文档内容
24.3 正多边形与圆 分层作业
基础训练
1．如图， 与正五边形 的两边 ， 相切于 ， 两点，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解： ∵ 、 切 于点A、C，
∴ ， ，
∴正五边形 的每个内角的度数为： ，
∴ ，
故选：A．
2．如图，若一个正六边形的对角线 的长为10，则正六边形的周长（ ）
A．5 B．6 C．30 D．36
【详解】解：如图，连接 、 ，交于点 ，
则点 是正六边形 的中心，
∵六边形 是正六边形， ，
∴ ， ，∴ 是等边三角形，
，
∴正六边形 的周长为 ，
故选：C．
3．如图，正六边形 内接于⊙ ，若⊙ 的周长等于 ，则正六边形的边长为（ ）
A． B． C．3 D．
【详解】解：连接OB，OC，
∵⊙O的周长等于6π，
∴⊙O的半径为：3，
∵∠BOC 360°＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC＝OB＝3，
∴它的内接正六边形ABCDEF的边长为3，
故选：C．
4．如图，已知⊙O的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG为（ ）A．3 B． C． D．3
【详解】∵圆O的周长为 ，设圆的半径为R，
∴
∴R=3
连接OC和OD，则OC=OD=3
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD= ，
∴△OCD是等边三角形，OG垂直平分CD，
∴OC=OD=CD，
∴
故选 C
5．一个正多边形的半径与边长相等，则这个正多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【详解】解：如图，由题意得： ，
是等边三角形，
，
则这个正多边形的边数为 ，故选：C．
6．下列图形中，正多边形内接于半径相等的圆，其中正多边形周长最小的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：圆的内接正多边形边数越多，越接近圆的周长，正多边形周长越长，
故选：A．
7．有一个正n边形的中心角是36°，则n为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【详解】解： ，
故选：D．
8．如图，将正六边形 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合，若 点的坐标为 ，则点
的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】解：连接 ，设 交 轴于 ，如图所示，∵ 点的坐标为 ，
∴ ，
由正六边形 是轴对称图形知：
在 中， ， ．
， ，
，
故选：A．
9．第二十四届北京冬奥会入场式引导牌上的图案融入了中国结和雪花两种元素．如图，这个图案绕着它
的中心旋转角 后能够与它本身重合，则角 可以为 度．（写出一个即可）
【详解】解：这个图案对应着如图所示的一个正六边形，它的中心角 ，
，
角 可以为 或 或 或 或 ，
故答案为：60或120或180或240或300（写出一个即可）．
10．一个圆的半径为5，则该圆的内接正方形的边长为 ．
【详解】解：如图所示： 的半径为5，∵四边形 是正方形， ，
∴ 是 的直径，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
解得： ，
即⊙O的内接正方形的边长等于 ．
故答案为 ．
11．如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，连接AC，若正六边形的边长为2，则点O到AC的距离OG的长
为 ．
【详解】解：连接OA、OC、OD，如图所示：
∵点O为正六边形ABCDEF的中心，边长为2，
∴∠B＝∠BCD＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，OC＝OD，∠COD 60°，AB＝BC＝CD＝2，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD＝2，∠OCD＝60°，
∴∠OCG＝120°﹣30°﹣60°＝30°，
∵OG⊥AC，
∴OG OC＝1，
即点O到AC的距离OG的长为1，故答案为：1．
12．斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣
（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆
与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为 尺．
【详解】解：如图，
∵四边形CDEF为正方形，
∴∠D=90°，CD=DE，
∴CE是直径，∠ECD=45°，
根据题意得：AB=2.5， ，
∴ ，∴ ，
即此斛底面的正方形的边长为 尺．
故答案为：
13．如图，正六边形 内接于 ，求 的度数．
【详解】解： 正六边形 内接于 ，
是直径，
14．如图，已知⊙O内接正六边形ABCDEF的边长为6cm，求这个正六边形的边心距r、面积S．
6 6
【详解】解：如下图所示，连接OB，设OG⊥CB于G，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴∠COB＝60°，OC＝OB，∴△COB是等边三角形，
∴OC＝OB＝6cm，
即⊙O的半径R＝6cm，
∵OC＝OB＝6，OG⊥CB，
∴ ，
在Rt△COG中， （cm），
∴ （cm2）．
能力提升
1．设边长为 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 、 、 ，则下列结论不正确的
是（ ）
A． B． C． D．
【详解】
如图所示,标上各点，AO为R，OB为r，AB为h，
从图象可以得出AB=AO+OB，即 ，A正确；
∵三角形为等边三角形，
∴∠CAO=30°，根据垂径定理可知∠ACO=90°，
∴AO=2OC，即R=2r，B正确；
在Rt△ACO中，利用勾股定理可得：AO2=AC2+OC2，即 ，
由B中关系可得： ，解得 ，则 ，
所以C错误，D正确；
故选：C．
2．连接正八边形的三个顶点，得到如图所示的图形，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等 B．连接HD，则HD平分∠CHE
C．整个图形不是中心对称图形 D． 是等边三角形
【详解】解：A．∵ 根据正八边形的性质， 四边形ABCH与四边形EFGH能够完全重合，即四边形ABCH与
四边形EFGH全等
∴四边形ABCH与四边形EFGH的周长相等，
故选项正确，不符合题意；
B．连接DH，如图1，
∵ 正八边形是轴对称图形，直线HD是对称轴，
∴ HD平分∠CHE
故选项正确，不符合题意；
C．整个图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确，不符合题意；D．∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴ B＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG＝GH，CH＝EH，
设正八边形的中心是O，连接EO、DH，如图2，
∠DOE＝
∵OE＝OH
∴∠OEH＝∠OHE＝ ∠DOE＝22.5°
∴∠CHE＝2∠OHE＝45°
∴∠HCE＝∠HEC＝ （180°－∠CHE）＝67.5°
∴ 不是等边三角形，
故选项错误，符合题意．
故选：D．
3．某厂家要设计一个装彩铅的纸盒，已知每支笔形状、大小相同，底面均为正六边形，六边形边长为
1cm. 目前厂家提供了圆形和等边三角形两种作为底面的设计方案，我们以6支彩铅为例，可以设计如图的
两种收纳方案：
（1）如果要装6支彩铅，在以上两种方案里，你认为更小的底面积是 cm.
