1 / 35
学科网（北京）股份有限公司
5.4 一次函数的简单应用
课标要点
1.能从实际情境中提取变量关系，建立一次函数模型。
2.会用待定系数法求解实际问题中的一次函数解析式，确定自变量取值范围。
3.能利用一次函数图象和性质解决求值、比较大小、最值、方案选择等简单实际问题。
4.了解两个一次函数图象交点的实际意义，能解决简单双函数应用问题。
学习重难点
重点：
1.建立一次函数实际模型，求解函数解析式；
2.结合实际确定自变量取值范围；
3.利用函数性质与图象解决实际应用问题。
难点：
1.从文字情境中准确提炼不等关系与变量关系；
2.结合实际意义对函数结果进行取舍、取整；
3.利用数形结合分析函数图象交点、端点的实际意义。
第五章
一次函数
2 / 35
学科网（北京）股份有限公司
知识点
一次函数与一元一次方程
1. 一元一次方程可以通过做出一次函数来解决：一元一次方程的根就是它所对应的一次函数函数值为0 时，
自变量的值，即一次函数图象与x 轴交点的横坐标。
方程 𝑘𝑥+ 𝑏= 0 的解 ⟺ 直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交点的横坐标。
随学随练
1．若关于𝑥的方程3𝑥+ 𝑏= 0的解是𝑥= −3，则直线𝑦= 3𝑥+ 𝑏一定经过点（ ）
A．(−3,0)
B．(3,0)
C．(0,−3)
D．(0,3)
2．如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象分别与𝑥, 𝑦轴交于𝐴, 𝐵两点．若𝐴(−4,0)，𝐵(0,2)，则关于𝑥的
方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的解为𝑥=_________．
易错提醒
1）误将交点纵坐标当作方程的解；
2）混淆与y 轴交点的意义，y 轴交点对应𝑥= 0的函数值；
3）不会利用函数图象直观解方程，只会机械代数计算。
3 / 35
学科网（北京）股份有限公司
知识点
一次函数与不等式（重点）
1. 一次函数与一元一次不等式的关系：
①从函数（数）的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b 的值大于（或小于）0 的自变量x 的取值范围；
②从函数图象（形）的角度看，就是确定直线y＝kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成
的集合。
2. 用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）：对应一次函数y＝kx+b，它与x 轴交点为(−
𝑏
𝑘, 0)
①当k＞0 时，不等式kx+b＞0 的解为：𝑥＞−
𝑏
𝑘，不等式kx+b＜0 的解为：𝑥＜−
𝑏
𝑘 ；
②当k＜0，不等式kx+b＞0 的解为：𝑥＜−
𝑏
𝑘，不等式kx+b＜0 的解为：𝑥＞−
𝑏
𝑘 。
随学随练
1．（25-26 七年级下·山东烟台·期末）如图，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(2,0)，𝐵(0, −1)，则关于x 的不等式
𝑘𝑥+ 𝑏< 0的解集为（ ）
A．𝑥> −1
B．𝑥> 2
C．−1 < 𝑥< 2
D．𝑥< 2
2．（25-26 八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，已知函数𝑦= 𝑥+ 𝑏与函数𝑦= 𝑘𝑥+ 7的图象交于点
𝑃(2,3)，则关于x 的不等式𝑥+ 𝑏≥𝑘𝑥+ 7的解集是________．
易错提醒
1）看错图象上下区域，导致解集方向颠倒；
2）含等号时遗漏实心点、取值包含临界值；
3）两个函数比较时，找错交点分界点；
4）忽略k 的正负对增减性和解集的影响。
4 / 35
学科网（北京）股份有限公司
3．（25-26 八年级上·安徽安庆·期末）如图，正比例函数𝑦= −3𝑥的图象与一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象交于
点𝑃(𝑛, 6)，一次函数图象经过点𝐵(2,2)，与𝑥轴的交点为𝐶．
(1)求一次函数表达式；
(2)点𝐶的坐标为_____，不等式𝑘𝑥+ 𝑏> −3𝑥> 0的解集为_____．
知识点
一次函数与二元一次方程组（重点）
1. 二元一次方程与一次函数的等价转化：
任意二元一次方程：𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐(𝑏≠0)可变形为一次函数形式：𝑦= −
𝑎
𝑏𝑥+
𝑐
𝑏 。
2. 本质结论：以二元一次方程所有解(𝑥, 𝑦)为坐标的点，全部在对应一次函数的直线上；
一次函数直线上每一个点的横、纵坐标(𝑥, 𝑦)，都是这个二元一次方程的一组解。
3. 二元一次方程组与两条一次函数直线：
把二元一次方程组的两个方程分别化为𝑦= 𝑘1𝑥+ 𝑏1、𝑦= 𝑘2𝑥+ 𝑏2两条直线：
方程组的解 = 两条直线交点的坐标(𝑥, 𝑦)；反过来：两条直线交点坐标，就是对应二元一次方程组的解。
4.三种位置关系（方程组解的三种情况）：
两条直线斜率、截距关系
直线位置
方程组解的情况
图像特征
𝑘1 ≠𝑘2（斜率不等）
两条直线相交
有唯一一组解
存在唯一交点(𝑥, 𝑦)
5 / 35
学科网（北京）股份有限公司
𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2（斜率相等，截距不
等）
两条直线平行无交点 无解
无公共点
𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 = 𝑏2（斜率、截距全相
等）
两条直线重合
无数组解
直线上所有点都是解
5. 图象法解二元一次方程组的一般步骤：
①把方程组中两个二元一次方程，分别化成𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏形式；
②在同一平面直角坐标系中画出两条直线；
③读出两条直线交点的横、纵坐标；
④写出方程组的解。
6．利用方程组求两条直线交点坐标一般步骤：
①联立两条直线解析式，得到二元一次方程组；
②用代入消元或加减消元法解方程组；
③方程组的解(𝑥, 𝑦)就是交点坐标。
随学随练
1．（25-26 八年级下·甘肃平凉·期末）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 5与直线𝑦= −3𝑥+ 𝑏的交点坐标为(−1,2)，则方程
组{ 𝑦= 𝑘𝑥＋5
𝑦= −3𝑥＋𝑏
的解为（ ）
A．{ 𝑥= 2
𝑦= −1
B．{𝑥= −1
𝑦= 2
C．{ 𝑥= 1
𝑦= −2
D．{𝑥= −2
𝑦= 1
2．（25-26 八年级下·天津河西·期末）如图为一次函数𝑦= 3𝑥与一次函数𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛(𝑚≠0)的图象，则方
程组{ 3𝑥−𝑦= 0
𝑚𝑥−𝑦= −𝑛
的解为__________．
特别提醒
1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；
2）两直线相交有唯一解、平行无解、重合有无数解。
6 / 35
学科网（北京）股份有限公司
知识点
一次函数的实际应用
1. 分段函数：自变量在不同取值范围内表示函数关系的表达式有不同的形式，这样的函数称为分段函
数。
2.一次函数的实际应用一般解题步骤：
①设：设变量，列解析式 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏；
②求：代入两组数据，用待定系数法求出 𝑘、𝑏；
③限：根据实际意义写出自变量取值范围；
④解：利用函数增减性（𝑘> 0递增，𝑘< 0递减）求值、最值、方案，最后作答。
随学随练
