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第2讲 与三角形有关的角
1、理解三角形内角、外角的概念；
2、探索并证明三角形的内角和定理；
3、探索定掌握直角三角形的两个锐角互角，掌握有两个角互余的三角形是直角
三角形；
4、掌握三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和；
5、能够运用三角形内角和定理理解解决简单问题。
知识点 1 三角形的内角
①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。
②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内
角。
测量法： 剪角拼角法 ：
知识点2 直角三角形：
①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。
②有两个角互余的三角形是直角三角形知识点3 三角形的外角
①定义：三角形的一边与另一条边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角
②结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和；三角形的一个外角
大于与它不相 邻的任何一个角。
【题型 1 三角形的内角和定理】
【典例1】（2023春•沈北新区期中）△ABC中，∠A＝45°，∠B＝63°，则∠C
＝（ ）
A．72° B．92° C．108° D．180°
【答案】A
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
又∵∠A＝45°，∠B＝63°，
∴45°+63°+∠C＝180°，
∴∠C＝72°，
故选：A．
【变式 1-1】（2023 春•历下区期中）如图，在△ABC 中，∠B 的度数是
（ ）
A．20° B．30° C．40° D．60°
【答案】C【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+2x+4x＝180°，
∴x＝20°，
∴∠B＝2x＝40°．
故选：C．
【变式1-2】（2023春•渝中区校级期中）△ABC中，若∠A+∠B＝4∠C，则
∠C度数为（ ）
A．32° B．34° C．36° D．38°
【答案】C
【解答】解：∵△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，∠A+∠B＝4∠C，
∴5∠C＝180°，解得∠C＝36°．
故选：C．
【变式1-3】（2023春•朝阳区校级期中）如图，CE是△ADC的边AD上的高．
若∠BAD＝40°，∠ECD＝25°，则∠B的度数为（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】B
【解答】解：∵CE是△ADC边AD上的高，∠BAD＝40°，
∴∠CED＝90°，
∵∠ECD＝25°，
∴∠EDC＝90°﹣25°＝65°，
∴∠B＝∠EDC﹣∠BAD＝65°﹣40°＝25°．
故选：B．
【题型 2 直角三角形的内角有关运算】
【典例2】（2022秋•渝北区期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠C
＝48°．则∠DAC的度数为（ ）A．52° B．42° C．32° D．28°
【答案】B
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵∠C＝48°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝42°．
故选：B．
【变式2-1】（2023春•武侯区校级期中）在 Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝
50°，则∠B等于 （ ）
A．55° B．50° C．45° D．40°
【答案】D
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝50°，
∴∠A+∠B＝90°（直角三角形的两个锐角互余），
∴∠B＝40°．
故选：D．
【变式2-2】（2022秋•西山区期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在
AC边上，DE∥BC，若∠B＝65°，则∠1的度数为（ ）
A．125° B．135° C．145° D．155°
【答案】D
【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣90°﹣65°＝25°．
∵DE∥BC，∴∠CDE＝∠C＝25°．
又∠1+∠CDE＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠CDE＝180°﹣25°＝155°．
故选：D．
【变式2-3】（2022秋•乐东县期末）如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，
∠C＝90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点
E，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
【答案】C
【解答】解：延长BC交直线b于点F，如图所示：
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACF＝90°，
∵∠1＝20°，
∴∠AFC＝90°﹣∠1＝70°，
∵直线a∥b，
∴∠DEC+∠AFC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣70°＝110°，
∴∠2＝∠DEC＝110°，
故选：C．【题型3 三角形中有关高、中线与角平分线综合运算】
