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1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 三角形中的线与角的六类综合题型 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 题型二、利用三角形中的中线求解 题型三、利用三角形中的高线求解 题型四、利用三角形中的角平分线求解 题型五、利用三角形中的折叠求解 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 - 题型特征：涉及角平分线、中线、高线、中垂线及内角和、外角定理，常与平行线、折叠结合求角度或 线段长。 - 解题方法：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和；角平分线+平行出等腰；中线倍长构造全等； 高线注意直角三角形分拆；中垂线转化等距。 - 易错提醒：外角定理误用为相邻外角；高线可能在三角形外部（钝角三角形）；角平分线性质定理需对 应比例线段；忽视“三角形三边关系”隐含条件。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、利用三角形中的三边关系化简 典例1． （25-26 八年级上·陕西延安·期末）已知a 、b 、c 分别是ABC 的三边长，化简：| | | | a b c a c b + − − −− ． 题型模版 1.特征：利用两边之和大于第三边等性质，判断线段能否构成三角形或进行范围限定。 2.方法：根据三角形三边关系列出不等式组，消去绝对值或化简含绝对值的代数式，确定变量范围。 变式1-1．（25-26 八年级上·贵州安顺·阶段检测）已知ABC 的三边长是a，b，c． 目 录 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 6 a = ， 8 b = ，求c的取值范围； (2)化简a b c c a b + − − − + ． 变式1-2．（25-26 八年级上·安徽·期末）已知ABC 的三边长分别为a，b，c． (1)化简： 2 a b c b c a a b c − − − −− + + − ； (2)若 6 a = ， 3 b = ，且c 为整数，求ABC 周长的最大值及最小值． 变式1-3．（25-26 八年级上·全国·期末）已知ABC 的三边长为a ，b ，c ，且a ，b ，c 都是整数． (1)若 2 a = ， 5 b = ，且c 为奇数，求ABC 的周长． (2)化简：a c b b c a a b c −+ − −− − + + ． 题型二、利用三角形中的中线求解 典例2． （25-26 七年级下·山西临汾·期末）如图，CD、CE 分别是ABC 的高和中线，若 5cm AC = ， 12 BC cm = ， 13cm AB = ， 90 ACB = (1)求CD的长 (2)求BCE 与 ACE △ 的周长差 题型模版 1.特征：已知三角形中线长度或位置，求边长、面积或角度，常涉及倍长中线构造全等。 2.方法：倍长中线构造平行四边形或全等三角形，利用全等性质及勾股定理建立边角关系求解。 变式2-1．（25-26 七年级下·北京·期末）如图，在ABC 中，AD为BC 边上的中线． （1）若ABD 的周长比ACD 的周长大4， 14 AB AC + = ，则AC =___________； （2）若ABC 的面积为17，则ACD 的面积为___________； 3 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）若 6 BC = ， 4 AD = ，则ABC 的面积的最大值为___________． 变式2-2．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】 八年级上册课本上有一道题：如图1，在ABC 中， 2 AB = ， 4 BC = ，则ABC 的高AD与CE 的比是多少？ (1)请解答上述问题； 【问题探究】 爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图2 ， 若ABC 中，D 是边BC 上的点，则 ABD ACD S BD S CD = △ △ ． (2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AD与BE交于点O．若BD CD = ， 2 AE CE = ， 请直接写出AO AD 的值． 变式2-3．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）综合实践： 定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心． 发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状 态． 探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？ (1)如图②，AD是ABC 的中线，则ABD 与ACD 的面积关系为： ABD S _______ ACD S （填>、<或=）； (2)如图③，点G 是ABC 的重心，猜想BFG 与CEG 的面积之间的关系，并说明理由； 4 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)如图③，点G 是ABC 的重心，三条中线AD、BE、CF 分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，求DG AG 的值； (4)如图④，点G 是ABC 的重心，且BD CE ⊥ ，若 6 BD = ， 4 CE = ，求四边形AEGD 的面积． 