文档内容
11.3 多边形及其内角和
【考点 1 多边形及正多边形的概念判断】
【考点 2 多边形的不稳定】
【考点 3 多边形的对角线】
【考点 4 多边形的内角和】
【考点5 多边形的外角和】
【考点 6 截角问题】
【考点 7 多边形内角和和外角和-平行线】
【考点 8 多边形内角和和外角和-角平分线】
【考点 9 多边形内角和和外角和的实际应用】
【考点 10 多边形内角和和外角和的综合应用】
【考点11 密铺问题】
知识点1：多边形
（1）多边形概念：在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形。
（2）正多边形概念：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形
【考点 1 多边形及正多边形的概念判断】
【典例1】（博山区校级期中）下列图形中，是正八边形的是（ ）
A． B．
C． D．【变式 1-1】（肥城市期中）如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-2】（嘉鱼县期末）四边形具有不稳定性，如图，挤压矩形ABCD，会产生变形，
得到四边形EBCF，则在这个变化过程中，关于矩形ABCD的周长和面积，下列说法正
确的是（ ）
A．周长和面积都不变 B．周长不变，面积变小
C．周长变小，面积不变 D．周长变小，面积变小
【考点 2 多边形的不稳定】
【典例2】（东莞市期末）下列设计的原理不是利用三角形的稳定性的是（ ）
A．由四边形组成的伸缩门
B．自行车的三角形车架
C．斜钉一根木条的长方形窗框
D．照相机的三脚架
【变式2-1】（碧江区 校级期中）我校大门口的电子伸缩门是利用了数学的 原理．
【变式2-2】（东阿县校级月考）大桥钢架、索道支架、人字梁等为了坚固，都采用三角形
结构，这样做的根据是 ；学校门口的电动推拉门是利用四边形的 ．知识点2：多边形的对角线
n 边形一个顶点的对角线数： n-3；n 边形的对角线总数：
【考点 3 多边形的对角线】
【典例3】（2024春•泰兴市期中）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成 n
个三角形，则n是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式3-1】（2023秋•大东区期末）从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是
（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【变式3-2】（2022秋•章丘区期末）若一个n边形从一个顶点最多能引出6条对角线，则
n是（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【变式3-3】（2023秋•市北区期末）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的
一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数
为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
知识点3：多边形的内角和与外角和
（1）n 边形的内角和公式： （n-2）×180°；
（2）正多边形的每个内角
知识点4：多边形的外角和
（1）n 边形的外角和： 360°（2）正多边形每个外角的度数：
【考点 4 多边形的内角和】
【典例3】（2024春•泰兴市期中）从五边形一个顶点引出的对角线把该五边形分成 n
个三角形，则n是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【变式3-1】（2023秋•大东区期末）从多边形的一个顶点出发可引出7条对角线，则它是
（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
【变式3-2】（2022秋•章丘区期末）若一个n边形从一个顶点最多能引出6条对角线，则
n是（ ）
A．5 B．8 C．9 D．10
【变式3-3】（2023秋•市北区期末）要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的
一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2022个三角形，则这个多边形的边数
为（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【考点5 多边形的外角和】
【典例5】（2024•西城区校级模拟）一个n边形的每个外角都是45°，则这个n边形的内
角和是（ ）
A．1080° B．540° C．2700° D．2160°
【变式5-1】（2024•武侯区校级一模）正多边形的一个外角的度数为 30°，则这个正多边
形的边数为（ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
【变式5-2】（2023秋•荆门期末）如图，五边形 ABCDE的一个内角 ，则
∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ）A．100° B．180° C．280° D．300°
【变式5-3】（2024•广水市一模）如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（
）
A．70° B．80° C．90° D．100°
知识点4：截角问题
n 边形截去一个角后得到 n/n-1/n+1边形
【考点 6 截角问题】
【典例6】（2023秋•长寿区期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和
为2520°，则原多边形的边数是（ ）
A．17 B．16
C．15 D．16或15或17
【变式6-1】（2023秋•牡丹江期中）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角
和为720°，那么原多边形的边数为（ ）
A．5 B．5或6 C．6或7 D．5或6或7
【变式6-2】（2023秋•江油市期中）若一个多边形截去一个角后，形成的新多边形的内角
和是1620°，则原来多边形的边数可能是（ ）A．10或11 B．11
C．11或12 D．10或11或12
【变式6-3】（2023秋•仪陇县月考）从一个六边形上截去一个角，则得到的多边形的内角
和为 ．
知识点 5： 多边形的内角和和外角和的综合应用
平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平
面。
【考点 7 多边形内角和和外角和-平行线】
【典例7】（2023秋•广安期末）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3
是五边形ABCDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．180° B．210° C．240° D．270°
【变式7-1】（准格尔旗一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，若l ∥l ，则∠1﹣∠2
1 2
的值是（ ）
A．108° B．36° C．72° D．144°
【变式7-2】（2024春•张家港市期中）如图，四边形ABCD中，点G是BC上一点，过点
G作GE∥AB，GF∥CD，若∠A+∠D＝113°，则∠EGF＝ °．【考点 8 多边形内角和和外角和-角平分线】
【典例8】（2024春•泗阳县期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与
∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【变式8-1】（2023秋•和平区期末）如图，四边形 ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，与
∠ADC、∠ABC相邻的两外角平分线交于点E，若∠A＝50°，则∠E的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【变式8-2】（2024春•建湖县期中）如图，在六边形ABCDEF中，若∠A+∠B+∠C+∠D
＝480°，∠DEF与∠AFE的角平分线交于点G，则∠G等于 ．
【变式8-3】（2024•凤翔区一模）如图，EF是正五边形ABCDE的外角∠AEG的平分线，
连接EC，则∠CEF＝ ．【考点 9 多边形内角和和外角和的实际应用】
【典例9】（2024春•东阳市月考）如图，小峰从点O出发，前进8m后向右转45°，再
前进8m后又向右转45°，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时，一共走的路程
是（ ）
A．40米 B．48米 C．56米 D．64米
【变式9-1】（2024•谷城县一模）如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前
进6米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点 O时一共走了（
）
A．72米 B．108米 C．144米 D．120米
【变式9-2】（2023春•莲池区期末）如图，大建从A点出发沿直线前进8米到达B点后向
左旋转的角度为 ，再沿直线前进8米，到达点C后，又向左旋转 角度，照这样走下
去，第一次回到出α发地点时，他共走了72米，则每次旋转的角度 α为（ ）
α
A．30° B．40° C．45° D．60°【考点 10 多边形内角和和外角和的综合应用】
【典例10】（2024春•高新区校级月考）如图，将四边形纸片 ABCD沿MN折叠，点
A、D分别落在点A 、D 处．若∠1+∠2＝140°，则∠B+∠C＝（ ）
1 1
A．120° B．110° C．135° D．150°
【变式10-1】（2024春•吴江区校级期中）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝25°，∠C
＝30°，∠ADC＝100°，则∠B等于（ ）
A．55° B．45° C．63° D．48°
【变式10-2】（2024•南海区校级模拟）如图，在正五边形ABCDE中，∠BCD的平分线交
AE于点F，连接CE，则∠ECF的度数为（ ）
A．15° B．18° C．36° D．54°
【变式10-3】（2023秋•播州区期末）如图，∠1、∠2、∠3，∠4是六边形ABCDEF的四
个外角，延长FA．CB交于点H．若∠1+∠2+∠3+∠4＝224°，则∠AHB的度数为（
）A．24° B．34° C．44° D．54°
【变式10-4】（2023秋•海珠区期末）如图，正五边形ABCDE和正方形CDFG的边CD重
合，连接EF，则∠AEF的度数为（ ）
A．27° B．28° C．29° D．30°
【考点11 密铺问题】
【典例11】（2023秋•耒阳市校级期末）下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是
（ ）
A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形
【变式11-1】（2023秋•费县期末）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓
是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图2是八角形空窗的示意图，
它的一个外角∠1＝（ ）
A．45° B．40° C．60° D．30°
【变式11-2】（2023秋•武隆区期末）分别剪一些边长相同的正三角形、正五边形、正六
边形、正八边形，如果用其中一种正多边形镶嵌，能镶嵌成一个平面的图案共有
（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【变式11-3】（2024•雁塔区校级二模）如图，工人师傅用边长均为 a的正六边形和正方形地砖绕着点A进行铺设，若将一块边长为a的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼
在∠BAC处，则这块正多边形地砖的边数是 ．
一．选择题（共9小题）
1．（2024•盘龙区模拟）多边形的每个内角均为120°，则这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
2．（2024•大兴区一模）五边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
3．（2024•凉州区二模）将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为 D，
且正六边形的边AB与正五边形的边EF在同一条直线上，则∠BDE的度数是（ ）
A．48° B．54° C．62° D．72°
4．（2024•谷城县一模）如图，小明从O点出发，前进6米后向右转20°，再前进6米后又
向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（ ）A．72米 B．108米 C．144米 D．120米
5．（2024•广水市一模）如图，已知∠1+2+∠3+∠4＝280°，那么∠5的度数为（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
6．（2024•市南区三模）如图，直线l 和l 分别经过正五边形的一个顶点，l ∥l ，∠1＝
1 2 1 2
12°，则∠2的度数为（ ）
A．32° B．38° C．46° D．48°
7．（2023秋•长寿区期末）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为
2520°，则原多边形的边数是（ ）
A．17 B．16
C．15 D．16或15或17
8．（2023秋•新宾县期末）2022年北京冬奥会开幕式为世界奉献了一场精彩、简约、唯美、
浪漫的中国文化盛宴，其中主火炬台的雪花状创意令人惊叹．如图是一个正六边形雪花
状饰品，则它的每一个内角是（ ）
A．60° B．105° C．120° D．135°
9．（2023秋•安顺期末）一个多边形的内角和为540°，则它的对角线共有（ ）
A．3条 B．5条 C．6条 D．12条
二．填空题（共5小题）10．（2024•雁塔区校级一模）正九边形的一个外角等于 ．
11．（2024•潼关县一模）如图，五边形ABCDE是正五边形，过点B作AB的垂线交CD于
点F，则∠BFC＝ °．
12．（2024•长安区二模）如图是由射线AB，BC，CD，DE，EF，FA组成的平面图形，则
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝ ．
13．（2024春•闵行区期中）从多边形一个顶点出发可作7条对角线，则这个多边形内角
和为 度．
14．（2024•渝中区校级模拟）如图，在五边形ABCDE中，点M、N分别为在AB、AE的
边上，∠1+∠2＝110°，则∠B+∠C+∠D+∠E＝ ．
三．解答题（共2小题）
15．（2023秋•长沙县期末）已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．16．（2022秋•龙南市期末）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，
解答下列问题．
（1）将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
的度数
（2）α观察上面表格中 的变化规律，角 与边数n的关系为 ．
（3）根据规律，当 ＝α18°时，多边形边数α n＝ ．
α
