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专题01 三角形中的线与角的六类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用三角形中的三边关系化简
题型二、利用三角形中的中线求解
题型三、利用三角形中的高线求解
题型四、利用三角形中的角平分线求解
题型五、利用三角形中的折叠求解
题型六、利用三角形中的内外角关系求解
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：涉及角平分线、中线、高线、中垂线及内角和、外角定理，常与平行线、折叠结合求角度或
线段长。
- 解题方法：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和；角平分线+平行出等腰；中线倍长构造全等；
高线注意直角三角形分拆；中垂线转化等距。
- 易错提醒：外角定理误用为相邻外角；高线可能在三角形外部（钝角三角形）；角平分线性质定理需对
应比例线段；忽视“三角形三边关系”隐含条件。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用三角形中的三边关系化简
典例1．
（25-26 八年级上·陕西延安·期末）已知a 、b 、c 分别是ABC
的三边长，化简：|
|
|
|
a
b
c
a
c
b
+
−
−
−−
．
【答案】2
2
a
c
−
【分析】根据三角形的三边关系，可得
0
a
b c
+ −
，
0
a
c b
−−
，再根据绝对值的性质，化简合并即可．
【详解】解：a 、b 、c 分别是ABC
的三边长，
0
a
b c
+ −
，
0
a
c b
−−
，
目 录
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|
|
a
b
c
a
b
c
+
−
=
+
−，
(
)
|
|
a
c
b
a
c
b
−−
= −
−−
，
则原式
(
)
a
b
c
a
c
b
=
+
−−−
−−
(
)
a
b
c
a
c
b
=
+
−+
−−
a
b
c
a
c
b
=
+ −+
−−
2
2
a
c
=
−
．
题型模版
1.特征：利用两边之和大于第三边等性质，判断线段能否构成三角形或进行范围限定。
2.方法：根据三角形三边关系列出不等式组，消去绝对值或化简含绝对值的代数式，确定变量范围。
变式1-1．（25-26 八年级上·贵州安顺·阶段检测）已知ABC
的三边长是a，b，c．
(1)若
6
a =
，
8
b =
，求c的取值范围；
(2)化简a
b
c
c
a
b
+
−
−
−
+
．
【答案】(1) 2
14
c
(2)2
2
2
a
b
c
+
−
【分析】本题考查三角形的三边关系，化简绝对值，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）根据三角形的三边关系，进行求解即可；
（2）根据三角形的三边关系和绝对值的意义，进行化简即可．
【详解】（1）解：
ABC
的三边长为a ，b ，c ，且
6
a =
，
8
b =
，
8 6
8
6
c
−
+ ，
即2
14
c
．
故答案为：2
14
c
；
（2）解：, ,
a b c 是ABC
的三边长，
∴a
b
c
+
，则
0
a
b c
+ −
，
0
c
a b
−−
原式(
) (
)
a
b
c
a
b
c
=
+
−
+
+
−
a
b
c
a
b
c
=
+ −+
+ −
2
2
2
a
b
c
=
+
−
．
变式1-2．（25-26 八年级上·安徽·期末）已知ABC
的三边长分别为a，b，c．
(1)化简：
2
a
b
c
b
c
a
a
b
c
−
−
−
−−
+
+
−
；
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(2)若
6
a =
，
3
b =
，且c 为整数，求ABC
周长的最大值及最小值．
【答案】(1) 2
4
2
a
b
c
−
+
−
；
(2) ABC
周长的最大值是17，最小值是13
【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键．
（1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最
简结果；
（2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值．
【详解】（1）解：①∵ABC
的三边长分别为a，b，c，
∴a
b
c
+ ＞，b
c
a
+ ＞，a
c
b
+ ＞，
∴
(
)
(
) (
)
2
2
c
a
a
b
c
b
c
c
a
a
b
b
b
c
a
a
b
c = −
−
−
+
−−
−
+
−
−
−
−−
+
+
−
+
2
2
2
2
4
2
a
b
c
b
c
a
a
b
c
a
b
c
= −+ + +
−
−
+ + −= −
+
−
；
（2）∵
6
a =
，
3
b =
，
∴根据三角形三边关系可知6 3
6 3
c
−
+
＜＜
，
∵c 为整数，
∴当
8
c = 时，ABC
的周长为最大，即为6 8 3 17
+ + =
；
当
4
c =
时，ABC
的周长为最小，即为6
4 3 13
+ + =
；
综上所述，ABC
周长的最大值是17，最小值是13．
变式1-3．（25-26 八年级上·全国·期末）已知ABC
的三边长为a ，b ，c ，且a ，b ，c 都是整数．
(1)若
2
a =
，
5
b =
，且c 为奇数，求ABC
的周长．
(2)化简：a
c
b
b
c
a
a
b
c
−+
−
−−
−
+
+
．
【答案】(1)12
(2)
3
a
b
c
−+ −
【分析】本题主要考查了三角形三边关系、绝对值的化简及整数的应用，熟练掌握三角形三边关系（两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边）是解题的关键．
（1）根据三角形三边关系确定c 的取值范围，结合c 是奇数求出c 的值，再计算周长．
（2）根据三角形三边关系判断绝对值内式子的正负，去掉绝对值符号后化简．
【详解】（1）解：∵三角形三边关系为b
a
c
b
a
−
+
，
2
a =
，
5
b =
，
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∴5 2
5
2
c
−
+
，即3
7
c
．
∵c 是奇数，
∴
5
c =
．
∴ABC
的周长
2 5 5 12
=
+ + =
．
（2）解：∵三角形三边关系为a
b
c
+
，a
c
b
+
，
∴
0
a
c
b
a
b c
−+
=
+ −
，
(
)
0
b
c
a
b
a
c
−−
=
−
+
，
0
a
b
c
+ +
．
∴a
c
b
b
c
a
a
b
c
−+
−
−−
−
+
+
(
)
(
)
(
)
a
b
c
b
c
a
a
b
c
=
+
−
−−
−−
−
+
+
a
b
c
b
c
a
a
b
c
=
+ −+ −−−−−
3
a
b
c
= −+ −
．
题型二、利用三角形中的中线求解
典例2．
（25-26 七年级下·山西临汾·期末）如图，CD、CE 分别是ABC
的高和中线，若
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
90
ACB
=
(1)求CD的长
(2)求BCE
与
ACE
△
的周长差
【答案】(1) 60 cm
13
(2)7cm
【分析】( )
1 根据三角形的面积公式解答即可；
( )
2 利用三角形中线的定义可得AE
BE
=
，即得BCE
的周长
ACE
−
的周长
BC
AC
=
−
，代入已知数据即可
求解．
【详解】（1）解：∵CD是ABC
的高，
90
ACB
=
，
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∴
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
=
=
，
∵
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
∴1
1
13
5 12
2
2
CD
=
，
∴
60 cm
13
CD =
；
（2）解：∵CE 是ABC
的中线，
∴AE
BE
=
，
∴BCE
的周长
ACE
−
的周长
(
)
BC
CE
BE
AC
CE
AE
=
+
+
−
+
+
BC
AC
=
−
12 5
=
−
7cm
=
．
题型模版
1.特征：已知三角形中线长度或位置，求边长、面积或角度，常涉及倍长中线构造全等。
2.方法：倍长中线构造平行四边形或全等三角形，利用全等性质及勾股定理建立边角关系求解。
变式2-1．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC
中，AD为BC 边上的中线．
（1）若ABD
的周长比ACD
的周长大4，
14
AB
AC
+
=
，则AC =___________；
（2）若ABC
的面积为17，则ACD
的面积为___________；
（3）若
6
BC =
，
4
AD =
，则ABC
的面积的最大值为___________．
【答案】 5 8.5 12
【分析】（1）先得出BD
CD
=
，再根据三角形的周长公式可得
4
AB
AC
−
=
，与
14
AB
AC
+
=
联立求解即可；
（2）根据三角形的中线性质即可得；
（3）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，先求出ABC
的面积为3AE，再根据垂线段最短求出AE 的最大值即可．
【详解】解：（1）∵在ABC
中，AD为BC 边上的中线，
∴BD
CD
=
，
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∵ABD
的周长比ACD
的周长大4，
∴(
) (
)
4
AB
AD
BD
AC
AD
CD
+
+
−
+
+
=
，
∴
4
AB
AD
BD
AC
AD
BD
+
+
−
−
−
=
，即
4
AB
AC
−
=
，
∵
14
AB
AC
+
=
，
∴联立
4
14
AB
AC
AB
AC
−
=
+
=
，
解得
9
5
AB
AC
=
=
．
（2）∵在ABC
中，AD为BC 边上的中线，且ABC
的面积为17，
∴
1
1 17
8.5
2
2
ACD
ABD
ABC
S
S
S
=
=
=
=
．
（3）如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，
∵
6
BC =
，
∴ABC
的面积为1
3
2 BC AE
AE
=
，
∴要使得ABC
的面积最大，则需AE 的值最大，
由垂线段最短可知，AE
AD
（当且仅当点
,
D E 重合时，等号成立），
∵
4
AD =
，
∴
4
AE
，
∴AE 的最大值为4，
∴ABC
的面积的最大值为3 4
12
=
．
变式2-2．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在ABC
中，
2
AB =
，
4
BC =
，则ABC
的高AD与CE 的比是多少？
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(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图2 ，
若ABC
中，D 是边BC 上的点，则
ABD
ACD
S
BD
S
CD
=
△
△
．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(3)如图3，ABC
中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AD与BE交于点O．若BD
CD
=
，
2
AE
CE
=
，
请直接写出AO
AD 的值．
【答案】(1)
1
2
AD
CE =
(2)猜想正确，