（2）如果你要装12只彩铅，要求相邻彩铅拼接无空隙，请设计一种最佳的布局，并使用圆形来设计底面，
则底面半径的最小值为 cm.
【详解】解：（1）如图1，在正六边形中，过点B作BM⊥OA，过C作CN⊥OA，∵正六边形的边长为1，∠ABC=∠BCO= ，
∴∠BAM= ，
∴∠ABM=30°，∠MBC=90°，
∴AM= = ，四边形BMNC是矩形，
∴MN=BC=1，
同理ON= ，
∴OA=AM+MN+ON=2，
如图2中，圆的半径为3，
∴底面积为9π（ ）；
如图3中，连接OA，OD，OB∵OD=2cm，∠OAD=30°，∠ADO=90°
∴OA=OB=2OD=4cm，
∴ (cm)，
∴等边三角形的边长AC=4 cm，
∴底面积= （ ）<9π（ ）
∴等边三角形作为底面积时，面积较小，底面积为 ；
（2）如图4中，设计方案如图4所示，过点G作GH⊥OE于H，
在Rt△GHE中，∠HGE= ，GE=1cm
∴GH= cm ，HE= （cm）
∴OE=4 （cm）
在Rt△OET中，ET=1cm，OE= cm，
∴ （cm）
∴底面半径的最小值为 cm，
故答案为：
拔高拓展1．如图1所示的正六边形（记为“图形 ”）边长为6，将每条边三等分，沿每个顶点相邻的两个等分点
连线剪下6个小三角形（如图1中6个阴影部分的三角形），把剪下的这6个小三角形拼接成图2外轮廓
所示的正六边形（记为“图形 ”），作出图形 的内切圆⊙O，如图3，得到如下结论：
①图1中剩余的多边形（即空白部分）为正十二边形；
②把图2中空白部分记作“图形 ”，则图形 的周长之比为3：2： ；
③图3中正六边形的边上任意一点到⊙O上任意一点的最大距离为4+ ．
以上结论正确的是（ ）
A．②③ B．①③ C．② D．①
【详解】解：标注字母如图，过点 作 于
， 为 的三等分点， 为 是三等分点
，
∵正六边形的每一个内角为
∴ 中， ，在 中
，
，
①不正确，
图形 ，边长为6，所以图形 的周长为
如图，依题意可得
则 ，依题意， 是正六边形，
所以图形 的周长为
把图2中空白部分记作“图形 ”，由①可得 ，
是正六边形，
所以图形 的周长为
∴图形 的周长之比为 =3：2： ；故②正确；
如图，过点 作 于点 ， 交内切圆于点 ，则 即为所求，
根据正六边形的性质可得 是等边三角形，
，
，
，
，
故③正确，
故选A．
2．如图M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDEFG…的
边AB、BC上的点，且BM＝CN，连接OM、ON
（1）求图1中∠MON的度数
（2）图2中∠MON的度数是 ，图3中∠MON的度数是
（3）试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系是____【详解】（1）如图，连接OB、OC，则 ，
是 内接正三角形，
中心角 ，
∵点O是 内接正三角形ABC的内心，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）如图1，连接OB、OC，
四边形ABCD是 内接正方形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ；
如图2，连接OB、OC，
五边形ABCDE是 内接正五边形，
中心角 ，
同（1）的方法可证： ，
故答案为： ， ；（3）由上可知， 的度数与正三角形边数的关系是 ，
的度数与正方形边数的关系是 ，
的度数与正五边形边数的关系是 ，
归纳类推得： 的度数与正n边形边数n的关系是 ，
故答案为： ．
