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专题11.14 多边形及其内角和（分层练习）
一、单选题
1．一个四边形切掉一个角后变成（ ）
A．四边形 B．五边形
C．四边形或五边形 D．三角形或四边形或五边形
2．经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成3个三角形，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形
3．十边形的内角和为（ ）
A．1800° B．1620° C．1440° D．1260°
4．已知正多边形的一个外角等于 ，则该正多边形的边数为（ ）
A．十 B．九 C．八 D．七
5．如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
6．有下列说法：
①三角形的一个外角等于这个三角形的两个内角的和；
②在 中，若 ，则 是直角三角形；
③由三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；
④各边都相等的多边形是正多边形．
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，正方形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，则正十边形的对角
线的条数为（ ）
A．27 B．35 C．40 D．44
8．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，这个多边形是（ ）A．十边形 B．九边形 C．八边形 D．七边形
9．一个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
10．下面边长相等的正多边形能用来作平面镶嵌的是（ ）
A．3个等边三角形和2个正方形 B．2个正五边形和2个等边三角形
C．1个正方形和2个正六边形 D．1个正六边形和5个等边三角形
11．只使用下列正多边形中的一种铺满地面，这种正多边形可以是（ ）
A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形
12．如图，正六边形 和正五边形 的边 重合， 的延长线与 交于点 ，则
的度数是（ ）
A． B． C． D．
13．如图， 是五边形 的三个外角，边 的延长线相交于点F，如果 ，
那么 的度数为（ ）
A． B． C． D．
14．正五边形 按如图所示的方式叠放在正六边形 上， 边互相重合，延长 交
于点 ，则 的度数为（ ）A．141 B．144 C．147 D．150
15．如图1，作 平分线的反向延长线 ，现要分别以 为内角作正多边
形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以 为内角，可
作出一个边长为1的正方形，此时 ，而 是 (多边形外角和)的 ，这样就恰好可作
出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案．如图2所示，图2中的图案外轮廓
周长是14．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（ ）
A．14 B．16 C．19 D．21
二、填空题
16．若n边形的每个内角都是 ，则边数n为___．
17．已知正六边形的周长是 ，则这个多边形的边长等于__________ ．
18．若从一个 边形的一个顶点出发，最多可以引 条对角线，则 ______ ．
19．如果从多边形的一个顶点出发作它的对角线，能将多边形分成10个三角形，那么这个多边形是
______边形．
20．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，则∠D
＝______．21．从十六边形的一个顶点出发的所有对角线，把这个十六边形分成__________个三角形．
22．北京时间11月21日0时，2022国际足联卡塔尔世界杯迎来揭幕战吸引了亿万球迷的观看．同学
们知道吗？如图，此足球是由32块黑（正五边形）白（正六边形）皮子缝制而成，其中黑色皮子共有
_______块．
23．如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线 上，且只有一个公共顶点A，则 的大
小为___________度．
24．如图，点A，B，C，D是一个外角为 的正多边形的顶点，若O为正多边形的中心，则
的度数为____．
25．生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块
正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 _____．
26．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，E，F是网格线的交点，则 的面积与
的面积比为__________．27．正六边形的边长为4cm，它的半径等于_____cm．
28．过 边形的一个顶点有7条对角线， 边形没有对角线，过 边形一个顶点的对角线条数是边数
的 ，则 ______________________.
29．记凸 边形对角线条数为 ，若 ，则 ______， ______， ______.
