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专题 11 正方形的性质与判定六类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用正方形的性质求角度
类型二、正方形中的折叠问题
类型三、根据正方形的性质证明与求解
类型四、根据正方形的性质与判定求解
类型五、正方形的性质与判定的综合问题
类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
压轴专练
类型一、利用正方形的性质求角度
方法总结
1. 正方形=矩形+菱形：综合运用矩形的“四个角为直角”和菱形的“对角线平分对角”性质。
2. 内角和转化：将所求角置于三角形或特殊图形中，利用内角和、外角、平角等关系求解。
解题技巧
1. 对角线模型：连接对角线，利用其“垂直、平分、相等且平分对角”的性质，寻找45°、90°角。
2. 等腰三角形：正方形边或对角线构成的等腰直角三角形，是计算角度的常用模型。
例1．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，点E是正方形 内部一点，连接 ，
，若 ， ，则 的度数为 ．
【变式1-1】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在正方形 外侧，作等边三角形 ， ，
相交于点 ，则 的度数为 ．【变式1-2】（25-26九年级上·山西运城·期末）在正方形 中，对角线 ， 交于点 ，延长
至点 ，使 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ．若 ，则 的长为 ．
【变式1-3】（25-26八年级上·山西临汾·期末）如图，在正方形 中， ，点F从点A出发，沿
运动到点C，点E是边 的中点，连接 ， ， ，当 为等腰三角形时， 的
长为 ．
类型二、正方形中的折叠问题
方法总结
1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，折痕垂直平分对应点连线，且折叠前后对应线段相等、对应角相等。
2. 结合正方形：利用正方形四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等的性质，寻找全等或特殊
直角三角形。
解题技巧
1. 标等量：在图上清晰标注折叠产生的等边、等角，尤其是与正方形边长相等的边。
2. 设元勾股：通常在折叠形成的直角三角形中，设未知边长为 x，利用正方形边长关系和勾股定理列方
程。
例2．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，正方形 的边长为4，点E为 的中点，连接 ，
将 沿 折叠，点A的对应点为F．连接 ，则 的长为 ．【变式2-1】（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）如图，正方形纸片 的边长为 ，点 是边 的
中点，将这个正方形纸片翻折，使点 落到点 处，折痕交边 于点 ，交边 于点 ，则 的
面积为 ．
【变式2-2】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边 在x轴上，
点A的坐标为 ，点E在边 上．将 沿 折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为 ，则
的长为 ；点E的坐标为 ．
【变式2-3】（25-26八年级上·河南平顶山·期末）如图，正方形纸片 的边长为 ，点P是线段
上一动点，连接 ，将这张正方形纸片沿 所在直线折叠，点B的对应点为 ，延长 交边
于点E，当点P为线段 的三等分点时， 的长为 ．类型三、根据正方形的性质证明与求解
方法总结
1. 性质整合：综合运用正方形“四边相等、四角为直角、对角线垂直平分且相等并平分对角”的全部性
质。
2. 目标导向：根据待证或所求（边等、角等、垂直等），选择直接相关的性质进行推理或建方程。
解题技巧
1. 构造全等：通过连接对角线或作辅助线，构造全等直角三角形，是证明线段或角相等的常用手法。
2. 巧用45°：对角线平分直角产生的45°角，是进行角度计算和证明的重要切入点。
例3．（25-26九年级上·重庆奉节·期末）如图，在正方形 中，点E是 边上任意一点， ，
垂足为点O，交 于点F，交 于点G，连接 ．
(1)若 ，求 的长度；
(2)当点E是 边的中点时，求证： ．
【变式3-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，正方形 中， ，点 为 边上一点，
连接 ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ．
(1)求证： ；
(2)当 为直角三角形时，求线段 的长．
(3)在（2）的条件下，直接写出此时 的长．
【变式3-2】（24-25八年级下·广东湛江·期末）如图正方形 中，点E为对角线 上一点，连接 ，
过点E作 ，交射线 于点F．(1)求证： ；
(2)若 ， ， 的长度为 ；
(3)当线段 与正方形 的某条边的夹角是 时，直接写出 的度数．
【变式3-3】（25-26九年级上·江西抚州·期中）综合与实践：
正方形 中， 为对角线，点P在线段 上运动，以 为边作正方形 ，连接 ；
(1)【初步探究】如图1，当点P在线段 上时， 与 的数量关系是___________； 与 的位置关
系为__________； 三者的数量关系为_________；
(2)【探索发现】当点P在线段 延长线上运动时，如图2，探究线段 和 三者之间数量关系，
并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，连接 ，若 ， ，则 的长为_________．
类型四、根据正方形的性质与判定求解
方法总结
1. 先判后性：先依据一组邻边相等且有一个直角等条件，判定四边形为正方形。
