文档内容
24.3 正多边形与圆
【考点1 求正多边形的中心角】
【考点2 正多边形与圆求线段长度】
【考点3 正多边形与圆求半径】
【考点4正多边形与圆求面积】
【考点5 正多边形与圆求周长】
【考点6 正多边形与直角坐标系综合】
知识点1 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
C
B C
O O
O
A E D B
B A A
D
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
知识点2 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
知识点3 正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的
中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
【考点1 求正多边形的中心角】
【典例1】如图，点 是正五边形 的中心，连接 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出 的度数，根据三角形内角和，及等边对等角，即可求解，
本题考查了多边形的中心角，等边对等角，三角形内角和，解题的关键是：熟练掌握相关
定理．
【详解】解：连接OB，∵ 和 是正五边形 的中心角，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选： ．
【变式1-1】如图，正六边形 内接于 ，点G是 弧上的一点，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用圆内接正多边形中心角及同弧所对的圆周角是圆心角一半定理即可．
本题考查圆内接正多边形和圆周角定理，解此题的关键是熟练掌握圆内接正多边形中心角
计算和圆周角定理角度计算．
【详解】如图，连接 、 ，∵正六边形 是 的内接正六边形，
，
，
故选：B．
【变式1-2】如图，正五边形 内接于 ，P为 上一点，连接 ， ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是正多边形和圆，掌握正多边形的中心角的计算公式 是解题的关
键．
【详解】解：连接 、 ，
∵ 是圆内接五边形，
∴ ，
∴ ，
故选B．
【变式1-3】圆内接正八边形的中心角为 ．
【答案】45【分析】根据圆内接正 边形的中心角的度数为 ，进行计算即可．
【详解】解：圆内接正八边形的中心角为 ；
故答案为： ．
【考点2 正多边形与圆求边数】
【典例2】如图，点 、 、 、 为一个正多边形的顶点，点 为正多边形的中心，若
，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
【答案】B
【分析】作正多边形的外接圆，连接 AO，BO，根据圆周角定理得到 ，根据
中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，作正多边形的外接圆，连接AO，BO，
∴ ，
∴这个正多边形的边数为 =10．
故选：B．
【点睛】此题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
【变式2-1】如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．【答案】18
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为 ，
则 ，
故这个正多边形的边数为18，
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关
键．
【变式2-2】如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ．
【答案】6
【分析】根据正n边形的中心角的度数为 进行计算即可得到答案．
【详解】根据正n边形的中心角的度数为 ，
则 ，故这个正多边形的边数为6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关
键．
【变式2-3】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝
．
【答案】9
【分析】利用360度除以中心角的度数即可求得．
【详解】∵正n边形的中心角＝ ＝40°，
n＝ ＝9．
故答案为9．
【点睛】本题考查了多边形的计算，正多边形的中心角相等，理解中心角的度数和正多边
形的边数之间的关系是关键．【考点3 正多边形与圆求半径】
【典例3】如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若正六边形的边长为1，则 的半径是
．
【答案】1
【分析】本题主要考查了正多边形与圆，等边三角形的性质与判定，首先求出 ，
进而证明 为等边三角形，问题即可解决．
【详解】解：如图，连接 、 ，
∵正六边形 是 的内接正六边形，
∴ ，且 ，
为等边三角形，
，即 的半径为1．
故答案为：1．
【变式3-1】如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于
cm．
【答案】2
【分析】根据正六边形的定义可求出其边长为 ，再根据其性质可知其相邻两条半径与
所夹边组成的三角形为等边三角形，即可求出答案．
【详解】解：根据题意可求出正六边形的边长 ，如图，根据正六边形的性质可知 ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，即正六边形的外接圆半径为2cm．
故答案为：2．
【点睛】本题考查正六边形的性质，等边三角形的性质与判定．熟练掌握正六边形的性质
是解题关键．
【变式3-2】如图， 是正方形 的外接圆，若正方形 的边长为 ，则正方形
的半径是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理求得 ，根据正多边形的外接圆的半径叫
做正多边形的半径，即可求解．
【详解】解：连接 ，
∵ 是正方形 的外接圆，正方形 的边长为 ，∴
∴正方形的半径是
故选：C．
【考点4正多边形与圆求面积】
【典例4】半径为2的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
本题考查了正多边形和圆，正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形，解题的关键
要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形，连接 、 ，作
于G，利用半径求得 即可求得面积.
