解题贴士
1）横轴为时间、纵轴为路程/距离，先求运动过程的一次函数解析式；
2）利用解析式求特定时间路程、相遇时间、相距距离；结合同向、相向、追及模型解题。
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（2）解：当𝑡= 3.5时，代入𝑣= 2𝑡，得𝑣= 2 × 3.5 = 7，
答：当小球滚动了3.5s时，其速度是7m/s．
▌对点练1-1．（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面16m高的平台起飞，两架
无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度𝑦（单位：m）与上升的时间𝑥（单位：s）的对应
关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．起飞时甲、乙高度相同
B．甲无人机的上升速度更快
C．乙无人机的上升速度更快
D．甲、乙两架无人机速度相同
【答案】B
【分析】数形结合可得答案．
【详解】解：由题可知：甲从地面起飞，乙无人机从距离地面16m高的平台起飞，起飞时甲、乙高度不相
同，故A 不正确；
速度=路程÷时间，由两图像交点知，相同时间内，甲上升的距离大于乙上升的距离，甲无人机的上升速
度更快，故B 正确，C 不正确，D 不正确．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期中）为促进A 县的经济发展，B 市公交公司决定：在A，B 两
地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B 两地
同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A 地的距离𝑦1, 𝑦2（单位：km）与出发时间𝑥（单位：
h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距120km，普通公交车的速度为30km/h．则点𝑃的坐标为
____．
【答案】(1,90)
【分析】根据函数图像分别表示出𝑦1, 𝑦2的解析式，然后求这两条直线的交点坐标即可．
【详解】解：如下图，设函数𝑦2的图像与𝑥轴，𝑦轴分别交于点𝑁, 𝑀，
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根据题意，可知𝑀(0,120), 𝐾(
4
3 , 120)，
普通公交车的速度为30km/h，
则普通公交车从B 地到A 地用时
120
30 = 4h，即𝑁(4,0)，
设𝑦1 = 𝑘1𝑥，将点𝐾(
4
3 , 120)代入，
可得120 =
4
3 𝑘1，解得𝑘1 = 90，
∴𝑦1 = 90𝑥，
设𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏，将点𝑀(0,120)，𝑁(4,0)代入，
可得{
120 = 𝑏
0 = 4𝑘2 + 𝑏
，解得{𝑘2 = −30
𝑏= 120
，
∴𝑦2 = −30𝑥+ 120，
联立方程，可得90𝑥= −30𝑥+ 120，解得𝑥= 1，
将𝑥= 1代入𝑦1 = 90𝑥，可得𝑦1 = 90，
∴点𝑃的坐标为(1,90)．
▌对点练1-3．（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过
服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离𝑦（千米）与离开家的时
间𝑥（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)小刚在服务区休息了_____小时；
(2)求𝐵𝐶所在直线对应的函数表达式；
(3)当小刚离家的距离恰好为200 千米时，小刚离开家_____小时．
【答案】(1)1
(2)𝑦= 100𝑥−120
(3)3.2
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【分析】（1）根据函数图象，可得𝐴, 𝐵两点之间的函数值无变化，即可求解；
（2）待定系数法求解析式，即可求解；
（3）将𝑦= 200代入解析式，即可求解．
【详解】（1）解： 根据函数图象可得小刚在服务区休息了1 小时；
（2）解：设𝐵𝐶所在直线对应的函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
把(2,80)、(4,280)代入，
得{ 2𝑘+ 𝑏= 80
4𝑘+ 𝑏= 280
，
解得{ 𝑘= 100
𝑏= −120
，
所以线段𝐵𝐶所在直线对应的函数表达式为𝑦= 100𝑥−120．
（3）解：当𝑦= 200时，200 = 100𝑥−120
解得：𝑥= 3.2，
∴小刚离开家3.2 小时．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）如图1，公路上有A、B、C 三地，小红、小芳两人分别从
A、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段𝑂𝑃、𝑀𝑁分别表示小红、小芳两人距离𝐴地的距
离𝑦（米）与跑步时间𝑥（分钟）的函数图象．
(1)𝐴𝐶=__________米；
(2)记线段𝑂𝑃、𝑀𝑁的交点为𝑄，求𝑄点坐标，并解释该点的实际意义；
(3)若小红到达𝐵地后，3 分钟后小芳也到达𝐵地，求𝐴、𝐵两地间的距离．
【答案】(1)1200
(2)𝑄(4,800)；小红、小芳跑了4 分钟相遇，此时距离A 点800 米
(3)600 米
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用．
（1）根据函数图象直接得出答案即可；
（2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即
可求出点Q 的坐标；
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（3）设A、B 两地的距离为s 米，利用时间关系可得
𝑠
200 + 3 =
1200−𝑠
100 ，再解方程即可．
【详解】（1）解：根据函数图象可得：𝐴𝐶= 1200米；
（2）解：根据函数图象可得：小红的速度为：
1200
6
= 200（米/分），
小芳的速度为：
1200
12 = 100（米/分），
相遇时小红用的时间为：
1200
200+100 = 4（分钟），
相遇时小红跑的路程为：200 × 4 = 800（米）
∴点Q 的坐标为(4,800)，点Q 表示小红、小芳跑了4 分钟相遇，此时距离A 点800 米．
（3）解：设A、B 两地的距离为s 米．
由题意得
𝑠
200 + 3 =
1200−𝑠
100 ，
解得𝑠= 600，
答：A、B 两地的距离为600 米．
题型
一次函数实际应用——销售利润问题
▌例1．（25-26 八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，
每吨销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，每吨销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公
司每月这两种特产的销售量之和都是100吨．设该公司每月销售甲特产𝑥吨，销售这两种特产所能获得的总
利润为𝑦万元．
(1)求𝑦与𝑥的函数解析式．
(2)若甲特产的销售量不超过20 吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
【答案】(1)𝑦= 0.3𝑥+ 20(0 ≤𝑥≤100)
(2)26万元
【分析】（1）根据利润公式得出表达式即可；
（2）根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：每月销售甲特产𝑥吨，乙特产(100 −𝑥)吨，
∴总利润𝑦= 0.5𝑥+ 0.2(100 −𝑥) = 0.3𝑥+ 20(0 ≤𝑥≤100) ．
（2）解：若甲特产的销售量不超过20 吨，即𝑥≤20，
∵总利润为𝑦= 0.3𝑥+ 20，
解题贴士
1）根据“利润=(售价-成本)×销量”，结合销量与售价的一次函数关系，构建利润函数；
2）利用函数增减性求最大、最小利润，结合自变量取值范围确定最值。
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其中𝑘= 0.3 > 0，故𝑦随𝑥的增大而增大，
若总利润最大，则𝑥应最大，
𝑥最大为20，
∴总利润最大为0.3 × 20 + 20 = 26万元
▌例2．（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的
运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100 个，两种球的进价与
售价如下表所示．设采购𝑥个篮球，获得的总利润为𝑦元．
品名
厂家批发价元/个
商场零售价元/个
篮球
120
145
足球
100
120
(1)求总利润𝑦与𝑥的函数关系式；
(2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少
元？
【答案】(1)𝑦= 5𝑥+ 2000
(2)采购篮球50 个，足球50 个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250 元
【分析】本题考查了一次函数的应用，不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，采购𝑥个篮球，则采购(100 −𝑥)个足球，结合两种球的进价与售价表进行列式计算，即可
作答．
（2）先根据该商家采购的篮球个数不超过足球个数，得出𝑥≤50，再结合𝑦= 5𝑥+ 2000，则𝑦随𝑥的增大
而增大，故把𝑥= 50代入𝑦= 5𝑥+ 2000，得𝑦= 5 × 50 + 2000 = 2250，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，采购𝑥个篮球，则采购(100 −𝑥)个足球，
∴𝑦= (145 −120)𝑥+ (120 −100)(100 −𝑥) = 25𝑥+ 20(100 −𝑥) = 5𝑥+ 2000．
（2）解：∵该商家采购的篮球个数不超过足球个数，
∴𝑥≤100 −𝑥，
解得𝑥≤50，
由（1）得𝑦= 5𝑥+ 2000，
∵5 > 0，
∴𝑦随𝑥的增大而增大，
故把𝑥= 50代入𝑦= 5𝑥+ 2000，得𝑦= 5 × 50 + 2000 = 2250．
∴采购篮球50 个，足球50 个，该商家能获得最大利润，最大利润是2250 元．
▌对点练1-1．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖
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丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2 个哪吒主题手办和
3 个敖丙主题手办，需花费160 元；买3 个哪吒主题手办和2 个敖丙主题手办，需花费140 元．
(1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？
(2)现在粉丝团计划一共买8 个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买
敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W 最少？并求出W 的最小值．
【答案】(1)每个哪吒主题手办的售价为20 元，每个敖丙主题手办的售价为40 元
(2)购买哪吒主题手办2 个，则购买敖丙主题手办6 个时总费用W 最少，W 的最小值为280 元
【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式约束以及一次函数的性质．解题的关键是通过建立方程组求
解手办单价，再根据不等式约束确定购买方案，最后利用一次函数的单调性找到总费用最小值．
（1）首先设每个哪吒主题手办售价为x 元，每个敖丙主题手办售价为y 元，根据题干中“买 2 个哪吒和 3
个敖丙需 160 元”“买 3 个哪吒和 2 个敖丙需 140 元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组求解即
可；
（2）设购买哪吒主题手办m 个，则购买敖丙主题手办(8 −𝑚)个，结合（1）中求得的单价，建立总费用
函数关系式；再根据 “两种手办都得有”“哪吒数量不超过敖丙数量一半” 的要求，列出不等式组确定m 的
正整数取值为 1 或 2；最后根据函数的性质确定最优解．
【详解】（1）解：设每个哪吒主题手办的售价为x 元，每个敖丙主题手办的售价为y 元．
根据题意得：{2𝑥+ 3𝑦= 160
3𝑥+ 2𝑦= 140
，
解得：{𝑥= 20
𝑦= 40
，
答：每个哪吒主题手办的售价为20 元，每个敖丙主题手办的售价为40 元；
（2）设购买哪吒主题手办m 个，则购买敖丙主题手办(8 −𝑚)个
根据题意得：𝑊= 20𝑚+ 40(8 −𝑚) = −20𝑚+ 320
∵{
𝑚> 0
8 −𝑚> 0
𝑚≤
1
2 (8 −𝑚)
，
∴0 < 𝑚≤
8
3
∵𝑚为正整数
∴𝑚= 1或2
在𝑊= −20𝑚+ 320中，
∵𝑘= −20 < 0，W 随m 的增大而减小，
∴当𝑚= 2时，W 最小，此时8 −𝑚= 6，𝑊最小= −20 × 2 + 320 = 280（元）
答：购买哪吒主题手办2 个，则购买敖丙主题手办6 个时总费用W 最少，W 的最小值为280 元．
▌对点练1-2．（2026·江苏南通·模拟预测）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140 吨，准备加工后进行销
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售，销售后获利的情况如下表所示：
销售方式
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利（元）
1000
2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5 吨或粗加工15 吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件
的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
(1)如果要求12 天刚好加工完140 吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．若要求在不超过10 天的时间内，将140 吨蔬菜全部加工完后进
行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？
【答案】(1)应安排4 天精加工，8 天粗加工
