文档内容
专题21.1 四边形及多边形
（第二十一章 四边形）
【人教版八下 新教材】
●
知识梳理 技巧点拨............................................................................................................................................2
知识点一： 四边形及其内角和.............................................................................................................................................2
知识点二：四边形的内角与外角性质..................................................................................................................................2
知识点三：多边形及其内角和................................................................................................................................................2
重点难点 考点讲练............................................................................................................................................3
考点讲练一 四边形的不稳定性.............................................................................................................................................3
考点讲练二 多边形的概念与分类.........................................................................................................................................3
考点讲练三 多边形截角后的边数问题...............................................................................................................................4
考点讲练四 多边形的周长.......................................................................................................................................................4
考点讲练五 网格中多边形面积比较....................................................................................................................................5
考点讲练六 多边形对角线的条数问题...............................................................................................................................6
考点讲练七 对角线分成的三角形个数问题......................................................................................................................6
考点讲练八 多边形内角和问题.............................................................................................................................................8
考点讲练九 正多边形的内角问题.........................................................................................................................................8
考点讲练十 多（少）算一个角问题....................................................................................................................................9
考点讲练十一 多边形截角后的内角和问题....................................................................................................................10
考点讲练十二 复杂图形的内角和......................................................................................................................................11
考点讲练十三 正多边形的外角问题..................................................................................................................................11
考点讲练十四 多边形外角和的实际应用........................................................................................................................12
考点讲练十五 多边形内角和与外角和综合....................................................................................................................13
考点讲练十六 平面镶嵌.........................................................................................................................................................14
中考真题 实战演练..........................................................................................................................................15
难度分层 闯关训练..........................................................................................................................................17
基础夯实 能力提升..................................................................................................................................................................17