【详解】如图：
连接 、 ，作 于 ，
∵等边三角形的边长是2，
∴高为 ，
∴等边三角形的面积为 ，
∵正六边形由6个等边三角形组成，
∴正六边形的面积为 .
【变式4-1】如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（ ）A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查正多边形的计算问题，解题的关键是正确的构造直角三角形 ，
然后求出 长，然后求出面积即可．
【详解】解：设正六边形的中心是O，一边是 ，则 ， ，
过O作 于 ，
如图，在 中， ， ，
∴ ， ，
∴ ．
这个正六边形的面积 ．
故选：C．
【变式4-2】如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于12，则正八边形的面积等于
（ ）A．12 B．20 C．24 D．12
【答案】A
【分析】作出正方形 ，在 中，设 ，则 ，
，正八边形的边长为 ，根据空白部分的面积是12可列方程求
出 的值，然后利用矩形和三角形的面积求出阴影部分的面积，从而可以求出正八边形的
面积．
【详解】解：作出正方形 ，如图所示，
在 中，设 ，则 ， ，
正八边形的边长为 ，
正方形 的边长为： ，
根据题意得： ，
解得： ，
则阴影部分的面积为： ，
正八边形的面积为： ，故选：A．
【点睛】本题考查了正多边形的计算，作出正方形，根据空表部分的面积，正确求出
的直角边 的长是关键．
【变式4-3】如图，正八边形 的半径为4，则它的面积是 ．
【答案】
【分析】本题考查正多边形与圆，连接 ，作 ，求出 的面积，乘以
8即可得出正八边形的面积．
【详解】解：连接 ，作 ，
∵正八边形 的半径为4，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴正八边形 的面积为： ；
故答案为： ．
【考点5 正多边形与圆求周长】【典例5】如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形 ，若对角线 的长约
为 ，则正六边形 的周长为 cm．
【答案】
【分析】本题考查了正多边形与圆的性质和等边三角形的判定与性质，连接 与 交于
点 ，证明 为等边三角形，从而 ，即可得到答案，正确把握
正六边形的中心角、半径与边长的关系是解题的关键．
【详解】如图，连接 与 交于点 ，
∵ 为正六边形，
∴ ， ， ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
即正六边形 的边长为 ，
∴正六边形 的周长为 ，
故答案为： ．
【变式5-1】六个带 角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为 ，求
中间正六边形的周长 ．【答案】60
【分析】利用 得到 ，再根据含 的直角三角形三边的关系得到
，接着证明 可得结论．
【详解】解：如图，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∴中间正六边形的周长 ，
故答案为： ．
【点睛】此题考查了含 角的直角三角形：在直角三角形中， 角所对的直角边等于斜
边的一半，也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出 ．
【变式5-2】如图是由边长为5的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影
部分的周长 ．【答案】
【分析】通过观察图形，阴影部分的周长等于6个半圆的圆弧长加上正六边形外接圆的周
长，以此进行计算即可．
【详解】∵正六边形边长为5，正六边形可以分成六个等边三角形，每个三角形的边长等
于5，
∴六个半圆弧的周长为 ，
∵圆的半径等于正六边形的边长，
∴外接圆的周长为 ，
∴阴影部分周长= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了圆和正多边形，得出阴影部分的周长等于6个半圆的圆弧长加上正六
边形外接圆的周长是解题的关键．
【变式5-3】一个正多边形的边长为2，每个内角为 ，则这个多边形的周长是 ．
【答案】16
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出
外角的度数，根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出
外角和中外角的个数，求得多边形的边数，即可得到结论．
【详解】解：∵正多边形的每个内角为 ，
∴每个外角是 ，
∵多边形的边数为： ，
则这个多边形是八边形，
∴这个多边形的周长 ，
故答案为：16．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角：n边形的外角和为 ．
【考点6 正多边形与直角坐标系综合】
【典例6】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面
图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M
