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专题 09 矩形的性质与判定七类综合题型
目录
典例详解
类型一、利用矩形的性质求角度、线段长
类型二、矩形与折叠问题
类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长
类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
类型五、斜边上的中线等于斜边的一半
类型六、矩形的性质与判定的综合问题
类型七、与矩形的性质与判定有关的作图
压轴专练
类型一、利用矩形的性质求角度、线段长
方法总结
1. 性质对应：明确矩形四个角为90°、对边相等、对角线相等且互相平分。
2. 方程求解：将已知条件与上述性质结合，建立关于角度或线段的方程（组）求解。
解题技巧
1. 直角三角形转化：矩形内含对角线常构成直角三角形，可运用勾股定理、三角函数。
2. 等量代换：灵活运用“对边相等”、“对角线互相平分”进行线段长度的等量代换。
例1．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形 中， ， 相交于点 ， 平分
交 于点 ．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 / 度
【分析】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的判定及性质，可求得 ，得到 ，
进而求得 为等边三角形，得到 ．
【详解】∵ 平分 ，∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∵四边形 为矩形，
∴ ， ．
∴ ， ．
∴ ．
∴ 为等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∴ ．
故答案为：
【变式1-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在矩形 中， 、 相交于点O， 平分
分别交 、 于点F、E，若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形外角性质，掌握相关知识是解决问题的关键．因为在矩形 中，
所以 ，因为 平分 ，所以 ，因为 ， ，由矩形
的性质可知 ，利用三角形外角的性质即可求 ．
【详解】解：∵在矩形 中，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，由矩形的性质可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式1-2】（25-26九年级上·河北保定·期末）如图，矩形 的对角线相交于点 ， 为 上的一
点， ， ，则 的周长为 ．
【答案】
【分析】本题考查矩形的性质，熟练掌握相关知识并运用转化思想是关键．
矩形的对角线互相平分且相等，因此 ， 的周长等同于 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
的周长为 ．
故答案为： ．
【变式1-3】（25-26九年级上·河南郑州·期末）已知，矩形 中 为 上一点，且
为 上一点，且 ，连接 ， ， ．若 是直角三角形，则 的长为
．
【答案】 或
【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理及分类讨论思想．关键是由于 的直角顶点不确定，需分三
种情况( 、 、 )讨论，利用勾股定理列出方程求解，同时验证解是否
符合矩形边长的实际意义．
【详解】解：如图，设 的长为 ，∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ．
由 ，得 ；
由 ，得 ．
在 中， ；
在 中， ；
在 中， ．
①若 ，则 ，
即 ，解得 ；
此时 ，符合题意．
②若 ，则 ，
即 ，化简得 ，
∵判别式 ，
∴该方程无实数根，此情况不存在．
③若 ，则 ，
即 ，
解得 ；
此时 ，符合题意．
综上， 的长为 或 ．
故答案为： 或 ．
类型二、矩形与折叠问题
方法总结
1. 抓折叠本质：折叠即轴对称，对应线段相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。
2. 利用矩形性质：结合矩形四个角为直角、对边平行的性质，寻找全等或直角三角形。
解题技巧1. 标等量：在图上清晰标注折叠前后的对应边、对应角，以及由折叠产生的新等量关系。
2. 设元列方程：常设未知线段长为x，在直角三角形中利用勾股定理建立方程求解。
例2．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在矩形 中， ，点E是 上一动点，
连接 ，将 沿 折叠，点B落在点 处，当 为直角三角形时， 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的相关知识，“矩形的性质、折叠的性质 直
角三角形分类讨论是解题的关键．根据已知条件与折叠核心等量关系：设 ，根据折叠性质得出
，结合矩形性质得出 ；由 为直角
三角形，分 为直角顶点进行分类讨论，针对每种合理情况，结合几何性质列方程求解；
【详解】解：设 ，由折叠性质得： ， ， ，
矩形 中， ， ，则 ．
情况1： ，
，即 、 、 三点共线．
在 中，由勾股定理得：
，
在 中， ，
，
解得， ，
；情况2： ，则 ，
，
，
四边形 为矩形，
，
故四边形 为正方形，
情况3：当 时，此时点 与点 重合，此时 ，这显然不成立，不存在此种情况．
综上，当 为直角三角形时， 的长为 或 ．
故答案为： 或
【变式2-1】（25-26七年级上·湖南益阳·期末）如图，在长方形纸片ABCD中，将 沿对角线BD折
叠得 ，FB和AD相交于点E，将 沿BE折叠得 ．若 ，则
的度数为 ．【答案】 /22度
【分析】本题考查了折叠的性质、一元一次方程的应用，利用数形结合的思想是解题的关键．
设 ，根据折叠可得 ， ，依据 ，
进而求解．
【详解】解：设 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
由折叠可得，
∵ ，
∴ ，
∴解得 ，
∴ ．
故答案为： ．
【变式2-2】（25-26九年级上·广东深圳·期末）如图1，在矩形 中， ， ，E为射线
上一动点，设 ．连接 ，点B关于 的对称点为 ，作射线 ．
(1)【基础探究】如图2，点E在线段 上，且射线 经过点D．
①求证： ；
②求此时x的值；
(2)【应用拓展】若射线 交 边于点F， ．
①当 时，求x的值；②当 时，直接写出x的值．
【答案】(1)①见解析；②2；
(2)①当 时， 或 ；②当 时， 或 ．
【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、分类讨论思想；解题的关键是利用轴对称得
到等角等边，结合勾股定理建立方程，并对动点E的位置进行分类讨论．
（1）①利用轴对称得 ，结合矩形中 得 ，从而推出 ，
证得 ；②由 ，在 中用勾股定理求出 ，进而得到 的长度．
