文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
1 /
5.1 常量与变量
题型一：常量和变量的认识
1．如图是刘老师在加油站加油时加油机仪表上某一时刻的数据情况，在加油过程中的常量是（ ）
A．金额
B．单价
C．数量
D．金额和数量
【答案】B
【分析】本题考查了常量与变量的概念，掌握常量是在一个变化过程中，数值不发生变化的量；变量是在
学科网（北京）股份有限公司
2 /
一个变化过程中，数值发生变化的量，根据定义判断加油过程中的常量是解题的关键．
根据常量与变量的定义即可判断．
【详解】解：在加油过程中，单价是固定不变的，而金额随着数量的增加而增加，数量也在不断变化。所
以常量是单价，变量是金额和数量．
故选：B．
2．球的体积是V，球的半径为R，则V=
4
3 πR3，其中变量是（ ）
A．变量是V,R
B．变量是R,π
C．变量是V,R,π
D．变量是R
【答案】A
【分析】本题考查了常量和变量，根据常量和变量的概念解答即可．
【详解】解：球的体积是V，球的半径为R，则V=
4
3 πR3，
其中变量是V，R；
故选：A．
3．如图，把两根木条AB和AC的一端A用螺栓固定在一起，木条AC自由转动至AC'位置．在转动过程中，下
面说法不正确的是（ ）
A．∠BAC的度数是变量
B．△ABC的面积是变量
C．AC的长度是常量
D．BC的长度是常量
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，掌握它们的概念是解决此题的关键．
根据常量和变量的概念，分析各选项即可．
【详解】解：A．在转动过程中，∠BAC的度数变小，∠BAC的度数是变量，故原说法正确，不符合题意；
B．在转动过程中，△ABC的面积变小，△ABC的面积是变量，故原说法正确，不符合题意；
C．在转动过程中，AC的长度不变，AC的长度是常量，故原说法正确，不符合题意；
D．在转动过程中，BC的长度变小，BC的长度是变量，故原说法不正确，符合题意；
故选：D．
4．(24-25 七下·贵州黔东南苗族侗族从江县宰便镇宰便中学·月考)一个圆柱的高h为10cm，当圆柱的底面半
径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（ ）
学科网（北京）股份有限公司
3 /
A．r是因变量，V是自变量
B．r是自变量，V是因变量
C．r是自变量，h是因变量
D．h是自变量，V是因变量
【答案】B
【分析】主要考查了函数的定义，根据函数的意义可知：变量是改变的量，常量是不变的量，据此即可确
定变量与常量．
【详解】解：一个圆柱的高h 为10cm，当圆柱的底面半径r 由小到大变化时，圆柱的体积V=πr2×h=10πr2也
发生了变化，在这个变化过程中r 是自变量，V 是因变量，
故选：B．
5．(24-25 七下·山东济宁实验初中·期末)如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个
量中，下列说法正确的是（ ）
A．金额、单价是变量，加油量是常量
B．金额、单价、加油量都是变量
C．加油量、单价是变量，金额是常量
D．金额、加油量是变量，单价是常量
【答案】D
【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义判断即可．
【详解】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量．
故选：D．
6．(24-25 八下·河北沧州献县乐寿镇中学·月考)河北省的特产丰富多样，其中赞皇大枣被誉为“枣中之王”，
皮薄肉厚、甜度高、营养丰富．一份赞皇大枣的价格是50 元，买m 份赞皇大枣共支付n 元，则50 和m 分
别是（ ）
A．常量，常量
B．变量，变量
C．常量，变量
D．变量，常量
【答案】C
【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．
根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，
即可判断．
学科网（北京）股份有限公司
4 /
【详解】解：∵一份赞皇大枣的价格是50 元，买m 份赞皇大枣共支付n 元，
∴50 和m 分别是常量，变量
故选：C．
7．一个容器中装有一定质量的水，向该容器中加入食盐，水与食盐混合为食盐水，随着食盐的加入，食盐
水的浓度将升高．这个过程中自变量和常量分别是（ ）
A．水的质量，食盐水的浓度
B．水的质量，食盐水的质量
C．食盐水的质量，食盐的质量
D．食盐的质量，水的质量
【答案】D
【分析】此题考查的是常量与变量的概念，掌握其概念是解决此题的关键．根据对浓度的认识解答本题，
水的质量不变，加的食盐越多，食盐水的浓度越高，据此解答即可．
【详解】解：随着食盐的加入，食盐水的浓度将升高，自变量是食盐量，因变量是食盐水的浓度．
故选：D．
题型二：用表格表示变量之间的关系
1．下表列出了一项实验的统计数据中变量y(cm)与x(cm)之间的关系，则下面的式子中，能表示这种关系的
是（ ）
x cm
⁄
30
40
100
120
y cm
⁄
15
20
50
60
A．y=x2
B．y=2x
C．y=x+15
D．y=
x
2
【答案】D
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系．根据每个选项的关系式代入验证即可．
【详解】解： 当x=30时，
A、y=x2=302=900，不符合题意；
B、y=2x=2×30=60，不符合题意；
C、y=x+15=30+15=45，不符合题意；
D、y=
x
2 =
30
2 =15，符合题意；
故选：D．
2．(23-24 下·广东深圳龙岗区·期末)地表以下岩层的温度y（℃）随着所处深度x（km）的变化而变化，在
学科网（北京）股份有限公司
5 /
某个地点y 与x 的部分对应数据如下表，则该地y 与x 的函数关系可以近似地表示为
所处深度x（km）
2
3
5
7
10
13
地表以下岩层的温度y
（℃）
90
125
195
265
370
475
则该地y 与x 的关系可以近似地表示为（ ）
A．y=35x+20
B．y=35+20x
C．y=45x
D．y=35x
【答案】A
【分析】本题考查用函数关系式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，从2 千米开始，每增加1 千米，气温升高35°C，
∴y 与x 的关系可以近似的表示为y=90+35(x−2)=35x+20．
故选：A．
3．(24-25 七下·广东深圳云端学校·期末)如表是化学有机物及其结构式，若结构式中的C（碳原子）的个数
记为x，H（氢原子）的个数记为y，则由结构式可知C 与H 满足的关系式是（ ）
名
称
甲烷
乙烷
丙烷
丁烷
结
构
式
A．y=4x
B．y=2x+2
C．y=2x2
D．y=3x
【答案】B
【分析】本题考查了根据实际数据寻找变量间的函数关系式，解题的关键是先确定不同有机物中碳原子数x
与氢原子数y 的对应值，再代入选项验证或根据规律推导关系式．
先列出甲烷、乙烷、丙烷、丁烷的x(C原子数）与y(H原子数）对应值：甲烷(1,4)、乙烷(2,6)、丙烷(3,8)、
丁烷(4,10)；再将对应值代入各选项，或根据“每增1 个C 原子增2 个H 原子”的规律，推导x 与y 的关系式，
进而判断正确选项．
【详解】解：首先确定各有机物中C 原子数x 与H 原子数y 的对应关系：
甲烷：x=1时，y=4；
学科网（北京）股份有限公司
6 /
乙烷：x=2时，y=6；
丙烷：x=3时，y=8；
丁烷：x=4时，y=10．
A、若y=4x，当x=2时，y=8≠6，此选项不符合题意；
B、若y=2x+2，当x=1时，y=2×1+2=4（符合）;x=2时，y=2×2+2=6（符合）;x=3时，y=2×3+2=8（符合）;x=4时，
y=2×4+2=10（符合），此选项符合题意；
C、若y=2x2，当x=2时，y=8≠6，此选项不符合题意；
D、若y=3x，当x=1时，y=3≠4，此选项不符合题意．
故选：B．
4．(24-25 七下·河南项城·期末)4 月19 日，2025 北京亦庄半程马拉松暨人形机器人半程马拉松开赛，这场
赛事吸引了多家企业和高校自研团队的参与，成为人工智能与机器人领域的焦点．机器人爱好者小刚同学
为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x（h）和搬运货物的重量y（kg）记录如下
表：
搬运时间x（h）
1
2
3
4
…
搬运货物的重量y（kg）
60
120
180
240
…
则y 与x 之间的关系式为（ ）
A．y=60+x
B．y=60x
C．y=80x
D．y=20+40x
【答案】B
【分析】本题主要考查了列函数关系式，观察表格可知，搬运时间每增加1 小时，搬运货物的重量增加60
千克，据此求解即可．
【详解】解：观察表格可知，搬运时间每增加1 小时，搬运货物的重量增加60 千克，
∴y=60+60(x−1)=60x，
故选：B．
5．(24-25 七上·山东聊城东阿县·期中)表中给出的统计数据，表示皮球从高度xcm落下时与反弹到高度ycm的
关系：
x cm
⁄
40
50
60
80
100
y cm
⁄
25
30
35
45
55
用含x的代数式表示y，正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
7 /
A．y=x−15
B．y=
1
2 x
C．y=2x−10
D．y=
1
2 x+5
【答案】D
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，观察表格中的数据得出x每增加10，y增加5，从表格中的
数据得出规律，得出关系式即可．
【详解】解：由表格中的数据可知，当x每增加10，y增加5，
∵
1
2 ×40+5=25，
1
2 ×50+5=30，
1
2 ×60+5=35，
1
2 ×80+5=45，
1
2 ×100+5=55，
∴y=
1
2 x+5，
故选：D．
6．(25-26 八上·重庆南开中学校·期中)某火锅店推出了夏季促销活动，已知进店消费的人数x与消费金额y之
间的关系如下表所示，则y与x的关系式为： （不必写出x的取值范围）．
进店人数x个
1
2
3
4
5
消费金额y元
35
65
95
125
155
【答案】y=5+30x/y=30x+5
【分析】本题考查了用关系式和表格表示两个变量的关系，根据表格归纳出关系式是解题的关键．由表格
可得，进店人数每增加1 个，消费金额增加30 元，据此即可求解．
【详解】解：由表格可得，进店人数每增加1 个，消费金额增加30 元，
∴y与x的关系式为y=35+30(x−1)=30x+5．
故答案为：y=30x+5．
7．声音在空气中的传播速度v（单位：m/s）与温度t（单位：°C）的部分关系如下表所示：
t/°C
…
1
2
3
…
学科网（北京）股份有限公司
8 /
v (m/s)
⁄
…
331+0.6
331+1.2
331+1.8
…
则传播速度v与温度t之间的关系式为 ．
【答案】v=331+0.6t
【分析】此题主要考查了根据表格数据找出两个量之间的关系，通过表格中的对应值可以得出温度每增加
1℃速度增加0.6m/s，由此可得出传播速度v与温度t之间的关系式，解题的关键是读懂表格．
【详解】解：由表格中的对应值可以得出：温度每升高1℃，速度增加0.6m/s，
∴温度每升高t℃，速度增加0.6t m/s，
传播速度v与温度t之间的关系式为：v=331+0.6t．
故答案为：v=331+0.6t．
8．一棵树高h(m)与生长时间n（年）之间满足一定的关系，请你根据下表中的数据写出h(m)与n（年）之间
的关系式：h= ．
n/年
1
2
4
6
8
10
…
h/m
2.3
2.6
3.2
3.8
4.4
5.0
…
【答案】0.3n+2
【分析】本题考查了根据表格数据寻找变量间的关系，解题的关键是观察数据变化规律，通过计算差值确
定两者的线性关系．
观察表格中n 每增加一定年份时h 的变化量，发现n 每增加2 年，h 增加0.6m，即每年h 增加0.3m；再结合
n=1时h 的值，确定关系式中的常数项．
【详解】解：观察表格数据，当n=1时，h=2.3m;n=2时，h=2.6m，相比n=1时增加了0.3m;n=4时，h=3.2m，
相比n=2时增加了0.6m，即每2 年增加0.6m，也就是每年增加0.3m．
由此可知h 与n 的关系为h 等于每年增加的高度乘年数再加上初始高度．
当n=1时，h=0.3×1+2=2.3m，符合数据;n=2时，h=0.3×2+2=2.6m，符合数据．
所以h 与n 之间的关系式为h=0.3n+2．
故答案为：0.3n+2．
题型三：从表格中获取信息判断选项是否正确
1．在弹性限度内，弹簧挂上物体后会伸长，测得弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量x(kg)之间有如下表关
学科网（北京）股份有限公司
9 /
系：
x(kg)
0
1
2
3
4
…
y(cm)
10
10.5
11
11.5
12
…
下列说法不正确的是（ ）
A．y 随x 的增大而增大
B．所挂物体质量每增加1kg弹簧长度增加0.5cm
C．所挂物体为7kg时，弹簧长度为13.5cm
D．不挂重物时弹簧的长度为0cm
【答案】D
【分析】本题考查了变量之间的关系，根据表格逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解
此题的关键．
【详解】解：由表格可得：
A．y 随x 的增大而增大，x 是自变量，y 是因变量，正确；
B．物体质量每增加1kg，弹簧长度y 增加0.5cm，故正确；
C．由B 知，y=10+0.5x，则当x=7时，y=13.5，即所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm，故正确；
D．弹簧不挂重物时的长度为10cm，故错误，本选项符合题意；
故选：D．
2．(24-25 八上·河北保定竞秀区·期末)研究表明：肥料的施用量与产量之间有一定的关系．当每公顷钾肥和
磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下表所示的关系：
氮肥施用量/kg
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量/t
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
根据表格，下列说法错误的是（ ）