均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为 ， ，则点M的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形等知识，设中间正六边形的中心为D，连
接 ．判断出 ， 的长，可得结论．
【详解】解：设中间正六边形的中心为D，连接 ．
∵点P为 ，图中是7个全等的正六边形，
∴ ，
∴ ，
根据题意知 垂直平分
∴ ，
∴ ，
又Q的坐标为 ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，∴
∴ ，即 ，
解得， ，
∴ ，
∵点M在第四象限，
∴点M的坐标为 ，
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，以正六边形 的中心 为原点，顶点
在 轴上，若半径是4，则顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】过点 作 ，如图所示，利用正多边形外角性质求出内角及线段 长，
再由含 直角三角形性质及勾股定理求出 长，数形结合即可得到 ．
【详解】解：过点 作 ，连接 ，如图所示：
在正六边形 中， ，
因为 ，所以 是等边三角形，
， ，
在 中， ，则 ，
则由勾股定理可得 ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查图形与坐标、涉及正多边形性质、含 直角三角形性质及勾股定理等
知识，熟练掌握正多边形性质、含 直角三角形性质，数形结合是解决问题的关键．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点
重合， 轴，交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2023
次旋转结束时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了正多边形的性质、坐标与图形的变化—旋转规律性问题，首先确定点
的坐标，得出每 次一个循环，计算出 ，由此即可得出答案，得出规律
是解此题的关键．
【详解】解： 正六边形 的边长为 ，中心与原点 重合， 轴，交 轴于
点 ，
， ， ，
，∴点 的坐标为 ，
第 次旋转结束时，点 旋转到第四象限，坐标为 ，
第 次旋转结束时，点 旋转到第三象限，坐标为 ，
第 次旋转结束时，点 旋转到第二象限，坐标为 ，
第 次旋转结束时，点 的坐标为 ，
每 次一个循环，
，
第2023次旋转结束时，点 的坐标为 ，
故选：C．
【变式6-3】如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴
正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点O顺时针旋转，每次
旋转 ，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】如图，连接 ， ，把 绕点 顺时针旋转 至 ，过点 作 轴
于点 ，过点 作 轴于点 ，经过第2026次旋转后，顶点D在 的位置，先求
出点 的坐标，再证明 即可．
【详解】解：连接 ， ，把 绕点 顺时针旋转 至 ，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
在正六边形 中， ， ，
，
，
将正六边形 绕坐标原点O顺时针旋转，每次旋转 ，
，即8次旋转一周，
余2，
，
故经过第2026次旋转后，顶点D在 的位置，
，
即 ，
故选：D．
【点睛】本题考查正多边形，规律型问题，坐标与图形变化﹣旋转等知识，解题的关键是
学会探究规律的方法，属于中考常考题型．一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（ ）
1
A．2 B．❑√3 C．1 D．
2
【答案】C
【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到
∠AOB=60°，得到△AOB为等边三角形，进而得到OA=AB=1，判断出△AOB为等边
三角形是解题的关键．
【详解】解： ∵ABCDEF是正六边形，
360°
∴∠AOB= =60°，
6
∵OA=OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴OA=AB=1，
故选：C．
2．下列关于正多边形说法正确的数量为（ ）
（1）正多边形一定是轴对称图形
（2）正多边形一定是中心对称图形
（3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等
（4）正多边形的外角和与其边数成正比
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题主要考查正多边形、中心对称图形、轴对称图形，根据正多边形的定义及性
质、中心对称图形的定义、轴对称图形的定义，即可求得答案．
【详解】（1）说法正确；
（2）正多边形不一定是中心对称图形，例如正五边形不是中心对称图形，说法错误；
360°
