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5.1 常量与变量、函数
课标要点
1.理解常量、变量的概念，能在实际问题中准确区分常量与变量。
2.理解函数、自变量、函数值的定义，掌握函数“唯一对应”的核心本质。
3.能根据解析式、表格、情境判断函数关系，会求自变量取值范围与对应函数值。
4.了解函数的三种表示方法，初步建立变量与数形结合的函数思想。
学习重难点
重点：
1.区分常量与变量；
2.理解函数的概念与唯一对应关系；
3.会求函数值与自变量取值范围。
难点：
1.透彻理解函数“唯一对应”的本质，辨析非函数关系；
2.结合实际情境确定自变量取值范围。
第五章
一次函数
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知识点
常量和变量的概念
1. 变量和常量：在一个过程中，固定不变的量称为常量，可以取不同数值的量称为变量。
随学随练
1．（25-26 七年级下·江西吉安·期末）小丁去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数
据，则其中的变量是（ ）
A．金额
B．数量
C．单价
D．金额和数量
【答案】D
【详解】解：由题意可得，金额=单价×数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
所以单价是常量，数量与金额是变量，其中数量是自变量，金额是因变量．
2．（25-26 八年级下·贵州遵义·期中）某市居民用电价格是0.58元/千瓦时，居民应付电费为𝑦元，用电量
为𝑥千瓦时，其中（ ）
A．0.58，𝑥是常量，𝑦是变量
B．0.58是常量，𝑥，𝑦是变量
C．0.58，𝑦是常量，𝑥是变量
D．𝑥，𝑦是常量，0.58是变量
【答案】B
【分析】根据常量和变量的定义判断，常量是数值固定不变的量，变量是数值发生变化的量，据此区分各
量即可得到答案．
【详解】解：由题意可知，用电价格0.58元/千瓦时是固定不变的数值，用电量𝑥可以取不同的值，应付电
费𝑦随𝑥的变化而变化，
∴0.58是常量，𝑥, 𝑦是变量．
易错提醒
1）误认为数字一定是常量、字母一定是变量；
2）忽略前提条件，脱离变化过程判断常量与变量；
3）多个变量的问题中，分不清主动变化和随动变化的量。
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知识点
函数的概念
1. 函数：一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x，y，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确
定的值与之对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量。
2. 函数表达式：用等式表示函数与自变量之间的关系，这种等式叫作函数表达式，简称为函数式。用函数
表达式表示函数的方法也叫解析法。
随学随练
1．（25-26 八年级下·辽宁铁岭·期末）下列式子中y 不是x 的函数的是（ ）
A．𝑦= 5 −4𝑥
B．𝑦= 𝑥2
C．𝑦2 = −3𝑥
D．𝑦=
1
𝑥
【答案】C
【分析】本题根据函数定义判断即可，函数要求对于x 的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与之对应，
据此找出不符合要求的选项．
【详解】解：∵函数的定义为：对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，y 才是x 的函
数，
对选项C：𝑦2 = −3𝑥，取𝑥= −1代入得𝑦2 = 3，此时𝑦= √3或𝑦= −√3，
∴有两个y 值和同一个x 对应，不满足函数定义，因此y 不是x 的函数，
其余选项中，对于任意确定的x，都只有唯一的y 值对应，均符合函数定义，
故选C．
2．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）一个水箱里装有30 升水，水从水箱中均匀流出，流速为0.2 升／分
钟，则水箱中剩余水量𝑄（升）与流出时间𝑡（分钟）的函数关系式是（ ）
A．𝑄= 0.2𝑡
B．𝑄= 30 −0.2𝑡
C．𝑡= 0.2𝑄
D．𝑡= 30 −0.2𝑄
【答案】B
【分析】根据剩余水量等于总水量减去流出的水量，先求出t 分钟流出的水量，再列出函数关系式即可求
解．
【详解】∵流速为0.2升/分钟，流出时间为𝑡分钟，
∴𝑡分钟流出的水量为0.2𝑡升，
又∵剩余水量𝑄=总水量−流出水量，总水量为30升，
∴𝑄= 30 −0.2𝑡．
特别提醒
核心关键：一个x 只能对应一个y，一个y 可以有多个x。
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知识点
函数的三种表示方法（重点）
1. 函数的三种表示方法：列表法、解析法、图象法。
定义
特点
备注
列表法
把自变量的所有取值与对
应的函数值列成一张表来
表示函数关系的方法
能具体地反映自变量与函数的数值对
应关系，在实际生活中应用非常广泛
解析法
用数学式子表示函数关系
的方法
准确地反映了函数与自变量之间的对
应规律，根据它可以由自变量的取值求
出相应的函数值，反之亦然
其中的数学式子叫作函
数表达式或函数解析式
图象法
用图象来表示两个变量间
的函数关系的方法
直观地反映函数值随自变量的变化而
变化的规律
随学随练
1．（25-26 八年级下·河南许昌·期中）弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度𝑦(cm)与所挂重物的质量
𝑥(kg)有下面的关系，那么弹簧总长𝑦(cm)与所挂重物𝑥(kg)之间的关系式为（ ）
𝑥(kg)
0
1
2
3
4
5
6
𝑦(cm)
12
12.5
13
13.5
14
14.5
15
A．𝑦= 𝑥+ 12
B．𝑦= 0.5𝑥+ 12
C．𝑦= 0.5𝑥+ 10
D．𝑦= 𝑥+ 10.5
【答案】B
【分析】根据表格数据，确定弹簧原长和每挂1kg重物弹簧的伸长量，即可求出函数关系式．
【详解】解：观察表格数据可知，
当𝑥= 0时，𝑦= 12，即弹簧原长为12cm，且x 每增加1kg，y 增加0.5cm，
∴弹簧总长𝑦(cm)与所挂重物𝑥(kg)之间的关系式为𝑦= 0.5𝑥+ 12．
2．（25-26 八年级下·重庆·期中）下列情境中，优先考虑用解析法表示函数关系的是（ ）
A．记录某病人一天内不同时刻的体温
易错提醒
1）列表法只能体现部分对应值，不能完全代表整体函数变化；
2）图象法中零散点不连线，无法体现连续变化规律；
3）三种方法混用解题时，信息对应错位。
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B．反映某城市一年中各月份的平均降雨量
C．用公式计算圆柱高h 一定的情况下的体积V 与底面半径r 之间的关系
D．展示某运动员在100 米比赛中速度随时间的变化
【答案】C
【分析】本题考查函数不同表示方法的适用场景，初中函数表示方法分为解析法、列表法、图象法三类，
解析法通过数学解析式表达函数关系，需结合各情境特征判断．
【详解】解：∵ 解析法适合表示有明确数学关系式的函数关系，列表法适合整理离散的对应数据，图象法
适合直观展示变化趋势．
又∵ A 选项记录不同时刻的体温，为离散对应数据，优先选列表法；B 选项反映各月份的平均降雨量，为离
散对应数据，优先选列表法；D 选项展示速度随时间的变化趋势，优先选图象法．
C 选项中h 为定值，体积𝑉与底面半径𝑟有明确关系式𝑉= 𝜋𝑟2ℎ，符合解析法的适用特征，优先用解析法．
知识点
函数值与自变量的取值范围（重点）
1. 函数值：指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值。
2. 自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义：
①当表达式的分母不含有自变量时，自变量取全体实数．例如y＝2x+13 中的x；
②当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零；
③当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零；
④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式有意义外，还要保证实际问题有意义。
随学随练
1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）函数𝑦=
𝑥+1
𝑥−2自变量𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥≥−1
B．−1 ≤𝑥< 2
C．𝑥≥−1且𝑥≠2
D．𝑥≠2
【答案】D
【详解】解：∵𝑦=
𝑥+1
𝑥−2
∴𝑥−2 ≠0
∴𝑥≠2．
2．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）在函数𝑦= −𝑥+ 1中，当𝑥= 3时，函数值𝑦=____________．
特别提醒
自变量取值范围：使函数解析式有意义、且符合实际问题情境的自变量取值全体；代入自变量求出的
对应y 值即为函数值。
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【答案】−2
【分析】将给定的自变量𝑥的值代入函数解析式，依据有理数运算法则计算即可得到对应函数值．
【详解】解：把𝑥= 3代入函数𝑦= −𝑥+ 1，
得𝑦= −3 + 1 = −2．
3．（25-26 八年级下·上海虹口·期末）已知𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥−2，且𝑓(2) = 4，那么实数k 的值为_______．
【答案】
3
【详解】解：由题意得2𝑘−2 = 4，
解得𝑘= 3．
知识点
函数的图像（重点）
1. 函数的图像：把一个函数的自变量x 与函数𝑦的对应值分别作为点的横和纵坐标，在直角坐标系中描出
它的对应点，所有这些点所组成的图形叫作这个函数的图象。
2. 由函数表达式画函数图象的一般步骤：
①列表：列出自变量与函数的一些对应值；
②描点：以表中各组对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
③连线：按照自变量的大小顺序，把所描各点用平滑的曲线依次连接起来。
随学随练
1．（25-26 八年级下·天津滨海新区·期末）下列各曲线中，变量𝑦不是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
特别提醒
图象上的点坐标满足解析式，满足解析式的点一定在图象上。
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【分析】根据函数的定义，对于自变量𝑥的每一个取值，因变量𝑦都有唯一确定的值与之对应，从图像上