30．如图，则 的度数为______．
三、解答题
31．已知一个n边形的每一个内角都等于150°．
（1）求n；
（2）求这个n边形的内角和；
（3）从这个n边形的一个顶点出发，可以画出几条对角线？32．看图回答问题：
(1)内角和为2014°，小明为什么说不可能？
(2)小华求的是几边形的内角和？
33．如图，求 的度数.34．使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下空隙，又不互相重叠（在几何里面
叫做平面镶嵌）．平面镶嵌显然与正多边形的内角大小有关．当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加
在一起恰好组成一个周角（ ）时，就拼成了一个平面图形．
(1)请填写下表
正多边形的边数 3 4 5 6 … n
正多边形每个内角的度数 …
(2)如果单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的是________
A．正三角形 B．正六边形 C．正方形 D．正五边
(3)在镶嵌平面时，围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角，请求x和y的
值
35．如图1，小红沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步，小红每从一条小路转到下一条
小路时，跑步的方向改变一定的角度．
(1)该五边形广场 的内角和是 度；
(2)她跑完一圈，跑步方向改变的角度的和是 度；
(3)如图2，小红参加“全民健身，共筑健康中国”活动，从点A起跑，绕湖周围的小路跑至终点E，
若 ，且 ，求行程中小红身体转过的角度的和（图 的值）．36．动手操作，探究：
探究一：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
(1)已知：如图，在 中， 分别平分 和 ，试探究 与 的数量关系；
(2)探究二：若将 改为任意四边形 呢？已知：如图，在四边形 中， 分别平
分 和 ，试利用上述结论探究 与 的数量关系；（写出说理过程）
(3)探究三：若将上题中的四边形 改为六边形 （图（3））呢？请直接写出 与
的数量关系： .参考答案
1．D
【分析】一个四边形截去一个角是指可以截去两条边，而新增一条边，得到三角形；也可以截去一条
边，而新增一条边，得到四边形；也可以直接新增一条边，变为五边形．可动手画一画，具体操作一下．
解：如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形．
故选D．
【点拨】此类问题，动手画一画准确性高，注意不要漏掉情况．
2．C
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形，依此可求出n
的值，得到答案．
解：设这个多边形是n边形，
由题意得： ，
解得： ，
即这个多边形是五边形，
故选C．
【点拨】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，
需利用方程思想，解方程求n．
3．C
【分析】根据多边形内角和公式，代值求解即可得到答案．
解：根据多边形内角和公式 ，当 时，
十边形的内角和为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查多边形内角和公式，熟记多边形内角和公式 是解决问题的关键．
4．B
【分析】运用多边形外角和为360 求解．解：边数 ，所以边数为九
故选B．
【点拨】本题考查多边形的外角和为360 ；熟练掌握多边形外角和为定值是解题的关键．
5．B
【分析】根据多边形的内角和的计算公式与外角和是 列出方程，解方程即可．
解：设这个多边形边数是n，根据题意得：
，
解得： ，
即这个多边形是四边形，故B正确．
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是多边形的内角和与外角和，一元一次方程的应用，掌握n边形的内角和为
、外角和是 是解题的关键．
6．A
【分析】外角的性质判断①，三角形的内角和，判断②，三角形的定义判断③，正多边形的定义判断
④．
解：三角形的一个外角等于这个三角形与它不相邻的两个内角的和，故①错误；
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是直角三角形；故②正确；
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；故③错误；
各边和各个内角都相等的多边形是正方形；故④错误；
综上：正确的个数为1个；
故选A．
【点拨】本题考查三角形的定义，内角和定理，外角的性质，正多边形的定义．熟练掌握相关定义和
性质，是解题的关键．
7．B
【分析】由多边形的对角线的数量为 ，从而可得答案.解：∵正方形有2条对角线，正五边形有5条对角线，正六边形有9条对角线，
∴正 边形有 条对角线，
当 时，对角线有 （条）对角线，
故选B
【点拨】本题考查的是正多边形的对角线的数量问题，熟记多边形的对角线的数量公式是解本题的关
键.