2. 再性求解：再利用正方形的性质（四边等、四直角、对角线特性）求值或证明。
解题技巧
1. 判定优选：优先选择“一个角为直角的菱形”或“一组邻边相等的矩形”等简捷判定。
2. 对角线模型：连接对角线，利用其垂直、平分、相等的特性构造全等直角三角形解题。
例4．（25-26八年级上·湖北黄冈·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，点 ，且
，则 ，点 的坐标为 ．【变式4-1】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在矩形 中， ， ， 平分
， 平分 ， ， ，则四边形 的面积为 ．
【变式4-2】（2025·江西九江·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是射线 上
一点，将 沿 折叠，得到 ，连接 ．当 为直角三角形时， 的度数为 ．
【变式4-3】（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，在 中，点D为 边上的点，将 沿
折叠，使点A落在点E处，连接 ，已知 ， ，则当 为直角三角形时， 的
长为 ．类型五、正方形的性质与判定的综合问题
方法总结
1. 判性结合：先根据条件判定正方形，再综合运用其所有性质（边、角、对角线）推导新结论或求
值。
2. 数形转化：将几何关系（如线段和、角度和）转化为代数方程，或利用全等、勾股定理求解。
解题技巧
1. 对角线分直角：连接对角线，将问题转化为等腰直角三角形问题，是核心解题模型。
2. 构造全等：通过作辅助线（如垂线）构造全等三角形，是证明线段相等或垂直的常用技巧。
例5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图， 中， ， 、 为 的外角平分线，
过点 分别作直线 的垂线， 为垂足．
(1) ______ （直接写出结果不写解答过程）；
(2)①求证：四边形 是正方形；
②若 ，求 的长．
(3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形 中， ，一条高是 ，它的
长度为6， ，直接写出 的长度．
【变式5-1】（25-26九年级上·江西鹰潭·月考）如图，四边形 为正方形，点E为线段 上一点，
连接 ，过点E作 ，交射线 于点F，以 为邻边作矩形 ，连接 ．
(1)求证：矩形 是正方形；
(2)若 ，求 的长和 的面积；(3)当线段 与正方形 的某条边所在直线的夹角是 时，直接写出 的度数．
【变式5-2】（25-26九年级上·山西晋中·期中）综合与实践
问题情境：
在矩形纸片 中， ．同学们通过对矩形 进行折叠开展了探究活动．如图1，
点 是边 上一点，将 沿 折叠，使点 落在 边上的点 处，连接 ．
猜想证明：
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
深入探究：
（2）将矩形纸片展开并再次折叠，折痕与 ， 分别交于点 ， ，点 的对应点分别为点
．
①如图2，若点 恰好落在线段 上，连接 ．求证： ；
②若点 恰好落在边 上，连接 与 相交于点 ，连接 ，点 为 的中点，连接 ．
若 ．请直接写出线段 的长度．
【变式5-3】（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形 中， ，点 在对角线
上运动（点 不与点 ，点 重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与
菱形 的形状、大小完全相同，即 ，在菱形 绕点 旋转的过程中，
与边 交于点 与边 交于点 ．
特例感知】
（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含 的代数式表示）；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的长度．
类型六、与正方形有关的作图问题（含无刻度作图）
方法总结
1. 依据性质作图：利用正方形“四边相等且四角为直角”、“对角线垂直平分且相等”的性质，作垂线、截
等长或作中垂线。
2. 依据判定构图：以满足正方形判定条件（如作一个角为直角的菱形）为目标，逆向设计作图步骤。
解题技巧
1. 先定直角：通常先利用格点或已有线段构造一个直角，再截取等长邻边。
2. 巧用对角线：通过作已知线段的中垂线并截取等长，确定对角线的交点，从而定位四个顶点。
例6．（25-26九年级上·江西抚州·期末）如图，在正方形 中，点M为 的中点，连接 ，请仅
用无刻度的直尺完成以下作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，在 上作出点E，使 ；
(2)在图2中，在 的延长线上作出点F，使 ．
【变式6-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，已知正方形ABCD与正方形EFGB，E为AB的中点，
点G在线段BC的反向延长线上．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中，作出AD的中点P．
(2)在图②中，作出GD关于直线CD对称的线段HD．
【变式6-2】（24-25八年级下·北京海淀·期中）如图，在正方形 中，点 是边 上的一个动点，
点 关于直线 的对称点为点 ， 与 交于点 ，延长 、 交于点 ．
(1)①依据题意补全图形；
②求 的度数；
(2)连接 ，用等式表示线段 ， ， 的数量关系，并证明；
(3)若 ， ，直接写出 的长．
【变式6-3】（24-25八年级下·江苏镇江·期中）“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连
接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作
图问题．
