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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27.1 反比例函数的概念（导学案） (1)理解反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种表达形式；能准确判断一个函数是否为反比例函数；明 确反比例函数自变量的取值范围；会用待定系数法求解反比例函数解析式. (2)经历“实际情境—列关系式—观察特征—归纳定义—应用巩固”的完整探究过程，通过类比正比例函数， 培养观察归纳、类比推理、数学建模的能力. (3)感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会变量之间的对应关系，养成严谨的数学思维习惯，提升运用 函数知识解决实际问题的意识. 重点：反比例函数的概念及三种表达形式；反比例函数的判定；用待定系数法求反比例函数解析式. 难点：理解反比例函数的本质特征（两个变量的积为定值）；结合实际问题建立反比例函数模型；区分易混 淆的函数关系式. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 出示3个生活实际问题，引导学生列出变量关系式： （1）路程一定（120km），行驶速度v与行驶时间t的关系； （2）矩形面积一定（24㎡），长x与宽y的关系； （3）总电量一定，电器功率P与工作时间t的关系。 提问：以上关系式与正比例函数y=kx(k≠0)有什么不同？变量之间存在什么规律？ 小组讨论后总结：式子均为分式形式，两个变量的乘积是固定常数，一个变量增大，另一个变量随之减小. 引出课题. 【学法指导】 新知自研：自研课本第64-65页的内容 【学法指导】自研课本P64-65 页内容 （一）反比例函数定义 活动1.在下列问题中，变量之间具有函数关系吗?如果有，它们的解析式有什么共同特点? (1)京沪高铁全程为1318km，某次列车的平均速度v(单位:km/h)随此次列车的全程运行时间t(单位:h)的变 化而变化; (2)某住宅小区要种植一块面积为1000m的矩形草坪，草坪相邻两边的一边长y(单位:m)随另一边长x(单 位:m)的变化而变化; (3)李明计划在一段时间内使用完5GB手机流量，平均每天使用的流量Q(单位:GB)随使用完流量的总时间 t(单位:天)的变化而变化. 学生讨论：在问题(1)中，有两个变量t与v，当一个量t变化时，另一个量v随着t的变化而变化，而且对于t 的每一个确定的值，v都有唯一确定的值与其对应.问题(2)(3)也一样.所以这些变量之间具有函数关系，它 们的解析式分别为：v= 1318 t ，y= 1000 x ，Q= 5 t.上述解析式都具有y= k x的形式，其中k是非零常数. 函数的定义：一般地，形如y= k x（k为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （二）反比例函数不同表达形式及自变量取值范围 活动2.反比例函数不同表达形式 ① 分式型：y= k x(k≠0)（常用的表达形式） ② 乘积型：xy=k(k≠0) ③ 负指数型：y=kx−1(k≠0) 活动3.反比例函数y= k x（k为常数，k≠0）中自变量x的取值范围是什么？ 自变量x≠0，函数值y≠0（分母不能为0，乘积定值不为0）. （三）待定系数法求反比例函数解析式 问题：已知y是x的反比例函数，且当x=2时，y=6. (1)写出y关于x的函数解析式; (2)当x=4时，求y的值. 分析:因为y是x的反比例函数，所以设y= k x.把x=2，y=6 代入上式，就可求出常数k的值. 解:(1) 设y= k x，因为当x=2时，y=6，所以6= k 2 解得 k=12，因此y= 12 x . (2) 把x=4代人y= k x，得y= 12 4 =-3. 总结：待定系数法求反比例函数解析式，解题步骤：设解析式→代入已知值→求k→定解析式. 【自研自探】 自研课本P64-65 页内容 典型例题 例1．已知一个反比例函数为 ( ) 3 2 m y m x − = + ，求m 的值． 【分析】由反比例函数为 ( ) 3 2 m y m x − = + ，可得 3 1 m − = −且 2 0 m+ ，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为 ( ) 3 2 m y m x − = + ， ∴ 3 1 m − = −且 2 0 m+ ， 解得： 2 m = ． 例2．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为t 小时，平均速度为v 千米/小时（汽车行时速度不超过100千 米/小时），根据经验，v ，t 的一组对应值如下表； v （千米/小时） 75 80 85 90 95 t （小时） 4.00 3.75 3.53 3.33 3.16 (1)根据表中的数据，分析说明平均速度v （千米/小时）关于行驶时间t （小时）的函数关系，并求出其表 达式； (2)汽车上午8:00从甲地出发，能否在上午10:30之前到达乙地？