A．氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量
B．氮肥施用量越大，土豆产量越高
C．当氮肥的施用量是110 千克/公顷时，土豆的产量是32.29 吨~34.03 吨
D．当氮肥的施用量低于336 千克/公顷时，土豆的产量随施肥量的增加而增加
【答案】B
【分析】本题考查结合实际土豆产量和施用氮肥量确定变量间的关系，解题的关键是掌握表格法表示两个
学科网（北京）股份有限公司
10 /
变量间的关系．根据表格信息逐一分析判断即可．
【详解】解：A、氮肥施用量是自变量，土豆产量是因变量，原说法正确，故选项不符合题意；
B、氮肥施用量大于336 千克/公顷时，土豆产量逐渐减少，原说法错误， 故选项符合题意；
C、当氮肥的施用量是110 千克/公顷时，土豆产量32.29 吨~34.03 吨，原说法正确，故选项不符合题意；
D、当氮肥的施用量低于336 千克/公顷时，土豆产量随施肥量的增加而增加，原说法正确，故选项不符合
题意．
故选：B．
3．(24-25 八上·陕西咸阳旬邑县·期末)水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老
装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如
下关系：
时间/min
1
2
3
4
5
6
水的高度/cm
1.5
3
4.5
6
7.5
9
下列说法中，不正确的是（ ）
A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系
B．当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为6min
C．当经过的时间为3min时，容器中水的高度是4.5cm
D．时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm
【答案】B
【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，正确从表格获取信息是解题的关键．
根据表格的信息即可求解．
【详解】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，正确，不符合题意；
B、当容器中水的高度为6cm时，对应的时间为4min，该选项错误，故符合题意；
C、当经过的时间为3min时，容器中水的高度是4.5cm，正确，不符合题意；
D、由表格可得时间每增加1min，容器中水的高度增加1.5cm，正确，不符合题意；
故选：B．
4．(24-25 八上·贵州毕节大方县·期末)为了测定某种型号小型载客汽车的刹车性能（车速不超过140km/h），
测试员对这种型号的汽车进行了测试，测得的数据如下表．下面说法中，错误的是（ ）
刹车时车速v/（km h
⁄ ）
0
10
20
30
40
50
…
学科网（北京）股份有限公司
11 /
刹车距离s/m
0
2.5
5
7.5
10
12.5
…
A．刹车时车速v是自变量，刹车距离s 是因变量
B．随着刹车时车速v的增大，刹车距离s 也随之增大
C．当刹车时车速是100km/h时，刹车距离是20m
D．刹车距离s 与刹车时车速v之间的关系式是s=0.25v
【答案】C
【分析】本题考查了用表格表示两个变量之间的关系，根据表格数据逐一判断即可．
【详解】解：A：刹车时车速v是自变量，刹车距离s是因变量，正确，不符合题意；
B：由表格数据，s随v的增大而增大，正确，不符合题意；
C：由表格数据，v每增加10km/h,s增加2.5m，当刹车时车速是100km/h时，刹车距离为
100
10 ×2.5=25m，选项C
为 20m，错误，符合题意；
D：v每增加10km/h,s增加2.5m，故刹车距离s 与刹车时车速v之间的关系式是s=0.25v，正确，不符合题意；
故选：C．
5．(24-25 八上·山东烟台招远（五四制）·期末)已知食用油的沸点一般都在200℃以上，下表所示的是小明
的妈妈在加热食用油的过程中，几次测量食用油温度的情况：
时间t s
⁄
0
10
20
30
40
油温y ℃
⁄
10
35
60
85
110
则下列说法不正确的是（ ）
A．没有加热时，油的温度是10℃
B．继续加热到50s，预计油的温度是135℃
C．在这个问题中，自变量为时间t
D．每加热10s，油的温度升高35℃
【答案】D
【分析】本题考查了常量与变量，准确熟练地进行计算是解题的关键，根据常量与变量的意义，表格中的
数据进行计算，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、没有加热时，油的温度是10℃，故A 正确，不符合题意；
B、继续加热到50s，预计油的温度是135℃，故B 正确，不符合题意；
C、在这个问题中，自变量为时间t，故C 正确，不符合题意；
D、每加热10s，油的温度升高25℃，故D 不正确，符合题意；
故选：D．
学科网（北京）股份有限公司
12 /
6．(24-25 八上·广东佛山南海区·期中)学校开展科技活动时，科技小组成员找了几副度数不同的老花镜，让
镜片正对太阳光，再在镜片后放置光屏正对镜片．不断调整光屏与镜片之间的距离，直到光屏上的光斑最
小，此时测量镜片与光斑之间的距离，得到表格中数据．下列说法正确的是（ ）
老花镜的度数D/度
100
120
200
250
300
镜片与光斑之间的距离f m
⁄
1
0.8
0.5
0.4
0.3
A．D与f都是常量
B．老花镜的度数D是因变量
C．老花镜的度数每升高50 度，镜片与光斑之间的距离减少0.1m
D．老花镜的度数越小，镜片与光斑之间的距离越大
【答案】D
【分析】本题考查了变量关系判断和数据分析能力，根据题意和老花镜的度数与镜片与光斑的距离间的关
系，逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键．根据表格中的实验数据，由此可判断各选项的正误即可．
【详解】解：选项A：D 与f 均为变量，因不同度数对应不同距离，故A 错误．
选项B：实验中通过改变度数D（自变量）测量对应的f（因变量），故D 是自变量，B 错误．
选项C：数据中，D 每增加50 度时，f 的减少量并非固定．例如，D 从200→250 度（+50 度），f 减少0.1m；
但D 从100→200 度（+100 度），f 减少0.5m（每50 度减少0.25m），说明变化量不恒定，C 错误．
选项D：由表格可知，D 越小，f 越大．例如，D=100度时，f=1m，D=300度时，f=0.3m，符合数据规律，D
正确．
故选D．
7．(24-25 八上·陕西咸阳秦都区·期末)张阳将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s 记录一
次温度计上显示的度数，记录结果如下表：
时间t(s)
5
10
15
20
25
30
35
温度计上度数(°C)
49
31
22
16
14
12
12
下列说法中不正确的是（ ）
A．当t=25s时，温度计上的度数是14°C
B．这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是因变量
C．当温度计的度数为25°C时，经过的时间可能是18s
D．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变
学科网（北京）股份有限公司
13 /
【答案】C
【分析】本题考查用表格表示变量间的关系．根据题意和表格中的数据逐项判断即可．
【详解】解：A、根据表格可得，当t=25s时，温度计上的度数是14°C，说法正确，本选项不符合题意；
B、这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是因变量，说法正确，本选项不符合题意；
C、观察数据：15s时温度22°C，20s时16°C；温度在15s后持续下降，18s时温度应介于22°C与16°C之间，不
可能回升至25°C，原说法错误，本选项符合题意；
D、温度从49°C逐渐降至12°C后保持不变，说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
8．我国首辆火星车被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料—纳米气凝胶，
该材料的导热率K(W⋅m−1⋅K−1)与温度T(℃)之间的关系如下表：
温度T(℃)
…
10
15
20
25
…
导热率K(W⋅m−1⋅K−1)
…
0.15
0.2
0.25
0.3
…
根据表格中数据的对应关系，下列说法不正确的是（ ）
A．在这个变化过程中，自变量是温度，因变量是导热率
B．在一定温度范围内，温度越高，该材料的导热率越高
C．当温度为35℃时，该材料的导热率为0.5W⋅m−1⋅K−1
D．在一定范围内，温度每升高10℃，该材料的导热率就增加0.1W⋅m−1⋅K−1
【答案】C
【分析】本题考查变量间的关系及数据规律的识别，由表格两个变量：导热率K(W⋅m−1⋅K−1)与温度T(℃)之
间的关系，结合选项逐一验证即可得到答案，理解该材料的导热率K(W⋅m−1⋅K−1)与温度T(℃)之间的关系是
解决问题的关键．
【详解】解：A、导热率K 随温度T 变化，故自变量是温度，因变量是导热率，选项说法正确，不符合题意；
B、表格中温度从10℃增至25℃，导热率由0.15 递增至0.3，说明温度越高导热率越高，选项说法正确，不
符合题意；
C、观察数据，温度每增加5℃，导热率增加0.05，当温度为25℃时，K=0.3，按此规律：当温度为30℃时，
K=0.3+0.05=0.35；当温度为35℃时，K=0.35+0.05=0.4；因此，当温度为35℃时，导热率应为0.4 而非0.5，
选项说法错误，符合题意；
D、温度每5℃增加0.05，则每10℃增加0.1，即温度由10℃→20℃时，K 从0.15→0.25，选项说法正确，不
符合题意；
学科网（北京）股份有限公司
14 /
故选：C．
题型四：用关系式表示变量之间的关系
1．(24-25 八上·河北保定竞秀区·期中)油箱中存油18 升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，则油箱
中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是（ ）
A．Q=0.2t
B．t=18−0.2Q
C．Q=18+0.20t
D．Q=18−0.2t
【答案】D
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
根据“油箱中剩余的油量=原有存油量-流出的油量”进行列式，表达即可作答．
【详解】解：∵油箱中存油18 升，油从油箱中均匀流出，流速为0.2升/分钟，
则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是Q=18−0.2t，
故选：D．
2．如果每盒铅笔12 支，售价8 元，那么铅笔的售价y（元）与铅笔的支数x（支）之间的关系式是（ ）
A．y=
3
2 x
B．y=
2
3 x
C．y=12x
D．y=8x
【答案】B
【分析】本题考查了列函数关系式，找准等量关系是解题的关键．先求出单价，再根据等量关系：总价=单
价×支数，列出关系式即可．
【详解】解：∵每盒铅笔12 支，售价8 元，
∴单价为8÷12=
2
3元，
∴y=
2
3 x.
故选：B．
3．(24-25 八上·陕西安康镇安县·期末)鲁老师乘车从学校到省城开会，学校距省城120 千米，车行驶的平均
速度为80 千米/时．x小时后鲁老师距省城y千米，则y与x之间的函数关系式为（ ）
A．y=80x−120
B．y=−80x+120
C．y=80x+120
D．y=−80x−120
【答案】B
【分析】本题考查列函数关系式，找出所求量之间的等量关系是解题的关键；
根据距省城的距离=120−已经行驶的距离，解答即可；
学科网（北京）股份有限公司
15 /
【详解】解：依题意，y=120−80x，
即y=−80x+120．
故选：B．
4．(24-25 八上·贵州毕节赫章县·期末)已知一个等腰三角形的周长为40，那么它的底边y与腰长x之间的关系
式为（ ）
A．y=x+20
B．y=−x+20
C．y=2x+40
D．y=−2x+40
【答案】D
【分析】本题考查列关系式，等腰三角形的两腰相等，两腰与底边长度之和为周长，由此列式即可．
【详解】解：由题意知2x+y=40，
所以它的底边y与腰长x之间的关系式为：y=−2x+40，
故选D．
5．(24-25 八上·广东佛山南海区桂江第一中学·月考)春游时，小明带了50 元去买单价为6 元的烤肠，则他
所花的钱y（元）与他买的烤肠的数量x（根）之间的关系式是（ ）
A．y=6x
B．y=6x−50
C．y=50−6x
D．y=50+6x
【答案】A
【分析】根据题意，花的钱数等于单价乘以数量，列式解答即可．
本题考查了正比例关系的应用，熟练掌握比例关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得花的钱数等于单价乘以数量，
故y=6x，
故选：A．
6．(24-25 八上·河南开封祥符区·期末)某商场将一商品在保持销售价50 元/件不变的前提下，规定凡购买超
过3 件者，超出的部分打5 折出售．若顾客购买x（x>3）件，应付y元，则y与x间的关系式是 ．
【答案】y=25x+75(x>3)
【分析】本题主要考查函数关系式，弄清题目中的数量关系是解题的关键．
根据“前3 件每件50 元”，以后超过的件数按每件25 元计算，据此列出函数关系式即可．
【详解】解：由题意得，y=50×3+50×50%(x−3)=150+25x−75=25x+75(x>3)，即y=25x+75(x>3)．
故答案为：y=25x+75(x>3)．
7．(25-26 九上·辽宁丹东第十七中学·开学考)小军用100 元去买单价为5 元的笔记本，他买完笔记本之后剩
余的钱y元与买这种笔记本数量x本之间的关系式为 ．
【答案】y=100−5x
学科网（北京）股份有限公司
16 /
【分析】此题主要考查了列函数关系式，关键是明确等量关系．由剩余的钱=原有的钱−用去的钱，可列出
函数关系式．
【详解】解：依题意得，剩余的钱y（元）与买这种笔记本的数量x 之间的关系为：
y=100−5x．
故答案为：y=100−5x．
8．(24-25 八上·广东揭阳普宁华美实验学校·期末)一根弹簧原长13 厘米，挂物体质量不得超过16 千克，并
且每挂1 千克就伸长0.8 厘米，弹簧长度y(厘米)与所挂物体质量x(千克)的关系为 (0≤x≤16).
