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3.5 一元一次不等式组
题型一：判断是否为一元一次不等式组
1．（24-25 七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．
2
1
3
x
x
−−
B．
1
0
2
0
x
y
+
−
C．(
)(
)
3
2
0
2
3
0
x
x
x
−
−
+
D．
3
2
0
1
1
x
x
x
−
+
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2．（2025 八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．
3
2
1
2
5
x
x
+
+
B．
4
6
x
y
x
y
+
−
C．
4
3
6
12
x +
−
D．
6
2
1
8
x
x
−
−
+
3．（2025 七年级下·全国·专题练习）下列不等式组：
①
2
3
x
x
−
＞
＜
②
0
2
4
x
x
+
＞
＞③
1 0
4
0
x
y
+
−
＞
＜④
3 0
7
x
x
+
−
＞
＜
⑤
2
3
1
2
4
x
x
x
+
+
＞
＞
其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
4．（2025 七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A．
2
7
6
3
3
1
x
y
−
+
B．
1
2
x
x
−
C．
2
6
3
5
1
x
x
+
=
+
D．
2
7
1
3
3
0
a
b
−
+
=
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（ ）
A．
4
0
1
5
0
x
x
+
=
−
B．
2
0
2
4
x
x
x
−
C．
2
7
x
x
−
D．
2
0
0
y
x
y
+
+
6．（24-25 七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（ ）
A．
1
0
1
0
x
y
+
−
B．
2
3
0
3
x
x
−
−
C．
3
0
1
1
0
x
x
+
D．(
)(
)
3
2
0
2
3
0
x
x
x
−
−
+
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①
2
3
x
x
−
；②
0
2
4
x
x
+
；③
1
0
4
0
x
y
+
−
；④
3
0
7
x
x
+
−
；
⑤
2
2
1
2
4
x
x
x
+
+
，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
题型二：一元一次不等式组在数轴上的表示
1．（2025·河南郑州·模拟预测）不等式组
2
3
9
1
0
x
x
−
+
−
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
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A．
B．
C．
D．
2．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）不等式组
3
4
m
m
，则m 的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 九年级上·湖南长沙·阶段练习）不等式组
1
0
2
1
5
x
x
−
−−
的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·山西·模拟预测）不等式组
1
0
2
0
x
x
+
−
，的解集可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·浙江·模拟预测）不等式组
1
0
5
2
1
x
x
−
−
的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 八年级下·广东深圳·开学考试）不等式组
9
1
8
2
2
5
x
x
x
−
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025 九年级下·全国·专题练习）在数轴上表示不等式组
1
3
x
x
的解集，正确的是（ ）
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4 /
A．
B．
C．
D．
题型三：解一元一次不等式组（计算题）
1．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：
2
2
0
1
2
1
2
x
x
x
−
−
+
，并在数轴上表示不等式组的解
集．
2．（25-26 八年级上·广东惠州·开学考试）解不等式组：
(
)
2
1
5
7
10
2
3
x
x
x
x
+
−
+
，并把它的解集在数轴上表示出
来．
3．（25-26 八年级上·陕西延安·开学考试）解不等式组：
3
1
2
2
4
0
3
x
x
+ −
−
，并将解集表示在如图所示的数轴上．
4．（24-25 九年级下·黑龙江大庆·期末）解下列不等式组：
(1)
(
)
2
3
5
3
3
5
6
x
x
x
x
−
−
+
；
(2)
5
1
5
2
6
2
15
3
2
x
x
x
x
−
+
−
−
+
．
5．（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）解不等式组
2
4
2
3
1
2
2
2
x
x
x
−
+
，请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
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（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集是 ．
6．（24-25 八年级下·甘肃张掖·期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)
1
1
1 1
3
2
6
y
y
y
+
−
−
−
+ ；
(2)
(
)
3
2
8
1
3
1
3
2
2
x
x
x
x
−
−
−
−
．
题型四：求一元一次不等式组的整数解
1．（24-25 七年级下·吉林长春·期末）不等式组
3
2
7
1 2
3
x
x
−
−
的解集中，有（ ）个整数解．
A．3
B．4
C．5
D．6
2．（24-25 七年级下·河北邯郸·期末）不等式组
3(
1)
1
2
3
2
3
x
x
x
+
−
−
+
的正整数解的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
3．（24-25 七年级下·河南许昌·期末）不等式组
2
3
9
1 3
5
x
x
x
−
−
+
−
的整数解有（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
4．（24-25 七年级下·湖南湘西·阶段练习）一元一次不等式组
2(
3)
4
0
1
1
3
x
x
x
+
−
+
−
的最大整数解是（ ）
A．1
−
B．0
C．1
D．2
5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组
(
)
1
3
1
7
2
2
3
5
2
2
x
x
x
x
−
−
−
−
的整数解有 个．
6．（2025·浙江杭州·模拟预测）不等式组
(
)
3
1
8
3
2
5
1
6
3
x
x
x
x
−
−
+
−
−
的非负整数解的和为 ．
7．（24-25 九年级下·广东佛山·阶段练习）请写出满足不等式组
2
1
2
1
5
x
x
+
−
的一个正整数解 ．
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8．（25-26 九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组
(
)
3
2
8
1
5
2
2
x
x
x
x
−
−
−
的最大整数解是
9．（24-25 七年级下·吉林·期末）不等式组
3
1
2
5
1
1
2
x
x
x
−
−
+
所有整数解的和为 ．
10．（24-25 八年级下·山东青岛·开学考试）不等式组
2
3
3
4
8
x
x
−
−
的最小整数解为 ．
题型五：由一元一次不等式组求参数
1．（24-25 七年级下·全国·期末）若不等式组
2
7
5
8
x
x
x
n
+
−
的解集是
5
x
，则n 的取值范围是（ ）
A．
2
n
B．
2
n
C．
5
n
D．
5
n
2．（24-25 八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组
2
2
0
x
a
b
x
−
−
的解集是1
1
x
−
，则(
)
2025
a
b
+
= （ ）
A．1
−
B．1
C．1
D．0
3．
（24-25 七年级下·安徽淮南·阶段练习）不等式组
5
3
1
2
1
x
x
x
m
+
−
+
的解集是
1
x
m
+ ，则m 的取值范围是（ ）
A．
2
5
m
B．
2
5
m
C．
2
5
m
D．
2
5
m
4．（24-25 八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式(
)
(
)
4
2
4
a
x
a
−
−
的解集为
2
x
，则a 必须满足的
条件是（ ）
A．
4
a
B．
4
a
C．
4
a
D．
4
a
5．（24-25 八年级下·四川达州·阶段练习）若关于x 的不等式组
2
3
3
1
x
x
x
m
+
−
的解集为
4
x
，则m 满足的
条件是（ ）
A．
4
m
B．
4
m =
C．
4
m −
D．
4
m
6．（25-26 八年级上·江苏盐城·开学考试）若不等式组
0
0
x
b
x
a
−
+
的解集为2
3
x
，则a = ，
b = ．
7．
（24-25 七年级下·青海玉树·期末）已知关于x 的不等式组
4
3
5
2
x
a
x
a
+
+
+
的解集为
1
x ，则a 的值是 ．