(2)加工这批蔬菜最多获得145000 元利润
【分析】（1）根据题意可得等量关系为：精加工天数+粗加工天数= 12，精加工吨数+粗加工吨数= 140，
列出方程组求解即可．
（2）设精加工的蔬菜吨数为m 吨，销售利润为𝑊元，则粗加工的蔬菜吨数为(140 −𝑚)吨，根据题意列出
W 与m 之间的关系，再确定m 的取值范围，然后利用一次函数的性质求出W 的最大值．
【详解】（1）解：设应安排𝑥天进行精加工，𝑦天粗加工，
根据题意得{
𝑥+ 𝑦= 12
5𝑥+ 15𝑦= 140
解得{𝑥= 4
𝑦= 8
，
答：应安排4 天进行精加工，8 天粗加工；
（2）解：设精加工的蔬菜吨数为m 吨，销售利润为𝑊元，则粗加工的蔬菜吨数为(140 −𝑚)吨，
∵要求在不超过10 天的时间内将所有蔬菜加工完，
∴𝑚
5 + 140 −𝑚
15
≤10
解得𝑚≤5
∴0 < 𝑚≤5，
根据题意，得𝑊= 2 000𝑚+ 1 000(140 −𝑚) = 1 000𝑚+ 140000，
∵1000 > 0，
∴W 随m 的增大而增大，
∴当𝑚= 5时，W 最大，最大值为1000 × 5 + 140000 = 145000，
答：加工这批蔬菜最多获得145000 元利润．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，
商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该公司购买甲种
道具𝑥件，付款𝑦元，𝑦与𝑥之间的函数关系如图所示，
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(1)求𝑦与𝑥之间的函数解析式；
(2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的
5
3，乙种道具
不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值．
【答案】(1)𝑦= { 44𝑥(0 ≤𝑥< 60)
38𝑥+ 360(𝑥≥60)
(2)购买甲道具85件，购买乙道具35件时，该公司付款总金额最少为4990元
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）设购买甲道具𝑎件，先求出a 的取值范围，再设该公司付款总金额为𝑤元，列出w 关于a 的函数关系
式，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：当0 ≤𝑥< 60时，设函数解析式为𝑦= 𝑘𝑥，
则60𝑘= 2640，解得𝑘= 44，
即𝑦= 44𝑥；
当𝑥≥60时，设函数解析式为𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏，则{60𝑘1 + 𝑏= 2640
80𝑘1 + 𝑏= 3400
，
解得{𝑘1 = 38
𝑏= 360
即𝑦= 38𝑥+ 360，
综上可知，𝑦= { 44𝑥(0 ≤𝑥< 60)
38𝑥+ 360(𝑥≥60)
；
（2）解：设购买甲道具𝑎件，则
{𝑎≥
5
3 (120 −𝑎)
120 −𝑎≥35
，
解得75 ≤𝑎≤85，
设该公司付款总金额为𝑤元，则
𝑤= (38𝑎+ 360) + 40(120 −𝑎) = −2𝑎+ 5160
∵−2 < 0，
∴𝑤随𝑎的增大而减小，
∴当𝑎= 85时，𝑤有最小值为4990，
即购买甲道具85件，购买乙道具35件时，该公司付款总金额最少为4990元．
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▌对点练1-4．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景
东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群
众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济．阿城区山林资源丰富，生
态条件优越，盛产各类优质原生态山珍，某特产专营店推出𝐴、𝐵两款山珍礼盒，深受消费
者喜爱．
素材一
顾客甲在该专营店购买记录：2盒𝐴款礼盒、3盒𝐵款礼盒，共600元；
素材二
顾客乙在该专营店购买记录：4盒𝐴款礼盒、5盒𝐵款礼盒，共1100元．
素材三
某球迷协会，计划采购这两款礼盒共60盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求𝐵款礼盒的
数量不超过𝐴款礼盒数量的2倍．
请完成下列任务：
(1)求每盒𝐴款礼盒、每盒𝐵款礼盒的单价；
(2)求𝐴款礼盒购买多少盒时，使得该球迷协会购买的总费用最低，最低总费用是多少元？
【答案】(1)每盒𝐴款礼盒单价为150元，每盒𝐵款礼盒单价为100元
(2)采购𝐴款礼盒20盒时总费用最低，最低总费用为7000元
【分析】（1）设每盒𝐴款礼盒单价为𝑥元，每盒𝐵款礼盒单价为𝑦元，列二元一次方程组求解即可；
（2）设采购𝐴款礼盒𝑎盒，求出𝑎的取值范围，设购买这批物资的总费用为𝑤，可得：𝑊= 50𝑎+ 6000，
根据一次函数的性质可得：当𝑎= 20时，𝑤的最小值= 7000．
【详解】（1）解：设每盒𝐴款礼盒单价为𝑥元，每盒𝐵款礼盒单价为𝑦元，
{ 2𝑥+ 3𝑦= 600
4𝑥+ 5𝑦= 1100
，
解得：{𝑥= 150
𝑦= 100
，
答：每盒𝐴款礼盒单价为150元，每盒𝐵款礼盒单价为100元；
（2）解：设采购𝐴款礼盒𝑎盒，
根据题意可得：60 −𝑎≤2𝑎，
解得：𝑎≥20，
设购买这批物资的总费用为𝑤，
根据题意可得：𝑤= 150𝑎+ 100(60 −𝑎) = 50𝑎+ 6000，
∵50 > 0，
∴𝑤随𝑎的增大而增大，
当𝑎= 20时，𝑤的最小值= 50 × 20 + 6000 = 7000，
答：采购𝐴款礼盒20盒时总费用最低，最低总费用为7000元．
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题型
一次函数实际应用——分配方案问题
▌例1．（25-26 八年级上·山东青岛·期末）学校有1100 本作文本需要打包发放，现有A、B 两种型号的箱子
可供选择．已知1 个A型箱子和2 个B型箱子装满后可打包500 本作文本，2 个A型箱子和1 个B型箱子装满
后可打包400 本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本．
(1)每个A型箱子和B型箱子分别能装多少本作文本？
(2)若A型箱子每个3 元，B型箱子每个5 元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？
【答案】(1)每个A型箱子能装100 本作文本，每个B型箱子能装200 本作文本
(2)共有5 种打包方案，A型箱子1 个，B型箱子5 个，费用最少，为28 元
【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键．
（1）设每个A 型箱子能装𝑥本作文本，每个B 型箱子能装𝑦本作文本，根据题意列方程组求解即可；
（2）设需要A 型箱子𝑎个，B 型箱子𝑏个，费用为𝑊元，根据题意可得到𝑎= 11 −2𝑏，进而由a、b 为正整
数求得a、b 的值，再得到𝑊= −𝑏+ 33，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每个A 型箱子能装𝑥本作文本，每个B 型箱子能装𝑦本作文本，
根据题意，得{𝑥+ 2𝑦= 500
2𝑥+ 𝑦= 400
，解得{𝑥= 100
𝑦= 200
，
答：每个A 型箱子能装100 本作文本，每个B 型箱子能装200 本作文本；
（2）解：设需要A 型箱子𝑎个，B 型箱子𝑏个，费用为𝑊元
由题意，100𝑎+ 200𝑏= 1100
∴𝑎= 11 −2𝑏
∵𝑎, 𝑏为正整数
∴{𝑎= 9
𝑏= 1
或{𝑎= 7
𝑏= 2
或{𝑎= 5
𝑏= 3
或{𝑎= 3
𝑏= 4
或{𝑎= 1
𝑏= 5
𝑊= 3𝑎+ 5𝑏= 3(11 −2𝑏) + 5𝑏= −𝑏+ 33
∵𝑘= −1 < 0
∴𝑊随𝑏增大而减小
∴当𝑏= 5时，𝑊取得最小值，此时𝑊= −𝑏+ 33 = −5 + 33 = 28
答：共有5 种打包方案，A 型箱子1 个，B 型箱子5 个，费用最少，为28 元．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）A 城有肥料200t，B 城有肥料300t．现要把这些肥料全部
解题贴士
易错：①约束条件挖掘不全，取值范围出错；②忽略自变量为正整数；③不会根据增减性判断最优方
案；④多种分配方案枚举遗漏。
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运往C、D 两乡．从A 城往C、D 两乡运肥料的费用分别为20 元/t和25 元/t；从B 城往C、D 两乡运肥料
的费用分别为15 元/t和24 元/t．现C 乡需要肥料240t，D 乡需要肥料260t．若从A 城运往C 乡的肥料为
𝑥 t，总运费为𝑦元．
(1)用含𝑥的代数式表示从A 城运往D 乡的肥料；
(2)写出总运费𝑦与𝑥之间的函数关系式；并写出𝑥的取值范围．
(3)怎样调运可使总运费最少？
【答案】(1)(200 −𝑥)t
(2)𝑦= 4𝑥+ 10040(0 ≤𝑥≤200)
(3)从A 城运往C 乡0t，运往D 乡200t，从B 城运往C 乡240t，运往D 乡60t时，总运费最少，最少为
10040 元
【分析】（1）用A 城的肥料减去A 城运往C 乡的肥料即可得到答案；
（2）分别表示出从B 城运往C 乡的肥料和从B 城运往D 乡的肥料，然后分别计算对应的运费，求和即可
得到答案；
（3）根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：从A 城运往D 乡的肥料为(200 −𝑥)t；
（2）解：从B 城运往C 乡的肥料为(240 −𝑥)t，
从B 城运往D 乡的肥料为300 −(240 −𝑥) = (60 + 𝑥)t，
∴𝑦= 20𝑥+ 25(200 −𝑥) + 15(240 −𝑥) + 24(60 + 𝑥)
= 20𝑥+ 5000 −25𝑥+ 3600 −15𝑥+ 1440 + 24𝑥
= 4𝑥+ 10040 (0 ≤𝑥≤200)
（3）解：∵𝑦= 4𝑥+ 10040的一次项系数为4 > 0，
∴𝑦随𝑥的增大而增大，
又∵0 ≤𝑥≤200
∴当𝑥取最小值0 时，𝑦取得最小值，最小值为0 + 10040 = 10040（元），
此时200 −𝑥= 200,240 −𝑥= 240,60 + 𝑥= 60，
答：从A 城运往C 乡0t，运往D 乡200t，从B 城运往C 乡240t，运往D 乡60t时，总运费最少，最少为
10040 元．
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▌对点练1-2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为
了缅怀先烈我们学校计划组织580名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公
司提供的𝐴，𝐵两种型号客车中，租用20辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的
载客量和租金信息．设学校租用𝐴型号客车𝑥辆，租车总费用为𝑦元．
型号
载客量
租金
𝐴
30 人/辆
400 元/辆
𝐵
25 人/辆
300 元/辆
(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式，并写出𝑥的取值范围．
(2)若要使租车总费用不超过7900元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用．
【答案】(1)
𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦= 100𝑥+ 6000，𝑥的取值范围是16 ≤𝑥≤20，且𝑥为整数
(2)
一共有4种租车方案，最低租车费用为7600元
【分析】（1）由总费用为两种车型租金之和列函数解析式，结合载客量要求与车辆数为整数确定𝑥的取值
范围；
（2）根据总费用限制列不等式，结合𝑥的取值范围确定方案数，利用一次函数增减性求最低费用．
【详解】（1）解：∵租用𝐴型号客车𝑥辆，共租用20辆客车，
∴租用𝐵型号客车(20 −𝑥)辆，
∴𝑦= 400𝑥+ 300(20 −𝑥) = 100𝑥+ 6000；
由需搭载580名学生，得 30𝑥+ 25(20 −𝑥) ≥580， 解得𝑥≥16；
∵𝑥≥0，20 −𝑥≥0，即𝑥≤20，且𝑥为整数，
∴16 ≤𝑥≤20，且𝑥为整数；
答：𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦= 100𝑥+ 6000，𝑥的取值范围是16 ≤𝑥≤20且𝑥为整数．
（2）解：由租车总费用不超过7900元，得100𝑥+ 6000 ≤7900，解得𝑥≤19；
结合（1）中16 ≤𝑥≤20且𝑥为整数，
∴16 ≤𝑥≤19，且𝑥为整数，
∴𝑥可取16，17，18，19，共4种租车方案；
∵100 > 0，
∴𝑦随𝑥的增大而增大，
∴当𝑥= 16时，𝑦取得最小值，最小值为100 × 16 + 6000 = 7600（元）．
答：一共有4种租车方案，最低租车费用为7600元．
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▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案
某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A 款智能机器人模型与B 款科
创笔记本共120 件，已知A 款机器人模型单价25 元/件，B 款科创笔记本单价20 元/件．请以“活动采购规
划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务：
任务一：建立总费用函数模型
(1)设购买A 款智能机器人模型的数量为𝑥件，购买两种奖品的总费用为𝑦元．请求出总费用𝑦与A 款机器人
模型数量𝑥之间的函数关系式．
任务二：实际采购费用核算
(2)若本次科普展计划购买40件A 款智能机器人模型，剩余奖品均为B 款科创笔记本，请计算本次采购的总
费用．
任务三：最优采购方案设计
(3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A 款智能机器人模型的购买数量不少于50件且不多于80件．请通过
函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用．
【答案】(1)𝑦= 5𝑥+ 2400（0 ≤𝑥≤120，且𝑥为整数）
(2)当购买了40件A 款智能机器人模型时，总费用是2600元
(3)总费用最少的采购方案是A 款智能机器人模型50件，B 款科创笔记本70件，总费用最少是2650元