看，就是作垂直于𝑥轴的直线，若直线与曲线最多只有一个交点，则是函数；若有两个或两个以上交点，
则不是函数，据此分析即可．
【详解】解：A、对于每一个𝑥，都有唯一的𝑦值对应，是函数，不符合题意；
B、对于每一个𝑥，都有唯一的𝑦值对应，是函数，不符合题意；
C、对于每一个𝑥，都有唯一的𝑦值对应，是函数，不符合题意；
D、当𝑥> 0时，对于每一个𝑥，都有两个𝑦值对应，不是函数，符合题意．
2．（25-26 八年级下·河北石家庄·期末）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放
纸鸢．”在儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象能表示儿童离家距离与时间关系的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过
程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是
．
3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）探究函数𝑦= |𝑥−2|的图象和性质．
(1)补全列表：
𝑥
−2
−1
0
1
2
3
4
5
𝑦
4
2
1
0
1
3
(2)描点，并用平滑的曲线连接这些点；
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(3)任意写一条该函数的性质．
【答案】(1)3；2
(2)
(3)图象关于直线𝑥= 2对称；当𝑥< 2时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥> 2时，𝑦随𝑥的增大而增大．（答案不
唯一）
【分析】（1）将𝑥= −1和𝑥= 4代入求解即可；
（2）按表格描点，连线即可；
（3）观察函数图象即得答案．
【详解】（1）解：当𝑥= −1时，𝑦= |−1 −2| = |−3| = 3；当𝑥= 4时，𝑦= |4 −2| = |2| = 2；
（2）略
（3）略
拓展
函数三种表示方法优缺点对比
1. 列表法、解析法、图象法是函数唯一三种表示形式，三者各有优劣、互为补充，适用场景不同，核心
差异对比如下：
表示方法
核心优点
核心局限
列表法
直观展示自变量与函数的具体对应数值，贴
只能呈现部分数值，无法反映整体变化规
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合实际生活场景，读取数据简单
律，不能展示连续变化过程
解析法
精准反映变量间的对应规律，可通用计算任
意自变量对应的函数值，逻辑严谨
抽象性强，无法直观观察函数整体变化趋
势，部分实际问题无法写出解析式
图象法
直观清晰，可直接观察函数随自变量的增减
变化、整体趋势
读数存在误差，无法精准获取精确数值，
只能定性分析无法精算
活学活用
1．（25-26 八年级下·重庆江津·期末）下列关于变量关系的四种表述中，错误的是（ ）
A．若𝑦= √𝑥2，则𝑦是𝑥的函数
B．图1中，𝑦是𝑥的函数
C．图2中，ℎ是𝑡的函数
D．若𝑚、𝑛对应关系如下表，则𝑛是𝑚的函数
𝑚
−3
−2
−1
0
1
2
3
𝑛
−2
−3
−6
0
1
4
9
【答案】B
【分析】根据函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量𝑥、𝑦，如果给定一个𝑥值，相应地就确定唯一
的一个𝑦值，那么我们称𝑦是𝑥的函数，依次判断各选项即可.
【详解】∵𝑦= √𝑥2中，对于每一个𝑥的值，都有唯一确定的𝑦值与之对应，
∴𝑦是𝑥的函数，故A 正确；
观察图1 可知，存在一个𝑥对应多个𝑦，
∴𝑦不是𝑥的函数，故B 错误；
观察图2 可知，对于每一个𝑡的值，都有唯一确定的ℎ值与之对应，
∴ℎ是𝑡的函数，故C 正确；
观察表格可知，对于每一个𝑚的值，都有唯一确定的𝑛值与之对应，
∴𝑛是𝑚的函数，故D 正确.
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2．表示变量之间关系的方法有列表法、______、______．
【答案】
解析式法
图象法
【详解】解：表示变量之间关系的常用方法有列表法、解析式法、图象法.
3．某冬季运动赛场为了准备即将到来的比赛，正着手进行既定规模的人工造雪作业．根据下表表示出每
天造雪量𝑥（单位：m3）和造雪天数𝑦（单位：天）的关系______．
每天造雪量/m3
5000
5200
6500
…
造雪天数
52
50
40
…
【答案】𝑥𝑦= 260000或𝑦=
260000
𝑥
【分析】本题主要考查函数的表达方式，从表格中的数据可以得出每天造雪量和造雪天数的乘积等于定值
260000，故可得解．
【详解】解：从表格中的数据可以得出5000 × 52 = 5200 × 50 = 6500 × 40 = 260000m3，
所以，每天造雪量𝑥（单位：m3）和造雪天数𝑦（单位：天）的关系是𝑥𝑦= 260000或𝑦=
260000
𝑥
，
故答案为：𝑥𝑦= 260000或𝑦=
260000
𝑥
．
拓展
自变量取值范围与核心易错点归纳
1. 函数概念核心易错：函数判定关键为“𝑥每一个确定值，𝑦有唯一确定值对应”，一对多不属于函数关
系，是判定函数的核心依据。
2. 代数式取值易错：分式结构需保证分母不为0；偶次根式需保证被开方数非负；无特殊结构的整式，自
变量可取全体实数。
3. 实际问题取值易错：纯代数式只需满足式子有意义，实际问题函数需额外符合现实逻辑（数量为正、
整数等），不可只看式子。
4. 画函数图象步骤易错：必须严格遵循“列表—描点—平滑连线”，连线需按自变量大小顺序连接，不
可折线、断点连接。
活学活用
1．在函数𝑦=
1
𝑥−3中，自变量𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥≠0
B．𝑥> 3
C．𝑥≠−3
D．𝑥≠3
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【答案】D
【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为0，函数𝑦=
1
𝑥−3的分母为𝑥−3，
∴𝑥−3 ≠0，
解得𝑥≠3．
2．在函数𝑦=
1
√2𝑥−4中，自变量𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥> 2
B．𝑥≥2
C．𝑥≠2
D．𝑥< 2
【答案】A
【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非
负．
根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得．
【详解】解：∵函数𝑦=
1
√2𝑥−4要有意义，
则2𝑥−4 > 0，
解得：𝑥> 2，
故选：A．
题型
变量与常量的辨析
▌例1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）李明到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内
容，在购物过程中，他发现付款金额随购买矿泉水数量的变化而变化，则其中的常量是（ ）
A．数量
B．单价
C．金额和单价
D．金额和数量
【答案】B
【分析】常量是指在研究过程中，保持不变的量，根据题意进行判断即可．
【详解】解：∵付款金额随购物数量的变化而变化，
解题贴士
在某一变化过程中，数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量；结合实际情境，锁定变化过
程判断两类量。
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∴数量和金额是变量，
又∵矿泉水的单价固定不变，
∴单价是常量．
▌例2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）若某个三角形一条边长为4，该边上的高为h，则这个三角形的
面积S 与h 之间的关系式为𝑆= 2ℎ，下列说法正确的是（ ）
A．h 是常量
B．2 是变量
C．S 是变量
D．S 是常量
【答案】C
【详解】解：关系式𝑆= 2ℎ中，2是常量，𝑆与ℎ是变量．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·湖南长沙·期末）在圆的周长公式𝐶= 2π𝑟中，变量是（ ）．
A．𝐶,π
B．𝐶, 𝑟
C．2,π
D．2, 𝑟
【答案】B
【分析】根据变量与常量的定义，变量是变化的量，常量是固定不变的量，区分公式中的各量即可得到答
案．
【详解】解：∵在圆的周长公式𝐶= 2𝜋𝑟中，2和𝜋是固定不变的数值，半径𝑟可以变化，周长𝐶会随𝑟的变化
而变化，
∴变量是𝐶和𝑟．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）某市居民生活用水的价格为5 元/t，记某户的月用水量
为𝑥t，月应缴水费为y 元，其中的常量是（ ）
A．生活用水每吨的价格
B．某户的月用水量x
C．月应缴水费y
D．某户的月用水量x 和月应缴水费y
【答案】A
【分析】根据定义判断变化过程中数值不变的量即为常量．
【详解】由题意得，𝑦= 5𝑥，
∵水的单价始终保持5 元/t不变，月用水量𝑥和月应缴水费𝑦都会发生变化，
∴常量是生活用水每吨的价格．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·湖北恩施·期末）一个平行四边形的底边长为5，高ℎ可以任意改变，面积
为𝑆．其中变量是_________．
【答案】
𝑆和ℎ
【分析】根据变量与常量的定义，即在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量，数值保持不变的量
叫做常量，由此定义判断变化过程中数值发生改变的量即可得到结果．
【详解】解：本题中，平行四边形的面积公式为𝑆= 5ℎ，
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底边长5保持不变，是常量，高ℎ可以任意改变，面积𝑆随ℎ的变化而变化，
因此ℎ和𝑆的数值都会发生改变，故变量是𝑆和ℎ．
题型
函数的识别
▌例1．（25-26 八年级下·河南许昌·期末）下列关系式中，y 不是x 的函数的是（ ）
A．𝑦= −4𝑥+ 1 B．𝑦=
3
𝑥
C．𝑦2 = 8𝑥
D．𝑦= √𝑥−1
【答案】C
【详解】解：对于选项A：𝑦= −4𝑥+ 1，任意x 都对应唯一的y 值，∴y 是x 的函数；
对于选项B：𝑦=
3
𝑥，任意不为0 的x 都对应唯一的y 值，∴y 是x 的函数；
对于选项C：𝑦2 = 8𝑥，例如当𝑥= 2时，𝑦2 = 16，可得𝑦= 4或𝑦= −4，一个x 对应两个不同的y 值，不
满足函数定义，∴y 不是x 的函数；
对于选项D：𝑦= √𝑥−1，任意𝑥≥1都对应唯一的y 值，∴y 是x 的函数.