创新拓展 拔尖冲刺..................................................................................................................................................................19知识点一： 四边形及其内角和
四边形的定义：
在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形，组成四边形的各条线段叫
作四边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作四边形的顶点，如下图，画出四边形ABCD的任何一条边
（例如CD）所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫作凸四边形.连接四边形不相
邻的两个顶点的线段，叫作四边形的对角线.与三角形类似，四边形相邻两边组成的角叫作四边形的内
角，简称四边形的角；四边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作四边形的外角.
知识点二：四边形的内角与外角性质
（1）四边形的内角和等于360°.
（2）四边形的外角和等于360°.
（3）四边形具有不稳定性.
知识点三：多边形及其内角和
多边形的定义：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引（n－3）条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n–
2)
n(n−3)
个三角形，n边形的对角线条数为
2
多边形内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（n≥3）.
【解题技巧】
1）n边形的内角和随边数的增加而增加，边数每增加1，内角和增加180°.
2）任意多边形的内角和均为180°的整数倍.
3）利用多边形内角和定理可解决三类问题：①已知多边形的边数求内角和；
②已知多边形的内角和求边数；③已知足够的角度条件下求某一个内角的度数．
多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关.
正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形.
【解题技巧】
(n−2)×180∘ 360∘
1）正n边形的每个内角为 ，每一个外角为 ．
n n
2）正n边形有n条对称轴．
3）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形．
考点讲练一 四边形的不稳定性
【典例分析】下列图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ）
A．屋顶支撑架 B．自行车脚架 C．伸缩门 D．旧门钉木条
【变式训练】（23-24八年级下·云南红河·期末）下列图形具有稳定性的是（ ）
A． B． C． D．
考点讲练二 多边形的概念与分类
【典例分析】（24-25七年级下·海南儋州·期末）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC且与△ABC的
外角∠ACE的平分线交于点D．
(1)若∠ABC=75°，∠ACB=45°，求∠D的度数；
(2)当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？由此你能得出什么结论？（用
含有∠A的式子表示∠D）
(3)若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由．【变式训练】（24-25八年级下·河北石家庄·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边
相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角，例如：如图①，在四边形ABCD中，
∠A=∠ABC=90°且DC=BC，那么四边形ABCD就是邻等四边形．
问题解决：如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形（点D
在格点上），则所有符合条件的点D共有 个．
考点讲练三 多边形截角后的边数问题
【典例分析】（23-24八年级上·河北石家庄·月考）已知一个多边形纸片的内角和比外角和多540°
(1)求这个多边形的边数．
(2)将此多边形裁去一个角，直接写出它的边数与外角和．
(3)若这个多边形是正多边形，通过计算说明：每个内角比相邻的外角大还是小？大或小多少度？
【变式训练】一个多边形截去一个角后，形成一个六边形，那么原多边形边数为 ．
考点讲练四 多边形的周长
【典例分析】已知一个正多边形的每个内角均为108°．
(1)求这个正多边形的边数．
(2)若这个正多边形的边长为a，且 (1) −1 ，求该正多边形的周长．
a= −1
3
【变式训练】如图，将△ABC沿着BC方向平移得到△≝¿，使得点E为BC中点．若△ABC的周长是12，BC=4，则四边形ABFD的周长为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
考点讲练五 网格中多边形面积比较
【典例分析】（23-24八年级上·安徽·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个
单位长度，三角形ABC的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形ABC平移得到三角形DEF，使
点A的对应点为点D，点B的对应点为点E．
(1)请画出平移后的三角形DEF；
(2)求三角形DEF的面积．
【变式训练】（23-24九年级下·吉林长春·月考）如图，在正六边形ABCDEF中，△ABC的面积为3，
则四边形EBCD的面积为考点讲练六 多边形对角线的条数问题
【典例分析】（24-25七年级下·河南南阳·月考）某中学七年级数学兴趣小组在探究“n(n>3)边形的相
关性质”这一知识点时，设计了如下表格：
多边形的边数 4 5 6 ⋯ n
从多边形的一个顶点引出对角线的条数 1 2 3 ⋯ a
从多边形的一个顶点引出的对角线将多边形分割出三角形的个数 2 3 4 ⋯ b
(1)填空：a=______，b=______．（用含n的式子表示）
(2)过多边形的一个顶点的所有对角线的条数与这些对角线将多边形分割所得的三角形的个数的和可能为
2025吗？若能，求出这个多边形的边数；若不能，请说明理由．
【变式训练】（24-25八年级上·河北邢台·期中）现在有一个正八边形．
(1)求其每个外角的度数；
(2)把该正八边形剪掉一个角，发现从一个顶点引出的对角线比原来多了一条．求新多边形的内角和．
考点讲练七 对角线分成的三角形个数问题
【典例分析】（24-25六年级下·山东泰安·月考）下列说法：①连接A，B两点的线段叫做A，B之间的
1
距离； ②若∠AOC= ∠AOB，则OC是∠AOB的平分线；③从n边形一个顶点引对角线可以分成
2
(n−3)个三角形； ④过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ⑤过一点有且只有一条直线与已知直线
垂直；其中正确的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【变式训练】（24-25七年级上·河南郑州·期末）在学习数学知识的过程中，我们经历过很多次“归纳”的过程，即从几种特殊情形出发，进而找到一般规律的过程．数学活动课上，同学们利用“归纳”策
略探究“十二边形内有30个点（任意三点不共线），将这30个点与十二边形的顶点相连可以把十二边形
分割成多少个三角形（互相不重叠）”的问题．小明认为可以先从最简单的三角形进行研究，先研究三角
形内有1个点、2个点、3个点…的情形（如下图）：
填写数据：
三角形内点的个数 1 2 3 4 5 …
分割成的三角形的个
3 5 7 a 11 …
数
再分别研究四边形、五边形、六边形…内有1个点、2个点、3个点…的情形．根据小明的研究思路，解答
下列问题：
(1)表中a= ；