【典例3】（2021春•芜湖期末）已知，如图，在△ABC中，AD，AE分别是
△ABC的高和角平分线，若∠B＝30°，∠C＝50°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）试写出∠DAE与∠C﹣∠B有何关系？（不必证明）
【答案】（1）10° (2)∠C﹣∠B＝2∠DAE
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAE＝50°．
在Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣50＝10°；
（2）∠C﹣∠B＝2∠DAE．
【变式3-1】（2023•合肥模拟）如图，△ABC中，BD⊥AC，BE平分∠ABC，
若∠A＝2∠C，∠DBE＝20°，则∠ABC＝（ ）
A．50° B．60° C．70° D．80°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC中，∠A＝2∠C，
∴设∠C＝ ，那么∠A＝2 ，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3 ，
α α
α∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝ ∠ABC＝ （180°﹣3 ），
∵BD⊥AC，∠DBE＝20°，
α
∴∠ABD＝∠ABE﹣∠DBE＝ （180°﹣3 ）﹣20°＝70°﹣ ，
α α
∴∠A+∠ABD＝2 +70°﹣ ＝90°，
∴ ＝40°，
α α
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣3 ＝60°．
α
故选：B．
α
【变式3-2】（2022秋•新兴县期末）如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平
分线，∠B＝30°，∠C＝70°，则∠DAE的度数为（ ）
A．40° B．20° C．10° D．30°
【答案】B
【解答】解：∵∠BAC+∠C+∠B＝180°，∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝40°，
∵AE是△ABC的高线，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DAE＝60°﹣40°＝20°．
故选：B．
【变式3-3】（2023•碑林区校级二模）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝
50°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD度数为（ ）A．5° B．8° C．10° D．12°
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，
∵∠A＝30°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝100°．
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝50°．
∵CE⊥AB于点E，
∴∠CEB＝90°．
∴∠ACE＝90°﹣∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DCE＝∠ACE﹣∠ACD
＝60°﹣50°
＝10°．
故选：C
【题型4 三角形外角性质】
【典例4】（2023•长安区模拟）将一副直角三角板如图放置，则∠1的度数为
（ ）
A．75° B．65° C．45° D．30°
【答案】A
【解答】解：如图．
∵∠3＝60°，∠4＝45°，∴∠1＝∠5＝180°﹣∠3﹣∠4＝75°．
故选：A．
【变式4-1】（2023•漳州模拟）如图，∠CBD是△ABC的外角，∠A＝38°，
∠CBD＝68°，则∠C的度数是（ ）
A．68° B．40° C．38° D．30°
【答案】D
【解答】解：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD＝∠A+∠C，即68°＝38°+∠C，
∴∠C＝68°﹣38°＝30°．
故选：D．
【变式4-2】（2023•海口模拟）如图，将一副三角板叠在一起，则图中∠ 的
度数是（ ）
α
A．50° B．60° C．75° D．85°
【答案】C
【解答】解：如图，由题意得：∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴AB∥CD，
∴∠AED＝∠A＝30°，
∴∠ ＝∠D+∠AED＝75°．
故选：C．
α
【变式 4-3】（2022 秋•明水县校级期末）如图，AD 平分△ABC 的外角
∠EAC，且AD∥BC，若∠BAC＝80°，则∠B＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠BAC＝80°，
∴∠EAC＝100°，
∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD＝∠DAC＝50°，
∵AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝50°．
故选：C．
【题型5 三角形双内角平分线的有关运算】
【典例 5】（2021 秋•冷水滩区期末）已知：如图，O 是△ABC 内一点，且
OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB．
（1）若∠A＝48°，求∠BOC；
（2）若∠A＝n°，求∠BOC；（3）若∠BOC＝130°，利用第（2）题的结论求∠A．
【答案】（1）114°（2）∠BOC＝90°+ n° （3）80°
【解答】解：∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2＝ ∠ABC，∠3＝∠4＝ ∠ACB，
