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专题 21.1 四边形与多边形及其内角和
1. 掌握四边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。
教学目标 2. 掌握多边形的相关概念及其内角和，并能够对其熟练地应用。
3. 掌握正多边形的相关概念及其相关计算，并能够熟练地对其应用。
1. 重点
（1）四边形及其内角和与外角和；
（2）多边形及其内角和与外角和；
（3）正多边形及其相关计算。
教学重难点
2. 难点
（1）探索多边形的对角线分多边形的数量问题；
（2）多边形截角的分类讨论；
（3）与多边形及其多边形的组合图形有关的计算。知识点01 四边形及其内角和
1. 四边形及其相关概念：
名称 定义 图示
在平面内，由不在同一直线上的四条线段收尾顺次连接 组成的
四边形
图形。如图中有四边形ABCD
组成四边形的各条线段是四边形的边。
边
四边形ABCD的边是AB、BC、CD、AD
每相邻两条边的公共端点叫做四边形的顶点。
顶点
四边形ABCD的顶点是点A、B、C、D
连接四边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做四边形的对角线。
对角线
四边形ABCD的对角线是AC与BD（未连接）
四边形相邻两边组成的角叫做四边形的内角。
内角
四边形ABCD的内角是∠A、∠B、∠C、∠ADC
四边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做四边形的外
外角 角。
四边形ABCD的一个外角是∠ADE
2. 四边形的内角和与外角和：
四边形的内角和等于360°；四边形的外角和等于360°。
3. 四边形的不稳定性：
四边形是不稳定的，在生活中常用到四边形的不稳定性质。如伸缩门...
【即学即练1】
1．如图，∠1，∠2是四边形ABCD的外角，若∠1＝72°，∠2＝108°，则∠A+∠C＝ ．
【即学即练2】
2．如图，四边形ABCD中，∠A＝80°，BC、CD的垂直平分线交于A点，则∠BCD的度数为（ ）
A．150° B．140° C．130° D．120°知识点02 多边形及其内角和
1. 多边形及其相关概念：
名称 定义
多边形 在平面内，由n（n≥3）条线段收尾顺次连接的图形叫做n变形
边 组成多边形的各条线段是多边形的边
顶点 每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点。
对角线 连接多边形不相邻的两个顶点得到的线段叫做多边形的对角线。
内角 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。
外角 多边形的一角的一边与另一边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
画出多边形的任意一边所在的直线，如果整个多边形在这条直线的同一侧，那么这
凸多边形
个多边形是一个凸多边形（若没有特别说明，多边形都指的是凸多边形）
正多边形 每条边相等，每个内角也相等的多边形叫做正多边形
2. 多边形的对角线：
......
总结：一个n边形从一个顶点引出的多边形的对角线条数为 条，多边形所有对角线条
数是 条。一个顶点的对角线把多边形分成了 个三角形。
3. 多边形的内角和与外角和：
多边形的内角和计算公式为 ；任意多边形的外角和都等于 。
4. 正多边形及其相关计算：
(1) 正多边形的每个内角计算：
因为正多边形的内角和为 ，每个内角都相等且有 个内角，所以正多边形的每个内角度数
为： 。
(2) 正多边形的每个外角计算：
正多边形的外角和是360°，每个外角也相等，所以正多边形的每个外角度数为 。
(3) 正多边形的内角与外交关系：
；
【即学即练1】
3．从正十四边形的一个顶点出发，可画出对角线（ ）
A．11条 B．12条 C．13条 D．14条
【即学即练2】4．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成7个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【即学即练3】
5．六边形的内角和为（ ）
A．720° B．630° C．540° D．360°
【即学即练4】
6．已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 边形．
【即学即练5】
7．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（ ）
A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10
【即学即练6】
8．一个多边形只截去一个角（截线不经过顶点）形成另一个多边形内角和为 2520°，则原多边形的边数是
．
【即学即练7】
9．石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景．它的分子结构
如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为（ ）
A．135° B．120° C．105° D．60°
【即学即练8】
10．如图，正五边形ABCDE中，以CD为边作等边△CDF，连接BF，则∠CBF的度数为 ．
题型01 根据四边形的内外角和求角度
【典例1】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE＝∠D，∠C＝
110°，则∠A的度数是（ ）A．110° B．50° C．70° D．35°
【变式1】如图所示，一个直角三角形纸片，剪去这个直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（
）
A．150° B．180° C．240° D．270°
【变式2】如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C
＝210°，则∠P＝（ ）
A．10° B．15° C．30° D．40°
【变式3】如图，∠1、∠2、∠3是四边形ABCD的3个外角，若∠1+∠2+∠3＝280°，则∠A＝ °．
题型02 多边形的对角线及其分成三角形问题
【典例1】过n边形的一个顶点可以画6条对角线，则n的值为 ．
【变式1】过多边形的一个顶点能引出7条对角线，则这个多边形的边数是 ．
【变式2】过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了 5个三角形，则这个多边形是（
）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【变式3】已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形
的边数为 ．
题型03 多边形的内角和与外角和
【典例1】如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的边数是 ．
【变式1】一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ）
A．六边形 B．八边形 C．十边形 D．十二边形【变式2】若一个多边形的外角的度数正好是相邻的内角的两倍，则这个外角的度数为 °．