（3）正n边形的中心角与其一个外角的度数均为 ，说法正确；
n（4）正多边形的外角和为360°，与其边数不成正比，说法错误；
说法正确的为（1）（3）．
故选：B．
3．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．60° B．72° C．30° D．45°
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程
求得边数，即可求得中心角的度数．
【详解】解：根据题意，得(n−2)×180°=3×360°，
解得n=8，
360°
∴这个正n边形的中心角为 =45°，
8
故选：D．
4．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则∠AOE的度数是（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
【答案】B
【分析】本题考查正多边形和圆，正确记忆相关知识点是解题关键．根据正六边形的性质
可得，∠AOF=∠EOF=60°，从而求出∠AOE=120°．
【详解】解：连接OF，
∵ O ABCDEF
点 为正六边形 的中心，
360°
∴∠AOF=∠EOF= =60°，
6∴∠AOE=120°
故选：B
5．如图，正五边形ABCEF内接于⊙O，点D在⊙O上，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．72°
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角
互补是解决问题的关键．
先由正多边形内角和定理求出∠B，再根据圆内接四边形的性质即可求出∠D．
【详解】解：∵正五边形ABCEF内接于⊙O，
(5−2)×180°
∴∠B= =108°，
5
∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，
∴∠B+∠D=180°，
∴∠D=180°−∠B=180°−108°=72°，
故选：D．
6．正六边形的边长、边心距、半径之比为（ ）
A．1:1:❑√3 B．2:2:❑√3 C．❑√3:2:2 D．2:❑√3:2
【答案】D
【分析】本题考查了正多边形与圆，构造以半边长、半径和边心距形成的直角三角形是解
题的关键
经过中心作边的垂线，并连接中心与一个端点构造直角三角形，把正多边形的计算转化为
解直角三角形．
【详解】解：设正六边形的边长是AB=a，
则半径长也是OA=OB=a；
经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，
则∠BOC=30°，❑√3
在Rt△OBC中，根据三角函数得到OC＝a·cos30°＝ a，
2
❑√3
∴AB:OC:OA=a: a:a=2:❑√3:2
2
即边长、边心距与半径之比为2:❑√3:2，
故选：D．
7．如图，已知⊙O的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG的值是
（ ）
3
A．2❑√3 B． C．❑√2 D．3
2
【答案】A
【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定及性质，熟练掌握圆内接正多边形的相
关概念是解题的关键．连接OC，OD，可得△OCD是等边三角形，根据边心距即为等边
三角形的高用勾股定理求出OG．
【详解】解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，360°
∴∠COD= =60°，
6
∴△OCD是等边三角形，
由题意可知OG⊥CD，则OG垂直平分CD，
1
∴OC=OD=CD=4，CG= CD=2
2
∴OG=❑√OC2−CG2=2❑√3
故选：A．
8．如图，点A，B，C，D为正n边形的顶点，点O为正n边形的中心．若∠ADB=20°，
则n=（ ）
A．七 B．八 C．九 D．十
【答案】C
【分析】本题考查正多边形与圆和圆周角定理，根据圆周角定理可得正多边形的边AB所
对的圆心角∠AOB=40°，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关
系可得答案．
【详解】解：正多边形的外接圆为⊙O，
∵点O为正n边形的中心．∠ADB=20°，
∴∠AOB=2∠ADB=40°，
360°
∴n= =9，
40°
故选：C．
9．如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在同一个圆上．若AB=4，则该圆的半
径为（ ）A．6 B．8 C．2❑√13 D．4❑√3
【答案】C
【分析】此题考查的是正多边形和垂径定理，由正六边形的性质可得∠GEF=60°，
∠FGE=30°再根据勾股定理可得答案，正确作出图形及辅助线是解决此题的关键．
【详解】解：如图，设圆的圆心为点O，即点O为正六边形边的中点，连接BG，过E作
EF⊥BG于点F，
∴GO=2，
∵正六边形的每个内角都为120°，
∴∠GEF=60°，∠FGE=30°，
在Rt△EFG中，EG=4，
∴EF=2，
∴FG=❑√EG2−EF2=❑√42−22=2❑√3，