【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与A 款数量的一次函数关系；
（2）直接将给定的A 款机器人数量代入函数，计算总费用；
（3）根据一次函数的增减性，在给定的𝑥取值范围内找到使总费用最小的采购方案．
【详解】（1）解：根据题意，得𝑦= 25𝑥+ 20(120 −𝑥) = 5𝑥+ 2400，
其中0 ≤𝑥≤120，且𝑥为整数，
故总费用𝑦（元）与机器人模型的数量𝑥（件）之间的关系式为𝑦= 5𝑥+ 2400（0 ≤𝑥≤120，且𝑥为整
数）．
（2）解：当𝑥= 40时，𝑦= 5 × 40 + 2400 = 2600．
故当购买了40件A 款智能机器人模型时，总费用是2600元．
（3）解：由题意，得50 ≤𝑥≤80，
由（1）可知，𝑦= 5𝑥+ 2400，
∵𝑘= 5，且5 > 0，
∴𝑦随𝑥的增大而增大，
∴当𝑥= 50时，𝑦的最小值为5 × 50 + 2400 = 2650元，
∴B款科创笔记本为120 −50 = 70（件），
故总费用最少的采购方案是A 款智能机器人模型50件，B 款科创笔记本70件，总费用最少是2650元．
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题型
一次函数实际应用——阶梯计费问题
▌例1．（25-26 八年级下·河北保定·期末）某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，
具体如下：
方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6 元．
方案二：每日固定基础服务费18 元，行驶路程不超过50km时，每千米燃油费0.5 元；行驶路程超过50km
时，超出部分每千米燃油费0.4 元．
(1)设每日通勤燃油总费用为W 元，分别求出两种计费方案下W 关于行驶路程x 的函数解析式．
(2)若企业每日通勤行驶路程𝑥= 100，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算．
【答案】(1)方案一：𝑊1 = 0.6𝑥(𝑥≥0)；方案二：当0 ≤𝑥≤50时，𝑊2 = 18 + 0.5𝑥；当𝑥> 50时，𝑊2 =
0.4𝑥+ 23
(2)选方案一更划算
【分析】（1）根据两个方案中的燃油计费规则分别写出函数解析式即可；
（2）分别求出当𝑥= 100时的燃油费用，然后比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意，方案一：𝑊1 = 0.6𝑥(𝑥≥0)．
方案二：分段计费，分两种情况：
当0 ≤𝑥≤50时，𝑊2 = 18 + 0.5𝑥；
当𝑥> 50时，𝑊2 = 18 + 0.5 × 50 + 0.4(𝑥−50) = 0.4𝑥+ 23；
（2）解：当𝑥= 100时，
𝑊1 = 0.6𝑥= 0.6 × 100 = 60，𝑊2 = 0.4𝑥+ 23 = 0.4 × 100 + 23 = 63，
∵𝑊1 < 𝑊2，
∴选方案一更划算．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及
分档计费标准：
计费档
户月用电量x/
（kW·h）
单价/[元/（kW·h）]
第一档
0 < 𝑥≤170
0.5
解题贴士
1）费用随用量分段变化，每段为独立一次函数；
2）先判断用量所在区间，代入对应区间解析式计算费用；
3）已知费用可反向求用量范围。
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第二档
170 < 𝑥≤260
0.6
第三档
𝑥> 260
0.8
(1)当170 < 𝑥≤260时，写出电费y（单位：元）与用电量x 之间的表达式；
(2)某户12 月的电费是127 元，求该户12 月的用电量．
【答案】(1)𝑦= 0.6𝑥−17
(2)某户12 月的电费是127 元，该户12 月的用电量为240kW·h．
【分析】（1）用电量分为两部分计费：前170 千瓦时按单价0.5 元计算，超出170 千瓦时的部分(𝑥−170)
按单价0.6 元计算，总电费为两部分电费相加；
（2）先算出各档位电费区间，判断127 元落在第几档，再代入对应解析式解方程．
【详解】（1）解：由题意得，当170 < 𝑥≤260时，𝑦= 0.5 × 170 + 0.6(𝑥−170) = 0.6𝑥−17．
（2）解：∵170 × 0.5 = 85 < 127,170 × 0.5 + 0.6 × (260 −170) = 85 + 54 = 139 > 127，
∴170 < 𝑥≤260，
设用电量为xkW·h，
由题意得，
170 × 0.5 + 0.6 × (𝑥−170) = 127，
解得𝑥= 240，
则该户12 月的用电量为240kW·h．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐：
套餐种类
计费方式
A
基础费用每月30 元（包含15GB通用流量），超过部分每GB收费1 元；
B
通用流量2.5元/GB，当月使用流量达到20GB后不再收取额外费用．
(1)请分别写出A，B套餐所需费用𝑦（单位：元）与当月使用流量𝑥（单位：GB）之间的函数关系式；
(2)某消费者每月使用流量超过20GB，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由．
【答案】(1)A 套餐：当0 ≤𝑥≤15时，𝑦= 30；当𝑥> 15时，𝑦= 𝑥+ 15；B 套餐：当0 ≤𝑥≤20时，𝑦=
2.5𝑥；当𝑥> 20时，𝑦= 50．
(2)当20 < 𝑥< 35时，选择A 套餐更省钱；当𝑥= 35时，两种套餐费用相同；当𝑥> 35时，选择B 套餐更
省钱
【分析】（1）分范围写出分段函数；
（2）在𝑥> 20的条件下，比较两个函数值的大小，分情况得到更省钱的方案．
【详解】（1）解：A 套餐：当0 ≤𝑥≤15时，𝑦= 30；当𝑥> 15时，𝑦= 30 + 1 × (𝑥−15) = 𝑥+ 15；
B 套餐：当0 ≤𝑥≤20时，𝑦= 2.5𝑥；当𝑥> 20时，𝑦= 2.5 × 20 = 50．
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（2）解：当𝑥> 20时，此时A 套餐费用为𝑦𝐴= 𝑥+ 15，B 套餐费用为𝑦𝐵= 50，
当𝑦𝐴= 𝑦𝐵，即𝑥+ 15 = 50，
解得：𝑥= 35，
当𝑦𝐴> 𝑦𝐵，即𝑥+ 15 > 50，
解得：𝑥> 35，
当𝑦𝐴< 𝑦𝐵，即𝑥+ 15 < 50，
解得：𝑥< 35，
又因为𝑥> 20，
∴20 < 𝑥< 35；
当20 < 𝑥< 35时，选择A 套餐更省钱；当𝑥= 35时，两种套餐费用相同；当𝑥> 35时，选择B 套餐更省
钱．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算
水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准：
户年用水量（m3）
水费单价（元/m3）
不超过150 m3的部分
𝑘
超过150 m3的部分
6
已知A 户去年的户年用水量为90 m3，去年整年的水费是360元，设户年用水量为𝑥（m3），整年的水费为𝑦
（元）．
(1)𝑘的值为________；
(2)求𝑦关于𝑥的函数解析式；
(3)已知B 户去年整年的水费是660元，求B 户去年的户年用水量．
【答案】(1)4
(2)𝑦= { 4𝑥(0 < 𝑥≤150)
6𝑥−300(𝑥> 150)
(3)160 m3
【分析】（1）根据A 户去年的户年用水量为90 m3小于150 m3进行计算即可；
（2）分情况讨论进行求解即可；
（3）先算出B 户去年的户年用水量大于150 m3，据此计算即可．
【详解】（1）解：∵A 户去年的户年用水量为90 m3 < 150 m3，
∴90𝑘= 360，解得𝑘= 4；
（2）解：当0 < 𝑥≤150时，
𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦= 4𝑥，
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当𝑥> 150时，𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦= 150 × 4 + 6(𝑥−150) = 6𝑥−300，
∴𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦= { 4𝑥(0 < 𝑥≤150)
6𝑥−300(𝑥> 150)
；
（3）解：当𝑥= 150时，𝑦= 4 × 150 = 600 < 660，
∴B户去年的户年用水量大于150 m3，
将𝑦= 660代入𝑦= 6𝑥−300，得660 = 6𝑥−300，
解得𝑥= 160．
答：B 户去年的户年用水量为160 m3．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·青海海东·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计
算用户的电费，应交电费𝑦（元）与每月用电量𝑥（度）的关系如图所示．
(1)分别求当0 ≤𝑥≤50和𝑥> 50时，𝑦与𝑥的函数解析式；
(2)当用电量为45度时，则应交电费多少钱？
【答案】(1)当0 ≤𝑥≤50时，𝑦=
1
2 𝑥，
当𝑥> 50时，𝑦=
9
10 𝑥−20
(2)应交电费22.5元
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）将𝑥= 45代入即可求解．
【详解】（1）解：（1）当0 ≤𝑥≤50时，设𝑦= 𝑘𝑥(𝑘≠0)，
把(50,25)代入得25 = 50𝑘，解得𝑘=
1
2
∴𝑦=
1
2 𝑥；
当𝑥> 50时，设𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛(𝑚≠0)，
把(50,25)，(100,70)分别代入得{ 25 = 50𝑚+ 𝑛
70 = 100𝑚+ 𝑛
，
解得{ 𝑚=
9
10
𝑛= −20
，
∴𝑦=
9
10 𝑥−20；
（2）依题意，当𝑥= 45时，45 < 50，𝑦=
1
2 𝑥=
1
2 × 45 = 22.5（元）．
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题型
一次函数实际应用——跨学科问题
▌例1．（25-26 八年级下·河北衡水·期末）在弹性限度内，弹簧的长度𝑦（cm）与所挂物体质量𝑥（kg）的
函数图象如图所示，当所挂物体的质量为3.5 kg时，弹簧的长度为（ ）
A．15 cm
B．14.8 cm
C．14.5 cm
D．13.5 cm
【答案】A
【分析】根据函数图象确定直线经过的两个点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，再将 𝑥= 3.5 代
入计算即可．
【详解】解：设弹簧长度 𝑦 与所挂物体质量 𝑥 的函数解析式为 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏．
由图象可知，直线经过点 (1,10) 和 (3,14)．
∴{ 𝑘+ 𝑏= 10
3𝑘+ 𝑏= 14 ，解得 {𝑘= 2
𝑏= 8，
∴𝑦= 2𝑥+ 8，
当 𝑥= 3.5 时，𝑦= 2 × 3.5 + 8 = 7 + 8 = 15．
∴当所挂物体的质量为3.5 kg时，弹簧的长度为15cm．
▌例2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）某科技公司研发了一款基于人工智能的农业系统，用于优化温室
大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度𝑦（毫米）与每日光照
时间𝑥（小时）之间满足一次函数关系．某团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据以作研究，以
下是实验记录的部分数据：
每日光照时间𝑥（小时）
…
6
8
10
12
14
…
日均生长高度𝑦（毫米）
…
3.2
4.0
4.8
5.6
6.4
…
(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式；
(2)若某天由于天气原因，温室仅能提供7 小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度．
解题贴士
结合物理速度、压强、温度转换等跨学科公式，识别变量间一次函数关系，建立解析式，代入数值求解、
分析变化规律。
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【答案】(1)𝑦= 0.4𝑥+ 0.8
(2)3.6 毫米
【分析】（1）因为已知y 与x 满足一次函数关系，所以设函数解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘≠0），从表格中选
取两组对应的x、y 值代入解析式，得到关于k 和b 的二元一次方程组．解上述二元一次方程组，求出k 和
b 的值，即可得到y 关于x 的函数解析式．
（2）如果要预测光照7 小时的生长高度，那么将𝑥= 7代入已求出的函数解析式，计算对应的y 值即可．
【详解】（1）解：设𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
把(6,3.2)，(8,4.0)分别代入上式，
得{6𝑘+ 𝑏= 3.2
8𝑘+ 𝑏= 4.0
，
解得{𝑘= 0.4
𝑏= 0.8
．
∴𝑦关于𝑥的函数解析式为𝑦= 0.4𝑥+ 0.8．
（2）解：∵𝑦= 0.4𝑥+ 0.8，
∴当𝑥= 7时，𝑦= 0.4 × 7 + 0.8 = 3.6．
故当温室仅能提供7 小时光照时，预测该番茄植株当天的生长高度为3.6 毫米．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·内蒙古包头·期末）某湿地修复项目中，研究人员需监测两种水质指标--溶
解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．如图所示，溶解氧浓度由
直线𝑙1：𝑦= 𝑥+ 1描述，污染物浓度由直线𝑙2：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)描述．已知在第m 天时，溶解氧浓度与
污染物浓度相等（均为5mg/L)，对应交点𝑃(𝑚, 5)．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修
复能力，此时x 范围是（ ）
A．𝑥≥4
B．𝑥≤4
C．𝑥≤5
D．𝑥≥5
【答案】A
【分析】先求得𝑚的值，结合函数图象，即可求解．
【详解】解：∵𝑃(𝑚, 5)在𝑙1: 𝑦= 𝑥+ 1上，
∴5 = 𝑚+ 1
解得：𝑚= 4
根据函数图象可得，当𝑥≥4时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度.
