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1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 三角形的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形的识别 题型02 三角形的边、角和顶点 题型03 数三角形的个数 题型04 根据边判断三角形的形状 题型05 根据角判断三角形的形状 题型06 直角三角形 题型07 等腰三角形 题型08 三角形有关概念辨析 题型09 等腰三角形存在性问题 题型10 动点问题 ▌题型01 三角形的识别 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 易错提醒：(1)三点共线 → 不是三角形 (2)曲线、折线围成 → 不是三角形 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ） A． B． 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三 角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C 选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-1】下列图形中，是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相 接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B 选项中的图形是三角形， 故选：B． 【变式1-2】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的 图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 3 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 故选：C． 【变式1-3】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据 此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． ▌题型02 三角形的边、角和顶点 组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角 形的内角，简称三角形的角. 【典例2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以𝐵𝐶为边的三角形有_______________，∠𝐵𝐴𝐶是 ________的内角． 【答案】 8 △𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐶𝐹，△𝐴𝐵𝐶 △𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐵𝐶 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进 4 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 行求解即可． 【详解】解：图中共有△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐸，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐶𝐹，△𝐶𝐷𝐸，△𝐴𝐶𝐹，△𝐵𝐷𝐹，8个三角形； 以𝐵𝐶为边的三角形是△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐶𝐹，△𝐴𝐵𝐶； ∠𝐵𝐴𝐶是△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐵𝐶； 故答案为：8；△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐶𝐹，△𝐴𝐵𝐶；△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐵𝐶； 【变式2-1】如图，下面以𝐴𝐵为边的三角形是（ ） A．△𝐴𝐵𝐶 B．△𝐴𝐷𝐶 C．△𝐴𝐸𝐶 D．△𝐴𝐷𝐸 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以𝐴𝐵为边的三角形有△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸． 故选：A 【变式2-2】如图，下列说法错误的是（ ） A．DF 是△𝐵𝐷𝐹的边 B．∠𝐹𝐵𝐶是△𝐹𝐵𝐶的内角 C．以∠𝐴为内角的三角形有3 个 D．以BC 为边的三角形有3 个 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、𝐷𝐹是△𝐵𝐷𝐹的边，说法正确，不符合题意； B、∠𝐹𝐵𝐶是△𝐹𝐵𝐶的内角，说法正确，不符合题意； C、以∠𝐴为内角的三角形有3个，分别为△𝐴𝐶𝐷、△𝐴𝐵𝐸、△𝐴𝐵𝐶，说法正确，不符合题意； D、以𝐵𝐶为边的三角形有4个，分别是△𝐷𝐵𝐶、△𝐸𝐵𝐶、△𝐹𝐵𝐶、△𝐴𝐵𝐶，说法错误，符合题意； 故选：D． 