【答案】y=13+0.8x
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，正确理解题意是解题的关键．先得到x千克重物在原来基
础上增加的长度，再加上原来长度即可得到函数关系式．
【详解】解：∵每挂1 千克重物伸长0.8 厘米，
∴挂x千克重物伸长0.8x厘米，则挂物体x（千克）与弹簧长度y（厘米）的函数关系式是y=13+0.8x（0≤x≤16）．
故答案为：y=13+0.8x．
9．(24-25 八上·安徽阜阳临泉县第五中学·)徽园，是一座采用皇家园林、徽派建筑、现代简约等多种风格设
计、展示安徽各地文化，将观光与文化融为一体的大型综合性观光公园．周末我校八年级三位老师带领x
名学生到徽园参观研学，已知成人票每张20 元，学生票每张10 元，设门票的总费用为y 元，则y 与x 之间
的关系式为 ．
【答案】y=10x+60
【分析】本题考查了函数关系式．根据学生人数乘以学生票价，可得学生的总票价，根据师生的总票价，
可得函数关系式．
【详解】解：根据题意可得：y=10x+3×20=10x+60．
故答案是：y=10x+60．
题型五：利用几何图象表示变量之间的关系
1．(24-25 八上·福建平和县第四中学·期中)在△ABC中，BC边上的高是6厘米．当动点P在BC上由C向B运动
时，设BP长为x（厘米），△ABP的面积为y（厘米
2），则y与x的关系式为 ．
学科网（北京）股份有限公司
17 /
【答案】y=3x
【分析】本题考查了三角形面积公式，熟练掌握以上知识是解题的关键．
根据三角形面积公式即可求出y与x的关系式．
【详解】解：∵BP=x，BC边上的高是6厘米，
∴y=
6x
2 =3x，
故答案为：y=3x．
2．(24-25 八上·四川成都龙泉驿区·期末)如图，已知长方形菜园ABCD一边靠墙，另外三边是用长为24 米的
篱笆围成，设BC=x米，AB=y米，则y 与x 之间的关系式为 ．
【答案】y=−
1
2 x+12(0<x<24)
【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，找出题中的数量关系是解题关键．
根据菜园三边和为24 米，可得到2y+x=24，变形即可得到y 与x 的关系式．
【详解】解：由题意可得，AB+DC+BC=24，
则有2y+x=24，
变形得：y=−
1
2 x+12(0<x<24) ，
故答案为：y=−
1
2 x+12(0<x<24)
3．(24-25 八上·陕西西安长安区·期末)如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6，AC=10,P是
线段AC上的一个动点，当点P从点A向点C运动时，运动到点C停止，设AP=x，△PBC的面积为y，则y与x之
间的关系式为 ．
学科网（北京）股份有限公司
18 /
【答案】y=24−
12
5 x
【分析】本题考查了用关系式表示两个变量的关系，三角形的面积，正确求出BD的长是解题的关键．过点B
作BD⊥AC于点D，根据直角三角形的面积公式求出BD的长，再根据△PBC的面积公式计算即可．
【详解】解：∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，AC=10，
∴S△ABC=
1
2 AB⋅BC=
1
2 ×8×6=24，
过点B作BD⊥AC于点D，
∴S△ABC=
1
2 AC⋅BD=24，
∴BD=
24
5 ，
∵AP=x，AC=10，
∴PC=10−x，
∴S△PBC=
1
2 PC⋅BD=
1
2 ×(10−x)×
24
5 =24−
12
5 x，
故答案为：y=24−
12
5 x．
4．(24-25 六下·山东威海荣成实验学校（五四制）·期末)如图，圆柱的高是4cm，当圆柱底面半径r(cm)变化
时，圆柱的体积V(cm3)也随之变化，则圆柱的体积V与底面半径r的表达式是 ．
【答案】V=4πr2
【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系，根据圆柱体积的计算公式直接可得．
【详解】解：圆柱的体积V 与底面半径r 的关系式是V=4πr2．
故答案为：V=4πr2．
学科网（北京）股份有限公司
19 /
题型六：已知变量之间的关系求数值
1．(24-25 八上·江西上饶横峰县·期中)汽车行驶时，油箱中的剩余油量y(L)与行驶时间x(h)的关系为y=20−3x，
从关系式可知这辆汽车加满油后最多可行驶 h．
【答案】
20
3
【分析】本题考查了函数关系式，根据题意，得y=0，则0=20−3x，解得x=
20
3 ，即可作答．
【详解】解：∵y=20−3x，
∴令y=0时，则0=20−3x，
∴解得x=
20
3 ，
故答案为：
20
3 ．
2．(24-25 八上·山西晋中平遥县·期末)漏刻是我国古代的一种计时工具．小明同学依据漏刻的原理制作了一
个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现了水位h（单位：cm）和时间t（单位：min）两个变量之间的关系．下
表是小明记录的部分数据，当h为10cm时，对应的时间t为 min．
t/min
…
1
2
3
4
…
h/cm
…
2.4
2.8
3.2
3.6
…
【答案】20
【分析】本题考查的知识点是变量之间的关系，解题关键是理解表格．
由表格可知，增加1min，h增加0.4cm，据此列解析式并求解即可．
【详解】解：由表得：增加1min，h增加0.4cm，
则h=0.4t+b，
将t=1，h=2.4代入得，b=2，
∴h=0.4t+2，
h=10cm时，0.4t+2=10，
解得t=20，
∴当h为10cm时，对应的时间t为20min．
故答案为：20．
学科网（北京）股份有限公司
20 /
3．(24-25 八上·山东东营东营区·期末)弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量
x(kg)之间的关系如下表所示：
所挂物体的质量x kg
⁄
0
1
2
3
4
5
弹簧的长度y cm
⁄
20
20.5
21
21.5
22
22.5
在弹性限度内，当所挂物体的质量为7kg时，弹簧的长度为 cm．
【答案】23.5
【分析】本题考查了用表格表示变量之间的关系，由表可知，当所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧的长度
伸长0.5cm，由此可得y与x的关系式．解题的关键在于能够从表格中的数据发现其变化规律．
【详解】解：分析表格可知，当所挂物体的质量x每增加1kg，弹簧的长度伸长0.5cm，
∴y与x的关系式为y=20+0.5x．
当所挂物体的质量为7kg时，即x=7时，y=20+0.5×7=23.5
故答案为：23.5．
4．(24-25 八上·黑龙江大庆肇源县西部四校·期中)汽车开始行驶时，油箱中有油40 升，如果每小时耗油7
升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ，该汽车最多可行驶 小时．
【答案】 y=40−7x
40
7
【分析】本题考查变量之间的关系，涉及关系式表示的变量间关系及解一元一次方程等知识，根据题意，
油箱剩余油量=油箱原有油量−消耗油量即可得到关系式；令y=0解方程即可得到该汽车最多可行驶时间，读
懂题意得到x与y的关系式是解决问题的关键．
【详解】解：∵汽车开始行驶时，油箱中有油40 升，如果每小时耗油7 升，
∴油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为y=40−7x；
当y=0时，0=40−7x，解得x=
40
7 ，
则该汽车最多可行驶
40
7 小时；
故答案为：y=40−7x；
40
7 ．
5．(24-25 八上·陕西咸阳实验中学·月考)随着杭州亚运会的临近，吉祥物的生产也进入“白热化”阶段，某工
厂每名缝纫工生产标准吉祥物的数量y（个）与生产天数x（天）之间的关系如下表：
生产天数x/天
1
2
3
4
5
…
生产数量y/个
30
60
90
120
150
…
学科网（北京）股份有限公司
21 /
则一名缝纫工生产240 个标准的杭州亚运会吉祥物需要 天．
【答案】8
【分析】本题考查变量之间的关系，先找出生产天数与生产数量两个变量的关系，并建立关系式，即可求
得答案．
【详解】解：由题意可得生产天数x 与生产数量y 之间的关系式为：y=30x，
∴当y=240时，240=30x，
∴x=8天，
故答案为：8．
6．(24-25 八上·安徽苏州萧县鹏程中学·期中)某电影院第一排有18 个座位，第二排有21 个座位，第三排有
24 个座位，第四排有27 个座位，．．．．．．每一排都比前一排多3 个座位，依此类推，则第n 排的座位数
m= ．(不需要注明取值范围)
【答案】3n+15
【分析】根据第一排有18 个座位，第二排有21 个座位，第三排有24 个座位，第四排有27 个座位，......每
一排都比前一排多3 个座位，列出关系式即可．
【详解】解：由题意得：第n 排的座位数为m=3n+15，
故答案为：3n+15．
【点睛】本题考查了列函数关系，找准等量关系，正确列出关系式是解题的关键．
7．(24-25 八上·河北邯郸鸡泽县·期中)小红到批发市场共批发了20 支笔，她每月平均用3 支笔，小红剩下
的笔的支数用y表示，用x表示她用的月数，且y与x之间的关系可近似用y=20−3x表示．试问，当她用了2 个
月后，还剩 支笔，用了3 个月后，还剩 支笔，小红的笔够用7 个月吗？ （填“够”
或“不够”）．
【答案】 14 11 不够
【分析】把x=2代入y=20−3x中求出y 的值，即可知她用了2 个月后，还剩下的笔的数量；把x=3代入y=20−3x
中求出y 的值，即可知她用了3 个月后，还剩下的笔的数量；把x=7代入y=20−3x中求出y 的值，若y>0，则
够用7 个月，若y<0，则不够用7 个月．
【详解】当x=2时，y=20−3×2=14，
∴当她用了2 个月后，还剩14 支笔，
故答案为：14；
当x=3时，y=20−3×3=11，
∴当她用了3 个月后，还剩11 支笔，
学科网（北京）股份有限公司
22 /
故答案为：11；
当x=7时，y=20−3×7=−1<0，
∴小红的笔不够用7 个月，
故答案为：不够．
【点睛】本题主要考查了已知自变量的值，代入关系式中即可求出相应的函数值．掌握这一点知识是解题
的关键．
题型七：用函数图象表示变量之间的关系
1．(25-26 八上·安徽淮北五校·期中)将一个高为3cm的圆柱形杯子，放入一个高为6cm的长方体容器中，现向
长方体容器中匀速注水，长方体容器中水面高度h(cm)与注水时间t(min)之间的函数图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象，理解题中两个变量间的关系是解题关键．由题意可得：杯中水满之前，长
方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中水满之前，长方体容器中水的高度不变为3cm，
杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较慢，从而可得答案.
【详解】解：由题意知，杯中水满之前，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较快，杯中进水到杯中
水满之前，长方体容器中水的高度不变为3cm，杯中水满之后，长方体容器中水的高度为匀速上升，速度较
慢，
∴符合题意的图象是B 选项中的图象．
故选：B．
2．(23-24 七上·四川成都第二中学·模拟)你听说过“乌鸦喝水”的故事吧．一只乌鸦口渴了，到处找水喝，它
学科网（北京）股份有限公司
23 /
看见一个瓶子里有水，可是水不多，瓶口又小，它喝不着．聪明的乌鸦看见旁边有许多小石子，想出了办
法．它把小石子一颗一颗地衔进瓶子里，乌鸦就喝到水了．如果从乌鸦看到瓶子的那刻起开始计时，设时
间为x，瓶中的水位高度为y．下面图（ ）最符合故事情境．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，理解题意，分析得到乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的
水位是解题的关键．根据题意乌鸦衔来小石子放入瓶中时，水位将会上升，最后乌鸦喝到水之后的水位应
不低于一开始的水位，据此逐项判断即可．
【详解】解：因为乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中后，水位将会上升，
且一开始的水位乌鸦是喝不着水的，
所以乌鸦喝水后的水位应不低于一开始的水位，
因此只有A 选项的图象符合题意．
故选：A．
3．(24-25 八上·福建龙海·期中)清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢．”在
儿童从学校回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查函数图象表示实际问题，根据题中描述，结合选项即可得到答案，读懂题意是解决问题
的关键．
【详解】解：根据题意，儿童从学校放学回到家的过程中，离家的距离越来越小；儿童从家再到田野的过
学科网（北京）股份有限公司
24 /
程中，离家的距离逐渐增大，则能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是
故选：C．
4．(2025·广东省中山市·模拟)小张的爷爷每天坚持锻炼，星期天爷爷从家里跑步到公园，打了一会太极拳，
然后沿原路慢步走到家，下面能反映当天爷爷离家的距离y 米与时间t 分钟之间关系的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数的图象，掌握相关知识是解题的关键．由爷爷锻炼身体的行程，可得出距离的变
化是先增加、中间有段不变后减少，再根据跑步的速度快于漫步的速度，对照选项即可得出结论．
【详解】解：∵爷爷跑步去公园，慢步回家，且在公园停留打了一会儿太极拳，
∴距离的变化是先增加、中间有段不变后减少，且增加的快，减少的慢．
故选：C．
5．(24-25 八上·贵州毕节七星关区·期末)圆圆出门散步，从家出发走了20min到达离家900m的广场，看到广
场有杂技表演，就停下来看了一会儿，在度过了愉快的10min后，再用15min回到家中．下面图象能表示圆
圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：min）之间的关系的是（ ）
A．
B．
学科网（北京）股份有限公司
25 /
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，解决本题的关键是圆圆观看了10min的杂技表演．
根据题意可知，圆圆在0−20min内，离家距离是0−900m，再由观看了10min的杂技表演可知此时距离不变，
再由回家用了15min，可知在第45min时圆圆到家，由此判断图象即可．
【详解】解：∵从家出发走了20min到达离家900m的广场，
∴圆圆在第20min时，离家距离是900m，
∵圆圆观看了10min的杂技表演，
∴圆圆的离家距离不变，依然为900m，
∵圆圆再用15min回到家中，
∴圆圆在第45min时，到达家中，
由此可知可以表示圆圆离家的距离（单位：m）与外出时间x（单位：min）之间的关系的是A 选项．
故选：A ．
6．六年级学生周末去爬山，他们在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，
然后下山回到出发地．图（ ）准确地描述了这个过程．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据用一个单位长度表示一定数量，用折线的上升或下降表示数量的多少和增减变化，容易看出
数量的增减变化情况分析求解即可．本题考查了折线统计图的应用问题，熟练掌握折线统计图的特征是解
题的关键．