∵∠BOC＝180°﹣（∠2+∠4），
∴∠BOC＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ （180°﹣∠A）＝90°+
∠A．
（1）∵∠A＝48°，
∴∠BOC＝90°+ ×48°＝114°．
（2）∵∠A＝n°，
∴∠BOC＝90°+ n°．
（3）∵∠BOC＝130°，
∴130°＝90°+ ∠A，
∴∠A＝80°．
【变式5-1】（2023春•朝阳区校级期中）点O是△ABC内一点，OA、OC分别
平分∠BAC、∠BCA，∠B＝64°，则∠O＝（ ）
A．116° B．122° C．136° D．152°【答案】B
【解答】解：在△ABC中，∠B＝64°，
∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣64°＝116°．
∵OA、OC分别平分∠BAC、∠BCA，
∴∠OAC＝ ∠BAC，∠OCA＝ ∠BCA，
∴∠OAC+∠OCA＝ ∠BAC+ ∠BCA＝ （∠BAC+∠BCA）＝ ×116°＝
58°．
在△OAC中，∠OAC+∠OCA＝58°，
∴∠O＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°﹣58°＝122°．
故选：B．
【变式 5-2】（2023春•姑苏区校级期中）在△ABC 中，∠BAC＝70°，∠1＝
∠2，则∠ADC＝ ．
【答案】110°．
【解答】解：如图，∵∠1+∠3＝∠BAC＝70°，∠ADC+∠2+∠3＝180°，∠1
＝∠2，
∴∠ADC+∠1+∠3＝180°，
即∠ADC＝180°﹣70°＝110°，
故答案为：110°．
【变式5-3】（2022秋•昆明期末）如图，已知点 P是△ABC内一点，且∠C＝
50°，∠PAC＝25°，∠PBC＝35°，求∠APB的度数．【答案】110°．
【解答】解：∵∠C+∠CAB+∠ABC＝180°，
∴∠C+∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBC＝180°，
∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠C﹣∠PAC﹣∠PBC，
∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣50°﹣25°﹣35°＝70°，
∵∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA），
∴∠APB＝180°﹣70°＝110°．
【题型6 三角形双外角平分线的有关运算】
【典例6】（2022秋•市北区校级期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB
的外角平分线交于点O，设∠A＝m，则∠BOC＝（ ）
A．90°﹣m B．90°﹣ C．180°﹣2m D．180°﹣
【答案】B
【解答】解：如图： ，
由三角形内角和定理，得
∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣m，
由角的和差，得∠DBC+∠BCE＝360°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°+m，
由∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O，得∠OBC+∠OCB＝ （∠DBC+∠BCE）＝90°+ m，
由三角形的内角和，得
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°﹣ m．
故选：B．
【变式6-1】（2022秋•泰兴市期末）已知，如图，△ABC中，∠ABC＝48°，
∠ACB＝84°，点D、E分别在BA、BC延长线上，BP平分∠ABC，CP平分
∠ACE，连接AP，则∠PAC的度数为（ ）
A．45° B．48° C．60° D．66°
【答案】D
【解答】解：作PF⊥BE于点F，PH⊥BD于点H，PG⊥AC于点G，
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴PF＝PH，PF＝PG，
∴PH＝PG，
∵PH⊥BD，PG⊥AC，
∴AP平分∠CAD，
∵∠ABC＝48°，∠ACB＝84°，
∴∠CAD＝∠ABC+∠ACB＝48°+84°＝132°，
∴∠PAC＝ ∠CAD＝66°．
故选：D．
【题型7 三角形内、外角平分线的有关运算】【典例 7】（2022 秋•滨城区校级期末）如图，已知△ABC，∠ABC 与外角
∠ACD的角平分线相交于点O．
（1）若∠ABC＝60°，∠ACB＝70°时，求∠BOC的度数；
（2）请探究∠BAC和∠BOC之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）25°；
（2）∠BOC＝ ∠BAC，见解答过程．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝110°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∠ABC＝60°，
∴∠CBO＝ ∠ABC＝30°，∠DCO＝ ∠ACD＝55°，
∵∠ACD是△BCO的外角，
∴∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO＝25°；
（2）∠BOC＝ ∠BAC，理由如下：
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，
∴∠DCO＝ ∠ACD，∠CBO＝ ∠ABC，
∵∠DCO是△BCO的外角，
∴∠BOC＝∠DCO﹣∠CBO＝ （∠ACD﹣∠ABC）＝ ∠BAC．
【变式7-1】（2022秋•莲池区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分
