文档内容
专题 05 利用勾股定理解决折叠问题的六类综合题型
目录
典例详解
类型一、长方形中折痕过对角线模型
类型二、长方形中折痕过一顶点模型
类型三、长方形中折痕过任意两点模型
类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
压轴专练
类型一、长方形中折痕过对角线模型
【方法总结】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠 ABC，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEC是等腰三角形。
例1．（24-25八年级上·全国·期中）如图，将长方形 沿着对角线 折叠，使点 落在 处，
交 于点 ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的面积．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由折叠可知， ，再由 ，得到 ，即可得到
，于是由等腰三角形性质确定 即可得证；
（2）设 ，则 ， ，在 中，由勾股定理求出 的值，再由三角形的面积公
式求出面积的值．
【详解】（1）解：由折叠可知， ，
，
，
，
；
（2）解：设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，
．
【变式1-1】（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在长方形 中， ，
， ， ，且 ，将长方形沿对角线 折叠，点B的对应点
为 ， 与 相交于点E．则线段 的长为 ．
【答案】3
【分析】本题考查的是长方形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，先证
明 ，设 ，可得 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解： 长方形纸片 沿 折叠，
∴ ，
∵在长方形纸片 中， ， ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ；
故答案为：3．
【变式1-2】如图，长方形 中， ， ， ．点
为 上的一个动点，把 沿直线 翻折得 ．
(1)当 点落在 边上时，
(2)如图2，当E点与C点重合时， 与 交点 ，求 长．
【答案】(1)45
(2)
【分析】（1）由 知 ，结合 点落在 边上知 ，从而得
出答案；
（2）由折叠得出 ，再由 得出 ，从而得知 ，可得
，设 ，则 ，在 中，由 得到关于 的方程，解
之可得．
【详解】（1）解：由题意知 ，
，
点落在 边上时， ，
，故答案为：45；
（2）如图2，由题意知 ，
四边形 是长方形，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由 得：
，
解得 ，即 ．
类型二、长方形中折痕过一顶点模型
【方法总结】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1： ≌ ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外 结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： AEF是等腰三角形。
例2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）如图，在长方形 中， ， ，点 为边 上的
一个动点，把 沿 折叠，若点 的对应点 刚好落在边 上，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、折叠的性质，由折叠的性质可得： ， ，计算出
， ，设 ，则 ，由勾股定理可得 ，
，求出 的值即可，熟练掌握勾股定理以及折叠的性质是解此题的关键．
【详解】解： 在长方形 中， ， ，
， ， ，
由折叠的性质可得： ， ，
，
，
设 ，则 ，
由勾股定理可得 ，
，
解得： ，
，
故答案为： ．
【变式2-1】如图，在长方形 中， ， ， ，沿边 所在直线翻折 ，
与 重合，点F在 上，则 的长是 ．【答案】 /
【知识点】勾股定理与折叠问题
【分析】本题考查了长方形的性质，勾股定理与折叠问题，连接 ．证明 垂直平分 得 ．
在 中，由勾股定理求出 ，然后根据 求解即可．
【详解】解：如图，连接 ．
∵四边形 是长方形，
∴ ．
根据题意， ， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 垂直平分 ，
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ．
在 中， ，
在 中， ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
故答案为： ．
【变式2-2】（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图，折叠长方形纸片 的一边，使点 落在
边的 处， 是折痕，已知 ， ，求 的长．
【答案】 的长为 ．
【分析】本题考查了勾股定理与折叠，由题意得 ， ， ，
由折叠性质可知， ， ，
通过勾股定理得 ，所以 ，设 ，则
，然后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵ 是长方形，
∴ ， ， ，
由折叠性质可知， ， ，
∴在 中， ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ 的长为 ．