5 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，点𝐸是垂足，点𝐷是边𝐵𝐶上的一点，连接𝐴𝐷． (1)写出△𝐴𝐵𝐸的三个内角； (2)在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵的对边是__________；在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，∠𝐴𝐷𝐶是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)△𝐴𝐵𝐸的三个内角是：∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵，∠𝐴𝐸𝐵 (2)𝐴𝐷；𝐴𝐶 (3)6，∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶的公共角 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合 图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从△𝐴𝐵𝐸中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在△𝐴𝐵𝐷、△ABC 中确定∠𝐵的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含∠𝐴𝐷𝐶的三角形． 【详解】（1）△𝐴𝐵𝐸的三个内角是：∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐵，∠𝐴𝐸𝐵； （2）在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵的对边是𝐴𝐷；在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵的对边是𝐴𝐶． 故答案为：𝐴𝐷；𝐴𝐶； （3）图中共有6 个三角形，分别是：△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶，△𝐴𝐸𝐶． 故答案为：6； ∠𝐴𝐷𝐶是△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐶的公共角； ▌题型03 数三角形的个数 方法点拨：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角 形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形. 【典例3】图中以𝐴𝐵为边的三角形的个数是（ ） 6 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C 三点分别与𝐴𝐵端点相连，可构成3 个三角形， 【详解】解：图中以𝐴𝐵为边的三角形有：△𝐴𝐵𝐷，△𝐴𝐵𝐸，△𝐴𝐵𝐶．共有3 个． 故选：B． 【变式3-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，D 是𝐵𝐶延长线上一点，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，𝐷𝐹交𝐴𝐶于E，图中有 （ ）个直角三角形． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题、垂线的定义理解 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：∵∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴△𝐴𝐵𝐶是直角三角形， ∵𝐷是𝐵𝐶延长线上一点， ∴∠𝐸𝐶𝐷= 180° −∠𝐴𝐶𝐵= 90°， ∴△𝐸𝐶𝐷是直角三角形， ∵𝐷𝐹⊥𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐹𝐸= ∠𝐵𝐹𝐷= 90°， ∴△𝐴𝐹𝐸和△𝐵𝐹𝐷都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有△𝐴𝐵𝐶、△𝐸𝐶𝐷、△𝐴𝐹𝐸、△𝐵𝐹𝐷，共4个． 【变式3-2】如图，已知点A，B 在直线a 上，点C，D，E 在直线b 上．以点A，B，C，D，E 中的任意三 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ） A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．9 个 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a 和直线b 中交叉选取三点，分①从𝑎选1个、𝑏选 2 个；②从𝑎选 2 个、𝑏选1个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: △𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐶𝐸，△𝐴𝐷𝐸，△𝐵𝐶𝐷，△𝐵𝐶𝐸，△𝐵𝐷𝐸，△𝐶𝐴𝐵，△𝐷𝐴𝐵，△𝐸𝐴𝐵，共9 个． 故选：D． 【变式3-3】如果依次用𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4分别表示图3 中(1)、(2)、(3)、(4)内三角形的个数，那么𝑎1 = 3, 𝑎2 = 8, 𝑎3 = 15，𝑎𝑛=______________． 【答案】(𝑛+ 1)2 −1 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】本题考查了图形类规律探索，三角形的个数问题，是分层有序计数，归纳规律是解题的关键． 根据图形结构灵活选择分层，通过已知数据验证规律的合理性，最终得出答案． 【详解】解：∵𝑎1 = 3 = 22 −1 = 3; 𝑎2 = 8 = 32 −1; 𝑎3 = 15 = 42 −1， ∴𝑎𝑛= (𝑛+ 1)2 −1， 故答案为：(𝑛+ 1)2 −1． ▌题型04 根据边判断三角形的形状 8 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例4】若△𝐴𝐵𝐶的三边长a，b，c 满足(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、三角形的分类 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到𝑎−𝑏= 0，𝑏−𝑐= 0，求出𝑎= 𝑏= 𝑐，即可得结论． 【详解】解：∵(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0， ∴𝑎−𝑏= 0，𝑏−𝑐= 0， ∴𝑎= 𝑏= 𝑐， ∴△𝐴𝐵𝐶是等边三角形． 