（2）①当 时，得 ，连接 ，利用勾股定理求出 ，再分E在线段 上和延
长线上两种情况，结合 的不同表达式与勾股定理列方程求解；②当 时，得 ， ，同理
求出 ，分两种情况列方程求解．
【详解】（1）① 证明：∵ 点 与 关于 对称
∴ ，
∴ ，
∵ 四边形 是矩形
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴
② 解：∵ 四边形 是矩形，
∴ ．
由①知 ，
在 中， ，
∴ ，
故 ．
（2）解：连接 ，因 ，∴ ，即 是直角三角形．
在 与 中， ，
① 当 时， ，即 ，又 ．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在 边上（如图），
，
∴ ，
又 ，
在 中， ，即 ，
解得： ．
情况二：点E在 的延长线上（如图），
同①情况一， ，
∴ ，
又 ，
在 中， ，即 ，
解得： ．综合两种情况，当 时， 或 ．
② 当 时， ，即 ，又 ．
以下分两种情况讨论：
情况一：点E在 边上（如图），
，
∴ ，
又 ，
在 中， ，即 ，
解得： ．
情况二：点E在 的延长线上（如图），
同②情况一， ，
∴ ，
又 ，
在 中， ，即 ，
解得： ．
综合两种情况，当 时， 或 ．
【变式2-3】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）在长方形 中，．
(1)如图1，P为 边上一点，将 沿直线 翻折至 的位置，其中点 是点 的对称点，当点
落在 边上时，求 的长．
(2)如图2，点 是 边上一动点，过点 作 交 边于点 ，将 沿直线 翻折得 ，
连接 ，当 是以 为腰的等腰三角形时，求 的长：
(3)如图3，点 是射线 上的一个动点，将 沿 翻折，其中点 的对称点为 ，当
三点在同一直线上时，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2) 或
(3)2或8
【分析】（1）由翻折可得 ，再利用勾股定理解答即可；
（2）分 和 两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理求解即可；
（3）分点M在线段 上和点M在 的延长线上两种情况，分别画出图形，利用翻折的性质和勾股定理
求解即可．
【详解】（1）解：如图1∶ 四边形 是矩形，
，
由翻折变换的性质可知∶ ，
，
，
设 ，则
在 中， ，解得： ．（2）解：如图2-1中，当 ，过点 作 于点 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∴ ；
如图 中，当 时，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，∵ ，
∴ ，解得： ，
∴ ．
综上所述， 的长为 或 ．
（3）解：如图 中，当点 在线段 上时，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
．
如图3-2中，当点 在 的延长线上时，同法可证 ，
，
，．
综上所述，满足条件的 的长为2或8．
类型三、根据矩形的性质与判定求角度、线段长
方法总结
1. 先判后用：先根据已知条件（如一个角是直角且对边相等）判定四边形为矩形。
2. 性质求解：再利用矩形性质（四个直角、对角线相等且平分）建立方程，求角度或线段。
解题技巧
1. 判定优选：优先选择“一个角为直角的平行四边形是矩形”等简捷判定。
2. 构造直角三角形：矩形问题常可转化为直角三角形，运用勾股定理、三角函数求解。
例3．（24-25八年级下·宁夏吴忠·月考）如图，在四边形 中， ， ， ，
，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先证明 ，接着证明四边形 是平行四边形，然后结合 ，得证；
（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道 ，那么 ，
再根据三角形内角和算得 ，从而得出答案．
【详解】（1）证明： 是 的中点，
，
，
，
，
四边形 是平行四边形，，
四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是矩形，
，
，
是 的中点，
，
，
，
，
．
【变式3-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在平行四边形 中，点 分别在 上，
且 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握矩形的性质和判
定，利用勾股定理列方程是解题的关键；
（1）先证四边形 是平行四边形，再结合对角线相等证明即可；
（2）根据勾股定理，可得 ， ，即可得到
方程 ，再求解即可．
【详解】（1）证明：证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
，，
，
，
∴四边形 是平行四边形，
，
∴平行四边形 是矩形；
（2）解： 四边形 是矩形，
，
，
，
，
设 ，
在 中， ，
在 中， ，
，
解得： ，
，
．
【变式3-2】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图，在 中， 于点E，延长 至点F，使
，连接 ， 与 交于点O．
(1)求证：四边形 为矩形；
(2)若 ， ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)2.4
【分析】本题考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理的逆定理，关键是由平行四边形的性
质推出 ，由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，（1）由平行四边形的性质推出 ， ，得到 ，判定四边形 是平行四边形，
而 ，即可证明四边形 是矩形．
（2）由勾股定理的逆定理判定 是直角三角形，由三角形面积公式得到 ，即可求出 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
（2）解：由（1）知：四边形 是矩形，又 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形，
∴ 的面积 ，
∴ ，
∴ ．
【变式3-3】（2026八年级下·江苏·专题练习）如图， 中， ， 平分 ， ，
．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)过点E作 于 ，若 ， ，求 的长．【答案】(1)见解析
(2) 的长为
【分析】本题主要考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握
勾股定理．
（1）根据等腰三角形的性质得 ，再根据平行线的性质得 ，然后根据 ，
可得 ，即可得出结论；
（2）根据等腰三角形的性质求出 ，再根据勾股定理得 ，然后根据矩形的性质得
， ，最后根据三角形的面积相等得出答案．
【详解】（1）证明： 中， ， 平分 ，
， ，
， ，
， ，
四边形 是矩形；
（2）解： ， 平分 ， ， ，