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·北京门头沟·期末）下列问题中的两个变量不是
．．函数关系的是（ ）
A．正方形面积随边长的变化而变化 B．一天内的时间随气温的变化而变化
C．某人的身高随年龄的变化而变化 D．时间不变，路程随速度的变化而变化
【答案】B
【分析】在一个变化过程中，对于自变量的每一个确定的值，因变量都有唯一确定的值与之对应，则两个
变量满足函数关系，据此判断各选项即可.
【详解】解：∵ 选项A 中，给定正方形一个确定的边长，面积有唯一确定的值对应，∴ 是函数关系；
∵ 选项B 中，两个变量为气温和时间，气温是自变量，给定一个确定的气温，一天中有多个不同的时间对
应，没有唯一确定的值满足对应关系，∴ 不是函数关系；
∵ 选项C 中，给定一个确定的年龄，人的身高有唯一确定的值对应，∴ 是函数关系；
∵ 选项D 中，时间固定，给定一个确定的速度，路程有唯一确定的值对应，∴ 是函数关系．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖北宜昌·期末）下列关于变量𝑥、𝑦的关系，其中𝑦不是𝑥的函数的是
（ ）
解题贴士
满足唯一对应关系：对于自变量x 的每一个确定的值，函数y 有唯一确定的值与之对应，即为函数；多
对一可以，一对多不是函数。
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：A、对每一个𝑥的值，都有唯一确定的𝑦值与之对应，𝑦是𝑥的函数；
B、对每一个𝑥的值，都有唯一确定的𝑦值与之对应，𝑦是𝑥的函数；
C、对给定的𝑥的值，有几个𝑦值与之对应，𝑦不是𝑥的函数；
D、对每一个𝑥的值，都有唯一确定的𝑦值与之对应，𝑦是𝑥的函数．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·北京·期中）下列关于变量x，y 的关系式：①𝑦= 3𝑥−5；②𝑦= |𝑥|；
③𝑦2 = 2𝑥，其中，y 是x 的函数的是_____（填写序号）．
【答案】①②
【分析】根据函数的定义逐个分析即可．
【详解】解：①𝑦= 3𝑥−5，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故y 是x 的函数；
②𝑦= |𝑥|，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故y 是x 的函数；
③𝑦2 = 2𝑥，不满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，故y 不是x 的函数；
综上所述，y 是x 的函数的是①②．
题型
函数的三种表达方法
▌例1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）一辆汽车以80 km/h的平均速度在公路上行驶，则它所走的路程
𝑠(km)与所用的时间𝑡(h)之间的关系式为（ ）
A．𝑠= 80 −𝑡
B．𝑠=
𝑡
80
C．𝑠=
80
𝑡
D．𝑠= 80𝑡
【答案】D
【分析】利用行程问题中路程，速度，时间的基本关系，代入已知速度即可得到正确关系式．
【详解】根据题意可得𝑠= 80𝑡．
解题贴士
三种表达方式：解析式法、列表法、图象法；解析式法精准计算，列表法直观局部取值，图象法直观整
体变化趋势，可相互转化。
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▌对点练1-1．（25-26 七年级上·山西吕梁·期末）水池中有若干吨水，开一个出水口将全池水放光，所用时
间𝑡（单位：h）与出水速度𝑣（单位：t h
⁄ ，t表示吨）之间的关系如下表：
出水速度𝑣(t h
⁄ )
⁄
10
8
5
4
2
…
时间𝑡h
⁄
1
1.25
2
2.5
5
…
用式子表示𝑡与𝑣的关系为（ ）
A．𝑡= 5𝑣
B．𝑡= 10𝑣
C．𝑡=
𝑣
10
D．𝑡=
10
𝑣
【答案】D
【分析】根据水池总水量不变的特点，计算表格中每组𝑣与𝑡的乘积为定值，进而推导关系式．
【详解】解：∵10 × 1 = 10，8 × 1.25 = 10，5 × 2 = 10，4 × 2.5 = 10，2 × 5 = 10，
∴𝑣𝑡= 10，
∴𝑡=
10
𝑣．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·福建漳州·期末）下列图象能近似地刻画苹果开始下落到落地前的过程中速
度与时间的关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】解：苹果开始下落到落地前的过程中，速度从0 开始，逐渐增大，
故只有C 选项的图象符合题意.
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·山东青岛·期末）如图，某商场一辆购物车车身总长为1.2米，将购物车叠
放在一起，每增加一辆购物车，车身总长增加0.2米．用𝑦（米）表示叠放的购物车车身总长，用𝑥（辆）
表示叠放的购物车数量，则𝑦与𝑥之间的关系式为________．
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【答案】𝑦= 0.2𝑥+ 1
【详解】解：∵某商场一辆购物车车身总长为1.2米，每增加一辆购物车，车身总长增加0.2米，
∴当叠放的购物车数量为𝑥辆时，𝑦= 1.2 + 0.2(𝑥−1)，即𝑦= 0.2𝑥+ 1．
题型
函数图象的识别
▌例1．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）下列图象中，表示𝑦是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义：对于 𝑥 的每一个确定的值，𝑦 都有唯一确定的值与其对应．在图象上，可以
通过“垂线法”判断，即作垂直于 𝑥 轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则是函数图象．
【详解】解： A. 作垂直于 𝑥 轴的直线，可能与图象有两个交点，
即对于同一个 𝑥，有多个 𝑦 值与之对应，
故 𝑦 不是 𝑥 的函数；
B. 作垂直于 𝑥 轴的直线，与图象可能有两个交点，
即对于同一个 𝑥，有两个 𝑦 值与之对应，
故 𝑦 不是 𝑥 的函数；
C. 作垂直于 𝑥 轴的直线，与图象只有一个交点，
解题贴士
作任意一条垂直于x 轴的直线，若这条直线与图象最多只有1 个交点，则y 是x 的函数；若存在竖线
和图象2 个或更多交点，就不是函数。
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即对于同一个 𝑥，𝑦 有唯一确定的值与其对应，
故 𝑦 是 𝑥 的函数；
D. 对于任意一个 𝑥，与图象可能有两个交点，
即对于同一个 𝑥，有两个 𝑦 值与之对应，
故 𝑦 不是 𝑥 的函数．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）下列曲线中，表示𝑦与𝑥的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x 和y，并且对于变量x 的每一个值，变量y
都有唯一的值与它对应，则称y 是x 的函数，其中x 是自变量”逐项判断即可．
【详解】解：A．对于每一个自变量x 的取值，因变量y 可能不止一个值与之相对应，所以y 不是x 的函
数，故本选项不符合题意；
B．对于每一个自变量x 的取值，因变量y 有且只有一个值与之相对应，所以y 是x 的函数，故本选项符合
题意；
C．对于每一个自变量x 的取值，因变量y 可能不止一个值与之相对应，所以y 不是x 的函数，故本选项不
符合题意；
D．对于每一个自变量x 的取值，因变量y 可能不止一个值与之相对应，所以y 不是x 的函数，故本选项不
符合题意.