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▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在装水的盆中
放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块𝐵全程保持漂浮状态，通过测量木块
𝐵浮在水面上的高度ℎ(mm)与铁块𝐴的质量𝑥(g)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块𝐴质量
为100g时，木块𝐵露出水面上的高度ℎ为_______mm．
实验次数
一
二
三
铁块A 质量𝑥/g
25
50
75
高度ℎ/mm
44
38
32
【答案】26
【分析】设ℎ= 𝑘𝑥+ 𝑏，利用待定系数法求出ℎ= −
6
25 𝑥+ 50，当𝑥= 100时，求出ℎ的值即可得到答案．
【详解】解：设ℎ= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将(25，44)，(50，38)代入解析式得：{25𝑘+ 𝑏= 44
50𝑘+ 𝑏= 38
，
解得：{𝑘= −
6
25
𝑏= 50
，
∴高度ℎ(mm)与铁块𝐴的质量𝑥(g)的关系式为：ℎ= −
6
25 𝑥+ 50，
当𝑥= 100时，ℎ= −
6
25 × 100 + 50 = 26，
∴当铁块𝐴质量为100g时，木块𝐵浮在水面上的高度ℎ为26mm．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·福建福州·期末）在气温为−20°C到40°C范围内，声音在空气中的传播速度
（声速）𝑣（单位：m/s）与气温𝑡（单位：°C）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数
据：
气温𝑡（°C）
−10
0
10
20
声速𝑣（m/s）
325
331
337
343
已知声速𝑣（单位：m/s），声音频率𝑓（单位：Hz）与波长𝜆（单位：m）满足关系式𝑣= 𝑓𝜆．若国际通用
钢琴标准音（中音A4）的频率为440 Hz，则气温为25°C时，该标准音在空气中的波长约为______m（结果
精确到0.01 m）．
【答案】0.79
【分析】先利用待定系数法求出𝑣关于𝑡的一次函数解析式，再代入气温𝑡的值求出对应声速𝑣，最后根据公
式𝑣= 𝑓𝜆计算波长即可．
【详解】解：设𝑣关于𝑡的一次函数解析式为𝑣= 𝑘𝑡+ 𝑏，
将𝑡= 0，𝑣= 331和𝑡= 10，𝑣= 337代入解析式，
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可得{
𝑏= 331
10𝑘+ 𝑏= 337
，
解得{ 𝑘= 0.6
𝑏= 331
，
故𝑣关于𝑡的解析式为𝑣= 0.6𝑡+ 331，
当𝑡= 25时，𝑣= 0.6 × 25 + 331 = 15 + 331 = 346 (m/s)，
将𝑣= 346，𝑓= 440代入𝑣= 𝑓𝜆得，
𝜆=
𝑣
𝑓=
346
440 ≈0.79 (m)，
故该标准音在空气中的波长约为0.79 m．
▌对点练1-4．（2026·陕西西安·二模）某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深
入探究，探究过程如下：
【设计实验方案】
如图1 所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运
动到𝐴点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间𝑡(s)和运动速度𝑣(cm s
⁄ )的
数据．
【收集整理数据】
运动时间𝑡(s)
0
4
8
12
16
20
…
运动速度𝑣(cm s
⁄ )
12
10
8
6
4
2
…
【数学建模分析】
(1)根据表格中的数据在图2的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运
动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”）
(2)根据以上判断，求𝑣与𝑡之间的函数关系式；
(3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为6s时，其运动速度是多少cm s
⁄ ？
【答案】(1)见解析，一次；
(2)𝑣= −
1
2 𝑡+ 12；
(3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为6s时，其运动速度是9cm/s．
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【分析】（1）根据表格中的数据分别在图2 的平面直角坐标系中描点、连线，即可得出图象，再结合图象
即可得解；
（2）利用待定系数法求函数解析式并验证即可得解；
（3）将𝑡= 6代入（2）中解析式即可求解．
【详解】（1）解：描点、连线如图所示：
；
由图象可知，该函数可能是二次函数关系；
（2）设𝑣与𝑡之间的函数关系式为𝑣= 𝑘𝑡+ 𝑏(𝑘≠0)，
将(0,12)，(4,10)代入𝑣= 𝑘𝑡+ 𝑏中，得{
𝑏= 12,
4𝑘+ 𝑏= 10,
解得{𝑘= −
1
2 ,
𝑏= 12,
∴𝑣与𝑡之间的函数关系式为𝑣= −
1
2 𝑡+ 12；
（3）令𝑡= 6，则𝑣= −
1
2 × 6 + 12 = 9．
∴当弹珠在水平轨道上的运动时间为6s时，其运动速度是9cm/s．
▌对点练1-5．（25-26 八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力𝐹与弹簧的伸长
量𝑥之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6cm，在弹簧下端悬挂一个钩码，
平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过
程，将所得数据填入下表：
弹簧受到的弹力
（N）
0
30
60
90
120
150
…
弹簧的长度（cm）
6
8
10
12
14
16
…
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请帮该兴趣小组解决下列问题：
(1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量𝑥为横轴，弹簧弹力𝐹为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸
长量=弹簧受力后的长度−弹簧原长度）
①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线；
②写出弹簧弹力𝐹与弹簧的伸长量𝑥的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围）
(2)如果该弹簧受到超过240N 的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久
形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为21 cm，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由．
(3)设弹簧的劲度系数𝑘=
𝐹
𝑥，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上𝑀、𝑁两物块（如图所
示），且物块𝑀的质量大于物块𝑁的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两
弹簧的劲度系数的大小关系为𝑘甲_________𝑘乙．（填“>”，“<”或“=”）
【答案】(1)
①如图所示：
②𝐹= 15𝑥；
(2)
解：不会发生永久形变．
理由如下：
∵当弹簧的长度为21cm时，弹簧的伸长量𝑥= 21 −6 = 15(cm)，
∴当𝑥= 15时，𝐹= 15 × 15 = 225(N)．
∵225 < 240，
∴不会发生永久形变．
(3)>
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【分析】（1）①根据题意，处理表格，然后描点、连线即可；②根据题意得：每伸长1cm，弹力增加
15N，即可确定关系式；
（2）根据题意计算出受到的弹力，进行比较即可．
（3）根据𝑘=
𝐹
𝑥，依题意，𝐹甲> 𝐹乙则𝑘甲> 𝑘乙
【详解】（1）解：①根据题意，处理表格如下：
弹簧受到的弹力
（N）
0
30
60
90
120
150
…
弹簧的伸长量（cm）
0
2
4
6
8
10
…
②根据题意得：每伸长1cm，弹力增加15N，
∴𝐹= 15𝑥；
（2）略
（3）解：∵弹簧的劲度系数𝑘=
𝐹
𝑥，
∵物块𝑀的质量大于物块𝑁的质量，质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大
∴𝐹甲> 𝐹乙，
根据图形可得，𝑥甲< 𝑥乙
∴𝑘甲> 𝑘乙
题型
一次函数实际应用——其他问题
▌例1．（25-26 八年级下·福建福州·期末）某登山队大本营所在位置的气温为−1℃，海拔每升高1km气温下
降6℃．登山队员由大本营向上登高𝑥km时，他们所在位置的气温是𝑦℃，则下列关于y 与x 的关系式正确
的是（ ）
A．𝑦= 6𝑥−1
B．𝑦= 6𝑥+ 1
C．𝑦= −6𝑥−1
D．𝑦= −6𝑥+ 1
【答案】C
【分析】根据气温变化规律，结合初始气温和登高后的温度变化，即可推导得到y 与x 的关系式．
【详解】解：∵海拔每升高1km气温下降6℃，登山队员登高𝑥km，
∴气温一共下降6𝑥℃，
又∵大本营初始气温为−1℃，当前气温𝑦℃等于初始气温减去下降的气温，
解题贴士
提取题干线性变化关系，判定变量为一次函数关系，设解析式代入两组数据求解，利用增减性、端点值
解决最值、范围、求值问题。
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∴𝑦= −1 −6𝑥，整理得𝑦= −6𝑥−1．
▌例2．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭
尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度
计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2
小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间𝑥/时
0
2
4
6
8
箭尺读数𝑦/厘米
6
18
30
42
54
(1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线
上，请求出𝑦与𝑥之间的函数表达式．
(2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72 厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为
100 厘米）
【答案】(1)𝑦= 6𝑥+ 6
(2)晚上八点半
【分析】（1）设𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，代入数值求出{𝑘= 6
𝑏= 6
，即可得到答案；
（2）当𝑦= 72时，72 = 6𝑥+ 6，解得𝑥= 11，上午9：30 过了11 个小时后是晚上8：30，即可得到答
案．
【详解】（1）解：根据题意可知函数为一次函数，
设𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
由题意可得{
𝑏= 6
18 = 2𝑘+ 𝑏
，
解得{𝑘= 6
𝑏= 6
，
∴𝑦= 6𝑥+ 6；
（2）解：当𝑦= 72时，72 = 6𝑥+ 6，
∴𝑥= 11
上午9：30 过了11 个小时后是晚上8：30，
∴当箭尺读数为72 厘米时是晚上八点半．
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▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川乐山·期末）一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列
图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度ℎ（厘米）与点燃时间𝑡（h）之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意求出ℎ关于𝑡的函数关系式，再结合函数图象可得答案．
【详解】由题意得，ℎ= 20 −5𝑡，
∴ℎ与𝑡符合一次函数关系，图象为直线，且ℎ随𝑡的增大而减小，
∴四个选项中，只有C 选项中的函数图象符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·吉林·期末）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水
位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度𝑦（单位：米）关于时间𝑥（单位：小时）
(0 ≤𝑥≤5)的函数解析式为________
【答案】
𝑦= 0.3𝑥+ 6(0 ≤𝑥≤5)
【分析】总水位高度等于初始水位高度加上𝑥小时上涨的水位高度，根据上涨水位等于速度乘时间列关系
式．
【详解】解： 已知初始水位高度为6米，水位上涨速度为每小时0.3米， 则𝑥小时上涨的水位高度为0.3𝑥
米，
因此总水位高度𝑦= 6 + 0.3𝑥， 结合𝑥的取值范围0 ≤𝑥≤5， 可得函数解析式为𝑦= 0.3𝑥+ 6(0 ≤𝑥≤
5)．
▌对点练1-3．（25-26 九年级下·陕西榆林·期中）如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节
扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长
度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分
的长度𝑦（单位：cm）与双层部分的长度𝑥（单位：cm）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为
0cm时，单层部分的长度为156cm；双层部分的长度为2cm时，单层部分的长度为152cm．
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(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式；