．
在直角三角形 中，由勾股定理得： ．
四边形 是矩形，
， ．
，
．
类型四、根据矩形的性质与判定解决多结论问题
方法总结
1. 逐项检验：对每个结论，分别判断其是否可由已知条件结合矩形性质或判定必然推出。
2. 构造反例：对于不一定成立的结论，尝试构造特殊矩形（如正方形）或改变形状进行验证。
解题技巧
1. 图形直观：准确画出一般矩形（非正方形）示意图，结合测量直观判断。
2. 逻辑推理：系统梳理矩形的性质链（边、角、对角线），结合全等、相似等几何知识严密推理。例4．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形 中对角线相交于点O，有以下结论：①
；②若 ，则 是等边三角形；③ ；④ ；⑤ 平分
．正确结论的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得
， ，结合图形，等底同高，所以 ，当 ，则
是等边三角形，据此即可作答．
【详解】解：∵矩形 中对角线相交于点O，
∴ ， ，
故③是正确的；
∴ ，
故①是正确的；
∵若 ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴ 是等边三角形
故②是正确的；
依题意，无法证明 ，
故④是错误的；
依题意，无法得出 平分 ．
故⑤是错误的；
故选：B．【变式4-1】（24-25八年级下·北京大兴·期中）如图，在矩形 中，点 ， 分别在 ， 上，
和 都是等边三角形，连接 交 于点 ．有下列结论：① ，② ，③
垂直平分 ，④ ．其中正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据矩形的性质得出 ， ，根据等边三角形的性质得出 ，
即可推得 ，得出①结论正确；根据垂直平分线的判定可得 垂直平分 ，得出③结论正确；
根据等边三角形的性质得出 ， 平分 ，根据全等三角形的判定和性质得出
，得出②结论正确；根据 度角的直角三角形所对的边是斜边的一半和勾股定理得出
，结合垂直平分线的判定和性质得出 ，即可得出④结论正确．
【详解】解：在矩形 中， ， ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
故 ，
即 ，①结论正确；
∵ ， ，
即点 、 都在 的垂直平分线上，故 垂直平分 ，③结论正确；
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， 平分 ，
∴ ， ，
∵ ， ， ，∴ ，
∴ ，②结论正确；
在 中， ，
∴ ，
故 ，
又∵ ， ，
即点 、 都在 的垂直平分线上，故 垂直平分 ，
∴ ，
即 ，④结论正确；
故结论正确的有 个．
故选：D．
【变式4-2】（24-25八年级下·山东聊城·期中）如图，矩形 中，O为 中点，过点O的直线分别
与 、 交于点E、F，连结 交 于点M，连结 、 ．若， ，则下列结论，其中正
确结论的个数是（ ）
① ；② ；
③四边形 是菱形；④ ．
A．1个 B．2个 C．2个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据已知得出 ，可求得 与 关于直线 对称，进而求得 ，
；②因为 ，故 不会全等于 ；
③先证得 ，再证得 ，进而证得 ，因为 、 互相平分，即可证得
四边形 是菱形；
④可通过面积转化进行解答．
【详解】解：连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， 、 互相平分，
∵O为 中点，
∴ 过O点，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ （ ），
∴ 与 关于直线 对称，
∴ ， ；
故①正确；
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ （ ），
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
故③正确；
∵ ，
∴ 错误．
故②错误；
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故④错误；
综上所述，正确的有2个，故选：B．
【变式4-3】（24-25七年级下·辽宁大连·月考）如图，在矩形 中， 为 中点， 过 点且
分别交 于 ，交 于 ，点 是 中点且 ，则下列结论正确的个数为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得 ，再根据等边对等角可
得 ，根据直角三角形两锐角互余求出 ， ，故①正确；设
，表示出 ，利用勾股定理求出 ，得到 ，再求出 ，得到
，故③错误；求出 ，证明出 ，得到 ，求出 ，
故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确．
【详解】解：∵ ，点G是 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，故①正确；
∴ 是等边三角形，
设 ，则 ，
由勾股定理得， ，
∵O为 中点，
∴ ，∴ ，
∴ ，故③错误；
在 中，由勾股定理得， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵
∴
又∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，故②正确；
∵ ， ，
∴ ，故④正确；
综上所述，结论正确的是①②④．
故选：C．
类型五、斜边上的中线等于斜边的一半
方法总结
1. 定理应用：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2. 逆定理：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
解题技巧
1. 构造直角三角形：遇到中点及垂直条件，常连接直角顶点与斜边中点构造中线。
2. 求线段长度：已知斜边，则中线长为其一半；已知中线，则斜边长为中线的2倍。
例5．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在 中， 是 边上的高线， ．(1)若 ， ，求 的长．
(2)若 是 边上的中线， ，求证： ．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质．
（1）根据已知条件分别求得 ，进而根据勾股定理求得 ，即可；
（2）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出 ，根据已知可得 ，即可
得出 ，进而根据等腰三角形的性质，即可得证．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∵ 是 边上的高线，
∴ ，
在 中， ；
（2）证明：∵ 是 边上的高线，
∴ ，
∵ 是 边上的中线，
∴ ，
又∵ ．
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式5-1】（25-26九年级上·陕西榆林·期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 ，