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8．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组
3
6
x
a
x
的解集是
6
x
，则a 的取值范围是 ．
9．（24-25 七年级下·福建福州·阶段练习）若不等式组
2
0
0
x
x
m
−
−
的解集为
2
x
，则m 的取值范围是 ．
10．（24-25 八年级下·福建宁德·阶段练习）若不等式组
1
2
3
x
a
x
b
−
−
的解集为1
1
x
−
，则a
b
−
= ．
11．（24-25 七年级下·福建厦门·阶段练习）不等式组
2
4
2
5
x
a
x
b
+
−
的解集是0
2
x
，则ab 的值是 ．
题型六：列一元一次不等式组
1．（2025·广西南宁·模拟预测）若干名学生乘船．若每条船坐4 人，则2 人无船坐；若每条船坐6 人，则
空一条船，还有船不空也不满，设有x 条船，则可列不等式组为（ ）
A．
(
)
(
)
4
2
6
1
0
4
2
6
1
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
B．
(
)
(
)
4
2
6
1
1
4
2
6
1
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
C．
(
)
(
)
4
2
6
2
0
4
2
6
2
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
D．
(
)
(
)
4
2
6
2
1
4
2
6
2
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
2．（24-25 八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4 人，则2 人无处住；若每间住6 人，
则还有一间不空也不满，若设有x 间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A．
(
)
(
)
4
2
6
1
0
4
2
6
1
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
B．
(
)
(
)
4
2
6
1
1
4
2
6
1
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
C．
(
)
(
)
4
2
6
2
0
4
2
6
2
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
D．
(
)
(
)
4
2
6
1
1
4
2
6
2
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
3．（23-24 八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3 月8 日重庆市最高气温是20℃，
最低气温是12℃，则当天重庆市气温(
)
t ℃的变化范围是（ ）
A．
12
t
B．
20
t
C．12
20
t
D．12
20
t
4．（23-24 八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5 元（行驶距离在3 千米内），超过3 千米按
每千米加收1.2 元，不足1 千米按1 千米计算，小明某次花费14.6 元．若设他行驶的路程为x 千米，则x 应
满足的关系式为（ ）
A．
(
)
14.6 1.2
5 1.2
3
14.6
x
−
+
−
B．
(
)
14.6 1.2
5 1.2
3
14.6
x
−
+
−
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C．
(
)
5 1.2
3
14.6 1.2
x
+
−
=
−
D．
(
)
5 1.2
3
14.6
x
+
−
=
5．（23-24 七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球
和排球共30 个，购买资金不超过3600 元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150 元，
每个排球100 元．求共有几种购买方案？设购买篮球x 个，可列不等式组为（ ）
A．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
B．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
C．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
D．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
6．（24-25 八年级下·福建三明·期中）一本书共98 页，张力读了一周（7 天）还没读完，而李永不到一周
就已读完．李永平均每天比张力多读3 页．若设张力平均每天读x 页，则由题意列出不等式组为（ ）
A．
7
98
7(
3)
98
x
x
+
B．
7
98
7(
3)
98
x
x
+
C．
7
98
7
3
98
x
x
+
D．
7
98
7
3
98
x
x
+
7．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5 个苹果，则还剩12
个苹果；若每位小朋友分8 个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8 个，若小朋友的人数为x，则下列正确
的是（ ）
A．
(
)
0
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
B．
(
)
0
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
C．
(
)
1
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
D．
(
)
1
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
题型七：不等式组中行程问题
1．（24-25 七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于1km ）练习长跑，从起点出发按逆时针
方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km的记录如图
所示．小华一共跑了24km且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14 圈
B．15 圈
C．16 圈
D．17 圈
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2．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）如图( )
1 ，A，B 两地间的公路长360km，其中有一段长10km的施工
道路MN ，M 距离A 地200 km．甲、乙两辆轿车分别从A，B 两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚
出发20 min ．在非施工道路( 其限速情况如图( )
2 所示) ，甲车始终以100 km/ h 的速度行驶，乙车始终以V
km/ h 的速度行驶；在施工道路，两车均以40km / h 的速度行驶．
(1)若
90
V =
．
①甲车出发2h时，甲车行至______处，乙车行至______处；( 填“M”“N”或“MN 的中点”)
②甲车行至MN 的中点时，乙车行驶的时间为______h．
(2)已知两车在P 处相遇．
①若P 与N 重合，求V 的值；
②若P 在非施工道路上(P 不与M，N 重合) ，直接写出V 的取值范围．
3．（24-25 七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于1km）按逆
时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应
的里程数．前4km的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2 圈时，他的运动里程数______3km （填“”“ = ”或“”）；
(2)若
0
a
b
，利用不等式的基本性质比较10
a 与10
b 的大小；
(3)如果李子宸同学跑到10km时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
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题型八：不等式组中工程问题
1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保
护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防
污治理工程已正式启动，由甲队单独做5 个月后，乙队再加入合作2 个月就可以完成这项工程．已知若甲
队单独做需要8 个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15 万元，比乙队多6 万元，按要求该工程总费用不超过141 万元，工程必须在
一年内竣工（包括12 个月），为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月（a 为整数），乙队做4 个月分工
合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
2．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）2024 年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改
造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40 天；若由乙队单独
施工则会超过规定工期80 天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64 天，剩余的由乙队单独完成，恰好如