【变式4-1】若𝑎, 𝑏, 𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，且(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐) = 0，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据乘积为0 的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐) = 0， ∴𝑎−𝑏= 0或𝑏−𝑐= 0， 即𝑎= 𝑏或𝑏= 𝑐， ∴△𝐴𝐵𝐶至少有两条边相等， ∴△𝐴𝐵𝐶一定是等腰三角形. 【变式4-2】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为𝑎，𝑏，𝑐，且满足(𝑎−2)2 + |𝑏−2| + |𝑐−2| = 0，则此三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】B 【知识点】三角形的分类、绝对值非负性 【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的 边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零， 从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论． 【详解】解：由题意得，(𝑎−2)2 + |𝑏−2|+|𝑐−2| = 0， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 9 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所以𝑎−2 = 0，𝑏−2 = 0，𝑐−2 = 0， 解得𝑎= 2，𝑏= 2，𝑐= 2 因此，△𝐴𝐵𝐶的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 【变式4-3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其 中，分类错误的是（ ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①2 ≠3 ≠4，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②3 = 3 ≠4，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③3 = 3 = 3，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． ▌题型05 根据角判断三角形的形状 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【典例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶是直角，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，点E 在线段𝐵𝐷上，找出图中的锐角三 角形、直角三角形和钝角三角形． 10 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】△𝐴𝐸𝐶是锐角三角形；△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐵是直角三角形；△𝐴𝐵𝐸是钝角三角形 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据∠𝐵𝐴𝐶是直角，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，可得∠𝐵，∠𝐶，∠𝐸𝐴𝐶是锐角，∠𝐴𝐸𝐶是锐角，∠𝐴𝐸𝐵是钝角，然后进行分类即 可． 【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶是直角， ∴∠𝐵，∠𝐶，∠𝐸𝐴𝐶是锐角， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，点E 在线段𝐵𝐷上， ∴∠𝐴𝐸𝐶是锐角，∠𝐴𝐸𝐵是钝角， ∴△𝐴𝐸𝐶是锐角三角形；△𝐴𝐵𝐶，△𝐴𝐶𝐷，△𝐴𝐷𝐸，△𝐴𝐷𝐵是直角三角形；△𝐴𝐵𝐸是钝角三角形． 【变式5-1】在△ABC 中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC 是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】由已知条件，结合三角形的分类即可解答． 【详解】解：在三角形ABC 中，∵∠A－∠B＝90°， ∴∠𝐴= 90° + ∠𝐵 ∴∠𝐴> 90° ∴△ABC 是钝角三角形 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的分类，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式5-2】在一张方格图上，有一个三角形，三个顶点的位置分别是𝐴(3,3)，𝐵(8,3)，𝐶(3,6)，这是一个（ ） 三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形的识别与有关概念、坐标与图形 【分析】本题考查了三角形的形状．画出图形，即可得到答案． 【详解】解：如图： 11 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 根据图形可知这是一个直角三角形． 【变式5-3】图中锐角三角形的个数有________ 【答案】3 个 【知识点】三角形的个数问题、三角形的分类 【分析】先找出以A 为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E 为顶点的锐角三角形的个数，然后将两种锐角 三角形相加即可． 