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重难点 05 圆的综合压轴题
中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：
一、圆中弧长和面积的综合题
二、圆与全等三角形的综合题
三、圆的综合证明问题
四、圆与等腰三角形的综合题
五、圆的阅读理解与新定义问题
六、圆与特殊四边形的综合题
圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。
考向一：圆中弧长与面积的综合题
1．（2023•河北）装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB＝50cm，如图
1和图2所示，MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH．
计算：在图1中，已知MN＝48cm，作OC⊥MN于点C.
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（1）求OC的长．
操作：将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM＝30°时停止滚动．如
图2．其中，半圆的中点为Q，GH与半圆的切点为E，连接OE交MN于点D．
探究：在图2中．
（2）操作后水面高度下降了多少？
（3）连接OQ并延长交GH于点F，求线段EF与 的长度，并比较大小．
2．（2023•乐山）在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．
【问题情境】
刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：
如图1，将一个三角形纸板△ABC绕点A逆时针旋转 到达的位置△AB′C′的位置，那么可以得到：
AB＝AB′，AC＝AC′，BC＝B′C′；
θ
∠BAC＝∠B′AC′，∠ABC＝∠AB′C′，∠ACB＝∠AC′B′．（_____）
刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我
们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．
【问题解决】
（1）上述问题情境中“（_____）”处应填理由： ；
（2）如图2，小王将一个半径为4cm，圆心角为60°的扇形纸板ABC绕点O逆时针旋转90°到达扇形纸
板A′B′C′的位置．
①请在图中作出点O；
②如果BB′＝6cm，则在旋转过程中，点B经过的路径长为 ；
【问题拓展】
小李突发奇想，将与（2）中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．
另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面
积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．
考向二：圆与全等三角形综合题
1．（2023•济宁）如图，已知AB是 O的直径，CD＝CB，BE切 O于点B，过点C作CF⊥OE交BE于
点F，EF＝2BF．
⊙ ⊙
（1）如图1，连接BD，求证：△ADB≌△OBE；
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（2）如图2，N是AD上一点，在AB上取一点M，使∠MCN＝60°，连接MN．请问：三条线段MN，
BM，DN有怎样的数量关系？并证明你的结论．
2．（2023•哈尔滨）已知△ABC内接于 O，AB为 O的直径，N为 的中点，连接ON交AC于点H．
⊙ ⊙
（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在 O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点
⊙
F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作
TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4 ，求AB的长．
3．（2023•长春）【感知】如图①，点A、B、P均在 O上，∠AOB＝90°，则锐角∠APB的大小为 4 5
度．
⊙
【探究】小明遇到这样一个问题：如图②， O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上（点P
不与点A、C重合），连接PA、PB、PC．求证：PB＝PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE＝
⊙
PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分
证明过程：
证明：延长PA至点E，使AE＝PC，连接BE．
∵四边形ABCP是 O的内接四边形，
∴∠BAP+∠BCP＝180°，
⊙
∵∠BAP+∠BAE＝180°，
∴∠BCP＝∠BAE，
∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
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∴△PBC≌△EBA（SAS）．
请你补全余下的证明过程．
【应用】如图③， O是△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，AB＝BC，点P在 O上，且点P与点B在
⊙ ⊙
AC的两侧，连接PA、PB、PC，若 ，则 的值为 ．