【详解】解：根据六年级学生在半山腰的地方休息了片刻，接着一鼓作气爬到山顶，在山顶休息、观景，
然后下山回到出发地；
学科网（北京）股份有限公司
26 /
准确地描述了这个过程．
故选：B．
7．(24-25 八上·广东广州第四中学教育集团·期中)匀速地向一个容器注水，最后把容器注满．在注水的过程
中，水面高度h 随时间t 的变化规律如图所示（图中OEFG为一折线），那么这个容器的形状可能是下列图中
的（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据水面高度 h 随时间 t 变化的折线斜度，判断容器不同阶段的粗细，斜度越大容器越细，斜度
越小容器越粗，进而匹配容器形状．本题主要考查了函数图象与实际问题中容器形状的对应关系，熟练掌
握根据函数图象斜度判断容器粗细变化是解题的关键．
【详解】解：注水速度匀速，水面高度 h 随时间 t 变化的图象中，折线斜度反映容器粗细，斜度越大，相
同时间水面上升越高，容器越细；斜度越小，容器越粗；
图象 OE 段斜度大，EF 段斜度小，FG 段斜度比 EF 段大，即容器注水时，先注的部分较细，中间部分
最粗，最后部分较细，
观察选项，只有B 选项容器形状符合先细、再粗、最后较细的特点，
故选：B．
8．(24-25 七下·陕西咸阳泾阳县·期末)如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯
满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
27 /
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象．根据刚开始向小烧杯中匀速注水时，大烧杯的液面高度为零，且不会随
时间增加，即可得出答案．
【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度h(cm)为零，
当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度h(cm)随时间t 的增加而增大，
当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D 符合题意．
故选：D．
9．(24-25 八下·广西南宁第十四中学·期末)悦悦同学骑自行车上学，刚开始以某一速度行进，途中因自行车
发生故障停下修车，车修好后加快速度赶往学校．以下四个图象中（s为距离，t为时间），符合上述情况的
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象，根据题意可知，整个过程分为三段，分别分析三段过程即可得出答案，
读懂题意分析出每一段过程中的图象是解题的关键．
【详解】解：首先一开始以某一速度行进，图象应该是一条逐渐向上的直线，而后停下来修车，图象应该
是平行于x轴的直线，之后加速也是一条逐渐向上的直线，
所以D选项符合，
故选：D．
10．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，
发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子
所行的路程，t 表示时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
28 /
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据乌龟和兔子随时间变化它们的路程变化情况即可得到
答案，读懂题意，文字转化为数学图象语言是解题的关键．
【详解】解：根据题意可得，图象中与故事情节相吻合的是D选项，
故选：D．
题型八：从函数图象中获取信息判断选项是否正确
1．(24-25 八上·河南周口汇川区·期末)（在弹簧弹性范围内）为了估计弹簧的长度与所挂物体的质量之间的
关系，同学们测量出弹簧悬挂不同质量的砝码时所对应的长度，并用横坐标表示砝码的质量，纵坐标表示
弹簧的长度，在平面直角坐标系中描出了若干散点，如图所示．小明发现，这些散点大致落在一条呈上升
趋势的直线附近，他画了一条经过了最多散点的直线，来表示弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系，
根据小明所作的趋势图，下列说法错误的是（ ）
A．所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长
B．物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加约1cm
C．所挂物体的质量5kg时，弹簧的长度约11cm
D．不挂物体时，弹簧长度约1cm
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，从图象中获取准确的信息是解题的关键．根据图象信息逐
项分析解题即可．
【详解】解：A、观察图像可知，所挂物体的质量越大，弹簧的长度越长，，故A 选项说法正确；
B、观察图象可知，物体的质量每增加1kg，弹簧的长度增加约1cm，故B 选项说法正确；
学科网（北京）股份有限公司
29 /
C、观察图象，将直线延长可知，当所挂物体的质量5kg时，弹簧的长度约11cm，故C 选项说法正确；
D、观察图象，将直线延长交y 轴，当所挂物体质量为0 时，弹簧长度约6cm，故D 选项说法错误；
故选：D．
2．(24-25 八上·广东佛山顺德区·期末)下面四幅图象均表示变量之间的关系．按图象从左到右的顺序，选择
与之相近的情境，正确的顺序是（ ）
①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与
时间的关系
②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系
③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系
④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系
A．①②④③
B．①③④②
C．④③①②
D．④②①③
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象的问题，先理解函数图象的横纵坐标表示的量，再根据实际情况来判断函数
图象，充分理解两个量之间的函数关系是解题的关键．
【详解】解：第一个图符合：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系；
第二个图符合：③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系；
第三个图符合：④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距
离与时间的关系；
第四个图符合：②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果数量的关系；
故选：B．
3．(24-25 八上·山东济宁微山县·期末)“某市之约，跑者之说”．2025 年4 月6 日某市马拉松激情开跑，这也
是某市首次举办全马的赛事．为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：
min km
⁄
）．某同学报名参加5km“欢乐跑”马拉松比赛．若他跑步的“跑速”如图所示，则下列说法中正确的是
（ ）
学科网（北京）股份有限公司
30 /
①前2km的平均速度大于最后2km的平均速度；②第2km和第3km的平均速度相同；③第5km的平均速度最
大．
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】B
【分析】本题主要考查从图象中获取信息，理解题意是解题的关键．根据配速的定义依次进行判断即可．
【详解】解：“配速”是每行进1km所用的时间，平均速度是指在这一段路程中所用的平均值，是路程÷时间，
由于前2km的时间大于最后2km的时间，故前2km的平均速度小于最后2km的平均速度，故①说法错误；
第2km所用的时间与第3km所用的时间一致，故第2km的和第3km的平均速度相同，故选②说法正确；
由图可知，第5km配速最小，故第5km所用时间最短，故第5km的平均速度最大，故③说法正确；
综上所述：说法正确的是②③．
故选：B．
4．(24-25 八上·福建莆田·期末)北京冬奥会开幕式以“二十四节气”为主题的短片惊艳了世界．下图是某年部
分节气对应的白昼时长示意图（白昼时长=（12−日出时刻）×2=（日落时刻−12）×2，下列结论中正确的是
（ ）
A．立夏这天的日出时间是5:30
B．白昼时长在12−15小时的有10 天
C．立冬这天的日落时间是17:00
D．小满时白昼时间最长
【答案】C
【分析】本题考查了从图象获得信息，解题的关键是能够从图象获得信息．根据图象中的信息逐项求解判
断即可．
学科网（北京）股份有限公司
31 /
【详解】解：由图象可得，立夏这天的白昼时长为14 小时
∴14=（12−日出时刻）×2
解得日出时刻=5
∴立夏这天的日出时间是5:00，故A 错误；
由图象可得，白昼时长在12−15小时的有13 天，故B 错误；
由图象可得，立冬这天的白昼时长为10 小时
∴10=（日落时刻−12）×2
解得日落时刻=17
∴立冬这天的日出时间是17:00，故C 正确；
由图象可得，夏至时白昼时间最长，为15 小时，故D 错误．
故选：C．
4．(24-25 八上·陕西西安第八十三中等·期中)某周六下午，小林从家骑自行车去“西北书城”， 途中他在东方
红广场停留了一段时间，在整个过程中小林离“西北书城”的距离s（米）与他所用的时间t（分钟）之间的
关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．小林家距离西北书城1600 米
B．小林在东方红广场玩了10 分钟
C．小林从家到东方红广场的速度比从东方红广场到西北书城的速度大
D．小林离开东方红广场后的速度为320 米/分钟
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示两个变量的关系，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根
据图象中的数据的实际意义判断各项即可．
【详解】解：A、当t=0时，s=2400，则小林家距离西北书城2400 米，故A 选项不符合题意；
B、小林在东方红广场玩了10−4=6分钟，故B 选项不符合题意；
C、小林从家到东方红广场的速度为(2400−1600)÷4=200（米/分钟），从东方红广场到西北书城的速度为
学科网（北京）股份有限公司
32 /
1600÷(15−10)=320（米/分钟），200<320，故C 选项不符合题意；
D、小林离开东方红广场后的速度为320 米/分钟，故D 选项符合题意；
故选：D．
5．(24-25 八上·山西运城芮城县部分学校·期末)社会在发展，时代在进步．快递上门送件，取件已成为人们
购物的一种重要方式．如图是快递员小王某日为其中一位顾客派送快递行驶路程(m)与时间(min)的图象，
观察图象得到下列信息，其中正确的是（ ）
A．小王实际骑行时间为6 min
B．3 min内，小王派送快递的平均速度是375 m/min
C．3−6 min小王骑行的平均速度比0−2 min慢
D．点P表示小王出发6 min，共骑行2000 m
【答案】D
【分析】本题考查函数图象的实际应用．观察所给图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：观察图象得：2∼3min期间，时间增加，但路程没有增加，此时小王处于停止状态，
因此实际骑行时间为6−1=5min，故A 选项错误，不符合题意；
3 min内，小王派送快递的平均速度是
750
3 =250 m/min，故B 选项错误，不符合题意；
3−6 min小王派送快递的平均速度是
2000−750
6−3
=
1250
3 m/min，
0−2 min小王派送快递的平均速度是
750
2 =375 m/min，
因为
1250
3 m/min>375m/min，
所以3−6 min小王骑行的平均速度比0−2 min快，故C 选项错误，不符合题意；
点P表示小王出发6 min，共骑行2000 m，故D 选项正确，符合题意；
故选D．
6．(24-25 八上·河北保定莲池区·期末)如图1 所示，长方形ABCD中，动点P从点B出发，以1cm/s的速度沿着
学科网（北京）股份有限公司
33 /
B—C—D—A运动至点A 停止，设点P 运动的时间为x 秒，△ABP的面积为ycm2，y 与x 的关系如图2 所示，
那么下列说法错误的
．．是（ ）
A．AB=5cm
B．长方形ABCD的周长为18cm
C．当x=5秒时，y=10cm
D．当y=7.5cm2时，x=10秒
【答案】D
【分析】本题考查用图象法表示两个变量间的关系，能看懂图象，根据动点P 所在的位置与图象的关系逐
项判断即可．
【详解】解：A、根据题意，动点P 在边CD上时，△ABP的面积y 值不变，
∴AB=CD=1×(9−4)=5cm，故A 选项说法正确，不符合题意；
B、由图象知，动点P 在边BC上运动时间为4 秒，
∴AD=BC=1×4=4cm，
∴长方形ABCD的周长为2×(5+4)=18cm，
故选项B 说法正确，不符合题意；
C、当x=5秒时，动点P 在边CD上，此时y=
1
2 ×5×4=10cm，
故选项C 说法正确，不符合题意；
D、当y=7.5cm2时，有两种情况：
当动点P 在边BC上时，由
1
2 ×5×t=7.5得t=3；
当动点P 在边AD上时，由
1
2 ×5×(4+5+4−t)=7.5得t=10，
综上，当y=7.5cm2时，x=10秒或3 秒，
故选项D 说法错误，符合题意，
故选：D．
7．(24-25 八上·广东深圳光明区·期末)如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（ ）
学科网（北京）股份有限公司
34 /
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
【答案】C
【分析】本题考查利用图象表示函数关系．根据函数的图象可以得到因变量随着自变量的增大而增大，随
后又随着自变量的增大而减小．逐一进行判断即可．
【详解】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，故该选项不符合题意；
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大， ，故该选项不符合题意；
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，故该选项符
合题意；
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．故该选项不符合题意；
故选：C．
8．(24-25 八上·河南平顶山汝州·期末)下面的三个问题中都有两个变量：
①某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x 小时后，这个水池有水ym3；
②某手机话费收费标准为：每月必须缴月租费12 元，另外，通话费按0.2 元/min计．若一个月的通话时间
为xmin，一个月应缴费用为y 元；
③某弹簧的自然长度是3cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加1kg，弹簧长度y 增加0.5cm
其中，变量y 与变量x 之间的关系可以用如图所示的图象表示的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③
D．①②③
【答案】D
【分析】本题考查了利用图象和关系式表示变量之间的关系，解题的关键是正确理解图象表示的意义，理
解问题的过程，就能够通过图象得到问题的相应解决．