证明：如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，
∴
1
2
ABD
S
BD AE
=
△
，
1
2
ACD
S
CD AE
=
△
．
∴
1
2
1
2
ABD
ACD
BD AE
S
BD
S
CD
CD AE
=
=
．
(3) 4
5
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出2AD
CE
=
，即可求解；
（2）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，根据三角形的面积公式，分别表示出ABD
、ACD
的面积，再求比值，
即可求解；
（3）连接CO，设
COE
S
a
=
，
COD
S
b
=
，根据已知条件，分别得出
2
2
AOE
COE
S
S
a
=
=
△
△
，
BOD
COD
S
S
b
=
=
△
△
，
结合图形分别求得AOB
，ABD
的面积，进而根据
AOB
ABD
S
AO
AD
S
=
△
△
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AB CE
=
=
，
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∴1
1
4
2
2
2
AD
CE
=
，
∴2AD
CE
=
，
∴
1
2
AD
CE =
．
（2）略
（3）连接CO，
设
COE
S
a
=
，
COD
S
b
=
．
∵
2
AE
CE
=
，
∴
2
2
AOE
COE
S
S
a
=
=
△
△
，
∵BD
CD
=
，
∴
BOD
COD
S
S
b
=
=
△
△
．
∴
2
3
ABD
ACD
AOE
COE
COD
S
S
S
S
S
a
a
b
a
b
=
=
+
+
=
+
+
=
+
△
△
△
△
△
．
∴
3
3
AOB
ABD
BOD
S
S
S
a
b
b
a
=
−
=
+ −
=
△
△
△
．
∵
2
AE
CE
=
，
∴
2
ABE
BCE
S
S
=
△
△
．即
(
)
2
AOB
AOE
BOD
COD
COE
S
S
S
S
S
+
=
+
+
△
△
△
△
△
，
∴
(
)
3
2
2
a
a
b
b
a
+
=
+
+
，
∴
3
4
b
a
=
．
∴
3
4
BOD
S
a
=
△
，
3
15
3
4
4
ABD
S
a
a
a
=
+
=
△
．
∴
3
4
15
5
4
AOB
ABD
S
AO
a
AD
S
a
=
=
=
△
△
．
∴AO
AD 的值为4
5 ．
变式2-3．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
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发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状
态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，AD是ABC
的中线，则ABD
与ACD
的面积关系为：
ABD
S
_______
ACD
S
（填>、<或=）；
(2)如图③，点G 是ABC
的重心，猜想BFG
与CEG
的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点G 是ABC
的重心，三条中线AD、BE、CF 分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，求DG
AG
的值；
(4)如图④，点G 是ABC
的重心，且BD
CE
⊥
，若
6
BD =
，
4
CE =
，求四边形AEGD 的面积．
【答案】(1) =
(2)
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
，理由如下：
点G 是ABC
的重心，
1
1
,
2
2
BF
AF
AB AE
EC
AC
=
=
=
=
，
BCF
和ABC
同高，设高为H ，
1
1
1
1
2
2
2
2
BCF
ABC
S
BF
H
AB H
S
=
=
=
，
同理得
1
2
BCE
ABC
S
S
=
，
∴
1
2
BCE
ABC
BCF
S
S
S
=
=
，
BCF
BGC
BCE
BGC
S
S
S
S
−
=
−
，
∴
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
；
(3)
1
2
DG
AG =
(4)
16
3
AEGD
S
=
四边形
【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算：
（1）根据ABC
的中线得到BD
CD
=
，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论；
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（2）根据题干中关于重心的定义得
1
1
,
2
2
BF
AB EC
AC
=
=
，由于ABC
和BCF
同高，ABC
和BCE
同高，
得出
1
2
BCF
BCE
ABC
S
S
S
=
=
，去掉公共三角形BGC
，即可得到BFG
与CEG
的面积相等；
（3）根据题干中关于重心的定义得
1
2
BD
DC
BC
=
=
，利用三角形面积公式得
1
2
ADC
ABC
BCE
S
S
S
=
=
，去掉
公共部分，得
BDG
AEG
S
S
=
，利用三角形等底同高得
BDG
GDC
S
S
=
，
EG
CGE
A
S
S
=
△
△
，即可得出结论；
（4）连接AG 交BC 于点M ，先求出
BGC
S
，通过各三角形底边之间的关系，得到
AEG
BGM
S
S
=
、
ADG
CGM
S
S
=
，
进而求出四边形AEGD的面积．
【详解】（1）解：
AD
是三角形ABC 的中线，
BD
CD
=
，
ABD
和ACD
的底边分别是BD和CD，它们共用同一个顶点A，
它们的高相等，设为h ，
1
1
2
2
ABD
ACD
S
BD h
DC h
S
=
=
=
．
（2）解：
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
，理由略．
（3）解：点G 是ABC
的重心，
1
2
BD
DC
BC
=
=
，
ADC
和ABC
同高，设高为a ，
1
1
1
1
2
2
2
2
ADC
ABC
S
CD a
BC a
S
=
=
=
，
1
2
ADC
ABC
BCE
S
S
S
=
=
，
∴
BDG
AEG
S
S
=
，
同理：
,
BDG
GDC
等底同高，
,
CGE
AEG
等底同高，
BDG
GDC
S
S
=
，
EG
CGE
A
S
S
=
△
△
，
∴
2
GDC
AGC
S
S
=
△
△
，
∴
1
2
DG
AG =
．
（4）解：如图，连接AG 交BC 于点M ，
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G
是ABC
的重心，
由（3）可得出，
1
2
DG
GM
BG
AG
=
=
，AE
BE
=
，AD
DC
=
，
设DG
x
=
，
2
BG
x
=
，
∴
2
2
2
3
BG
BG
x
BD
BG
GD
x
x
=
=
=
+
+
，
同理得
2
3
CG
AG
CE
AM
=
=
，
1
3
GM
AM
AG
AM
AM
−
=
=
，
∵
6
BD =
，
4
CE =
，
∴
8
4
3
BG
CG
=
=
，
，
∵BD
CE
⊥
，
∴
1
1
8
16
4
2
2
3
3
BGC
S
BG CG
=
=
=
，
,
AGE
ABG
同高，
设它们的高为b ，
1
2
AEG
S
AE b
=
，
1
2
ABG
S
AB b
=
，且
1
2
AE
BE
AB
=
=
，
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ABG
AEG
S
AB b
AE b
AE b
S
=
=
=
=
，
ABG
、BGM
和ABM
同高，设高为c ，
1
2
ABG
S
AG c
=
，
1
2
BGM
S
GM
c
=
，
1
2
ABM
S
AM
c
=
，
2
3
AG
AM =
，
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
2
3
ABG
ABM
S
AG c
AM
c
AM
c
S
=
=
=
=
，
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
3
3
BGM
ABG
ABM
ABM
S
GM
c
AG c
S
S
S
=
=
=
=
=
，
2
ABG
AEG
S
S
=
，
1
1
2
1
2
2
3
3
AEG
ABG
ABM
ABM
BGM
S
S
S
S
S
=
=
=
=
，
同理可得，
ADG
CGM
S
S
=
，
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∴
16
3
AEG
ADG
BGM
CGM
BGC
AEGD
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
=
四边形
．
题型三、利用三角形中的高线求解
典例3．
（25-26 七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形ABC 中，
90
C
=
，
3cm
AC =
，
4cm
BC =
，
5cm
AB =
．
(1)点A到直线BC 的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________cm．
(2)画出表示点C 到直线AB 的距离的线段，并求这个距离．
【答案】(1) AC ，3
(2)图见解析，12 cm
5
【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答；
（2）作CD
AB
⊥
于点D ，则垂线段CD的长度就是点C 到直线AB 的距离，再利用等积法即可求出CD的长．
【详解】（1）解：∵
90
C
=
，
3cm
AC =
，
∴AC
BC
⊥
，
∴点A到直线BC 的距离是垂线段AC 的长度，该长度是3cm ；
（2）解：如图，作CD
AB
⊥
于点D ，则垂线段CD的长度就是点C 到直线AB 的距离，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
△
，
∴
(
)
3 4
12 cm
5
5
AC BC
CD
AB
=
=
=
．
题型模版
1.特征：已知三角形高线（或垂足位置），求边长、面积或角度，常涉及直角三角形与勾股定理。
2.方法：利用高线构造直角三角形，结合已知边角与勾股定理（或面积法），列方程求解未知量。
变式3-1．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）如图，AD、BE分别是ABC
的高线、中线，若
8
ABE
S
=
，
8
BC = ，则高线AD长为________．
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【答案】4
【分析】因为BE是ABC
的中线，所以中线将三角形分成面积相等的两个三角形，可根据
ABE
S
求出
ABC
S
．因
为AD是BC 边上的高线，所以三角形面积公式为
1
2
ABC
S
BC
AD
=
，将已知的
ABC
S
和BC 的长度代入公
式，即可求解AD的长度．
【详解】解：∵BE是ABC
的中线，
8
ABE
S
=
，
∴
2
2 8
16
ABC
ABE
S
S
=
= =
．
∵AD是BC 边上的高线，
∴
1
2
ABC
S
BC AD
=
，
将
16
ABC
S
=
、
8
BC = 代入，
得
1
16
8
2
AD
=
，
解得
4
AD =
．