考向三：圆的综合证明问题
1．（2023•黄石）如图，AB为 O的直径，DA和 O相交于点F，AC平分∠DAB，点C在 O上，且
CD⊥DA，AC交BF于点P．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）求证：AC•PC＝BC2；
⊙
（3）已知BC2＝3FP•DC，求 的值．
2．如图，在 O中，直径AB垂直弦CD于点E，连接AC，AD，BC，作CF⊥AD于点F，交线段OB于点
G（不与点O，B重合），连接OF．
⊙
（1）若BE＝1，求GE的长．
（2）求证：BC2＝BG•BO．
（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．
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3．（2023•永州）如图，以AB为直径的 O是△ABC的外接圆，延长BC到点D．使得∠BAC＝∠BDA，
点E在DA的延长线上，点M在线段AC上，CE交BM于N，CE交AB于G．
⊙
（1）求证：ED是 O的切线；
（2）若 ，B⊙D＝5，AC＞CD，求BC的长；
（3）若DE•AM＝AC•AD，求证：BM⊥CE．
4．（2023•广东）综合探究
如图1，在矩形ABCD中（AB＞AD），对角线AC，BD相交于点O，点A关于BD的对称点为A′．连
接AA′交BD于点E，连接CA′．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2， O与CD相切，求证： ；
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求 O的面积．
⊙ ⊙
考向四：圆与等腰三角形的综合
1．（2023•宁波）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切
于点D，连结AD，BE＝3，BD＝3 ．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为
．
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2．（2023•上海）如图（1）所示，已知在△ABC中，AB＝AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O
为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．
（1）如果OG＝DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；
（2）如图（2）所示，连接OE，如果∠BAC＝90°，∠OFE＝∠DOE，AO＝4，求边OB的长；
（3）连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO＝OF，求 的值．
3．（2023•泰州）已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为 所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①， O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C＝135°．
①求∠C的度数；
⊙
②若 O的半径为5，AC＝8，求BC的长；
逆向思考
⊙
（2）如图②，若P为圆内一点，且∠APB＜120°，PA＝PB，∠APB＝2∠C．求证：P为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若∠APB＝90°，点C在 P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点
D在 P上，满足CD＝ CB﹣CA的所有点D中，必有一⊙个点的位置始终不变．请证明．
考向五⊙：圆的阅读理解与新定义问题
1．（2023•青海）综合与实践
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车轮设计成圆形的数学道理
小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理
吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：
将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．
（1）探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一
次（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 ，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝120°．此时
中心轨迹最高点是C（即 的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图2中计算C
到BD的距离d ．
1
（2）探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图 3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次
（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 ，BA＝CA＝DA＝2，圆心角∠BAD＝90°．此时中心
轨迹最高点是C（即 的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），请在图4中计算C到