根据图象可知：两个变量之间的关系是y=kx+b，其中x≥0，k>0，b>0，①根据x小时后，这个水池的蓄水量
等于原来的蓄水量加上后来增加的进水量判断即可；②根据应缴费用等于月租费加上通话费判断即可；③
学科网（北京）股份有限公司
35 /
根据弹簧长度等于自然长度加上伸长长度判断即可．
【详解】解：根据图象可知：两个变量之间的关系是y=kx+b，其中x≥0，k>0，b>0。
①由题意得，y=15+5x，故变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示；
②由题意得，y=12+0.2x，故变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示；
③由题意得，y=3+0.5x，故变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示；
所以变量y与变量x之间的关系可以用如图所示的图象表示的是①②③．
故选：D．
9．(23-24 八下·上海华东师范大学第二附属中学前滩学校·期末)如图所示的图像中所反映的过程是：张强从
家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后，又去早餐店吃早餐，然后散步走回家．其中x表示时间，y表示张
强离家的距离．根据图像提供的信息，以下四个说法中错误的是（ ）
A．体育场离张强家2.5 千米
B．张强在体育场锻炼了15 分钟
C．体育场离早餐店1 千米
D．张强从早餐店回家的平均速度是3 千米/小时
【答案】D
【分析】本题考查函数图象的实际应用，结合图象得出从家直接去体育场，故第一段函数图象所对应的y
轴最高点即为体育场离张强家的距离，进而得出锻炼时间以及整个过程所用的时间，由第三段函数图象可
得体育场离开早餐店的距离，根据第五段函数图象求得张强从早餐店回家的距离及时间，再利用平均速度
等于总路程除以总时间即可求张强从早餐店回家的平均速度．
【详解】解：由函数图象可得，体育场离张强家2.5 千米，故A 不符合题意；
由图象可得，张强在体育场锻炼了30−15=15（分钟），故B 不符合题意；
由图象可得，体育场离早餐店的距离为：2.5−1.5=1（千米），故C 不符合题意；
由图可得，张强从早餐店回家的距离是1.5 千米，所需用的时间为100−65=35（分），
所以张强从早餐店回家的平均速度是1.5÷
35
60 =
18
7 （千米/小时），故D 符合题意；
学科网（北京）股份有限公司
36 /
故选：D．
10．(23-24 八上·陕西榆林横山区横山中学·期中)骑自行车是一种健康自然的运动旅游方式，长期坚持骑自
行车可增强心血管功能，提高人体新陈代谢和免疫力.如图是骑行爱好者老刘某天骑自行车行驶路程（km）
与时间（h）的关系图象，观察图象得到下列信息，其中错误
．．的是（ ）
A．点P表示老刘出发5h，他一共骑行80km
B．老刘实际骑行时间为5h
C．0~2h老刘的骑行速度为15km/h
D．老刘的骑行在0~2h的速度比3~5h的速度慢
【答案】B
【分析】仔细观察图象，结合路程、速度、时间的关系逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点P所对应的路程为80km，时间为5h，即表示出发5h，老刘共骑行80km，故A
正确，不符合题意；
∵ 2~3h内的路程没有变化，
∴老刘实际骑行时间为5−1=4h，故B 错误，符合题意；
∵ 0~2h老刘骑行的路程为30km，
∴ 0~2h的速度为
30
2 =15km/h，故C 正确，不符合题意；
∵ 3~5h骑行的路程为80−30=50km，
∴ 3~5h的速度为
50
2 =25km/h，
∵ 15<25，
∴老刘的骑行在0~2h的速度比3~5h的速度慢，故D 正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了用图象表示变量之间的关系，读懂题意，从所给的图象中获取解题所需要的信息是解
题的关键．
学科网（北京）股份有限公司
37 /
题型一：表格与变量综合解答题
1．(24-25 八上·贵州毕节赫章县·期末)某地每周有x人次乘坐9 路公交车，该路公交车每周的收入为y元，每
人次乘坐的票价相同．部分y与x的数据如下表所示：
x/人次
180
220
325
356
420
…
y/元
360
440
650
712
840
…
(1)表中的自变量为___________，因变量为___________；
(2)已知该路公交车每周的油费、维护检修费等固定支出费用共800 元，要使该路公交车每周的利润达到1000
元，每周需要有多少人次乘坐该路公交车？（收入−支出=利润）
【答案】(1)每周乘坐9 路公交车的人次；9 路公交车每周的收入
(2)每周需要有900 人次乘坐该路公交车
【分析】本题考查用表格表示变量之间的关系，找准两个变量之间的关系，是解题的关键：
（1）直接根据表格进行作答即可；
（2）由表格可知，每人次乘坐的票价为2 元，根据收入−支出=利润，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知，公交车每周的收入随着乘坐人次的变化而变化，
故自变量为：每周乘坐9 路公交车的人次，因变量为：9 路公交车每周的收入；
（2）由表格可知，每人次乘坐的票价为
360
180 =2元，
由题意，得：2x−800=1000，
解得：x=900；
答：每周需要有900 人次乘坐该路公交车．
2．(24-25 八上·山东淄博张店区龙凤苑中学（五四学制）·月考)父亲告诉小明：“距离地面越高，温度越低，”
并给小明出示了下面的表格，根据下表回答问题：
距离地面高度（千米）
0
1
2
3
4
5
温度（℃）
20
14
8
2
−4
−10
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t是怎么变化的？
学科网（北京）股份有限公司
38 /
(3)直接写出h和t的关系式．
(4)你能猜出距离地面6 千米的高空温度是多少吗？
【答案】(1)上表反映了温度和距地面高度之间的关系，距地面高度是自变量，温度是因变量
(2)随着h 的增加，t 逐渐减小
(3)t=20−6h(h≥0)
(4)−16℃
【分析】本题考查用表格和关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格中获取所需信息是解答的
关键．
（1）根据自变量、因变量的定义解答即可；
（2）根据表中数据解答即可；
（3）根据表中数据得出高度每增加1 千米，温度下降6℃，即可得答案；
（4）将h=6代入t=20−6h(h≥0)中求解即可．
【详解】（1）解：上表反映了温度和距地面高度之间的关系，距地面高度是自变量，温度是因变量；
（2）解：由表可知：随着h 的增加，t 在逐渐减小；
（3）解：从表格中可以看出，距地面高度每增加1 千米，温度下降6℃，
∴t=20−6h(h≥0)；
（4）解：当h=6时，t=20−6×6=−16，
答：距离地面6 千米的高空温度是−16℃．
3．(24-25 八上·山东烟台莱州·期末)盘秤是一种常见的称量工具，它的工作原理是指针转过的角度与被称物
体的重量存在着一定的数量关系，如表所示：
重量（单位：千克）
0
2
2.5
3
b
指针转过的角度
0°
36°
a°
54°
180°
(1)请直接写出a=___________，b=___________；
(2)设盘秤转过的角的数值为n，物体的重量为m，在忽略自变量取值范围的前提下，请直接写出n与m之间的
关系式为___________；
学科网（北京）股份有限公司
39 /
(3)指针转过的角度不得超过360°，否则盘秤会受损，称量18 千克的物品会对盘秤造成损伤吗？说说你的理
由；
(4)某顾客在一家水果店购买水果，用这种盘秤称量两次，第二次的数量是第一次数量的2 倍多3 千克，且
指针第二次转过的角度比第一次大108°，该顾客一共购买了多少千克水果．
【答案】(1)45；10
(2)n=18m
(3)不会，见解析
(4)12 千克
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系，一元一次方程的应用，通过表格观察数据建立变量间的
关系，理解题意得到等量关系建立方程是解决本题的关键．
（1）根据表格的数值可发现规律，重量每增加1 千克，指针转过的角度增加18°由此可解；
（2）根据重量每增加1 千克，指针转过的角度增加18°，即可写出n与m之间的关系式；
（3）将m=18代入（2）中所得关系式中，求解出n 的值即可判断；
（4）设出第一次称重的重量，由条件“第二次的数量是第一次数量的2 倍多3 千克”可表示出第二次称重的
重量，再根据转过的角与物体的重量之间的关系式表示出两次的旋转角度，由“指针第二次转过的角度比第
一次大108°”建立等式即可．
【详解】（1）解：观察表格，重量每增加1 千克，指针转过的角度增加18°，
重量为2.5千克时，指针转过的角度为2.5×18°=45°；
当指针转过的角度为180°，重量为
180°
18° =10千克，
故答案为：45；10；
（2）解：∵重量每增加1 千克，指针转过的角度增加18°，
∴转过的角的数值为n与物体的重量为m的关系式为n=18m；
故答案为：n=18m；
（3）解：不会，理由如下：
当物品的重量为18 千克时，
由（2）知，转过的角的数值为n与物体的重量为m的关系式为n=18m，
将m=18代入n=18m中，得n=18×18=324°<360°，
∴称量18 千克的物品不会对盘秤造成损伤；
学科网（北京）股份有限公司
40 /
（4）解：设第一次称重的重量为x千克，
∵第二次的数量是第一次数量的2 倍多3 千克，
∴第二次称重的重量为(2x+3)千克，
由（2）知，转过的角的数值为n与物体的重量为m的关系式为n=18m，
∴第一次称重转过的角的数值为18x，第二次称重转过的角的数值为18(2x+3)，
∵指针第二次转过的角度比第一次大108°，
∴18(2x+3)=18x+108，解得x=3，
∴第一次称重的重量为3 千克，第二次称重的重量为2×3+3=9千克，
3+9=12（千克）
答：该顾客一共购买了12 千克水果．
4．(24-25 八上·山东淄博张店区·期末)综合与实践：小明要用总长为12 米的篱笆围一个长方形花圃，其一
边靠墙（墙长9 米），另外三边是篱笆，其中BC不超过9 米，如图所示．设垂直于墙的两边AB，CD的长均
为x 米，长方形花圃的面积为y 平方米．
(1)在x，y 这两个变量中，自变量是___________，因变量是___________；
(2)BC=___________米（用含x 的式子表示），请判断当x=0.5时是否符合题意，并说明理由；
(3)求y 与x 之间的关系式；
(4)根据（3）中y 与x 之间的关系式补充下面表格：
x（米）
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
…
y（米2）
13.5
16
17.5
m
17.5
n
13.5
…
①m=___________，n=___________；
②请观察表格中的数据，并写出y 随x 变化的一个特征：___________．
③在y 随x 变化的过程中，问y 是否存在最值（最大值或最小值）？若存在，请直接写出y 的最值（注明是
最大值
．．．，还是最小值
．．．）及此时x 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)自变量是x，因变量是y
(2)12−2x，x=0.5时不符合题意，理由见解析
(3)y=−2x2+12x
学科网（北京）股份有限公司
41 /
(4)①18，16；②当x<3时，y 随x 的增大而增大．（或当x>3时，y 随x 的增大而减小；或当x=3时，y 取得最
大值）（答案不唯一）；③y 存在的最大值为18，此时x 的值为3
【分析】本题考查用表格表示两个变量间的关系、用关系式表示两个变量间的关系，理解题意，能从表格
数据中获取信息是解答的关键．
（1）根据自变量和因变量的定义求解即可；
（2）由篱笆的长度和图形周长求法列代数式即可求得表示BC的代数式，再求得当x=0.5时的BC的值，进而
与9 比较大小可得结论；
（3）根据长方形的面积公式求解即可；
（4）①分别将x=3和x=4代入（3）中关系式中可求解m、n 值；
②由表格数据中自变量和因变量的变化可得结论；
③根据表格因变量的变化规律可得答案．
【详解】（1）解：根据题意，自变量为x，因变量为y；
（2）解：设垂直于墙的两边AB，CD的长均为x 米，
根据题意，BC=(12−2x)米，
当x=0.5时，BC=12−2×0.5=11>9，
∴x=0.5时不符合题意；
（3）解：由题意，得y=AB⋅BC=x(12−2x)=−2x2+12x；
（4）解：①当x=3时，y=−2×32+12×3=18，即m=18；
当x=4时，y=−2×42+12×4=16，即n=16；
②根据表格数据变化，当x<3时，y 随x 的增大而增大．（或当x>3时，y 随x 的增大而减小；或当x=3时，y
取得最大值）（答案不唯一）；
③根据表格数据变化，y 随x 的增大，先增大再减小，在x=3时，取得最大值，
即y 存在的最大值为18，此时x 的值为3．
5．(24-25 八上·四川达州渠县中学·期末)用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图．经测试，在用
快速充电器为手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：min）之间的关系如表格所示．
充电时间t（单位：
0
10
20
30
40
50
…
学科网（北京）股份有限公司
42 /
min）
手机电量E（单位：
%）
20
28
36
44
52
60
…
(1)请求出E 与t 之间的关系式；
(2)若电量充到76%，请求出充电时间；
(3)已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用t 小时，接着再用
普通充电器将其充满电，普通充电器充电平均速度为每小时15%，其“充电−耗电−充电”的时间恰好是5 小时，
求t 的值．
【答案】(1)E=20+0.8t
(2)70min
(3)2
【分析】本题考查用表格表示两个变量之间的关系、用关系式法表示两个变量之间的关系，理解题意，从
表格数据中找到因变量与自变量的关系是解答的关键．
（1）从表格数据可得到：用快速充电器给该手机充电，每充电1min，其电量E 增加0.8%，进而可列出关系
式；
（2）求出当E=76时的t 值即可；
（3）根据题意，先求得用快速充电器将其充满电的时间，再由“充电−耗电−充电”的时间恰好是5 小时求得
普通充电器将其充满电的时间，然后根据“普通充电器充电量等于正常使用的耗电量”列方程求解即可．
【详解】（1）解：由表格数据知，用快速充电器给该手机充电，每充电10min，其电量E 增加8%，即每充
电1min，其电量E 增加0.8%，
∴E 与t 之间的关系式为E=20+0.8t；
（2）解：当E=76时，由76=20+0.8t得t=70，
答：充电时间为70min；
（3）解：当E=100时，由100=20+0.8t得t=100，
∴用快速充电器将其充满电所需时间为100min=
100
60 h=
5
3 h，
根据题意，得15% (5−
5
3 −t) =10%t，
解得t=2．
答：t 的值为2．
学科网（北京）股份有限公司
43 /
6．春天来了，小颖要用总长为12m的篱笆围一个长方形花圃，其一边靠墙(墙长9m)，另外三边是篱笆，其
中BC不超过9m，设垂直于墙的两边AB,CD的长均为xm，长方形花圃的面积为ym2．
(1)判断x=1是否符合题意，并说明理由；
(2)求y与x之间的关系式；
(3)根据关系式补充表格：
x m
⁄
...
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
...
y m2
⁄
...
13.5
16
17.5
17.5
13.5
...