点 是 、 的中点，点 在四边形 外，连接 ，且 ， ．(1)求证：四边形 是矩形；
(2)若 ， ，求矩形 的面积
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】此题主要考查了矩形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性
质，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
（1）首先根据 为 和 的中点，得出四边形 是平行四边形，在 中 ，结合
，得到 ，可证出结论．
（2）根据矩形性质求出 ，求出 ，根据直角三角形的性质求出即可．
【详解】（1）证明：∵ 是 、 的中点，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又 ∵四边形 是平行四边形，
∴平行四边形 是矩形．
（2）解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
，
∵四边形 是矩形，
，
，，
．
【变式5-2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与实践
问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于 ，
那么它所对的直角边等于斜边的一半．即：如图，在 中， ，则： ．
探究结论：我们在以上结论的基础上作进一步研究．
(1)如图1，取 边的中点 ，连接 ，易得结论： 为等边三角形，请说明理由，
(2)如图2， 为 的中线，点 是边 上任意一点，连接 ，作等边 ，且点 在 的
外部，连接 ．试探究线段 与 之间的数量关系，写出你的猜想并加以证明．
(3)如图3，当点 为边 延长线上任意一点时，在（2）中条件的基础上，如果 ，求
的度数，请直接写出你的结论．
【答案】(1)见解析
(2) ，证明见解析
(3)
【分析】（1）根据直角三角形的性质得到 ， ， ，根据等边三角形的
判定定理证明；
（2）连接 ，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，根据垂直平分线
的性质得到 ，证明结论；
（3）根据题意画出图形，由（2）的证明方法证明 ， ，进一步利用等腰三角形的性质与三
角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）解： ， ，
， ，为 边上的中线，
，
，
是等边三角形．
（2）解：猜想 ，理由如下：
， 都是等边三角形，
， ， ，
，
在 和 中，
，
，
，
．
，
．
，
．
（3）解： ， 都是等边三角形，
， ， ，
，即 ，
则 ，
，
同（2）可知， ， ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∵ ，
∴ ．
【变式5-3】（25-26八年级上·河南焦作·期末）如图，在 中， ， ．
(1)观察猜想：如图1，作 边上的中线 ，得出以下结论：
① 的形状是___________；
② 与 之间的数量关系为___________．
(2)探索发现：如图2， 是 的中线， 是边 上任意一点，连接 ，作等边 ，且点
在 的内部，连接 ．试探究线段 与 之间的数量关系，写出你的猜想并说明理由．
(3)拓展应用：如图3，分别以 为边作等边三角形 和等边三角形 ，连接 交 于点 ，
若 ，则 的长为___________．
【答案】(1)①等边三角形；②
(2) ，理由见解析
(3)8
【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、30度角的直角三角形的性质直角三角
形斜边中线的性质和线段垂直平分线的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键．
（1）①由题意可得 ，根据30度角的直角三角形的性质和 为 边上的中线可得
，进而可得结论；②根据等边三角形的性质和 即可证得结论；
（2）连接 ，根据等边三角形的性质可证得 ，可得 ，进而可得
垂直平分 ，然后根据线段垂直平分线的性质和等量代换即可得到结论；
（3）根据等边三角形的性质和等量代换求出 ，连接 ，根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质可得 和 ，进而可得 ，再利用 证明
可得 ，进而求解即可．
【详解】（1）解：① ， ，
，
为 边上的中线，
，
是等边三角形；
② 是等边三角形，
．
，
；
故答案为：等边三角形， ；
（2）解： ，理由如下：
连接 ，如图，
， ，
， ，
又 是 的中线
，
，
又 是等边三角形
， ，
，，
，
又 ，
是 的垂直平分线
；
（3）解：在 中， ；
∵ 是等边三角形，
∴ ．
∴ ，
∴ ，
过点P作 的中线 ，如图，
∵ 是等边三角形，且点E是 的中点，
∴ ， 是 的角平分线，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ．
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，∵E是 的中点，
∴ ．
∴ ，
故答案为：8．
类型六、矩形的性质与判定的综合问题
方法总结
1. 先判后用：首先利用已知条件（如一个角是直角的平行四边形）判定四边形为矩形。
2. 以性求值：再运用矩形的性质（四个角为90°、对角线相等）求角度、线段长或证明新结论。
解题技巧
1. 判定择优：优先选择条件最直接的判定定理（如“有三个角是直角的四边形”）。
2. 数形结合：将几何关系转化为方程，常在直角三角形中用勾股定理，或用全等三角形传递边角关
系。
例6．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图1，在 中， 为 上一点，连接 ，分别作 ，
的平分线 ， ．
(1)求 的度数
(2)若 ， ，试判断四边形 的形状，并说明理由：
(3)如图2，在（2）的条件下，若 ， 为 外一点， 平分 ， ，且
，求 的长．
【答案】(1)
(2)四边形 是矩形，理由见解析
(3)
【分析】（1）由角平分线的性质可得 ， ，根据
即可求出答案；
（2）证明 ，得到 ，从而得到，再结合 ，即可证明结
论；
（3）过点 作 于点 ，先证 是等边三角形，再根据已知可得 ，
，设 ，在 、 中，表达出 ， ，列方程解出x，
即可得到答案．
【详解】（1）解： ， 分别是 ， 的平分线．
， ，
．
（2）四边形 是矩形，理由如下：
∵ 平分 ，
∴ ，
，
．
在 和 中，
，
，
，
，
， ，
．
又 ，
四边形 是矩形．
（3）如图，过点 作 ，交 的延长线于点 ．由（2）知 ，
，
是等边三角形，
．
，
．
平分 ， ．
， ．
， ， ．
设 ，则在 中， ， ，
在 中， ， ，
，
，
，
解得 ，
．
【变式6-1】（2025八年级上·上海·专题练习）如图①，在四边形 中，
，点E是 上一点，连接 交 于点G，延
长 交 的延长线于点F．(1)若 ，求证： ；
(2)如图②，在（1）的条件下，连接 ，求证： ；