题型三、利用三角形中的高线求解 典例3． （25-26 七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形ABC 中， 90 C = ， 3cm AC = ， 4cm BC = ， 5cm AB = ． (1)点A到直线BC 的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________cm． (2)画出表示点C 到直线AB 的距离的线段，并求这个距离． 题型模版 1.特征：已知三角形高线（或垂足位置），求边长、面积或角度，常涉及直角三角形与勾股定理。 2.方法：利用高线构造直角三角形，结合已知边角与勾股定理（或面积法），列方程求解未知量。 变式3-1．（25-26 七年级下·内蒙古包头·期末）如图，AD、BE分别是ABC 的高线、中线，若 8 ABE S = ， 8 BC = ，则高线AD长为________． 变式3-2．（25-26 八年级上·山东日照·期末）在ABC 中，AB AC = ，D 为直线BC 上任意一点，连接AD， DE AB ⊥ 于点E ，DF AC ⊥ 于点F ，BG AC ⊥ 于点G ． (1)如图1，观察、测量、猜想、证明DE ，DF ，BG 之间的数量关系，完善空格内容． 小明是这样证明的： ABC S = __________ ACD S + ． 5 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 1 2 2 AC BG AB DE = +__________． AB AC = ∵ ， __________． (2)如图1，当点D为BC 中点时，试判断BG 与DE 的数量关系__________． (3)如图2，当点D在BC 的延长线上时，请猜想DE ，DF ，BG 之间的数量关系并证明． 变式3-3．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究 (1)如图1，在Rt ABC △ 中， 90 , 3, 4, 5, ACB BC AC AB CD AB = = = = ⊥ ，则CD的长为_____． (2)如图2，在ABC 中， 6 AB = ， 3 BC = ，CD，AE 为ABC 的高，试分析CD，AE 的数量关系． (3)如图3，在Rt ABC △ 中， 90 C = ，点D ，P 分别在边AB ，AC 上，且BP AP = ， , DE BP DF AP ⊥ ⊥ ， 垂足分别为 , E F ．若BC m = ，求DE DF + 的值（用含m 的代数式表示）． 题型四、利用三角形中的角平分线求解 典例4．（25-26 八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在ABC 中，BE是角平分线，点D 在边AB 上（不与 点A，B 重合），CD与BE交于点O． (1)若CD是中线， 7, 5 BC AC = = ，则BCD 与ACD 的周长差为______． (2)若 64 ABC = ，CD是ABC 的高，求 BOC 的度数． 题型模版 1.特征：已知角平分线，求边长比例或角度，常涉及角平分线定理、面积法或全等构造。 2.方法：利用角平分线定理（对边比等于邻边比）列比例；或作对称构造全等，结合等面积法求解。 变式4-1．（25-26 八年级上·重庆九龙坡·阶段检测）如图，在ABC 中，D ，E 分别是边AC ，BC 上的点， 且 3 AC CD = ， 3 BE EC = ，连接BD、AE 交于点F BAF ， 的平分线交BD于点G ，且 : 1:2 AF AB = ，若△AGB 6 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 的面积为16，则AGD 的面积为___________． 变式4-2． （25-26 八年级上·江西上饶·期中）如图，AD是ABC 的高，CE 是△ABC 的角平分线，BF 是ABC 的中线． (1)若 50 55 ACB AEC = = ， ，求 BAD 的度数； (2)若 15 BC = ，BCF 与 BAF △ 的周长差为6 ，求AB 的长． 变式4-3．（25-26 八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度 数的4 倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为130 40 10 ，，的三角形是“完美三 角形”． 【简单应用】如图①， 72 MON = ，在射线OM 上找一点A，过点A 作AB OM ⊥ 交射线ON 于点B，以A 为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点C 不与点O，B 重合）． （1） ABO =______°， AOB =______°，AOB ______“完美三角形”（填“是”或“不是”）； （2）若 90 ACB = ，求证：AOC 是“完美三角形”； 【应用拓展】如图②，点D 在ABC 的边AB 上，连接 , DC DE 平分 ADC ，DE BC ∥ ．若BCD 是“完美 三角形”，请直接写出 B 的度数． 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型五、利用三角形中的折叠求解 典例5．（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，ABC 是一张纸片，把 C 沿DE 折叠，使点C 落在点C的 位置． (1)当 45 C = 时，求1 2 +的度数． (2)若 C = ，请直接写出1 2 +的度数．（用含的代数式表示） 题型模版 1.特征：三角形沿某直线折叠，出现重合边角，形成轴对称图形，求折痕或对应线段长度。 2.方法：利用折叠前后对应角、对应边相等，找出全等或等腰关系，勾股定理（常设未知数）建立方程求解。 变式5-1．