观察表中数据，写出y随x变化的一个特征： ．
【答案】(1)x=1不符合题意，理由见详解
(2)y=−2x2+12x
(3)18，16，y 随x 的增大先增大后减小
【分析】本题主要考查用关系式和表格表示变量之间的关系，根据题意正确表示出花圃的长是解题关键．
（1 ）根据AB+BC+CD=12，且AB=DC=x，可得BC，再将x=1代入求值后与墙长9 米比较可得；
（2 ）根据长方形的面积公式即可得y关于x的函数关系式；
（3 ）将x=3、x=4代入求值可完善表格，由表格中y随x的增减性可得．
【详解】（1）解：x=1不符合题意，
由题意得，BC=12−2x，
当x=1时，BC=12−2=10>9，
则x=1，不符合题意；
（2）解：y=AB·BC=x(12−2x)=−2x2+12x；
（3）解：当x=3时，y=−2×32+12×3=18，
当x=4时，y=−2×42+12×4=16，
完成表格如下：
x（米）
…
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
…
y（米
2）
…
16
18
17.5
16
…
学科网（北京）股份有限公司
44 /
13.5
17.5
13.5
由表可知，y随x的增大先增大后减小，
故答案为：y随x的增大先增大后减小．
7．(24-25 八上·贵州六盘水·期中)“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王
亚平、叶光富相互配合进行授课，并由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、
太空抛物实验，介绍与展示空间科学设施，旨在传播普及空间科学知识，激发广大青少年不断追寻“科学梦”、
实现“航天梦”的热情．七（1）班“问天小组”通过查阅资料发现，声音在空气中传播的速度和气温的变化存
在如下的关系：
气温t/°C
0
5
10
15
20
25
声音在空气中的传播速度vm/s
331
334
337
340
343
346
阅读上述材料回答下列问题：
(1)在这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；
(2)从表中数据可知，气温每升高1°C，声音在空气中传播的速度就提高 m s
⁄ ；
(3)声音在空气中的传播速度v(m s
⁄ )与气温t(°C)的关系式可以表示为 ；
(4)某日的气温为18°C，欢欢同学看到烟花燃放5s后才听到声响，那么欢欢同学与燃放烟花所在地大约相距
多远？
【答案】(1)气温，声音在空气中的传播速度
(2)0.6
(3)v=331+0.6t
(4)1709m
【分析】本题考查变量之间的关系，常量与变量，理解常量与变量的定义，求出变量之间的关系是正确解
答的前提．
（1）根据题意和表格中的两个量的变化关系得出答案；
（2）从表格中两个变量对应值的变化规律得出答案；
（3）利用（2）中的变化关系得出变量之间的关系；
（4）当t=18时，求出v，再根据路程等于速度乘以时间进行计算即可．
【详解】（1）据题意可知，气温是自变量，声音在空气中的传播速度是因变量，
故答案为：气温，声音在空气中的传播速度；
学科网（北京）股份有限公司
45 /
（2）由表中数据可知，气温每升高1°C，声音在空气中传播的速度就提高3÷5=0.6m/s
故答案为：0.6；
（3）由表格中两个变量对应值的变化规律可得，
v=331+
3t
5 =331+0.6t，
故答案为：v=331+0.6t；
（4）当t=18时，
v=331+0.6×18=331+10.8=341.8(m/s)，
341.8×5=1709(m)，
答：小乐与燃放烟花所在地大约相距1709m．
8．(24-25 八上·山东烟台牟平区（五四制）·期末)张叔叔从批发商手里批发甲、乙两种蔬菜，然后拿到菜市
场去卖，已知甲、乙两种蔬菜的批发价和零售价如下表所示：
品名
甲蔬
菜
乙蔬
菜
批发价（元/千克）
4.8
4
零售价（元/千克）
7.2
5.6
(1)若他批发甲、乙两种蔬菜共40 千克花180 元．求批发甲乙两种蔬菜各多少千克？
(2)若他用m 元批发甲、乙两种蔬菜共80 千克，设批发甲种蔬菜n 千克，求m 与n 的关系式：
(3)一天若他批发甲、乙两种蔬菜各40 千克，由于行情原因，他想将两种蔬菜在零售价的基础上都打折出售，
其中甲种蔬菜以八五折出售，要想卖完全部蔬菜后保证利润率不低于17.5%，求乙种蔬菜至少可打几折（结
果精确到0.01）．
【答案】(1)甲蔬菜25kg，乙蔬菜15kg
(2)m=320+0.8n
(3)7.54折
【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设批发甲蔬菜xkg，乙蔬菜(40−x)kg，根据批发甲蔬菜和乙蔬菜两种蔬菜共40kg，用去了180元钱，列
方程求解；
（2）根据总价等于单价×数量，由甲、乙两种蔬菜总价和为m，即可得出m 与n 的函数关系；
（3）设乙种蔬菜打x折，根据利润、售价、成本之间的关系建立一元一次不等式求解即可．
学科网（北京）股份有限公司
46 /
【详解】（1）解：设批发甲蔬菜xkg，乙蔬菜(40−x)kg，
由题意得：4.8x+4(40−x)=180，
解得：x=25，
乙蔬菜=(40−25)kg=15kg，
答：故批发甲蔬菜25kg，乙蔬菜15kg，
（2）解：设批发甲种蔬菜nkg，乙蔬菜(80−n)kg，
由题意得：m=4.8n+4(80−n)=320+0.8n，
答：m 与n 的函数关系为：m=320+0.8n，
（3）解：设乙种蔬菜打x折，
由题意得7.2×0.85×40+5.6×
x
10 ×40−(40×4.8+40×4)≥(40×4.8+40×4)×0.175，
解得：x≥
211
28 ≈7.54，
答：乙种蔬菜至少可打7.54折．
9．(24-25 八上·四川达州外国语学校·月考)甲、乙在一条直线跑道上匀速跑步，乙先跑，甲出发时，乙已经
距起点100 米了，他们距起点的距离s（米）与甲出发的时间t（秒）之间的关系如图（不完整），根据图中
信息，解答下列问题：
(1)在上述变化过程中，自变量是________，因变量是__________．
(2)甲的速度为______米/秒，乙的速度为______米/秒．
(3)当甲追上乙时，求甲距起点的距离．
【答案】(1)甲出发的时间t；距起点的距离s
(2)6；
10
3
(3)当甲追上乙时，甲距起点的距离为225 米
【分析】本题考查了利用图象表示变量之间的关系，常量与变量，体现了方程思想，当甲第1 次追上乙时，
根据所跑路程相等列出方程求出t 是解题的关键．
（1）根据图象的横轴表示自变量，纵轴表示因变量即可得出答案；
学科网（北京）股份有限公司
47 /
（2）根据甲100 秒跑了600 米，乙150 秒跑了600−100=500（米）计算速度即可；
（3）设t 秒时，甲第1 次追上乙，根据所跑路程相等列出方程求出t，进而得到甲距起点的距离．
【详解】（1）解：在上述变化过程中，自变量是甲出发的时间t，因变量是他们距起点的距离s．
故答案为：甲出发的时间t；他们距起点的距离s．
（2）解：甲的速度为：600÷100=6（米/秒），
乙的跑步速度为： (600−100)÷150=
10
3 （米/秒）．
故答案为：6；
10
3 ．
（3）解：设t 秒时，甲追上乙，
根据题意得：6t=100+
10
3 t
解得： t=
75
2 ，
则
75
2 ×6=225（米），
答：当甲追上乙时，甲距起点的距离为225 米．
题型二：函数图象与变量综合解答题
1．(24-25 八上·山东威海环翠区·期末)甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为−10，速度为每秒2 个单位
长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5 个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前
行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1 秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，
若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离y与甲、乙运动时间t(s)之间的关系如图，根据图象
回答：
(1)运动开始前乙位置坐标为___________；点c的值为___________；乙的速度为___________；
(2)直接写出图中点A表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5 个单位长度：
学科网（北京）股份有限公司
48 /
(3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间t：若不能，请说明理由．
【答案】(1)10，2，1
(2)点A 代表甲乙相遇． 12s甲、乙第二次相距5 个单位长度．
(3)不能，理由见详解
【分析】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离y为20 ，甲所在位置坐标为−10，即可求出乙位置坐标，根
据当t=5s时，甲乙第一次相距5 个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则5×2+5v=20−5，解方程即可
得出乙的速度．根据点A 代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1 秒
后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c 点的值．
（2）根据（1）可知：点A 代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1 秒
后，甲乙相距2 个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设ts后，甲、乙第二次相距5 个单位长度，列出关于t 的一元一次方程求解即可．
（3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案．
【详解】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离y为20 ，甲所在位置坐标为−10，
∴乙位置坐标为：20+(−10)=10，
根据关系图可知，
当t=5s时，甲乙第一次相距5 个单位长度，甲停止运动，
设乙的速度为：v，
故5×2+5v=20−5，
解得：v=1．
根据关系图可知点A 代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1 秒后，
甲、乙均保持之前的速度继续前行，
c=2×1=2，
故答案为：10，2，1
（2）解：根据（1）可知：点A 代表甲乙相遇．且A=10s， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速
度继续运动1 秒后，甲乙相距2 个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行，
设ts后，甲、乙第二次相距5 个单位长度，
(2+1)t+2=5，
解得：t=1s，
则11s+1s=12s，
即12s甲、乙第二次相距5 个单位长度．
学科网（北京）股份有限公司
49 /
（3）解：不能，理由如下：
甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了5s，路程为5×2=10，然后停止运动5s，还需要走(20−10)÷2=5s，
则甲到达乙的位置一共需要5+5+5=15s，
乙到达甲的位置需要的时间：乙先走10s，路程为：10×1=10，然后停止运动1s，还需要走(20−10)÷1=10s，
则乙到达甲的位置一共需要10+1+10=21s，
则甲、乙不能同时到达对方最初的位置．
2．(24-25 八上·辽宁丹东·期末)2024 年“骑行中国”331 国道最美边境线丹东起点出发仪式上，26 个省份227
名骑友从丹东出发，伴着碧波荡漾的鸭绿江水，踏上“骑行中国”的美好旅程．小华同学受此影响，每天放
学后都骑自行车锻炼身体．某天，他从家出发骑车到鸭绿江断桥，当他以往常的速度骑行了一段路后，突
然感到口渴，于是又折回到刚才经过的超市买水，喝完水后，小华继续骑车到鸭绿江断桥．已知小华家，
超市，鸭绿江断桥在同一条笔直公路上，小明离家距离与所用时间的关系如图所示，根据图象回答下列问
题：
(1)小华家到鸭绿江断桥的距离是______米；
(2)小华在超市停留了______分钟；
(3)本次骑行途中，小华一共行驶了______米；
(4)交通安全不容忽视，我们认为中学生骑自行车的速度超过320 米/分就超过了安全限度．通过计算说明：
在整个骑行途中哪个时间段小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内吗？
【答案】(1)2100
(2)4
(3)2700
(4)在12∼16分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内
【分析】本题考查用图象表示两个变量之间的关系，解题的关键是利用数形结合的思想解答．
（1）根据图象中的数据可以得到小明家到学校的路程和在书店停留的时间；
（2）根据图象中的数据可以得到小明在书店停留的时间；
学科网（北京）股份有限公司
50 /
（3）根据图象中的数据可以得到本次上学途中，小明一共行驶的路程；
（4）根据题意和图象可以得到各段内对应的速度，从而可以解答本题．
【详解】（1）解：根据图象纵轴数据，小华家到鸭绿江断桥的距离是2100 米，
故答案为：2100；
（2）解：根据图象纵轴数据，小华在超市停留了12−8=4分钟，
故答案为：4；
（3）解：根据图象纵轴数据，本次骑行途中，小华一共行驶了1200+(1200−900)+(2100−900)=2700（米），
故答案为：2700；
（4）解：当时间在0∼5分钟内，速度为1200÷5=240（米/分）；
当时间在5∼8分钟内，速度为(1200−900)÷(8−5)=100（米/分）；
当时间在12∼16分钟内，速度为(2100−900)÷(16−12)=300（米/分）；
∵300<320，
∴在整个骑行途中在12∼16分钟内，小华的骑车速度最快，最快速度在安全限度内．
3．(24-25 七下·四川巴中·期末)游乐场里的数学
【问题情境】
海盗船是游乐场非常受欢迎的项目之一，数学兴趣小组的同学在游乐场游玩时对海盗船进行了实地调研．如
图1 所示，海盗船摆臂的长度为12 米，其最大摆角为60°．
（即船体由静止状态摆动到最高点时摆动的角度）
【问题探究】
小组成员使用手机测距和计时功能，记录了海盗船静止时最低点摆动到不同位置距地面的高度h（单位：m）
以及所用的时间t（单位：s）的数据，并将这些数据绘制成图2．
请根据图2 中信息回答问题：
（1）在这个变化过程中，自变量是_____________，因变量是_____________；
（2）该点最高时距地面_____________米，最低时距地面_____________米；
【问题解决】
（3）该点按图2 摆动的规律摆动2 分钟，经过的总路程是多少米？（结果保留π）
【答案】（1）t，h；（2）8，2；（3）120πm．
学科网（北京）股份有限公司
51 /
【分析】本题考查了求圆的面积，用图像表示变量间的关系．
（1）根据题干信息判断即可；
（2）根据图2 作答即可；
（3）先求出该点一个周期摆动8πm，再根据图2 求出2 分钟摆动的周期数，最后相乘即可．
【详解】（1）解：∵高度随时间变化而变化，
∴自变量是t，因变量是h，
故答案为：t，h；
（2）解：由图2 可知，该点最高时距地面8 米，最低时距地面2 米；
故答案为：8，2；
（3）解：∵海盗船摆臂的长度为12 米，
该点所在的圆的周长为2π×12=24π(m)，
∵其最大摆角为60°，
∴该点单次摆动路程为
60°
360° ×24π=4π(m)，
即该点一个周期摆动8πm，
由图2 可知一个周期为8s，
∴2 分钟即120s共摆动
120
8 =15个周期，
∴该点按图2 摆动的规律摆动2 分钟，经过的总路程是8π×15=120π(m)．
4．4 月21 日，中国国际通用航空与无人机发展大会在京盛大开幕，此次大会有全球通用航空和无人机行业
的相关企业、机构代表和知名专家近700 人参加，交流探讨了促进行业高质量发展、推动技术创新和产业
升级等热点话题．无人机产业已经成为新兴产业的热点之一，中国无人机研发技术后来居上，世界领先．如
图所示为某型无人机的飞行高度h（米）与操控无人机的时间t（分钟）之间的关系图，上升和下降过程中
速度相同，根据所提供的图象信息解答下列问题：
(1)图中的自变量是______，因变量是______；
(2)无人机在75 米高的上空停留的时间是______分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为______米/分钟；
学科网（北京）股份有限公司
52 /
(4)图中a 表示的数是______；b 表示的数是______；
(5)求第14 分钟时无人机的飞行高度是多少米？
【答案】(1)操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h
(2)5
(3)25
(4)2，15
(5)第14 分钟时无人机的飞行高度是25 米
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解题的关键是看懂图象中数据，结合路程=速度×时间进行
计算．
（1）根据数量变化关系直接判断即可得到答案；
（2）根据图象直接计算即可得到答案；
（3）根据6∼7分钟图象数据求解即可得到答案；
（4）根据（3）中的速度代入行程公式即可得到答案；
（5）根据行程公式求出下降路程，进而即可得到答案.