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·重庆·期末）下列各曲线中，能表示y 是x 的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的定义：对于自变量𝑥的每一个确定的值，因变量𝑦都有唯一确定的值与其对应．
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【详解】解：A、对于自变量𝑥的每一个确定的值，因变量𝑦的值不唯一，不符合题意；
B、对于自变量𝑥的每一个确定的值，因变量𝑦的值不唯一，不符合题意；
C、对于自变量𝑥的每一个确定的值，因变量𝑦的值唯一，符合题意；
D、对于自变量𝑥的每一个确定的值，因变量𝑦的值不唯一，不符合题意 ．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·四川绵阳·期末）下列表示𝑦与𝑥关系的图象中，𝑦不是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的定义可知，对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之对应，那么y 就叫做x 的函
数，据此可得答案．
【详解】解：由函数的定义可知，B、C、D 三个选项中对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之对
应，故𝑦是𝑥的函数；
A 选项中，对于自变量x 的某些值，y 不止一个值与之对应，故y 不是x 的函数．
题型
求自变量的取值范围
▌例1．（25-26 八年级下·河北石家庄·期中）下列函数中自变量的取值范围不是全体实数的是( )
A．𝑦= −3𝑥
B．𝑦= 4𝑥−1
C．𝑦=
6
𝑥
D．𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1
【答案】C
【分析】本题考查函数自变量的取值范围，初中数学中，整式函数的自变量取值范围为全体实数，分式的
分母不能为0，据此判断各选项即可．
【详解】解：∵选项A、𝑦= −3𝑥是正比例函数，属于整式，自变量𝑥的取值范围是全体实数．
∵选项B、𝑦= 4𝑥−1是一次函数，属于整式，自变量𝑥的取值范围是全体实数．
∵选项D、𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1是二次函数，属于整式，自变量𝑥的取值范围是全体实数．
选项C、𝑦=
6
𝑥是分式，∵分式的分母不能为0，∴𝑥≠0，自变量𝑥的取值范围是𝑥≠0，不是全体实数．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·吉林长春·期中）函数𝑦=
7
𝑥−3中，自变量x 的取值范围是（ ）
A．𝑥> 3
B．𝑥< 3
C．𝑥≠3
D．𝑥= 3
解题贴士
分类型求解：①整式：全体实数；②分式：分母≠0；③二次根式：被开方数≥0。
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【答案】C
【详解】解：由题意得：𝑥−3 ≠0，
解得𝑥≠3．
▌对点练1-2．函数𝑦= √𝑥+1
𝑥的自变量x 的取值范围是（ ）
A．𝑥> −1且𝑥≠0 B．𝑥≥−1
C．𝑥> 0
D．𝑥≥−1且𝑥≠0
【答案】D
【分析】本题根据二次根式和分式的意义求自变量取值范围，需要满足被开方数非负，分母不为0，列出
不等式组求解即可．
【详解】解：要使函数𝑦= √𝑥+1
𝑥有意义，
∵二次根式的被开方数必须非负，分式的分母不能为0，
∴{𝑥+ 1 ≥0
𝑥≠0
，
∴自变量𝑥的取值范围是𝑥≥−1且𝑥≠0．
▌对点练1-3．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数𝑦= −
2𝑥
𝑥−2中，自变量x 的取值范围是__________．
【答案】𝑥≠2
【分析】根据分式有意义的条件分母不为0，列不等式求解即可．
【详解】解：∵𝑦= −
2𝑥
𝑥−2是分式，
∴𝑥−2 ≠0 解得 𝑥≠2．
题型
求自变量的值或函数值
▌例1．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）变量𝑦与𝑥的关系式为𝑦= 2𝑥−1，当𝑥= 2时，𝑦的值为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【详解】将𝑥= 2代入关系式得𝑦= 2 × 2 −1 = 4 −1 = 3．
▌例2．（25-26 八年级下·北京·期中）在平面直角坐标系中，点𝑃(3,𝑏)在函数𝑦= 𝑥−
3
𝑥的图象上，则
𝑏=_____．
【答案】2
解题贴士
已知自变量求函数值：直接代入解析式计算；已知函数值求自变量：列方程求解，舍去不在取值范围内
的根。
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【详解】解：∵点𝑃(3,𝑏)在函数𝑦= 𝑥−
3
𝑥的图象上，
∴𝑏= 3 −
3
3 = 3 −1 = 2．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川绵阳·期末）下列各点在函数𝑦=
3
𝑥−1的图象上的是（ ）
A．(−1,2)
B．(1,3)
C．(2,3)
D．(3,2)
【答案】C
【分析】根据函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将各点横坐标代入
解析式计算，对比纵坐标即可判断．
【详解】解：∵函数图象上的点满足函数解析式𝑦=
3
𝑥−1，
∴将各选项横坐标代入计算：
A、当𝑥= −1时，𝑦=
3
−1−1 = −
3
2 ≠2，故A 不符合题意；
B、当𝑥= 1时，分母𝑥−1 = 0，分式无意义，故B 不符合题意；
C、当𝑥= 2时，𝑦=
3
2−1 = 3，与点的纵坐标相等，故C 符合题意；
D、当𝑥= 3时，𝑦=
3
3−1 =
3
2 ≠2，故D 不符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 七年级下·河北张家口·期末）变量y 随x 变化的关系式如图所示，当x 从2 增加到4
时，y 的值增加了（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】D
【分析】分别求出𝑥= 2和𝑥= 4时y 的值，即可得到y 增加的值．
【详解】解：当𝑥= 2时，𝑦= 3 × 2 −1 = 5，
当𝑥= 4时，𝑦= 3 × 4 −1 = 11，
∴y 的值增加了11 −5 = 6．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）电流通过导线会产生热量，电流𝐼（单位：A）、导线
电阻𝑅（单位：Ω）、通电时间𝑡（单位：s）与产生的热量𝑄（单位：J）满足𝑄= 𝐼2𝑅𝑡．已知电阻为5 Ω的
导线1s 时间产生20J 的热量，则电流𝐼的值是_______A．
【答案】2
【分析】本题考查了根据函数解析式求其中变量问题，将电阻、时间、热量代入公式计算即可．
【详解】解：将𝑅= 5，𝑄= 20，𝑡= 1，代入𝑄= 𝐼2𝑅𝑡，
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得：20 = 𝐼2 × 5 × 1，
化简得：𝐼2 = 4，
解得𝐼= 2或𝐼= −2（负值不合题意，舍去），
故答案为：2．
题型
用描点法画函数图象
▌例1．（25-26 八年级下·广东汕头·期末）根据学习函数图形的经验，数学社团对函数𝑦= |𝑥−1|开展了数
学探究，请跟随数学社团一起完成下列探究任务．
(1)函数𝑦= |𝑥−1|自变量𝑥的取值范围是________；
(2)①函数𝑦= |𝑥−1|中𝑥、𝑦部分对应值如表所示，其中𝑎=________；
𝑥
…
−2
−1
0
1
2
3
4
…
𝑦= |𝑥−1|
…
3
𝑎
1
0
1
2
3
…
②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
(3)结合函数图象，任意写出该函数图象的一条性质：_________________________．
【答案】(1)全体实数；
(2)①2；
解题贴士
三步法：列表（取合适自变量值）→描点（对应坐标精准找点）→连线（平滑曲线/直线顺次连接）。
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②
；
(3)答案不唯一，如：𝑥< 1时，𝑦随𝑥的增大而减小；当𝑥> 1时，𝑦随𝑥的增大而增大；函数的最小值为0；
图象关于直线𝑥= 1对称．
【分析】（1）函数𝑦= |𝑥−1|对任意实数𝑥均有意义，故自变量取值范围为全体实数．
（2）① 将𝑥= −1代入解析式求出𝑦的值即可得到𝑎；
② 根据表格中的对应值描点，再用线段顺次连接得到图象．
（3）观察所画图象的升降趋势、最低点或对称性，写出一条性质即可．
【详解】（1）解：∵ 函数𝑦= |𝑥−1|中，𝑥取任意实数时解析式均有意义，
∴ 自变量𝑥的取值范围是全体实数．
（2）解：① ∵ 当𝑥= −1时，𝑦= | −1 −1| = | −2| = 2，
∴𝑎= 2．
② 在平面直角坐标系中描出以下各点：(−2,3)，(−1,2)，(0,1)，(1,0)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，再用线段依
次连接，得到函数𝑦= |𝑥−1|的图象，
画图略．
（3）略．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）我们学习了一次函数，类比学习一次函数的方法，研究
函数𝑦= |𝑥−1|的图象性质．
(1)画出函数𝑦= |𝑥−1|的图象；
第一步：列表
x
−3
−1
0
1
2
3
…
𝑦= |𝑥−1|
4
2
1
0
1
2
…
第二步：描点
第三步：连线
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(2)写出三条函数𝑦= |𝑥−1|的性质；