变式3-2．（25-26 八年级上·山东日照·期末）在ABC
中，AB
AC
=
，D 为直线BC 上任意一点，连接AD，
DE
AB
⊥
于点E ，DF
AC
⊥
于点F ，BG
AC
⊥
于点G ．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明DE ，DF ，BG 之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：
ABC
S
=
__________
ACD
S
+
．
1
1
2
2
AC BG
AB DE
=
+__________．
AB
AC
=
∵
，
__________．
(2)如图1，当点D为BC 中点时，试判断BG 与DE 的数量关系__________．
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(3)如图2，当点D在BC 的延长线上时，请猜想DE ，DF ，BG 之间的数量关系并证明．
【答案】(1) BG
DE
DF
=
+
；
ABD
S
；1
2 AC DF
；BG
DE
DF
=
+
(2)
2
BG
DE
=
(3) DE
BG
DF
=
+
；证明见解析
【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；
（2）由点D 为BC 中点，得到1
1
2
2
AB DE
AC DF
=
，结合AB
AC
=
，推出DE
DF
=
，然后结合BG
DE
DF
=
+
即可作答；
（3）同（1）的方法求解．
【详解】（1）解：BG
DE
DF
=
+
；
证明：
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
△
△
△
，
1
1
1
2
2
2
AC BG
AB DE
AC DF
=
+
，
AB
AC
=
∵
，
BG
DE
DF
=
+
∴
；
（2）解：点D为BC 中点，
∴
ABD
ACD
S
S
=
1
1
2
2
AB DE
AC DF
=
，
AB
AC
=
∵
，
DE
DF
=
；
BG
DE
DF
=
+
，
2
BG
DE
=
；
（3）解：DE
BG
DF
=
+
，理由如下：
=
+
ABD
ABC
ACD
S
S
S
，
1
1
1
2
2
2
AB DE
AC
BG
AC
DF
=
+
，
AB
AC
=
∵
，
∴DE
BG
DF
=
+
．
变式3-3．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究
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(1)如图1，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
3,
4,
5,
ACB
BC
AC
AB
CD
AB
=
=
=
=
⊥
，则CD的长为_____．
(2)如图2，在ABC
中，
6
AB =
，
3
BC = ，CD，AE 为ABC
的高，试分析CD，AE 的数量关系．
(3)如图3，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，点D ，P 分别在边AB ，AC 上，且BP
AP
=
，
,
DE
BP DF
AP
⊥
⊥
，
垂足分别为
,
E F ．若BC
m
=
，求DE
DF
+
的值（用含m 的代数式表示）．
【答案】(1)
12
5
CD =
(2)
:
1:2
CD AE =
(3)m
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于
中考常考题型．
（1）利用面积法求出CD即可．
（2）利用面积法求出高CD与AE 的比即可．
（3）利用面积法求出DE
DF
BC
+
=
，可得结论．
【详解】（1）解：在Rt
ABC
△
中，
90 ,
3,
4,
5,
ACB
BC
AC
AB
CD
AB
=
=
=
=
⊥
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
，
4 3
12
5
5
CD
=
=
；
（2）解：
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
BC AE
=
=
，
1
1
6
3
2
2
CD
AE
=
，
2CD
AE
=
，
:
1:2
CD AE
=
；
（3）解：
1
2
ABP
S
AP BC
=
△
，
1
2
ADP
S
AP DF
=
△
，
1
2
BDP
S
BP DE
=
△
，
ABP
ADP
BDP
S
S
S
=
+
△
△
△
，
1
1
1
2
2
2
ABP
S
BP DE
AP DF
AP BC
=
+
=
△
，
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又
BP
AP
=
，
1
1
1
2
2
2
AP DE
AP DF
AP BC
+
=
，
即DE
DF
BC
m
+
=
=
．
题型四、利用三角形中的角平分线求解
典例4．（25-26 八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在ABC
中，BE是角平分线，点D 在边AB 上（不与
点A，B 重合），CD与BE交于点O．
(1)若CD是中线，
7,
5
BC
AC
=
=
，则BCD
与ACD
的周长差为______．
(2)若
64
ABC
=
，CD是ABC
的高，求
BOC
的度数．
【答案】(1)2
(2)122
【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余：
（1）根据三角形中线的定义可得AD
BD
=
，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得
1
32
2
ABE
ABC
=
=
，再由三角形高的定义可得
90
BDC
=
，从而得到
90
58
BOD
ABE
=
−
=
，即可求解．
【详解】（1）解：∵CD是ABC
的中线，
∴AD
BD
=
，
∵
7,
5
BC
AC
=
=
，
∴BCD
与ACD
的周长差为(
) (
)
2
BC
CD
BD
AC
CD
AD
BC
AC
+
+
−
+
+
=
−
=
；
（2）解：∵BE是角平分线，
64
ABC
=
，
∴
1
32
2
ABE
ABC
=
=
，
∵CD是ABC
的高，
∴
90
BDC
=
，
∴
90
58
BOD
ABE
=
−
=
，
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∴
180
122
BOC
BOD
=
−
=
．
题型模版
1.特征：已知角平分线，求边长比例或角度，常涉及角平分线定理、面积法或全等构造。
2.方法：利用角平分线定理（对边比等于邻边比）列比例；或作对称构造全等，结合等面积法求解。
变式4-1．（25-26 八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在ABC
中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点，
且
3
AC
CD
=
，
3
BE
EC
=
，连接BD、AE 交于点F
BAF
，
的平分线交BD于点G ，且
:
1:2
AF AB =
，若△AGB
的面积为16，则AGD
的面积为___________．
【答案】40
3
【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积比，熟练根据底边之比进行三角形面积的转换是解题
的关键．
连接CF ，根据角平分线的性质，可得点G 到AB 和AF 的距离相等，则可得AGF
的面积，再根据
3
AC
CD
=
，
得到
2
AD
CD
=
，进而求得
BFC
的面积，根据
3
BE
EC
=
求得BEF
和CEF
的面积，再根据
3
BE
EC
=
即
可求得
ACE
△
的面积，最后求得AFD
的面积，即可求得AGD
的面积，
【详解】解：由题意得AG 是
BAF
∠
的平分线，且
:
1:2
AF AB =
，
设点G 到AB 的距离为
1h ，到AF 的距离为
2h ，则
1
2
h
h
=
，
∵
1
1
16
2
AGB
S
AB h
=
=
，
2
1
2
AGF
S
AF
h
=
，
又∵
:
1:2
AF AB =
且
1
2
h
h
=
，
∴
1
8
2
AGF
AGB
S
S
=
=
，
∴
ABF
△
的面积为：
16
8
24
ABF
AGB
AGF
S
S
S
=
+
=
+ =
，
连接CF ，如下图，
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∵
3
AC
CD
=
，
∴
2
AD
CD
=
，
∴
2
AFD
DFC
S
S
=
，
2
ABD
CBD
S
S
=
△
△
，
∴
(
)
2
ABD
AFD
CBD
DFC
S
S
S
S
−
=
−
，
∴
2
ABF
BFC
S
S
=
，
∵
ABF
AGB
AGF
S
S
S
=
+
16 8
=
+
24
=
，
∴
12
BFC
S
=
，
又∵
3
BE
EC
=
，
∴
3
BEF
CEF
S
S
=
△
△
，
3
ABE
ACE
S
S
=
△
△
，
又∵
12
BFC
S
=
，
∴
3
9
4
BEF
BFC
S
S
=
=
，
1
3
4
CEF
BFC
S
S
=
=
，
∴
1
3
ACE
ABE
S
S
=
(
)
1
3
ABF
BFE
S
S
=
+
(
)
1
24
9
3
=
+
1 33
3
=
11
=
，
∴
AFC
AEC
CEF
S
S
S
=
−
11 3
=
−
8
=
∵
2
AFD
DFC
S
S
=
，
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∴
2
2
16
8
3
3
3
AFD
ACF
S
S
=
=
=
，
∴
16
40
8
3
3
AGD
AGF
ADF
S
S
S
=
+
= +
=
．
故答案为：40
3 ．
变式4-2．
（25-26 八年级上·江西上饶·期中）如图，AD是ABC
的高，CE 是△ABC 的角平分线，BF 是ABC
的中线．
(1)若
50
55
ACB
AEC
=
=
，
，求
BAD
的度数；
(2)若
15
BC =
，BCF
与
BAF
△
的周长差为6 ，求AB 的长．
【答案】(1)60
(2)9或21
【分析】（1）由三角形角平分线的定义得
1
25
2
BCE
ACB
=
=
，进而由三角形外角性质得
30
ABC
AEC
BCE
=
−
=
，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
（2 ）由三角形中线的定义得AF
CF
=
，即得到BCF
的周长
BAF
−
的周长
BC
AB
=
−
，进而得到
6
BC
AB
−
=
或
6
AB
BC
−
=
，据此即可求解；
本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点
是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
50
ACB
=
，CE 是
BC
△
的角平分线，
∴
1
25
2
BCE
ACB
=
=
，
∵
55
AEC
=
，
∴
55
25
30
ABC
AEC
BCE
=
−
=
−
=
，
∵AD是ABC
的高，
∴AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
90
30
60
BAD
ABC
=
−
=
−
=
；
（2）解：∵BF 是ABC
的中线，
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∴AF
CF
=
，
∵
BAF
△
的周长
AB
AF
BF
=
+
+
，BCF
的周长
BC
CF
BF
=
+