∴BG=4❑√3，
∴OB=❑√BG2+GO2=❑√(4❑√3) 2+22=2❑√13，
∴该圆的半径为2❑√13，
故选：C．
10．蜂巢的构造非常美丽、科学，蜂巢的一部分如图所示，由5个相同的正六边形组成，
称正六边形的顶点为格点，线段AB为正六边形的对角线，若格点C使得△ABC为等腰三
角形，则这样的点C共有（ ）A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定、正六边形的性质，根据等腰三角形的判定结合
画出图形即可得出结论．
【详解】解：如图所示，格点C使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C共有5个，
故选：B．
二、填空题
11．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，则∠AOB= °．
【答案】45
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，根据ABCDEFGH是正八边形即可求出
∠AOB．
【详解】解： ABCDEFGH是正八边形，
36∵0°
∠AOB= =45°，
8
∴
故答案为：45．
12．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数
是 °．【答案】18
【分析】根据正五边形的性质和圆周角定理即可得到结论．本题考查正多边形与圆，圆周
角定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【详解】解：∵AF是⊙O的直径，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，
∴ C´F=D´F，C´B=D´E，
180°×(5−2)
∴∠BAE= =108°
5
则∠BAE=∠BCD=108°，
⌢ ⌢
∴ BF=EF ，
1
∴∠BAF=∠FAE= ∠BAE=54°，
2
⌢ ⌢
∵ BF=BF
∴∠BDF=∠BAF=54°，
∵∠BCD=108°，BC=CD，
1
∴∠BDC= ×(180°−108°)=36°，
2
∠CDF=∠BDF−∠BDC=54°−36°=18°．
故答案为：18
13．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD、EC交于点G，已知半径为❑√3，则BG
的长为 ．【答案】2
【分析】本题考查了圆内接正六边形的性质，圆周角定理，勾股定理的应用．连接BO、
GO，则三角形EOG为直角三角形，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：连接BE、GO、OC，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴BE经过O点，且O是BE的中点，
(6−2)×180° 360°
E´D=B´C，∠EDC= =120°，∠BOC= =60°，
6 6
∴∠EBD=∠CEB，
∴EG=BG，
∴GO⊥BE，
∴∠EOG=∠BOG=90°，
∵∠BOC=60°，
1
∴∠BEC= ×60°=30°，
2
∵D´E=C´D=B´C，
∴∠DEC=∠CEB=∠EBD=∠BDC=30°，
∴∠EDG=120°−30°=90°，
1 1
设EG=BG=x，则OG= EG= x，
2 2∴ (1 x ) 2 +(❑√3) 2=x2 ，
2
解得：x=2或x=−2（舍去）．
故答案为：2．
14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为⊙O上不同于A、C的点，连接
PA、PC，则∠APC的度数为 ．
【答案】108°或72°
360°
【分析】本题考查正多边与圆．熟练掌握求中心角的度数的公式α= ，以及在同圆或
n
等圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，是解题的关键．连接OA,OC，分两种情况，
再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，即可得解．
【详解】解：如图，当点P在AB´C上时，连接OA,OC，PA,PC，正五边形ABCDE内接
于⊙O，
360°
则：AE´C所对应的圆心角度数为 ×3=216°，
5
1
∴∠APC= ×216°=108°；
2
如图，当点P在AE´C上时，连接OA,OC，PA,PC，正五边形ABCDE内接于⊙O，360°
则：AB´C所对应的圆心角度数为 ×2=144°，
5
1
∴∠APC= ×144°=72°；
2
故答案为：108°或72°．
15．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为 m2．
【答案】24❑√3
【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边
三角形的面积和计算即可．
【详解】解：把正六边形分成6个全等的正三角形，易得每个正三角形的边长为4m，高为
2❑√3m，
1
∴正六边形的面积为6× ×4×2❑√3=24❑√3(m2)，
2
故答案为：24❑√3.