BD的距离d （结果保留根号）．
2
（3）探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次
（以一个顶点为支点旋转）为例，中心的轨迹是 ，圆心角∠BAD＝ ．
此时中心轨迹最高点是C（即 的中点），转动一次前后中心的连线是BD（水平线），在图6中计算
C到BD的距离d ＝ （结果保留根号）．
3
（4）归纳推理：比较d ，d ，d 大小： ，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越
1 2 3
多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线（水平线）的距离 （填“越大”或“越小”）．
（5）得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心（即圆心）的轨迹与水平地面平行，此
时中心轨迹最高点与转动前后中心连线（水平线）的距离 d＝ .这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．
所以，将车轮设计成圆形．
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2．（2023•陕西）（1）如图①，∠AOB＝120°，点P在∠AOB的平分线上，OP＝4．点E，F分别在边
OA，OB上，且∠EPF＝60°，连接EF．求线段EF的最小值；
（2）如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P是拱桥 的中点，桥下水面的宽度AB＝24m，
点P到水面AB的距离PH＝8m．点P ，P 均在 上， ＝ ，且P P ＝10m，在点P ，P 处各装
1 2 1 2 1 2
有一个照明灯，图中△P CD和△P EF分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P ，P 左右转动，
1 2 1 2
且光束始终照在水面AB上．即∠CP D，∠EP F可分别绕点P ，P 按顺（逆）时针方向旋转（照明灯
1 2 1 2
的大小忽略不计），线段CD，EF在AB上，此时，线段ED是这两灯照在水面AB上的重叠部分的水面
宽度．已知∠CP D＝∠EP F＝90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB都被灯光照到时，求这两个
1 2
灯照在水面AB上的重叠部分的水面宽度．（可利用备用图解答）
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3．（2023•北京）在平面直角坐标系xOy中， O的半径为1．对于 O的弦AB和 O外一点C给出如下
定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是 O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
⊙ ⊙ ⊙
⊙
（1）如图，点A（﹣1，0），B （ ， ），B （ ， ）．
1 2
①在点C （﹣1，1），C （ ，0），C （0， ）中，弦AB 的“关联点”是 ；
1 2 3 1
②若点C是弦AB 的“关联点”，直接写出OC的长；
2
（2）已知点M（0，3），N（ ，0），对于线段MN上一点S，存在 O的弦PQ，使得点S是弦
⊙
PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
4．在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四
边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：
如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝ （60°＜ ＜180°）．点D是BC边上的一动点（点D不与B，C
重合），将线段AD绕点A顺时针旋转 到线段AE，连接BE．
α α
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
α
（2）如图2，当AD＝CD时， O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是 O的切线；
（3）已知 ＝120°，BC＝6，点M是边BC的中点，此时 P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心
⊙ ⊙
P与点M距离的最小值．
α ⊙
考向六：圆与特殊四边形综合
1．（2023•威海）已知：射线OP平分∠MON，A为OP上一点， A交射线OM于点B，C，交射线ON
于点D，E，连接AB，AC，AD．
⊙
（1）如图1，若AD∥OM，试判断四边形OBAD的形状，并说明理由；
（2）如图2，过点C作CF⊥OM，交OP于点F；过点D作DG⊥ON，交OP于点G．求证：AG＝
AF．
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2．（2023•益阳）如图，线段AB与 O相切于点B，AO交 O于点M，其延长线交 O于点C，连接
BC，∠ABC＝120°，D为 O上一点⊙且 的中点为M，连接⊙AD，CD． ⊙
（1）求∠ACB的度数； ⊙
（2）四边形ABCD是否是菱形？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
（3）若AC＝6，求 的长．
（建议用时：80分钟）
