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11.3 一元一次不等组（九大类型提分练）
题型01一元一次不等式组的定义
1．（24-25七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（ ）
{x+1>0) {2x−3>0)
A． B．
y−1<0 x<−3
{
3x>0
) { 3x−2>0 )
C． 1 D．
+1>0 (x−2)(x+3)<0
x
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义．
一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都
是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：B．
{x>−2) { x>0 ) {x+1>0)
2．（20-21七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：① ；② ；③ ；④
x<3 x+2>4 y−4<0
{x+3>0) {x2+14
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断．
根据一元一次不等式组的定义判断即可．
{x>−2)
【详解】解：① 是一元一次不等式组；
x<3
{ x>0 )
② 是一元一次不等式组；
x+2>4
{x+1>0)
③ 含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
y−4<0
{x+3>0)
④ 是一元一次不等式组；
x<−7{x2+14
其中是一元一次不等式组的有3个，
故选：B．
题型02 解一元一次不等式组
{ x+1≥0 )
3．（24-25七年级下·山西晋城·期中）已知不等式组 ，下列说法正确的是（ ）
2(x−1)<0
A．有3个解 B．有2个解
C．无解 D．有无数个解
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组是解题的关键．
先求出各不等式的解集，再根据不等式组的解集判断即可．
{ x+1≥0① )
【详解】解：
2(x−1)<0②
解不等式①得x≥−1，
解不等式②得x<1，
∴不等式组的解集为；−1≤x<1，
在−1≤x<1这个范围内，有无数个数满足该不等式组．
故选：D．
{ x>3 )
4．（24-25七年级下·上海·期中）不等式组 的解集为 ．
x≥−3
【答案】x>3/33．
故答案为：x>3．
5．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组：
{2x+1>x+3①)
(1) ；
2x−4x+3①)
【详解】（1）解： ，
2x−42，
解不等式②，得x<4，
∴该不等式组的解集为2x−3②
2
【答案】−1≤x<3，画图见解析
【分析】本题考查的是求一元一次不等式组的解集，理解一元一次不等式组的解法是解答关键．要注意x是否取包含有等于，若取包含有等于时则x在该点是实心的，反之x在该点是空心的．先求出每一个不等
式的解集，然后确定出不等式组的解集，最后在数轴表示出来即可．
{4x−2≥3(x−1)①
)
【详解】解： x−5 ，
+1>x−3②
2
由①去括号得4x−2≥3x−3，
解得x≥−1；
由②去分母得
x−5+2>2(x−3)，
去括号得
x−5+2>2x−6，
移项并合并同类项得
−x>−3，
解得x<3，
在数轴上表示如下：
∴不等式组的解集是：−1≤x<3．
{2x−1<−9
)
8．（2025七年级下·安徽·专题练习）解不等式组 2+x ，并把它们的解集分别表示在数轴上．
1−x≥
3
【答案】x<−4，作图见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示
出来即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的法则是解题的关键．
{2x−1<−9①
)
【详解】解： 2+x ，
1−x≥ ②
3
解不等式①，得：x<−4，
1
解不等式②，得：x≤ ，
4
∴不等式组的解集为x<−4，
在数轴上表示为：
．
题型04 求一元一次不等式组的整数解{x−3(x−2)≥4
)
9．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）不等式组 2x−1 的所有整数解的和是（ ）
−4，
∴原不等式组的解集为−42
8
由②得：x≥ ，
3
8
∴x≥ ，
3
∴不等式组的最小整数解为x=3，
故答案为：x=3．
{5x−1≥3x−6
)
11．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）求不等式组 1 4 的解集并写出最小负整数解．
− x≤ −x
3 3
5
【答案】− ≤x≤2；最小负整数解为x=−2
2
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
{5x−1≥3x−6①
)
【详解】解： 1 4 ，
− x≤ −x②
3 3
由①得：2x≥−5，
5
∴x≥−
2
由②得：−x≤4−3x，
∴2x≤4，
∴x≤2，
5
∴− ≤x≤2
2
∴最小负整数解为x=−2；