【变式3】已知正多边形的一个内角为150°，则这个多边形是（ ）
A．正五边形 B．正六边形
C．正八边形 D．正十二边形
【变式4】若一个多边形的每一个外角都是60°，则这个多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
题型04 多边形的截角问题
【典例1】一个八边形截掉一角后是 边形．
【变式1】将一个多边形截去一角（截去部分为一个三角形）得到一个新多边形的内角和为 1800°，则原
多边形的边数是（ ）
A．11 B．12 C．13 D．以上都是
【变式2】如果一个正多边形的每个外角都为45°．
（1）求这个正多边形的边数；
（2）若截去一个角（截线不经过多边形的顶点），求截完角后所形成的另一个多边形的内角和．
题型05 实际生活与正多边形
【典例1】我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色
宛如镶嵌于一个画框之中．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个内角的度数是（
）
A．105° B．120° C．135° D．150°
【变式1】足球的表面是由黑皮的正五边形和白皮的正六边形拼接而成，其中黑皮的有 12块，白皮有20
块．图片中足球的一块白色皮块的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【变式2】如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了（ ）s．
A．24 B．40 C．80 D．240
题型06 正多边形的组合图形的计算
【典例1】如图，在正五边形ABCDE中，连接AD，BE相交于点P，则∠DPB的度数为 ．
【变式1】如图，以正五边形ABCDE的边CD为边作正方形CDGF，使点F，G在其内部，则∠BCF的度
数是（ ）
A．12° B．18° C．24° D．30°
【变式2】如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形
成的∠1的度数是（ ）
A．118° B．122° C．128° D．132°
1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．如图，1角硬币是1992年6月1日中国人民银行发行的第四套金属流通币之一，该硬币呈圆形，边缘是
正九边形的形状，则从该九边形的一个顶点最多能引出对角线的条数是（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
3．若连接多边形一个顶点与其他不相邻顶点的线段，可将这个多边形分成5个三角形，则这个多边形的边
数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，直线a∥b，正六边形ABCDEF的顶点A、C分别在直线a、b上，若∠1＝40°，则∠2的度数是
（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
6．如图，在正八边形ABCDEFGH中，连接AD，EH，AE，DH，AE与DH交于点O，则∠DAO的度数是
（ ）
A．20° B．22.5° C．25° D．30°
7．在四边形纸片ABCD中，将纸片沿EF折叠得到如图1所示图形．再将图1中的四边形纸片FMNE沿
BC折叠得到如图2所示图形，若∠FGP＝2∠BGF，则∠PGC的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．某同学用5根相同的小木棍首尾顺次相接组成了五边形，固定边CD，将点A向下推，使点B，A，E共
线，形成四边形，如图所示，则此变化过程中（ ）A．内角和减少了360° B．内角和增加了180°
C．外角和减少了180° D．外角和不变
9．如图，连接AC，若∠B+∠C+∠D+∠E＝3∠A+20°，则∠A的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45°
10．如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如
图2所示的正五边形ABCDE．图2中，∠EAC的大小是（ ）
A．36° B．54° C．72° D．108°
11．过m边形的一个顶点有8条对角线，n边形没有对角线，则（m﹣n）的值为 ．
12．如图，直线OQ与正五边形ABCDE两边交于O、Q两点，则∠1+∠2的度数为 ．
13．一个正五边形与一个正六边形按如图所示方式放置，若AB、AC分别平分正五边形与正六边形的一个
内角，则∠BAC的度数为 ．
14．如图，小明从A点出发，沿直线前进2米后向左转36°，再沿直线前进2米，又向左转36°…照这样走
下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米．15．用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．20世纪，数学家乌尔班发现并证明
D 4n−6
了下面的公式：
n+1=
（其中D 表示凸n边形的三角剖分数）．如图，凸四边形ABCD，有两
D n n
n
种剖分方式（即：D ＝2），请你用上面的公式计算D ＝ ．
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16．正多边形的每条边都相等，每个角都相等．已知正x边形的内角和为1080°，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小63°，求n的值．
17．阅读佳佳与明明的对话，解决下列问题：（1）“多边形内角和为2020°”，为什么不可能？
（2）明明求的是几边形的内角和？
（3）多加的那个外角为多少度？
18．如图是一个五角星．
（1）∠1是三角形 的外角，∠2是三角形 的外角．
（2）请利用三角形的外角与内角的关系，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．
19．请仔细观察图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 …… n
从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 ……
①
多边形对角线的总条数/条 2 5 9 14 20 ……
②（1）观察探究：请自己观察图形和表格，并用含的代数式将上面的表格填写完整．
（2）实际应用：数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位
同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
20．综合与探究
【感知】如图1，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
【应用】（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝70°，则∠BPC＝ ；若∠BAC＝70°，则∠BPC＝ ；
（2）求∠BPC与∠A之间的关系并证明；
【拓展】
（3）如图2，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的角平分线，求∠BPC与∠A+∠D
的数量关系．