【变式2-3】（25-26八年级上·江苏常州·期中）在四边形 中， ，
， ．
(1)如图（1）， 为边 上一点，将 沿直线 翻折至 的位置（点 落在点 处）．
①如图（2），当点 落在边 上时，利用尺规作图，在图（2）中作出折痕 ，画出 ，（不写
做法，保留作图痕迹）并直接写出此时 _______．
②在①的条件下，求 的长．
(2)已知 为射线 上的一个动点，将 沿直线 翻折，点 落在直线 上的点 处，求 的
长．
【答案】(1)①图形见解析， ；②
(2) 或
【分析】本题主要考查图形折叠的性质和勾股定理，尺规作图——作角平分线，熟练掌握折叠的性质是解
题的关键．
（1）①以点 为圆心，以 的长为半径作圆，交 于点 ，连接 ，作 的角平分线，交 于
一点，该点即为 ，连接 ， ， 即为所求；然后根据图形折叠的性质可知 ，利用勾
股定理即可求得 ；
②设 ，则 ，根据图形折叠的性质可知 ，根据勾股定理即可求得答案；（2）分两种情况计算：当点 在线段 上时；当点 在线段 的延长线上时；根据折叠的性质和勾股
定理构建方程即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，以点 为圆心，以 的长为半径作圆，交 于点 ，连接 ，作
的角平分线，交 于一点，该点即为 ，连接 ， ， 即为所求，
根据图形折叠的性质可知， ， ，
在 中， ．
故答案为： ．
②设 ，则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中， ，即 ．
解得 ，即 ．
（2）解：①如图所示，当点 在线段 上时．
设 ，则 ，
根据图形折叠的性质可知 ， ， ，
在 中， ，
则 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，即 ；
②如图所示，当点 在线段 的延长线上时，
根据图形折叠的性质可知 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ；
综上所述， 或 ．
类型三、长方形中折痕过任意两点模型
【方法总结】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。
已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为
C’.
结论1： ≌ ；
折在矩形内
结论2：折痕EF垂直平方BB’。
结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形边上
结论2：折痕AC垂直平方BB’。结论1：四边形 ≌四边形 ；
折在矩形外
结论2：折痕AC垂直平方BB’；
结论3： GC’F是直角三角形。
例3．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片 折叠，使点 与点 重合，点 落
在点 处，折痕 分别与 ， 交于点 ， ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，则 的面积为__________．
【答案】(1)见解析
(2)78
【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用 即可判定 ；
（2）设未知数，将问题转化到 中利用勾股定理建立方程求出结果即可．
【详解】（1）解： 四边形 是长方形，
， ，
．
由折叠的性质，得 ， ， ，
， ， ，
．
在 和 中，
．
（2）解：由折叠的性质，得 ．
设 ，则 ．在 中， ，
，解得 ．
，
，
．
【变式3-1】（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在长方形 中， ， ，将长
方形 沿线段 折叠到如图的位置，使得点C与线段 的中点 重合，则 的长为 ．
【答案】3
【分析】由折叠得， ，设 ，则 ， ，利用勾股定
理求出 ，得到 ，然后等量代换得到 ，得到 ，即可求解．
【详解】解：∵在长方形 中， ， ，
∴ ， ，
由折叠得， ，
∵点 是 的中点，
∴ ，
∴设 ，则 ， ，
∵ ，
∴ ，
解得 （负值舍去），
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由折叠得， ，
∴ ，
∴ ，∴ ．
故答案为：3．
【变式3-2】（25-26七年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在长方形纸片 中， 厘米，
厘米．现将纸片沿直线折叠，使 点与 点重合，折痕为 ．则阴影部分的面积是 平方厘
米．
【答案】138
【分析】本题考查轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，综合运用相关知识是解题的关键．
由长方形 与折叠可证 ，得到 ，在 中，由勾股定理有
，因此 ，结合 厘米，求出
厘米， 厘米，从而根据 即可求解．
【详解】解：∵四边形 是长方形，
∴ 厘米， 厘米， ，
由折叠可得 ， ， 厘米， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 中，由勾股定理有 ，
∴ ，
∵ 厘米，
∴ 厘米，
∴ 厘米， 厘米，∴ 厘米，
∴
（平方厘米）．
故答案为：138
【变式3-3】（24-25八年级上·河南焦作·期末）如图，在长方形纸片 中，四个角是直角，对边平行，
， ．点 、 分别在 、 边上，连接 ，如图1，把长方形纸片沿着
折叠，设 、 的对应点分别是 、 ．
(1)当 时，则 ______．
(2)在折叠的过程中，当 的对应点 恰好与点 重合时，请结合图2，求出 和 的长；
