文档内容
24.3 正多边形与圆
【考点1 求正多边形的中心角】
【考点2 正多边形与圆求线段长度】
【考点3 正多边形与圆求半径】
【考点4正多边形与圆求面积】
【考点5 正多边形与圆求周长】
【考点6 正多边形与直角坐标系综合】
知识点1 圆内正多边形的计算
（1）正三角形
在⊙ 中△ 是正三角形，有关计算在 中进行： ；
C
B C
O O
O
A E D B
B A A
D
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在 中进行， ：
（3）正六边形
同理，六边形的有关计算在 中进行， .
知识点2 与正多边形有关的概念
1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
知识点3 正多边形的对称性
1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的
中心。
2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
3、正多边形的画法
先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
【考点1 求正多边形的中心角】
【典例1】如图，点 是正五边形 的中心，连接 ， ， ，则 的度数为
（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】如图，正六边形 内接于 ，点G是 弧上的一点，则 的度
数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】如图，正五边形 内接于 ，P为 上一点，连接 ， ，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】圆内接正八边形的中心角为 ．
【考点2 正多边形与圆求边数】
【典例2】如图，点 、 、 、 为一个正多边形的顶点，点 为正多边形的中心，若
，则这个正多边形的边数为（ ）
A．5 B．10 C．12 D．20
【变式2-1】如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为 ．
【变式2-2】如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ．
【变式2-3】如图，一个正n边形纸片被撕掉了一部分，已知它的中心角是40°，那么n＝
．
【考点3 正多边形与圆求半径】
【典例3】如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若正六边形的边长为1，则 的半径是
．【变式3-1】如果一个正六边形的周长等于12cm，那么这个正六边形的半径等于
cm．
【变式3-2】如图， 是正方形 的外接圆，若正方形 的边长为 ，则正方形
的半径是（ ）
A．4 B．2 C． D．
【考点4正多边形与圆求面积】
【典例4】半径为2的圆的内接正六边形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】如图，正六边形螺帽的边长为2，则这个螺帽的面积是（ ）
A． B．6 C． D．
【变式4-2】如图是一个正八边形，图中空白部分的面积等于12，则正八边形的面积等于
（ ）A．12 B．20 C．24 D．12
【变式4-3】如图，正八边形 的半径为4，则它的面积是 ．
【考点5 正多边形与圆求周长】
【典例5】如图，一个蜜蜂的蜂巢房的横截面为正六边形 ，若对角线 的长约
为 ，则正六边形 的周长为 cm．
【变式5-1】六个带 角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为 ，求
中间正六边形的周长 ．
【变式5-2】如图是由边长为5的正六边形外接圆和以其各边为直径作半圆围成的，则阴影
部分的周长 ．
【变式5-3】一个正多边形的边长为2，每个内角为 ，则这个多边形的周长是 ．
【考点6 正多边形与直角坐标系综合】【典例6】蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面
图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M
均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为 ， ，则点M的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】如图，在平面直角坐标系中，以正六边形 的中心 为原点，顶点
在 轴上，若半径是4，则顶点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形 的中心与原点
重合， 轴，交 轴于点 ．将 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第2023
次旋转结束时，点 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【变式6-3】如图，边长为1的正六边形 放置于平面直角坐标系中，边AB在x轴
正半轴上，顶点F在y轴正半轴上，将正六边形 绕坐标原点O顺时针旋转，每次
旋转 ，那么经过第2026次旋转后，顶点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA=1，则AB的长为（ ）
1
A．2 B．❑√3 C．1 D．
2
2．下列关于正多边形说法正确的数量为（ ）
（1）正多边形一定是轴对称图形（2）正多边形一定是中心对称图形
（3）正多边形的中心角与其一个外角的度数相等
（4）正多边形的外角和与其边数成正比
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（ ）
A．60° B．72° C．30° D．45°
4．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，则∠AOE的度数是（ ）
A．100° B．120° C．130° D．150°
5．如图，正五边形ABCEF内接于⊙O，点D在⊙O上，则∠D的度数为（ ）
A．45° B．50° C．60° D．72°
6．正六边形的边长、边心距、半径之比为（ ）
A．1:1:❑√3 B．2:2:❑√3 C．❑√3:2:2 D．2:❑√3:2
7．如图，已知⊙O的半径为4，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG的值是
（ ）
3
A．2❑√3 B． C．❑√2 D．3
2
8．如图，点A，B，C，D为正n边形的顶点，点O为正n边形的中心．若∠ADB=20°，
则n=（ ）A．七 B．八 C．九 D．十
9．如图摆放的两个正六边形的顶点A，B，C，D在同一个圆上．若AB=4，则该圆的半
径为（ ）
A．6 B．8 C．2❑√13 D．4❑√3
10．蜂巢的构造非常美丽、科学，蜂巢的一部分如图所示，由5个相同的正六边形组成，
称正六边形的顶点为格点，线段AB为正六边形的对角线，若格点C使得△ABC为等腰三
角形，则这样的点C共有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题
11．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，连接OA、OB，则∠AOB= °．
12．如图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，AF是⊙O的直径，则∠CDF的度数
是 °．13．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD、EC交于点G，已知半径为❑√3，则BG
的长为 ．
14．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为⊙O上不同于A、C的点，连接
PA、PC，则∠APC的度数为 ．
15．如图，有一个亭子，它的地基是边长为4m的正六边形，则地基的面积为 m2．
三、解答题
16．正六边形ABCDEF的边长为8，求这个正六边形的周长和面积．17．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．
(1)若P是 ⏜ 上的动点，连接 ， ，求 的度数；
BP FP ∠BPF
CD
(2)已知△ADF的面积为2❑√3，求⊙O的面积．
18．摩天轮（如图1）是游乐场中受欢迎的游乐设施之一，它可以看作一个大圆和六个全
等的小圆组成（如图2），大圆绕着圆心O匀速旋转，小圆通过顶部挂点（如点P，N）均
匀分布在大圆圆周上，由于重力作用，挂点和小圆圆心连线（如PQ）始终垂直于水平线
l．(1)∠NOP=________°
(2)若OA=16，⊙O的半径为10，小圆的半径都为1：
①在旋转一周的过程中，圆心M与l的最大距离为________；
②当圆心H到l的距离等于OA时，求OH的长；
③求证：在旋转过程中，MQ的长为定值，并求出这个定值．