1．（2023•宜昌）如图1，已知AB是 O的直径，PB是 O的切线，PA交 O于点C，AB＝4，PB＝3．
⊙ ⊙ ⊙
（1）填空：∠PBA的度数是 ，PA的长为 ；
（2）求△ABC的面积；
（3）如图2，CD⊥AB，垂足为D．E是 上一点，AE＝5EC．延长AE，与DC，BP的延长线分别交
于点F，G，求 的值．
2．（2023•台州）我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置
刻画圆上点的位置．如图，AB是 O的直径，直线l是 O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点（不
与点A重合，且在直径AB的同侧），分别作射线AP，AQ交直线l于点C，点D．
⊙ ⊙
（1）如图1，当AB＝6，弧BP长为 时，求BC的长；
π
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（2）如图2，当 ， 时，求 的值；
（3）如图3，当 ，BC＝CD时，连接BP，PQ，直接写出 的值．
3．（2023•遂宁）如图，四边形ABCD内接于 O，AB为 O的直径，AD＝CD，过点D的直线l交BA的
延长线于点M．交BC的延长线于点N且∠ADM＝∠DAC．
⊙ ⊙
（1）求证：MN是 O的切线；
（2）求证：AD2＝AB•CN；
⊙
（3）当AB＝6，sin∠DCA＝ 时，求AM的长．
4．（2023•丽水）如图，在 O中，AB是一条不过圆心O的弦，点C，D是 的三等分点，直径CE交
AB于点F，连结AD交CF⊙于点G，连结AC，过点C的切线交BA的延长线于点H．
（1）求证：AD∥HC；
（2）若 ＝2，求tan∠FAG的值；
（3）连结BC交AD于点N，若 O的半径为5．
下面三个问题，依次按照易、中、难排列．请根据自己的认知水平，选择其中一道问题进行解答．
⊙
①若OF＝ ，求BC的长；
②若AH＝ ，求△ANB的周长；
③若HF•AB＝88，求△BHC的面积．
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5．（2023•长沙）如图，点A，B，C在 O上运动，满足AB2＝BC2+AC2，延长AC至点D，使得∠DBC＝
∠CAB，点E是弦AC上一动点（不与点A，C重合），过点E作弦AB的垂线，交AB于点F，交BC的
⊙
延长线于点N，交 O于点M（点M在劣弧 上）．
（1）BD是 O的⊙切线吗？请作出你的判断并给出证明；
（2）记△BDC，△ABC，△ADB的面积分别为S ，S ，S，若S •S＝（S ）2，求（tanD）2的值；
⊙ 1 2 1 2
（3）若 O的半径为1，设FM＝x，FE•FN• ＝y，试求y关于x的函数解析式，并写
⊙
出自变量x的取值范围．
6．（2023•宁波）如图1，锐角△ABC内接于 O，D为BC的中点，连结AD并延长交 O于点E，连结
BE，CE，过C作AC的垂线交AE于点F，点G在AD上，连结BG，CG，若BC平分∠EBG且∠BCG
⊙ ⊙
＝∠AFC．
（1）求∠BGC的度数．
（2）①求证：AF＝BC．
②若AG＝DF，求tan∠GBC的值．
（3）如图2，当点O恰好在BG上且OG＝1时，求AC的长．
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（建议用时：80分钟）
1．（2023•东营区校级一模）如图，PA、PB是 O的切线，切点分别为A、B，BC是 O的直径，PO交
O于E点，连接AB交PO于F，连接CE交AB于D点．下列结论：①PA＝PB；②OP⊥AB；
⊙ ⊙
⊙
③CE平分∠ACB；④ ；⑤E是△PAB的内心；⑥△CDA≌△EDF．其中一定成立的有（
）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023•鹿城区校级三模）如图 1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC＝2，过BC上一点D作
DE⊥BC，交AB于点E，以点D为圆心，DE的长为半径作半圆，交AC，AB于点F，G，交直线BC于
点H，I（点I在H左侧）．当点D与点C重合时（如图2），GH＝ ；当EF＝GH时，CD＝ ．
3．（2023•湖北模拟）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为
D，直线DC与AB的延长线交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE，BE＝7 ，下列四
⊙ ⊙
个结论：
①AC平分∠DAB；
②PF2＝PB•PA；
③若BC＝ OP，则阴影部分的面积为 ；
④若PC＝24，则tan∠PCB＝ ；
其中，所有正确结论的序号是 ．
4．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是 O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，
⊙
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OC．
（1）求证：∠BCO＝∠ABD．
（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．
（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若 O的半径为5， ，求
⊙
AB的长．
5．（2024•常州模拟）对于 C和 C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与 C交于点Q（点Q
⊙ ⊙ ⊙
可以与点P重合，且 ，则点P称为点A关于 C的“阳光点”．已知点O为坐标原点， O