(3)在折叠的过程中，当点 落在直线 上，且 时，请直接写出 的长．
【答案】(1)
(2) ，
(3) 或
【分析】本题考查勾股定理，长方形，折叠的知识，解题的关键是掌握勾股定理的应用，长方形的性质，
折叠的性质，进行解答，即可．
（1）根据折叠的性质，求出 ，根据长方形的性质，平行线的性质，可得
，根据四边形的内角和为 ，得到 ，求出 ，
最后根据 ，即可；
（2）根据长方形的性质，可得 ， ， ，设 ，根据勾股定理，可得
，求出 ，即可得到 ；
（3）根据题意，分类讨论点 的位置，当点 落在直线 上；当点 落在直线 的延长线上，根据勾股定理，进行解答，即可．
【详解】（1）解：由折叠可得， ，
∵四边形 是长方形，四个角 是直角，
∴ ， ， ，
∴
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
（2）解：∵长方形纸片 中，四个角是直角， ， ，
∴ ， ， ，
设 ，
∴ ，
∴在 中， ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：连接 ，
当点 落在直线 上，且 ，
∵长方形纸片 中，四个角是直角， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；当点 落在直线 的延长线上，且 ，连接 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长 或 ．
类型四、直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型
【方法总结】（1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD；
（2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD；
（3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。
例4．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图， 中， ， ， ，把 沿
折叠，使边 与 重合，点B落在 边上的 处，则折痕 等于 ．【答案】45
【分析】本题考查勾股定理的逆定理、勾股定理、翻折不变性等知识，证明 是解题的关键，属于
中考常考题型．首先证明 ，设 ，在 中，利用勾股定理求出x，再在
中利用勾股定理表示出 即可求解．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是由 翻折而来，
∴ ， ， ．
设 ，
在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故答案为：45．
【变式4-1】如图所示，有一块直角三角形纸片， ， ， ，将斜边 翻折，使
得点B恰好落在直角边 的延长线上的点E处，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，先根据勾股定理求出 ，设 ，根据折叠前后对应边相等得出 ， ，再用勾股定理解 即可．
【详解】解： ， ， ，
，
设 ，则 ，
由折叠的性质可得 ， ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
，
解得 ，
，
故选B．
【变式4-2】（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边 ，
，现将直角边 沿直线 折叠，使点 落在斜边 上的点 处，试求 的长．
(1)求 的长；
(2)求 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查的是翻折变换以及勾股定理的应用；熟练掌握翻折的性质和勾股定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求得 的长，然后由翻折的性质求得 ，即可求解；
（2）设 ，则 ， ，在 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在 中，两直角边 ， ，
，由折叠的性质可知： ，
；
（2）解：设 ，则 ， ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，
∴ ．
【变式4-3】（24-25八年级上·四川雅安·期中）如图，将 纸片沿 折叠，使直角顶点C与
边上的点E重合，若 ．
(1)求线段 的长；
(2)求线段 的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题：
（1）直接利用勾股定理求解即可；
（2）根据折叠的性质得到 ， ，则 ， ，
设 ，则 ，再利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ；
（2）解：由折叠的性质可得 ， ，
∴ ， ，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
类型五、直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型
【方法总结】（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合；
（2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O.
（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD.