题型05已知一元一次不等式组的解集求字母
{x+1<2a)
12．（24-25七年级下·全国·期末）已知不等式组 的解集是21
解为（ ）
1 1
A．x=0 B．x= C．x=1 D．x=−
2 2
【答案】D
【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤．
解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可．
{x+1<2a①)
【详解】解： ，
x−b>1②
解不等式①，得x<2a−1；
解不等式②，得x>b+1．
∵不等式组的解集是22 ) 的解集是−10
【答案】−1【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．先求
出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b的值，继而代入计算即可．
{ x−a>2 )
【详解】解：由不等式组 ，
b−2x>0
b
得¿，即a+22x−1
)
14．（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于x的不等式组 x 的解集为−2b
2
值．
【答案】ab=−2．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每个不等式的解集，再结合不等式组的解集得出关
于a、b的方程，解之即可得出答案．
{x+a>2x−1①
)
【详解】解： x ，
>b②
2
解不等式①，得x2b，
所以该不等式组的解集是2b2x−1
)
因为关于x的不等式组 x 的解集为−2b
2
所以a+1=3，2b=−2，
解得a=2，b=−1，
所以ab=2×(−1)=−2．
{ −
2x+1
≥−5 )
15．（24-25八年级上·全国·期末）若关于x的一元一次不等式组 3 的解集为x≤7，求a的
3x+a>−2+4x
取值范围．
【答案】a>5
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．
分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集x≤7即可得出a的取值范围．2x+1
【详解】解：．不等式− ≥−5可化为2x+1≤15，
3
∴2x≤14．
∴x≤7；
不等式3x+a>−2+4x可化为3x−4x>−a−2，
∴−x>−a−2．
∴x−2+4x
∴a+2>7．
∴a>5．
题型06已知一元一次不等式组的解情况求字母
{x+1>−5①)
16．（24-25七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知关于x的不等式组 的所有整数解的和为−9，
2x+m<0②
m的取值范围是（ ）
A．6≤m<8 B．−8−6，
m
解不等式②得：x<− ，
2
∵不等式有解，
m
∴不等式组的解集为−60 )
17．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）若关于x的不等式组 恰好有三个整数解，则a的
2x+5a>4x+3a
取值范围是 ．【答案】2＜a≤3
【分析】先用含a的代数式表示出不等式组的解集，再根据它恰有三个整数解，分析出它的整数解，进而
求得实数a的取值范围．
{ 3x+2(x+1)>0①)
【详解】解： ，
2x+5a>4x+3a②
2
解①得，x> - ，
5
解②得，x0 )
∵关于x的不等式组 恰好有三个整数解，
2x+5a>4x+3a
∴整数解只能是0，1，2，
∴2＜a≤3．
故答案为2＜a≤3．
【点睛】此题考查的是解一元一次不等式式组，解集的确定应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，
小大大小中间找，大大小小解不了．
{5x>3(x+a)−10
)
18．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组 a−3 无解，求a的取值范围．
3−x≥
4
【答案】a≥5
【分析】本题考查由一元一次不等式组的解集求参数，正确计算是解题的关键．
先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式即可求解．
{5x>3(x+a)−10①
)
【详解】解： a−3 ，
3−x≥ ②
4
3
由①得，x> a−5，
2
15−a
由②得，x≤ ，
4
{5x>3(x+a)−10
)
∵不等式组 a−3 无解，
3−x≥
4
3 15−a
∴ a−5≥ ，
2 4
解得：a≥5．
19．（2024八年级上·全国·专题练习）含参不等式之有、无解问题．{1k
{x>a+2,)
(2)已知关于x的不等式组 无解，求a的取值范围；
x<3a−2
{x−a>0,)
(3)已知关于x的不等式组 无解，求a的取值范围．
5−x≥3
【答案】(1)k<2
(2)a≤2
(3)a≥2
【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题，
对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集；
对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答.