(3)当−4 ≤𝑥≤2时，直接写出y 的取值范围．
【答案】(1)如图，
(2)①函数𝑦= |𝑥−1|的图象关于直线𝑥= 1对称；②函数𝑦= |𝑥−1|的最小值为0；③当𝑥≥1时，y 随x
的增大而增大
(3)0 ≤𝑦≤5
【分析】（1）在平面直角坐标系中描出点，进而连线即可；
（2）结合（1）中所作图象求解即可；
（3）首先求出当𝑥= −4时，𝑦= 5；当𝑥= 2时，𝑦= 1，然后结合图象求解即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：当𝑥= −4时，𝑦= |𝑥−1| = |−4 −1| = 5；当𝑥= 2时，𝑦= 1，
∴由图象得，当−4 ≤𝑥≤2时，y 的取值范围为0 ≤𝑦≤5．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·山东临沂·期末）【发现问题】设定点𝐴是𝑥轴上表示−3的点，点𝑃为𝑥轴上
的一个动点，𝐴，𝑃两点的距离随着点𝑃的位置改变而改变，由此猜想该变化规律可用函数描述．
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【提出问题】设动点𝑃(𝑥, 0)到𝐴点的距离为𝑦，探究𝑦与自变量𝑥之间的函数关系并研究其图象和性质．
【解决问题】
(1)填空：该函数的解析式为_________；
(2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象；
𝑥
…
−5
−4
−3
−2
−1
…
𝑦
…
0
…
(3)观察函数图象，写出该函数的两条性质：
①________________；②________________；
(4)此函数图象与直线𝑦= 2的交点坐标是________________．
【答案】(1)𝑦= |𝑥+ 3|
(2)补全下表，再描点、连线，绘制函数的图象；
𝑥
…
−5
−4
−3
−2
−1
…
𝑦
…
2
1
0
1
2
…
描点、连线，绘制函数的图象如图：
(3)①函数图象关于直线𝑥= −3对称； ②当𝑥< −3时，y 随x 的增大而减小；当𝑥> −3时，y 随x 的增大
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而增大（答案不唯一）
(4)(−5,2)和(−1,2)
【分析】（1）根据两点间距离公式解答即可；
（2）将𝑥依次代入𝑦= |𝑥+ 3|计算，再填表，描点、连线，绘制函数的图象即可；
（3）根据函数图象解答即可；
（4）根据函数图象即可解答；
【详解】（1）解：根据题意可得，A 点坐标为(−3,0)，
∵𝑃(𝑥, 0)在x 轴上，
∴两点距离为𝑦= |𝑥−(−3)|，
∴解析式为𝑦= |𝑥+ 3|；
（2）解：𝑥= −5时，𝑦= |−5 + 3| = 2；
𝑥= −4时，𝑦= |−4 + 3| = 1；
𝑥= −2时，𝑦= |−2 + 3| = 1；
𝑥= −1时，𝑦= |−1 + 3| = 2；
填表，画图见答案；
（3）略
（4）解：根据函数图象可得函数𝑦= |𝑥+ 3|的图象与直线𝑦= 2的交点坐标为(−5,2)和(−1,2)．
题型
从函数图象获取信息
▌例1．（25-26 八年级下·重庆涪陵·期末）音乐中旋律的音高会随时间发生变化，我们可以用平面直角坐
标系中的函数图象来刻画一段旋律的变化规律．下图是某段乐曲的音高y 随时间x 变化的图象，下列说法
正确的是（ ）
解题贴士
先明确横纵轴实际含义，读取端点、交点、拐点坐标，分析增减性、最值、变化快慢，结合行程、工程、
经济等情境解题。
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A．该图象不能表示y 是x 的函数 B．随着时间推移，音高一直在不断升高
C．时间发生改变，音高就一定会发生改变 D．存在一段时间，时间变化但音高保持不变
【答案】D
【分析】根据函数定义判断A，根据图象的升降趋势判断B，根据图象中的水平线段判断C 和D．
【详解】解：观察图象可知，对于每一个时间𝑥，都有唯一的音高𝑦与之对应，符合函数的定义，则该图象
能表示y 是x 的函数，
故选项A 错误；
图象显示音高𝑦随时间𝑥的变化有上升也有下降，并非一直在升高，
故选项B 错误；
观察图象可知，在1 ≤𝑥≤2和8 ≤𝑥≤10等时间段内，图象平行于𝑥轴，说明时间发生改变，但音高保持
不变，
故选项C 错误；
由C 项分析可知，存在一段时间（如1 ≤𝑥≤2）时间变化但音高保持不变，
故选项D 正确．
▌例2．（25-26 八年级下·福建福州·期末）园林队在某公园进行绿化，中间休息了一段时间．已知绿化面
积𝑆与工作时间𝑡的函数关系如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
(1)休息前，园林队绿化面积是多少？
(2)园林队中间休息了多长时间？
【答案】(1)
50m2
(2)
1h
【分析】本题根据绿化面积S 与工作时间t 的函数图像求解，休息时绿化面积不随时间变化，对应图像中
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水平线段，直接结合图像坐标信息计算即可得到结果．
【详解】（1）解：由图可知，园林队工作2 小时后开始休息，此时绿化面积为50m2，
因此休息前园林队绿化面积是50m2；
（2） 解：由图可知，园林队从𝑡= 2h开始休息，在𝑡= 3h结束休息，
因此休息时长为 3 −2 = 1(h)．
▌对点练1-1．（2026·广西南宁·三模）《武经总要》是我国北宋时期的一部军事著作，其中记载了用“硝石
淋洗法”从硝石（主要成分为硝酸钾，含有氯化钾等杂质）中提取硝酸钾，如图是硝酸钾、氯化钾在水中的
溶解度𝑠（单位：g）与温度𝑡（单位：°C）之间的对应关系，则下列说法正确的是（ ）
A．氯化钾的溶解度比的硝酸钾溶解度小
B．随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐降低
C．40 ≤𝑡≤60时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度大
D．溶解度为40g时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高
【答案】D
【详解】解：A、当0 < 𝑡< 20时，硝酸钾的溶解度比氯化钾的溶解度小；当𝑡> 20时，硝酸钾的溶解度比
氯化钾的溶解度大，故原说法错误，不符合题意；
B、随着温度的升高，氯化钾的溶解度逐渐增大，故原说法错误，不符合题意；
C、40 ≤𝑡≤60时，氯化钾的溶解度比硝酸钾的溶解度小，故原说法错误，不符合题意；
D、溶解度为40g时，氯化钾溶液的温度比硝酸钾溶液的温度高，故原说法正确，符合题意．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·湖北襄阳·期末）如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图
象，这一天气温最高的时刻是______时．
【答案】14
【详解】根据函数图象可知，最高温度16°对应的时刻为14 时，
即这一天气温最高的时刻是14 时．
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▌对点练1-3．（25-26 八年级下·山西阳泉·期末）环卫工打扫公园，某天上午累计打扫面积𝑆(m2)与工作时
间𝑡(h)的函数关系图象如下．已知这天上午环卫工打扫中途休息了一段时间．由图象可知，环卫工休息之
后每小时打扫的面积为___________m2．
【答案】50
【分析】由图象可知，休息后，环卫工2 小时的打扫面积为(160 −60)m2，进行求解即可．
【详解】解：(160 −60) ÷ (4 −2) = 50m2．
▌对点练1-4．（25-26 六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图象表示甲、乙两车同时从A 地出发驶向B 地的
行驶时间和路程情况，请根据图象回答下列问题：
(1)出发6 分钟后，甲、乙两车相距_____千米．
(2)甲车的速度是_______千米/分
(3)行驶4 千米的路程，甲车比乙车少用_____分钟．
(4)如果图象中表示甲车已经行驶到B 地，那么乙车在速度不变的情况下从A 地行驶到B 地一共需要_____
分钟．
(5)在（4）的条件下，如果甲车到达B 地后，按照原来的速度立即返回，则当乙车到达B 地时，甲乙两车
相距_____千米．
【答案】(1)3
(2)1
(3)4
(4)16
(5)8
【详解】（1）解：由图像可知，出发6 分钟后，甲行驶了6千米，乙行驶了3千米，
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∴甲、乙相距(6 −3)=3千米．
（2）解：甲行驶8 千米，用时8 分钟，
∴甲车速度=
路程
时间=
8
8 = 1（千米/分）．
（3）解：由图可知，甲行驶4 千米需要4 分钟，乙行驶4 千米需要8 分钟，
8 −4 = 4（分钟），即甲车比乙车少用4 分钟．
（4）解：乙车行驶5 千米，需要10 分钟，
∴乙车的速度=
5
10 =
1
2（千米/分），
从𝐴地到𝐵地共8 千米，
∴乙车在速度不变的情况下从A 地行驶到B 地一共需要8 ÷
1
2 = 16（分钟）．
（5）解：由题意知，甲车速度为1 千米/分，乙车速度为
1
2千米/分，
乙车从A 地行驶到B 地一共需要8 ÷
1
2 = 16（分钟），
甲车从A 地行驶到B 地一共需要8 ÷ 1 = 8（分钟），
剩下的8分钟刚好从B 地行驶到A 地，
∴此时两车相距8千米．
基础通关
1．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）在圆面积的计算公式𝑆= π𝑟2中，变量有（ ）
A．𝑆,π
B．π, 𝑟2
C．π, 𝑟
D．𝑆, 𝑟
【答案】D
【详解】解：在圆面积公式𝑆= 𝜋𝑟2中，𝜋为固定常量，𝑆随𝑟的变化而变化，故变量为𝑆, 𝑟.