1．（25-26 八年级下·河南漯河·期末）某商店以每件13 元的价格购进某商品100 件，售出部分商品后进行
了降价销售，销售金额y（元）与销售量x（件）的函数关系如图所示，求当销售量为66 件时，销售金额
为多少？
2．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）黑龙江鸡西柳毛石墨矿是国内标志性优质石墨矿区，依托先进的
磨浮、烘干、筛分生产线，生产高端石墨精粉，产品广泛应用于新能源电池、冶金工业等领域．矿区工厂
加工石墨精粉时，每日生产设备检修、机器运转的固定成本为800 元，每生产1 吨石墨精粉，额外需要原
料、人工等成本120 元．设工厂每日生产石墨精粉x 吨，每日生产总成本为y 元．
(1)请写出y 与x 之间的函数解析式；
(2)若该厂某日生产石墨精粉15 吨，求当日的生产总成本．
特别提醒
根据实际关系列一次函数解析式，结合自变量取值范围求最值、方案选择、对比优劣。
7 / 35
学科网（北京）股份有限公司
拓展
一次函数与一元一次方程、一元一次不等式数形对应对比
对比对象
代数含义
图象几何意义
核心关联结论
一元一次方程
𝑘𝑥+ 𝑏= 0
求使𝑦= 0的𝑥值
直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交
点横坐标
方程的解 = 直线与𝑥轴交点横
坐标
一元一次不等式
𝑘𝑥+ 𝑏> 0
求使𝑦> 0的𝑥取值范围
直线在𝑥轴上方所有点
的横坐标集合
𝑘> 0取交点右侧；
𝑘< 0取交点左侧
一元一次不等式
𝑘𝑥+ 𝑏< 0
求使𝑦< 0的𝑥取值范围
直线在𝑥轴下方所有点
的横坐标集合
𝑘> 0取交点左侧；
𝑘< 0取交点右侧
补充规律：𝑘的正负直接改变不等式解集方向，判断范围前需先区分斜率符号。
活学活用
1．画函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象时，列表如下，由表可知方程𝑘𝑥+ 𝑏= 0的根𝑥0最精确的范围是（ ）
𝑥
−3
0
1
3
4
𝑦
−10
−4
−2
2
4
A．−3 < 𝑥0 < 0
B．0 < 𝑥0 < 1
C．1 < 𝑥0 < 4
D．1 < 𝑥0 < 3
2．已知一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象如图所示，则当𝑦> 0时，𝑥的取值范围是______．
3．一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛的图象如图所示，则不等式组{𝑚𝑥+ 𝑛< 𝑘𝑥+ 𝑏
𝑚𝑥+ 𝑛< 0
的解集是
___________．
8 / 35
学科网（北京）股份有限公司
拓展
一次函数与二元一次方程（组）逻辑对比
1. 二元一次方程与一次函数对应关系：
二元一次方程形式
可转化一次函数形式
核心等价结论
𝑎𝑥+ 𝑏𝑦= 𝑐(𝑏≠0)
𝑦= −𝑎
𝑏𝑥+ 𝑐
𝑏
方程的所有解，对应直线上所有点的坐标；直线上任意
一点坐标，都是该方程的一组解，二者完全等价。
2. 两条一次函数直线与二元一次方程组解的关系：
两直线参数关系
直线位置关系
对应方程组解的情况
𝑘1 ≠𝑘2
相交
有唯一一组解，解的数值即为两直线交点坐标
𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 ≠𝑏2
平行
无解，两条直线无公共交点，无公共解
𝑘1 = 𝑘2，𝑏1 = 𝑏2
重合
有无数组解，直线上所有点的坐标均为方程组的解
双向核心逻辑：求两直线交点坐标，可联立对应二元一次方程组求解；解二元一次方程组，也可通过绘制
对应一次函数直线，利用图象交点判定解的情况。
活学活用
1．（25-26 八年级上·陕西渭南·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（𝑘、𝑏为常数，且𝑘≠0）与一次函数𝑦=
−𝑥−2交于点𝑃(−1, 𝑚)，则关于𝑥、𝑦的方程组{𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏
𝑦= −𝑥−2
的解是（ ）
A．{𝑥= −1
𝑦= 1
B．{𝑥= −1
𝑦= −1
C．{𝑥= −1
𝑦= −3
D．{𝑥= −3
𝑦= −1
2．已知方程组{ 𝑦= 𝑥+ 1
𝑦= 2𝑥−3
的解为{𝑥= 4
𝑦= 5
，则直线𝑦= 𝑥+ 1与直线𝑦= 2𝑥−3的交点坐标是（ ）
A．(4,5)
B．(5,4)
C．(4,0)
D．(5,0)
9 / 35
学科网（北京）股份有限公司
拓展
函数视角解方程/方程组两种方法对比
1. 代数计算法：纯代数消元、直接计算，结果精准，无误差，但无法直观观察图象位置关系。
2. 图象几何法：画图观察交点、区间，直观体现数形关系，但读数存在近似误差，适合定性分析范围。
3. 使用区分：求精确数值优先代数法；分析取值范围、直线位置关系优先图象法。
活学活用
1．（25-26 八年级上·辽宁辽阳·期末）如图，直线𝑙1: 𝑦= −𝑥+ 3与直线𝑙2: 𝑦= 𝑘𝑥+ 1相交于点𝑃(1, 𝑚)，则关
于𝑥，𝑦的方程组{ 𝑥+ 𝑦= 3
𝑦−𝑘𝑥= 1
的解为（ ）
A．{𝑥= 1
𝑦= 3
B．{𝑥= 3
𝑦= 1
C．{𝑥= 2
𝑦= 1
D．{𝑥= 1
𝑦= 2
2．在同一平面直角坐标系中，直线𝑦= −𝑥+ 4与𝑦= 2𝑥+ 𝑚相交于点𝑃(3, 𝑛)，则关于x，y 的方程组
{ 𝑦+ 𝑥= 4
𝑦−2𝑥= 𝑚
的解为（ ）
A．{𝑥= 3
𝑦= 1
B．{𝑥= 1
𝑦= 3
C．{𝑥= −1
𝑦= 5
D．{ 𝑥= 9
𝑦= −5
3．（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）已知关于x、y 的二元一次方程组{𝑦= 3𝑥−1
𝑦= 𝑘𝑥
的解是{𝑥= 1
𝑦= 2
，则一次
函数𝑦= 3𝑥−1与𝑦= 𝑘𝑥（k 是常数，𝑘≠0）的图像的交点坐标是______．
题型
一次函数与一元一次方程结合
10 / 35
学科网（北京）股份有限公司
▌例1．（25-26 八年级下·湖北武汉·期末）直线𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0,5)和点𝐵(−2,0)，则方程𝑎𝑥+ 𝑏= 0的
解是（ ）
A．𝑥= 2
B．𝑥= −2
C．𝑥= 5
D．𝑥= −5
▌例2．（25-26 八年级上·宁夏银川·期中）直线𝑦= 2𝑥−𝑏上有一点的坐标是(2,3)，则关于𝑥的方程2𝑥−𝑏=
3的解是_______．
▌对点练1-1．（2026·贵州·模拟预测）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥＋𝑏(𝑘> 0)的图象经过点(−2,0)和(0,4)，则关
于x 的方程𝑘𝑥+ 𝑏= 2的解是（ ）
A．𝑥= −1
B．𝑥= −2
C．𝑥= 0
D．𝑥= 3
▌对点练1-2．若𝑥= 2是关于x 的方程𝑚𝑥+ 𝑛= 0(𝑚≠0)的解，则一次函数𝑦= −𝑚𝑥−𝑛的图象与𝑥轴的
交点坐标是( )
A．(3,0)
B．(0,3)
C．(0,2)
D．(2,0)
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·福建福州·期末）如图，一次函数𝑦1 = 𝑎𝑥+ 𝑏（a，b 为常数且𝑎≠0）与正
比例函数𝑦2 = 𝑘𝑥（k 为常数且𝑘≠0）的图象交于点𝑃，则关于𝑥的方程𝑎𝑥+ 𝑏= 𝑘𝑥的解是_____．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·山东·期末）一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图像经过点(4,2)，则关于𝑥的方程𝑘𝑥+
𝑏= 2的解为____________．
解题贴士