(3)如图③，四边形 关于直线 的对称图形为四边形 ，延长 交 于点P．若
，求四边形 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）证明 ，即可解答；
（2）过点 作 交 于 ，证明 ，得到 ，再证明 ，
得到 ，即可解答；
（3）由勾股定理可得 的值，可得 ，证明 ，再证明 为等边三角形，可得
，最后根据梯形面积公式即可解答．
【详解】（1）证明：∵
∴四边形 为矩形，
则 ，
，
，
，
，
，，
在 和 中，
，
，
；
（2）证明：过点 作 交 于 ，如图2所示：
则 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
， ，
， ，，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
，
；
（3）解：由（1）得四边形 是矩形，
，
在 中，由勾股定理得： ，
，
，
，
∵四边形 与四边形 关于直线 对称，
，
，
，，
，
，
为等边三角形，
，
∴梯形 的面积为： ，
故答案为： ．
【变式6-2】（25-26九年级上·湖北孝感·期末）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩
形纸片展开探究活动：
【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图 的形状，连接 ， ， ，则 °；
【解决问题】（2）将矩形 绕点 顺时针转动，边 与边 交于点 ，连接 ．如图2，当
时，求证： 平分 ；
【迁移应用】（3）如图 ，将矩形 绕点 顺时针转动，当点 落在 上时，连接 ， ，
交 于点 ，过点 作 于点 ．
①求证： ；
②若 ， ，直接写出 的长．
【答案】（1） ；（2）见解析；（3） 见解析，
① ②
【分析】（1）利用两个矩形完全相同的条件，得到对应边相等，从而证明三角形全等，结合全等三角形
的角相等关系，推导出 为直角，再由等腰直角三角形的性质得出 的度数；
（2）利用等边对等角得到角相等，结合矩形对边平行的性质，通过平行线的内错角相等完成角的等量代换，从而证明角平分线；
（3） 先通过矩形性质与平行线性质得到角相等，证明三角形全等，推出对应边相等，再结合矩形的边
相等关①系，证明另一组三角形全等，从而得到 与 相等；
先利用勾股定理求出线段长度，结合全等三角形的对应边相等，得到相关线段的长度，再通过勾股定理
②计算出 的长度，最终得出 的长度．
【详解】解：（1） 两个完全相同的矩形纸片，
， ， ，
，
，
，
；
（2）证明： ，
，
四边形 是矩形，
，
，
，
平分 ；
（3） ，
① ，
，
，
，
， ，
，
， ，
，
，
， ，，
；
， ，
②
，
，
，
， ，
，
，
，
，
．
【变式6-3】（25-26九年级上·福建漳州·期中）教材再现：
(1)如图1，在矩形 中， ， ，P是 上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作
和 的垂线，垂足分别为E，F，则 的值为_____．
知识应用：
(2)如图2，在矩形 中，点M，N分别在边 上，将矩形 沿直线 折叠，使点D恰好与
点B重合，点C落在点 处，点P为线段MN上一动点（不与点M，N重合），过点P分别作直线
的垂线，垂足分别为E和F，以 为邻边作平行四边形 ，若 ， ，的周长是否为定值？若是，请求出 的周长；若不是，请说明理由．
(3)如图3，当点P是等边 外一点时，过点P分别作直线 的垂线、垂足分别为点E、
D、F．若 ，求出 的面积．
【答案】(1)
(2)是定值，值为24
(3)
【分析】（1）如图1，记 与 的交点为O，连接 ，则 ， ，
根据 ，计算求解即可；
（2）由四边形 是矩形，可得 ，则 ，如图
2，连接 ，过点M作 于H，则四边形 是矩形， ，由折叠的性质得：
，则 ，可得到 ，由勾股定理得： ，
根据 ，即 ，可求 的值，然后求周长即可；
（3）由等边 ，可知 ， ，如图3，连接 ，作 于 ，
可求 ，则 ，即
，求 的值，然后求面积即可．
【详解】（1）解：如图1，记 与 的交点为O，连接 ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ；
（2）解： 的周长是定值，理由如下：
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
如图2，连接 ，过点M作 于H，则四边形 是矩形，
∴ ，
由折叠的性质得： ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，
∴ 的周长为 ，
∴ 的周长是定值，值为24；
（3）解：∵等边 ，
∴ ， ，
如图3，连接 ，作 于 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的面积为 ．类型七、与矩形的性质与判定有关的作图
方法总结
1. 依据性质作图：根据矩形对边相等且平行、四个角为直角的性质，利用尺规作平行线、垂线或截取等
长线段。
2. 依据判定构图：以满足矩形判定条件（如作一个角为直角的平行四边形）为目标，逆向设计作图步
骤。
解题技巧
1. 先定直角：通常先作出一个直角，再根据条件（如边长）完成矩形。
2. 借助对角线：利用“对角线互相平分且相等”的性质，通过作线段的中垂线或等圆确定顶点。
例7．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，已知矩形 ．
(1)请用直尺与圆规按下列步骤作图，保留作图痕迹；
①以点A为圆心，以 的长为半径画弧，交 于点E，连接 ；
②作 的平分线交 于点F；
③连接 ；
(2)在（1）作出的图形中，若 ， ，求 的面积．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查基本作图，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可；
（2）先证 ，推出 ，再由勾股定理解 和 即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：由作图知 ， ，
又 ，，
，
四边形 是矩形，
， ， ，
在 中， ， ，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得 ，
，
．
【变式7-1】（2025九年级·江西·专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点．请仅用无刻
度的直尺，分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1)如图①，若 ，请在BC边上找点G，使 ．
(2)如图②，P为AB边上一点，请在CD边上找点K，使 ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ， 交于点 ，连接点 与点 并延长，交 于点 ，则点 即为所求；
（2）连接 ， 交于点 ，连接 并延长，交 于点 ，连接 交 于点 ，连接 并延长，
交 于点 ，则点 即为所求．