2．水中涟漪（圆）不断扩大，记它的半径为𝑅，圆周长为𝐶，下列关于等式𝐶= 2π𝑅的说法正确的是
（ ）
A．𝐶，π，𝑅是变量，2是常量
B．𝐶是变量，2，π，𝑅是常量
C．𝐶，𝑅是变量，2，π是常量
D．𝑅是变量，π，𝐶是常量
【答案】C
【分析】在变化过程中，数值发生变化的量是变量，数值保持不变的量是常量，根据涟漪扩大过程中各量
的变化情况判断即可．
【详解】解：∵水中涟漪不断扩大，半径𝑅变化，周长𝐶随𝑅变化，而2和π是固定不变的常数，
∴𝐶，𝑅是变量，2，π是常量．
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3．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）下列各曲线中不能表示𝑦是𝑥的函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对于一个图像，任意作一条垂直于x 轴的直线，如果直线与图像最多只有1 个交点，则y 是x 的
函数；若存在某条竖线和图像有2 个及以上交点，则y 不是x 的函数，据此判断即可．
【详解】解：选项A：任意竖线只和曲线交于一点，y 是x 的函数，该选项不符合题意；
选项B：任意竖线只和直线交于一点，y 是x 的函数，该选项不符合题意；
选项C：取𝑥> 0的一条竖直线，会同时交上、下两条曲线于两点，即一个x 的值对应两个y 的值，y 不是x
的函数，该选项符合题意；
选项D：任意竖线只和波浪曲线交于一点，y 是x 的函数，该选项不符合题意．
4．（25-26 八年级下·贵州遵义·期中）下列各点中，在函数𝑦= 2𝑥2 −5的图象上的是（ ）
A．(−1,3)
B．(0,1)
C．(1,−1)
D．(2,3)
【答案】D
【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y 值若与点的纵坐标
相等，则点在函数图象上，否则不在．
【详解】解：A、当𝑥= −1时，𝑦= 2 × (−1)2 −5 = 2 −5 = −3 ≠3，∴点(−1,3)不在函数图象上；
B、当𝑥= 0时，𝑦= 2 × 02 −5 = −5 ≠1，∴点(0,1)不在函数图象上；
C、当𝑥= 1时，𝑦= 2 × 12 −5 = 2 −5 = −3 ≠−1，∴点(1, −1)不在函数图象上；
D、当𝑥= 2时，𝑦= 2 × 22 −5 = 8 −5 = 3，∴点(2,3)在函数图象上．
5．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，小明出去散步，从家走了20 分钟到一个离家900 米的
报亭，他在报亭看报10 分钟，然后用15 分钟返回家，下面给出的图象中可以表示小明离家距离与时间的
关系是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据小明的运动过程分段分析离家距离随时间的变化情况，重点关注时间节点和距离变化趋势．
【详解】解：根据小明的运动过程分段分析离家距离随时间的变化情况如下：
第一阶段：从家走到报亭，
∵走了20 分钟到达离家900 米的报亭，
∴在0到20分钟内，图象应为从原点出发上升至纵坐标900 的线段；
第二阶段：在报亭看报，∵看了10 分钟报纸，此时离家距离不变，
∴在20到30分钟内，图象应为平行于𝑥轴的水平线段；
第三阶段：返回家，∵用了15 分钟返回到家，
∴在30到45分钟内，图象应为从纵坐标900 下降至0 的线段，且终点横坐标为45，
观察各选项图象，只有D 选项符合上述特征．
6．（25-26 七年级下·辽宁沈阳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关
系的创造性应用：小明制作了一个简单的漏刻模型，并实验发现每分钟水位上升的高度相同，水位ℎ(cm)
和时间𝑡(min)之间存在如下表所示的关系，6 min时对应的水位为________cm．
时间𝑡（min）
1
2
3
4
水位ℎ（cm）
2.4
2.8
3.2
3.6
【答案】4.4
【详解】解：∵每分钟水位上升的高度相同，
∴由表格可知，𝑡每增加1 min，ℎ增加2.8 −2.4 = 0.4 cm，
∴6 min时对应的水位为2.4 + 0.4 × (6 −1) = 4.4 cm．
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7．（2026·江苏徐州·模拟预测）在函数𝑦=
2026
𝑥+1中，自变量𝑥的取值范围是_______．
【答案】𝑥≠−1
【分析】根据分式有意义的条件，即分母不为0，即可求解．
【详解】解：∵ 分式有意义时，分母不能等于0，
∴ 𝑥+ 1 ≠0，
解得𝑥≠−1．
8．（25-26 八年级下·湖南郴州·期末）小明在进行温度与金属导体的电阻大小之间的关系实验中发现，某
种金属导体的电阻𝑅（单位：Ω）与温度𝑡（单位：°C）之间满足函数关系式𝑅= 0.6𝑡+ 8，当温度𝑡= 10°C
时，电阻𝑅=______Ω．
【答案】14
【分析】将𝑡= 10°C代入已知函数关系式，计算即可得到电阻𝑅的值即可．
【详解】解：把𝑡= 10°C代入𝑅= 0.6𝑡+ 8得：𝑅= 0.6 × 10 + 8 = 6 + 8 = 14，
即当温度𝑡= 10°C时，电阻𝑅= 14Ω．
9．（25-26 八年级下·广东中山·期末）已知正方形的边长为x，则其周长y 关于边长x 的函数解析式为
________．
【答案】𝑦= 4𝑥(𝑥> 0)
【分析】根据正方形周长公式，周长等于4 倍边长，已知边长为𝑥，可直接推导周长𝑦关于边长𝑥的函数解
析式.
【详解】解：∵正方形的周长等于4倍边长，正方形边长为𝑥，且𝑥> 0，
∴正方形周长y 关于边长x 的函数解析式为𝑦= 4𝑥(𝑥> 0).