1）方程kx+b=0 的解，对应一次函数y=kx+b 图象与x 轴交点的横坐标；
2）已知函数值求自变量，可直接转化为一元一次方程求解，数形结合快速解题。
11 / 35
学科网（北京）股份有限公司
题型
一次函数与不等式结合
▌例1．（25-26 八年级下·福建泉州·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过(−3,0)，(0,2)两点，则关
于𝑥的不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集为（ ）
A．𝑥< 2
B．𝑥> 2
C．𝑥< −3
D．𝑥> −3
▌例2．（25-26 八年级下·江西赣州·期末）如图，过点𝐶(0,1)的直线𝑙1：𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏与直线𝑙2：𝑦2 = −2𝑥+ 4
相交于点𝐷(1,𝑚)．
(1)求直线𝑙1的解析式．
(2)不等式𝑦1 < 𝑦2的解集为__________；（直接写出答案）
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知一次函数𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑎与𝑦2 = 𝑘2𝑥+ 𝑏的图象如图所
示，当𝑦1 < 𝑦2时，𝑥的取值范围是（ ）
A．𝑥< −2
B．𝑥> −2
C．𝑥< 0
D．𝑥> 0
解题贴士
易错：①上下区域对应不等号方向搞反；②两函数交点横坐标取舍等号错误；③不会结合图象判断区间，
纯代数计算易出错；④多段图象遗漏部分解集。
12 / 35
学科网（北京）股份有限公司
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·甘肃酒泉·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏（k，b 是常数，且𝑘≠0）的图
象分别交x 轴、y 轴于点(4,0)，(0,2)，则不等式𝑘𝑥+ 𝑏≤2的解集为__________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西汉中·期末）如图，直线𝑦= 3𝑥与直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)相交于点
𝑀(1,3)，则关于𝑥的不等式3𝑥> 𝑘𝑥+ 𝑏 的解集是_________．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·江西九江·期末）如图，一次函数𝑦1 = 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝐴(0,2)，点
𝐶(−1,0)，并且与一次函数𝑦2 = −4𝑥+ 𝑎的图象交于点𝐵．
(1)由图可知，不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集是__________；
(2)若不等式𝑘𝑥+ 𝑏> −4𝑥+ 𝑎的解集是𝑥>
1
2．
①求点𝐵的坐标；
②求𝑎的值．
▌对点练1-5．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，已知直线𝑦1 = 𝑥+ 𝑎经过点𝐴(−6,0)，直线
𝑦2 = −2𝑥+ 𝑏与直线𝐴𝐵相交于点M，与x 轴交于点D，点M 的横坐标为−3．
13 / 35
学科网（北京）股份有限公司
(1)根据图象，直接写出当𝑥+ 𝑎> −2𝑥+ 𝑏时，x 的取值范围是______．
(2)求a 和b 的值；
(3)若点P 在直线𝐴𝐵上，且𝑆△𝐴𝐷𝑃= 3𝑆△𝐴𝐷𝑀，求点P 的坐标．
题型
一次函数与二元一次方程组结合
▌例1．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）已知直线𝑦= 2𝑥+ 1与直线𝑦= 𝑚𝑥−𝑛相交于点(𝑎, 2)，则关于
𝑥，𝑦的二元一次方程组{𝑦= 2𝑥+ 1
𝑦= 𝑚𝑥−𝑛
的解是（ ）
A．{𝑥=
1
2
𝑦= 2
B．{
𝑥= 2
𝑦=
1
2
C．{𝑥= 𝑚
𝑦= 𝑛
D．无法求解
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·山西吕梁·期末）已知方程组{𝑥−𝑦= −1
2𝑥−𝑦= 3
的解为{𝑥= 4
𝑦= 5
，则直线𝑦= 𝑥+ 1
与直线𝑦= 2𝑥−3的交点坐标是（ ）
A．(4,5)
B．(5,4)
C．(4,0)
D．(5,0)
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·河北邯郸·期末）平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥与𝑦= −𝑥+ 3的
图像如图所示，则关于𝑥和𝑦的二元一次方程组{
𝑦= 𝑘𝑥
𝑦= −𝑥+ 3
的解是__________．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）如图，直线𝑦= −𝑥+ 2与𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛交点的横坐标为1，则
解题贴士
1）两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；
2）图象平行无交点则方程组无解，图象重合则方程组有无数组解。
14 / 35
学科网（北京）股份有限公司
关于𝑥，𝑦的二元一次方程组{𝑦= −𝑥+ 2
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛
的解为________．
题型
一次函数实际应用——行程问题
▌例1．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，
停留一段时间，然后原路匀速返回A码头．在整个过程中，这条小船与B码头的距离𝑥（单位：m）与所用
时间𝑡（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速
度分别为（ ）
A．15 m/min，25 m/min
B．30 m/min，15 m/min
C．25 m/min，30 m/min
D．30 m/min，25 m/min
▌例2．（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期中）一个小球在一个斜坡上由静止开始向下滚动，其速度每秒增加
2m/s．
(1)写出滚动的时间𝑡(s)和小球的速度𝑣(m/s)之间的函数关系式；
(2)当小球滚动了3.5s时，其速度是多少？
▌对点练1-1．（2026·广东深圳·二模）甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面16m高的平台起飞，两架
无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机距离地面的高度𝑦（单位：m）与上升的时间𝑥（单位：s）的对应
解题贴士
1）横轴为时间、纵轴为路程/距离，先求运动过程的一次函数解析式；
2）利用解析式求特定时间路程、相遇时间、相距距离；结合同向、相向、追及模型解题。
15 / 35
学科网（北京）股份有限公司
关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．起飞时甲、乙高度相同
B．甲无人机的上升速度更快
C．乙无人机的上升速度更快
D．甲、乙两架无人机速度相同
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期中）为促进A 县的经济发展，B 市公交公司决定：在A，B 两