【详解】（1）解：如图①所示，点G即为所求．（2）解：如图②所示，点K即为所求．
【变式7-2】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，已知矩形 ， ， ，点 是边
上一点，连接 ．
(1)在边 上作出点 ，使得点 到 的距离等于线段 的长度；（用无刻度的直尺和圆规作图，保留
作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设点 到 的垂线段为 ，连接 ，若点 刚好是 的中点，补全图形（无需
尺规作图），并求此时 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)画图见解答； 的长度为
【分析】（1）作 的角平分线，交 于点 ，根据角平分线的性质得点到的距离等于．
（2）根据四边形 为矩形， ， ， ，证明，即可得出 ，再证 ，设 ，则
， ，由勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：如图，作 的平分线，交 于点 ，
则点 即为所求．
（2）如图所示，
由题意得， ， ．
四边形 为矩形，
， ， ．
在 和 中，
，
，
．
点 为 的中点，
，
．
在 和 中，
，，
．
设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得， ，
即 ，
解得 ，
的长度为 ．
【变式7-3】（24-25八年级下·重庆·开学考试）在矩形 中， 是 边上一定点， 是直线 上一
动点，将 沿直线 翻折，点B的对应点为G．
(1)若点G落在矩形的内部，且E，G，D三点在一条直线上时，请在图中作出此时的点G和直线 ；
（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若 ， ， ，求 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)1
【分析】（1）连接 ，作 的角平分线、截取 即可；
（2）利用勾股定理求出 ，再证明 ，可得结论．
【详解】（1）解：如图，直线 ，点 即为所求作．
（2）解： 四边形 是矩形，
， ， ，
，
，，
由作图可知， ，
，
，
，
，
．
一、单选题
1．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，在矩形 中，对角线 相交于点 ， 于
点 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和，熟练掌握矩形的性质、等腰三角
形的性质及三角形内角和是解题的关键；由题意易得 ，则有
，然后问题可求解．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ；
故选A．
2．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，在平行四边形 中，对角线 交于点
．若 ， ， （ ）
A．4 B． C． D．8
【答案】C
【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟
练掌握矩形的判定与性质．
根据条件得出平行四边形 为矩形，得出 ，然后根据含 角的直角三角形的性质和勾股
定理，进行求解即可．
【详解】解：∵四边形 是平行四边形，且 ，
∴平行四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
3．（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）矩形 中，点M在对角线 上，过M作 的平行线交
于E，交 于F，连接 和 ，已知 ， ，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明 ．
根据矩形的性质和三角形面积关系可证明 ，即可求解．
【详解】解：过M作 于P，交 于Q，如图所示：
∵四边形 是矩形，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 ，四边形 ，四边形 ，四边形 都是矩形，
∴ ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
4．（25-26九年级上·山西晋中·期末）如图，矩形纸片 中， ， ，同学们按以下所给图步骤折叠这张矩形纸片，则线段 长为（ ）
A．8 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了矩形中的折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质．由 通过折叠
得到 可得： ， ，推出 ，由矩形 通过折叠得到
矩形 可得： ，得到 为等腰直角三角形，最后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：由 通过折叠得到 可得： ， ，
则 ，
由矩形 通过折叠得到矩形 可得： ，
， ，
为等腰直角三角形，
，
，
故选：D．
5．（2026·陕西·一模）如图，在矩形 中， ， ，点E、F分别是边 、 上的动点
（点E不与A、B重合）且 ，若点G在五边形 内，且满足 ， ．则以
下结论正确的有（ ）个．
① 与 一定互补；②点G到边 ， 的距离一定相等；③点G到边 ， 的距离不可能相等；④点G到边 的距离的最大值为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查矩形的性质、全等三角形的判定以及三角形内角和定理，关键是对知识的掌握和运
用，根据矩形的性质得出 ，又 ，由四边形内角和为 可判断①；过 作 ，
，分别交 于 ，交 于 ，根据同角的补角相等 ，可以求出
，然后证明 ，可以判断②；由 ， 和②的结论可以判断③；
当四边形 是正方形时，点 到 的距离最大，从而可以判断④．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
又∵ ，四边形内角和是 ，
∴ ， 故①正确；
过 作 ， ，分别交 于 ，交 于 ，如图所示：
∵ ，
∴ ， 即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故②正确；延长 交 于 ，延长 交 于 ，
根据题意可知 ， ，从而得到 ，即 分别为点 到边 的
距离，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
由②知 ，则 ， 即点 到边 的距离不相等，故③正确；
在直角三角形 中， ，当点 重合时 最大，
∵ ，
∴ ，故④正确，
故选：D．
二、填空题
6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， ，
，则 的度数为 ．
【答案】102.5°
【分析】本题主要考查矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等是解决此题的关键．
由四边形是矩形，得出 ，由 ，进而得到 ，根据 得到
，进而得到 ．