10．（25-26 九年级下·江苏无锡·期中）小美骑车从学校回家，中途在文具店买文具，然后继续骑车回
家．若小美骑车的速度始终不变．从出发开始计时，小美离家的路程𝑠（单位：m）与时间𝑡（单位：min）
的对应关系如图所示，则从文具店到小美家的路程是______m．
【答案】500
【分析】由图可知：学校离家的距离是800米，骑车用时3 分钟到达文具店，买文具用时2 分钟，再用了5
分钟到家，总用时10 分钟，骑车8 分钟．先求出骑车的速度，即可计算从文具店到小美家的路程．
【详解】解：根据图示可得，小美行驶的速度为800 ÷ (10 −2) = 100(m min
⁄
)，
∴从文具店到小美家的路程是100 × (10 −5) = 500(m)．
11．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）已知一个正方形的边长为𝑥 cm（𝑥> 0），这个正方形的周长为
𝑦 cm．
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(1)求𝑦与𝑥之间的关系式；
(2)当𝑥= 3时，𝑦等于多少？
【答案】(1)𝑦= 4𝑥
(2)𝑦= 12
【分析】（1）根据正方形的周长公式列式即可；
（2）把𝑥= 3代入（1）的关系式求解即可．
【详解】（1）解：𝑦与𝑥之间的关系式为𝑦= 4𝑥．
（2）解：当𝑥= 3时，𝑦= 4 × 3 = 12．
12．如图是一位病人从发烧到退烧过程中的体温变化(0h −24h)，观察图象的变化过程，回答下列问题：
(1)自变量是 ，因变量是 ；
(2)这个病人当天的最高体温是 ℃，最低体温是 ℃；
(3)若人体体温为37.5℃及以上时即为发烧，则这位病人发烧的时间段为几时到几时？
【答案】(1)时间，体温
(2)39.8，36.1
(3)4 时～14时
【分析】（1）根据自变量和因变量的定义进行分析，即可作答．
（2）运用数形结合思想，观察图象，运用图象信息进行分析，即可作答；
（3）结合人体体温为37.5℃及以上时即为发烧，运用图象信息进行分析，即可作答；
【详解】（1）解：理解题意，自变量是时间，因变量是体温；
（2）解：观察图象，得出这个病人当天的最高体温是39.8℃，最低体温是36.1℃．
（3）解：∵人体体温为37.5℃及以上时即为发烧，
∴观察图象，得出这位病人发烧的时间段为4 时～14时．
素养提升
1．（25-26 七年级下·江苏徐州·期末）如图是某日不同时刻气温𝑇(°C)与相对湿度𝐻(%)的预报信息，若
15 ≤𝑇≤25且40 ≤𝐻≤60适宜户外运动，则该日适宜户外运动的时段为（ ）
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A．8 ≤𝑡≤10或16 ≤𝑡≤18
B．6 ≤𝑡≤12或16 ≤𝑡≤20
C．8 ≤𝑡≤10或16 ≤𝑡≤20
D．6 ≤𝑡≤12或16 ≤𝑡≤18
【答案】A
【分析】根据函数图象直接进行判断即可．
【详解】解：根据图象可得：当6 ≤𝑡≤10或16 ≤𝑡≤20时，15 ≤𝑇≤25；
当8 ≤𝑡≤12或16 ≤𝑡≤18时，40 ≤𝐻≤60；
因此该日适宜户外运动的时段为8 ≤𝑡≤10或16 ≤𝑡≤18．
2．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路
线前往．如图，𝑙1，𝑙2分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程𝑠/千米与所用的时间𝑡/时的关系，下列说
法错误的是（ ）
A．小斌比小明晚走2 小时 B．小斌的速度是小明速度的2 倍
C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10 千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明
【答案】C
【分析】观察函数图象，获取两人出发时间、到达时间及总路程，再结合速度公式逐项判断，即可解题．
【详解】解：由图象可知，小明从0时出发，小斌从2时出发，
∴小斌比小明晚走2小时，故A 正确，不符合题意；
∵小明的速度为48 ÷ 8 = 6（千米/时），小斌的速度为48 ÷ (6 −2) = 12（千米/时），
又∵12 ÷ 6 = 2，
∴小斌的速度是小明速度的2倍，故B 正确，不符合题意；
当小斌到达目的地时，𝑡= 6，此时小明行驶的路程为6 × 6 = 36（千米），
∴小明距离目的地还有48 −36 = 12（千米），故C 错误，符合题意；
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小斌走了一半的路程即24千米，用时24 ÷ 12 = 2小时，此时时刻为2 + 2 = 4时，
小明行驶路程为6 × 4 = 24（千米），
∴两人相遇，即小斌走了一半的路程时追上小明，故D 正确，不符合题意．
3．（25-26 八年级下·山东日照·期末）下列图象分别给出了变量𝑥与𝑦之间的对应关系，其中𝑦不是𝑥的函数
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】判断𝑦是否为𝑥的函数依据函数定义：在一个变化过程中，对于𝑥的每一个确定的值，𝑦都有唯一确
定的值与之对应．判定图像可用垂直𝑥轴直线检验法：作任意垂直于𝑥轴的直线，若直线与图像最多只有1
个交点，则𝑦是𝑥的函数；若存在直线与图像有2个及以上交点，则𝑦不是𝑥的函数．
【详解】解：根据函数定义逐一分析选项：
选项A：任意作垂直𝑥轴的竖直线，与直线仅有1个交点，任意𝑥对应唯一𝑦，𝑦是𝑥的函数；
选项B：取图像右侧任意一个𝑥值，作垂直𝑥轴的竖直线，该直线会与图像交于上下两个点，即一个𝑥对应
两个不同𝑦，不满足“唯一对应”，因此𝑦不是𝑥的函数；
选项C：任意作垂直𝑥轴的竖直线，与反比例曲线仅有1个交点，任意𝑥对应唯一𝑦，𝑦是𝑥的函数；
选项D：任意作垂直𝑥轴的竖直线，与分段图像最多只有1个交点，任意𝑥对应唯一𝑦，𝑦是𝑥的函数．
4．（25-26 八年级下·吉林长春·期末）匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面
高度h 随时间t 的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据函数图像的倾斜程度判断水面上升的快慢，进而推断容器底面积的大小变化，图像越陡水面
上升越快，容器越细，据此分析判断即可．
【详解】解：由图像可知，水面高度h 随时间t 的变化分为两段，
第一段图像倾斜程度较小，说明水面上升较慢，则容器下部底面积较大（较粗），
第二段图像倾斜程度较大，说明水面上升较快，则容器上部底面积较小（较细），
∴容器的形状应为下部较粗，上部较细，
观察各选项，A、C 上下粗细相同，D 下部细上部粗，B 下部粗上部细，
故选项B 符合题意．
5．（25-26 八年级下·河南郑州·期末）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐴𝐷= 10cm，点P 从点B 出
发，沿𝐵𝐴方向运动，经过D，C 两点到点B 停止，点P 的速度为2cm/s，𝑎𝑠时点P 改变速度，速度变为
𝑘cm/s．点P 运动过程中△𝐴𝐵𝑃的面积S（单位：cm2）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所
示．
𝑎=__________，𝑏=__________，𝑘=__________．
【答案】 5 10.5 4
【分析】根据a 秒时△𝐴𝐵𝑃的面积𝑆=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝑃= 12可求a 的值，由6.5秒时，点P 与点D 重合，利用路
程=速度×时间，即可求出k 的值，由时间=路程÷速度即可求出b 的值；
【详解】解：根据图像可得：a 秒时△𝐴𝐵𝑃的面积为12，即𝑆=
1
2 𝐴𝐵⋅𝐴𝑃= 12，
∴
1
2 × 6 × 2(𝑡−3) = 12，
解得：𝑡= 5，
∴𝑎= 5，
∵6.5秒时，点P 与点D 重合，5 −3 = 2秒，
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∴𝑘= (10 −2 × 2) ÷ (6.5 −5) = 4cm/s；
∵点P 从点D 运动到点B 的速度为每秒4cm，
∴𝑏= 6.5 + (𝐶𝐷+ 𝐵𝐶) ÷ 4，
∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐶𝐷= 6cm，𝐴𝐷= 𝐵𝐶= 10cm，
∴𝑏= 6.5 + (6 + 10) ÷ 4 = 10.5，
则𝑎= 5，𝑏= 10.5，𝑘= 4
6．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）如图（1）所示，把初温和质量相同的两种不同的液体用同一台红外
灯加热，根据实验数据绘制了如图（2）温度随时间变化的图象，则加热时间4分钟时，𝑎，𝑏两种液体的温
差为____________°C．
【答案】
20
【分析】根据函数图象读取加热时间为4分钟时液体𝑎和液体𝑏对应的温度数值，利用有理数减法法则计算
两者的差值即可.