地增加一条快速公交线（即中途停站的站点少）．一辆快速公交车和一辆普通公交车恰好分别从A，B 两地
同时出发相向而行．快速公交车、普通公交车两车离A 地的距离𝑦1, 𝑦2（单位：km）与出发时间𝑥（单位：
h）之间的函数关系如图所示．已知两地相距120km，普通公交车的速度为30km/h．则点𝑃的坐标为
____．
▌对点练1-3．（2026·吉林长春·二模）清明假期期间，小刚从家出发，自驾匀速前往某景区游玩，途中经过
服务区休息一段时间后，继续以另一速度匀速行驶前往目的地，小刚离家的距离𝑦（千米）与离开家的时
间𝑥（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)小刚在服务区休息了_____小时；
(2)求𝐵𝐶所在直线对应的函数表达式；
(3)当小刚离家的距离恰好为200 千米时，小刚离开家_____小时．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江苏泰州·期末）如图1，公路上有A、B、C 三地，小红、小芳两人分别从
A、C 两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段𝑂𝑃、𝑀𝑁分别表示小红、小芳两人距离𝐴地的距
16 / 35
学科网（北京）股份有限公司
离𝑦（米）与跑步时间𝑥（分钟）的函数图象．
(1)𝐴𝐶=__________米；
(2)记线段𝑂𝑃、𝑀𝑁的交点为𝑄，求𝑄点坐标，并解释该点的实际意义；
(3)若小红到达𝐵地后，3 分钟后小芳也到达𝐵地，求𝐴、𝐵两地间的距离．
题型
一次函数实际应用——销售利润问题
▌例1．（25-26 八年级下·福建福州·期中）某公司经营甲、乙两种特产，其中甲特产每吨成本价为10万元，
每吨销售价为10.5万元；乙特产每吨成本价为1万元，每吨销售价为1.2万元．由于受有关条件限制，该公
司每月这两种特产的销售量之和都是100吨．设该公司每月销售甲特产𝑥吨，销售这两种特产所能获得的总
利润为𝑦万元．
(1)求𝑦与𝑥的函数解析式．
(2)若甲特产的销售量不超过20 吨，求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润．
▌例2．（25-26 八年级上·江苏扬州·期末）随着中小学“每天一节体育课”活动的开展，充分激发了同学们的
运动热情．某商家抓住了体育用品需求量激增的商机，采购了一批篮球和足球共100 个，两种球的进价与
售价如下表所示．设采购𝑥个篮球，获得的总利润为𝑦元．
品名
厂家批发价元/个
商场零售价元/个
篮球
120
145
足球
100
120
(1)求总利润𝑦与𝑥的函数关系式；
(2)若该商家采购的篮球个数不超过足球个数，则该商家应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少
解题贴士
1）根据“利润=(售价-成本)×销量”，结合销量与售价的一次函数关系，构建利润函数；
2）利用函数增减性求最大、最小利润，结合自变量取值范围确定最值。
17 / 35
学科网（北京）股份有限公司
元？
▌对点练1-1．（2025·云南玉溪·三模）随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖
丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2 个哪吒主题手办和
3 个敖丙主题手办，需花费160 元；买3 个哪吒主题手办和2 个敖丙主题手办，需花费140 元．
(1)每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？
(2)现在粉丝团计划一共买8 个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买
敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W 最少？并求出W 的最小值．
▌对点练1-2．（2026·江苏南通·模拟预测）一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140 吨，准备加工后进行销
售，销售后获利的情况如下表所示：
销售方式
粗加工后销售
精加工后销售
每吨获利（元）
1000
2000
已知该公司的加工能力是：每天能精加工5 吨或粗加工15 吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件
的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完．
(1)如果要求12 天刚好加工完140 吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？
(2)如果先进行精加工，然后进行粗加工．若要求在不超过10 天的时间内，将140 吨蔬菜全部加工完后进
行销售，则加工这批蔬菜最多获得多少利润？
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·河北唐山·期末）某公司计划举办趣味运动会，准备采购甲、乙两种道具，
商家对甲种道具的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种道具按40元/件的价格出售，设该公司购买甲种
道具𝑥件，付款𝑦元，𝑦与𝑥之间的函数关系如图所示，
(1)求𝑦与𝑥之间的函数解析式；
(2)若该公司计划一次性购买甲、乙两种道具共120件，且甲种道具数量不少于乙种道具数量的
5
3，乙种道具
不少于35件，如何分配甲、乙两种道具的购进量，才能使该公司付款总金额最少，并求出最小值．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）请你根据下列素材，完成有关任务．
背景
东北地区城市足球联赛持续在哈尔滨市阿城区火热开赛，赛事期间多地参赛队伍、观赛群
18 / 35
学科网（北京）股份有限公司
众与体育爱好者来到阿城，汇聚海量人流热度，激活赛事经济．阿城区山林资源丰富，生
态条件优越，盛产各类优质原生态山珍，某特产专营店推出𝐴、𝐵两款山珍礼盒，深受消费
者喜爱．
素材一
顾客甲在该专营店购买记录：2盒𝐴款礼盒、3盒𝐵款礼盒，共600元；
素材二
顾客乙在该专营店购买记录：4盒𝐴款礼盒、5盒𝐵款礼盒，共1100元．
素材三
某球迷协会，计划采购这两款礼盒共60盒，用于现场宾客分发与互动使用，要求𝐵款礼盒的
数量不超过𝐴款礼盒数量的2倍．
请完成下列任务：
(1)求每盒𝐴款礼盒、每盒𝐵款礼盒的单价；
(2)求𝐴款礼盒购买多少盒时，使得该球迷协会购买的总费用最低，最低总费用是多少元？
题型
一次函数实际应用——分配方案问题
▌例1．（25-26 八年级上·山东青岛·期末）学校有1100 本作文本需要打包发放，现有A、B 两种型号的箱子
可供选择．已知1 个A型箱子和2 个B型箱子装满后可打包500 本作文本，2 个A型箱子和1 个B型箱子装满
后可打包400 本作文本．学校计划同时使用两种箱子一次打包完毕，且恰好每个箱子都装满作文本．
(1)每个A型箱子和B型箱子分别能装多少本作文本？
(2)若A型箱子每个3 元，B型箱子每个5 元，共有几种打包方案？哪种方案费用最少？
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·广东广州·期末）A 城有肥料200t，B 城有肥料300t．现要把这些肥料全部
运往C、D 两乡．从A 城往C、D 两乡运肥料的费用分别为20 元/t和25 元/t；从B 城往C、D 两乡运肥料
的费用分别为15 元/t和24 元/t．现C 乡需要肥料240t，D 乡需要肥料260t．若从A 城运往C 乡的肥料为
𝑥 t，总运费为𝑦元．