⊙ ⊙
的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于 O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标
；
⊙
（2）若点B是点A关于 O的“阳光点”，且 ，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线 与⊙x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于 O的“阳光
点”，请直接写出b的取值范围是 或 ． ⊙
6．（2024•广东一模）如图1，在 O中，AB为 O的直径，点C为 O上一点，点D在劣弧BC上，
CE⊥CD交AD于E，连接BD．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：△ACE～△BCD；
（2）若cos∠ABC＝m，求 ；（用含m的代数式表示）
（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝ ，求OG的长．
7．（2024•镇海区校级模拟）在矩形ABCD中，M、N分别在边BC、CD上，且AM⊥MN，以MN为直径
作 O，连结AN交 O于点H，连结CH交MN于点P，AB＝8，AD＝12．
（1）求证：∠MAD＝∠MHC；
⊙ ⊙
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（2）若AM平分∠BAN，求MP的长；
（3）若△CMH为等腰三角形，直接写出BM的长．
8．（2024•浙江一模）如图，在 O中，AB是一条不过圆心O的弦，C，D是 的三等分点，直径CE交
AB于点F，连结BD交CF于点⊙G，连结AC，DC，过点C的切线交AB的延长线于点H．
（1）求证：FG＝CG．
（2）求证：四边形BDCH是平行四边形．
（3）若 O的半径为5，OF＝3，求△ACH的周长．
⊙
9．（2024•五华区校级模拟）如图，AB，CD是 O的两条直径，且AB⊥CD，点E是 上一动点（不与
点B，D重合），连接DE并延长交AB的延长⊙线于点F，点P在AF上，且∠PEF＝∠DCE，连接AE，
CE分别交OD，OB于点M，N，连接AC，设 O的半径为r．
（1）求证：PE是 O的切线；
⊙
（2）当∠DCE＝15°时，求证：AM＝2ME；
⊙
（3）在点E的移动过程中，判断AN•CM是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
10．（2024•福建模拟）已知：如图， O内两条弦AB、CD，且AB⊥CD于E，OA为 O半径，连接
AC、BD．
⊙ ⊙
（1）求证：∠OAC＝∠BCD；
（2）作EN⊥BD于N，延长NE交AC于点H．求证：AH＝CH；
（3）在（2）的条件下，作∠EHF＝60°交AB于点F，点P在FE上，连接PC交HN于点L，当EL＝
HF＝ ，CL＝8，BE＝2PF时，求 O的半径．
⊙
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11．（2024•鹿城区校级一模）如图1，锐角△ABC内接于 O，点E是AB的中点，连结EO并延长交BC
于D，点F在AC上，连结AD，DF，∠BAD＝∠CDF．
⊙
（1）求证：DF∥AB．
（2）当AB＝9，AF＝FD＝4时，
①求tan∠CDF的值；
②求BC的长．
（3）如图2，延长AD交 O于点G，若 ，求 的值．
⊙
12．（2024•正阳县一模）【材料】自从《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施以来，九年级的晏
老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切
线”，在学习完《切线的性质与判定》后，她布置一题：“已知：如图所示， O及 O外一点P．求
作：直线PQ，使PQ与 O相切于点Q．李蕾同学经过探索，给出了如下的一种作图方法：
⊙ ⊙
⊙
（1）连接OP，分别以O、P为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧分别交于A、B两点（A、B
分别位于直线OP的上下两侧）；
（2）作直线AB，AB交OP于点C；
（3）以点C为圆心，CO为半径作 C， C交 O于点Q（点Q位于直线OP的上侧）；
（4）连接PQ，PQ交AB于点D，则直线PQ即为所求．
⊙ ⊙ ⊙
【问题】
（1）请按照步骤完成作图，并准确标注字母（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）结合图形，说明PQ是 O切线的理由；
（3）若 O半径为2，OP＝6．依据作图痕迹求QD的长．
⊙
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13．（2024•泌阳县一模）小贺同学在数学探究课上，用几何画板进行了如下操作：首先画一个正方形
ABCD，一条线段OP（OP＜AB），再以点A为圆心，OP的长为半径，画 A分别交AB于点E．交AD
于点G．过点E，G分别作AB，AD的垂线交于点F，易得四边形AEFG也是正方形，连接CF．
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（1）【探究发现】如图1，BE与DG的大小和位置关系： ．
（2）【尝试证明】如图2，将正方形AEFG绕圆心A转动，在旋转过程中，上述（1）的关系还存在吗？
请说明理由．
（3）【思维拓展】如图3，若AB＝2OP＝4，则：
①在旋转过程中，点B，A，G三点共线时，CF的值为 ；
②在旋转过程中，CF的最大值是 ．
