文档内容
24.3 正多边形与圆 导学案
学习目标
1 了解正多边形和圆的有关概念.
2 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系.
3 利用等分圆周的方法画出任意正多边形，会利用尺规作图的方法画特殊正多边形.
重点难点突破
★知识点1： 正多边形的概念：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
★知识点2： 正多边形的相关概念：
1）一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心.
2) 外接圆的半径叫作正多边形的半径.
3) 内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
4) 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
核心知识
一、正多边形的概念：
_________相等，_________也相等的多边形叫做正多边形.
二、 正多边形的相关概念：
1）一个正多边形的__________________的圆心叫作这个正多边形的中心.
2) _________的半径叫作正多边形的半径.
3) _________的半径叫作正多边形的边心距.
4) 正多边形每一条边所对的_________叫做正多边形的中心角.
思维导图新知探究
【问题一】观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
【问题二】这些图形在日常生活中经常能看到的，你能找到类似图形吗？
【问题三】下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，它有几条对
称轴；如是中心对称图形，指出它的对称中心．
【问题四】简述正多边形的对称性？
【问题五】例 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.A
B E
O
C D
【问题六】什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
【问题七】根据所学知识填空：
你发现了什么？
典例分析
例1 有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.
【针对训练】
1.正八边形的中心角为______.
2.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为_____．3.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为_____.
4.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形
的个数为_____________.
5．正六边形的边心距为❑√3，则该正六边形的边长是( )
A．❑√3 B．2 C．3 D．2❑√3
6．正六边形的边心距为3，则它的周长是（ ）
A．6 B．12 C．6❑√3 D．12❑√3
7．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形
纸片的边心距是（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．4
8．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ ）
A．❑√3 B．3 C．2❑√3 D．6
新知探究
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
【问题一】已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.【问题二】如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？
【问题三】简述这几种方法的操作步骤及优缺点？
典例分析
例2 尝试利用尺规画圆内接正四边形、正五边形、正八边形？
【针对训练】
1.尝试画出圆内接正六边形？
直击中考
1．（2023·上海中考真题）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 ．
2．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则
∠BAE−∠COD=（ ）
A．60° B．54° C．48° D．36°3．（2023·浙江台州中考真题）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的
边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ ）．
A．❑√2 B．2 C．4+2❑√2 D．4−2❑√2
4．（2023·陕西中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为
________________ ．
课堂小结
1.通过本节课的学习，你学会了哪些知识？
2.简述正多边形和圆的有关概念？
3.简述正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系？
4. 简述画正多边形的方法？
【参考答案】新知探究
【问题一】观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角相等
【问题二】这些图形在日常生活中经常能看到的，你能找到类似图形吗？
答案略
【问题三】下图中的正多边形，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？如是轴对称图形，它有几条对
称轴；如是中心对称图形，指出它的对称中心．
答案略
【问题四】简述正多边形的对称性？
1）正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴.
2）只有边数为偶数的正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形.
【问题五】例 如图，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE.
求证：五边形ABCDE是圆内接正五边形.
证明：∵ ⏜ = ⏜ = ⏜ = ⏜ = ⏜ A
AB BC CD DE AE
∴AB=BC=CD=CE=AE 而 ⏜ =3 ⏜ = ⏜ B E
BCE AB CDA
O
∴∠A=∠B 同理∠B=∠C=∠D=∠E
C D
又∵五边形ABCDE的顶点都在⊙O上，
∴五边形ABCDE是圆内接正五边形，
⊙O是五边形ABCDE的外接圆.
【问题六】什么是正多边形的中心、半径、边心距、中心角？
1）一个正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心.2) 外接圆的半径叫作正多边形的半径.
3) 内切圆的半径叫作正多边形的边心距.
4) 正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
【问题七】根据所学知识填空：
你发现了什么？
(n−2)×180° 3600
1）正n边形的一个内角的度数是 ；中心角是 ;
n n
2）正多边形的中心角与外角的大小关系是相等.
典例分析
例1 有一个亭子，它的地基半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.
360°
解： 连接OA，OB，根据题意，∠AOB= =60°.
6
∵OA=OB，∴△OAB为等边三角形，AB=OA＝4
正六边形的周长l=4×6=24 m.
过点O作OG⊥AB，垂足为点G.
在Rt△OAG中，OA＝4,AG＝2
∴OG=❑√OA2−AG2=❑√42−22=2❑√3.
1
正六边形的面积S= ×4×2❑√3×6=24❑√3 m2
2
【针对训练】
1.正八边形的中心角为45°.
2.一个正多边形的一个外角为30°，则它的内角和为1800°．
3.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为6.
4.如图，若干个全等的正五边形排成环状，图中所示的是前3个正五边形，要完成这一圆环还需正五边形的个数为7_.
5．正六边形的边心距为❑√3，则该正六边形的边长是( B )
A．❑√3 B．2 C．3 D．2❑√3
6．正六边形的边心距为3，则它的周长是（ D ）
A．6 B．12 C．6❑√3 D．12❑√3
7．如图，有一个直径为4cm的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形
纸片的边心距是（ B ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．4
8．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD，EC交于点G，已知半径为3，则EG的长为（ C ）
A．❑√3 B．3 C．2❑√3 D．6
新知探究
由于正多边形在生产、生活实际中有广泛的应用性，所以会画正多边形应是学生必备能力之一.
【问题一】已知⊙O的半径为2cm，求作圆的内接正三角形.【问题二】如何把一个圆分成相等的一些弧，并画出这个圆的内接正多边形？
1）量角器等分圆 2）用尺规等分圆.
【问题三】简述这几种方法的操作步骤及优缺点？
用量角器等分圆方法： 由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可以等分圆周，
360°
从而得到正多边形.采用“先用量角器画一个 的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的
n
等弧”.
【优缺点】方法简便且可以画任意正多边形、误差小.
用尺规等分圆方法：先用尺规作图的方法等分圆，然后依次连接圆上各分点得到正多边形.
【优缺点】这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，同时在作图时较复杂，同样存在
作图的误差.
典例分析
例2 尝试利用尺规画圆内接正四边形、正五边形、正八边形？
【针对训练】
1.尝试画出圆内接正六边形？直击中考
1．（2023·上海中考真题）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 1 8 ．
2．（2023·安徽·统考中考真题）如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O，连接OC,OD，则
∠BAE−∠COD=（ D ）
A．60° B．54° C．48° D．36°
3．（2023·浙江台州中考真题）如图，⊙O的圆心O与正方形的中心重合，已知⊙O的半径和正方形的
边长都为4，则圆上任意一点到正方形边上任意一点距离的最小值为（ D ）．
A．❑√2 B．2 C．4+2❑√2 D．4−2❑√2
4．（2023·陕西中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线AB、CD相交于点E．则线段BE的长为
2+❑√2．
