文档内容
24.3 正多边形与圆 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二十四章“圆”24.3
正多边形与圆，内容包括：正多边形的相关概念和画正多边形.
2.内容解析
正多边形是生活中的常见图形，而且正多边形和圆关系密切，只要把圆分成若干相等的弧，就可以得
到这个圆的圆内接正多边形.本节课还需学生理解正多边形半径和中心、边心距、中心角的概念，进而掌
握利用等分圆周的方法画出任意正多边形，体现了正多边形与圆的关系.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：利用正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系进
行计算.
二、目标和目标解析
1.目标
1）了解正多边形和圆的有关概念.
2）理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3）利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多边形.
2.目标解析
达成目标1）的标志是：理解正多边形和圆的有关概念.
达成目标2）的标志是：理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，并会用其解
决有关问题．
达成目标3）的标志是：利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多
边形.
三、教学问题诊断分析
学习本节课时，由于正多边形的相关概念较多，学生容易和之前所学的其它概念相混淆，而且在利用
正多边形的相关知识进行计算的时候，学生作为初学者还不能很快地利用所学的知识将正多边形的问题转
换成直角三角形的问题进行计算.
本节课的教学难点是：利用所学的知识将正多边形的问题转换成直角三角形的问题进行计算.
四、教学过程设计
（一）探究新知
【问题一】观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？师生活动：教师提出问题，学生观察图形后得出上述多边形的特点：各边相等，各角相等.
【问题二】这些图形在日常生活中经常能看到的，你能找到类似图形吗？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．进而得出正多边形的概念：各边相等，各角也相
等的多边形叫做正多边形.
【设计意图】感受生活中正多边形，体会正多边形的美.
【问题三】下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，它有几
条对称轴；如是中心对称图形，指出它的对称中心．
【问题四】简述正多边形的对称性？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师引导与总结，最后得出以下结论：
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴.
2）只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
【设计意图】让学生理解正多边形的对称性.
师：正多边形和圆的关系非常密切，把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，
这个圆就是这个正多边形的外接圆.
【问题五】例 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
A
B E
O
C D
师生活动：教师板演，为学生后续学习利用等分圆周的方法画出任意正多边形打基础.
【问题六】什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？师生活动：教师利用多媒体展示正多边形的相关概念，生动形象地展示正多边形的中心、半径、边心
距、中心角，便于学生理解与记忆.
师：根据所学知识填空：
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．
师：你发现了什么？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师引导与总结，最后得出以下结论：
(n−2)×180° 3600
1）正n边形的一个内角的度数是 ；中心角是 ;
n n
2）正多边形的中心角与外角的大小关系是相等.
3600
【设计意图】让学生理解正n边形的中心角是 ，以及正多边形的中心角与外角的大小关系是相等.
n
（二）典例分析与针对训练
例1 有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.
师生活动：教师板演.通过例题，教师引导学生总结圆内接正多边形常见辅助线作法，让学生理解正
多边形的问题可以转换成直角三角形的问题进行计算.
【针对训练】
1.正八边形的中心角为______.
2.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．
3.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为_____.
4.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为_____________.
5．正六边形的边心距为❑√3，则该正六边形的边长是( )
A．❑√3 B．2 C．3 D．2❑√3
6．正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6❑√3 D．12❑√3
7．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六
边形纸片的边心距是（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．4
8．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
A．❑√3 B．3 C．2❑√3 D．6
【设计意图】考查正多边形的有关计算.
（三）探究新知
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
【问题一】已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识尝试画图．教师根据多媒体展示作图方法.
【问题二】如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？
师生活动：学生通过观察刚才多媒体展示的画图过程，尝试回答，得出可以通过以下两种方法画图：1）量角器等分圆 2）用尺规等分圆.
【问题三】简述这两种方法的操作步骤及优缺点？
师生活动：教师提出问题，学生根据所学知识回答．教学过程中鼓励学生积极发言，允许出现不同的
观点，最后由多媒体展示操作步骤及优缺点：
用量角器等分圆方法： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，
360°
从而得到正多边形.采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的
n
等弧”.
【优缺点】方法简便且可以画任意正多边形、误差小.
用尺规等分圆方法：先用尺规作图的方法等分圆，然后依次连接圆上各分点得到正多边形.
【优缺点】这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，同时在作图时较复杂，同样存在
作图的误差.
【设计意图】让学生掌握利用等分圆周的方法画出任意正多边形的方法.
（四）典例分析与针对训练
例2 尝试利用尺规画圆内接正四边形、正五边形、正八边形？
【针对训练】
1.尝试画出圆内接正六边形？
【设计意图】会利用尺规作图的方法画特殊正多边形.
（五）直击中考
1．（2023·上海中考真题）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 ．
2．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC,
OD，则∠BAE−∠COD=（ ）A．60° B．54° C．48° D．36°
3．（2023·浙江台州中考真题）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方
形的边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A．❑√2 B．2 C．4+2❑√2 D．4−2❑√2
4．（2023·陕西中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的
长为________________ ．
【设计意图】通过对最近几年的中考试题的训练，使学生提前感受到中考的内容，进一步了解考点.
（六）归纳小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.简述正多边形和圆的有关概念？
3.简述正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系？
4. 简述画正多边形的方法？
（七）布置作业
P108：习题24.3 第1题，第4题，第5题，第6题