14．（2024•秦都区校级一模）问题提出：（1）如图①， O的半径为4，弦AB＝4 ，则点O到AB的
距离是 ．
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问题探究：（2）如图②， O的半径为5，点A、B、C都在 O上，AB＝6，求△ABC面积的最大值．
问题解决：（3）如图③，是一圆形景观区示意图， O的直径为60m，等边△ABP的边AB是 O的
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弦，顶点P在 O内，延长AP交 O于点C，延长BP交 O于点D，连接CD．现准备在△PAB和
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△PCD区域内种植花卉，圆内其余区域为草坪．按照预算，草坪的面积尽可能大，求草坪的最大面积．
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（提示：花卉种植面积尽可能小，即花卉种植面积S +S 的最小值）
△PAB △PCD
15．（2024•碑林区校级一模）问题探究
（1）寒假期间，乐乐同学参观爸爸的工厂，看到半径分别为2和3的两个圆形零件 A、 B按如图1
所示的方式放置，点A到直线m的距离AC＝4，点B到直线m的距离BD＝6，CD＝5，M是 A上一点，
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N是 B上一点，在直线m上找一点P，使得PM+PN最小．请你在直线m上画出点P的位置，并直接
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写出PM+PN的最小值．
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问题解决
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（2）如图2，乐乐爸爸的工厂欲规划一块花园，如图所示的矩形ABCD，其中 米，BC＝30米，
点E、F为花园的两个入口， 米，DF＝10米．若在△BCD区域内设计一个亭子G（亭子大小
忽略不计），满足∠BDG＝∠GBC，从入口到亭子铺设两条景观路．已知铺设小路EG所用的景观石材
每米的造价是400元，铺设小路FG所用的景观石材每米的造价是200元，你能否帮乐乐同学分析一下，
是否存在点G，使铺设小路EG和FG的总造价最低？若存在，求出最低总造价，并求出此时亭子G到
边AB的距离；若不存在，请说明理由．
16．（2024•雁塔区校级一模）问题发现
（1）在△ABC中，AB＝2，∠C＝60°，则△ABC面积的最大值为 ；
（2）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD＝6，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC＝8，求BC+CD的值．
问题解决
（3）有一个直径为 60cm的圆形配件 O，如图 2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞
OABC，要求∠O＝∠B＝60°，OA＝OC，并使切割出的四边形孔洞OABC的面积尽可能小．试问，是否
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存在符合要求的面积最小的四边形OABC？若存在，请求出四边形OABC面积的最小值及此时OA的长；
若不存在，请说明理由．
17．（2024•东莞市校级一模）如图①，点C，D在线段AB上，点C在点D的左侧，若线段AC，CD，
DB满足AC2+BD2＝CD2，称C，D是线段AB的勾股点．
（1）如图②，C，D是线段AB的勾股点，分别以线段AC，CD，DB为边向AB的同侧作正△ACE，正
△CDF，正△DBG，已知正△ACE、正△CDF的面积分别是3，5，则正△DBG的面积是 ；
（2）如图①，AB＝12，C，D是线段AB的勾股点，当AC＝ AB时，求CD的长；
（3）如图③，C，D是线段AB的勾股点，以CD为直径画 O，P在 O上，AC＝CP，连接PA，
PB，若∠A＝2∠B，求∠B的度数．
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18．（2023•西湖区模拟）如图，已知CE是圆O的直径，点B在圆O上，且BD＝BC，过点B作弦CD的
平行线与CE的延长线交于点A．
（1）若圆O的半径为2，且点D为弧EC的中点时，求线段CD的长度；
（2）在（1）的条件下，当DF＝a时，求线段BD的长度；（答案用含a的代数式表示）
（3）若AB＝3AE，且CD＝12，求△BCD的面积．
19．古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．小明决定研究一下圆，如图，AB
是 O的直径，点C是 O上的一点，延长AB至点D，连接AC、BC、CD，且∠CAB＝∠BCD，过点
C作CE⊥AD于点E．
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（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若OB＝BD，求证：点E是OB的中点；
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（3）在（2）的条件下，若点F是 O上一点（不与A、B、C重合），求 的值．
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