期完成．
(1)求这项工程的规定工期是多少天？
(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不
超过100 天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a 天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总
工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a 和总工期均为正整数）
3．（24-25 七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360 张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得
知，甲组工作效率是乙组的1.5 倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5 天；
已知甲组每天需要付工资800 元，乙组每天需要付工资400 元；
（1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？
（2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200 元，时间不超过12 天，请你帮学校算一算有几种维修方案
（天数不足1 天的按1 天算）；每种方案需要多少钱？
4．（24-25 七年级下·全国·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需
天数的两倍，若甲工程队单独做10 天后，再由乙工程队单独做15 天，恰好完成该工程的7
10 ，共需施工费
用85 万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1 万元．
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（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
（3）若要完成全部工程的施工费用不超过116 万元，且乙工程队的施工天数大于10 天，求甲工程队施工
天数的取值范围？
题型九：不等式组中经济问题
1．（24-25 七年级下·重庆·期末）据《2024 中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块
的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载3
L 级自动驾驶系统，核心部
件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构：
星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4 枚激光雷达；单台车净利润为5.2万元；
雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6 枚激光雷达；单台车净利润为7.5万元；
(1)根据生产日志，6 月份两条产线共交付车辆150 台，激光雷达使用总量为840 枚．求出星曜与雷霆的具
体产量；
(2)受产能波动影响，7 月份激光雷达到货量不超过6 月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6 月份的
情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6 月份增长50%．求该企业7 月份雷霆汽车的生产数量．
2．
（24-25 七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已
知篮球价格为200 元/个，足球价格为150 元/个．若学校计划用不超过3550 元的总费用购买篮球和足球共
20 个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量．
3．（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中
南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2
箱，桂味3 箱，共需690 元；购进糯米糍1 箱，桂味4 箱，共需720 元．
(1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400 元购进糯米糍、桂味共40 箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3 倍，糯
米糍最多为多少箱？
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4．（24-25 七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1 件甲零件
与3 件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150 元，售价200 元；乙零件生产成本每件100 元，售
价130 元．如果每天限定投入成本不超过4500 元，利润要大于1300 元，则每天应该生产两种零件各多少
件？
5．（24-25 八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进A ，B 两种商品，A 商品每件的进价为100 元，B 商品每
件的进价为60 元，该商场计划购进A ，B 两种商品共60 件，且购进B 商品的件数不少于A 商品件数的2
倍．若A 商品按每件150 元销售，B 商品按每件80 元销售，为满足销售完A ，B 两种商品后获得的总利润
不低于1770 元，则购进A 商品的件数为多少？
6．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期末）学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3 个
A 种奖品和4 个B 种奖品共需170 元；购买4 个A 种奖品和3 个B 种奖品共需180 元．
(1)求A，B 两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A，B 两种奖品共25 个，且A 种奖品的数量不少于B 种奖品数量的2 倍，购买奖品的花费
不得高于680 元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
7．（24-25 八年级下·四川成都·期末）地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某
个体户准备购买A，B 两款T 恤共50 套摆地摊销售，预计投资不少于1800 元，但不超过1830 元，T 恤的
进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
40
30
售价（元/件）
55
40
(1)该个体户有几种购买T 恤的方案？请分别列出来；
(2)该个体户能够获得的最大利润是多少？
(3)若将每套A 款T 恤的售价降低a 元（
0
a
），且所有T 恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，
则a 的值为多少？
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8．（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划
购进一批新能源汽车进行销售．据了解1 辆A 型汽车、1 辆B 型汽车的进价共计40 万元；若单次购买A 型
汽车超过15 辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B 型汽车超过15 辆，每辆汽车进价优惠0.5 万元．当
购买A 型和B 型汽车各20 辆时，共需775 万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进A，B 型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过285 万元购进以上两种型号的新能源汽车共15 辆，每辆A 型汽车在进
价的基础上提高5000 元销售，每辆B 型汽车在进价的基础上提高6% 销售．假如这些新能源汽车全部售出，
至少要获利11 万元，该公司有几种购进方案？
(3)为打开B 型汽车的销路，该公司决定每辆B 型汽车降价a 万元，A 型汽车的售价不变，要使（2）中所有
方案获利相同，则a 的值为______．
9．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000
元采购A 型商品的件数是用7500 元采购B 型商品的件数的2 倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进
价多10 元．
(1)求一件A B
，型商品的进价分别为多少元？
(2)若该外地客商购进A，B 型商品共160 件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于
78 件，已知A 型商品的售价为240 元/件，B 型商品的售价为220 元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方
案？
(3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
题型十：不等式组中分配问题
1．（24-25 八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两
班的所有学生分成8 组，如果每组人数比预定每组人数多1 人，那么学生总数将超过100 人；如果每组人
数比预定每组人数少1 人，那么学生总数将不到90 人．则预定每组学生有 人．
2．（24-25 七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三( )
1 班的男生住宿，已知该班男生不