(2)按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到20cm时最舒服，请计算此时单层部分的长度．
【答案】(1)𝑦= −2𝑥+ 156
(2)116 cm
【分析】（1）理解题意，再运用待定系数法求解𝑦与𝑥之间的函数关系式，即可作答．
（2）理解题意，直接将𝑥= 20代入𝑦= −2𝑥+ 156中，求出𝑦= 116，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，设𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)，
将(0,156)、(2,152)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏中，
得{
𝑏= 156
152 = 2𝑘+ 𝑏
解得{ 𝑘= −2
𝑏= 156
∴𝑦与𝑥之间的函数关系式为𝑦= −2𝑥+ 156．
（2）解：由（1）得𝑦= −2𝑥+ 156
由题意知：𝑥= 20，
将𝑥= 20代入𝑦= −2𝑥+ 156中，得𝑦= −2 × 20 + 156 = 116，
∴此时单层部分的长度为116 cm．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江苏淮安·期末）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投
放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高.某位同学利用量筒和相同大小的玻璃球进行了实验，在量
筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出的条件下，研究了量筒中水面高度𝑦 cm与投入玻璃球数量𝑥粒
之间的变化关系.根据实验结果得到如下的表格数据：
投入玻璃球数量𝑥/粒
0
5
10
15
20
…
水面高度𝑦/cm
10
11
12
13
14
…
(1)由表格知：投入玻璃球数量𝑥每增加5 粒，水面高度𝑦增加_____cm，进而可得𝑦与𝑥的函数表达式为
______；
(2)当量筒内水面的高度是16cm时，请求出投放玻璃球多少粒？
【答案】(1)1，𝑦=
1
5 𝑥+ 10
(2)投放玻璃球30 粒
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【分析】本题考查了一次函数：
（1）找出投入玻璃球数量与水面高度变化的规律，设𝑦与𝑥的函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，将数值代入从而得
到表达式；
（2）代入函数表达式即可．
【详解】（1）解：由表可知，投入玻璃球数量每增加5 粒时，
水面高度分别增加了11 −10 = 1cm，12 −11 = 1cm，⋯，
故投入玻璃球数量每增加5 粒，水面高度增加1cm，
设𝑦与𝑥的函数表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将(0,10), (5,11)代入表达式，得，
{𝑘× 0 + 𝑏= 10
5𝑘+ 𝑏= 11
，
解得：{ 𝑘=
1
5
𝑏= 10
，
故表达式为𝑦=
1
5 𝑥+ 10．
故答案为：1；𝑦=
1
5 𝑥+ 10．
（2）解：将𝑦= 16代入𝑦=
1
5 𝑥+ 10，
得
1
5 𝑥+ 10 = 16，
解得：𝑥= 30．
答：投放玻璃球为30粒．
题型
一次函数与几何综合
▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数𝑦=
2
3 𝑥+
5
3的图象经过点𝐴(2,𝑚)，
𝐵(𝑛, −1)，则△𝐴𝐵𝑂的面积为（ ）
解题贴士
先求一次函数解析式，得出与坐标轴交点、线段长度；结合面积、周长、等腰、直角、平行等几何条件，
联立方程求参数、动点坐标、线段最值。
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A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】先根据函数解析式求出点𝐴，𝐵的坐标，再求出一次函数与𝑥轴交点𝐶的坐标，过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝑥轴，
过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝑥轴，最后根据𝑆△𝐴𝐵𝑂=
1
2 𝑂𝐶× 𝐵𝐷+
1
2 𝑂𝐶× 𝐴𝐸即可求出结果．
【详解】解：当𝑥= 2时，𝑦=
2
3 × 2 +
5
3 = 3，
∴𝐴(2,3)，
当𝑦= −1时，
2
3 𝑥+
5
3 = −1，解得：𝑥= −4，
∴𝐵(−4, −1)，
当𝑦= 0时，
2
3 𝑥+
5
3 = 0，解得：𝑥= −
5
2，
∴一次函数与𝑥轴交点𝐶(−
5
2 , 0)，如图所示：
过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝑥轴，过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝑥轴，
∴𝐵𝐷= 1，𝐴𝐸= 3，𝑂𝐶=
5
2，
∴𝑆△𝐴𝐵𝑂=
1
2 𝑂𝐶× 𝐵𝐷+
1
2 𝑂𝐶× 𝐴𝐸=
1
2 ×
5
2 × 1 +
1
2 ×
5
2 × 3 = 5．
▌例2．（25-26 八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知点𝐴(𝑎, 0)，𝐵(0, 𝑏)中𝑎，𝑏满足(2𝑎−𝑏)2 +
√𝑎−1 = 0，𝐶为𝑥轴正半轴上一点，且∠𝐴𝐵𝐶= 45°．
(1)点𝐴的坐标为 ，点𝐵的坐标为 ．
(2)求直线𝐵𝐶的函数解析式；
(3)如图2，直线𝑙1：𝑦= 𝑥−4交𝐵𝐶于点𝐷，𝑃为线段𝐵𝐷上一动点，过点𝑃作𝑃𝑄⊥𝑥轴，交直线𝑙1于点𝑄，若
𝐶𝑃= 𝐶𝑄，求点𝑃的坐标；
(4)如图3，点𝐺为𝑦轴负半轴上一点，𝐺𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，若𝐺𝐻= 𝐵𝐶，求点𝐺的坐标．
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【答案】(1)𝐴(1,0)，𝐵(0,2)
(2)𝑦= −
1
3 𝑥+ 2
(3)𝑃(3,1)
(4)𝐺(0, −
14
3 )
【分析】（1）根据平方和算术平方根的非负性求解即可；
（2）过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，构造△𝑂𝐴𝐵≌△𝐹𝐸𝐴(AAS)，求出点𝐸坐
标，再由待定系数法求解函数解析式即可；
（3）设𝑃𝑄交𝑥轴于点𝐻，根据等腰三角形三线合一可得𝐻𝑃= 𝐻𝑄，然后列方程求解；
（4）过点𝐻作𝐻𝐼⊥𝑦轴于点𝐼，通过证明△𝐶𝑂𝐵≌△𝐺𝐼𝐻(AAS)即可求解．
【详解】（1）解：∵(2𝑎−𝑏)2 + √𝑎−1 = 0，(2𝑎−𝑏)2 ≥0，√𝑎−1 ≥0
∴2𝑎−𝑏= 0，𝑎−1 = 0，
解得𝑎= 1，𝑏= 2，
∴𝐴(1,0)，𝐵(0,2)；
（2）解：过点𝐴作𝐴𝐸⊥𝐴𝐵交𝐵𝐶于点𝐸，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝑥轴于点𝐹，
则∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐴𝑂𝐵= 90°
∵∠𝑂𝐵𝐴= 90° −∠𝑂𝐴𝐵，∠𝐸𝐴𝐹= 180° −90° −∠𝑂𝐴𝐵= 90° −∠𝑂𝐴𝐵
∴∠𝑂𝐵𝐴= ∠𝐸𝐴𝐹
∵∠𝐴𝐵𝐶= 45°，∠𝐵𝐴𝐸= 90°
∴△𝐴𝐵𝐸为等腰直角三角形，
∴𝐴𝐵= 𝐴𝐸
∴△𝑂𝐴𝐵≌△𝐹𝐸𝐴(AAS)
∴𝐴𝐹= 𝑂𝐵，𝐸𝐹= 𝑂𝐴
∵𝐴(1,0)，𝐵(0,2)
∴𝐴𝐹= 𝑂𝐵= 2，𝐸𝐹= 𝑂𝐴= 1
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐴+ 𝐴𝐹= 3
∴𝐸(3,1)
设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将𝐵(0,2)，𝐸(3,1)代入得{3𝑘+ 𝑏= 1
𝑏= 2
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解得{𝑘= −
1
3
𝑏= 2
∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦= −
1
3 𝑥+ 2；
（3）解：如图，设𝑃𝑄交𝑥轴于点𝐻，
∵𝐶𝑃= 𝐶𝑄，𝑃𝑄⊥𝑥轴，
∴𝐻𝑃= 𝐻𝑄，
设𝑃(𝑝, −
1
3 𝑝+ 2)，则𝑄(𝑝, 𝑝−4)，
∴−
1
3 𝑝+ 2 = −(𝑝−4)，
解得𝑝= 3，
∴𝑃(3,1)；
（4）解：对于直线𝑦= −
1
3 𝑥+ 2，
当𝑦= 0时，−
1
3 𝑥+ 2 = 0，解得𝑥= 6，
∴𝐶(6,0)，𝑂𝐶= 6
如图，过点𝐻作𝐻𝐼⊥𝑦轴于点𝐼，则∠𝐺𝐼𝐻= ∠𝐶𝑂𝐵= 90°，
∵𝐺𝐻⊥𝐵𝐶，∠𝐶𝑂𝐵= 90°，
∴∠𝐵𝐺𝐻= ∠𝐵𝐶𝑂= 90° −∠𝐶𝐵𝑂，
∵𝐺𝐻= 𝐵𝐶，
∴△𝐶𝑂𝐵≌△𝐺𝐼𝐻(AAS)，
∴𝐼𝐻= 𝑂𝐵= 2，𝐶𝑂= 𝐺𝐼= 6，
∴将𝑥𝐻= 2代入𝑦= −
1
3 𝑥+ 2，则𝑦𝐻= −
1
3 × 2 + 2 =
4
3，
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∴𝑂𝐼= 𝑦𝐻=
4
3，
∴𝑂𝐺= 𝐺𝐼−𝑂𝐼= 6 −
4
3 =
14
3 ，
∴𝐺(0, −
14
3 )．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是长方形，𝐴(8,0)，
𝐵(8,4)，𝐶(0,4)，将△𝑂𝐴𝐵沿直线𝑂𝐵折叠，此时点𝐴落在点𝐷处，𝑂𝐷与𝐵𝐶交于点𝐸，则𝑂𝐷所在直线的函数
表达式为___________．
【答案】𝑦=
4
3 𝑥
【分析】根据题意可得𝐴𝐵= 𝑂𝐶= 4, 𝐴𝑂= 𝐵𝐶= 8，𝑂𝐴∥𝐵𝐶，再由平行线的性质和折叠的性质证明
∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝑂𝐵𝐶，得到𝑂𝐸= 𝐵𝐸；设点E 的坐标为(𝑚, 4)，则𝐶𝐸= 𝑚，𝑂𝐸= 𝐵𝐸= 8 −𝑚，利用勾股定理
建立方程求出m 值，再根据点E 的坐标，利用待定系数法即可求出𝑂𝐷所在直线的解析式．
【详解】解：∵四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是长方形，𝐴(8,0)，𝐶(0,4)，
∴𝐴𝐵= 𝑂𝐶= 4, 𝐴𝑂= 𝐵𝐶= 8，𝑂𝐴∥𝐵𝐶，
∴∠𝑂𝐵𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵，
由折叠的性质可得∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝐴𝑂𝐵，
∴∠𝐵𝑂𝐷= ∠𝑂𝐵𝐶，
∴𝑂𝐸= 𝐵𝐸；
设点E 的坐标为(𝑚, 4)，则𝐶𝐸= 𝑚，𝑂𝐸= 𝐵𝐸= 8 −𝑚，
在Rt △𝑂𝐶𝐸中，由勾股定理得𝑂𝐸2 = 𝐶𝐸2 + 𝑂𝐶2，
∴(8 −𝑚)2 = 𝑚2 + 42，
∴𝑚= 3，
∴点E 的坐标为(3,4)，
设𝑂𝐷所在直线的解析式为𝑦= 𝑘𝑥，
将点𝐸(3,4)代入𝑦= 𝑘𝑥中，得4 = 3𝑘，解得𝑘=
4
3，
∴𝑂𝐷所在直线的解析式为𝑦=
4
3 𝑥．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑦1 = −2𝑥−4与𝑥轴
交于点𝐴，直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交于点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶(0,2)，与直线𝑦1 = −2𝑥−4交于点𝐷，𝑂𝐵=
2𝑂𝐴．
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(1)求直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏的函数表达式；
(2)若𝐸是𝑥轴上一点，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸，求点𝐸的坐标；
(3)若𝐹是直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏上方且位于𝑦轴上一点，∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐷𝐵𝐴，判断△𝐴𝐷𝐹的形状并说明理由．
【答案】(1)直线𝑦2的函数表达式为𝑦2 = −
1
2 𝑥+ 2．
(2)点𝐸(−5,0)或𝐸(1,0)．
(3)△𝐴𝐷𝐹是等腰直角三角形，理由如下：
作𝐷𝐻⊥𝑦轴且交y 轴于点H，𝐷𝑀⊥𝑥轴且交x 轴于点M，
则𝐴𝑀= 4 −2 = 2，𝐷𝐻∥𝐴𝐵，
∴∠𝐻𝐷𝐶= ∠𝐷𝐵𝐴．
∵∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐷𝐵𝐴，
∴∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐻𝐷𝐶，
∴∠𝐻𝐷𝐹= ∠𝐻𝐷𝐶．
在Rt △𝐻𝐷𝐹和Rt △𝐻𝐷𝐶中，
{
∠𝐻𝐷𝐹= ∠𝐻𝐷𝐶
𝐷𝐻= 𝐷𝐻
∠𝐷𝐻𝐹= ∠𝐷𝐻𝐶= 90°
，
∴△𝐻𝐷𝐹≌△𝐻𝐷𝐶(ASA)，
∴𝐻𝐹= 𝐻𝐶．
∵𝐷𝐻⊥𝑦轴，
∴𝑂𝐻= 4，
∵𝑂𝐶= 2，
∴𝐻𝐹= 𝐻𝐶= 𝑂𝐻−𝑂𝐶= 2．
∴𝑂𝐹= 𝑂𝐻+ 𝐻𝐹= 6．
∵𝐷𝐹= √42 + 22 = √20 = 2√5，𝐴𝐷= √42 + 22 = √20 = 2√5，
𝐴𝐹= √62 + 22 = √40 = 2√10，
∴𝐷𝐹= 𝐴𝐷，𝐷𝐹2 + 𝐴𝐷2 = 𝐴𝐹2，
∴△𝐴𝐷𝐹是等腰直角三角形．
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【分析】（1）首先根据直线𝑦1的表达式求出点A 坐标，接着根据𝑂𝐵= 2𝑂𝐴得到点B 坐标，将点B，点C
同时代入𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏中联立方程，求出k、b 的值，进而得到直线𝑦2的表达式．
（2）根据直线𝑦1、𝑦2的表达式联立方程，求出交点D，得到两个三角形的高；其次结合𝐴𝐵的长度求出
𝑆△𝐴𝐵𝐷，进而得到𝑆△𝐴𝐷𝐸的值；设点𝐸(𝑎, 0)，将𝐴𝐸表示出来，再根据三角形面积计算公式求解，求出𝑎的
值，进而得到点E．
（3）首先过点D 分别作x，y 轴的垂线，得到𝐴𝐵的平行线𝐷𝐻，根据平行线性质得到内错角相等，通过相
等的角代换得到𝐷𝐻是∠𝐵𝐷𝐹的角平分线，进而根据“直角三角形内，一直角边和它相对（或相邻）的锐角
