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专题 05 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、长方形中折痕过对角线模型
类型二、长方形中折痕过一顶点模型
类型三、长方形中折痕过任意两点模型
类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
压轴专练
类型一、长方形中折痕过对角线模型
【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
例1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处，
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．【变式1-1】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在长方形 中， ，
， ， ，且 ，将长方形沿对角线 折叠，点B的对应点
为 ， 与 相交于点E．则线段 的长为 ．
【变式1-2】如图，长方形 中， ， ， ．点
为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
类型二、长方形中折痕过一顶点模型
【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形 中， ， ，点 为边 上的
一个动点，把 沿 折叠，若点 的对应点 刚好落在边 上，则 的长为 ．
【变式2-1】如图，在长方形 中， ， ， ，沿边 所在直线翻折 ，
与 重合，点F在 上，则 的长是 ．
【变式2-2】（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形纸片 的一边，使点 落在
边的 处， 是折痕，已知 ， ，求 的长．
【变式2-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形 中， ，
， ．(1)如图（1）， 为边 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落在点 处）．
①如图（2），当点 落在边 上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕 ，画出 ，（不写
做法，保留作图痕迹）并直接写出此时 _______．
②在①的条件下，求 的长．
(2)已知 为射线 上的一个动点，将 沿直线 翻折，点 落在直线 上的点 处，求 的
长．
类型三、长方形中折痕过任意两点模型
【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为
C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。例3．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片 折叠，使点 与点 重合，点 落
在点 处，折痕 分别与 ， 交于点 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，则 的面积为__________．
【变式3-1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，将长
方形 沿线段 折叠到如图的位置，使得点C与线段 的中点 重合，则 的长为 ．
【变式3-2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片 中， 厘米，
厘米．现将纸片沿直线折叠，使 点与 点重合，折痕为 ．则阴影部分的面积是 平方厘
米．
【变式3-3】（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在长方形纸片 中，四个角是直角，对边平行，
， ．点 、 分别在 、 边上，连接 ，如图1，把长方形纸片沿着
折叠，设 、 的对应点分别是 、 ．(1)当 时，则 ______．
(2)在折叠的过程中，当 的对应点 恰好与点 重合时，请结合图2，求出 和 的长；
(3)在折叠的过程中，当点 落在直线 上，且 时，请直接写出 的长．
类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例4．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图， 中， ， ， ，把 沿
折叠，使边 与 重合，点B落在 边上的 处，则折痕 等于 ．
【变式4-1】如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使
得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）A． B． C． D．
【变式4-2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，
，现将直角边 沿直线 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，试求 的长．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【变式4-3】（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，将 纸片沿 折叠，使直角顶点C与
边上的点E重合，若 ．
(1)求线段 的长；
(2)求线段 的长．
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例5．如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重
合，折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在直角三角形 中， ，把
沿直线 折叠，点A与点B重合；若 ，则 的长为 ．
【变式5-2】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ，
．将 按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长．
【变式5-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．
【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片 中， ，将 沿 折叠，使点 与点 重合，折痕和
交于点 ，求 的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于 ，若
，求 的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片 中， ，点 为射线 上一个动点，把 沿直线
折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长（注：长方形的对边平行且
相等）．
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例6．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在 中， ，点D，E分别在边 上，连
接 ，将 沿 折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在 边上．若 ， ，则的长为 ．
【变式6-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在 中， ， ．如图D、
E分别是 和 边上的点，把 沿直线 折叠，若点B落在 边上的点F处，则 的最小值是
．
【变式6-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在 中， ，点P，Q
分别是边 上的动点，沿 所在的直线折叠，使得点C的对应点 始终落在线段 上，若
为直角三角形，则 的长为 ．
【变式6-3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 上的动点，
连接 ，将 沿直线 折叠得到 ，点 落在 上．
(1)如图1，若点 是 的中点．
①求证： ；
②连接 ，求证： ；(2)如图2，若 ，且点 是 的中点，判断线段 ， 与 之间存在的数量关系，并证明．
一、单选题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片 ， ， ，
．将三角形纸片沿 翻折，使点 落在直角边 延长线上的点 处，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形 中， ， ，将此长方
形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角
A翻折，使得点A落在边 的中点D处，折痕交边 的延长线于点E，交边 于点F，则 的长为
（ ）A．1 B．2 C． D．
4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片 中， ， ， ，
沿过点 的直线将纸片折叠，使点 落在 上的点 处，折痕交 于点 ，再折叠纸片，使点 与点
重合，折痕交 于点 ，交 于点 ，则 的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形 中， ， ，点 为射线 上一动
点（不与点 重合），将 沿 所在直线折叠，点 落在点 处，连接 ，当 为直角三角
形时， 的长为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
二、填空题
6．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， ， ，将 沿
折叠，使点 与点 重合，则 的长度为 ．7．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形 中， ，将 沿 翻折，得
到 ，其中， 与 相交于点 ，则 为
8．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，将边长为 的正方形 折叠，使得点 落在 边上
的点 处，折痕为 ．若 的长为 ，则 的长为 ．
9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在 中， ，点 为 上一个动点，连接
，将 沿 折叠得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，若 ， ，当 为
直角三角形时，线段 的长为 ．
10．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在 中， ， ， ，D，E分别是边
上的两个动点．将 沿直线 折叠，使得点B的对应点 落在边 的三等分点处，则线段
的长为 ．三、解答题
11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片 中， ， ，
，现将直角边 沿过点 的直线折叠，使它落在 边上、若折痕交 于点 ，点 落在点
处，你能求出 的长吗？请写出求解过程．
12．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片 中， 为 的中点，连接 ，将 沿
折叠得到 ，连接 ．若 ， ，求 的长．
13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：
如图1，在长方形 中， ， ， ， ，
．将长方形 沿 翻折，点A的对应点为D， 与 交于点E， ， ．
(1)求 的长；
(2) 的面积为__________；
(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．
当 是等腰三角形时，求符合条件的t的值；
14．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究
如图，在 中， ， ， ，且 ， 满足 ， ， 分别是边 ，上的动点，连接 ．将 沿直线 折叠得到 ，点 恰好落在边 上．
(1)求边 的长．
(2)如图 ，若 为 的中点．求证： ．
(3)如图 ，若 为 的中点．
试猜想线段 ， 与 之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段 的长．
15．（25-26八年级上·重庆北碚·月考）在长方形 中， ．P为 上一点，
将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E在边 上时，求 的长度．
(2)如图2，当点E在边 外时， 与 相交于点F， 与 相交于点G，且 ，求 的长．
(3)如图3，已知点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点B恰好落在直线 上的点 处，
求 的长．