足50人，若每间住4 人，则余15人无住处；若每间住6 人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么
该班的男生人数是 人．
3．（24-25 七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质
A 为200 克；每千克乙原料含营养物质A 为300 克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质A 不低于240
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克、不高于245 克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
4．（2025 七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快
递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80 件和20
件，则他平均每天的提成是160 元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120 件和25 件，则他平均每天的
提成是230 元．
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200 件，且揽件数不大于送件数的1
4 ．如果他平
均每天的提成不低于318 元，求他平均每天的送件数．
题型十一：不等式组中方案选择问题
1．（24-25 八年级上·湖北孝感·期末）今年4 月23 日是第29 个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，
书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
(1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25 元．花费3000 元购买鲁迅
文集（套）的数量与花费4500 元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的
单价各是多少元？
(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30 套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）
的购买数量至少多4 套，并且总费用不超过1960 元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
2．（24-25 八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，
大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下：
型号
单价（元）
数量（台）
总金额（元）
A 型
27000
B 型
12000
已知计划购进A 型机器人比购进B 型机器人多2 台，且A 型机器人的进价比B 型机器人的进价每台高50%．
(1)求A ，B 两种型号的机器人的进价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000 元再次购买这两种型号的机器人共5 台，并要求
再次购买的A 型机器人的数量不少于B 型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？
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3．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）六一儿童节到来之际，幼儿园某班计划购买哪吒玩偶和敖丙玩偶作为
礼物送给小朋友．经过调查，购买2 个哪吒玩偶和1 个敖丙玩偶需19 元，购买1 个哪吒玩偶和3 个敖丙玩
偶需22 元．
(1)求哪吒玩偶和敖丙玩偶每个价格各是多少元；
(2)该班级准备采购这两种玩偶共42 个，其中要求哪吒玩偶个数不少于敖丙玩偶个数的二倍，且总费用不超
过270 元．请求出共有哪几种购买方案．
4．（24-25 八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而
达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1 支乙种灭火器的采购价比1 支甲种灭火器采购
价的2 倍多5 元，花300 元采购甲种灭火器的支数和花650 元采购乙种灭火器的支数相同．
(1)采购1 支甲种灭火器和1 支乙种灭火器分别需要多少元？
(2)若该公司准备采购这两种灭火器共50 支，总费用不超过2550 元，并且以每支甲种灭火器58 元和每支乙
种灭火器98 元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540 元的目标？若能，请给出
相应的采购方案；若不能，请说明理由．
5．（24-25 七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，
计划组织初中部1200 名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号
的客车可以租用，已知1 辆大型客车和2 辆中型客车可以载乘客105 人，2 辆大型客车和1 辆中型客车可以
载乘客135 人．
(1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？
(2)该校计划租用两种型号的客车共27 辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2 倍，请求出所有的
租车方案？
6．（24-25 七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问
题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为
2
3m 和
2
1m .已知新建1个地上充
电桩和2 个地下充电桩需要0.8万元；新建2 个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7 万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40 个，则共有几种
建造方案？并列出所有方案．
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7．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A ，B 两款新能源汽车若干辆
（两款都要），若买10 辆A 款和5 辆B 款需付款160 万元，若买5 辆A 款和10 辆B 款需付款170 万元，设
A 款的单价为x 万元，B 款的单价为y 万元．
(1)求x 和y 的值；
(2)若某旅游公司需购买A 款和B 款新能源汽车共14 辆，且总付款不超过150 万元也不少于144 万，请求出
所有的购买方案；
(3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可
减2 万元．已知该公司总付款336 万元，B 款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的1
3 ，且两款汽车
均有部分享受国家补贴，求A 款中享受国家补贴的有多少辆．
8．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计
划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3 个、乙种书柜2 个，共需
资金1020 元；若购买甲种书柜4 个，乙种书柜3 个，共需资金1440 元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20 个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能
够提供资金4320 元，学校有哪几种购买方案？
9．（23-24 九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理
的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2 个篮球和3
个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于31个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买
方案？
10．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规
模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2 件甲种农机具和1 件乙种农机
具共需3.5 万元，购进1 件甲种农机具和3 件乙种农机具共需3 万元．
(1)求购进1 件甲种农机具和1 件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10 件，且投入资金不少于9.8 万元又不超过12 万元，设
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购进甲种农机具m 件，则有哪几种购买方案？
11．（24-25 七年级下·安徽六安·期末）2025 年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复
苏．某旅行社5 月1 日租住某景区A 、B 两种客房一天下面是有关信息：用6000 元租到A 客房的数量与用
4400 元租到B 客房的数量相等．已知每间A 客房的单价比每间B 客房的单价多80 元．
(1)求A ，B 两种客房的单价分别是多少；
(2)若某旅行团现需要租住A ，B 两种客房共30 间，A 客房的数量不低于B 客房数量的1
2 ，且所花总费用不
高于7600 元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少?