解题贴士
易错：①约束条件挖掘不全，取值范围出错；②忽略自变量为正整数；③不会根据增减性判断最优方
案；④多种分配方案枚举遗漏。
19 / 35
学科网（北京）股份有限公司
(1)用含𝑥的代数式表示从A 城运往D 乡的肥料；
(2)写出总运费𝑦与𝑥之间的函数关系式；并写出𝑥的取值范围．
(3)怎样调运可使总运费最少？
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）爱国是每一个中国人一出生就该有的生命底色，为
了缅怀先烈我们学校计划组织580名学生去大青山红色文化公园参观学习，经过研究，决定从当地租车公
司提供的𝐴，𝐵两种型号客车中，租用20辆作为交通工具．下表是租车公司提供给学校有关两种型号客车的
载客量和租金信息．设学校租用𝐴型号客车𝑥辆，租车总费用为𝑦元．
型号
载客量
租金
𝐴
30 人/辆
400 元/辆
𝐵
25 人/辆
300 元/辆
(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式，并写出𝑥的取值范围．
(2)若要使租车总费用不超过7900元，一共有几种租车方案？并求出最低租车费用．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·广西防城港·期末）项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案
某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购A 款智能机器人模型与B 款科
创笔记本共120 件，已知A 款机器人模型单价25 元/件，B 款科创笔记本单价20 元/件．请以“活动采购规
划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务：
任务一：建立总费用函数模型
(1)设购买A 款智能机器人模型的数量为𝑥件，购买两种奖品的总费用为𝑦元．请求出总费用𝑦与A 款机器人
模型数量𝑥之间的函数关系式．
任务二：实际采购费用核算
(2)若本次科普展计划购买40件A 款智能机器人模型，剩余奖品均为B 款科创笔记本，请计算本次采购的总
费用．
任务三：最优采购方案设计
(3)结合活动预算与奖品购置要求，规定A 款智能机器人模型的购买数量不少于50件且不多于80件．请通过
函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用．
20 / 35
学科网（北京）股份有限公司
题型
一次函数实际应用——阶梯计费问题
▌例1．（25-26 八年级下·河北保定·期末）某市公交公司推出企业通勤包车服务，提供两种燃油计费方案，
具体如下：
方案一：无基础服务费，每千米燃油费用为0.6 元．
方案二：每日固定基础服务费18 元，行驶路程不超过50km时，每千米燃油费0.5 元；行驶路程超过50km
时，超出部分每千米燃油费0.4 元．
(1)设每日通勤燃油总费用为W 元，分别求出两种计费方案下W 关于行驶路程x 的函数解析式．
(2)若企业每日通勤行驶路程𝑥= 100，请求出该企业选择哪种燃油计费方案更划算．
▌对点练1-1．（25-26 七年级下·陕西西安·期末）某市采用分档计费的方式计算电费．下表是户月用电量及
分档计费标准：
计费档
户月用电量x/
（kW·h）
单价/[元/（kW·h）]
第一档
0 < 𝑥≤170
0.5
第二档
170 < 𝑥≤260
0.6
第三档
𝑥> 260
0.8
(1)当170 < 𝑥≤260时，写出电费y（单位：元）与用电量x 之间的表达式；
(2)某户12 月的电费是127 元，求该户12 月的用电量．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）为了满足不同客户的需求，电信公司推出两种流量套餐：
套餐种类
计费方式
A
基础费用每月30 元（包含15GB通用流量），超过部分每GB收费1 元；
B
通用流量2.5元/GB，当月使用流量达到20GB后不再收取额外费用．
(1)请分别写出A，B套餐所需费用𝑦（单位：元）与当月使用流量𝑥（单位：GB）之间的函数关系式；
解题贴士
1）费用随用量分段变化，每段为独立一次函数；
2）先判断用量所在区间，代入对应区间解析式计算费用；
3）已知费用可反向求用量范围。
21 / 35
学科网（北京）股份有限公司
(2)某消费者每月使用流量超过20GB，请帮他选择更省钱的方案，并说明理由．
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算
水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准：
户年用水量（m3）
水费单价（元/m3）
不超过150 m3的部分
𝑘
超过150 m3的部分
6
已知A 户去年的户年用水量为90 m3，去年整年的水费是360元，设户年用水量为𝑥（m3），整年的水费为𝑦
（元）．
(1)𝑘的值为________；
(2)求𝑦关于𝑥的函数解析式；
(3)已知B 户去年整年的水费是660元，求B 户去年的户年用水量．
▌对点练1-4．（25-26 八年级下·青海海东·期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计
算用户的电费，应交电费𝑦（元）与每月用电量𝑥（度）的关系如图所示．
(1)分别求当0 ≤𝑥≤50和𝑥> 50时，𝑦与𝑥的函数解析式；
(2)当用电量为45度时，则应交电费多少钱？
题型
一次函数实际应用——跨学科问题
▌例1．（25-26 八年级下·河北衡水·期末）在弹性限度内，弹簧的长度𝑦（cm）与所挂物体质量𝑥（kg）的
函数图象如图所示，当所挂物体的质量为3.5 kg时，弹簧的长度为（ ）
解题贴士
结合物理速度、压强、温度转换等跨学科公式，识别变量间一次函数关系，建立解析式，代入数值求解、
分析变化规律。
22 / 35
学科网（北京）股份有限公司
A．15 cm
B．14.8 cm
C．14.5 cm
D．13.5 cm
▌例2．（25-26 八年级下·陕西榆林·期末）某科技公司研发了一款基于人工智能的农业系统，用于优化温室
大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度𝑦（毫米）与每日光照
时间𝑥（小时）之间满足一次函数关系．某团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据以作研究，以
下是实验记录的部分数据：
每日光照时间𝑥（小时）
…
6
8
10
12
14
…
日均生长高度𝑦（毫米）
…
3.2
4.0
4.8
5.6
6.4
…
(1)求𝑦关于𝑥的函数解析式；
(2)若某天由于天气原因，温室仅能提供7 小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·内蒙古包头·期末）某湿地修复项目中，研究人员需监测两种水质指标--溶
解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．如图所示，溶解氧浓度由
直线𝑙1：𝑦= 𝑥+ 1描述，污染物浓度由直线𝑙2：𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)描述．已知在第m 天时，溶解氧浓度与
污染物浓度相等（均为5mg/L)，对应交点𝑃(𝑚, 5)．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修
复能力，此时x 范围是（ ）
A．𝑥≥4
B．𝑥≤4
C．𝑥≤5
D．𝑥≥5
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·江苏南通·期末）物理课上，于老师让同学们做这样的实验：在装水的盆中