{1k
∴k<2,
即k的取值范围是k<2；
{x>a+2,)
（2）解：∵关于x的不等式组 无解，
x<3a−2
∴3a−2≤a+2，
解得a≤2，
即a的取值范围是a≤2；
{x−a>0,①)
（3）解：
5−x≥3,②
解不等式①，得x>a，解不等式②，得x≤2．
{x−a>0,)
∵关于x的不等式组 无解，
5−x≥3
∴a≥2，
即a的取值范围是∴a≥2．
题型07一元一次不等式组与方程组综合问题
{x−y=3m−2)
20．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）关于x，y的二元一次方程组 的解满足x+ y>0，则
x+3 y=−4
m的取值范围（ ）
A．m>2 B．m<2 C．m>6 D．m<6
【答案】A
【分析】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m当作已知数表示出
x+ y的值，再得到关于m的不等式．首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x+ y，代入x+ y>0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
{x−y=3m−2①)
【详解】解： ，
x+3 y=−4②
①+②得：2x+2y=3m−6，
3m−6
则x+ y= ，
2
3m−6
根据题意得：x+ y= >0，
2
解得m>2．
故选：A．
{ 6x−5≥m )
21．（24-25八年级上·重庆·期中）若m使得关于x的不等式 x x−1 1 至少2个整数解，且关于x，y
− <
4 6 2
{ 2x+ y=4 )
的方程组 的解满足x−y>10，则满足条件的整数m之和是 ．
x+2y=−3m+2
【答案】25
【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不
等式组至少有两个整数解得到m≤7；再利用加减消元法得到x−y=3m+2，则3m+2>10，据此求出
8
10，
∴3m+2>10，
8
∴m> ，
38
∴ 0，求
2x+ y=m−3
m的取值范围．
【答案】m>−1
【分析】本题考查的是方程组与不等式的综合应用，先把两式相减得x+ y=3m+3，结合x+ y>0，再建
立不等式解题即可．
{3x+2y=4m)
【详解】解： ，
2x+ y=m−3
两式相减得x+ y=3m+3，
∵x+ y>0，
∴3m+3>0；
解得：m>−1；
{x+ y=−7−m)
23．（24-25八年级上·浙江·期中）已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数．
x−y=1+3m
(1)求m的取值范围；
(2)化简：|m−5|−|m+2|；
(3)在m的取值范围内，当m为何整数时，不等式2mx+x<2m+1的解为x>1．
【答案】(1)−20．
解：①当x+4>0，则x−1>0，
即可以写成：¿解不等式组得：x>1．
②当若x+4<0，则x−1<0，
即可以写成：¿解不等式组得：x<−4．
综合以上两种情况：原不等式的解集为：x>1或x<−4．
以上解法的依据为：当ab>0，则ab同号．
请你模仿例题的解法，解不等式：
(1)(x+1)(x−2)>0；
(2)(2x−1)(3x+2)<0．
【答案】(1)x>2或x<−1
2 1
(2)− 0，则x−2>0，
{x+1>0)
∴ ，解不等式组得x>2．
x−2>0
②当若x+1<0，则x−2<0，
{x+1<0)
∴ ，解不等式组得x<−1．
x−2<0
∴原不等式的解集为：x>2或x<−1．
（2）解：①当2x−1>0，则3x+2<0，
{2x−1>0)
∴ ，
3x+2<0
∴不等式组无解．
②当若2x−1<0，则3x+2>0，
∴
{2x−1<0)
，解不等式组得−
2
0 3 2
2 1
∴原不等式的解集为：− 0，则x的取值范围___________．
0.5 x 3−x x
(2)芳对于正整数m、n，满足1<
|1 n)<3，求m+n的值；
m 4
(3)若对于两个非负数x、y，满足
|x−1 y)= |x −y)=k，求实数k的取值范围．
2 3 2 −1
【答案】(1)0.25，x>1
(2)3
3
(3)k≥−
4
【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解；
（2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解；
（3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据x,y均为非负数，得到关于k的不等式
组，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：−x−0.5(2x−1)=0，解得：x=0.25，
| 2 1)>0
3−x x
根据题意得：2x−(3−x)>0，
解得：x>1；
故答案为：0.25，x>1；
（2）解：由题意得，1<4−mn<3，
∴10，当x=2时，
2x−3=2×2−3=1，x+3=2+3=5>0同时成立，则称“x=2”是方程2x−3=1与不等式x+3>0的
“完美解”.