12．（24-25 七年级下·湖南长沙·阶段练习）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校
七年级拟于5 月29 号组织60 名老师和1160 名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用
A、B 两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5 辆)．A 型车每辆租金是500 元，B 型车每辆租金是600 元，
若2 辆A 型车和1 辆B 型车坐满后共载客140 人，3 辆A 型车和4 辆B 型车坐满后共载客335 人．
(1)每辆A 型车、B 型车坐满后各载多少人？
(2)若年级组计划租用A 型车和B 型车共28 辆，要求B 型车数量不超过A 型车数量的3 倍，请问一共有多
少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？
题型十二：不等式组中阶梯收费问题
1．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过6km，2 元/ 人次；超过6km到12km（含），3元/人次；
超过12km到18km（含），4 元/人次；
超过18km到26km（含），5 元/人次；
超过26km到34km（含），6 元/人次；
超过34km到44km（含），7 元/人次；
超过44km到54km（含），8 元/人次；
超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为km
x
，用不等式表示x 的范围为 ．
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2．（24-25 七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过6km3 元；超过6km到12km（含）
4 元；超过12km到22km（含）5 元；超过22km到32km（含）6 元；超过32km部分，每增加1 元可再
乘坐20km．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9 元，设他乘坐地铁的里程为
km
x
，用不等式表示x 的范
围 ．
3．（24-25 七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标
准如下：洗车13 分钟内（包括13 分钟）收费6 元，超出后加收0.5元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某
同学的爸爸洗车花费了9.5元，请你写出洗车的时间a 的范围（单位：分钟） ．
4．（24-25 七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式
达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1 月份用水8 立方
米，则应交水费：
(
)
2 6
4
8
6
20
+
−
=
（元）．
价目表
每月用水量
单价
不超出6 立方米的部分
2 元/立方米
超出6 立方米不超出10 立方米的部分
4 元/立方米
超出10 立方米的部分
8 元/立方米
(1)若小明家2 月份用水12.5立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3 月用水量为a 立方米，当6
10
a
时，小明家应交水费______元，当
10
a
时，小明家应交
水费_______元；（请用含a 的代数式表示）
(3)若小明家3 月份，4 月份共用水12 立方米（4 月份用水量多于3 月份），共交水费38 元，则小明家3，
4 月份各用水多少立方米？
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题型一：已知一元一次不等式组中整数解求参数
1．（24-25 八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x 的不等式组
3
2
0
4
3
0
a
x
x
−
+
＞
恰有3 个整数解，则a 的取值范围
是（ ）
A．2
4
3
3
a
B．2
4
3
3
a
C．2
4
3
3
a
D．2
4
3
3
a
2．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x 的不等式组
0
13
2
1
x
m
x
−
−
的所有整数解的和是18，则m
的取值范围是（ ）
A．2
3
m
B．2
3
m
C．2
3
m
或3
2
m
−
−
D．2
3
m
或3
2
m
−
−
3．（25-26 七年级上·全国·课后作业）若关于x 的不等式组
0
5
2
1
x
a
x
−
−
的整数解只有1 个，则a 的取值范围
是（ ）
A．2
3
a
B．3
4
a
C．2
3
a
D．3
4
a
4．（24-25 八年级下·山东潍坊·阶段练习）如果关于x 的不等式组
2
3
1
1
2
x
a
x
x
−+
−
+
恰有2 个整数解，符合条
件的a 的取值是（ ）
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
5．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）若关于x 的不等式组
0
10
3
1
x
m
x
−
−
恰好有3 个整数解，则m 的取值范围
是（ ）
A．6
7
m
B．6
7
m
C．6
7
m
D．6
7
m
6．（24-25 七年级下·安徽六安·期末）若关于x 的一元一次不等式组
2
3
12
2
0
x
x
a
+
−
恰有2 个整数解，则实数a
的取值范围是 ．
7．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）若不等式组
0
1 2
2
x
a
x
x
−
−
−
恰有两个整数解，则a 的取值范围
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是 ．
8．（24-25 八年级下·湖南岳阳·开学考试）如果关于x 的不等式
7
0
6
0
x
a
x
b
−
−
的整数解只有1，2，3，则a 的
取值范围 ，b 的取值范围 ．
题型二：由不等式组的解集的情况求解
1．（24-25 八年级下·甘肃临夏·阶段练习）若关于x 的不等式组
0
5
2
1
x
m
x
−
−
无解，则m 的取值范围是（ ）
A．
2
m≥
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
2．（24-25 七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知不等式组2
4
0
x
m
x
−
无解，则m 的取值范围是（ ）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
3．（24-25 八年级下·广东清远·阶段练习）若关于x 的不等式组
8
4
1
x
x
x
m
+
−
有解，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
3
m
B．
3
m
C．
3
m
D．
3
m
4．（24-25 九年级下·辽宁锦州·开学考试）若不等式组
2
0
2
x
x
m
−
无解，则m 的值可能为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
5．（24-25 八年级上·宁夏银川·期末）若不等式组
1
1
3
2
4
x
x
x
m
+
−
无解，则m 的取值范围为（ ）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m≥
D．
3
m
6．（2024 九年级下·河南安阳·竞赛）若不等式组
1
1
3
2
4
x
x
x
m
−
−
无解，则m 的取值范围是 ．
7．
（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）若关于x 的不等式组7
2
1
x
m
x
−
有实数解，则m 的取值范围是 ．
题型三：不等式组与方程组的结合
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21 /
1．（24-25 七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x，y 的方程组
2
1 3
3
2
4
x
y
a
x
y
a
−
= −
+
=
+
的解都为非负数，且满足
3
a
b
+
=
，2
3
b
，若z
a
b
=
−，则z 的取值范围是 ．
2．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）在方程组
2
4
2
2
1
x
y
k
x
y
k
+
=
+
=
+
中，若3
0
x
y
−
−
，则k 的取值范围
是 ．
3．（24-25 七年级下·河南三门峡·期末）若方程组
2
1
3
x
y
x
y
a
−−
=
+
= −
的解x y
，满足2
3
x
y
−
，则a 的取值范围
为 ．
4．（24-25 六年级下·上海·期中）已知
1
1
x
y
=
=
和
2
3
x
y
=
=
是关于x ，y 的方程
5
mx
ny
+
=
的两个解，当y 取不
小于2
−的负数时，x 的取值范围是 ．
5．
（24-25 七年级下·江西新余·期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组
3
4
1
3
3
x
y
k
x
y
+
=
+
+
=
的解满足0
1
x
y
+
，
求k 的取值范围 ．
6．（24-25 七年级下·河南周口·期末）已知关于x y
，的二元一次方程组
2
3
1
2
2
3
x
y
a
x
y
a
+
=
−
−
=
+
，若
5
3
x