+
，
∴BCF
的周长
BAF
−
的周长
(
)
BC
CF
BF
AB
AF
BF
BC
AB
=
+
+
−
+
+
=
−
，
又∵BCF
与
BAF
△
的周长差为6 ，
∴
6
BC
AB
−
=
或
6
AB
BC
−
=
，
∵
15
BC =
，
∴
9
AB = 或
21
AB =
．
变式4-3．（25-26 八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度
数的4 倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为130 40 10
，，的三角形是“完美三
角形”．
【简单应用】如图①，
72
MON
=
，在射线OM 上找一点A，过点A 作AB
OM
⊥
交射线ON 于点B，以A
为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点C 不与点O，B 重合）．
（1）
ABO
=______°，
AOB
=______°，AOB
______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若
90
ACB
=
，求证：AOC
是“完美三角形”；
【应用拓展】如图②，点D 在ABC
的边AB 上，连接
,
DC DE 平分
ADC
，DE
BC
∥
．若BCD
是“完美
三角形”，请直接写出
B
的度数．
【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析
[应用拓展]30或80
【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可；
（2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可；
（3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出
CDE
BCD
ADE
B
=
=
= ，然后分两种情况进行讨论，
根据“完美三角形”的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵AB
OM
⊥
，
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∴
90
OAB
=
，
∴
90
90
72
18
ABO
MON
=
−
=
−
=
；
72
AOB
MON
=
=
；
∵72
18
4
=
，
∴AOB
是“完美三角形”；
故答案为：18，72，是；
（2）∵
90
ACB
=
，
∴
180
90
ACO
ACB
=
−
=
，
∴
90
90
72
18
OAC
AOC
=
−
=
−
=
，
∵72
18
4
=
，
∴AOC
是“完美三角形”；
（3）∵DE 平分
ADC
，
∴
ADE
CDE
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴
,
CDE
BCD
ADE
B
=
=
，
∴
CDE
BCD
ADE
B
=
=
= ，
根据“完美三角形”的定义得，
当
4
BDC
B
= 时，6
180
B
=
，
∴
30
B
=
；
当
4
B
BDC
=
时，9
180
BDC
=
，
∴
20
BDC
=
，
∴
4 20
80
B
=
=
；
∴
B
的度数为30或80．
题型五、利用三角形中的折叠求解
典例5．（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，ABC
是一张纸片，把
C
沿DE 折叠，使点C 落在点C的
位置．
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(1)当
45
C
=
时，求1
2
+的度数．
(2)若
C
=
，请直接写出1
2
+的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)90
(2)
2
【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为180”
是解题的关键．
（1）根据折叠性质，CDE
CDE
，故
45
C
C
=
=
，
CED
CED
=
，
CDE
C DE
=
；
（2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点C 沿DE 折叠落在点C，
∴CDE
CDE
，
在
CDE
△
中，
180
135
CED
CDE
C
+
=
−
=
，
1 180
2 CED
=
−
，
2
180
2 CDE
=
−
，
∴
(
)
1
2
360
2
360
2 135
90
CED
CDE
+ =
−
+
=
−
=
．
（2）解：由（1）可得：
(
)
1
2
360
2
CED
CDE
+ =
−
+
，
∵
C
=
，
∴
C
=
，
∴
180
CED
CDE
+
=
−
，
∴
(
)
1
2
360
2 180
2
+ =
−
−
=
．
题型模版
1.特征：三角形沿某直线折叠，出现重合边角，形成轴对称图形，求折痕或对应线段长度。
2.方法：利用折叠前后对应角、对应边相等，找出全等或等腰关系，勾股定理（常设未知数）建立方程求解。
变式5-1．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，
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E 分别在边AB，AC 上．将ABC
沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合．
(1)若
35 ,
60
B
C
=
=
，求
A
的度数．
(2)若
70
A
=
，求1
2
+的度数．
【答案】(1)85
(2)140
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的
内角和180是解决问题的关键．
（1）直接利用三角形的内角和求得答案即可；
（2）根据三角形的内角和等于180求出
ADE
AED
+
，再根据翻折变换的性质可得．
NDE
ADE
NED
AED
=
=
，
，然后利用平角等于180列式计算即可得解．
【详解】（1）解：
35
60
B
C
=
=
，
，
180
180
35
60
85
A
B
C
=
−−
=
−
−
=
．
（2）解：
70
A
=
，
180
70
110
ADE
AED
+
=
−
=
．
由题意，得
NDE
ADE
NED
AED
=
=
，
，
(
)
(
)
1
2
180
180
360
2 110
140
NDE
ADE
NED
AED
+ =
−
+
+
−
+
=
−
=
．
变式5-2．（24-25 八年级上·河南漯河·阶段检测）如图（1）所示， 把ABC
沿DE 折叠，
(1)当点C 落在四边形BCDE 内部时，
C
与1
、
2
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这
个规律，请你写出规律并证明你的规律．
(2)当点C 落在四边形AC 上方时，
C
与1
、
2
之间数量关系是 ．
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(3)当点C 落在四边形BC 下方时，
C
与1
、
2
之间数量关系是 ．
【答案】(1) 1
2
2 C
+=
，证明见解析
(2)
2
1
2 C
−=
(3) 1
2
2 C
−=
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由折叠的性质可得
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，由邻补角的定义可得1 180
2 CDE
=
−
，
2
180
2 CED
=
−
，由三角形内角和定理可得
180
CDE
CED
C
+
=
−
，由此计算即可得解；
（2）由折叠的性质可得
DEC
DEC
=
，CDE
C DE
=
，从而得出1
2
180
CDE
=
−
，2
180
2 CED
=
−
，
由三角形内角和定理可得
180
CDE
CED
C
+
=
−
，由此计算即可得解；
（3）由折叠的性质可得
DEC
DEC
=
，CDE
C DE
=
，从而得出1 180
2 CDE
=
−
，2
2
180
CED
=
−
，
由三角形内角和定理可得
180
CDE
CED
C
+
=
−
，由此计算即可得解．
【详解】（1）解：1
2
2 C
+=
，证明如下：
由折叠的性质可得：
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，
∴1 180
2 CDE
=
−
，
2
180
2 CED
=
−
，
∵
180
CDE
CED
C
+
+
=
，
∴
180
CDE
CED
C
+
=
−
，
∴
(
)
(
)
1
2
180
2
180
2
360
2
360
2 180
360
360
2
CDE
CED
CDE
CED
C
C
+ =
−
+
−
=
−
+
=
−
−
=
−
+
，即1
2
2 C
+=
；
（2）解：由折叠的性质可得：
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，
∴1
2
180
CDE
=
−
，
2
180
2 CED
=
−
，
∵
180
CDE
CED
C
+
+
=
，
∴
180
CDE
CED
C
+
=
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
1
180
2
2
180
360
2
360
2 180
360
360
2
2
CED
CDE
CDE
CED
C
C
C
−=
−
−
−
=
−
+
=
−
−
=
−
+
=
，即
2
1
2 C
−=
（3）解：由折叠的性质可得：
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，
∴1 180
2 CDE
=
−
，
2
2
180
CED
=
−
，
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∵
180
CDE
CED
C
+
+
=
，
∴
180
CDE
CED
C
+
=
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
1
2
180
2
2
180
360
2
360
2 180
360
360
2
2
CDE
CED
CDE
CED
C
C
C
−=
−
−
−
=
−
+
=
−
−
=
−
+
=
，即1
2
2 C
−=
．
变式5-3．（24-25 八年级上·江西·阶段检测）（1）如图1，若
90
A
=
；则1
2
+=_______；
（2）把三角形纸片ABC 顶角A 沿DE 折叠，点A 落到点A处，记
A DB
为1,
A EC
为
2
．
①如图2，
1,
2
与
A
的数量关系是_______；
②如图3，
1,
2
与
A
的数量关系是_______；
（3）如图4，把一个三角形纸片ABC 的三个顶角分别向内折叠之后，3 个顶点不重合，那么图中
1
2
3
4
5
6
+++++= _______．
【答案】（1）270；（2）①1
2
2 A
+= ，②1
2
2 A
−= ；（3）360
【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以
及三角形内角相加为180等知识即可推导出答案．
【详解】解：（1）∵
90
A
=
，∴
90
ABC
ACB
+
=
，
又∵
1
180 ,
2
180
ABC
ACB
+ =
+ =
，
∴1
2
360
ABC
ACB
+
=
++
，
∴1
2
270
+=
，
故答案为：270．
（2）①题图2 中，由折叠得
,
ADE
A DE
AED
A ED
=
=
，
∵
360 .