线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（ ）
A．20° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分
线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，
∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，
∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，
∵∠PBC＝20°，
∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，
故选：B．
【变式 7-2】（2022 秋•东莞市校级期中）如图，在△ABC 中，∠A＝38°，
∠ABC＝42°，BE平分∠ABC，∠E＝19°．
（1）求∠ECD的度数；
（2）求证：CE平分∠ACD．
【答案】（1）40°；
（2）见解答过程．
【解答】（1）解：∵∠ABC＝42°，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝ ∠ABC＝21°，
∵∠ECD是△BCE的外角，∠E＝19°，∴∠ECD＝∠E+∠EBC＝40°；
（2）证明：∵∠A＝38°，∠ABC＝42°，∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠ABC+∠A＝80°，
由（1）得∠ECD＝40°，
∴∠ACE＝∠ACD﹣∠ECD＝40°，
∴∠ACE＝∠ECD，
∴CE平分∠ACD．
1．（2022•贺州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，则∠A的度数
为（ ）
A．34° B．44° C．124° D．134°
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则∠B+∠A＝90°，
∵∠B＝56°，
∴∠A＝90°﹣56°＝34°，
故选：A．
2．（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC的直角顶点B放在直线EF上，∠C
＝30°，AC∥EF，则∠1＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
故选：C．
3．（2021•河池）如图，∠A＝40°，∠CBD是△ABC的外角，∠CBD＝120°，
则∠C的大小是（ ）
A．90° B．80° C．60° D．40°
【答案】B
【解答】解：由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝
80°．
故选：B．
4．（2021•湖北）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，DE∥AB，若
∠CDE＝160°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【解答】解：∵∠CDE＝160°，
∴∠ADE＝20°，
∵DE∥AB，
∴∠A＝∠ADE＝20°，
∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣20°﹣90°＝70°．
故选：D．5．（2023•石景山区一模）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 作
EF∥AB，若∠ECA＝55°，则∠B的度数为（ ）
A．55° B．45° C．35° D．25°
【答案】C
【解答】解：∵EF∥AB，
∴∠A＝∠ECA＝55°，
∵∠ACB＝90，
∴∠B＝90°﹣∠A＝35°．
故选：C．
6．（2023•中山区一模）如图，已知 l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝50°，则
∠1的度数是（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝50°，
则∠CED＝90°﹣50°＝40°，
∵l∥AB，
∴∠1＝∠CED＝40°，
故选：B．
7．（2023•扶风县一模）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于
点D，若∠BDC＝120°，则∠A的度数为（ ）A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【解答】解：∵在△BCD中，∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°．
∵BD和CD是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝ （∠ABC+∠ACB），
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝2×60°＝120°．
又∵△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣120°＝60°．
故选：B．
8．（2021•盐城）将一副三角板按如图方式重叠，则∠1的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【解答】解：根据三角板的度数知，∠ABC＝∠ACB＝45°，∠DBC＝30°，
∴∠1＝∠DBC+∠ACB＝30°+45°＝75°，
故选：C．9．（2019•大庆）如图，在△ABC 中，BE 是∠ABC 的平分线，CE 是外角
∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【解答】解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠EBM＝ ∠ABC，