【详解】（1）解：由题意可得，
∵无人机高度随时间变化而变化，
∴自变量是操控无人机的时间（或t），因变量是无人机的飞行高度（或h），
故答案为：操控无人机的时间t，无人机的飞行高度h；
（2）解：由图象可得，
7∼12分钟无人机在75米高的上空停留，
∴无人机在75米高的上空停留的时间是：12−7=5分钟，
故答案为：5；
（3）解：由6∼7分钟图象可得，
无人机的速度为：
75−50
7−6 =25（米/分钟），
故答案为：25；
（4）解：由（3）可得，
a=50÷25=2，b=75÷25+12=15，
解得：a=2，b=15，
故答案为：2，15；
学科网（北京）股份有限公司
53 /
（5）解：由（3）可得，
25×(14−12)=50，
∴第14分钟时无人机的飞行高度是：75−50=25（米），
答：第14分钟时无人机的飞行高度是25米．
5．(24-25 八上宁夏银川唐徕中学·期末)甲乙两地相距300 千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙
地，轿车比货车晚出发1.5 小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离s（千米）与时间t（小时）之间的
关系：折线BCD表示轿车离甲地的距离s（千米）与时间t（时）之间的关系，请根据图象解答下列问题：
(1)点B 所对应的数为_________．
(2)货车的速度为_________千米/小时；轿车在BC段的速度为________千米/小时；轿车在CD段的速度为
__________千米/小时．
(3)求轿车到达乙地时，货车与甲地的距离．
(4)货车和轿车谁先到达乙地？提前几小时到达？
【答案】(1)1.5
(2)60，80，110
(3)270
(4)轿车先达到乙地，提前0.5 小时到达
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）点B所对应的数为轿车出发的时间，根据题意求出轿车出发的时间即可；
（2）根据图象结合速度=路程÷时间，即可求得对应的速度；
（3）根据图象求得货车行驶时间，再结合速度即可求解；
（4）根据图象求得货车到达乙地时间即可求解．
【详解】（1）解：∵轿车比货车晚出发1.5 小时，货车是第0 小时出发，
∴轿车第1.5 小时出发，
∴点B所对应的数是1.5；
学科网（北京）股份有限公司
54 /
故答案为：1.5；
（2）解：根据图象可知，货车速度是234÷3.9=60千米/小时，
轿车在BC段的速度为80÷(2.5−1.5)=80千米/小时，
轿车在CD段的速度为(234−80)÷(3.9−2.5)=110千米/小时，
故答案为：60，80，110；
（3）根据图象可知，轿车到达乙地时，
货车行驶时间为(300−80)÷110+2.5=4.5，
此时，货车与甲地的距离为4.5×60=270千米；
（4）根据图象可知，轿车先到达乙地，
货车达到时间为300÷60=5小时，
可知，轿车比货车提前5−4.5=0.5小时，
即：轿车先达到乙地，提前0.5 小时到达．
6．(23-24 七下·广东深圳龙岗区·期末)2024 深圳市梧桐山第九届毛棉杜鹃花会正式拉开帷幕，小明决定登梧
桐山赏花．如图1，他以一定的速度沿路线“梧桐山北门—万花屏—好汉坡—大梧桐—深外高中站”步行游览，
在每个景点他都逗留一段时间，当他到达深外高中站时，共用去4.6h小明步行的路程s(km)与游览时间t(h)之
间的部分图象如图2 所示．根据图回答下列问题：
(1)图2 中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为 ，因变量为 ；
(2)他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是 千米/时；
(3)小明在景点好汉坡处逗留的时间是 小时；
(4)图2 中点A 表示 ．
【答案】(1)小明的游览时间，小明步行的路程
(2)4
(3)0.35
学科网（北京）股份有限公司
55 /
(4)小明游览时间为3.6h时，步行的路程为7km
【分析】本题考查用图象表示变量之间的关系，读懂图象是解题的关键．
（1）由题意直接得到；
（2）计算出从万花屏到好汉坡的路程和时间，从而得解；
（3）计算出从好汉坡到大梧桐的路程，继而算出时间，从而得解；
（4）根据其横纵坐标说明即可．
【详解】（1）由题意可知：自变量为小明的游览时间，因变量为小明步行的路程．
故答案为：小明的游览时间，小明步行的路程；
（2）由图象可知：从万花屏到好汉坡，路程为：6−4=2(km)，
时间为：2−1.5=0.5(h)
∴他从万花屏到好汉坡时行走的平均速度是2÷0.5=4(km/h)
故答案为：4；
（3）由图象可知：从好汉坡到大梧桐的路程为：7−6=1(km)，
∴从好汉坡到大梧桐的运动时间为：1÷4=0.25(h)，
∴在景点好汉坡处逗留的时间是2.6−0.25−2=0.35(h)，
故答案为：0.35；
（4）由图象可知：小明游览时间为3.6h时，步行的路程为7km．
故答案为：小明游览时间为3.6h时，步行的路程为7km．
7．(24-25 八上·四川成都金堂县·期末)如图1，在长方形ABCD中，动点P从点A 出发，以每秒1 个单位长度
的速度沿AB−BC−CD匀速运动，至点D处停止，点P运动的时间为t，点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，
且y与x之间的图象关系如图2 所示．
(1)图2 图象表示的是哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)表格中的常数m=______，常数n的取值范围为______；
面积(y)
3
2
3
9
2
m
6
…
学科网（北京）股份有限公司
56 /
路程(x)
1
2
3
8
n
…
(3)当点P分别运动到线段AB,CD上时，分别直接写出y与x之间的关系式．
【答案】(1)图象表示的是变量点P运动的路程x与△ADP的面积y之间关系，点P运动的路程x为自变量，△ADP
的面积y是因变量
(2)
9
2；4≤n≤7
(3)当点P在AB上运动时y=
3
2 x；当点P在DC上运动时y=−
3
2 x+
33
2
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解
题关键．
（1）根据题意直接得出自变量及因变量即可；
（2）根据图象求出AB和AD，再分析当x=8时y的值，当y=6时的路程x的值即可；
（3）先求出AB和AD，再根据点P 位置求出相应的函数关系式．
【详解】（1）解：图象表示的是变量点P运动的路程x与△ADP的面积y之间关系，
其中点P运动的路程x为自变量，△ADP的面积y是因变量；
（2）解：当点P运动到点B处时，x=4，y=6，即AB=4，S△ADP=
1
2 AD⋅AB=6，
∴AD=3，
∴BC=3，DC=4，
当x=8时，点P 在CD上运动，DP=4+3+4−8=3，
∴m=
1
2 ×3×3=
9
2；
当y=6时，即y=
1
2 ×3×4=6，此时点P 在BC上运动，
∴4≤n≤7；
（3）解：当点P运动到点B处时，x=4，y=6，即AB=4，S△ADP=
1
2 AD⋅AB=6，
∴AD=3，
∴BC=3，DC=4，
当点P在AB上运动时，S△ADP=
1
2 AD⋅AP，
∴y=
1
2 ×3x=
3
2 x，
当点P在DC上运动时，S△ADP=
1
2 AD⋅DP，
学科网（北京）股份有限公司
57 /
∵DP=4+3+4−x=11−x，
∴y=
1
2 ×3×(11−x)=−
3
2 x+
33
2 ．
1．(24-25 八上·河北保定竞秀区·期末)在2025 年春晚的舞台上，名为《秧BOT》的创新节目惊艳亮相！这
场科技与艺术的跨界盛宴不仅是一场精彩的表演，更是中国机器人产业“软硬协同”能力的集中展现．嘉嘉
为了解某种搬运机器人的工作效率，将一台机器人的搬运时间x(h)和搬运货物的重量y(kg)记录如下表：
搬运时间(h)
0.5
1
2
3
4
．．．
搬运货物的重量y(kg)
120
160
240
320
400
．．．
下列说法错误的是（ ）
A．搬运货物的重量随着搬运时间的变化而变化
B．当搬运货物的重量为440kg时，搬运时间为5h
C．y与x之间的关系式为y=80x+80
D．搬运时间每延长1h，搬运货物的重量增加80kg
【答案】B
【分析】本题考查了用关系式表示变量间的关系．
通过分析表格数据，逐一判断即可．
【详解】解：由表格可知：搬运时间每延长1h，搬运货物的重量增加80kg，
∴y=160+80(x−1)=80x+80，
故A、C、D 正确；
当搬运货物的重量为440kg时，440=80x+80，
解得：x=4.5，
故B 错误，
故选：B．
2．(24-25 八上·山东青岛崂山区·期末)五一假期，小明去游乐场坐了摩天轮，小明离地面的高度h（米）和
他坐上摩天轮后旋转的时间t（分钟）之间的关系如图所示，已知摩天轮匀速转动，则下列说法正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
58 /
A．自变量是小明离地面的高度h，因变量是小明坐上摩天轮后的旋转时间t
B．摩天轮最低点距地面3 米，最高点距地面9 米
C．摩天轮转一周需要9 分钟
D．当6<t<9时，小明处于上升状态
【答案】D
【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，正确认识图象，理解自变量和应变量是解题的关键．
根据函数图象，结合题意，逐一判断各选项，可得到结果．
【详解】解： A．根据图形，可得到自变量为小明坐上摩天轮后的旋转时间t，因变量是小明离地面的高度
h，故原说法错误，此选项不符合题意；
B．摩天轮最低点距地面3 米，最高点距地面45 米，故原说法错误，此选项不符合题意；
C．摩天轮转一周需要6 分钟，故原说法错误，此选项不符合题意；
D．当6<t<9时，小明离地面的高度越来越大，所以处于上升状态，故说法正确，此选项符合题意；
故选：D．
3．(24-25 八上·广东深圳龙岗区·期末)地表以下岩层的温度y(℃)随着所处深度x(km)的变化而变化，在某个
地点y 与x 的部分对应数据如下表，则该地y 与x 的关系可以近似的表示为（ ）
所处深度x(km)
2
3
7
10
13
地表以下岩层的温度y(℃)
90
125
265
370
475
A．y=35x+20
B．y=35+20x
C．y=45x
D．y=35x
【答案】A
【分析】本题考查用表达式表示变量之间的关系，根据表格中数据的变化规律求解即可．
【详解】解：由表格中数据可知，从2 千米开始，每下降1 千米，气温升高35℃，
∴y 与x 的关系可以近似的表示为y=90+35(x−2)=35x+20．
故选A．
学科网（北京）股份有限公司
59 /
4．(24-25 八上·北京东城区·期末)下面的四个问题中都有两个变量：
①正方形的面积y与边长x；
②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x；
③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x；
④用长度为10 的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x．
其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用形如y=kx+b(其中k，b是常数，k≠0)的式子表示的是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②④
【答案】C
【分析】本题考查了用关系式表示变量之间的关系，根据题意分别表示出变量之间的关系，逐项判断即可
得出答案．
【详解】解：①正方形的面积y与边长x，则y=x2，故不符合题意；
②等腰三角形周长为20，底边长y与腰长x，则y+2x=20，即y=20−2x，故符合题意；
③汽车从A地匀速行驶到B地，汽车行驶的路程y与行驶时间x，则y=vt，故符合题意；
④用长度为10 的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，则y=x (
10−2x
2 )=x(5−x)=5x−x2，故不符合题意；
综上所述，符合题意的有②③，
故选：C．
5．(2024·湖北省武汉市·三模)圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高40cm的柜子里（如图1）．她
把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图2），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆
圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示：
杯子的数量x
（只）
1
2
3
4
5
6
…
总高度h(cm)
10
11.4
12.8
14.2
15.6
17
…
请帮圆圆算一算，一次性放进高40cm的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是（ ）
学科网（北京）股份有限公司
60 /
A．21
B．22
C．23
D．24
【答案】B
【分析】本题考查函数关系式，一元一次不等式，解决本题的关键是从题表中梳理出总高度与纸杯之间的
数量关系．根据表格可知，每增加一个杯子高度增加1.4，得到h=10+(x−1)×1.4=8.6+1.4x，根据纸杯总高度≤40
列关于x的一元一次不等式求解．
【详解】解：由表格可得，每增加一个杯子，总高度增加1.4，
则总高度h=10+(x−1)×1.4=8.6+1.4x．
则8.6+1.4x≤40，
解得，x≤22
3
7，
则x的最大值为22，
故选：B．
6．(24-25 八上·山东济南历城区·期中)如图（1），在长方形ABCD中，AB=10厘米，BC=8厘米，动点P从点A出
发，沿A→B→C→D路线运动，到点D停止；点P出发时的速度为1 厘米/秒，a秒时点P的速度变为b厘米/秒，
a秒后点P以b厘米/秒速度匀速运动．如图（2）是点P出发x秒后，△APD的面积S（平方厘米）与时间x（秒）
之间的关系图象．有以下结论：①a=6,b=2；②c=14；③点P从点B运动到点C用时4 秒；④当x的值为10
时，点P运动的路程为20 厘米；⑤当△APD的面积S是长方形ABCD面积的
1
5时，x的值为4 或12．其中正确
结论的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】B
【分析】本题考查用图象表示两个变量间的关系、一元一次方程的几何应用，能从图象中获取有用信息并
正确求解是解答的关键．根据图象结合三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：由图象，当点P 在边AB上时，S△APD=
1
2 AD⋅AP=
1
2 ×8×a=24，则a=6，
又点P 运动8 秒时到点B 处，
学科网（北京）股份有限公司
61 /
∴b=
10−1×6
8−6 =2，故①正确；
∵点P 运动c 秒时到达点D 处，
∴c=8+
1
2 (8+10)=17，故②错误；
点P从点B运动到点C用时8÷2=4秒，故③正确；
当x的值为10 时，点P在边BC上运动，则点P运动的路程为10+(10−8)×2=14厘米，故④错误；
由题意，长方形ABCD面积为10×8=80，
当△APD的面积S是长方形ABCD面积的
1
5时，S=
1
5 ×80=16，
由图知，点P 在边AB上时，由
1
2 ×8×x=16得x=4；
当点P 在边CD上时，由
1
2 ×8×PD=16得PD=4，
∴x=17−4÷2=15，
即当△APD的面积S是长方形ABCD面积的
1
5时，x的值为4 或15，故⑤错误，
综上，正确结论的个数是2 个，
故选：B．
7．以固定的速度v0（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度h（米）与小球的运动时间t（秒）之间的关系是
h=v0t−4.9t2，在这个关系式中，常量是 ，变量是 ．
【答案】 v0，−4.9 h，t
【分析】本题考查了常量与变量，熟练掌握常量与变量的定义是解题的关键：在一个变化过程中，数值始
终不变的量称为常量；在某一变化过程中，数值发生变化的量称为变量．