放入质地均匀的木块B，再在其上方放置不同质量的铁块A．已知木块𝐵全程保持漂浮状态，通过测量木块
𝐵浮在水面上的高度ℎ(mm)与铁块𝐴的质量𝑥(g)，可得它们之间满足一次函数关系，据此可知当铁块𝐴质量
为100g时，木块𝐵露出水面上的高度ℎ为_______mm．
实验次数
一
二
三
23 / 35
学科网（北京）股份有限公司
铁块A 质量𝑥/g
25
50
75
高度ℎ/mm
44
38
32
▌对点练1-3．（25-26 八年级下·福建福州·期末）在气温为−20°C到40°C范围内，声音在空气中的传播速度
（声速）𝑣（单位：m/s）与气温𝑡（单位：°C）呈一次函数关系，下表是几组气温与对应声速的实验数
据：
气温𝑡（°C）
−10
0
10
20
声速𝑣（m/s）
325
331
337
343
已知声速𝑣（单位：m/s），声音频率𝑓（单位：Hz）与波长𝜆（单位：m）满足关系式𝑣= 𝑓𝜆．若国际通用
钢琴标准音（中音A4）的频率为440 Hz，则气温为25°C时，该标准音在空气中的波长约为______m（结果
精确到0.01 m）．
▌对点练1-4．（2026·陕西西安·二模）某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动速度随时间变化的关系”开展深
入探究，探究过程如下：
【设计实验方案】
如图1 所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运
动到𝐴点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间𝑡(s)和运动速度𝑣(cm s
⁄ )的
数据．
【收集整理数据】
运动时间𝑡(s)
0
4
8
12
16
20
…
运动速度𝑣(cm s
⁄ )
12
10
8
6
4
2
…
【数学建模分析】
(1)根据表格中的数据在图2的平面直角坐标系中进行描点、连线，已知弹珠在水平轨道上的运动速度与运
动时间符合初中学过的某种函数关系，则可能是________函数关系；（选填“一次”“二次”“反比例”）
24 / 35
学科网（北京）股份有限公司
(2)根据以上判断，求𝑣与𝑡之间的函数关系式；
(3)当弹珠在水平轨道上的运动时间为6s时，其运动速度是多少cm s
⁄ ？
▌对点练1-5．（25-26 八年级下·北京·期中）某数学兴趣小组想从函数的角度探究弹簧弹力𝐹与弹簧的伸长
量𝑥之间的关系，设计如图所示的实验装置．弹簧在未悬挂钩码时长度为6cm，在弹簧下端悬挂一个钩码，
平衡时记下弹簧总长度以及钩码的重量，计算出此时弹簧受到的弹力，增加钩码的个数，重复上述实验过
程，将所得数据填入下表：
弹簧受到的弹力
（N）
0
30
60
90
120
150
…
弹簧的长度（cm）
6
8
10
12
14
16
…
请帮该兴趣小组解决下列问题：
(1)处理上表的数据，以弹簧的伸长量𝑥为横轴，弹簧弹力𝐹为纵轴建立如图所示的直角坐标系（注：弹簧伸
长量=弹簧受力后的长度−弹簧原长度）
①将表中的数据在直角坐标系中描出，并将描出的点连线；
②写出弹簧弹力𝐹与弹簧的伸长量𝑥的函数关系式______；（不要求写自变量的取值范围）
(2)如果该弹簧受到超过240N 的弹力，将不会恢复到原有的长度，这就是超过弹性限度，弹簧会发生永久
形变．实验过程中，该兴趣小组测量出弹簧的长度为21 cm，该弹簧是否会发生永久形变，请说明理由．
(3)设弹簧的劲度系数𝑘=
𝐹
𝑥，同学们拿来两根劲度系数不同的弹簧甲、乙，分别挂上𝑀、𝑁两物块（如图所
示），且物块𝑀的质量大于物块𝑁的质量（质量越大，悬挂时弹簧受到的弹力越大），由图可知，甲、乙两
弹簧的劲度系数的大小关系为𝑘甲_________𝑘乙．（填“>”，“<”或“=”）
25 / 35
学科网（北京）股份有限公司
弹簧受到的弹力
（N）
0
30
60
90
120
150
…
弹簧的伸长量（cm）
0
2
4
6
8
10
…
题型
一次函数实际应用——其他问题
▌例1．（25-26 八年级下·福建福州·期末）某登山队大本营所在位置的气温为−1℃，海拔每升高1km气温下
降6℃．登山队员由大本营向上登高𝑥km时，他们所在位置的气温是𝑦℃，则下列关于y 与x 的关系式正确
的是（ ）
A．𝑦= 6𝑥−1
B．𝑦= 6𝑥+ 1
C．𝑦= −6𝑥−1
D．𝑦= −6𝑥+ 1
▌例2．（2026·陕西安康·一模）浮箭漏是中国古代重要的计时仪器，由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭
尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶内的水位逐渐上升，箭尺也随之匀速上浮，可通过读取箭尺的刻度
计算时间．某校趣味数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2
小时记录一次箭尺读数，得到下表：
供水时间𝑥/时
0
2
4
6
8
箭尺读数𝑦/厘米
6
18
30
42
54
(1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线
上，请求出𝑦与𝑥之间的函数表达式．
(2)如果本次实验记录的开始时间是上午9：30，那么当箭尺读数为72 厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为
100 厘米）
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·四川乐山·期末）一枝蜡烛长20厘米，点燃后每小时燃烧掉5厘米，则下列
解题贴士
提取题干线性变化关系，判定变量为一次函数关系，设解析式代入两组数据求解，利用增减性、端点值
解决最值、范围、求值问题。
26 / 35
学科网（北京）股份有限公司
图象中能大致刻画出这枝蜡烛点燃后剩下的长度ℎ（厘米）与点燃时间𝑡（h）之间的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·吉林·期末）某水库的水位在5小时内持续上涨，初始的水位高度为6米，水
位以每小时0.3米的速度匀速上升，则水库的水位高度𝑦（单位：米）关于时间𝑥（单位：小时）
(0 ≤𝑥≤5)的函数解析式为________
▌对点练1-3．（25-26 九年级下·陕西榆林·期中）如图所示的单肩包，其背带由双层部分、单层部分和调节
扣构成．俊俊在购买这种单肩包时，售货员演示通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使背带的长
度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占长度忽略不计）加长或缩短．经测量，发现单层部分
的长度𝑦（单位：cm）与双层部分的长度𝑥（单位：cm）之间满足一次函数关系．已知双层部分的长度为
0cm时，单层部分的长度为156cm；双层部分的长度为2cm时，单层部分的长度为152cm．
(1)求𝑦与𝑥之间的函数关系式；
(2)按俊俊的身高和习惯，当背带双层部分的长度调到20cm时最舒服，请计算此时单层部分的长度．
▌对点练1-4．（25-26 八年级上·江苏淮安·期末）在《乌鸦喝水》的寓言中，乌鸦向装有适量水的罐子中投
放小石子，随着小石子数量的增加水面随之升高.某位同学利用量筒和相同大小的玻璃球进行了实验，在量
筒内投入的玻璃球均能被水淹没且水未溢出的条件下，研究了量筒中水面高度𝑦 cm与投入玻璃球数量𝑥粒
之间的变化关系.根据实验结果得到如下的表格数据：
投入玻璃球数量𝑥/粒
0
5
10
15
20
…
水面高度𝑦/cm
10
11
12
13
14
…
27 / 35
学科网（北京）股份有限公司
(1)由表格知：投入玻璃球数量𝑥每增加5 粒，水面高度𝑦增加_____cm，进而可得𝑦与𝑥的函数表达式为