例5．如图，直角三角形纸片 的两直角边长分别为6，8，现将 如图那样折叠，使点 与点 重
合，折痕为 ．则 的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设 ，再根据图形翻折变换的性质得出
，再根据勾股定理求出 的值．
【详解】解：设 ，则 ，
是 翻折而成，，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
故选：C．
【变式5-1】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，在直角三角形 中， ，把
沿直线 折叠，点A与点B重合；若 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理的应用，依据翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的
关键．
由勾股定理求出AC=8，设 ，则 ，然后在 中由勾股定理列方程求解即可．
【详解】解： 把 沿直线 折叠，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： ，
．故答案为： ．
【变式5-2】（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）如图，在 中， ， ，
．将 按如图所示的方式折叠，使B，C两点重合，折痕为 ．求 的长．
【答案】
【分析】本题考查的是勾股定理和图形折叠的性质，在 中由于 ， ， ，
所以根据勾股定理可求出 的长，由折叠可知， ，设 ，则 在 中，
由 即可求出x的值，故可得出结论．
【详解】解：在 中由于 ， ， ，
由勾股定理得： ，
∵由折叠可知， ，
设 ，则 ．
在 中， ，
即 ，解得 ，
∴ ．
【变式5-3】（24-25八年级下·福建三明·期中）探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟
做以下探究．
【初步感知】
（1）如图1，在三角形纸片 中， ，将 沿 折叠，使点 与点 重合，折痕和
交于点 ，求 的长；
【深入探究】
（2）如图2，将长方形纸片 沿着对角线 折叠，使点 落在 处， 交 于 ，若，求 的长（注：长方形的对边平行且相等）；
【拓展延伸】
（3）如图3，在长方形纸片 中， ，点 为射线 上一个动点，把 沿直线
折叠，当点 的对应点 刚好落在线段 的垂直平分线上时，求 的长（注：长方形的对边平行且
相等）．
【答案】（1） 的长为24；（2） 的长为6；（3） 的长为5或20
【分析】本题考查了长方形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定
（1）由折叠得到 ，然后对 运用勾股定理即可求解；
（2）先证明 ，设 ，则 ，在 中，由勾股定理建立方程
，即可求解；
（3）设线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 则 ，分两种情况：①如图，当点
在长方形内部时，在 中，由勾股定理得 ，则 ，设 ，则
，在 中，由勾股定理得 ，解得： ，即 的长为5； ②如图，
当点 在长方形外部时，由折叠的性质得： ，同①得 ，此时 ，设
，则 ，在 中，由勾股定理得 ，解得： ，即 的
长为20．
【详解】解：（1） ，
，
由折叠的性质得： ，
∵ ，
∴在 中，由勾股定理得： ，即 的长为24；
（2） 四边形 是长方形，
，
，
由折叠的性质得： ，
，
，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，
即 ，
解得： ，即 的长为6；
（3） 四边形 是长方形，
，
设线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 则 ，分两种情况：
①如图，当点 在长方形内部时，
点 在线段 的垂直平分线 上，
，
由折叠的性质得： ，
在 中，由勾股定理得： ，
，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，即 的长为5；
②如图，当点 在长方形外部时，
由折叠的性质得： ，同①得： ，
，设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得： ，即 ，
解得： ，即 的长为20；
综上所述，点 刚好落在线段 的垂直平分线上时， 的长为5或20．
类型六、直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型
【方法总结】（1）沿直线MN翻折，使得点C落在点D处，连结CD.