根据常量与变量的定义即可直接得出答案．
【详解】解：由常量与变量的定义可知：
在关系式h=v0t−4.9t2中，常量是v0，−4.9，变量是h，t，
故答案为：v0，−4.9；h，t．
8．(24-25 八上·广东揭阳惠来县·期中)我国首辆火星车正式被命名为“祝融”，为应对极限温度环境，火星车
使用的是新型隔温材料一纳米气凝胶，该材料导热率K(W/m⋅K)与温度T(°C)的关系如表：根据表格中两者的
对应关系，若导热率0.5 W/m⋅K ，则温度为 °C．
温度T(°C)
100
150
200
250
300
导热率K(W/m⋅K)
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
学科网（北京）股份有限公司
62 /
【答案】450
【分析】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键．根据
表格中两个变量T、K 的对应值以及变化规律可得答案．
【详解】解：根据题意，温度每增加50°C，导热率增加0.05W/m⋅K，
所以(0.5÷0.05−1)×50=450，
所以，当导热率为0.5W/m⋅K时，温度为450°C，
故答案为：450．
9．(24-25 八上·陕西西安铁一中学（曲江校区）·月考)七年级16 班学生准备以班为单位购买一种兴趣书，
书店推出一种优惠方案：若购买数量超过30 本，则超出部分按单价的八折出售，16 班同学购买单价为15
元的兴趣书x(x>30)本，则应付款y与购买数量x的关系式为 ．
【答案】y=12x+90
【分析】本题考查了用函数关系式表示变量之间的关系，解题的关键是找出题目的等量关系．
根据题意可知应付款y为前30 本兴趣书费用加上超出部分的费用．
【详解】解：由题意得：y=15×30+(x−30)×15×0.8，
化简得：y=12x+90，
故答案为：y=12x+90．
10．(24-25 八上·山东泰安岱岳区·期末)小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00 先出发
去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后
直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程s(m)和小明所用时间t(min)的关系图，则下列说
法中正确的是 ．①小明吃早饭用时5min；②小华到学校的平均速度是240m/min；③小明跑步的平
均速度是100m/min；④小华到学校的时间是7：05．
【答案】①②③
【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可．
【详解】由图知小明从家出发，第8 分钟至第13 分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5 分钟，故①正确；
学科网（北京）股份有限公司
63 /
由图知小华从家到学校的路程为1200 米，用时13−8=5分钟，因此小华到学校的速度为1200÷5=240m/min，
故②正确；
由图知小明从第13 分钟至第20 分钟跑步到学校，用时20−13=7分钟，跑的路程为1200−500=700米，因此小
明跑步的速度为700÷7=100m/min，故③正确；
由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误．
故答案为：①②③
【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关
键．
11．(2023·河北省沧州市·模拟)如图，甲，乙，丙三个容器内的液体体积分别用V甲，V乙，V丙（单位：cm3）
表示，某时刻计时为t=0，此时V丙=50cm3．t=0时打开甲的开关，以6cm3/min的速度向乙容器注水5min，且t=5
时，V乙=70cm3，此时关闭甲容器的开关，同时打开乙容器的开关，以acm3/min的速度向丙容器注水5min，
且t=10时关闭开关，此时V甲:V乙:V丙=1:2:6．
（1）a= cm3 min
⁄
；
（2）V乙与t(5≤t≤10)的函数关系式为： ；
（3）当t为 min时，V乙=V丙．
【答案】 8 V乙=110−8t(5≤t≤10)
25
4 或
5
3
【分析】（1）根据t=10时，V乙:V丙=2:6列出方程求解即可；
（2）首先求出每分钟从乙容器注水到丙容器
8
5 cm3/min，然后根据题意列出关系式即可；
（3）根据V乙=V丙列出方程求解即可．
【详解】（1）由题意可得，t=10时，V乙:V丙=2:6，
∴(70−5a):(50+5a)=2:6，解得a=8，
（2）∵a=8，
学科网（北京）股份有限公司
64 /
∴5≤t≤10时，每分钟从乙容器注水到丙容器8(t−5)cm3/min，
∴V乙与t(5≤t≤10)的函数关系式为：V乙=70−8(t−5)=110−8t(5≤t≤10)；
（3）当0<t<5时，V乙=70−5×6+6t=40+6t，丙容器原有液体50cm3，
若V乙=V丙，则有40+6t=50，
解得t=
5
3；
当5≤t<10时，丙容器内液体体积为V丙=50+8(t−5)=10+8t，
若V乙=V丙，则有110−8t=10+8t，解得t=
25
4 ，
∴当t为
25
4 min或
5
3 min时，V乙=V丙．
故答案为：（1）8；（2）V乙=70−
8
5 t(5≤t≤10)；（3）
25
4 或
5
3．
【点睛】本题考查了函数关系式，一元一次方程，掌握注水量与注水时间之间的关系是解决问题的关键．
12．(24-25 八上·贵州毕节七星关区·期末)如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角处，都剪去一个大小
相等的小正方形当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化．
(1)在这个变化过程中，因变量是_________．
(2)若小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，请直接写出y 与x 之间的关系式（不写x 的取值
范围）．
(3)当小正方形的边长由0.5cm变化到2.5cm时，图中阴影部分的面积是怎样变化的？
【答案】(1)阴影部分的面积
(2)y=100−4x2
(3)当小正方形的边长由0.5cm变化到2.5cm时，阴影部分的面积由99cm2变到75cm2
【分析】本题考查了函数关系式．
（1）根据当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，则小正方形的边长是
自变量，阴影部分的面积为因变量；
（2）根据阴影部分的面积=大正方形的面积−4个小正方形的面积，即可解答；
学科网（北京）股份有限公司
65 /
（3）根据当小正方形的边长由0.5cm变化到2.5cm时，x 增大，x2也随之增大，−4x2则随着x 的增大而减小，
所以y 随着x 的增大而减小．
【详解】（1）解：∵当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化，
∴小正方形的边长是自变量，阴影部分的面积为因变量，
故答案为：阴影部分的面积；
（2）解：由题意可得：y=102−4x2=100−4x2；
（3）解：由（2）知：y=100−4x2，
当小正方形的边长由0.5cm变化到2.5cm时，x 增大，x2也随之增大，−4x2则随着x 的增大而减小，所以y 随
着x 的增大而减小，
当x=0.5cm时，y 有最大值，y最大=100−4×0.52=99(cm2)，
当x=2.5cm时，y 有最小值，y最小=100−4×2.52=75(cm2)．
∴当小正方形的边长由0.5cm变化到2.5cm时，阴影部分的面积由99cm2变到75cm2．
13．(24-25 八上·河南郑州第四初级中学·期末)刚刚过完的端午节是纪念伟大的爱国诗人“屈原”，“北有吃粽
子、南有赛龙舟”的传统习俗，某地在节日当天组织甲、乙两队赛龙舟比赛，途中乙队因龙舟故障停船检查
一次，两队在比赛时的路程y（米）与时间x（分钟）变量之间的关系如图所示，请根据图象，回答下列问
题：
(1)图象中的自变量是________，因变量是________；
(2)这次赛龙舟的全程是________米，________队先到达终点；
(3)求甲队和乙队相遇时乙队的速度是________米/分钟；
(4)求甲队和乙队相遇时，甲队走了________米；
(5)从乙队停船检查开始到比赛结束，经过_________分钟时，甲乙两队相距40 米．
【答案】(1)时间x，路程y
学科网（北京）股份有限公司
66 /
(2)1200，乙
(3)320
(4)1008
(5)3.7 或4.7 或
29
6
【分析】本题考查函数图象的实际应用，正确的识图，从图象中有效的获取信息是解题的关键．
（1）根据图象中横纵坐标的含义进行作答即可；
（2）结合图象，进行作答即可；
（3）结合图象，用乙第二段的总路程除以所用时间，进行计算即可；
（4）设甲队和乙队相遇时用了t分钟，根据图象列出方程，求出时间，再用甲的速度乘以时间即可得解．
（5）分别进行分四种情况进行讨论，结合路程等于速度乘时间进行列式，计算即可作答．
【详解】（1）解：由图象可知，自变量是时间，因变量是路程，
即自变量是时间x，因变量是路程y；
（2）解：由图象可知：这次龙舟的全程是1200 米，乙到达终点共用了4.8分钟，甲到达终点共用了5 分钟，
∵4.8<5
∴乙队先到达终点；
（3）解：由图象可知，甲队和乙队相遇时乙队的速度是：
(1200−400)÷(4.8−2.3)=800÷2.5=320（米/分钟）；
（4）解：由图象可知，甲的速度为：1200÷5=240（米/分钟），
设甲队和乙队相遇时用了t分钟，则：240t=400+320(t−2.3)，
解得：t=4.2，
∴甲队走了：240×4.2=1008（米)．
（5）解：如图：
由（4）知道相遇时间为4.2分钟
学科网（北京）股份有限公司
67 /
设时间为t分钟，甲乙两队相距40 米，
∴当0<t≤2时，此时乙的速度为400÷2=200（米/分钟），
∵甲的速度为：1200÷5=240（米/分钟），
∴当乙停船检查时，两船相距：240×2−200×2=80（米），
∴当2.3<t≤4.2时，此时乙的速度为320（米/分钟），
∵甲的速度为：1200÷5=240（米/分钟），
∴240t−[320(t−2.3)+400]=40，
∴t=3.7；
∴当4.2<t≤4.8时，此时乙的速度为320（米/分钟），
∵甲的速度为：1200÷5=240（米/分钟），
∴[320(t−2.3)+400]−240t=40
∴t=4.7；
∵当4.8<t≤5时，乙船停止运动，
甲的速度为：1200÷5=240（米/分钟），
∴1200−240t=40，
∴t=
29
6 ；
综上分析可知：从乙队停船检查开始到比赛结束，经过3.7 或4.7 或
29
6
分钟时，甲乙两队相距40 米．
14．(24-25 八上·广西南宁南宁二中初中大学区·期末)南宁市某商场为了迎接618 购物节，采购了若干辆购
物车
信
息1
购物车的示意图如图1 所示．为节省空间，工作人员常将购物车叠放在一起形成
购物车列，如图2 所示．3 辆购物车叠放形成的购物车列长度为1.6米．
信
息2
购物车可以通过手扶电梯或直立电梯转运，其中手扶电梯总长18 米．为安全起见，
规定手扶电梯一次只能转运1 列购物车，并且购物车列长度不能超过电梯总长度
的
1
3．
信
息3
使用手扶电梯转运一次的时间为2.5分钟，直立电梯转运一次的时间为1.5分钟．
学科网（北京）股份有限公司
68 /
请根据以上信息，完成下列问题：
(1)当n辆购物车按图2 的方式叠放时，形成购物车列的长度为l米，则l=___________；
（用含n的代数式表示）
(2)该商场的手扶电梯一次最多能转运多少辆购物车？
(3)若手扶电梯每次转运购物车的数量为第（2）问所求结果，直立电梯每次转运20 辆购物车，商场有110
辆购物车需要转运．
①至少使用多少次电梯？现需同时使用两种电梯转运购物车，当电梯使用次数最少时，共有几种使用电梯
的分配方案？
②为了方便顾客购物，商场要求工作人员转运购物车的时间不超过10 分钟．在①的条件下，工作人员能
否在限定的时间内完成任务？请通过计算说明．
【答案】(1)0.2n+1
(2)该商场的手扶电梯一次最多能转运25 辆购物车
(3)①最少次数为5 次，共有3 种使用电梯的分配方案；②使用手扶电梯2 次，直立电梯3 次时，工作人员
能在限定的时间内完成任务
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，用关系式表示变量之间的关系，解题的关键是列出关系式和不
等式．
（1）根据“一辆购物车车身长1m，每增加一辆购物车，车身增加0.2m”，列出函数关系式；
（2）根据购物车列长度不能超过电梯总长度的
1
3列出不等式，解不等式即可；
（3）①根据手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，求出最少次数为5 次，设手扶电梯使用x次，则直
立电梯用(5−x)次，根据需要转运的购物车数量，列出不等式，解不等式即可；
②分别求出三种方案中需要的运送时间，然后进行判断即可．
【详解】（1）解：根据题意得：L=0.2(n−1)+1.2=0.2n+1，
∴车身总长L与购物车辆数n的表达式为L=0.2n+1；
（2）解：依题意得0.2n+1≤
1
3 ×18，
解得：n≤25，
学科网（北京）股份有限公司
69 /
答：该商场的手扶电梯一次最多能转运25 辆购物车．
（3）解：①∵手扶电梯每次转运的购物车比直立电梯多，
∴110÷25=4.4，次数为正整数，
∴最少次数为5 次，
设手扶电梯使用x次，则直立电梯用(5−x)次，依题意得：
25x+20(5−x)≥110，
解得：x≥2，
∵x<5，
∴2≤x<5，
∵x是正整数，
∴x取2，3，4，
因此共有3 种使用电梯的分配方案．
②当x=2时，5−x=3，所需时间为：2×2.5+3×1.5=9.5（分钟）
当x=3时，5−x=2，所需时间为：3×2.5+2×1.5=10.5（分钟）
当x=4时，5−x=1，所需时间为：4×2.5+1×1.5=11.5（分钟）
∵9.5<10，
∴使用手扶电梯2 次，直立电梯3 次时，工作人员能在限定的时间内完成任务．
15．(24-25 八上·陕西咸阳兴平·期中)兴平市南市镇的苹果种植历史悠久，以红富士为主，种植规模达到2.3万
亩，深秋，这里的苹果迎来丰收，鲜红透亮，饱满圆润．鲜上鲜水果店刘老板购进一批红富士苹果销售，
售价为每千克9 元，如果一次购买4 千克以上的这种苹果，超过4 千克的部分按售价的七五折售卖．设y（元）
表示付款金额，x（千克）表示购买的质量．
(1)求出y与x之间的关系式；（提示：分两种情况）
(2)隔壁的水果店也销售同样品质的这种苹果，售价为每千克9 元，且全部按售价的八五折售卖．李阿姨和
王阿姨分别在这两个水果店购买苹果，结果付款金额与购买苹果的质量都一样，那么她们各自买了多少千
克苹果？各自花了多少钱？
【答案】(1)y= {
9x(0≤x≤4)
27
4 x+9(x>4)
(2)她们各自买了10 千克苹果？各自花了76.5元
【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元一次方程的应用，
（1）分0≤x≤4和x>4，两种情况根据所给苹果价格方案列式求解即可；
学科网（北京）股份有限公司
70 /
（2）当0≤x≤4时，李阿姨需付款9x元，王阿姨需要付款7.65x元，则在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付
款金额不可能相同，故x>4，则7.65x=
27
4 x+9，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：当0≤x≤4时，y=9x；
当x>4时，y=9×4+9×0.75(x−4)=
27
4 x+9；
∴y= {
9x(0≤x≤4)
27
4 x+9(x>4)
；
（2）解：当0≤x≤4时，李阿姨需付款9x元，王阿姨需要付款9×0.85x=7.65x元，
∴在购买了苹果的前提下，两位阿姨的付款金额不可能相同，
∴x>4，
∴7.65x=
27
4 x+9，
解得x=10，
∴7.65x=76.5，
答：她们各自买了10 千克苹果？各自花了76.5元．