______；
(2)当量筒内水面的高度是16cm时，请求出投放玻璃球多少粒？
题型
一次函数与几何综合
▌例1．（25-26 八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）如图，一次函数𝑦=
2
3 𝑥+
5
3的图象经过点𝐴(2,𝑚)，
𝐵(𝑛, −1)，则△𝐴𝐵𝑂的面积为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
▌例2．（25-26 八年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图，已知点𝐴(𝑎, 0)，𝐵(0, 𝑏)中𝑎，𝑏满足(2𝑎−𝑏)2 +
√𝑎−1 = 0，𝐶为𝑥轴正半轴上一点，且∠𝐴𝐵𝐶= 45°．
(1)点𝐴的坐标为 ，点𝐵的坐标为 ．
(2)求直线𝐵𝐶的函数解析式；
(3)如图2，直线𝑙1：𝑦= 𝑥−4交𝐵𝐶于点𝐷，𝑃为线段𝐵𝐷上一动点，过点𝑃作𝑃𝑄⊥𝑥轴，交直线𝑙1于点𝑄，若
𝐶𝑃= 𝐶𝑄，求点𝑃的坐标；
(4)如图3，点𝐺为𝑦轴负半轴上一点，𝐺𝐻⊥𝐵𝐶于点𝐻，若𝐺𝐻= 𝐵𝐶，求点𝐺的坐标．
▌对点练1-1．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形𝐴𝑂𝐶𝐵是长方形，𝐴(8,0)，
𝐵(8,4)，𝐶(0,4)，将△𝑂𝐴𝐵沿直线𝑂𝐵折叠，此时点𝐴落在点𝐷处，𝑂𝐷与𝐵𝐶交于点𝐸，则𝑂𝐷所在直线的函数
解题贴士
先求一次函数解析式，得出与坐标轴交点、线段长度；结合面积、周长、等腰、直角、平行等几何条件，
联立方程求参数、动点坐标、线段最值。
28 / 35
学科网（北京）股份有限公司
表达式为___________．
▌对点练1-2．（25-26 八年级下·重庆巫山·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知直线𝑦1 = −2𝑥−4与𝑥轴
交于点𝐴，直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏与𝑥轴交于点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶(0,2)，与直线𝑦1 = −2𝑥−4交于点𝐷，𝑂𝐵=
2𝑂𝐴．
(1)求直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏的函数表达式；
(2)若𝐸是𝑥轴上一点，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐴𝐷𝐸，求点𝐸的坐标；
(3)若𝐹是直线𝑦2 = 𝑘𝑥+ 𝑏上方且位于𝑦轴上一点，∠𝐵𝐷𝐹= 2∠𝐷𝐵𝐴，判断△𝐴𝐷𝐹的形状并说明理由．
▌对点练1-3．（25-26 七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，𝑂为坐标原点，三角形
𝐴𝐵𝐶的边𝐵𝐶在𝑥轴上，点𝐵的坐标是(−5,0)，点𝐴在𝑦轴的正半轴上点𝐶在𝑥轴的正半轴上，它们的坐标分别
为𝐴(0,𝑎)、𝐶(𝑏, 0)，且满足√𝑎−4 + |𝑏−3| = 0．
(1)直接写出𝐴、𝐶两点的坐标：𝐴__________，𝐶__________；
(2)动点𝑃从点𝐵出发，以每秒2 个单位的速度，沿射线𝐵𝑂运动．设点𝑃运动时间为𝑡秒．连结𝑃𝐴，当𝑃沿射
29 / 35
学科网（北京）股份有限公司
线𝐵𝑂匀速运动时，是否存在某一时刻，使三角形𝑃𝑂𝐴的面积是三角形𝐴𝐵𝐶面积的
1
4，若存在，请求出𝑡的
值，并写出𝑃点坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，作𝑃𝑄⊥𝐵𝐶交线段𝐴𝐵于点𝑄，连接𝐶𝑄交𝑂𝐴于点𝐷，当𝑃𝑄= 2时，求点𝑃坐标和点𝐷的
坐标．
基础通关
1.（25-26 八年级下·四川巴中·期末）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点𝑃(2,3)，则关于x 的不等式
𝑘𝑥+ 𝑏≥3的解集为（ ）
A．𝑥≥2
B．𝑥≤2
C．𝑥≥3
D．𝑥< 3
2．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 4(𝑘≠0)与正比例函
数𝑦= −3𝑥的图象相交于点A，已知点A 的纵坐标为3，则不等式𝑘𝑥+ 4 > −3𝑥的解集为（ ）
A．𝑥> 3
B．𝑥< 3
C．𝑥> −1
D．𝑥< −1
3．（25-26 八年级下·陕西渭南·期末）若一次函数𝑦= 𝑥+ 3与𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏（𝑎、𝑏为常数，且𝑎≠0）的图象
交于点𝐴，且点𝐴的纵坐标为5，则关于𝑥、𝑦的二元一次方程组{ 𝑦= 𝑥+ 3
𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏
的解是（ ）
A．{𝑥= 5
𝑦= 8
B．{𝑥= 5
𝑦= 2
C．{𝑥= −2
𝑦= 5
D．{𝑥= 2
𝑦= 5
4．（25-26 八年级下·河北邢台·期末）工人要铺设一段总长50 米的水管，铺设过程中剩余未铺水管的长度L
（米）和工人工作时长t（小时）之间的关系为𝐿= 50 −2𝑡，其中2𝑡的实际意义是（ ）
A．每小时能够铺设的水管长度 B．工作t 小时一共铺设的水管总长度
30 / 35
学科网（北京）股份有限公司
C．还未铺设的水管长度 D．需要铺设的水管总长度
5．（25-26 八年级下·广东茂名·期末）如图，直线𝑦=
1
3 𝑥+ 2经过𝐴(0,2)、𝐵(−6,0)两点，则关于𝑥的不等式
组0 <
1
3 𝑥+ 2 < 2的解集为________．
6．（25-26 八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数𝑦= −4𝑥+ 8的图像与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴、𝐵两点，
坐标原点为𝑂，则𝑆△𝐴𝐵𝑂为__________．
7．（2026·湖南长沙·二模）如图，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 2（k 为常数且𝑘≠0）和𝑦= 3𝑥+ 1的图象相交于点
A，根据图象可知关于x 的方程𝑘𝑥+ 2 = 3𝑥+ 1的解是______．
8．（25-26 八年级下·福建福州·期中）已知直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏经过点𝐴(0,4)，𝐵(1,1)．
(1)求该直线𝐴𝐵的函数解析式；
(2)求该直线与x 轴交点C 的坐标；
(3)关于x 的不等式𝑘𝑥+ 𝑏> 0的解集是________．
9．如图，直线𝑦= −2𝑥+ 6与直线𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛相交于点𝑀(𝑝, 4)．
31 / 35
学科网（北京）股份有限公司
(1)求p 的值；
(2)直接写出关于x，y 的二元一次方程组{𝑦= −2𝑥+ 6
𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛
的解；
(3)若直线𝑦= 𝑚𝑥+ 𝑛与x 轴交于点𝐵(−5,0)，求m 和n 的值．
10．（25-26 八年级下·福建龙岩·期末）某企业接到一批服装生产任务，要求15天完成，为按时完成任务，
若干天后，该企业增加了一定数量的生产工人，该企业𝑥天累计生产服装的数量为𝑦件，𝑦与𝑥之间的关系如
图所示．
(1)这批服装一共有________件；
(2)求增加工人后𝑦与𝑥的函数表达式；
(3)已知这批服装的出厂价为每件100元，由于特殊原因，原材料紧缺，服装的成本前5天为每件70元，从第