y
+
=
，
则a = ；若该方程组的解满足4
3
4
x
y
−
+
，则a 的取值范围是 ．
7．（23-24 九年级上·四川巴中·开学考试）若关于x ，y 的二元一次方程组为
2
3
1
2
2
x
y
a
x
y
+
=
−
+
= −
，并且x ，y 满
足2
1
x
y
−
+
，求a 的取值范围．
8．（24-25 八年级下·全国·阶段练习）已知方程组
7
1 3
x
y
m
x
y
m
+
= −−
−
= +
的解满足x 为非正数，y 为负数．
(1)求m 的取值范围；
(2)化简：
3
2
m
m
−
−
+
；
(3)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2
2
1
mx
x
m
+
+ 的解集为
1
x ．
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22 /
9．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于,x y的方程组
3
2
2
2
3
4
3
x
y
m
x
y
m
+
=
+
+
=
+
．
(1)若方程组的解满足
1
x
y
+
= ，求m 的值．
(2)若方程组的解满足
1
−
x
y
，求m 的取值范围．
题型四：一元一次不等式组中新定义类问题
1．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）对x，y 定义一种新运算T，
规定：(
)
,
2
1
T x y
ax
by
=
+
−（其中 a、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
(
)
0,1
0
2
1 1
2
1
T
a
b
b
=
+
−=
−．
(1)已知(
)
1, 1
6
T
−
= −，(
)
4,2
3
T
=
．
①求a，b 的值；
②若关于m 的不等式组
(
)
(
)
2 ,5
4
1
,3
2
T
m
m
T m
m
p
−
−
恰好有2 个整数解，求实数p 的取值范围；
(2)若
,
,
T x y
T y x
=
（
）（
）对任意实数x，y 都成立（这里T x y
（, ）和
,
T y x
（
）均有意义），则a，b 应满足怎样的关
系式？
2．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新运算：
(
)
Ω
(
)
a a
b
a b
b a
b
=
（Ω
a b 相当于取a，b 中
较大的数）．
(1)2Ω4 =_____；
(2)若(
)
(
)
1
Ω
4
5
x
x
−
+
=
，则x =_____；
(3)若y 满足(
)
(
)
(
)
2
1 Ω 2
2
5Ω 2
5
y
y
y
y
+
−
=
−
−
=
，求y 的整数解．
3．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）若关于x 的一元一次不等式组的解集为a
x
b
且
0
a
b
+
=
，则称这
样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组
1
4
1
2
x
x
−−
−
的解集为3
3
x
−≤
≤，其中3 3
0
−+ =
，所以该不
等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题：
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23 /
(1)判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号）
①
1
3
1
5
x
x
−
−−
②
5
1
1
3
x
x
+
−
③
1
3
1 1
x
x
−−
−
(2)若关于x 的不等式组
2
2
1
x
a
x
b
−
−
为“对称不等式组”且在解集范围内有2025 个整数解，求整数a，b 的值．
(3)若关于x 的不等式组
2
1
2
3
2
ax
b
ax
b
−
+
为“对称不等式组”且恰好有7 个整数解，求a，b 的值或取值范围．
4．（24-25 七年级下·江苏无锡·期末）定义：关于x ，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
（其中
0
a
b
c
）中
的常数项c 与未知数x 的系数a 互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：ax
by
c
+
=
的“亲密方程”为cx
by
a
+
=
．
(1)方程
3
5
x
y
+
= 的“亲密方程”为___________；
(2)已知关于x ，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
的系数满足
2
0
a
b
c
−
+ =
，且ax
by
c
+
=
与它的“亲密方程”组成
的方程组的解恰好是关于x ，y 的二元一次方程mx
ny
p
+
=
的一个解，求代数式(
)
(
)
2
2
2025
m
n m
p p
n
−
−
−
+
的值；
(3)已知整数m ，n ，t ，满足条件t
n
m
，并且(
)
4
2025
2
4
m
t x
y
m
t
−
+
=
+
−是关于x ，y 的二元一次方程
2025
3
4
nx
y
m
+
=
+
的“亲密方程”，求m 的值．
5．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式A 和B，若A 的解都是B
的解，则称A 与B 存在“雅含”关系，且A 不等式称为B 不等式的“子式”．如A：
0
x
，B：
1
x ，满足A
的解都是B 的解，所以A 与B 存在“雅含”关系，A 是B 的“子式”．
(1)若关于x 的不等式A：
2
1
x+
，B：
3
x ，则A 与B 存在“雅含”关系，________的“子式”（填“A 是B”
或“B 是A”）；
(2)已知关于x 的不等式C：
1
1
2
3
x
a
−
+
，D：2
(3
)
3
x
x
−
+
，若C 与D 存在“雅含”关系，且C 是D 的“子
式”，求a 的取值范围；
(3)已知2m
n
k
+
=
，
3
m
n
−
= ，
1
2
m
，
1
n −，且k 为整数，关于x 的不等式P：
6
4
kx
x
+
+
，Q：
(
)
6 2
1
4
2
x
x
−
+
，请分析是否存在k，使得P 与Q 存在“雅含”关系，且Q 是P 的“子式”，若存在，请直接
．．
写出k 的值；若不存在，请说明理由．
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24 /
6．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，
则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2
4
2
x +
=
的解为
1
x = −，
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的解集为
3
4
x
−
，不难发现
1
x = −在3
4
x
−
的范围内，所以2
4
2
x +
=
是
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的“子方程”．
【问题解决】
(1)在方程①4
5
7
x
x
−=
+
，②1
1
0
11
3
x −
=
，③
(
)
2
3
2
21
x
x
+
+
=
中，不等式组
(
)
2
1
8
3
2
4
x
x
x
x
−−+
−
−
的“子方程”是
（填序号）；
(2)若关于x 的方程2
4
x
k
−
=
是不等式组
5
7
11
2
3
6
x
x
x
x
−
−
−
的“子方程”，求k 的取值范围；
(3)若方程4
4
0
x+
=
是关于x 的不等式组
2
8
1
1
3
2
3
x
m
x
x
+
+
的“子方程”，直接写出m 的取值范围．
7．（24-25 八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，
则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：2
4
2
x +
=
的解为
1
x = −，
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的
解集为3
4
x
−
．因为
1
x = −在3
4
x
−
的范围内，所以2
4
2
x +
=
是
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的“子方程”．
(1)方程4
5
7
x
x
−=
+
______不等式组
2
1
8
2
6
4
x
x
x
−−+
−
的“子方程”；（填“是”或“不是”）
(2)若关于x 的方程2
4
x
k
−
=
是不等式组
5
7
11
2
3
6
x
x
x
x
−
−
−
的“子方程”，求k 的取值范围；
(3)若方程4
4
0
x+
=
是关于x 的不等式组
2
8
1
1
3
2
3
x
m
x
x
+
+
的“子方程”，求m 的取值范围．
题型五：一元一次不等式组实际应用（压轴）
1．（24-25 七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读
与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，
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25 /
意思是：如果一只公鸡值5 个钱，一只母鸡值3 个钱，3 只小鸡值1 个钱，现用100 个钱，买了100 只鸡，
问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题．
(1)小天提出的问题是：若公鸡买了8 只，则母鸡、小鸡各买了多少只？