∵CE是外角∠ACM的平分线，
∴∠ECM＝ ∠ACM，
则∠BEC＝∠ECM﹣∠EBM＝ ×（∠ACM﹣∠ABC）＝ ∠A＝30°，
故选：B．
10．（2019•广西）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度
数为（ ）
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】C【解答】解：如图：
∵∠BCA＝60°，∠DCE＝45°，
∴∠2＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∵HF∥BC，
∴∠1＝∠2＝75°，
故选：C．
11．（2023•梁园区一模）如图，直线a∥b，Rt△ABC如图放置，若∠1＝28°，
∠2＝80°，则∠B的度数为（ ）
A．62° B．52° C．38° D．28°
【答案】C
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1+∠BAC＝∠2，
∵∠BAC＝∠2﹣∠1＝80°﹣28°＝52°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠BAC＝90°，
∴∠B＝90°﹣52°＝38°．
故答案为：C．
12．（2021•河北）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为
C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD
＝110°，则图中∠D应 减少 （填“增加”或“减少”） 1 0 度．【答案】减少，10．
【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而图中∠D＝20°，
∴∠D应减少10°．
故答案为：减少，10．
1．（2023春•市南区期中）若一个三角形三个内角度数的比为2：3：5，那么
这个三角形是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：5，
∴最大内角的度数是180 ＝90°，∴此三角形是直角三角形，
故选：A．
2．（2023春•泗阳县期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、BC上，
且DE∥AC，∠BDE＝60°，∠C＝55°，求∠B的度数（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠BED＝∠C＝55°，
又∵∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴∠B＝180°﹣55°﹣60°＝65°．
故选：B．
3．（2022秋•长沙县期末）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝
40°，∠ACD＝120°，则∠A＝（ ）
A．40° B．60° C．80° D．120°
【答案】C
【解答】解：∵∠B＝40°，∠ACD＝120°，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°，
故选：C．
4．（2022秋•黄岛区校级期末）已知△ABC中，∠A＝50°，则图中∠1+∠2的
度数为（ ）A．180° B．220° C．230° D．240°
【答案】C
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠B+∠C＝130°．
∵∠B+∠C+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°．
故选：C．
5．（2022 秋•铁西区期末）如图，在△ABC 中，E 为 BC 延长线上一点，
∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．45° C．20° D．22.5°
【答案】A
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠ACD+∠ECD＝∠ABD+∠CBD+∠A，
∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，
∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），
∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°，
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°，
∴∠A＝2×15°＝30°．
故选：A．6．（2023•秦都区校级一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点 C
在FD的延长线上，点C、F分别为直角顶点，且∠A＝60°，∠E＝45°，若
AB∥CF，则∠CBD的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】A
【解答】解：∵AB∥CF，
∴∠BCD＝∠ABC＝30°．
∵∠BDF是△BCD的外角，
∴∠CBD＝∠EDF﹣∠BCD＝45°﹣30°＝15°．
故选：A．
7．（2023•南陵县模拟）一副直角三角板按如图所示方式摆放，图中∠ 的度
数为（ ）
α
A．65° B．67.5° C．75° D．80°
【答案】C
【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB＝45°，
∴∠ACD＝∠CED+∠CDE，
∴∠CDE＝∠ACD﹣∠CED＝45°﹣30°＝15°，
∵∠ ＝∠ADE﹣∠CDE＝90°﹣15°＝75°，
故选：C．
α8．（2022 秋•邢台期末）如图，F 是△ABC 的角平分线 CD 和 BE 的交点，
CG⊥AB于点G．若∠ACG＝32°，则∠BFC的度数是（ ）