（2）沿直线DE翻折使得点C与边AB上的点F重合；
例6．（25-26九年级上·北京·开学考试）如图，在 中， ，点D，E分别在边 上，连
接 ，将 沿 折叠，点B的对应点为F，点F刚好落在 边上．若 ， ，则
的长为 ．【答案】3
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的不变性是解题的关键．设 ，则
，利用勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：由折叠的性质知 ，
设 ，则 ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
解得 ，
故答案为：3．
【变式6-1】（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在 中， ， ．如图D、
E分别是 和 边上的点，把 沿直线 折叠，若点B落在 边上的点F处，则 的最小值是
．
【答案】
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图
形中隐含的等量关系；借助勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答．
【详解】解：如图，根据题意，得 ，
设 ，则 ，
根据题意，得 ，∴
当 取最大值， 有最小值，
当 时，最大，此时点B落在A处时， 取得最小值，
解得： ，即CE的长为 ．
故答案为： ．
【变式6-2】（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在 中， ，点P，Q
分别是边 上的动点，沿 所在的直线折叠，使得点C的对应点 始终落在线段 上，若
为直角三角形，则 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题考查了等腰直角三角形折叠．熟练掌握等腰直角三角形性质，折叠性质，勾股定理，是解题
的关键．
求出 ，当 时，得 ， 设 ，则 ， 由
，得 ，解得 ；当 时， ，得
，得 ，得C、P、 三点共线，得点 与点A重合，得 ．
【详解】解：∵在 中， ，∴ ，
当 时， ，
∴ ,
设 ，
则 ，
由折叠知， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ；
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴C、P、 三点共线，
∴ ，
∴点 与点A重合，∴点Q是 的中点，
∴ ．
故 的长为 或 ．
【变式6-3】（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 上的动点，
连接 ，将 沿直线 折叠得到 ，点 落在 上．
(1)如图1，若点 是 的中点．
①求证： ；
②连接 ，求证： ；
(2)如图2，若 ，且点 是 的中点，判断线段 ， 与 之间存在的数量关系，并证明．
【答案】(1)①详见解析；②详见解析
(2) ，证明见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质
及勾股定理，熟练掌握翻折图形的性质是解题的关键．
（1）①结合题意，通过证明 ，证明 ；
②由折叠的性质可知 ，又 ，从而证得 ；
（2） ，过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，通过证明
，得到 ， ，又 ，得到 ，在 中，勾股
定理得到 ，继而得到结论得证；
【详解】（1）① 点 是 的中点，．
由折叠，得 ， ．
，
是 的一个外角，
．
，
，
．
②如图，连接 ，记 与 的交点为 ，
由折叠，得 ，
．
由①，得 ，
，
．
（2） ，理由如下：
如图，过点 作 交 延长线于点 ，连接 ．
， ， ．
点 是 的中点，
．
，
， ．由折叠，得 ，
，
．
在 中，由勾股定理，得
一、单选题
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片 ， ， ，
．将三角形纸片沿 翻折，使点 落在直角边 延长线上的点 处，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求
出线段长度．
利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算 的长度．
【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后 ．
在 中， ， ， ，
∴ ．
∴ ．
∵ ，
∴ ．故选：A．
2．（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形 中， ， ，将此长方
形折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．
根据折叠的性质可得， ， ， ，设 ，则 ，根据勾股定
理列出方程，求解即可．
【详解】解：如图，记点C的对应点为 ，
长方形 中， ， ，
， ， ，
由折叠可得， ， ， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
，解得 ，
则 的长为 ．
故选：C．
3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在 中， ， ， ，将它的锐角
A翻折，使得点A落在边 的中点D处，折痕交边 的延长线于点E，交边 于点F，则 的长为
（ ）A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质．
设 ，由折叠可得， ，然后对 运用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：设 ，
由折叠可得， ，
∴ ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
则 ．
故选：C．
4．（25-26八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片 中， ， ， ，
沿过点 的直线将纸片折叠，使点 落在 上的点 处，折痕交 于点 ，再折叠纸片，使点 与点
重合，折痕交 于点 ，交 于点 ，则 的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点．
先根据折叠得到 ， ， ， ，然后求出
【详解】解：由折叠性质得： ， ， ， ，
∵ ， ，然后利用勾股定理求解即可．