(2)发现规律，当三角形内点的个数增加1，分割成三角形的个数就会增加 个：当三角形内有n个点时，
分割成 个三角形；
(3)当三角形内有30个点时，分割成多少个三角形？原三角形被若干个点分割成三角形的个数可以是2024
个吗？为什么？
(4)直接写出当四边形内有30个点时，分割成多少个三角形？当十二边形内有30个点时，分割成多少个三
角形？
考点讲练八 多边形内角和问题
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）看下图解答问题．(1)小明为什么说多边形的内角和不可能是2026°？
(2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？
【变式训练】（25-26八年级下·全国·周测）如图，四边形ABCD的内角∠BAD，∠CDA的平分线交
于点E，∠ABC，∠BCD的平分线交于点F．
(1)若∠F=80°，则∠ABC+∠BCD=____________，∠E=____________．
(2)猜想∠E与∠F之间有怎样的数量关系，并说明理由．
考点讲练九 正多边形的内角问题
【典例分析】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外
作正方形ABCD，连接BE，DE．求∠BED的度数．
【变式训练】（24-25八年级下·江西吉安·月考）如图，已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度直尺按
要求完成下列作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中，作一个等边三角形．
(2)在图2中，作线段BE的垂直平分线．
考点讲练十 多（少）算一个角问题
【典例分析】（24-25八年级下·广西贵港·期中）阅读小东和小兰的对话，解决下列问题．
(1)①这个“多加的锐角”是______度．②小东求的是几边形的内角和？
(2)若这是个正多边形，则这个正多边形的一个内角是多少度．
(3)小东将一个正五边形与一个正八边形按如右上图所示的位置摆放，顶点A，B，C，D四点在同一条直
线上，F为公共顶点，试求∠EFG的度数．
【变式训练】（2025七年级下·全国·专题练习）小马同学平时学习十分马虎，他在计算凸n边形的内角
和时：
(1)若少计算一个内角度数，求得多边形的内角和为2570°，则n的值是多少？(2)若某一内角多计算了一次，求得多边形的内角和为2570°，则n的值是多少？
考点讲练十一 多边形截角后的内角和问题
【典例分析】（24-25七年级下·吉林长春·期中）如图所示，请你用一条直线去截这个多边形，使得到
的新多边形分别满足以下条件．（画出图形，把截去的部分打上阴影）
(1)在图①中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和增加了180°．
(2)在图②中画出的新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
(3)在图③中画出的新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了180°
(4)将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为1800°，原多边形是___________边形．
【变式训练】（24-25八年级上·山东德州·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于2160°，
(1)求这个多边形的边数及对角线的条数；
(2)当这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形内角和是______．
考点讲练十二 复杂图形的内角和
【典例分析】（24-25八年级上·海南三亚·期末）如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）A．180° B．270° C．360° D．720°
【变式训练】（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ．
（2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ．
考点讲练十三 正多边形的外角问题
【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）如果一个多边形每一个外角都是60°，那么这个
多边形的边数为____________．
（2）正n边形的一个内角为108°，则n的值是____________．
【变式训练】（24-25八年级下·贵州毕节·期末）【问题背景】生活中，我们经常可以看到由各种形状
的地砖铺成的地面，在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度
来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相
重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由若干正方形镶嵌而成的图案，图
2是由若干正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案．
【探究发现】
（1）填写下表：
正多边形的边数 3 4 5 6 8正多边形每个外角的度 __________
120° 90° ___________ ___________
数 _
（2）若只用一种正多边形镶嵌整个平面图案，则这样的正多边形有___________（填序号）
①正三角形；②正五边形；③正六边形；④正七边形；⑤正八边形
【拓展应用】
（3）如图3，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成了一个大五边形．求∠CBF的度
数．
考点讲练十四 多边形外角和的实际应用
【典例分析】（23-24七年级下·江苏盐城·期中）如图，小明从点A出发沿直线前进5米到达点B，向左
转x°后又沿直线前进5米到达点C，再向左转x°后沿直线前进5米到达点D……照这样走下去，小明第一
次回到出发点A，一共走了60米，则x的值是 ．
【变式训练】（23-24八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
的度数．
（2）如图，求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．考点讲练十五 多边形内角和与外角和综合
【典例分析】（2025七年级下·河南·专题练习）（1）已知一个正多边形的一个内角为135°，求正多边
形的边数n；
（2）一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，求这个多边形对角线的条数．
（3）一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，求得到的多边形的内角和．
【变式训练】（24-25八年级下·陕西西安·月考）已知A,B是两个多边形，请阅读关于A,B的相关信息，
并完成下列各小题．
(1)刘鹏说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大．”请你判断刘鹏的说法是否正确？并说明
理由．
(2)设A的边数为n(n>3)．小红说：“无论n取何值，x的值始终不变．”请用列方程的方法说明理由．
考点讲练十六 平面镶嵌
【典例分析】（23-24七年级下·江苏盐城·期末）生活中，我们所见到的地面、墙面、服装面料等，常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．用一种或几种正多边形在公共顶点处进行拼接，彼此之间
既无空隙又不重叠，这就是正多边形的共顶点密铺．共顶点密铺其实就是围绕一点的几个正多边形的内角
的和为360°．
探索一、共顶点单一密铺：仅用同一种正多边形密铺．
如下图可知，正五边形不能共顶点单一密铺，可用下面的方法说明．
解：设有x个正五边形．
10
因为正五边形的每一个内角为108°，若想用x个108°围成360°，则108x=360，解得x= （不符合
3
题意）．
所以正五边形不可以共顶点单一密铺．