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【分析】（1）根据表格中数据，可知v 是t 的反比例函数，设 ( 0) k v k t = ，利用待定系数法即可求解； （2）上午8:00出发，到上午10:30之前，可知时间为2.5 小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵75 4 300 = ，80 3.75 300 = ，即每一对v 与t 的对应值乘积为一定值，t 在减小，v 在 增大， ∴v 与t 成反比关系，设 ( 0) k v k t = ， 把 75 v = ， 4.00 t = 代入反比例函数得， 300 k = ， ∴v 与t 的表达式为 300 v t = ， ∵汽车行时速度不超过100千米/小时， ∴ 300 100 t ， ∴ 3 t ， ∴平均速度v （千米/小时）关于行驶时间t （小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 300 ( 3) v t t = ． （2）解：∵10.5 8 2.5 −= （小时）， ∴ 300 120 2.5 v = = （千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过100千米/小时，120 100 ， ∴不能． 第二环节 合作探究 1. 讨论反比例函数的定义. 2. 讨论反比例函数不同表达形式及自变量取值范围. 3. 讨论怎样用待定系数法求反比例函数解析式. 拓展提升： 1．心理学家研究发现，一般情况下，一节课40 分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课 时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开 始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如图所示（其中AB BC ， 分 别为线段，BC x ∥ 轴，CD为双曲线的一部分），其中AB 段的关系式为 2 20 y x = + ． (1)点B坐标为_______； (2)根据图中数据，求出CD段双曲线的表达式； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)一道数学竞赛题，需要讲20 分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到32，那么经过适当 安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目? 【详解】（1）∵AB 段的关系式为 2 20 y x = + ，点B的横坐标为10， ∴ 2 10 20 40 y = + = ， ∴点B坐标为( ) 10,40 ； 故答案为：( ) 10,40 （2）解：如图，BC x ∥ 轴，点B坐标为( ) 10,40 ， ∴点C的坐标为( ) 24,40 ， 设C、D所在双曲线的解析式为 2 k y x = ， 把 ( ) 24,40 C 代入得， 40 24 k = ， 960 k = ， ∴ ( ) 960 24 y x x = ． （3）令 2 20 32 y x = + = ， ∴ 6 x = ． 令 960 32 y x = = ， ∴ 30 x = ， ∵30 6 24 20 − = ， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 课本P65课堂练习. 1.（2026六安校考）在下列式子中，y是x的反比例函数的有哪些？每一个反比例函数中，相应的k值是多少？ (1) 5 xy = −；(2) 2 y x = − ；(3) 3 x y = ；(4) 3 5 y x = − ． 【详解】（1） 5 xy = −，是反比例函数， 5 k = −； （2） 2 y x = − ，不是反比例函数； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3） 3 x y = ，不是反比例函数； （4） 3 5 y x = − ，是反比例函数， 3 5 k = − ． 2．（2026四川省成都）人的视觉机能受运动速度的影响很大．在一定条件下，某人驾驶车辆时的视野f（单 位：）与车速v（单位：km/ h）之间的关系式是 4000 f v = ．当车速为80km/h 时，他的视野为______． 【详解】解：由题意，将 80 v = 代入 4000 f v = 得： 4000 50 80 f = = ， 即他的视野为50． 3．（2025•山西）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程 中，生成物氢气的质量y（g）与分解的水的质量x（g）满足我们学过的某种函数关系．如表是一组实验 数据，根据表中数据，y 与x 之间的函数关系式为（ ） 水的质量x/g 4.5 9 18 36 45 氢气的质量 y/g 0.5 1 2 4 5 A．y= 9 𝑥 B．y＝9x C．y= 1 9x D．y= 1 9𝑥 【解答】解：通过观察表格数据可知： 𝑦 𝑥= 1 9， 故y 与x 之间的函数关系式为y= 1 9x， 故选：C． 知识技能：本节课掌握了反比例函数的标准定义和三种表达形式；能根据定义判定一个函数是否为反比例 函数；明确了自变量和函数值均不为0的取值要求；熟练掌握利用待定系数法求解反比例函数解析式的基本 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 步骤，能初步辨析正比例函数与反比例函数的区别. 思想方法：（1）类比思想：类比正比例函数的定义、形式、学习方法，探究反比例函数新知，实现旧知迁 移、新知建构；（2）建模思想：从生活实际情境中提炼变量关系，抽象为反比例函数数学模型，体会函数 刻画现实变化规律的作用；（3）方程思想：利用方程、不等式求解参数取值，解决反比例函数判定问题. 易错提醒：（1）忽略核心条件：判定反比例函数时，忘记验证k≠0，导致参数取值错误；（2）概念混淆： 混淆正比例函数y=kx与反比例函数y= k x(k≠0)的解析式形式和变化规律；（3）取值遗漏：忽略反比例函数自 变量x≠0的隐含条件；（4）格式错误：不会灵活运用乘积型、负指数型变式，解题形式单一.