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ．
故选：C．
5．（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在长方形 中， ， ，点 为射线 上一动
点（不与点 重合），将 沿 所在直线折叠，点 落在点 处，连接 ，当 为直角三角
形时， 的长为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了翻折变换的性质、长方形的性质、勾股定理等知识；由长方形的性质得出， ， ，由折叠的性质得 ， ，证 、 、 三
点共线，设 ，①点 在线段 上时，由勾股定理得出 ，在 中，由勾股定
理得出方程，解方程即可；②点 在线段 的延长线上时，由勾股定理得出 ，在 中，
由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】解： 四边形 是长方形，
， ， ，
由折叠的性质得： ， ， ，
设 ，
当 为直角三角形时，则 ，
，
、 、 三点共线，
分两种情况：
①点 在线段 上时，如图1所示：
则 ，
，
，
在 中， ， ，由勾股定理得： ，
解得： ，
；
②点 在线段 的延长线上时，如图2所示：
则 ，
，
在 中， ， ，
由勾股定理得： ，
解得： ，
；
综上所述，当 为直角三角形时， 的长为 或 ；
故选：D．
二、填空题
6．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期末）如图，在 中， ， ， ，将 沿
折叠，使点 与点 重合，则 的长度为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了图形的折叠，勾股定理，熟练掌握图形的折叠的性质，勾股定理是解题的关键．
根据折叠的性质可得 ，设 ，则 ，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图所示，连接 ，
根据题意得， ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ．
∴ ．
故答案为： ．
7．（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形 中， ，将 沿 翻折，得
到 ，其中， 与 相交于点 ，则 为【答案】
【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易
得 ，然后可得 ，则可设 ，
则有 ，进而根据勾股定理可建立方程进行求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
由折叠的性质可知： ，
在长方形 中， ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则有 ，
∴在 中，由勾股定理可得： ，
解得： ，
∴ ；
故答案为 ．
8．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，将边长为 的正方形 折叠，使得点 落在 边上
的点 处，折痕为 ．若 的长为 ，则 的长为 ．【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，平行线间的距离，作
于点 ，连接 ，设 与 交于点 ，则 ，又四边形 是正方形，
所以 ， ， ，根据平行线间的距离相等得
，又将边长为 的正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，折痕为 ，
则 ，然后证明 ，所以 ，最后通过勾股定理即可求解，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：如图，作 于点 ，连接 ，设 与 交于点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ，
∴ ，
根据平行线间的距离相等得 ，
∵将边长为 的正方形 折叠，使得点 落在 边上的点 处，折痕为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由勾股定理得： ，
故答案为： ．
9．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在 中， ，点 为 上一个动点，连接
，将 沿 折叠得到 ，点 的对应点为 ，连接 ，若 ， ，当 为
直角三角形时，线段 的长为 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定，分 和
两种情况，画出对应的图形，讨论求解即可．
【详解】解： 如图，当 时，则 ，
由折叠的性质可得 ，
∵ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，∴ ；
如图，当 时，
由折叠的性质可得 ， , ，
∴ ，
∴ 三点共线，
由勾股定理得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴
综上可得：当 为直角三角形时，线段 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
10．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在 中， ， ， ，D，E分别是边
上的两个动点．将 沿直线 折叠，使得点B的对应点 落在边 的三等分点处，则线段
的长为 ．【答案】 或5
【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键．
由题意可知 或 ，然后分两种情况进行求解即可．
【详解】解：∵点B的对应点 落在边 的三等分点处， ，
∴ 或 ，
由题意，得 ，
如图1，当 时，
在 中，由勾股定理，得： ，
，
，
；
②如图2，当 时，
在 中，由勾股定理，得： ，，
，
．
综上所述，线段 的长为 或5．
故答案为： 或5．
三、解答题
11．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片 中， ， ，
，现将直角边 沿过点 的直线折叠，使它落在 边上、若折痕交 于点 ，点 落在点
处，你能求出 的长吗？请写出求解过程．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出 ，由折叠的性质可推出
，设 ，则 ，由勾股定理得
，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵在直角三角形纸片 中， ， ， ，