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D， E 分别在边AB，AC 上．将ABC 沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合． (1)若 35 , 60 B C = = ，求 A 的度数． (2)若 70 A = ，求1 2 +的度数． 变式5-2．（24-25 八年级上·河南漯河·阶段检测）如图（1）所示， 把ABC 沿DE 折叠， (1)当点C 落在四边形BCDE 内部时， C 与1 、 2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这 个规律，请你写出规律并证明你的规律． (2)当点C 落在四边形AC 上方时， C 与1 、 2 之间数量关系是 ． 8 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (3)当点C 落在四边形BC 下方时， C 与1 、 2 之间数量关系是 ． 变式5-3．（24-25 八年级上·江西·阶段检测）（1）如图1，若 90 A = ；则1 2 +=_______； （2）把三角形纸片ABC 顶角A 沿DE 折叠，点A 落到点A处，记 A DB 为1, A EC 为 2 ． ①如图2， 1, 2 与 A 的数量关系是_______； ②如图3， 1, 2 与 A 的数量关系是_______； （3）如图4，把一个三角形纸片ABC 的三个顶角分别向内折叠之后，3 个顶点不重合，那么图中 1 2 3 4 5 6 +++++= _______． 题型六、利用三角形中的内外角关系求解 典例6．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）如图，AB CD ∥ ，CE 平分 ACD 交AB 于点E ，点F 在BA的延 长线上且 110 AFC = ． (1)证明： ACE CEA = ． (2)若 30 ACF = ，求 DCE 的度数． 题型模版 1.特征：已知三角形某外角与内角关系，或外角平分线，求角度，常涉及外角等于不相邻内角和。 2.方法：利用外角定理（等于不相邻两内角和）及邻补角关系，设未知角列方程求解；或结合角平分线性质 推导。 变式6-1． （25-26 八年级下·山东潍坊·期末）如图，在ABC 中，OA、OB 、OC 是三个内角的平分线，OD OB ⊥ 交BC 于点D ． 9 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)若 40 ABC = ，求 ODC 的度数； (2)判断 AOC 与 ODC 的数量关系并说明理由． 变式6-2．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，ABC 中，D 为AC 边上一点，过D 作DE AB ∥ ，交BC 于E ，F 为AB 边上一点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于G ，且 DFA A =． (1) DE 平分 CDF 吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若 80 C = ， 60 ABC = ，求 G 的度数． 变式6-3．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线MN PQ ，点B 为直线PQ 上一定点，点C 为 直线MN 上的一个动点，连接BC ．在直线MN 、PQ 之间找点A使 90 ABC = ， 30 ACB = ，设 ABP = ， ACM = ． (1)当 40 = 时，求的度数． (2)与有怎样的数量关系？并给出证明． (3)设 CAB 的角平分线AE 与MN 交于点E ，当 20 AEM = 时，求． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26 七年级下·广东揭阳·阶段检测）已知a，b，c 是ABC 的三边长，则化简 | | | | | 2 | a b c b c a c a b + − + −− − − + 的结果为（ ） 10 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．3 2 3 a b c − − B．3 2 a b c − − C． 3 a c − D．b 2．（25-26 七年级下·山东潍坊·阶段检测）如图，在ABC 中，AD为边BC 上的中线，DE AC ⊥ ．若 2 12cm ABC S = △ ， 3cm AC = ，则DE 的长为（ ） A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm 3．（25-26 七年级下·河南郑州·期中）如图，在ABC 中，已知点E、F 分别是AD、CE 边上的中点，且 2 4cm BEF S = △ ，则 ABC S 的值为（ ） A． 2 8cm B． 2 16cm C． 2 24cm D． 2 32cm 4．（24-25 七年级下·山东泰安·期末）在三角形纸片ABC 中， 90 25 A C = = ， ，点D 为AC 边上靠近点 C 处一定点，点E 为BC 边上一动点，沿DE 折叠三角形纸片，点C 落在点C处． ①如图1，当点C落在BC 边上时， 50 ADC = ； ②如图2，当点C落在ABC 内部时， 50 ADC BEC + = ； ③如图3，当点C落在ABC 上方时， 50 BEC ADC − = ； ④当C E AB ∥ 时， 32.5 CDE = 或∠CDE=122.5°，以上结论正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（25-26 七年级下·山东枣庄·阶段检测）如图，在ABC 中， 8 AB AC = = ，该三角形的面积为20 ，O是 11 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 边BC 上任意一点，OE AB ⊥ 于点E ，OF AC ⊥ 于点F ，则OE OF + 等于________． 