(1)问题1：探索正三角形能不能共顶点单一密铺？请用上述方法说明．
(2)问题2：符合共顶点单一密铺的正多边形不止一种，请尝试再找出一种，不用说明理由．
探索二、共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
(3)问题3：某中学图书馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买另外一种形
状不同，但边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶
点组合密铺方案，并说明理由．
(4)问题4：创意设计：选取三种形状不同，但边长相等的正多边形进行共顶点组合密铺，请写出一种设计
方案，并说明理由．
【变式训练】（24-25七年级下·福建泉州·期末）在生活中，瓷砖是生活中常见的装饰材料，用瓷砖铺
地，要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面全部铺满．从数学的角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，或者说是用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，
彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称为平面图形的密铺．
【探究一】只用同一种类型的多边形地砖进行密铺，可选择______（填写下列所有可选择的序号）
【探究二】共顶点组合密铺：用两种或两种以上正多边形密铺．
某中学新科技馆拟用正多边形地砖铺设地面．已有正三角形形状的地砖，现打算购买其他种形状不同，但
边长相等的正多边形地砖，与已有正三角形地砖进行共顶点组合密铺．请设计两种不同的共顶点组合密铺
方案，并列方程来说明理由．
【探究三】若我们可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．镶嵌时每个顶点处的正多边形有k个，设这k
个正多边形的边数分别为n ,n ,n ,…,n ，请说明k与n ,n ,n ,…,n 应满足什么关系？
1 2 3 k 1 2 3 k
【演练1】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，∠CAD的大小为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
【演练2】（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线
a、b上，若∠1=40°，则∠2的度数是（ ）A．15° B．20° C．30° D．40°
【演练3】（2024·江苏淮安·中考真题）某公园广场的地面由形状、大小完全相同的一种地砖密铺（无
空隙、不重叠地拼接）而成，铺设方式如图1，图2是其中一块地砖的示意图，
AB=EF,CD=GH,BC=FG,BC∥FG,AB∥CD∥GH∥EF，部分尺寸如图所示（单位：dm）．
结合图1，图2的信息，可求得BC的长度是 dm．
【演练4】（2025·四川广元·中考真题）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线HB，AC交于点
K，则∠AKH=（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【演练5】（2024·四川广元·中考真题）点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延
长线交于点G，则∠BGC的度数为 ．基础夯实 能力提升
1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角（ ）
A．相等 B．互补 C．互余 D．无法确定
2．（25-26八年级下·全国·课后作业）小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示．若
∠B+∠D=180°，则∠A+∠E+∠C的度数为（ ）
A．180° B．270° C．360° D．540°
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个四边形的四个外角之比为1:2:3:4，则这四个外角中最大
的外角的度数是（ ）
A．144° B．108° C．72° D．36°
4．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，点P为∠AOB平分线上的一个定点，∠MPN在绕点P旋
转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，
若∠MPN+∠AOB=180°，则下列结论错误的是（ ）
A．△PEM≌△PFN B．OM+ON的值不变
C．MN的长不变 D．四边形PMON的面积不变
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知n边形的每个内角都等于140°，则它的内角和是
．
6．（25-26八年级下·全国·周测）已知四边形ABCD中，∠A与∠B互补，∠D=70°，则∠C的度数
是 ．7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，∠B=60°，则∠1+∠2+∠3= ．
8．（25-26八年级下·全国·周测）求图形中x的值．
(1)
(2)
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）如下图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5是五边形ABCDE的外角，
且∠1=∠2=∠3=∠4=75°．求∠AED的度数．
10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形ABCD中，∠B=90°，∠A，∠C，∠D的外角分
别为α，β，γ．求α+β+γ的值．创新拓展 拔尖冲刺
1．（25-26八年级下·全国·周测）如图，小红和家人游览了应县木塔，小红从塔底的某一顶点P出发走
了16m后向右转，转的角度为α，再走16m，如此重复，小红走了96m后回到P点，则α的度数为（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
2．（24-25七年级下·全国·期中）在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进
行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌．这三个命题中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正
六边形的一边重合并叠在一起，则∠3+∠1−∠2等于（ ）
A．60° B．45° C．24° D．18°
4．（25-26八年级下·全国·周测）“红军帽”是红军的象征，其帽顶近似为正多边形，且其一个内角为
135°，则帽顶可以看作正 边形．
5．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，五边形ABCDE的一个内角∠A=110°，则
∠1+∠2+∠3+∠4= ．6．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，太阳光平行照射在放置于地面的六边形上．若六边形的每
个内角都相等，且∠1=19°，则∠2= ．
7．（25-26八年级下·全国·课后作业）求下列图形中x的值（图②中AB//CD）．
8．（25-26八年级下·全国·周测）看图回答问题：
(1)内角和是2020°，小明为什么说不可能？
(2)小芳求的是几边形的内角和？
1
9．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一个多边形的边数为a，若该多边形的内角和的 比外角和
4多90°，求a的值．
10．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形ABCD中，若∠A+∠B=200°，∠BCD=90°，
CE平分∠BCD，DE是∠ADC外角的平分线，求∠E的度数．