(1)如图1，四边形 为正方形，点E为 边的中点，请仅用无刻度的直尺画出 边的中点F（保留
作图痕迹，不要求写作法）；
(2)如图2，四边形 为菱形，点E，F分别是 ， 的中点，请仅用无刻度的直尺作以 为边的
矩形 （保留作图痕迹，不写作法）；
(3)如图3， 中， ，垂足为M，交边 于点N．仅用无刻度的直尺在图中作 ，垂足为H（保留作图痕迹，不要求写作法）；
(4)如图4，点E、F分别在平行四边形 的边上， ．连接 ，请过点A作 的垂线，
垂足为G（仅用无刻度直尺作图并保留作图痕迹，不写画法）．
一、单选题
1．（25-26九年级上·陕西榆林·月考）在 中，连接 ，再添加一个条件，可以判定
为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在正方形 中，以对角线 为边在右侧作菱形 ，
点 、 分别在 、 的延长线上，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·辽宁盘锦·月考）如图，将边长为 的正方形 沿其对角线 剪开，再把
沿着 方向平移，得到 ，当两个三角形重叠部分的面积为 时，它移动的距离 等于
（ ）
A． B． C． 或 D． 或
4．（25-26九年级上·内蒙古包头·期末）如图，点 在正方形 的对角线 上，且 ，
的两直角边 ， 分别交 ， 于点 ， ，若正方形 的边长为 ，则重叠部分四边形 的面积为（ ）
A．36 B．32 C．16 D．
5．（25-26九年级上·甘肃酒泉·月考）如图，正方形 的边长为 ， 是对角线 上一动点，
于点 ， 于点 ，连接 ，给出四种情况： 若 为 的中点，则四边形 是
正方形； 若 为 上任意一点，则 ； 点 在运动过程中， 的值为定值 ； 点
在运动过程中，线段 的最小值为 ．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图， 为正方形 内一点， ， 按顺时针方
向旋转角度后成为 ， ．
7．（25-26八年级上·重庆南岸·期末）如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标为 ，点B和点A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上， ，则 等于 ．
8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，
连接OM，过点O作 ，交CD于点N．若四边形MOND的面积是5，则AB的长为 ．
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在 中， 是边 的中点，过点 作直线 ，
交 的平分线于点 ，交 的外角平分线于点 ，连接 ， ．当
时，四边形 是正方形．
10．（2025·河南南阳·二模）如图，正方形 中，点P为射线 上一个动点，将 沿 折叠得
到 ，点A的对应点为点Q，射线 交直线 于点M，若 ，当 时， 的长为 ．
三、解答题11．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）如图，在 中， ，点D是 的中点，过点A作
平行于 ，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是矩形．
(2)当 时，四边形 是正方形．
12．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在 中， ， 是 边上的中线，过点C
作 的平行线 ，且 ，连接 ．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)当 满足 时，四边形 是正方形．请说明理由．
13．（24-25八年级下·福建三明·期中）如图，在正方形 中， 是 的中点， 是 边上的一点，
连接 ，且 ．
(1)尺规作图：求作点 ；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求证： ；
(3)若 ，求正方形 的边长．
14．（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）2025年10月贵阳市举行了第一届数智文化节．在某校的校内选拔
赛中，小星所在的数学小组用边长为8的正方形纸片进行折纸问题的探究．【初步感知】（1）如图①，沿过点 的直线折叠正方形纸片，使得点 的对应点 落在正方形的对角线
上，且折痕与边 交于点 ，则 ________；（结果保留根号）
【迁移应用】（2）如图②，点 ， 分别在 ， 边上，沿直线 折叠正方形纸片，点 的对应点
为点 ，点 的对应点 落在线段 上（不与 ， 重合）， 交 于点 ；
①当点 为 中点时，求 的面积；
②当点 为 上任意一点时（如图③），探究 的周长是否发生变化，若不变，请求出 的
周长；若改变，请说明理由．
15．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形 中， ，点 在对角线 上运动
（点 不与点 ，点 重合）， ，以点 为顶点作菱形 ，且菱形 与菱形
的形状、大小完全相同，即 ，在菱形 绕点 旋转的过程中， 与边 交
于点 与边 交于点 ．
特例感知】
（1）如图1，当 ， 时，则 ， ， 之间满足的数量关系是_____；
【类比探究】
（2）如图2，菱形的边长为8， ，求 的值（用含 的代数式表示）；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，连接 ，求 的长度．16．（25-26九年级上·辽宁营口·期末）四边形 是正方形，将线段 绕点A逆时针旋转至 ，旋
转角为 ，连接 ， 与 交于O点，过点D作 ，垂足为点F，连接 ．
(1)如图1，当 时， 的度数为_________．
(2)如图2，当 时，用等式写出 的数量关系，并证明．
(3)在旋转过程中，当 时，若 ，求 的长．
∵四边形 是正方形，
∴ ，