(2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x 只，y 只，
z 只，依题意得到方程组
100
1
5
3
100
3
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
=
①
②，把②3
−①，消去z，得到一个二元一次方程7
4
100
x
y
+
=
．小
河说：“由于
100
200
x
y
= −
=
是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t 的式子表示，即为
100
4
200
7
x
t
y
t
= −
+
=
−
（t 为整数），根据题意，由x，y 的取值范围可以求出t 的值，由此可求出满足条件的公鸡、
母鸡、小鸡的数量情况．
现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整．
2．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，
而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：
2
2
2
a
b
ab
+
．其证明过程如下：
∵右边−左边
(
)
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
a
b
a
b
a
b
ab
ab
−
+
+
−
=
−
=
=
，
∴
2
2
2
a
b
ab
+
，即
2
2
2
a
b
ab
+
．
当(
)
2
0
2
a
b
−
=
，即当a
b
=
时，取得等号．
我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题．
如：若正数a、b 满足
9
ab =
，则利用
2
2
2
a
b
ab
+
可以得出：当且仅当
3
a
b
=
= 时，
2
2
a
b
+
取得最小值18．
(1)理解：证明“基本不等式”：
2
2
a
b
ab
+
．
(2)感悟：已知x、y 满足
2
16
2
14
x
y
m
x
y
m
+
=
+
+
=
−
，求xy的最大值，并求出此时m 的值．
(3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地ABCD．外
部ABCD为长方形，中间用笆EF 隔开，且EF
AB
CD
=
=
．若篱笆的总长为20 米，则AB 边长为多少米时，
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26 /
基地ABCD的面积最大，最大面积为多少？
3．（24-25 七年级下·福建厦门·期末）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁
App购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下：
①使用厦门地铁App刷卡时，享受票价的9 折优惠，按实付消费金额1：10 比例进行碳币累计．例如，当
票价为2 元时，实付金额为1.8元，累计增加18 碳币．
②每日可在厦门地铁App签到一次，每次签到可累计增加10 碳币．
③用户可以用碳币在厦门地铁App上兑换各项权益．
为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁App刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1 次，如表所示
有两种出行方式可供选择．
单程出行方式
总碳排放量/g
方式一
地铁8 站（票价4 元）+ 电动车骑行4km
1040
方式二
地铁9 站（票价5 元）+ 电动车骑行3km
1080
注：假设地铁每站碳排放量一样．
结合上述信息，回答下列问题：
(1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？
(2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量；
(3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830 碳币．他每月工作20 天，在总碳排放
量不超过42.2 千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说
明理由．（每月按30 天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式）
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27 /
4．（24-25 八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、
植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的
路线游览到游乐场游玩，路线如图所示．
记录得到以下信息：
a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程
1y 和
2y （单位：km）与游览时间x （单位：min ）的
对应关系如下图：
b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4 个景点，从
吉林市陶瓷博物馆到这4 个景点的路程如下表：
景点
园中
园
白鸽广
场
海豹
池
猴
山
路程（km）
1
2
2.5
3
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________km；
(2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此
时距出发经过了___________ min ；
(3)下面有三个推断：
①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是2 km/min
45
；
②然然比琦琦晚到达游乐场30min；
③60min 时，琦琦比然然多走了2 km
3
．
所有合理推断的序号是___________．
(4)求然然离开白鸽广场到游乐场时
2y 对应的函数解析式，标出自变量x 的取值范围；
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(5)当琦琦和然然相距800m 时，直接写出游览时间x 的值：___________．
5．（24-25 八年级下·河北承德·期末）蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户
如果步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网上缴交通罚单、网络挂号、网络购票等行为，就会减少相
应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树，这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙
伴们，可以“买走”用户的“树”，而在现实某个地域种下一棵实体的树，为了响应支付宝蚂蚁森林活动，某健
身器材销售公司捐出五月份全部销售利润用于买“树”、种树．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号
器材若干台，每种型号器材不少于8 台，五月份支出包括这批器材进货款74 万元和其他各项支出（人员工
资和杂项开支）4.35 万元．这三种器材的进价和售价如下表，人员工资（万元）和杂项支出（万元）分别
与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）．
型号
甲
乙
丙
进价（万元/
台）
0.9
1.2
1.1
售价（万元/
台）
1.2
1.6
1.3
(1)求
1y 与x 的函数解析式；
(2)求五月份该公司的总销售量；
(3)设公司五月份售出甲种型号器材t 台，五月份总销售利润为W（万元），求W 与t 的函数关系式；（销
售利润＝销售额－进价－其他各项支出）
(4)请推测该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额．
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6．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）项目式学习
体育比赛计分
素
材
一
体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不
同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球
循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？
素
材
二
五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环
赛，赛前约定的比赛排名规则：
1．获胜场数多的球队排名靠前；
2．如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次：
①净胜分大的球队排名靠前；
②净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前．
素
材
三
三支球队的比赛成绩如表：
戴云队
九仙队
石牛队
净胜分
戴云队
53 47
：
45 55
：
4
−
九仙队
47 53
：
58
n
：
石牛队
55 45
：
n 58
：
注：①戴云队与九仙队的比赛得分是53 47
：，则九仙队与戴云队的比赛得分是47 53
：
②净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分(
) (
)
53
45
47
55
4
=
+
−
+
= −.