ADB
AEC
+
=
∴1
2
360
ADE
A DE
AED
A ED
+=
−
−
−
−
，
360
2
2
360
2(
)
360
2(180
)
2
ADE
AED
ADE
AED
A
A
=
−
−
=
−
+
=
−
−
= ，
故答案为：1
2
2 A
+= ．
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②题图3 中，∵1
2
AFD
A
AFD
A
=
+
=
+
，
，
∴1
2
A
A
=
++，由折叠得
A
A
= ，
∴1
2
2
A
= +，
∴1
2
2 A
−= ．
故答案为：1
2
2 A
−= ．
（3）由（2）知1
2
2 A
+= ，
同理得
3
4
2 B
+= ，
5
6
2 C
+=
，
∴1
2
3
4
5
6
2
2
2
A
B
C
+++++= + +
2(
)
A
B
C
=
+ +
360
=
．
故答案为：360．
题型六、利用三角形中的内外角关系求解
典例6．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）如图，AB
CD
∥
，CE 平分
ACD
交AB 于点E ，点F 在BA的延
长线上且
110
AFC
=
．
(1)证明：
ACE
CEA
=
．
(2)若
30
ACF
=
，求
DCE
的度数．
【答案】(1)证明：∵AB
CD
∥
，
DCE
CEA
=
．
CE
平分
ACD
，
DCE
ACE
=
，
ACE
AEC
=
；
(2)20
【分析】（1）首先由平行的性质可知
DCE
CEA
=
，然后根据角平分线的定义即可证明；
（2）首先由三角形的内角和求出
CAF
，然后根据平行线的性质求出
ACD
，进而由CE 平分
ACD
求出
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DCE
．
【详解】（1）略；
（2）在
ACF
△
中，
180
CAF
CFA
ACF
+
+
=
，
180
110
30
40
CAF
=
−
−
=
．
//
AB CD
，
40
CAF
ACD
=
=
．
CE
平分
ACD
，
1
1
40
20
2
2
DCE
ACD
=
=
=
．
题型模版
1.特征：已知三角形某外角与内角关系，或外角平分线，求角度，常涉及外角等于不相邻内角和。
2.方法：利用外角定理（等于不相邻两内角和）及邻补角关系，设未知角列方程求解；或结合角平分线性质
推导。
变式6-1．
（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）如图，在ABC
中，OA、OB 、OC 是三个内角的平分线，OD
OB
⊥
交BC 于点D ．
(1)若
40
ABC
=
，求
ODC
的度数；
(2)判断
AOC
与
ODC
的数量关系并说明理由．
【答案】(1)110
(2)
AOC
ODC
=
，
证明：设
ODC
=
，
∴
90
OBD
ODC
BOD
=
−
=
−
，
∴
2
2
180
ABC
OBD
=
=
−
，
∴
180
360
2
BAC
BCA
ABC
+
=
−
=
−
，
∵OA平分
BAC
，OC 平分
BCA
，
∴
1
1
,
2
2
OAC
BAC
OCA
BCA
=
=
，
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∴
(
)
1
180
2
OAC
OCA
BAC
BCA
+
=
+
=
−
，
∴
(
)
180
AOC
OAC
OCA
=
−
+
=
∴
AOC
ODC
=
．
【分析】（1）根据角平分线可知
OBD
，进而由三角形的外角即可求解；
（2）设
ODC
=
，根据角平分线以及三角形的内角关系即可求解．
【详解】（1）解：∵OB 平分
ABC
，
40
ABC
=
，
∴
1
20
2
OBD
ABC
=
=
，
∵OD
OB
⊥
∴
90
BOD
=
∴
110
ODC
BOD
OBD
=
+
=
（2）略
变式6-2．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，ABC
中，D 为AC 边上一点，过D 作DE
AB
∥
，交BC
于E ，F 为AB 边上一点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于G ，且
DFA
A
=．
(1) DE 平分
CDF
吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若
80
C
=
，
60
ABC
=
，求
G
的度数．
【答案】(1)是，
证明：∵DE
AB
，
∴
CDE
A
= ，
DFA
FDE
=
∠
∠
，
∵
DFA
A
=，
∴
CDE
FDE
=
，
∴DE 平分
CDF
；
(2)20
【分析】（1）根据DE
AB
得到
CDE
A
= ，
DFA
FDE
=
∠
∠
，结合
DFA
A
=，得到
CDE
FDE
=
即
可．
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（2）先求得
180
40
A
ABC
C
=
−
−
=
∠
∠
∠
，结合
BFG
DFA
A
=
= ，三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
80
C
=
，
60
ABC
=
，
∴
180
40
A
ABC
C
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∵
BFG
DFA
A
=
= ，
∴
40
BFG
=
，
∵
BFG
G
ABC
+
=
，
∴
60
40
20
G
ABC
BFG
=
−
=
−
=
．
变式6-3．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线MN
PQ
，点B 为直线PQ 上一定点，点C 为
直线MN 上的一个动点，连接BC ．在直线MN 、PQ 之间找点A使
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，设
ABP
=
，
ACM
=
．
(1)当
40
=
时，求的度数．
(2)与有怎样的数量关系？并给出证明．
(3)设
CAB
的角平分线AE 与MN 交于点E ，当
20
AEM
=
时，求．
【答案】(1)20
(2)
60
+
=
证明：过点A作AD
PQ
∥
，如图，
∵MN
PQ
，
∴MN
AD
PQ
，
∴
ABP
DAB
=
=
，
ACM
CAD
=
=
，
∵
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
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∴
60
CAB
=
，
∴
60
CAB
DAB
CAD
=
+
=
，
∴
60
CAB
ABP
ACM
=
+
=
+
=
，
∴
60
+
=
．
(3)10
【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可．
（2）根据平行线性质计算即可．
（3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可．
【详解】（1）解：过点A作AD
PQ
∥
，如图，
∴
ABP
DAB
=
=
，
∵
40
=
，
∴
40
ABP
DAB
=
=
，
∵
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
∴
60
CAB
=
，
∴
CAD
CAB
DAB
=
−
，
∴
60
40
20
CAD
=
−
=
，
∵MN
PQ
，AD
PQ
∥
，
∴MN
AD
，
∴
20
ACM
CAD
=
=
，
∵
ACM
=
，
∴
20
=
．
（2）略
（3）解：∵
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
∴
60
CAB
=
，
如图，
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∵AE 为
CAB
的角平分线，
∴
30
CAE
=
，
∵
20
AEM
=
，
∴
50
ACM
AEM
CAE
=
+
=
，
∵
ABP
=
，
ACM
=
，
∴
50
ACM
=
=
，
由（2）可知
60
+
=
，
∴
60
60
50
10
=
−
=
−
=
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c 是ABC
的三边长，则化简
|
|
|
|
|
2 |
a
b
c
b
c
a
c
a
b
+
−
+
−−
−
−
+
的结果为（ ）
A．3
2
3
a
b
c
−
−
B．3
2
a
b
c
−
−
C．
3
a
c
−
D．b
【答案】B
【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”判断每个绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号，合
并同类项即可得到化简结果．
【详解】∵a ，b ，c 是ABC
的三边长，
∴根据三角形三边关系可得 a
b
c
+
，a
c
b
+
，b
c
a
+
，
∴
0
a
b c
+ −
，
(
)
0
b
c
a
b
a
c
−−
=
−
+
，
(
)
2
0
c
a
b
b
c
a
b
−
+
=
+ −
+
，
∴|
|
|
|
|
2 |
a
b
c
b
c
a
c
a
b
+
−
+
−−
−
−
+
(
) (
) (
)
2
a
b
c
a
c
b
c
a
b
=
+
−
+
+
−
−
−
+
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2
a
b
c
a
c
b
c
a
b
=
+ −+
+ −−+
−
3
2
a
b
c