6．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图1，ABC 中，D 是AC 边上的点，先将ABD 沿着BD翻折，使 点A落在点A处，且 ∥ A D BC ，A B 交AC 于点E（如图2），又将BCE 沿着A B 翻折，使点C 落在点C 处，若点C恰好落在BD上（如图3），且 72 C EB = ，则 C = ______． 7．（25-26 七年级下·河北衡水·期中）如图，ABC 的面积为1．第一次操作：分别延长AB BC CA ， ， 至点 1 1 1 A B C ，， ，使 1 1 1 A B AB BC BC C A CA = = = ， ， ，顺次连接 1 1 1 A B C ，， ，得到 1 1 1 A BC ．第二次操作：分别延 长 1 1 1 1 1 1 A B BC C A ， ， ，至点 2 2 2 A B C ，， ，使 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 A B A B B C BC C A C A = = = ， ， ，顺次连接 2 2 2 A B C ，， ，得 到 2 2 2 A B C ，…按此规律，最少经过________次操作，得到的三角形面积超过2026． 8．（25-26 七年级下·上海闵行·期中）设ABC 的面积为1．如图①， 1 E ， 1 D 分别是AC ，BC 的中点， 1 BE ， 1 AD 相交于点 1 O ， 1 1 BO D 与 1 1 AO E 的面积差记为 1S ；如图②， 2 E ， 2 D 分别是AC ，BC 的3 等分点， 2 BE ， 2 AD 相交于点 2 O ， 2 2 BO D 与 2 2 AO E 的面积差记为 2 S ；如图③，3 E ， 3 D 分别是AC ，BC 的4 等分点， 3 BE ， 12 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 AD 相交于点 3 O ， 3 3 BO D 与 3 3 AO E 的面积差记为 3 S 依此类推，则 2026 S 的值为_____． 三、解答题 9．（25-26 七年级下·上海浦东新·期中）如图，在ABC 中，AD平分 BAC ，P 为线段AD上的一个动点， PE AD ⊥ 交BC 的延长线于点E． (1)若 75 , 45 ACB B = = ，求 E 的度数； (2)当P 点在线段AD上运动时，猜想 B ACB 、 与 E 的数量关系，并证明． 10．（25-26 八年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在ABC 中, , AB AC P = 是射线BC 上一点，过点P 作 , PD AB PE AC ⊥ ⊥ ，垂足分别为 , D E ，过点B 作BF AC ⊥ ，垂足为F，连接AP ． (1)如图1，点P 在边BC 上，写出线段 , , PD PE BF 之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，点P 在BC 的延长线上．当 10, 5, 2 ABC S AB PE = = = 时，求线段PD的长． 11．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角的度 数是另一个内角度数的3 倍，那么这样的三角形我们称为“梦想三角形”．例如，一个三角形三个内角的度数 分别是120，40，20，这个三角形就是一个“梦想三角形”．反之，若一个三角形是“梦想三角形”，那么 这个三角形的三个内角中一定有一个内角的度数是另一个内角度数的3 倍． 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)如图1，已知 60 MON = ，在射线OM 上取一点A，作AB OM ⊥ 交ON 于点B ，以A为端点作射线AD， 交线段OB 于点C（点C 不与点O，B 重合）．若 80 ACB = ，则AOB _____“梦想三角形”，AOC _____“梦 想三角形”（均填“是”或“不是”）； (2)如图2，点D在ABC 的边AB 上，连接CD，DE 平分 ADC 交AC 于点E ，作EF AB 交DC 于点F ， B DEF = ．若BCD 是“梦想三角形”，求 B 的度数； (3)如果一个“梦想三角形”有一个角为72，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为_______． 12．（21-22 七年级下·江苏无锡·期中）综合探究 (1)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比．如图1，点M 是ABC 的边BC 上一点，试证明： ABM ACM S BM S CM = △ △ ． (2)【知识应用】如图2，ABC 的边BC 上有一点M，N 为AM 上任意一点，利用上述结论，猜想 ABN ACN S S 与BM CM 之间的关系，直接写出结论，不必证明． (3)【知识迁移】如图3，在ABC 中，D、F 分别在边AB 、AC 上，且 2 AD DB = ， 2 CF AF = ．若△ABC 的面积为1，求四边形ADPF 的面积． (4)【知识延伸】如图4，在ABC 中，D、E、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且 2 AD DB = ， 2 BE EC = ， 2 CF AF = ， 连接AE 、BF 、CD，交点为P、Q、M，若 PQM △ 的面积为1，则ABC 的面积为________．