分别相等”判定三角形全等，得出对应边相等，求出𝐻𝐹的长；最后结合各点坐标计算出△𝐴𝐷𝐹的各边长，
根据边长关系判断三角形形状．
【详解】（1）解：∵直线𝑦1 = −2𝑥−4与𝑥轴交于点𝐴，
∴令𝑦= 0，得−2𝑥−4 = 0，
解得𝑥= −2，即点𝐴(−2,0)，
∴𝑂𝐴= 2，
∴𝑂𝐵= 2𝑂𝐴= 4，即点𝐵(4,0)，
将点𝐵(4,0)，𝐶(0,2)代入𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏中，得{4𝑘+ 𝑏= 0
𝑏= 2
，
解得𝑏= 2，𝑘= −
1
2，
∴直线𝑦2的函数表达式为𝑦2 = −
1
2 𝑥+ 2．
（2）∵直线𝑦1、𝑦2交于点D，联立方程得{
𝑦= −2𝑥−4
𝑦= −
1
2 𝑥+ 2
，
解得𝑥= −4，𝑦= 4，
∴点𝐷(−4,4)．
设点𝐸(𝑎, 0)，则𝐴𝐸= |−2 −𝑎|．
∵𝐴𝐵= 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵= 6，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐷=
1
2 × 6 × 4 = 12，
∴𝑆△𝐴𝐷𝐸=
1
2 |−2 −𝑎| × 4 = 6，得|−2 −𝑎| = 3，
解得𝑎= −5或𝑎= 1，
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∴点𝐸(−5,0)或𝐸(1,0)．
（3）略
【点睛】可通过作辅助线构造全等三角形求解线段长度，根据三边关系判断三角形形状．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，𝑂为坐标原点，三角形
𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶在𝑥轴上，点𝐵的坐标是(−5,0)，点𝐴在𝑦轴的正半轴上点𝐶在𝑥轴的正半轴上，它们的坐标分别
为𝐴(0,𝑎)、𝐶(𝑏, 0)，且满足√𝑎−4 + |𝑏−3| = 0．
(1)直接写出𝐴、𝐶两点的坐标：𝐴__________，𝐶__________；
(2)动点𝑃从点𝐵出发，以每秒2 个单位的速度，沿射线𝐵𝑂运动．设点𝑃运动时间为𝑡秒．连结𝑃𝐴，当𝑃沿射
线𝐵𝑂匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形𝑃𝑂𝐴的面积是三角形𝐴𝐵𝐶面积的
1
4，若存在，请求出𝑡的
值，并写出𝑃点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，作𝑃𝑄⊥𝐵𝐶交线段𝐴𝐵于点𝑄，连接𝐶𝑄交𝑂𝐴于点𝐷，当𝑃𝑄= 2时，求点𝑃坐标和点𝐷的
坐标．
【答案】(1)(0,4),(3,0)
(2)存在，t 的值为1.5 或3.5，点P 的坐标为(2,0)或(−2,0)
(3)点𝑃(−2.5,0),𝐷(0,
12
11)
【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性求出𝑎= 4, 𝑏= 3，则此题可解；
（2）先根据点𝐴(0,4), 𝐶(3,0), 𝐵(−5,0)，求出𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶× 𝑂𝐴，再设点P 运动的时间为t 秒，则𝐵𝑃= 2𝑡,
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进而得出𝑂𝑃= |−5 + 2𝑡|，然后根据𝑆△𝑃𝑂𝐴=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶可得
1
2 × 4 × |−5 + 2𝑡| = 4，接下来求出𝑡= 3.5或𝑡=
1.5，可得答案；
（3）根据题意可得点Q 的纵坐标为2，再求出直线𝐴𝐵的关系式，进而得出点𝑄(−2.5,2)，此时可得点
𝑃(−2.5,0)，然后求出直线𝐶𝑄的关系式，最后令𝑥= 0求出𝑦=
12
11，则此题可解．
【详解】（1）解：∵√𝑎−4 + |𝑏−3| = 0，
∴𝑎−4 = 0, 𝑏−3 = 0，
解得𝑎= 4, 𝑏= 3,
∴点𝐴(0,4), 𝐶(3,0)；
（2）解：存在，
由（1）知点𝐴(0,4),𝐶(3,0), 𝐵(−5,0)，
∴𝐵𝐶= 3 −(−5) = 8, 𝑂𝐴= 4，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=
1
2 𝐵𝐶× 𝑂𝐴=
1
2 × 8 × 4 = 16．
设点P 运动的时间为t 秒，则𝐵𝑃= 2𝑡,
∴点P 的坐标为(−5 + 2𝑡, 0)，
∴𝑂𝑃= |−5 + 2𝑡|．
∵𝑆△𝑃𝑂𝐴=
1
4 𝑆△𝐴𝐵𝐶，
∴
1
2 𝑂𝐴× 𝑂𝑃=
1
4 × 16，
即
1
2 × 4 × |−5 + 2𝑡| = 4，
解得𝑡= 3.5或𝑡= 1.5，
当𝑡= 3.5时，点P 的坐标为(2,0)；
当𝑡= 1.5时，点P 的坐标为(−2,0)，
所以存在，t 的值为1.5 或3.5，此时点P 的坐标为(2,0)或(−2,0)；
（3）解：∵𝑃𝑄⊥𝐵𝐶, 𝑃𝑄= 2，且点Q 在线段𝐴𝐵上，
∴点Q 的纵坐标为2，
设直线𝐴𝐵的关系式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
将点𝐴(0,4),𝐵(−5,0)代入，得
{
𝑏= 4
−5𝑘+ 𝑏= 0
，
解得{𝑘=
4
5
𝑏= 4
，
∴直线𝐴𝐵的关系式为𝑦=
4
5 𝑥+ 4．
当𝑦= 2时，2 =
4
5 𝑥+ 4，
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解得𝑥= −2.5，
∴点𝑄(−2.5,2)．
∵𝑃𝑄⊥𝑥轴，
∴点𝑃(−2.5,0)．
设直线𝐶𝑄的关系式为𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑐，
将点𝐶(3,0),𝑄(−2.5,2)代入，得
{ 3𝑎+ 𝑐= 0
−2.5𝑎+ 𝑐= 2
，
解得{
𝑎= −
4
11
𝑐=
12
11
，
∴直线𝐶𝑄的关系式为𝑦= −
4
11 𝑥+
12
11，
令𝑥= 0，得𝑦=
12
11，
∴点𝐷(0,
12
11)，
所以点P 的坐标为(−2.5,0)，点D 的坐标为(0,
12
11)．
基础通关
1.（25-26 八年级下·四川巴中·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝑃(2,3)，则关于x 的不等式
𝑘𝑥+ 𝑏≥3的解集为（ ）
A．𝑥≥2
B．𝑥≤2
C．𝑥≥3
D．𝑥< 3
【答案】B
【分析】先确定当𝑘𝑥+ 𝑏=3时对应的𝑥的值，再结合图象得到答案．
【详解】解：∵一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝑃(2,3)，
∴当𝑘𝑥+ 𝑏=3时，𝑥=2，
观察图象知，当𝑘𝑥+ 𝑏≥3时，𝑥≤2．
2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 4(𝑘≠0)与正比例函
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数𝑦= −3𝑥的图象相交于点A，已知点A 的纵坐标为3，则不等式𝑘𝑥+ 4 > −3𝑥的解集为（ ）
A．𝑥> 3
B．𝑥< 3
C．𝑥> −1
D．𝑥< −1
【答案】C
【分析】首先求出点A 的横坐标，然后结合图象求解即可．
【详解】解：将𝑦= 3代入𝑦= −3𝑥得，3 = −3𝑥
解得𝑥= −1
∴点A 的横坐标为−1
由图象可得，当𝑥> −1时，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 4(𝑘≠0)的图象在正比例函数𝑦= −3𝑥的图象上方
∴不等式𝑘𝑥+ 4 > −3𝑥的解集为𝑥> −1．
3．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）若一次函数𝑦= 𝑥+ 3与𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（𝑎、𝑏为常数，且𝑎≠0）的图象
交于点𝐴，且点𝐴的纵坐标为5，则关于𝑥、𝑦的二元一次方程组{ 𝑦= 𝑥+ 3
𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏
的解是（ ）
A．{𝑥= 5
𝑦= 8
B．{𝑥= 5
𝑦= 2
C．{𝑥= −2
𝑦= 5
D．{𝑥= 2
𝑦= 5
【答案】D
【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组的关系，两个一次函数图象的交点坐标就是对应二元一次方
程组的解，先根据交点纵坐标结合已知一次函数求出横坐标，即可得到方程组的解．
【详解】解：∵二元一次方程组{ 𝑦= 𝑥+ 3
𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏
的解就是两个对应一次函数图象的交点坐标，
又∵交点𝐴的纵坐标为5，且𝐴在𝑦= 𝑥+ 3上，
∴将𝑦= 5代入𝑦= 𝑥+ 3，得5 = 𝑥+ 3，
解得𝑥= 2，
∴交点𝐴的坐标为(2,5)，即原方程组的解为{𝑥= 2
𝑦= 5
．
4．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）工人要铺设一段总长50 米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L
（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为𝐿= 50 −2𝑡，其中2𝑡的实际意义是（ ）
A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t 小时一共铺设的水管总长度
C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度
【答案】B
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【分析】根据剩余未铺水管长度𝐿=总水管长度−已铺设水管长度推导即可．
【详解】解：∵已知总水管长为50米，且𝐿= 50 −2𝑡，
∴已铺设水管长度= 50 −𝐿= 50 −(50 −2𝑡) = 2𝑡，
因此2𝑡的实际意义是工作𝑡小时一共铺设的水管总长度．
5．（25-26 八年级下·广东茂名·期末）如图，直线𝑦=
1
3 𝑥+ 2经过𝐴(0,2)、𝐵(−6,0)两点，则关于𝑥的不等式
组0 <
1
3 𝑥+ 2 < 2的解集为________．
【答案】−6 < 𝑥< 0
【详解】解：∵直线𝑦=
1
3 𝑥+ 2经过𝐴(0,2)、𝐵(−6,0)两点，
∴当−6 < 𝑥< 0时，0 < 𝑦< 2，
∴关于𝑥的不等式组0 <
1
3 𝑥+ 2 < 2的解集为−6 < 𝑥< 0．
6．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数𝑦= −4𝑥+ 8的图像与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴、𝐵两点，
坐标原点为𝑂，则𝑆△𝐴𝐵𝑂为__________．
【答案】8
【分析】先根据一次函数解析式求出点𝐴和点𝐵的坐标，得到直角三角形𝐴𝐵𝑂两条直角边𝑂𝐴和𝑂𝐵的长度，
再利用三角形面积公式计算面积．
【详解】解：对于一次函数𝑦= −4𝑥+ 8，
当𝑦= 0时，可得0 = −4𝑥+ 8，解得𝑥= 2，即𝐴(2,0)，
当𝑥= 0时，可得𝑦= −4 × 0 + 8 = 8，即𝐵(0,8)，
∴𝑂𝐴= 2，𝑂𝐵= 8
∵点𝐴在𝑥轴上，点𝐵在𝑦轴上，𝑂为坐标原点，所以∠𝐴𝑂𝐵= 90°，
∴𝑆Δ𝐴𝐵𝑂=
1
2 ⋅𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=
1
2 × 2 × 8 = 8．
7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 2（k 为常数且𝑘≠0）和𝑦= 3𝑥+ 1的图象相交于点
A，根据图象可知关于x 的方程𝑘𝑥+ 2 = 3𝑥+ 1的解是______．
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【答案】𝑥= 1
【分析】直接利用图象法，两条直线交点的横坐标即为方程的解.
【详解】解：由图象可知，关于x 的方程𝑘𝑥+ 2 = 3𝑥+ 1的解是𝑥= 1.
8．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0,4)，𝐵(1,1)．
(1)求该直线𝐴𝐵的函数解析式；
(2)求该直线与x 轴交点C 的坐标；
(3)关于x 的不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集是________．
【答案】(1)直线𝐴𝐵的解析式为：𝑦= −3𝑥+ 4；
(2)点𝐶(
4
3 , 0)；
(3)不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集为：𝑥<
4
3．
【分析】（1）利用待定系数法把点A，点B 代入𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏可得关于k、b 得方程组，再解方程组即可；
（2）令𝑦= −3𝑥+ 4中𝑦= 0，即可求出x 的值得到点C 的坐标；
（3）根据C 点坐标可直接得到答案．
【详解】（1）∵直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0,4)，𝐵(1,1)，
∴ {
𝑏= 4
𝑘+ 𝑏= 1
，
解得{𝑘= −3
𝑏= 4
，
∴直线𝐴𝐵的解析式为：𝑦= −3𝑥+ 4；
（2）令𝑦= −3𝑥+ 4中𝑦= 0，
得−3𝑥+ 4 = 0
解得𝑥=
4
3
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∴点𝐶(
4
3 , 0)；
（3）根据图象可得不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集为：𝑥<
4
3．
9．如图，直线𝑦= −2𝑥+ 6与直线𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛相交于点𝑀(𝑝, 4)．
(1)求p 的值；
(2)直接写出关于x，y 的二元一次方程组{𝑦= −2𝑥+ 6
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛
的解；