=
−
−．
2．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在ABC
中，AD为边BC 上的中线，DE
AC
⊥
．若
2
12cm
ABC
S
=
△
，
3cm
AC =
，则DE 的长为（ ）
A．2cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
【答案】C
【分析】根据三角形中线的性质可得
1
2
ACD
ABC
S
S
=
△
△
，再结合直角三角形面积公式
1
2
S =
底高，代入AC
与ACD
的面积，进而求出垂线段DE 的长度．
【详解】解：
AD
为边BC 上的中线，
BD
DC
=
，
2
1
6
2
ABD
ACD
ABC
S
S
S
cm
=
=
=
，
2
1
1 3
6
2
2
ADC
S
AC DE
DE
cm
=
=
=
，
4
DE
cm
=
．
3．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）如图，在ABC
中，已知点E、F 分别是AD、CE 边上的中点，且
2
4cm
BEF
S
=
△
，则
ABC
S
的值为（ ）
A．
2
8cm
B．
2
16cm
C．
2
24cm
D．
2
32cm
【答案】B
【分析】根据点E 、F 分别是AD、CE 的中点，得到
ABE
BED
S
S
=
△
△
，
ACE
DCE
S
S
=
△
△
，
1
2
BEF
BFC
BEC
S
S
S
=
=
，
继而得到
DBE
DCE
ABE
ACE
S
S
S
S
+
=
+
，解答即可．
【详解】解：根据点E 、F 分别是AD、CE 的中点，
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得到
ABE
BED
S
S
=
△
△
，
ACE
DCE
S
S
=
△
△
，
1
2
BEF
BFC
BEC
S
S
S
=
=
，
∴
DBE
DCE
ABE
ACE
S
S
S
S
+
=
+
，
∴
BEC
ABE
ACE
S
S
S
=
+
，
∴
2
ABC
BEC
ABE
ACE
BEC
S
S
S
S
S
=
+
+
=
，
2
4cm
BEF
S
=
，
∴
(
)
2
2
8 cm
BEC
BEF
S
S
=
=
，
∴
(
)
2
2
16 cm
ABC
BEC
S
S
=
=
．
4．（24-25 七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片ABC 中，
90
25
A
C
=
=
，
，点D 为AC 边上靠近点
C 处一定点，点E 为BC 边上一动点，沿DE 折叠三角形纸片，点C 落在点C处．
①如图1，当点C落在BC 边上时，
50
ADC
=
；
②如图2，当点C落在ABC
内部时，
50
ADC
BEC
+
=
；
③如图3，当点C落在ABC
上方时，
50
BEC
ADC
−
=
；
④当C E
AB
∥
时，
32.5
CDE
=
或∠CDE=122.5°，以上结论正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，综合运用相关知识是解题的关
键．
①如图1，当点C落在BC 边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点C落在
ABC
内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点C落在ABC
上方时，根据折叠性
质可得
,
,
=
=
=
C
DC E
CDE
C DE
DEC
DEC ，根据
−
BEC
ADC
(
)
180
2
2
180
CED
CDE
=
−
−
−
即可求解；④当C E
AB
∥
时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质
求解即可；
【详解】解：①如图1，当点C落在BC 边上时，
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根据折叠性质可得
,
,
=
=
=
C
DC C
CDE
C DE
DEC
DEC ，
∴
2
50
ADC
C
=
=
，故①正确；
②如图2，当点C落在ABC
内部时，
根据折叠性质可得
,
,
=
=
=
C
DC E
CDE
C DE
DEC
DEC
∴
+
ADC
BEC
(
)
180
2
CDC
CEC
=
−
+
(
)
360
2
CDE
CED
=
−
+
(
)
360
2 180
C
=
−
−
2 C
=
50
=
，故②正确；
③如图3，当点C落在ABC
上方时，；
根据折叠性质可得
,
,
=
=
=
C
DC E
CDE
C DE
DEC
DEC
∴
−
BEC
ADC
(
)
180
180
CEC
CDE
C DE
=
−
−
+
−
(
)
180
2
2
180
CED
CDE
=
−
−
−
(
)
360
2
CDE
CED
=
−
+
(
)
360
2 180
C
=
−
−
2 C
=
50
=
，故③正确；
④当C E
AB
∥
时，
∵
90
25
A
C
=
=
，
，
∴
180
65
B
A
C
=
−−
=
，
∵C E
AB
∥
，
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∴
65
CEC
B
= =
，
根据折叠性质可得
CED
CED
=
，
∴
1
32.5
2
CED
CEC
=
=
，
∴
180
180
25
32.5
122.5
CDE
C
CED
=
−−
=
−
−
=
；
当C E
AB
∥
时，
∵
90
25
A
C
=
=
，
，
∴
180
65
B
A
C
=
−−
=
∵C E
AB
∥
，
∴
65
BEC
B
= =
，
根据折叠性质可得
CED
CED
=
，
25
C
C
=
=
，
∴
65
25
90
DFC
BEC
C
=
+
=
+
=
，
∴
90
65
CDF
C
=
−
=
，
∴
1
32.5
2
CDE
CDC
=
=
；
综上
32.5
CDE
=
或
122.5
CDE
=
；故④错误；
故选：C．
二、填空题
5．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在ABC
中，
8
AB
AC
=
= ，该三角形的面积为20 ，O是
边BC 上任意一点，OE
AB
⊥
于点E ，OF
AC
⊥
于点F ，则OE
OF
+
等于________．
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【答案】5
【分析】根据ABC
的面积
ABO
=△
的面积
AOC
+
的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可．
【详解】解：如图所示：连接AO ，
∵
1
1
,
,
8,
20
2
2
AOB
AOC
ABC
AOB
AOC
S
AB OE S
AC OF AB
AC
S
S
S
=
=
=
=
=
=
+
，
∴1
1
20
2
2
AB OE
AC OF
+
=
，
∴1
1
8
8
20
2
2
OE
OF
+
=
，
∴4
4
20
OE
OF
+
=
，
∴
5
OE
OF
+
= ．
6．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图1，ABC
中，D 是AC 边上的点，先将ABD
沿着BD翻折，使
点A落在点A处，且
∥
A D
BC
，A B
交AC 于点E（如图2），又将BCE
沿着A B
翻折，使点C 落在点C
处，若点C恰好落在BD上（如图3），且
72
C EB
=
，则
C
= ______．
【答案】84
【分析】根据翻折，平行的性质得到
A
ABD
A BD
A BC
=
=
=
，结合题意得到
108
AEB
=
，在ABE
中，由三角形内角和定理得到
24
A
=
，最后在BCE
中由三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵先将ABD
沿着BD翻折，
∴
A
A
= ，
ABD
ABD
=
，
∵A D
BC
，
∴
A
A BC
=
，
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∵将BCE
沿着A B
翻折，使点C 落在点C处，点C恰好落在BD上，
∴
A BC
A BD
=
，
72
CEB
C EB
=
=
，
∴
A
ABD
A BD
A BC
=
=
=
，
∵
180
CEB
AEB
+
=
，
∴
180
180
72
108
AEB
CEB
=
−
=
−
=
，
在ABE
中，
180
A
ABD
A BD
AEB
+
+
+
=
，
∴3
180
A
AEB
+
=
，即3
108
180
A
+
=
，
解得，
24
A
=
，
∴
24
A BC
=
，
在BCE
中，
180
180
24
72
84
C
A BC
CEB
=
−
−
=
−
−
=
，
故答案为：84．
7．（25-26 七年级下·河北衡水·期中）如图，ABC
的面积为1．第一次操作：分别延长AB
BC
CA
，
，
至点
1
1
1
A
B
C
，，
，使
1
1
1
A B
AB
BC
BC
C A
CA
=
=
=
，
，
，顺次连接
1
1
1
A
B
C
，，
，得到
1
1
1
A BC
．第二次操作：分别延
长
1
1
1
1
1
1
A B
BC
C A
，
，
，至点
2
2
2
A
B
C
，，
，使
2
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
A B
A B
B C
BC
C A
C A
=
=
=
，
，
，顺次连接
2
2
2
A
B
C
，，
，得
到
2
2
2
A B C
，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026．
【答案】4