【详解】解：①以A 为顶点的锐角三角形Δ𝐴𝐵𝐶、Δ𝐴𝐷𝐶共2 个； ②以E 为顶点的锐角三角形：Δ𝐸𝐷𝐶，共1 个； 所以图中锐角三角形的个数有2 + 1 = 3（个）； ▌题型06 直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 【典例6】如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，𝐸是线段𝐶𝐷上一点，连接𝐴𝐸，则图中的直角三角形 共有（ ） 12 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形的概念，利用三角形的高确定直角，再确定直角三角形即可． 【详解】∵𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高， ∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴△𝐴𝐷𝐵、△𝐴𝐷𝐶、△𝐴𝐷𝐸都是直角三角形， 图中的直角三角形共有3 个， 故选：B． 【变式6-1】如图，已知𝑎∥𝑏，将等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶按图所示放置．若∠1 = 25°，则∠2 =______． 【答案】70°/70度 【知识点】两直线平行同位角相等、等腰三角形的定义、三角板中角度计算问题 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠𝐴𝐵𝐶= 45°，再由平行的性质可得∠2 = ∠1 + ∠𝐴𝐵𝐶，由此求解即 可． 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶为等腰直角三角形， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 45°， ∵𝑎∥𝑏， ∴∠2 = ∠1 + ∠𝐴𝐵𝐶= 25° + 45° = 70° ． 【变式6-2】如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过 调查，秘密宝藏的位置P 满足条件：△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，符合条件的P 点的个数为______个． 【答案】6 13 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】三角形的分类 【分析】分三种情况，当∠𝐴𝑃𝐵= 90°时，当∠𝑃𝐴𝐵= 90°时，当∠𝐴𝐵𝑃= 90°时，分别找出符合条件的P 点 的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当∠𝐴𝑃𝐵= 90°时，符合条件的P 点的个数有2 个； 当∠𝑃𝐴𝐵= 90°时，符合条件的P 点的个数有2 个； 当∠𝐴𝐵𝑃= 90°时，符合条件的P 点的个数有2 个； 综上所述，△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，符合条件的P 点的个数为2 + 2 + 2 = 6（个）． 故答案为：6． 【变式6-3】如图，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 6，动点𝑃从𝐴出发沿𝐴𝐶以每秒2个单位向𝐶运动， 动点𝐷从𝐶出发沿𝐶𝐵以每秒1个单位向𝐵运动，𝑃、𝐷同时出发，设运动时间为𝑡秒． (1)用含t 的式子表示𝑃𝐶、𝐶𝐷； (2)当t 为何值时，△𝑃𝐶𝐷为等腰直角三角形？ 【答案】(1)𝑃𝐶= 8 −2𝑡，𝐶𝐷= 𝑡 (2)当𝑡= 8 3秒时，△𝑃𝐶𝐷为等腰直角三角形 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌 握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t 表示出𝐴𝑃、𝐶𝐷，即可用t 表示出𝑃𝐶； （2）由△𝑃𝐶𝐷为等腰直角三角形，得到关于t 的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点𝑃从𝐴出发沿𝐴𝐶以每秒2个单位向𝐶运动，动点𝐷从𝐶出发沿𝐶𝐵以每秒1个单位向𝐵运 动， ∴𝐴𝑃= 2𝑡，𝐶𝐷= 1 × 𝑡= 𝑡， ∴𝑃𝐶= 𝐴𝐶−𝐴𝑃= 8 −2𝑡， 14 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：若△𝑃𝐶𝐷为等腰直角三角形，则𝑃𝐶= 𝐶𝐷，且∠𝐶= 90°， ∴8 −2𝑡= 𝑡， 解得𝑡= 8 3， 此时，𝑃𝐶= 𝐶𝐷= 8 3满足条件． 故当𝑡= 8 3秒时，△𝑃𝐶𝐷为等腰直角三角形． ▌题型07 等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰 和底边的夹角叫作底角.三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和 腰相等的等腰三角形. 【典例7】已知等腰三角形的底边和腰长分别为12 cm和15 cm，那么这个三角形的周长为________cm ． 【答案】42 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：∵等腰三角形底边长为12 cm，腰长为15 cm， ∴这个三角形的周长为12 + 15 + 15 = 42(cm) ． 【变式7-1】已知△𝐴𝐵𝐶三边长𝑎, 𝑏, 𝑐，且满足(𝑎−2)2 + |𝑏−2| + |𝑐−3| = 0，则此三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：𝑎−2 = 0, 𝑏−2 = 0, 𝑐− 3 = 0，求出𝑎= 2 = 𝑏, 𝑐= 3即可求解； 【详解】解：由题意得：𝑎−2 = 0, 𝑏−2 = 0, 𝑐−3 = 0， ∴𝑎= 2 = 𝑏, 𝑐= 3， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 【变式7-2】用一条长为15cm的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长； 15 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】腰长为6cm； 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本 题的关键．