【详解】解：∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
7．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在 中， ， 是 上的两点， ，连接 ，
， ， ．为使得四边形 是矩形，可以添加的一个条件是 （写出一
种情况即可）．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与
性质是解题的关键．
由平行四边形的性质可知， ， ，再证 ，则四边形 是平行四边形，添加
，由矩形的判定可得出结论．
【详解】解：添加的一个条件是： ．
理由如下：∵四边形 是平行四边形，
， ，
∵ ，
∴ ，即 ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是矩形，添加的条件符合要求．
故答案为： （答案不唯一）．
8．（25-26九年级上·浙江宁波·自主招生）在矩形 中， ， ，将 沿矩形 对
角线 折叠到 ，直线 与 交于点 ，则 的面积为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，解题的关键是熟练掌
握基本的性质．根据矩形的性质得出 ， ， ，根据折叠得出 ，
， ，证明 ，得出 ，设 ，则 ，
根据勾股定理得出 ，求出 ，根据三角形面积公式求出结果即可．
【详解】解：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
根据折叠可得： ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
根据勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在正方形 中，点 为对角线 上的一点，
，垂足分别为 、 ，若 ，则 的长度为 ．【答案】
【分析】连接 ， ，根据正方形的性质证明 ，进而证明四边形 是矩形，勾股定
理求得 即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，
四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关
键是熟练掌握矩形的对角线相等．
10．（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，矩形 的顶点 在坐标原点，边 、 分别在 、轴正半轴上， ， ， 是 中点， 在 轴上移动，将 沿 翻折至 ．当
的长最小时，此时 点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，两点距离计算公式，一次函数，解题的关键是掌握相关知识的
灵活运用．
连接 ， ，根据矩形的性质可求出 ，由折叠的性质可得 ，根据
，则当 、 、 三点共线时， 有最小值；求出直线 解析式为 ，设
，则 ，解方程即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ， ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ 是 中点，
∴ ；
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴当 、 、 三点共线时， 有最小值；
设直线 解析式为 ，∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 解析式为 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴点F的坐标为 ；
故答案为： ．
三、解答题
11．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在矩形 中，点 在 上， 平分 ．
(1)求证： 是等腰三角形．
(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)【分析】（1）根据矩形的性质，可以得到 ，从而可以得到 ，根据角平分线的定义，
可以得到 ，进而得到 ，然后根据等角对等边即可证明结论；
（2）根据矩形的性质得到 是等腰直角三角形，然后根据勾股定理可以求得 的长，再根据（1）中
得到的 ，即可得到 的长．
【详解】（1）证明： 四边形 为矩形，
，
．
平分 ，
，
，
，
是等腰三角形．
（2）解： 四边形 是矩形，
．
， ，
是等腰直角三角形，
，
．
由（1）知 ，
．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义，解答本题的关键
是明确题意，熟练掌握等腰三角形的判定．
12．（25-26九年级上·广东深圳·月考）如图， 是矩形 的对角线，延长 至点 ，使 ，
请用无刻度的直尺及圆规按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）(1)作 的边 上的高 ，并写出简单的作图说明；
(2)延长 交 ， 分别于 ， 两点，连接 、 ，请你判断四边形 的形状并说明理由；
(3)若 ， ，请你求出 的长度．
【答案】(1)见解析
(2)四边形 是菱形，理由见解析
(3) 的长度为
【分析】（1）连接 交 于点 ，连接 ，由四边形 是矩形可知点 为 中点（矩形对角
线互相平分），由 可知 即为 中 边上的高（三线合一）；
（2）由矩形性质得 ，结合 ，证出 ，判定四边形 是平行四
边形；再结合 ，根据 “对角线垂直的平行四边形是菱形”即可确定其为菱形；
（3）设 ，则 ，，结合矩形中 、 ，通过勾股定理列方程
，求解即可得 的长度．
【详解】（1）解：如图，连接 交 于点 ，连接 ，由四边形 是矩形可知点 为 中点
（矩形对角线互相平分），由 可知 即为 中 边上的高（三线合一）；
（2）解：四边形 是菱形，如图，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵ ，
∴四边形 是菱形；
（3）解：∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得：
，
∴ ，
解得 ，即 的长度为 ．
【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质（三线合一）、菱形的判定、勾股定理，利用矩形的
平行与垂直性质、等腰三角形三线合一推导线段关系，结合勾股定理建立方程是解题的关键．
13．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图所示，在 中， ， 是中线， 是 的
外角 的平分线， ，垂足为E．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)连接 ，若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了三线合一，矩形的判定和性质，勾股定理.（1）根据等腰三角形三线合一得到 ， ， ，根据角平分线
的定义得到 ，可知 ，根据垂线的定义得到 ，可证四边形
是矩形；
（2）根据勾股定理得到 ，根据矩形的性质得到 ， ，根据勾股定理计算即
可.