【分析】首先分析第一次操作后新三角形与原三角形的面积关系，利用等底同高的三角形面积相等，计算
每次延长后新增的3 个小三角形的面积，结合原三角形面积得到第一次操作后的总面积．同样得到第二次
操作后的总面积．因为每次操作的延长规则相同，所以相邻两次操作后的三角形面积是固定的倍数关系，
据此推导n 次操作后三角形面积的公式．令规律表达式的结果大于2026，解指数不等式得到最小的正整数
n．
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【详解】解：连接
1AC ，过点C 作CD
AB
⊥
于点D，过点
1A 作
1A E
BC
⊥
于点E，
∵
1
1
1
1
2
2
ABC
A BC
S
AB CD
S
AB CD
=
=
，
，且
1
AB
A B
=
，
∴
1
1
ABC
A BC
S
S
=
=
，
∵
1
1 1
1
1
1
1
1
2
2
C
A B C
A B
BC AE
S
BC AE
S
=
=
，
，且
1
BC
BC
=
，
∴
1
1 1
1
A BC
A B C
S
S
△
△
=
= ，
∴
1
1 1
1
1
2
A B
A B C
B B
C
A
S
S
S
=
+
=
．
同理可得，
1 1
1
2
2
C B C
AAC
S
S
=
=
，
，
∴第一次操作后，
1
1
1
A B C
△
的面积
1
1
1 3 2
7
7
S = +
=
=
．
连接
1
2
B C ，同理，
1 1
2
2 1
2
1 1 1
7
A B C
A B C
A B C
S
S
S
=
=
=
，
∴
1
2
2
1 1
2
2 1
2
14
A A C
A B C
A B C
S
S
S
=
+
=
，
同理
2 1
2
2
1
2
14
14
A B B
B C C
S
S
=
=
，
，
∴第二次操作后，
2
2
2
A B C
△
的面积
2
2
7
3 14
49
7
S =
+
=
=
．
按操作规律，每次操作后新三角形面积都是上一次的7 倍，
∴n 次操作后三角形面积为
7n
n
S =
．
∵
17
7
2026
=
，
2
7
49
2026
=
，
3
7
343
2026
=
，
4
7
2401
2026
=
，
∴最少经过4 次操作．
8．（25-26 七年级下·上海闵行·期中）设ABC
的面积为1．如图①，
1
E ，
1
D 分别是AC ，BC 的中点，
1
BE ，
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1
AD 相交于点
1
O ，
1
1
BO D
与
1
1
AO E
的面积差记为
1S ；如图②，
2
E ，
2
D 分别是AC ，BC 的3 等分点，
2
BE ，
2
AD 相交于点
2
O ，
2
2
BO D
与
2
2
AO E
的面积差记为
2
S ；如图③，3
E ，
3
D 分别是AC ，BC 的4 等分点，
3
BE ，
3
AD 相交于点
3
O ，
3
3
BO D
与
3
3
AO E
的面积差记为
3
S 依此类推，则
2026
S
的值为_____．
【答案】2025
2027
【分析】由题意可得
1
1
1 1
1
1
1
BO D
AO E
BCE
ACD
S
S
S
S
S
=
−
=
−
，再根据点
1
D ，
1
E 的位置，表示出相应的三角形的
面积，从而可得出相应的规律，即可求解．
【详解】解：由题意得：
1
1
1 1
1
1
1
BO D
AO E
BCE
ACD
S
S
S
S
S
=
−
=
−
，
∵
1
E ，
1
D 分别是AC ，BC 的中点，
1
1
2
BCE
ABC
S
S
=
，
1
1
2
ACD
ABC
S
S
=
，
1
1
1
0
BCE
ACD
S
S
S
=
−
=
．
同理可得：
2
2
2
2
1
1
1
3
3
3
3
BCE
ACD
ABC
ABC
ABC
S
S
S
S
S
S
=
−
=
−
=
=
．
则
3
3
1
4
4
S =
−
，
4
4
1
5
5
S =
−
，……，
1
1
1
1
1
n
n
n
S
n
n
n
−
=
−
=
+
+
+ ．
2026
2026 1
2025
2026 1
2027
S
−
=
=
+
．
三、解答题
9．（25-26 七年级下·上海浦东新·期中）如图，在ABC
中，AD平分
BAC
，P 为线段AD上的一个动点，
PE
AD
⊥
交BC 的延长线于点E．
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(1)若
75 ,
45
ACB
B
=
=
，求
E
的度数；
(2)当P 点在线段AD上运动时，猜想
B
ACB
、
与
E
的数量关系，并证明．
【答案】(1)15
(2)
(
)
1
2
E
ACB
B
=
−
；证明见解析
【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得
BAC
的度数，再根据角平分线的定义求得
BAD
的度数，
从而根据三角形的内角和定理即可求出
ADE
的度数，进一步求得
E
的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【详解】（1）解：∵
75 ,
45
ACB
B
=
=
，
∴
180
60
BAC
ACB
B
=
−
−=
，
∵AD平分
BAC
，
∴
1
30
2
BAD
CAD
BAC
=
=
=
，
∴
75
ADE
B
BAD
= +
=
，
∵PE
AD
⊥
，
∴
90
DPE
=
，
∴
90
15
E
ADE
=
−
=
；
（2）解：
(
)
1
2
E
ACB
B
=
−
；证明如下：
根据题意得：
180
BAC
ACB
B
=
−
−，
∵AD平分
BAC
，
∴
(
)
1
1
1
1
180
90
2
2
2
2
BAD
BAC
ACB
B
ACB
B
=
=
−
−
=
−
−
，
∴
1
1
1
1
90
90
2
2
2
2
ADE
B
BAD
B
ACB
B
ACB
B
=
+
=
+
−
−
=
−
+
，
∵PE
AD
⊥
，
∴
90
DPE
=
，
∴
(
)
1
1
1
90
90
90
2
2
2
E
ADE
ACB
B
ACB
B
=
−
=
−
−
+
=
−
，
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即
(
)
1
2
E
ACB
B
=
−
．
10．（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在ABC
中,
,
AB
AC P
=
是射线BC 上一点，过点P 作
,
PD
AB PE
AC
⊥
⊥
，垂足分别为
,
D E ，过点B 作BF
AC
⊥
，垂足为F，连接AP ．
(1)如图1，点P 在边BC 上，写出线段
,
,
PD PE BF 之间的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，点P 在BC 的延长线上．当
10,
5,
2
ABC
S
AB
PE
=
=
=
时，求线段PD的长．
【答案】(1) BF
PD
PE
=
+
，理由见解析
(2)6
【分析】本题考查了三角形的高及三角形面积公式的应用，解题的关键是通过分割（或拆分）三角形面积，
结合三角形的高推导线段间的数量关系．
（1）由题意得出
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
+
，则有1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PF
=
+
，再结合AB
AC
=
即可得出结
论；
（2）由题意得出
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
−
，则有1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PF
=
−
，再结合AB
AC
=
，得出
BF
PD
PE
=
−
，由三角形的面积求出BF 的长，最后即可得出答案．
【详解】（1）解：BF
PD
PE
=
+
，理由如下：
∵
,
,
PD
AB PE
AC BF
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
+
，即1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PE
=
+
，
∵AB
AC
=
，
∴BF
PD
PE
=
+
；
（2）解：∵
,
,
PD
AB PE
AC BF
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴
ABC
ABP
APC
S
S
S
=
−
，即1
1
1
2
2
2
AC BF
AB PD
AC PE
=
−
，
∵AB
AC
=
，
∴BF
PD
PE
=
−
．
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∵
10
S ABC =
，
∴1
·
10
2 AC BF =
，
∵
5
AC
AB
=
= ，
所以1 5
10
2
BF
=
，
整理得：5
20
BF =
，
解得
4
BF =
，
∴
4
2
6
PD
BF
PE
=
+
=
+
=
，
所以线段PD的长为6．
11．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度
数是另一个内角度数的3 倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数
分别是120，40，20，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么
这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3 倍．
(1)如图1，已知
60
MON
=
，在射线OM 上取一点A，作AB
OM
⊥