8．B
【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形，依此可得n的值．
解：设这个多边形是n边形，
由题意得， ，
解得： ，
即这个多边形是九边形，
故选：B
【点拨】本题考查了n边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形，解题的
关键是掌握n边形从一个顶点出发可引出 条对角线，可组成 个三角形的规律．
9．A
【分析】设多边形的边数是n，则内角和为 ，外角和为 ，根据内角和与外角和的倍数
关系方程求解即可．
解：设多边形的边数是n，则
，
整理得： ，
解得： ．
故选：A．
【点拨】本题考查多边形的内角和与外角和，熟记内角和为 和外角和为 是解答的关
键．10．A
【分析】分别求出各个正多边形每个内角的度数，再结合镶嵌的条件，即可作出判断．
解：A、等边三角形的每个内角为 ，正方形的每个内角为 ，
∵ ，
∴能用来作平面镶嵌，符合题意；
B、正五边形的每个内角为 ，等边三角形的每个内角为 ，
∵ ，
∴不能用来作平面镶嵌；不符合题意；
C、正方形的每个内角为 ，正六边形的每个内角为 ，
∵ ，
∴不能用来作平面镶嵌；不符合题意；
D、等边三角形的每个内角为 ，正六边形的每个内角为 ，
∵ ，
∴不能用来作平面镶嵌；不符合题意；
故选A．
【点拨】本题考查正多边形的镶嵌问题．熟练掌握平面镶嵌的条件，正多边形的每个内角的度数的计
算，是解题的关键．
11．B
【分析】判断内角的整数倍能否为 ，如果能，可以铺满地面，如果不能，不可以铺满地面．
解：正六边形的每个内角为
∵只使用正六边形可以铺满地面．
∴故选：B
【点拨】本题考查正多边形能否镶嵌，关键是判断内角的整数倍能否为 ．
12．B
【分析】先根据多边形的内角和公式分别求得 ， ，进而求得 ，再根
据正五边形的性质可得 ，根据三角形内角和定理求得 ，根据邻补角的性质求得 ，最后利用四边形内角和为 ，即可求得 的度数．
解：如图，
六边形 是正六边形，五边形 是正五边形，
， ，
，
，
，
，
，
故选：B．
【点拨】本题考查了正多边形的内角问题，角的和差计算，正多边形的性质，解题的关键是掌握正多
边形的每一个内角度数为 ．
13．D
【分析】利用多边形的外角和为360°和三角形内角和定理即可求解．
解：∵多边形的外角和为360°，
∴
∴
∵
∴
∴故选：D．
【点拨】本题考查了多边形的外角和和三角形的内角和定理．任意多边形的外角和等于360°．
14．B
【分析】如图，延长 交 于 ，正六边形的一个内角和外角分别为 、 ，正五边形的一
个内角和外角分别为 、 ，则由题意知 ， ，
，在五边形 中， ，
则 ，在五边形 中，根据 ，
计算求解即可．
解：如图，延长 交 于 ，
∵正五边形的内角和为 ，正六边形的内角和为 ，多边形的外角和为 ，
∴正六边形的一个内角和外角分别为 、 ，正五边形的一个内角和外角分别为 、 ，
∴ ， ， ，
在五边形 中， ，
∴ ，
在五边形 中， ，
故选：B．
【点拨】本题考查了五边形、六边形的内角和、外角和．解题的关键在于添加辅助线构造五边形利用
内角和求解．
15．D
【分析】设 ，先表示中间正多边形的边数：外角为 ，根据外角和可得边数为
，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为 ，计算其周长可得结论．
解：设 ，
∴以 为内角的正多边形的边数为： ，以 为内角的正多边形的边数为： ，
∴图案外轮廓周长是：
，
根据题意可知： 的值只能为 ， ， ， ，
当x越小时，周长越大，
∴当 时，周长最大，此时图案定为会标，
则则会标的外轮廓周长是： ，故D正确．
故选：D．
【点拨】本题主要考查了阅读理解问题和正多边形的边数与内角、外角的关系，明确正多边形的各内
角相等，各外角相等，且外角和为 是关键，并利用数形结合的思想解决问题．
16．5
【分析】根据多边形的内角和公式 列方程求解即可．
解：由题意得，
解得： ．
故答案为：5．
【点拨】本题考查了多边形的内角和，熟记内角和公式并列出方程是解题的关键．
17．5
【分析】由正六边形的周长和性质即可得出结果．
解：∵一个正六边形的周长是30cm，
∴正六边形的边长=30÷6=5（cm）；
故答案为：5．
【点拨】本题考查了正六边形的性质、正六边形的周长；熟练掌握正六边形的边长相等是解题的关键．
18．12
【分析】可根据 边形从一个顶点引出的对角线与边的关系： ，列方程求解．
解：设多边形有 条边，
则 ，解得 ．
故多边形的边数为 ，即它是十二边形．
故答案为： ．【点拨】本题考查了多边形的对角线．解题的关键是明确多边形有 条边，则经过多边形的一个顶点
所有的对角线有 条，经过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成 个三角形．
19．十二
【分析】根据从n边形的一个顶点出发作它的对角线，能将多边形分成 个三角形，列方程即可
解答．
解：从n边形的一个顶点出发作它的对角线，能将多边形分成 个三角形，
由题意得， ，
解得 ．
故答案为：十二