根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； 【详解】解：设底边为𝑥cm，则腰为2𝑥cm， 由题意得𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥= 15， 解得𝑥= 3， ∴腰长为6cm； 【变式7-3】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为20， 其中一边长为6，求它的“和谐比” 【答案】见详解 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为6，分6是腰长或底 边长两种情况讨论． 【详解】解：∵ 等腰△𝐴𝐵𝐶周长为20，一边长为6， 当6为腰长时，底边长为20 −6 −6 = 8， 和谐比为： 6 8 = 3 4； 当6为底边长时，腰长为 1 2 (20 −6) = 7， 和谐比为： 7 6． ∴ 和谐比为 3 4或 7 6． 题型08 三角形有关概念辨析 利用各个类型三角形的定义是解题的关键 【典例8】下列说法正确的是（ ） A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形 B．等边三角形不是等腰三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 【答案】D 16 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类，等腰三角形与等边三角形之间的关系分别对每一项进行分析即可． 【详解】A、三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形，选项错误，不符合题意； B、等边三角形是等腰三角形，选项错误，不符合题意； C、等腰三角形不一定是等边三角形，选项错误，不符合题意； D、三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法、等腰三角形与等边三角形之间的关系是解题的 关键． 【变式8-1】下列语句中，不属于定义的是（ ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A 不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B 不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C 不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D 符合题意． 故选：D． 【变式8-2】下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三 角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的 有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类判断即可． 【详解】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确； （2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； 17 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 （3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误； （4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； 故选：A． 【点睛】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答 【变式8-3】下列说法正确的是（ ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【知识点】三角形的分类、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形和等边三角形的定义对①③进行判断；利用三角形按边分类可对②进行判断． 【详解】解：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定为等腰三角形，所以①的说法错误； 三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，所以②的说法错误； 等腰三角形至少有两条边相等，所以③的说法正确． 故选：D． ▌题型09 等腰三角形存在性问题 根据等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想，画图解决问题 【典例9】在方格纸中，点P、Q 都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1 中，画一个以PQ 为腰的等腰△𝐴𝑃𝑄（𝐴为格点）； (2)在图1 中，以𝑃𝑄为腰的等腰△𝐴𝑃𝑄（𝐴为格点）共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)6 小学 初中 18 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】等腰三角形的定义、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了等腰三角形， 对于（1），根据等腰三角形的定义画出图形； 对于（2），分别以点P 为圆心，以𝑃𝑄为半径确定结果，再以点Q 为圆心，以𝑃𝑄为半径，即可得出符合条 件的结果. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示. 以点P 为圆心，𝑃𝑄为半径，符合条件的有3 个点； 以点Q 为圆心，𝑃𝑄为半径，符合条件的有3 个点， 一共有6 个. 故答案为：6. 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点A 的坐标为(4,−3)且𝑂𝐴= 5，在x 轴上确定一点P，使△𝐴𝑂𝑃 为等腰三角形．则符合题意的点P 共（ ）有个． 19 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】根据等腰三角形的定义，分类画图解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握定义和分类思想是解题的关键． 【详解】解：在x 轴上使△𝐴𝑂𝑃为等腰三角形的点P，如图即为所求； 𝐴𝑂= 𝑃𝑂时，有2 个； 𝐴𝑂= 𝐴𝑃时，有1 个； 𝐴𝑃= 𝑃𝑂时，有1 个； ∴符合题意的点P 共有4 个， 故选：A 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点𝐴(−1,1)，𝐵(−3,2)，点𝐶在坐标轴上，若△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形， 则满足条件的点𝐶的个数为（ ） A．2 个 B．4 个 C．7 个 D．确定不下来 【答案】C 20 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】坐标系中描点、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以𝐴𝐶、𝐴𝐵为腰的三角形，以𝐴𝐶、𝐵𝐶为腰的三角形和以𝐵𝐶、𝐴𝐵 为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知：以𝐴𝐶、𝐴𝐵为腰的三角形有3个，𝑥轴正半轴上的点不能成立，因为此时𝐴、𝐵、𝐶三点共线，不 能构成三角形； 以𝐴𝐶、𝐵𝐶为腰的三角形有2个； 以𝐵𝐶、𝐴𝐵为腰的三角形有2个． 则点𝐶的个数是7． 故选：C． 【变式9-3】如图，𝑂𝑃是平角𝑀𝑂𝑁内一射线，点𝐴是𝑂𝑃上一定点，点𝐵是直线𝑀𝑁上一动点，若△𝑂𝐴𝐵是等 腰三角形，则满足条件的点𝐵的个数为______． 【答案】4 或2/2 或4 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．分𝑀𝑁与𝑂𝑃垂直和 不垂直两种情况，再根据等腰三角形的定义画图求解即可． 【详解】解：当𝑀𝑁⊥𝑂𝑃时， 若△𝑂𝐴𝐵是等腰三角形，只有1 种情况，如图： 21 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 此时，𝐵1,𝐵2满足题意； 当𝑀𝑁与𝑂𝑃不垂直时， 若△𝑂𝐴𝐵是等腰三角形，则有3 种情况讨论如下： 当𝑂𝐴= 𝑂𝐵时，如图，以点O 为圆心，以𝑂𝐴长为半径作圆，交直线𝑀𝑁于点𝐵1, 𝐵2，则𝐵1, 𝐵2满足题意； 当𝐴𝑂= 𝐴𝐵时，如图，以点A 为圆心，以𝐴𝑂长为半径作圆，交直线𝑀𝑁于点𝐵3，则𝐵3满足题意； 当𝐵𝑂= 𝐵𝐴时，如图，作线段𝑂𝐴的垂直平分线，交直线𝑀𝑁于点𝐵4，则𝐵4满足题意； 综上，共有4 个点或2 个点， 故答案为：4 或2． ▌题型10 动点问题 设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题 【典例10】如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 6cm，P、Q 是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动点，其 中点P 从点A 开始沿𝐴→𝐵方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿𝐵→𝐶→𝐴方向运动，且速度 为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．从出发_____秒钟后，△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形？ 22 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 8 3/2 2 3 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t 秒钟后，△𝑃𝑄𝐵能形成等腰三角形， 则𝐵𝑃= 𝐵𝑄，由𝐵𝑄= 2𝑡，𝐵𝑃= 8 −𝑡，列式求得t 即可； 【详解】解：设从出发t 秒钟后，△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形． ∵∠𝐵= 90°， ∴当△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形时，𝐵𝑃= 𝐵𝑄． 由题意，𝐴𝑃= 𝑡，𝐵𝑄= 2𝑡； ∴𝐵𝑃= 8 −𝑡， 当𝐵𝑃= 𝐵𝑄时，8 −𝑡= 2𝑡，解得𝑡= 8 3秒． 故答案为： 8 3． 【变式10-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐶𝐴= 8cm，𝐶𝐵= 6cm，𝐴𝐵= 10cm．点𝐷为△𝐴𝐵𝐶边上的动点， 沿𝐶→𝐴→𝐵→𝐶的路径运动（再次到达𝐶点则停止运动），点𝐷的运动速度为2cm/秒，设点𝐷运动时间为𝑡秒． （1）当点𝐷在𝐴𝐶上运动时，若𝐷𝐶= 𝐵𝐶，则𝑡=___________； （2）若点𝐷与△𝐴𝐵𝐶某一顶点的连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时𝑡的值为___________． 【答案】 3 3 或6 或10 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据𝐷𝐶= 𝐵𝐶得到2𝑡= 6求解即可； （2）分类讨论：当点D 与顶点A 连线平分、当点D 与顶点B 连线平分、当点D 与顶点C 连线平分△𝐴𝐵𝐶的 周长时分别求解． 