交ON 于点B ，以A为端点作射线AD，
交线段OB 于点C（点C 不与点O，B 重合）．若
80
ACB
=
，则AOB
_____“梦想三角形”，AOC
_____“梦
想三角形”（均填“是”或“不是”）；
(2)如图2，点D在ABC
的边AB 上，连接CD，DE 平分
ADC
交AC 于点E ，作EF
AB
交DC 于点F ，
B
DEF
=
．若BCD
是“梦想三角形”，求
B
的度数；
(3)如果一个“梦想三角形”有一个角为72，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______．
【答案】(1)是，是
(2)
B
的度数为36或540
7
(3)24或27
【分析】（1）根据三角形内角和为180分别求解出AOB
与AOC
中每个角度，判断是否存在“某个内角的
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度数是另一个内角度数的3 倍”即可；
（2）先由平行线的性质以及角平分线的性质得到
ADE
FDE
DEF
=
=
，再由平角的性质可得
BDC
，
根据三角形内角和为180以及“梦想三角形”的定义列式求解即可；
（3）先设出其余两个内角为,x y，再由三角形内角和为180以及“梦想三角形”的定义列式求解即可．
【详解】（1）解：∵AB
OM
⊥
，
∴
90
OAB
=
，
∵
60
MON
=
，即
60
AOB
=
，
∴
180
90
60
30
ABC
=
−
−
=
，
∵
3
OAB
ABC
=
，
∴AOB
是“梦想三角形”；
∵
80
ACB
=
，
∴
180
80
100
ACO
=
−
=
，
∴
180
100
60
20
OAC
=
−
−
=
，
∵
3
AOB
OAC
=
，
∴AOC
是“梦想三角形”；
（2）解：∵DE 平分
ADC
，
∴
ADE
FDE
=
，
∵EF
AB
，
∴
ADE
DEF
=
，
∴
ADE
FDE
DEF
=
=
，
∴
180
180
2
BDC
ADE
FDE
DEF
=
−
−
=
−
，
∵
B
DEF
=
，
∴
180
2
BDC
B
=
−，
∴
(
)
180
180
2
BCD
B
B
B
=
−−
−
=
，
∵BCD
是“梦想三角形”，
当3 B
BDC
=
，即3
180
2
B
B
=
−，解得
36
B
=
，
此时BCD
中
36
B
BCD
=
=
，
108
BDC
=
，满足条件；
当3 BDC
B
= ，即(
)
3 180
2 B
B
−
=
，解得
540
7
B
=
，
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此时BCD
中
540
7
B
BCD
=
=
，
180
7
BDC
=
，满足条件；
综上，
B
的度数为36或540
7
；
（3）解：如果一个“梦想三角形”有一个角为72，
设该“梦想三角形”的另外两个内角为,x y，
则有
180
72
108
x
y
+
=
−
=
，
当3
72
x =
时，解得
24
x =
，
此时
84
y =
，故最小内角的度数为24；
当3 72
x
=
时，解得
216
180
x =
，不满足题意；
当3x
y
=
时，则有
3
108
x
x
+
=
，解得
27
x =
，
此时
81
y =
，故最小内角的度数为27 ；
综上，这个“梦想三角形”的最小内角的度数为24或27．
12．（21-22 七年级下·江苏无锡·期中）综合探究
(1)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，点M
是ABC
的边BC 上一点，试证明：
ABM
ACM
S
BM
S
CM
=
△
△
．
(2)【知识应用】如图2，ABC
的边BC 上有一点M，N 为AM 上任意一点，利用上述结论，猜想
ABN
ACN
S
S
与BM
CM
之间的关系，直接写出结论，不必证明．
(3)【知识迁移】如图3，在ABC
中，D、F 分别在边AB 、AC 上，且
2
AD
DB
=
，
2
CF
AF
=
．若△ABC
的面积为1，求四边形ADPF 的面积．
(4)【知识延伸】如图4，在ABC
中，D、E、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且
2
AD
DB
=
，
2
BE
EC
=
，
2
CF
AF
=
，
连接AE 、BF 、CD，交点为P、Q、M，若
PQM
△
的面积为1，则ABC
的面积为________．
【答案】(1)见解析
(2)
ABN
ACN
BM
CM
S
S
=
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(3) 2
7
(4)7
【分析】（1）过点A 作AH
BC
⊥
于H，根据三角形的面积公式得出
1
2
ABM
S
BM AH
=
，
1
2
ACM
S
CM AH
=
，代
入
ABN
ACN
S
S
求解即可得证；
（2）利用（1）的结论求解即可；
（3）连接AP ，设
BDP
S
a
=
，
APF
S
b
=
，
BCP
S
c
=
，由（1）知：
ADP
BDP
S
AD
S
BD
=
，结合
2
AD
DB
=
，得出
2
2
ADP
BDP
S
S
a
=
=
，
同法可求
2
2
CPF
APF
S
S
b
=
=
，
2
ACD
BCD
S
S
=
△
△
，
2
CBF
ABF
S
S
=
，即
(
)
2
2
2
a
b
b
a
c
+
+
=
+
，
(
)
2
2
2
c
b
a
a
b
+
=
+
+
，
求出
6
c
a
=
，
4
b
a
=
，则可得出
6
ADPF
S
a
=
四边形
，∵
21
1
ABC
S
a
=
=
，求出
1
21
a =
，即可求解；
（4）连接AP ，CQ ，设
BDP
S
m
=
，
AQF
S
n
=
，由（3）可求出
6
BCP
ADPF
S
m
S
=
=
四边形
，
6
6
ABQ
AQF
S
S
n
=
=
，则可
得出m
n
=
，同法可求
CEM
BDP
S
S
m
=
=
，根据（1）的结论可求出
2
2
ADP
BDP
S
S
m
=
=
，
2
2
CQF
AQF
S
S
m
=
=
，
2
BEQ
CQE
S
S
=
，则
4
APF
S
m
=
，进而得出
3
4
ABP
AFP
S
BP
FP
S
=
=
，则
3
4
BCP
FCP
S
BP
S
FP
=
=
，求出
8
CPF
S
m
=
，
12
BCQ
S
m
=
，
8
BEQ
S
m
=
，
结合又
1
PQM
S
=
，得出1 6
8
m
m
m
+
−
=
，求出
1
3
m =
，则
7
6
3
ABF
S
m
m
=
+
=
，最后再利用（1）中结论求解即可．
【详解】（1）证明：过点A 作AH
BC
⊥
于H，
则
1
2
ABM
S
BM AH
=
，
1
2
ACM
S
CM AH
=
，
∴
1
2
1
2
ABM
ACM
BM AH
S
BM
S
CM
BM AH
=
=
；
（2）解：由（1）知
ABM
ACM
S
BM
S
CM
=
△
△
，
ABN
BMN
S
AN
S
MN
=
，
ACN
BCN
S
AN
S
MN
=
，
∴
ABN
ABM
AN
S
S
AN
MN
=
+
，
ACN
ACM
AN
S
S
AN
MN
=
+
，
∴
ABM
ABM
ACM
ACM
ABN
ACN
AN
S
S
BM
AN
MN
AN
S
CM
S
A
S
S
N
MN
=
=
+
=
+
；
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（3）解：连接AP ，设
BDP
S
a
=
，
APF
S
b
=
，
BCP
S
c
=
，
由（1）知：
ADP
BDP
S
AD
S
BD
=
，
∵
2
AD
DB
=
，
∴
2
2
ADP
BDP
S
S
a
=
=
，
同法可求
2
2
CPF
APF
S
S
b
=
=
，
∵
2
AD
DB
=
，
2
CF
AF
=
，
∴
2
ACD
BCD
S
S
=
△
△
，
2
CBF
ABF
S
S
=
，
即
(
)
2
2
2
a
b
b
a
c
+
+
=
+
，
(
)
2
2
2
c
b
a
a
b
+
=
+
+
，
∴2
3
c
b
=
，
6
c
a
=
，
∴
4
b
a
=
，
∴
2
6
ADPF
S
a
b
a
=
+
=
四边形
，
∵
2
2
21
1
ABC
S
a
a
b
b
c
a
=
+
+
+
+
=
=
，
∴
1
21
a =
，
∴
1
2
6
21
7
ADPF
S
=
=
四边形
；
（4）解：连接AP ，CQ ，设
BDP
S
m
=
，
AQF
S
n
=
，
由（3）可求出
6
BCP
ADPF
S
m
S
=
=
四边形
，
6
6
ABQ
AQF
S
S
n
=
=
，
∴
6
6
ABF
S
m
m
n
n
=
+
=
+
，
∴m
n
=
，
同法可求
CEM
BDP
S
S
m
=
=
，
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∵
2
AD
BD
=
，
∴
2
2
ADP
BDP
S
S
m
=
=
，
∴
6
2
4
APF
S
m
m
m
m
m
=
+
−
−
=
，
∴
2
3
4
4
ABP
AFP
S
BP
m
m
FP
S
m
+
=
=
=
，
∴
3
4
BCP
FCP
S
BP
S
FP
=
=
，
∴
8
CPF
S
m
=
，
∵
2
CF
AF
=
，
∴
2
2
CQF
AQF
S
S
m
=
=
，
∴
6
8
2
12
BCQ
S
m
m
m
m
=
+
−
=
，
∵
2
BE
CE
=
，
∴
2
BEQ
CQE
S
S
=
，
∴
2
12
8
2
1
BEQ
S
m
m
=
=
+
，
又
1
PQM
S
=
，
∴1 6
8
m
m
m
+
−
=
，
∴
1
3
m =
，
∴
7
6
3
ABF
S
m
m
=
+
=
，
∵
2
CF
AF
=
，
∴
3
AC
AF
=
，
∴
3
7
ABC
ABF
S
S
=
=
．