(1)已知①2x+1>3，②2−x>2x+1，则方程2x+3=1的解是不等式 （填序号）的“完美解”；
(2)若 {x=x 0 ) 是方程组 { x+2y=a ) 与不等式x+ y>1的一组“完美解”，求a的取值范围；
y= y 2x+ y=2a+3
0
(3)若
{x=x
0
)
是方程x−3 y=5与不等式组
{x>2)
的“完美解”，求x + y 的取值范围.
y= y y<1 0 0
0
【答案】(1)②(2)a>0
(3)12 ，即可得−1−1=2x+1，则方程2x+3=1的解是不等式②的“完美解”；
{ x+2y=a )
（2）解： ，
2x+ y=2a+3
将上述两个方程相加可得：x+ y=a+1，
即有x + y =a+1，
0 0
∵ {x=x 0 ) 是方程组 { x+2y=a ) 与不等式x+ y>1的一组“完美解”，
y= y 2x+ y=2a+3
0
∴a+1>1，
解得：a>0，
{x
0
−3 y
0
=5
)
（3）解：根据题意有： x >2 ，
0
y <1
0
解得：−1−1的解集是x<2，
∴不等式组的解集为a≤x<2．
∵关于x的不等式组¿的整数解共有6个，
∴−50 B．a≤1 C．0y>0，则
2x+ y=5a
|a)−|2−a)的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查的是二元一次方程和不等式的综合问题，用含a的代数式表示出x、y，然后根据
x>y>0得出a的范围，再根据a的范围化简计算．
{x−y=a+3①)
【详解】解： ，
2x+ y=5a②
①+②得3x=6a+3，解得：x=2a+1，
代入①得2a+1−y=a+3，
解得：y=a−2，
{x=2a+1)
∴ ，
y=a−2
因为x>y>0，
{2a+1>a−2)
所以 ，
a−2>0
解得：a>2，
所以|a)−|2−a)=a−(a−2)=2．
故选：B．
{x+1≤3m)
32．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组
x>−4
（1）若不等式组有解，则m的取值范围是 ．
（2）若该不等式组的所有整数解的和为−5，则m的取值范围为 ．
1 2
【答案】 m>−1 − ≤m<0或 ≤m<1
3 3
【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题
中的不等关系是解题的关键．
（1）根据不等式组有解，可得不等式组的解集为−4−4②
解不等式①得：x≤3m−1，
∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为−4−4，
∴m>−1；
故答案为：m>−1；
（2）由（1）得：不等式组的解集为−433
解得：9− ，
5
∴满足条件的整数m的值为−1．
故答案为：−1．
{ x>m−6 )
35．（2025·山东日照·一模）线段3,3,m能构成三角形，且使关于x的不等式组 有解的
−3x+8≥3m−4
所有整数m的和为 ．
【答案】10
【分析】本题考查构成三角形的三边关系、解不等式组、不等式组有解时参数范围等知识，先由三角形三
边关系得到0m−6① )
，
−3x+8≥3m−4②
由②得x≤4−m，
{ x>m−6 )
∵关于x的不等式组 有解，
−3x+8≥3m−4
∴不等式组的解集为m−6m−6 )
则使关于x的不等式组 有解的所有整数m的和为1+2+3+4=10，
−3x+8≥3m−4
故答案为：10．
36．（24-25七年级下·上海·期中）对于两个关于x的不等式，若这两个不等式组成的不等式组有且仅有一
个整数解，则称这两个不等式是“互联”的．例如，不等式x>1和不等式x<3是“互联”的．若2x−a<0
和x>0是“互联”的，a的最大值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查新定义两个不等式是“互联”，只能包含一个整数使得这两个不等式同时成立，解得不a a
等式解集，00是“互联”的，要包含1但不包含2，
a
∴1< ≤2，
2
解得：20，并将它的解集在数轴上表示出来；
{x−3(x−2)≥4
)
(2) 1+2x ；
>x−1
3
x+m 2x−1
(3)已知：关于x的方程 − =m的解是非正数，求m的取值范围．
3 2
【答案】(1)x<2，见解析；
(2)x≤1；
3
(3)m≥ ．
4
【分析】本题主要考查解一元一次不等式（组），解一元一次方程，掌握其计算方法是关键．