【点拨】此题考查了多边形，熟练掌握“从n边形的一个顶点出发作它的对角线，能将多边形分成
个三角形”是解题的关键．
20．110°
【分析】根据多边形的外角和即可求得∠D的外角，再根据一个内角与于它相邻的外角的关系即可求
解．
解：如图所示：
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝290°，
∴∠5=360°-290°=70°，
∴∠CDE=180°-70°=110°，
故答案为：110°．
【点拨】本题考查了多边形的外角和的性质，熟练掌握多边形的外角和等于360°及一个内角与于它相
邻的外角互补关系是解题的关键．21． /十四
【分析】从n边形的一个顶点出发有 条对角线，共分成了 个三角形．
解：当 时， ，
即可以把这个十六边形分成了 个三角形，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多边形的对角线，熟记相关公式是解题的关键，如果记不住公式，可以从四边形、
五边形开始，画图探索规律．
22．12
【分析】设足球上黑皮有x块，则白皮为 块，可得五边形的边数共有 条，六边形边数有
条．由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，可得白皮边数是黑皮边
数的2倍，由此列出方程，即可求解．
解：设足球上黑皮有x块，则白皮为 块，
∴五边形的边数共有 条，六边形边数有 条．
由图形关系得：每个正六边形白皮的周围有3个黑皮边，
∴白皮的边数为黑皮的2倍，
∴
解得： ，
答：白皮20块，黑皮12块．
故答案为：12
【点拨】本题主要考查了一元一次方程的应用，明确题意，准确得到白皮的边数为黑皮的2倍是解题
的关键．
23．18
【分析】利用正多边形的性质求出 的度数，即可解决问题．
解：正五边形的每个内角是 ，正方形的每个内角是故答案为：18．
【点拨】本题主要考查正多边形，正方形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
24． /120度
【分析】连接 、 ，利用任意凸多边形的外角和均为 ，正多边形的每个外角相等即可求出
多边形的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
解：连接 、 ，
正多边形的每个外角相等，且其和为 ，
据此可得多边形的边数为： ，
，
．
故答案为：
【点拨】本题主要考查了正多边形的外角以及内角和定理，熟记多边形外角和等于360°是解答本题
的关键．
25．12
【分析】根据题意求出 ，再求出该正多边形的一个外角，即可求出n的值．
解：∵是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成，
∴ ，
∴该正多边形的一个外角 ，
∴ ，
故答案为：12．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个内角
都相等．
26．1∶4
【分析】分别求出 ABC的面积和 ABD的面积，即可求解．
△ △
解： ，
，
∴ 的面积与 的面积比为1∶4．
故答案为1∶4．
【点拨】本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是解本题的关键．
27．4
【分析】根据题意画出图形，由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OA的长即可．
解：∵此多边形为正六边形，
∴∠AOB＝ ＝60°；
∵OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝4cm，
故答案为：4
【点拨】此题主要考查正多边形的计算问题，关键是由正六边形的特点求出∠AOB的度数及OA的长．
28．13
【分析】根据过n边形一个顶点有n-3条对角线进行解答即可．解：∵过十边形的一个顶点有7条对角线，∴m=10，
∵三角形没有对角线，∴n=3，
又∵k-3= k，解得，k=6，
∴m-n+k=13，
故答案为13．
【点拨】本题考查的是多边形的对角线的求法，掌握过n边形一个顶点有n-3条对角线是解题的关键．
29． 9 6051
【分析】根据对角线条数的数据变化规律进行总结，然后填写．
解：A 有9条对角线，
6
n边形有 条对角线，
【点拨】本题主要考查了多边形对角线的条数的公式总结，熟记公式对今后的解题大有帮助．
30．
【分析】根据三角形外角的性质可得 的关系， 的关系，然后根据多边
形的内角和公式求解即可．
解：如图：
∵ ， ，
∴ ．
故答案为 ．
【点拨】本题考查的是三角形外角的性质、四边形的内角和等知识点，掌握三角形外角等于与其不相
邻的两内角之和是解答本题的关键．
31．（1）12；（2）1800°；（3）9【分析】（1）首先求出外角度数，再用360°除以外角度数可得答案；
（2）利用内角度数150°×内角的个数即可；
（3）根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得答案．
解：（1）∵每一个内角都等于150°，