(3)若直线𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛与x 轴交于点𝐵(−5,0)，求m 和n 的值．
【答案】(1)𝑝= 1
(2){𝑥= 1
𝑦= 4
(3){
𝑚=
2
3
𝑛=
10
3
【分析】（1）直接将点M 代入，解出p 即可；
（2）根据图象即可知方程组的解为M 点的坐标；
（3）将M 点和B 点代入直线𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵直线𝑦= −2𝑥+ 6经过点𝑀(𝑝, 4)，
∴4 = −2𝑝+ 6，
∴𝑝= 1；
（2）解：由（1）得，直线𝑦= −2𝑥+ 6与直线𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛相交于点𝑀(1,4)，
∴关于x，y 的二元一次方程组{𝑦= −2𝑥+ 6
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛
的解为{𝑥= 1
𝑦= 4
；
（3）解：∵𝑀(1,4)，𝐵(−5,0)，
∴{ 4 = 𝑚+ 𝑛
0 = −5𝑚+ 𝑛
，
解得{
𝑚=
2
3
𝑛=
10
3
．
10．（25-26 八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，
若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业𝑥天累计生产服装的数量为𝑦件，𝑦与𝑥之间的关系如
图所示．
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(1)这批服装一共有________件；
(2)求增加工人后𝑦与𝑥的函数表达式；
(3)已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第
6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成
本）
【答案】(1)800
(2)𝑦= 60𝑥−100(5 < 𝑥≤15)
(3)前10 天
【分析】（1）根据图象可知，这批服装一共有800 件；
（2）设增加工人后𝑦与𝑥的函数表达式为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛(𝑚≠0)，把𝐴(5,200)、𝐵(15,800)代入解析式得到二
元一次方程组，解方程组即可；
（3）设前𝑥天的总利润恰好为13500 元，根据题意列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：根据图象可知，这批服装一共有800 件；
（2）解：设增加工人后𝑦与𝑥的函数表达式为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛(𝑚≠0)，
将𝐴(5,200)、𝐵(15,800)代入，得{ 5𝑚+ 𝑛= 200
15𝑚+ 𝑛= 800
，
解得{ 𝑚= 60
𝑛= −100
，
∴𝑦= 60𝑥−100(5 < 𝑥≤15)；
（3）解：设前𝑥天的总利润恰好为13500 元．
当𝑥≤5时，(100 −70) ×
200
5 𝑥≤6000 < 13500，不符合题意；
当𝑥> 5时，6000 + (60𝑥−100 −200)(100 −70 −5) = 13500，
解得𝑥= 10，
答：前10 天的总利润恰好为13500 元．
素养提升
1．（25-26 七年级下·山东济南·期末）周末，爸爸和小明从家出发骑行前往超市．两人骑行的路程𝑠（米）
与时间𝑡（分钟）的关系如图所示，根据图象提供的信息，在下列结论中，①家到超市的全程是2000 米；
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②小明先到达超市；③从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快；④在爸爸出
发6.8分钟时，小明追上了爸爸．正确的结论有（ ）
A．①③④
B．①②
C．①②④
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据图象起点和终点的纵坐标差，确定两地之间的距离，可以判断①的正误；从两人到达终点的
时间，可以判断②的正误；根据图象的陡缓可以判断速度的大小，继而判断③正误；确定两人运动的函
数图象的解析式，求交点坐标，解答即可．
【详解】解：根据函数图象，超市的纵坐标为2000，小明家的纵坐标为0，故小明家到超市的路程是2000
米；
故①正确；根据图象，得小明到达超市用时间7.6分钟，小明爸爸到达超市用时间8分钟，
故小明先到达超市；故②正确；
根据图象看出，小明爸爸的运动图象比小明的运动图象更陡些，
故从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度慢；
故③错误；
设小明爸爸行驶的函数关系式为𝑦= 𝑘𝑥，把(8,2000)代入𝑦= 𝑘𝑥，得8𝑘= 2000，解得𝑘= 250，
故解析式为𝑦= 250𝑥，设小明行驶4.4分钟以后的解析式为𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，把(4.4,800), (7.6,2000)，代入
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛，{ 4.4𝑚+ 𝑛= 800
7.6𝑚+ 𝑛= 2000
，
解得{ 𝑚= 375
𝑛= −850
，
故小明此时段的解析式为𝑦= 375𝑥−850，
根据题意，得{𝑦= 375𝑥−850
𝑦= 250𝑥
，
解得𝑥= 6.8，
故相遇时间为6.8分钟，
故在爸爸出发6.8分钟时，小明追上了爸爸．故④正确．
2．（2026·山东济南·模拟预测）随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，
需要控制油的温度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温𝑦（单位：°C）随加热时
间𝑡（单位：s）变化的部分数值：
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加热时间𝑡s
⁄
0
10
20
30
40
…
油温𝑦/°C
30
45
60
75
90
…
根据表格中的数据判断，加热100 s时的油温为________°C．
【答案】180
【分析】观察表格数据可知，𝑦与𝑡满足一次函数关系，利用待定系数法求出函数解析式，再将𝑡= 100代入
解析式计算即可得到结果．
【详解】解：由表格数据可知，𝑦是𝑡的一次函数，
设函数解析式为𝑦= 𝑘𝑡+ 𝑏 (𝑘≠0)，
将𝑡= 0, 𝑦= 30代入解析式得𝑏= 30，
将𝑡= 10, 𝑦= 45代入解析式得10𝑘+ 30 = 45，
解得𝑘= 1.5，
因此𝑦与𝑡的函数解析式为𝑦= 1.5𝑡+ 30，
当𝑡= 100时，𝑦= 1.5 × 100 + 30 = 180，
即加热100s时的油温为180．
3．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用
水不超过10 吨时，水价为每吨1.2 元；超过10 吨时，超过的部分按每吨1.8 元收费．现有某户居民5 月
份用水x 吨（𝑥> 10），应缴水费y 元，请回答下列问题：
(1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式；
(2)若小明家本月用水15 吨，请问小明家应缴水费多少元？
【答案】(1)
𝑦= 1.8𝑥−6(𝑥> 10)
(2)
21 元
【分析】（1）根据等量关系列式化简即可得到关系式；
（2）将用水量代入关系式计算即可得到结果；
【详解】（1）解：由题意得，𝑥> 10，10 吨以内水费为1.2 × 10元，超过10 吨部分水量为(𝑥−10)吨，对
应水费为1.8(𝑥−10)元，
∴𝑦= 1.2 × 10 + 1.8(𝑥−10)，化简得𝑦= 1.8𝑥−6，
即应缴水费与用水量的关系式为𝑦= 1.8𝑥−6(𝑥> 10)；
（2）解：由题意得，小明家本月用水量𝑥= 15吨，15 > 10，符合𝑥> 10的条件，
将𝑥= 15代入𝑦= 1.8𝑥−6得𝑦= 1.8 × 15 −6 = 21，
答： 小明家应缴水费21 元．
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4．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）在用一种塑料管制作简易长笛实践活动中，同学们知道音高是由空气
柱振动频率决定的，“空气柱越短，音高越高”．下面是睿智小组的同学研究空气柱与音高关系实验的一部
分．
如图，取两根下底面密封的塑料管，侧面先不开孔．甲为粗细均匀的圆柱形直管，乙为粗细不同的变径异
形管，总长均为35cm．向管内注入清水，水柱上方留存空气柱．
记录管内水柱高度ℎ(cm)与注水量𝑥(mL)的数据如下：
注水量x/mL
0
40
100
200
300
400
500
600
…
甲管水柱高度ℎ1/cm
0
1.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
a
…
乙管水柱高度ℎ2/cm
0
1.2
3.0
5.5
7.8
9.9
11.8
b
…
(1)在如图平面直角坐标系中，用描点法画出ℎ2关于x 的图象，根据图象解决下列问题：
①当x 由小变大时，ℎ2的变化情况是________________；
②当x 的范围是________________时，ℎ1与ℎ2有交点（用所给的数据表示）；
③你还能从图象中获得哪些信息，请写出一个；
(2)小睿说，我们组不用继续实验了，我能算出当𝑥= 600时，𝑎= 15；小智说，我也能算出当𝑥= 600时，
𝑏= 14．判断他们的说法是否正确，并说明理由．
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【答案】(1)ℎ2关于x 的图象如图所示：
，①随着注水量𝑥增大，乙管水
柱高度ℎ2持续增大，但增长速度逐渐变慢；②300 < 𝑥< 400；③甲管ℎ1与𝑥成正比例关系，图象为过原
点的直线；乙管ℎ2随𝑥增加增速放缓，图象是向上凸的曲线；
(2)小睿正确，小智错误，理由如下
甲管底面积固定，水柱高度与注水量成正比．
由𝑥= 400 mL，ℎ1 = 10.0 cm，比例关系：ℎ1 =
10
400 𝑥=
𝑥
40．
当𝑥= 600时，𝑎= ℎ1 =
600
40 = 15，
因此小睿说法正确．
乙管管径不均匀，ℎ2和𝑥不是一次函数，无固定比例，无法通过现有数据准确算出𝑥= 600对应的𝑏，
因此小智说法错误．
【分析】（1）根据列表，描点，然后用光滑的曲线连接即可求解
①描出乙管对应(𝑥, ℎ2)所有数据点连线，观察曲线走势，得出ℎ2整体上升、增速越来越慢；
②对比表格𝑥= 300，400两组ℎ1，ℎ2大小，两者高低关系反转，确定交点区间300 < 𝑥< 400；
③对比甲乙图象形态，写出正比例曲线增速相关一条信息即可．
（2）先分析甲管均匀圆柱，ℎ1与𝑥成正比，根据已有数据求出比例式，代入𝑥= 600算出𝑎= 15，判定小
睿正确；再分析乙管为变径异形管，ℎ2与𝑥无固定比例，不能精准推算𝑏，判定小智错误．
【详解】（1）ℎ2关于x 的图象：略；
①从图象可知，随着注水量𝑥增大，乙管水柱高度ℎ2持续增大，但增长速度逐渐变慢；
②𝑥= 100时，ℎ1 = 2.5，ℎ2 = 3.0，ℎ2 > ℎ1；
𝑥= 200时，ℎ1 = 5.0，ℎ2 = 5.5，ℎ2 > ℎ1；
𝑥= 300时，ℎ1 = 7.5，ℎ2 = 7.8，ℎ2 > ℎ1；
𝑥= 400时，ℎ1 = 10.0，ℎ2 = 9.9，ℎ2 < ℎ1；
交点出现在300 < 𝑥< 400之间．
③甲管ℎ1与𝑥成正比例关系，图象图象为过原点的直线；乙管ℎ2随𝑥增加增速放缓，图象是向上凸的曲
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线．
（2）略
5．（25-26 八年级下·北京密云·期末）如图是我国传统计重工具杆秤，其称重原理是通过移动秤砣在秤杆上
的位置，使秤杆保持水平，从而读取物品的重量．秤砣到提纽的水平距离𝑥（厘米）与秤钩所挂物体重量𝑦
（斤）满足函数关系．某兴趣小组对实验室中的杆秤进行称重实验，得到以下6组数据：
𝑥/厘米
4
12
16
24
28
36
𝑦/斤
0
1
1.5
2.5
3
4
(1)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中画出这个函数的图象；
(2)选出最符合实际的函数模型，求出这个函数的解析式；
(3)实验中当秤杆上秤砣到提纽的水平距离为42厘米时，则秤钩所挂物体的重量为__________斤．
(4)若此次实验的杆秤最大称重重量是6斤，直接写出秤砣到提纽的水平距离𝑥的取值范围__________．
【答案】(1)画出函数的图象如图所示：
(2)一次函数，函数解析式为𝑦=
1
8 𝑥−
1
2
(3)4.75
(4)4 ≤𝑥≤52
【分析】本题考查一次函数的综合应用．
（1）根据已知坐标点描点，画出函数图象．
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（2）根据函数图象符合一次函数的图象特征，设函数的表达式为𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，利用待定系数法得到一次函
数的解析式．
（3）代入𝑥= 42到一次函数的解析式，解得对应的𝑦值即可．
（4）根据一次函数的增减性在𝑦的取值范围内求出𝑥的最值，即可得到𝑥的取值范围．
【详解】（1）略；
（2）解：由（1）中函数图象可知，函数图象为一条直线，符合一次函数的图象特征，是一次函数，
∴设𝑥，𝑦的函数解析式为：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，
把(12,1)和(28,3)代入表达式得：{12𝑘+ 𝑏= 1
28𝑘+ 𝑏= 3
，
解得：{
𝑘=
1
8
𝑏= −
1
2
，
∴函数模型为一次函数，所对应的函数解析式为𝑦=
1
8 𝑥−
1
2；
（3）解：当𝑥= 42时，𝑦=
1
8 × 42 −
1
2 = 4.75，
∴秤钩所挂物体的重量为4.75斤；
（4）解：把𝑦= 6代入解析式得：
1
8 𝑥−
1
2 = 6，
解得：𝑥= 52，
∵𝑦≥0，当𝑦= 0时，𝑥= 4，且𝑘=
1
8 > 0，
∴当4 ≤𝑥≤52时，0 ≤𝑦≤6，
∴秤砣到提纽的水平距离𝑥的取值范围为4 ≤𝑥≤52．
6．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，直线𝑙1：𝑦=
1
3 𝑥+ 2与𝑙2：𝑦= 𝑛𝑥+ 6交于点𝐴(3, 𝑚)，𝑙1，𝑙2与
𝑦轴分别交于点𝐵，𝐶．
(1)求𝑛的值；