三、解答题
16．正六边形ABCDEF的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．【答案】周长48，面积96❑√3
【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出△OAB为等边三角
形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法．
【详解】解：正六边形的周长=6AB=48；
连接OA,OB，过点O作OG⊥AB于点G，
∵该六边形为正六边形，
∴OA=OB,∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=8，∠OAB=60°，
❑√3 ❑√3
∵OG=OA⋅ = ×8=4❑√3，
2 2
1
正六边形的面积S=6× ×8×4❑√3=96❑√3．
2
17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
⏜
(1)若P是
CD
上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；
(2)已知△ADF的面积为2❑√3，求⊙O的面积．【答案】(1)60°
(2)4π
【分析】此题考查了圆内解正六边形问题，解题的关键是掌握圆内解正六边形的性质及弦
和圆周角之间的关系．
（1）在C´D取一点P，连接BP、AP、FP、FO，利用弦和圆周角的关系即可求出
∠BPF的值；
（2）证明△AOF是等边三角形，利用三角函数求出DF=❑√3AF，AD=2AF，再根据
△ADF的面积为2❑√3求出圆的半径，即可求出面积．
【详解】（1）如图所示，在C´D取一点P，连接BP、AP、FP、FO ，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
360°
∴AF=AB ，∠AOF= =60°，
6
1
∴∠APF= ∠AOF=30°，
2
∵AF=AB，
∴∠APB=∠APF=30°，
∴∠BPF=∠APB+∠APF=60°；
（2）∵∠AOF=60°，AO=FO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAF=60°；
∴DF=❑√3AF，AD=2AF，
1 ❑√3
∴S = AF×DF= AF2=2❑√3，
△ADF 2 2
∴AF=2，
即⊙O的半径为2．面积为：π×22=4π
18．摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全
等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均
匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线
l．
(1)∠NOP=________°
(2)若OA=16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．
【答案】(1)60
(2)①25；②OH=3❑√11；③MQ的长为定值，定值为10．
【分析】（1）将360°平均分6份即可；
（2）①当圆心M在AO的延长线上时，圆心M与l有最大距离，据此即可求解；
②设⊙H的挂点为K，过点H作HT⊥l于点T，先证四边形HTAO是矩形，再用勾股定理
解Rt△OHK即可；
③先证△NOP是等边三角形，再证MNPQ是平行四边形，可得MQ=NP=10．
360°
【详解】（1）解：∠NOP= =60°，
6
故答案为：60；
（2）解：①当圆心M在AO的延长线上时，圆心M与l有最大距离，
最大距离为AM=OM+OA=10−1+16=25，
故答案为：25；②如图，设⊙H的挂点为K，过点H作HT⊥l于点T，
∵挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴K，H，T在同一直线上，
∵圆心H到l的距离等于OA，
∴HT=OA，
∵HT⊥l，OA⊥l，
∴HT∥OA，
∴四边形HTAO是平行四边形，
又∵∠OAT=90°，
∴四边形HTAO是矩形，
∴∠OHT=90°，
∴∠OHK=90°，
∴OH=❑√OK2−H K2=❑√102−12=3❑√11；
③证明：如图所示，连接NP，MQ，
由（1）知∠NOP=60°，
又∵ON=OP=10，
∴△NOP是等边三角形，
∴NP=ON=OP=10，∵小圆的半径都为1，挂点和小圆圆心连线始终垂直于水平线l，
∴MN=PQ=1，MN∥PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
∴MQ=NP=10，
∴MQ的长为定值．
【点睛】本题考查圆的基本知识，矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三
角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是根据题意抽象出数学模型．