∴每一个外角都等于180°﹣150°=30°，
∴边数n=360°÷30°=12；
（2）内角和：12×150°=1800°；
（3）从一个顶点出发可做对角线的条数：12﹣3=9．
【点拨】此题主要考查了多边形内和、外角和,对角线，关键是掌握各知识点的计算公式．
32．(1)理由见详解；(2)
【分析】（1）根据多边形的内角和定理即可求解；
（2）根据题意设多边形的边数为 ，根据多边形的内角和定理即可求解．
（1）解：∵设多边形的边数为 ，则 边形的内角和是 ，
∴内角和一定是 度的倍数，
∵ ，
∴内角和为 不可能．
（2）解：设多边形的边数为 ，
∴ ，解得， ，
∴多边形的边数是 ，
∴小华求的是十三边形的内角和．
【点拨】本题主要考查多边形的内角和定理，掌握多边形的内角和定理是解题的关键．
33．540°．
【分析】首先根据三角形的外角的性质，可得∠10=∠1+∠9，∠11=∠1+∠8，所以
∠10+∠11=∠1+∠9+∠1+∠8=180°+∠1；然后求出（∠2+∠3+∠4+∠11）+（∠5+∠6+∠7+∠10）的度数，再用
所得的结果减去180°，求出∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是多少即可．
解：如图1，，
∵∠10=∠1+∠9，∠11=∠1+∠8，
∴∠10+∠11=∠1+∠9+∠1+∠8=180°+∠1，
∴（∠2+∠3+∠4+∠11）+（∠5+∠6+∠7+∠10）
=360°+360°
=720°
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=720°-180°=540°，
即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数是540°．
故答案为540°．
【点拨】本题考查多边形的内角和外角，三角形的内角和定理，熟练掌握内角和定理是解题的关键．
34．(1)填表见分析；(2)D；(3) ，
【分析】（1）根据正多边形的内角和公式及正多边形的每个内角都相等依次求出结果即可；
（2）根据每个多边形内角的度数进行判断即可；
（3）根据x个正方形和y个正八边形的内角和为 列出二元一次方程，然后再根据x、y为正整数
求出结果即可．
（1）解： ，则正三角形的每个内角为 ；
，则正四边形的每个内角为 ；
，则正五边形的每个内角为 ；
，则正六边形的每个内角为 ；
则正n边形的每个内角为 ；
填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 … n正多边形每个内角的度数 …
（2）解：A．∵ ，∴正三角形能进行平面镶嵌，故A不符合题意；
B．∵ ，∴正六边形能进行平面镶嵌，故B不符合题意；
C．∵ ，∴正方形能进行平面镶嵌，故C不符合题意；
D．∵ ，∴正五边形不能进行平面镶嵌，故D符合题意；
故选：D．
（3）解：根据题意，可得方程：
，
整理得： ，
∵x、y为正整数，
∴ ，
【点拨】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同
一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成 ，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
35．(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）根据五边形内角和求解即可；
（2）跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和；
（3）延长NE交AB于点F，再在五边形 中计算即可．
解：（1）五边形广场 的内角和 ，
故答案为： ；
（2）∵跑步方向改变的角度的和即为五边形的外角和，
∴跑步方向改变的角度的和是 度，
故答案为： ；
（3）延长NE交AB于点F∵
∴
∵
∴
∵在五边形 中
∴
【点拨】考查了多边形内角与外角，关键是熟练掌握多边形的外角和等于360度的知识点．
36．(1) ；(2) ；(3)
【分析】（1）根据角平分线的定义得到 ，再根据三角形内角和得
到 与 的数量关系；
（2）根据角平分线的定义得到 ，再根据四边形内角和得到 与
的数量关系；
（3）先求出六边形的内角和，根据角平分线的定义得到 ，再根据
三角形的内角和及六边形内角和求出 与 的数量关系．
（1）解：∵ 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
，，
，
＝ ；
（2）∵ 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
；
（3）六边形 的内角和为： ，
∵ 分别平分 和 ，
∴ ，
∴ ，
，
，
，
，
即 ，故答案为： ．
【点拨】此题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理和定理，多边形内角和公式，正确理解角平
分线的定义及内角和解决问题是解题的关键．