【详解】（1）证明：∵ ， 是中线，
∴ ， ， ，
又∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）解：∵ ， 为中线．
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ．
14．（25-26九年级上·辽宁丹东·期末）如图，在 中， ， 为 边上的中线，点 为
的中点，连接 ，将线段 绕着点 顺时针旋转 到 ，连接 ， ．
(1)求证：四边形 是矩形；(2)若 ， ，求 的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）先证明 ，可得 ， ，由平行四边形的判定可证
四边形 是平行四边形，再由矩形的判定可得结论；
（2）由勾股定理可求 ， 的长，由矩形的性质和勾股定理可求 的长．
【详解】（1）证明： ， 为 边上的中线，
， ∵，
∴将线段 绕着点 顺时针旋转 到 ，
∵ ， ，
∴点 ，点 ，点 三点共线，
∴点 为 的中点，
∵ ，
∴在 和 中，
，
，
∴
， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵四边形 是矩形；
∴（2）解： ，点 为 的中点，
∵，
∴ ，
∴ ，
∵∴
，
∵
∴
，
∴
解得： 或 （不符合题意，舍去），
，
∴四边形 是矩形，
∵ ， ，
∴
．
∴
的长为 ．
∴
【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，勾股定理，全等三角形
的判定和性质．证明三角形全等是解题的关键．
15．（25-26九年级上·江西九江·期中）课本再现
思考：我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？可
以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
定理证明
（1）为了证明该定理，小聪同学画出了图形（图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义
出发完成证明过程．
已知：在平行四边形 中，对角线 ，交点为O．
求证：四边形 是矩形．
应用定理
（2）如图2，在 中，O为 的中点，延长 交 的延长线于点E，连接 ，
， ．求证：四边形 是矩形．（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）．
【答案】（1）证明见解析；（2）见解析
【详解】本题主要考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质：（1）证明 ，可得 ，再结合 ，可得 ，即可求证；
（2）证明∴ ，可得 ，可得到四边形 是平行四边形，再由 ，可得
，即可求证．
（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形
（2）证明：∵O为 的中点，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形．
16．（25-26九年级上·浙江宁波·月考）矩形折叠问题：如图，把矩形 （ ）折叠，折痕为 ，点 在边 上，点 在边 上，记点 落在点
处，点 落在点 处．
(1)如图1，已知 ， ．
①甲同学折叠时使 ，点 落在矩形 的一边上，求 的长．
②乙同学折叠时使 ，且 ，求 的长．
(2)如图2，点 在点 处，作 的平分线交 的延长线于 ，过 作 的平行线交 ， 分别
于R，T．连结 ， ，若 ， ，求 的值．
【答案】(1)① 的长为 或 ；② 的长度为
(2)
【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，具有极强的综合性，解题的关键在
于添加准确的辅助线确定运动状态．
（1）①对点P的落点进行分类讨论，分析当点 落在 、 边上，结合折叠性质，矩形的性质，勾股
定理，依次计算可得的边长，令 ，通过等量关系得出对应方程，进行求解即可；②由关键信
息 ，结合折叠性质，可得出 ， ，通过假设 ，得出相
关线段的表达式，利用方程解出答案；
（2）令 ， ，根据特殊平行四边形的性质，得出其他线段的表达式，结合勾股定理，得出
，通过角度关系，证出 ，也能得出 的另一种表达式为 ，
故可得方程 ，解出 即可得出 的值．【详解】（1）解：①当点 落在 边上时，过点 作 交 于点 ，如下图所示：
∵ ，
∴四边形 为矩形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
令 ，
∴ ，
又∵ ，
由 得 ，
得方程 ，
解得 ，
故此时 的长度为 ；
当点 落在 边上时，连接 ，如下图所示：
由 ，可得 ，
解得 ，∴ ，
令 ，
∴ ，
在 和 中，
， ,
∴ ，
可得方程
解得 ，
故此时 的长度为 ；
综上，当点 落在矩形 的一边上， 的长为 或 ．
②连接 、 、 、 、 ，过点 作 交 于点 ，延长 交 于点 ，如下图所示：
根据翻折的性质，可得 ，
∴ ，
∵ ，
故 ，
观察图象，可知 ，
，
∴要满足 ，应满足 ，令 ，则 ，
∵翻折的性质，
∴ ，
在 中，可得 ，
在 中，可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ 为 的角平分线，结合 ，
∴ ，且点 为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
得方程 ，
解得 或 ，
故 的长度为 ．
（2）解：延长 交 于点 ，如下图所示：
∵翻折的性质，
得 ， ，
∵ 平分 ，
∴ ， ，
故四边形 为正方形，令 ， ，
∴ ，
由 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴四边形 为平行四边形，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵四边形 为平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
得方程 ，
解得 ，
∴ ．