A．119° B．122° C．148° D．150°
【答案】A
【解答】解：∵CG⊥AB，∠ACG＝32°，
∴∠A＝90°﹣∠ACG＝58°，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝122°，
∵F是△ABC的角平分线CD和BE的交点，
∴∠BCD＝ ∠ACB，∠CBE＝ ∠ABC，
∴∠BCD+∠CBE＝ （∠ACB+∠ABC）＝61°，
在△BFC中，∠BFC＝180°﹣（∠BCD+∠CBE）＝119°．
故选：A．
9．（2022秋•城关区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠
△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝24°，则∠EDC等于（
）
A．69° B．67° C．66° D．42°
【答案】A
【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，∴∠B＝90°﹣∠A＝66°．
由折叠的性质可得：∠BCD＝ ∠ACB＝45°，
∴∠BDC＝∠EDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝69°．
故选：A．
9．（2023春•闵行区校级期中）如图，在△ABC中，∠BDC＝120°，∠B的平
分线和∠C的平分线相交于点D，则∠A＝ ．
【答案】60°．
【解答】解：在△BCD中，
∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，
∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣120°＝60°，
∵BD和CD是∠ABC，∠ACB的角平分线，
∴∠DBC＝ ∠ABC，∠DCB＝ ∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB＝ （∠ABC+∠ACB），
∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBC+∠DCB）＝2×60°＝120°．
又∵△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
10．（2023春•沈北新区期中）如图，在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，CD
是∠ACB的角平分线，点 E在AC上，且DE∥BC，则∠EDC的度数为
．【答案】22°．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝62°，∠B＝74°，
∴∠ACB＝180°﹣62°﹣74°＝44°，
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝22°，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD＝22°，
故答案为：22°．
11．（2023 春•锦江区校级期中）如图，在△ABC 中，AD⊥BC，AE 平分
∠BAC，若∠1＝35°，∠2＝20°，则∠B＝ ．
【答案】40°．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，
∴∠1＝∠EAD+∠2，
∴∠EAD＝∠1﹣∠2＝35°﹣20°＝15°，
Rt△ABD中，
∠B＝90°﹣∠BAD
＝90°﹣35°﹣15°＝40°．
故答案为：40°．
12．（2023 春•环翠区校级期中）如图，在△ABC 中，∠BAC＝50°，I 是
∠ABC，∠ACB平分线的交点．
（1）∠BIC＝ °；
（2）若D是两条外角平分线的交点，则∠BDC＝ °；
（3）在（2）的条件下，若E是内角∠ABC和外角∠ACG的平分线的交点，
试探索∠BEC与∠BAC的数量关系，并说明理由．【答案】（1）115；
（2）65；
（3）∠BAC＝2∠BEC，证明见解答过程．
【解答】解：（1）在△ABC 中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∠BAC＝
50°，
∵BI是∠ABC的平分线，
∴∠CBI＝ ∠ABC，
∵CI是∠ABC的平分线，
∴∠BCI＝ ∠ACB，
∴∠CBI+∠BCI＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣50°）＝65°，
在△BCI中，∠CBI+∠BCI+∠BIC＝180°，
∴∠BIC＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115．
（2）∵∠FBC是△ABC的外角，
∴∠FBC＝∠A+∠ACB，
∵∠MCB是△ABC的外角，
∴∠MCB＝∠A+∠ABC，
∴∠FBC+∠MCB＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A＝180°+50°＝230°．
∵BD是∠FBC的平分线，
∴∠CBD＝ ∠FBC．
∵CD是∠MCB的平分线，
∴∠BCD＝ ∠MCB．
∴∠CBD+∠BCD＝ （∠FBC+∠MCB）＝ ×230°＝115°．在△BCD中，
∠BDC+∠CBD+∠BCD＝180°，
∴∠BDC＝180°﹣115°＝65°．
故答案为：65．
（3）∠BAC＝2∠BEC．理由如下：
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠CBE＝ ∠ABC．
∵∠ACG是△ABC的外角，
∴∠ACG＝∠BAC+∠ABC．
∵CE是∠ACG的平分线，
∴∠ECG＝ （∠BAC+∠ABC）＝ ∠BAC+ ∠ABC．
∵∠ECG是△BCE的外角，
∴∠ECG＝∠CBE+∠BEC．
∴ ∠BAC+ ∠ABC＝ ∠ABC+∠BEC．
∴∠BAC＝2∠BEC．