【详解】解：（1）当点𝐷在𝐴𝐶上运动时，𝐶𝐷= 2𝑡 若𝐷𝐶= 𝐵𝐶，则2𝑡= 6 解得𝑡= 3； （2）∵𝐶𝐴= 8cm，𝐶𝐵= 6cm，𝐴𝐵= 10cm， ∴△𝐴𝐵𝐶的周长= 𝐴𝐶+ 𝐴𝐵+ 𝐵𝐶= 24cm， 如图，当点D 与顶点B 连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时，𝐶𝐷= 2𝑡 23 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 1 2 × 24 = 12cm ∴6 + 2𝑡= 12 ∴𝑡= 3； 如图，当点D 与顶点C 连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时， ∴𝐴𝐶+ 𝐴𝐷= 12cm ∴2𝑡= 12 ∴𝑡= 6； 如图，当点D 与顶点A 连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时， ∴𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 12cm ∴10 + 𝐵𝐷= 12 ∴𝐵𝐷= 2cm ∴𝑡= 8+10+2 2 = 10； 综上所述，𝑡= 3秒或者6 秒或者10 秒． 【变式10-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5, 𝐴𝐶= 4, 𝐵𝐶= 3．点𝑃从点𝐶出发，以每秒2 个单位长度的速度沿 𝐶−𝐴−𝐵向终点B 运动，设点𝑃运动的时间为𝑡秒(𝑡> 0)． 24 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)当点𝑃在𝐴−𝐵上运动时，𝐴𝑃的长为 （用含𝑡的代数式表示）． (2)当△𝑃𝐴𝐶是以𝐴𝐶为腰的等腰三角形时，求𝑡的值． (3)当𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶分成的两部分的面积相等时，求𝑡的值． (4)当点𝑃与△𝐴𝐵𝐶的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为2: 3时，直接写出𝑡的值． 【答案】(1)2𝑡−4 (2)4 (3) 13 4 (4)0.9 或2.4 或3.6 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、等腰三角形的定义、列代数式 【分析】（1）由𝐴𝑃等于点P 运动的距离与𝐴𝐶的差，从而得出结果； （2）由𝐴𝑃= 𝐴𝐶= 4可得出点P 运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知𝑆△𝐴𝐶𝑃= 𝑆△𝐵𝐶𝑃，进而可知𝐴𝑃= 1 2 𝐴𝐵= 5 2，根据𝐴𝑃= 2𝑡−4列方程求解即可； （4）分为点P 在𝐴𝐶上、点P 在𝐴𝐵上当点P 在𝐴𝐶上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P 运动的距离是2𝑡， ∴𝐴𝑃= 2𝑡−4； （2）解：∵𝐴𝑃= 𝐴𝐶= 4，点P 在𝐴𝐵上， ∴2𝑡= 𝐴𝐶+ 𝐴𝑃= 8， ∴𝑡= 4； （3）解：由题意得：点P 在𝐴𝐵上， ∵𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶分成的两部分的面积相等， ∴𝑆△𝐴𝐶𝑃= 𝑆△𝐵𝐶𝑃， ∴𝐴𝑃= 1 2 𝐴𝐵= 5 2， ∴2𝑡−4 = 5 2， ∴𝑡= 13 4 ； （4）解：12 × 3 2+3 = 7.2，12 × 2 2+3 = 4.8， 当点P 在𝐴𝐶上时，𝐵𝐶+ 𝐶𝑃= 4.8， ∴𝐶𝑃= 4.8 −𝐵𝐶= 4.8 −3 = 1.8，即2𝑡= 1.8， ∴𝑡= 0.9， 当点P 在𝐴𝐵上时，𝐴𝐶+ 𝐴𝑃= 4.8或𝐴𝐶+ 𝐴𝑃= 7.2， 即2𝑡= 4.8或2𝑡= 7.2， ∴𝑡= 2.4或3.6， 综上所述：𝑡= 0.9或2.4 或3.6． 【变式10-3】如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶= 8cm，点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿𝐴𝐵向 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 点B 运动，点Q 从点B 出发，以3cm/s的速度沿𝐵𝐶向点C 运动，P、Q 同时出发，运动时间为t 秒(𝑡> 0)． (1)用含t 的代数式表示线段𝐵𝑃、𝐵𝑄的长度； (2)当𝑡= 1时，求△𝐵𝑃𝑄的面积； (3)当t 为何值时，△𝐵𝑃𝑄为等腰直角三角形？ 【答案】(1)𝐵𝑃= (6 −2𝑡)cm，𝐵𝑄= 3𝑡cm (2)6cm2 (3)𝑡= 1.2时，△𝐵𝑃𝑄为等腰直角三角形 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据路程=速度×时间即可用含𝑡的代数式表示线段𝐵𝑃、𝐵𝑄； （2）由△𝐵𝑃𝑄为直角三角形，再利用面积公式求解； （3）根据题意𝐵𝑃= 𝐵𝑄，再列式求解． 【详解】（1）解：∵点P 速度为2cm/s，运动t 秒，𝐴𝑃= 2𝑡cm，𝐴𝐵= 6cm， ∴𝐵𝑃= 𝐴𝐵−𝐴𝑃= (6 −2𝑡)cm， 点Q 速度为3cm/s，运动t 秒， ∴𝐵𝑄= 3𝑡cm； （2）解：当𝑡= 1时，𝐵𝑃= 6 −2 × 1 = 4(cm)，𝐵𝑄= 3 × 1 = 3(cm)， △𝐵𝑃𝑄为直角三角形，面积= 1 2 × 𝐵𝑃× 𝐵𝑄= 1 2 × 4 × 3 = 6 （cm²）； （3）解：∵长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐵= 90°， ∴△𝐵𝑃𝑄为等腰直角三角形时，𝐵𝑃= 𝐵𝑄，即6 −2𝑡= 3𝑡 解得：𝑡= 1.2； 验证：𝑡= 1.2时，𝐵𝑃= 6 −2 × 1．2 = 3．6cm，𝐵𝑄= 3 × 1．2 = 3．6cm，符合题意．