问题解决
任
务
一
分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n 的代数式表示）；
任
务
二
当
56
n =
时，通过计算说明九仙队获得第几名？
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30 /
任
务
三
根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名(
)
58
n
7．
（24-25 八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期
末时，青少年宫计划购买A，B 两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47 名学生．这两款盲盒的销售信息如
表三：
表三
盲盒种类
单价（元／个）
优惠方案
A 款盲盒
20
优惠方案一：A 款盲盒满30 份及以上打八五折
优惠方案二：B 款盲盒满18 份及以上打八折
优惠方案三：总费用满800 元立减100 元
（备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）|
B 款盲盒
15
目前47 名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B 两款中选一款，其中30 人已作明确选择，剩
余17 人可以接受任意一款．若按这30 人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540 元．
(1)在已作明确选择的30 名学生里，选A 款和B 款盲盒的分别有多少人？
(2)若剩余17 人中选择A 款盲盒有m 人，购买这两款盲盒的总费用为y 元，求y 的最小值．
1．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）若5
a
−
，
3
a+ ，2
1
a−这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次
排列，则a 的取值范围是（ ）
A．
1
a
B．
4
a
C．1
2
a
D．1
4
a
2．（24-25 八年级下·全国·期末）不等式组
1
0
1
0
x
x
+
−
的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
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31 /
3．（24-25 七年级下·全国·期末）已知关于x 的不等式组
3
2
2
6
x
a
x
x
a
−
+
无解，则a 的取值范围为（ ）
A．<2
a
B．>2
a
C．
2
a
D．
2
a
4．（24-25 七年级下·贵州黔东南·阶段练习）不等式组
1
1
3
2
2
x
x
x
a
−
−
−
−
有两个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．5
4
a
−
−
B．5
4
a
−
−
C．4
3
a
−
−
D．5
4
a
−
−
5．（24-25 七年级下·江苏无锡·阶段练习）若方程组
3
1
3
3
x
y
k
x
y
+
=
+
+
=
的解x ，y 满足0
2
x
y
+
，则k 的取值
范围是（ ）
A．4
0
k
−
B．4
4
k
−
C．0
8
k
D．
4
k −
6．（24-25 九年级下·四川内江·阶段练习）若关于x 的一元一次不等式组
2
1
3
3
4
2
3
x
x
x
a
+
−
+
的解集为
4
x
，且
关于y 的分式方程
8
1
2
2
a
y
y
y
−
−
=
+
+
的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A．12
B．18
C．30
D．42
7．
（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x 的一元一次不等式组
2
0
4
x
m
x
+
下列结论错误的是（ ）
A．若不等式组所有正整数解的和为5，则4
2
m
−
−
B．若
4
m =
，则
0
x =
是不等式组的解
C．若不等式组只有3 个整数解，则2
0
m
−
D．若不等式组有解，则
8
m −
8．（25-26 八年级上·全国·单元测试）不等式组
3
5
8
2
4
x
x
a
−
−
+
的所有整数解之和为2，则a 的取值范围
为 ．
9．（24-25 八年级上·浙江·期末）能使4
5,2
1,20
m
m
m
+
−
−
这三个数作为三角形三边长的整数m 共有
个
10．（24-25 九年级下·山东临沂·阶段练习）不等式组
3
3
2
1 3(
1)
8
x
x
x
x
−
+
−
−
−
的解集为 ．
11．（24-25 七年级下·江苏淮安·阶段练习）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁
钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的1
3 ，
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32 /
已知这个铁钉被敲击3 次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是cm
a
，
若铁钉总长度为10cm，则a 的取值范围是 ．
12．（24-25 八年级下·陕西西安·阶段练习）解下列不等式(组)：
(1)
1
2
1
2
6
x
x
+
−
+ ；
(2)
(
)
5
2
3
1
2
5
1
2
3
x
x
x
x
+
−
+
−
−
．
13．（23-24 七年级下·广西河池·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共 180 件其进价和售价如表：（注：
获利= 售价−进价）．
进价（元/件）
4
5
售价（元/件）
0
3
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利 1240 元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于 5040 元，且销售完这批商品后获利多于 1312 元， 请问有哪几种购货方案？
并直接写出其中获利最大的购货方案．
14．（2025 八年级上·全国·专题练习）关于x 的分式方程3
1
1
3
3
x
a
x
x
x
−
+
+
=
−
−
的解为正数，且关于y 的不等式组
(
)
9
2
2
2
1
3
y
y
y
a
+
+
−
的解集为
5
y≥，求所有满足条件的整数a 的值之和．
15．（24-25 七年级下·湖北武汉·阶段练习）学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了
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33 /
解，购买20 本文学名著和30本动漫书共需2200元，购买15本文学名著比购买20 本动漫书的费用少50元（注：
所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元?
(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多40 本，动漫书和文学名著总数不低于100本，总费用不超过5250元，
请问有几种购书方案?
(3)在（2 ）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利m 元，每出售一本动漫书盈利(
)
45
2m
−
元，此时店
家获得最大利润为1668元，则m 的值为_____（直接写出结果）．
16．（24-25 七年级下·广东广州·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中
国同30 多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M 两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和
地区．现工厂有甲种布料38 米，乙种布料26 米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50 套进行市场
调研．已知做一套L 型号的童装需甲种布料0.5 米、乙种布料1 米，可获利50 元；做一套M 型号的童装需
甲种布料0.9 米、乙种布料0.2 米，可获利30 元．
(1)按要求安排L、M 两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来；
(2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
小学
初中