（1）根据不等式的性质，去括号，移项，系数化为1，即可求解，把解集表示在数轴上即可；
（2）根据不等式的性质，解不等式，再根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间
中找，大大小小无解”即可求解；
（3）去分母解方程，再根据解为非正数列不等式求解即可．
【详解】（1）解：x−2(x−1)>0，
去括号得，x−2x+2>0，
移项、合并同类项得，−x>−2，
系数化为1得，x<2，
解集表示在数轴上如图，{x−3(x−2)≥4①
)
（2）解： 1+2x ，
>x−1②
3
解①得，x≤1，
解②得，x<4，
∴x≤1；
x+m 2x−1
（3）解： − =m，
3 2
去分母得，2(x+m)−3(2x−1)=6，
去括号得，2x+2m−6x+3=6m，
移项得，2x−6x=6m−2m−3，
合并同类项得，−4x=4m−3，
4m−3
系数化为1得，x= ，
−4
∵解是非正数，
4m−3
∴ ≤0，
−4
∴4m−3≥0，
3
解得，m≥ ．
4
38．（24-25七年级下·河南开封·期中）含参不等式之有解问题．
{ x+a≥0 )
(1)若关于x的不等式组 有解，求a的取值范围．
1−2a>x−5
{x−4≤3(x−a)
)
(2)已知关于x的不等式组 1+2x 有5个整数解，求a的取值范围．
>x−1
3
【答案】(1)a<6
2
(2)0x−5②由①得，x≥−a；
由②得，x<6−2a，
{ x+a≥0 )
∵关于x的不等式组 有解，
1−2a>x−5
∴6−2a>−a，
解得：a<6；
{x−4≤3(x−a)①
)
（2）解： 1+2x
>x−1②
3
3a−4
由①得，x≥ ，
2
由②得，x<4，
3a−4
∴原不等式组的解集为： ≤x<4，
2
{x−4≤3(x−a)
)
∵关于x的不等式组 1+2x 有5个整数解，
>x−1
3
3a−4
∴−2< ≤−1，
2
2
解得：01，y<0，试确定x+ y的取值范围．
解：∵x−y=2，∴x= y+2，
又∵x>1，∴y+2>1，∴y>−1，
又∵y<0，∴−1−2，y<0，
①试确定y的取值范围；
②试确定x+ y的取值范围
(2)已知x−y=a+1，且x<−b，y>2b，若根据上述做法得到3x−5 y的取值范围是−10<3x−5 y<26，
请求出a、b的值．
【答案】(1)(1)① −7−2，
∴y+5>−2，
∴y>−7，
∵y<0，
∴−7a+b+1，
∵y>2b，
∴−y<−2b，
∴a+b+1<−y＜−2b，
∴5a+5b+5<−5 y＜−10b，
∵2b+a+10的解集为x>−3，则称“x=2”为方程2x−3=1和不
等式x+3>0的“完美解”．
(1)下列不等式（组）：①2x−3>3x−1，②
x−1
<3，③
{x+1>0)
中与方程2x+3=1存在“完美解”
2 x−2≤1
的有哪些？并说明理由；
{3x−2y=m+2) {x+ y>−1)
(2)若关于x，y的二元一次方程组 的解是该方程组与不等式组 的“完美解”，
2x−y=m−5 x+ y<5
求m的取值范围．
【答案】(1)方程2x+3=1只与不等式②存在“完美解”，见解析
(2)153x−1的解集为x<−2，但x=−1不在该解集范围内；
x−1
②不等式 <3的解集是x<7，x=−1在该解集范围内；
2
③不等式组¿的解集是−10)
一元一次方程为该不等式组的“浯溪水亦香方程”．例如2x−6=0的解为x=3，不等式组 的解
x<5
{x−2>0)
集为2 3 ) {2(x+3)>4) {x−1 <3)
① 2 2 ；② ；③ 2 ．
x+3<0
x≥3 x+5>0
{3x−6>4−x
)
(2)若关于x的方程2x−k=2是不等式组 的“浯溪水亦香方程”，求k的取值范围；
x−1≥4x−10
2x {(m−2)x 3 )
① 2 2 ，
x≥3
解得：x≥3，
∵ −1<3，不符合题意；
{2(x+3)>4)
② ，
x+3<0
该不等式无解，不符合题意；
{x−1
<3)
③ 2 ，
x+5>0
解得：−50
故答案为：③
{3x−6>4−x
)
（2）解：解不等式组
x−1≥4x−10
5
得： 4−x
)
∵关于x的方程2x−k=2是不等式组 的“相伴方程”，
x−1≥4x−10
5 2+k
∴ < ≤3，
2 2
解得：31 )
所以分为两种情况：①当m<2时，不等式组为 ，
x≥m−5
此时不等式组的解集是x>1，不符合题意，舍去；
②当m>2时，不等式组的解集是m−5≤x<1，
{ m>2 )
所以根据题意得： ，
m−5≤−2
解得：2