∴ ，
由折叠的性质可得 ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
12．（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片 中， 为 的中点，连接 ，将 沿
折叠得到 ，连接 ．若 ， ，求 的长．
【答案】
【分析】连接 交 于点 ，由折叠可知： ， ，可得 垂直平分 ，再证
，得到 ，在 中，利用等面积法求出 的长，最后在 中，利
用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接 交 于点 ．
将 沿 折叠得到 ，
， ， 垂直平分 ．
为 的中点，
，
．
，
，
，
．
在 中，由勾股定理，得 ，，
．
在 中，由勾股定理，得 ．
13．（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：
如图1，在长方形 中， ， ， ， ，
．将长方形 沿 翻折，点A的对应点为D， 与 交于点E， ， ．
(1)求 的长；
(2) 的面积为__________；
(3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着 向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．
当 是等腰三角形时，求符合条件的t的值；
【答案】(1)
(2)6
(3) 或3或
【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握
以上性质．
（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出 ，假设 ，表示出相关线段的长度，然后利用
勾股定理列方程求解即可；
（2）利用（1）的结论 ，求出三角形的底和高，然后求面积即可；
（3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵将该长方形沿 翻折，点A的对应点为点D， 与 交于点E．
，∵四边形 是长方形，
．
，
，
；
设 ，则 ，
在 中， ，根据勾股定理得， ，
，
，
，
；
（2）解：由（1）得 ，
∴ ，
根据翻折的性质得 ， ，
∴ 的面积为 ，
故答案为：6；
（3）解：①若 ，
，
；
②若 ，作 于点 ，
， ， ，
，
，
；
③若 ，则 ， ， ，， ，
，
；
综上所述， 或3或 ．
14．（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究
如图，在 中， ， ， ，且 ， 满足 ， ， 分别是边 ，
上的动点，连接 ．将 沿直线 折叠得到 ，点 恰好落在边 上．
(1)求边 的长．
(2)如图 ，若 为 的中点．求证： ．
(3)如图 ，若 为 的中点．
试猜想线段 ， 与 之间的数量关系，并说明理由．
直接写出线段 的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3) ，理由见解析；
【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得 、 的值，再根据勾股定理求解即可；
（2）由折叠可知 ， ， 垂直平分 ，根据中点的性质结合等边对等角，得到
，进而得到 ，再根据平行线的性质即可得证；（3） 过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，证明 ，得到 ，
，证明 ，得到 ，在 中，根据勾股定理得到
，然后等量代换即可得解； 过点 作 、 ，利用 是 中点的性
质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解．
【详解】（1）解： ， 满足 ， ， ，
， ，
， ，
在 中， ，
；
（2）证明：如图 ，连接 交 于点 ，
沿 折叠得 ，
， ， 垂直平分 ，
，
为 中点，
，
，
，
，
，
，
，
即 ，
，，
，
；
（3）解： ，理由如下：
如图，过点 作 交 延长线于点 ，连接 ，
，即 ，
，
， ，
为 的中点．
，
，
， ，
，
，
， ， ，
，
∴DE=DH
在 中， ，
；
如图所示，过点 作 交 延长线于点 ，过点 作 于 ，过点 作 于
，连接 ，为 中点，
，
， ，
，
， ，
，
，
，
， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
，
， ，
， ，
， ，
， ，
设 ，则 ，
在 中， ，
即 ，解得 ，
，
，设 ，则 ，
由 知， ，
又 ，
，
即 ，解得 ，
．
15．（25-26八年级上·重庆北碚·月考）在长方形 中， ．P为 上一点，
将 沿直线 翻折至 的位置（点B落在点E处）．
(1)如图1，当点E在边 上时，求 的长度．
(2)如图2，当点E在边 外时， 与 相交于点F， 与 相交于点G，且 ，求 的长．
(3)如图3，已知点Q为射线 上的一个动点，将 沿 翻折，点B恰好落在直线 上的点 处，
求 的长．
【答案】(1)3
(2)
(3)4或16
【分析】（1）根据折叠的性质可得 ， ，再由勾股定理可得 的长，从而
得到 的长，然后根据 ，即可求解；
（2）证明 ，可得 ，从而得到 ，
，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）分两种情况：当点Q在线段 上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得 ，再由勾股定理得 的长，即可求解；当点Q在 延长线上时，由勾股定理得 的长，设 ，
则 ，然后在 中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：根据题意得： ，
由折叠的性质得： ， ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
解得： ；
（2）解：由翻折的性质得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
∴ ，
解得： ，
即 ；
（3）解：当点Q在线段 上时，如图：由翻折的性质得： ，
∴ ，
∵四边形 是长方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
当点Q在 延长线上时，如图：
由翻折的性质得： ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得： ，
，
解得： ，
即 ；综上所述， 的长为4或16．