(2)关于𝑥的不等式
1
3 𝑥+ 2 > 𝑛𝑥+ 6的解集为 ；
(3)𝑙2上是否存在点𝑃，使得𝑆△𝐶𝐵𝑃=
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐵．若存在，请求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)−1
(2)𝑥> 3
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(3)𝑃(−
3
2 ,
15
2 )或𝑃(
3
2 ,
9
2)
【分析】（1）先把点𝐴(3, 𝑚)代入𝑦=
1
3 𝑥+ 2，求出点A 的坐标，再把点A 代入𝑦= 𝑛𝑥+ 6，即可求出n 的
值．
（2）结合函数图象，当不等式
1
3 𝑥+ 2 > 𝑛𝑥+ 6时，即直线𝑙1在直线𝑙2上方，据此求解即可．
（3）分别求出点B，C 的坐标，先求出𝑆△𝐴𝐶𝐵= 6，设𝑃(𝑥, −𝑥+ 6)，再由𝑆△𝐶𝐵𝑃=
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐵，进而可求出点
P 的坐标．
【详解】（1）解：把𝐴(3, 𝑚)代入𝑦=
1
3 𝑥+ 2，
得𝑚=
1
3 × 3 + 2 = 3，
∴𝐴(3,3)，
把𝐴(3,3)代入𝑦= 𝑛𝑥+ 6，
得3𝑛+ 6 = 3，
解得𝑛= −1．
（2）解：由（1）知𝑦= −𝑥+ 6，𝐴(3,3)，
结合函数图象，当𝑥> 3时，不等式
1
3 𝑥+ 2 > −𝑥+ 6．
（3）解：当𝑥= 0时，则𝑦=
1
3 × 0 + 2 = 2，∴𝐵(0,2)，
当𝑥= 0时，则𝑦= −1 × 0 + 6 = 6，∴𝐶(0,6)，
∴𝐵𝐶= 4，𝑆△𝐴𝐶𝐵=
1
2 𝐵𝐶⋅𝑥𝐴=
1
2 × 4 × 3 = 6，
设𝑃(𝑥, −𝑥+ 6)，
∵𝑆△𝐶𝐵𝑃=
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐵，
∴𝑆△𝐶𝐵𝑃=
1
2 𝐵𝐶⋅|𝑥𝑝| =
1
2 × 4 ⋅|𝑥𝑝| = 3，
∴𝑥𝑝= ±
3
2，
∴𝑃(−
3
2 ,
15
2 )或𝑃(
3
2 ,
9
2)．
7．（25-26 八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 3分别交x 轴，y 轴
于点A，点B，且
𝑂𝐴
𝑂𝐵=
4
3．
(1)求k 的值；
小学
初中
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(2)若点C 为线段𝑂𝐵上一点，连接𝐴𝐶，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐶折叠，使点B 落在x 轴的点𝐵′处，求点C 的坐标；
(3)如图2，作𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，点E 为直线𝐴𝐵上一动点，点F 为y 轴上一动点，是否存在以O，E，F 为顶点的
三角形与△𝑂𝐷𝐸全等？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)−
3
4
(2)点C 的坐标为(0,
4
3)
(3)点E 的坐标为(−
12
5 ,
24
5 )或(
12
5 ,
6
5)或(
36
5 , −
12
5 )或(
4
5 ,
12
5 )
【分析】（1）先根据𝑦= 𝑘𝑥+ 3求出点B 的坐标，结合
𝑂𝐴
𝑂𝐵=
4
3求出点A 的坐标，代入𝑦= 𝑘𝑥+ 3即可求出k
的值；
（2）先用勾股定理求出𝐴𝐵长度，设点C 的坐标为(0,𝑐)，则𝑂𝐶= 𝑐，𝐵𝐶= 3 −𝑐，由折叠的性质得𝐵′𝐶=
𝐵𝐶，𝐴𝐵′ = 𝐴𝐵，最后由勾股定理解Rt △𝑂𝐵′𝐶即可；
（3）先用等面积法得出𝑂𝐷，再得出以O，E，F 为顶点的三角形与△𝑂𝐷𝐸全等时，斜边𝑂𝐸为对应边，
∠𝑂𝐹𝐸= 90°，然后分两种情况利用全等三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：对于𝑦= 𝑘𝑥+ 3，
当𝑥= 0时，𝑦= 3，
∴点B 的坐标为(0,3)，
∴ 𝑂𝐵= 3，
∵
𝑂𝐴
𝑂𝐵=
4
3，
∴ 𝑂𝐴= 3 ×
4
3 = 4，
∵点A 在x 轴的正半轴上，
∴点A 的坐标为(4,0)，
将𝐴(4,0)代入𝑦= 𝑘𝑥+ 3，得：0 = 4𝑘+ 3，
解得𝑘= −
3
4；
（2）解：∵ 𝑂𝐵= 3，𝑂𝐴= 4，
∴ 𝐴𝐵= √𝑂𝐴2 + 𝑂𝐵2 = √42 + 32 = 5，
设点C 的坐标为(0,𝑐)，
则𝑂𝐶= 𝑐，
∴ 𝐵𝐶= 𝑂𝐵−𝑂𝐶= 3 −𝑐，
由折叠得𝐵′𝐶= 𝐵𝐶= 3 −𝑐，𝐴𝐵′ = 𝐴𝐵= 5，
∴ 𝑂𝐵′ = 𝐴𝐵′ −𝑂𝐴= 5 −4 = 1，
在Rt △𝑂𝐵′𝐶中，𝑂𝐵′2 + 𝑂𝐶2 = 𝐵′𝐶2，
∴ 12 + 𝑐2 = (3 −𝑐)2，
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解得𝑐=
4
3，
∴点C 的坐标为(0,
4
3)；
（3）解：∵ 𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，
∴ 𝑆△𝑂𝐴𝐵=
1
2 𝑂𝐴⋅𝑂𝐵=
1
2 𝐴𝐵⋅𝑂𝐷，
∴ 𝑂𝐷=
𝑂𝐴⋅𝑂𝐵
𝐴𝐵
=
4×3
5 =
12
5 ，
当以O，E，F 为顶点的三角形与△𝑂𝐷𝐸全等时，斜边𝑂𝐸为对应边，∠𝑂𝐹𝐸= 90°，
分两种情况：
当△𝑂𝐷𝐸≌△𝐸𝐹𝑂时，𝐸𝐹= 𝑂𝐷=
12
5 ，
如图：
∴点E 的横坐标为−
12
5 或
12
5 ，
∴点E 的纵坐标为𝑦= −
3
4 × (−
12
5 ) + 3 =
24
5 或𝑦= −
3
4 ×
12
5 + 3 =
6
5，
∴点E 的坐标为(−
12
5 ,
24
5 )或(
12
5 ,
6
5)；
当△𝑂𝐷𝐸≌△𝑂𝐹𝐸时，𝑂𝐹= 𝑂𝐷=
12
5 ，
如图：
∴点F 的纵坐标为−
12
5 或
12
5 ，
∴点E 的纵坐标为−
12
5 或
12
5 ，
即−
3
4 𝑥+ 3 = −
12
5 或−
3
4 𝑥+ 3 =
12
5 ，
解得𝑥=
36
5 或𝑥=
4
5，
∴点E 的坐标为(
36
5 , −
12
5 )或(
4
5 ,
12
5 )，
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综上可得，点E 的坐标为(−
12
5 ,
24
5 )或(
12
5 ,
6
5)或(
36
5 , −
12
5 )或(
4
5 ,
12
5 )．
8．（25-26 八年级下·四川凉山·期末）阅读与理解
【阅读材料】
一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象是一条直线，通常也称为直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，其中𝑘称为直线的斜率，若直
线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏上有两点𝐴(𝑥1,𝑦1)和𝐵(𝑥2,𝑦2),则𝑘=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1．特别地，当直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与直线𝑦2 = 𝑘2𝑥+
𝑏2互相垂直时，𝑘1 ⋅𝑘2 = −1．
【理解运用】
(1)已知点𝐸(2,3)，𝐹(𝑚, 5)，其中m 为常数，且𝑚≠2．若直线𝐸𝐹与直线𝑦=
1
3 𝑥−2垂直，求𝑚的值；
(2)判定点𝐴(1,2)，𝐵(2,5)，𝐶(4,1)三点构成的△𝐴𝐵𝐶是否是直角三角形？并说明理由．
【答案】(1)𝑚=
4
3
(2)△𝐴𝐵𝐶是直角三角形
【分析】（1）先根据两点坐标求直线𝐸𝐹的斜率，再结合垂直关系列方程求解𝑚．
（2）分别计算三角形三边所在直线的斜率，通过验证斜率乘积判断是否存在垂直关系，进而判断三角形
形状．
【详解】（1）解∶ ∵𝐸(2,3)，𝐹(𝑚, 5)，𝑚≠2，
∴根据斜率公式，直线𝐸𝐹的斜率为𝑘𝐸𝐹=
5−3
𝑚−2 =
2
𝑚−2，
∵直线𝑦=
1
3 𝑥−2的斜率为
1
3，直线𝐸𝐹与该直线垂直，
∴根据题意得
𝑘𝐸𝐹⋅
1
3 = −1，
∴
2
𝑚−2 ×
1
3 = −1，
解得𝑚=
4
3；
（2）解：∵𝐴(1,2)，𝐵(2,5)，𝐶(4,1)，
∴𝑘𝐴𝐵=
5−2
2−1 = 3, 𝑘𝐴𝐶=
1−2
4−1 = −
1
3 , 𝑘𝐵𝐶=
1−5
4−2 = −2，
∴𝑘𝐴𝐵⋅𝑘𝐴𝐶= 3 × (−
1
3) = −1，
即𝐴𝐵⊥𝐴𝐶，
∴∠𝐴= 90°
∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，射线𝐴𝐵所对应的函数解析式为𝑦= −2𝑥−2(𝑥≤0)，点𝐴在𝑦轴上，
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点𝐵在𝑥轴上，点𝐶的坐标为(2,0)，作射线𝐴𝐶．
(1)点A 的坐标为_______，点B 的坐标为______；
(2)求射线𝐴𝐶所对应的函数解析式，不要求写出x 的取值范围；
(3)将射线𝐴𝐵，𝐴𝐶所组成的图形记为图象𝑉，动点𝑃在图象𝑉上，其横坐标为𝑚．将图象𝑉在点𝑃与点𝐵之间
部分（包括点𝑃和点𝐵）的最高点与最低点的纵坐标的差记为𝑛．
①当𝑚= −3时，𝑛=_______；当𝑚= 1时，𝑛=_______；
②当𝑛= 3时，直接写出𝑚的值；
③当2𝑛−𝑚> 3时，直接写出𝑚的取值范围．
【答案】(1)(0, −2)，(−1,0)
(2)射线𝐴𝐶所对应的函数解析式为𝑦= 𝑥−2
(3)①4；2；②m 的值为−
5
2或3；③m 的取值范围为𝑚< −
7
5或−
1
3 < 𝑚< 1或𝑚> 3
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）①根据题意代入求解即可；
②分四种情况讨论求解即可；
③分四种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：令𝑦= −2𝑥−2 = 0，解得𝑥= −1，令𝑥= 0，解得𝑦= −2，
∴点A 的坐标为(0, −2)，点B 的坐标为(−1,0)；
（2）解：∵点A 的坐标为(0,−2)，点𝐶的坐标为(2,0)，
∴设直线𝐴𝐶的解析式为𝑦= 𝑘𝑥−2，
将(2,0)代入得2𝑘−2 = 0，解得𝑘= 1，
∴射线𝐴𝐶所对应的函数解析式为𝑦= 𝑥−2；
（3）解：图象V 由𝑦= −2𝑥−2(𝑥≤0)和𝑦= 𝑥−2(𝑥≥0)组成，
最低点为𝐴(0, −2)，𝐵(−1,0)，
n 为点P 与点B 之间部分最高点与最低点纵坐标之差；
①当𝑚= −3时：P 在射线𝐴𝐵上，𝑦𝑝= −2 × (−3) −2 = 4，
P 到B 段(−3 ≤𝑥≤−1)，y 从4 降至0，
最高4，最低0，
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∴𝑛= 4 −0 = 4；
当𝑚= 1时：P 在射线𝐴𝐶上，𝑦𝑝= 1 −2 = −1，
P 到B 段路径经𝐴(0, −2)，最高为B 点𝑦= 0，最低为A 点𝑦= −2，
∴𝑛= 0 −(−2) = 2；
②当𝑛= 3时：若𝑚≤−1，P 在B 左侧，最高𝑦𝑝= −2𝑚−2，最低0，
∴𝑛= −2𝑚−2 = 3，
解得𝑚= −
5
2；
若−1 < 𝑚≤0，最高为0，最低𝑦𝑝= −2𝑚−2，
∴𝑛= 0 −(−2𝑚−2) = 3，
解得𝑚= 0.5(舍去)；
若0 ≤𝑚< 2，最低恒为−2，最高为0，
则𝑛= 0 −(−2) = 2，不符合题意舍去，
若𝑚≥2，最低恒为−2，最高𝑦𝑝= 𝑚−2，
∴𝑛= 𝑚−2 −(−2) = 3，
解得𝑚= 3；
③当2𝑛−𝑚> 3时：
情况1：当𝑚≤−1时，𝑛= −2𝑚−2，
由题意得2(−2𝑚−2) −𝑚> 3，解得𝑚< −
7
5；
情况2：当−1 < 𝑚< 0时，𝑛= 0 −(−2𝑚−2) = 2𝑚+ 2，
由题意得2 × (2𝑚+ 2) −𝑚> 3，
解得𝑚> −
1
3，
即−
1
3 < 𝑚< 0；
情况3：当0 ≤𝑚< 2时，𝑛= 0 −(−2) = 2，
由题意得2 × 2 −𝑚> 3，
解得𝑚< 1，即0 ≤𝑚< 1；
情况4：当𝑚≥2时，𝑛= 𝑚−2 −(−2) = 𝑚，
由题意得2𝑚−𝑚> 3，解得𝑚> 3，即𝑚> 3；
综上，m 的取值范围为𝑚< −
7
5或−
1
3 < 𝑚< 1或𝑚> 3．
2．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）2026 年5 月24 日，神舟二十三号载人飞船发射成功，三名航天员于
次日5 时13 分进驻“天宫”，中国航天员完成第12 次“太空会师”．航天事业的蓬勃发展，促进了航天文创
产品的销售．某商店售卖A，B 两款航天文创产品，已知购买一个A 款航天文创产品和一个B 款航天文创
产品共需130 元，购买一个A 款航天文创产品比购买两个B 款航天文创产品少花费20 元．
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(1)求A，B 两款航天文创产品的单价．
(2)若某研学团队欲购买A，B 两款航天文创产品共50 个，且A 款航天文创产品的数量不少于B款航天文创
产品数量的
3
2倍．该研学团队购买A，B 两款航天文创产品各多少个，可使得总花费最低？最低花费是多少
元？
【答案】(1)A 款航天文创产品单价为80 元，B 款航天文创产品单价为50 元
(2)购买A 款30 个，B 款20 个时总花费最低，最低花费为3400 元
【分析】（1）据题干给出的两个总价关系，列出二元一次方程组，求解即可得到两款产品的单价；
（2）先根据A 款数量和B 款数量的不等关系列出一元一次不等式，得到自变量的取值范围，再得到总花
费关于购买数量的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最低花费．
【详解】（1）解：设A 款航天文创产品单价为𝑥元，B 款航天文创产品单价为𝑦元．
根据题意得{𝑥+ 𝑦= 130①
𝑥= 2𝑦−20②
，
把②代入①得2𝑦−20 + 𝑦= 130，
解得𝑦= 50，
把𝑦= 50代入①得𝑥= 80，
答：A 款航天文创产品单价为80 元，B 款航天文创产品单价为50 元；
（2）解：设购买A 款航天文创产品𝑚个，总花费为𝑤元，则购买B 款航天文创产品(50 −𝑚)个．
根据题意得𝑚≥
3
2 (50 −𝑚)，
解得𝑚≥30，
总花费𝑤= 80𝑚+ 50(50 −𝑚) = 30𝑚+ 2500，
∵30 > 0，
∴𝑤随𝑚的增大而增大，
∴当𝑚取最小值30时，𝑤取得最小值，
此时50 −𝑚= 20，𝑤最小= 30 × 30 + 2500 = 3400（元），
答：购买A 款30 个，B 款20 个时总花费最低，最低花费为3400 元．