6天起每件的成本比原先增加了5元，问：前多少天的总利润恰好为13500元？（利润等于出厂价减去成
本）
素养提升
1．（25-26 七年级下·山东济南·期末）周末，爸爸和小明从家出发骑行前往超市．两人骑行的路程𝑠（米）
与时间𝑡（分钟）的关系如图所示，根据图象提供的信息，在下列结论中，①家到超市的全程是2000 米；
②小明先到达超市；③从出发到4.4分钟的时间段内，小明的骑行速度比爸爸的骑行速度快；④在爸爸出
发6.8分钟时，小明追上了爸爸．正确的结论有（ ）
32 / 35
学科网（北京）股份有限公司
A．①③④
B．①②
C．①②④
D．①②③④
2．（2026·山东济南·模拟预测）随着人们生活水平的提高，对美食的要求也越来越高，特别是油炸食品，
需要控制油的温度才能保证菜品的成功．下表是厨师记录的一次油沸腾前的油温𝑦（单位：°C）随加热时
间𝑡（单位：s）变化的部分数值：
加热时间𝑡s
⁄
0
10
20
30
40
…
油温𝑦/°C
30
45
60
75
90
…
根据表格中的数据判断，加热100 s时的油温为________°C．
3．（25-26 七年级下·甘肃酒泉·期末）某市为了加强公民节水意识，制定了如下用水收费标准：每户每月用
水不超过10 吨时，水价为每吨1.2 元；超过10 吨时，超过的部分按每吨1.8 元收费．现有某户居民5 月
份用水x 吨（𝑥> 10），应缴水费y 元，请回答下列问题：
(1)请直接写出应缴水费y（元）与用水量x（吨）之间的关系式；
(2)若小明家本月用水15 吨，请问小明家应缴水费多少元？
4．（25-26 八年级下·辽宁大连·期末）在用一种塑料管制作简易长笛实践活动中，同学们知道音高是由空气
柱振动频率决定的，“空气柱越短，音高越高”．下面是睿智小组的同学研究空气柱与音高关系实验的一部
分．
如图，取两根下底面密封的塑料管，侧面先不开孔．甲为粗细均匀的圆柱形直管，乙为粗细不同的变径异
形管，总长均为35cm．向管内注入清水，水柱上方留存空气柱．
记录管内水柱高度ℎ(cm)与注水量𝑥(mL)的数据如下：
注水量x/mL
0
40
100
200
300
400
500
600
…
33 / 35
学科网（北京）股份有限公司
甲管水柱高度ℎ1/cm
0
1.0
2.5
5.0
7.5
10.0
12.5
a
…
乙管水柱高度ℎ2/cm
0
1.2
3.0
5.5
7.8
9.9
11.8
b
…
(1)在如图平面直角坐标系中，用描点法画出ℎ2关于x 的图象，根据图象解决下列问题：
①当x 由小变大时，ℎ2的变化情况是________________；
②当x 的范围是________________时，ℎ1与ℎ2有交点（用所给的数据表示）；
③你还能从图象中获得哪些信息，请写出一个；
(2)小睿说，我们组不用继续实验了，我能算出当𝑥= 600时，𝑎= 15；小智说，我也能算出当𝑥= 600时，
𝑏= 14．判断他们的说法是否正确，并说明理由．
5．（25-26 八年级下·北京密云·期末）如图是我国传统计重工具杆秤，其称重原理是通过移动秤砣在秤杆上
的位置，使秤杆保持水平，从而读取物品的重量．秤砣到提纽的水平距离𝑥（厘米）与秤钩所挂物体重量𝑦
（斤）满足函数关系．某兴趣小组对实验室中的杆秤进行称重实验，得到以下6组数据：
𝑥/厘米
4
12
16
24
28
36
𝑦/斤
0
1
1.5
2.5
3
4
(1)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中画出这个函数的图象；
34 / 35
学科网（北京）股份有限公司
(2)选出最符合实际的函数模型，求出这个函数的解析式；
(3)实验中当秤杆上秤砣到提纽的水平距离为42厘米时，则秤钩所挂物体的重量为__________斤．
(4)若此次实验的杆秤最大称重重量是6斤，直接写出秤砣到提纽的水平距离𝑥的取值范围__________．
6．（25-26 八年级下·广东广州·期末）如图，直线𝑙1：𝑦=
1
3 𝑥+ 2与𝑙2：𝑦= 𝑛𝑥+ 6交于点𝐴(3, 𝑚)，𝑙1，𝑙2与
𝑦轴分别交于点𝐵，𝐶．
(1)求𝑛的值；
(2)关于𝑥的不等式
1
3 𝑥+ 2 > 𝑛𝑥+ 6的解集为 ；
(3)𝑙2上是否存在点𝑃，使得𝑆△𝐶𝐵𝑃=
1
2 𝑆△𝐴𝐶𝐵．若存在，请求出点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（25-26 八年级下·四川达州·期末）如图1，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑦= 𝑘𝑥+ 3分别交x 轴，y 轴
于点A，点B，且
𝑂𝐴
𝑂𝐵=
4
3．
(1)求k 的值；
(2)若点C 为线段𝑂𝐵上一点，连接𝐴𝐶，将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐶折叠，使点B 落在x 轴的点𝐵′处，求点C 的坐标；
(3)如图2，作𝑂𝐷⊥𝐴𝐵，点E 为直线𝐴𝐵上一动点，点F 为y 轴上一动点，是否存在以O，E，F 为顶点的
三角形与△𝑂𝐷𝐸全等？若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
8．（25-26 八年级下·四川凉山·期末）阅读与理解
35 / 35
学科网（北京）股份有限公司
【阅读材料】
一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏(𝑘≠0)的图象是一条直线，通常也称为直线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏，其中𝑘称为直线的斜率，若直
线𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏上有两点𝐴(𝑥1,𝑦1)和𝐵(𝑥2,𝑦2),则𝑘=
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1．特别地，当直线𝑦1 = 𝑘1𝑥+ 𝑏1与直线𝑦2 = 𝑘2𝑥+
𝑏2互相垂直时，𝑘1 ⋅𝑘2 = −1．
【理解运用】
(1)已知点𝐸(2,3)，𝐹(𝑚, 5)，其中m 为常数，且𝑚≠2．若直线𝐸𝐹与直线𝑦=
1
3 𝑥−2垂直，求𝑚的值；
(2)判定点𝐴(1,2)，𝐵(2,5)，𝐶(4,1)三点构成的△𝐴𝐵𝐶是否是直角三角形？并说明理由．
迁移创新
1．（25-26 八年级下·吉林·期末）如图，射线𝐴𝐵所对应的函数解析式为𝑦= −2𝑥−2(𝑥≤0)，点𝐴在𝑦轴上，
点𝐵在𝑥轴上，点𝐶的坐标为(2,0)，作射线𝐴𝐶．
(1)点A 的坐标为_______，点B 的坐标为______；
(2)求射线𝐴𝐶所对应的函数解析式，不要求写出x 的取值范围；
(3)将射线𝐴𝐵，𝐴𝐶所组成的图形记为图象𝑉，动点𝑃在图象𝑉上，其横坐标为𝑚．将图象𝑉在点𝑃与点𝐵之间
部分（包括点𝑃和点𝐵）的最高点与最低点的纵坐标的差记为𝑛．
①当𝑚= −3时，𝑛=_______；当𝑚= 1时，𝑛=_______；
②当𝑛= 3时，直接写出𝑚的值；
③当2𝑛−𝑚> 3时，直接写出𝑚的取值范围．
2．（25-26 八年级下·河南安阳·期末）2026 年5 月24 日，神舟二十三号载人飞船发射成功，三名航天员于
次日5 时13 分进驻“天宫”，中国航天员完成第12 次“太空会师”．航天事业的蓬勃发展，促进了航天文创
产品的销售．某商店售卖A，B 两款航天文创产品，已知购买一个A 款航天文创产品和一个B 款航天文创
产品共需130 元，购买一个A 款航天文创产品比购买两个B 款航天文创产品少花费20 元．
(1)求A，B 两款航天文创产品的单价．
(2)若某研学团队欲购买A，B 两款航天文创产品共50 个，且A 款航天文创产品的数量不少于B款航天文创
产品数量的
3
2倍．该研学团队购买A，B 两款航天文创产品各多少个，可使得总花费最低？最低花费是多少
元？