【详解】解：由图象可知，当加热时间为4min时，液体𝑎的图象对应的纵坐标为50，即温度为50∘C；
液体𝑏的图象对应的纵坐标为30，即温度为30∘C；
则两种液体的温差为：50 −30 = 20.
7．若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数，下面我
们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数𝑦= {
|𝑥+ 1|(𝑥≤1)
𝑏
𝑥+1 (𝑥> 1)
的图象与性质，探究过程如下，请补充
完整．
(1)列表：
x
…
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
…
y
…
3
m
1
0
1
2
4
3
n
4
5
…
其中，𝑚= ，𝑛= ．
(2)描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐标，描出相应的
点，如图所示，请画出函数的图象．根据函数图象，写出该图像的一条性质
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(3)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点𝐴(
7
2 , 𝑦1)，𝐵(5,𝑦2)，𝐶(𝑥1, 4)，𝐷(𝑥2,6)在函数图象上，则𝑦1 𝑦2，𝑥1 𝑥2；（填“>”，“=”或
“<”）
②当函数值𝑦= 1时，则𝑥= ．
(4)若直线𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑡与函数图象有且只有三个交点，请直接写出t 的取值范围．
【答案】(1)2，1；
(2)解：如图所示：
当𝑥< −1时y 随x 的增大而减小；
(3)①>，>；②0 或−2或3；
(4)
1
2 < 𝑡<
3
2
【分析】（1）把𝑥= −3代入𝑦= |𝑥+ 1|中即可求得𝑚的值；把𝑥= 2，𝑦=
4
3代入𝑦=
𝑏
𝑥+1中，求得𝑏的值，
然后代入𝑥= 3即可求得𝑛的值；
（2）描点连线即可得到函数的图象，观察图象可知当𝑥< −1时𝑦随𝑥的增大而减小；
（3）根据图象即可得到结论；
（4）求得直线经过点(−1,0)，(1,2)时𝑡的值，观察图象即可求得．
【详解】（1）解：将𝑥= −3代入𝑦= |𝑥+ 1|得，𝑦= 2，
∴𝑚= 2，
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把𝑥= 2，𝑦=
4
3代入𝑦=
𝑏
𝑥+1中得，
4
3 =
𝑏
2+1，
∴𝑏= 4，
把𝑥= 3代入𝑦=
4
𝑥+1得，𝑦= 1，
∴𝑛= 1；
（2）解：画函数图象略
由图象可知，当𝑥< −1时𝑦随𝑥的增大而减小；
（3）解：①由图象可知𝐴与𝐵在𝑦=
4
𝑥+1上，𝑦随𝑥的增大而减小，
∴𝑦1 > 𝑦2；
𝐶与𝐷在𝑦= |𝑥+ 1|上，
∴𝑥1 > 𝑥2；
②当𝑦= 1时，𝑥≤1时，有1 = |𝑥+ 1|，
∴𝑥= 0或𝑥= −2，
当𝑦= 1时，𝑥> 1时，有1 =
4
𝑥+1，
∴𝑥= 3，
故𝑥= 0或𝑥= −2或𝑥= 3；
（4）解：把点(−1,0)代入𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑡得，0 = −
1
2 + 𝑡，解得𝑡=
1
2；
把点(1,2)代入𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑡得，2 =
1
2 + 𝑡，解得𝑡=
3
2；
由图象可知，若直线𝑦=
1
2 𝑥+ 𝑡与函数图象有且只有三个交点，则
1
2 < 𝑡<
3
2．
8．（25-26 七年级下·甘肃定西·期末）为了研究气温对防晒衣销售的影响，网上一家服装店经过一段时间
的统计，得到一组卖出的防晒衣件数与当天最高气温的数据，如表所示：
最高气温/℃
25
26
27
28
29
30
31
32
33
防晒衣件数
13
16
18
22
25
27
31
35
38
用趋势图描述这家服装店一天中卖出的防晒衣的件数与当天的最高气温之间的关系，并根据所做的趋势
图，估计当一天的最高气温为35℃时，服装店卖出的防晒衣为多少件．
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【答案】
大约卖44 件
【详解】解：观察数据规律可得，最高气温每升高1°C，卖出防晒衣的件数平均增加约3 件．
最高气温35°C比33°C高2°C，因此估计卖出件数为： 38 + 3 × 2 = 44（件）．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·河北秦皇岛·期末）德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开
始．如果把学习后的时间记为𝑥（时），记忆留存率记为𝑦（%），则根据实验数据可绘制出曲线（如图所
示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．
(1)𝑦是关于𝑥的函数吗？为什么？
(2)根据图象，写出记忆留存率𝑦随学习后的时间𝑥的变化规律；
(3)小明同学第一次记忆了30个英语单词，请估算第一次学习后的24小时，小明大约能回忆起多少个单词
（结果精确到个位）；
(4)根据艾宾浩斯遗忘曲线所揭示的规律，对于新事物学习，请你提出一条合理的建议．
【答案】(1)𝑦是关于𝑥的函数．理由如下：根据图象知，对于自变量𝑥的每一个值，𝑦都有唯一的值与它对
应，
∴𝑦是关于𝑥的函数
(2)记忆留存率𝑦随学习后的时间𝑥的增大而减小；且刚开始下降得很快，后来下降速度逐渐变慢，最后趋于
平稳
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(3)小明大约能回忆起10个单词
(4)答案不唯一，示例答案：学习新知识后应及时复习，多次重复，以减缓遗忘速度．
【分析】（1）根据函数的概念，对于自变量x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，即可解答；
（2）根据函数图象即可求解．
（3）根据点的坐标的意义即可解答；
（4）提出一条合理的建议即可．
【详解】（1）略
（2）略
（3）由图象可知，学习后24小时对应的记忆留存率约为33.7%，
30 × 33.7% = 10.11 ≈10（个），
答：小明大约能回忆起10个单词．
（4）略
2．（25-26 七年级下·广东佛山·期末）项目式学习
主
题
立足数学视角，对经典《龟兔赛跑》故事展开观察、探究与描述
重
温
龟兔从起点同时出发，兔子很快遥遥领先．望着步履迟缓的乌龟，兔子心生骄矜，卧于树荫
沉沉睡去．一觉惊醒，乌龟已然逼近终点，兔子拼尽全力疾驰追赶，却终究错失先机，乌龟
率先到达终点，取得了比赛的胜利．
探
究
若用𝑥表示从起点出发所行的时间，𝑦1、𝑦2表示兔子、乌龟所行的路程，其大致图象如图1．
任务
(1)比赛的总长度有多长？兔子中途一共休息了多久？
(2)乌龟爬到兔子睡觉的阴凉处，用了多长的时间？
(3)结合图2或图3所示的图象所体现的路程、时间变化特征，对《龟兔赛跑》原作进行合理改编，使得故事
发展过程，和图象呈现的数据变化特征吻合（选择一个图象进行改编，有关的数据要在故事中呈现）．
【答案】(1)1200米，40分钟
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(2)20分钟
(3)选择图2进行改编，改编后的故事如下：
乌龟和兔子进行1200米赛跑，乌龟爬行20分钟后兔子从同一地点出发，兔子比赛全程保持专注，中途没有
休息，以较快的速度匀速奔跑，在出发30分钟后率先跑完了1200米的全程，赢得了比赛，而乌龟保持匀速
爬行，跑完全程用了60分钟；
选择图3进行改编，改编后的故事如下：
乌龟和兔子进行赛跑，兔子离终点1200米，乌龟离终点800米，兔子和乌龟同时出发匀速运动，兔子在出
发30分钟后率先到达终点，乌龟40分钟后才到达终点．
【分析】(1)根据函数图象解答即可；
(2)根据函数图象求出乌龟爬行的速度，进而即可求解；
(3)根据函数图象写出合理故事情节即可．
【详解】（1）解：由函数图象可知，比赛的总长度有1200米长，兔子中途一共休息了50 −10 = 40分
钟；
（2）解：由函数图象可知，乌龟爬行的速度为1200 ÷ 60 = 20米/分钟，
∴乌龟爬到兔子睡觉的阴凉处用了400 ÷ 20 = 20分钟；
（3）略
