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专题11.15 多边形及其内角和（直通中考）
【知识点回顾】
1.定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，各
个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2.n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
3.多边形的外角和为360°．
一、单选题
1．（2023·湖南永州·统考中考真题）下列多边形中，内角和等于 的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京·统考中考真题）十二边形的外角和为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东烟台·统考中考真题）一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，则这个正
多边形是（ ）
A．正方形 B．正六边形 C．正八边形 D．正十边形
4．（2022·湖南怀化·统考中考真题）一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
5．（2022·辽宁大连·统考中考真题）六边形的内角和是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
6．（2021·贵州铜仁·统考中考真题）用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之
间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌．工人师傅不能用下列哪种形状、大小完全相同
的一种地砖在平整的地面上镶嵌（ ）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形
7．（2021·湖南岳阳·统考中考真题）下列命题是真命题的是（ ）
A．五边形的内角和是 B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等 D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
8．（2023·甘肃兰州·统考中考真题）如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八
边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角 （ ）A． B． C． D．
9．（2023·山东枣庄·统考中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若
，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，在正六边形 内，以 为边作正五边形
，则 （ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·湖北黄冈·统考中考真题）若正n边形的一个外角为 ，则 _____________．
12．（2023·云南·统考中考真题）五边形的内角和是________度．
13．（2023·江苏徐州·统考中考真题）正五边形的一个外角的大小为__________度．
14．（2023·重庆·统考中考真题）若七边形的内角中有一个角为 ，则其余六个内角之和为
________．
15．（2023·新疆·统考中考真题）若正多边形的一个内角等于 ，则这个正多边形的边数是 ______．
16．（2023·重庆·统考中考真题）如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，则∠BAC的度数为_____．17．（2023·江苏扬州·统考中考真题）如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数
是_____．
18．（2023·山东·统考中考真题）已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是______边形．
19．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如果正n边形的一个内角与一个外角的比是3：2，则
_______．
20．（2022·湖南株洲·统考中考真题）如图所示，已知 ，正五边形 的顶点 、
在射线 上，顶点 在射线 上，则 _________度．
三、解答题
21．（2022·江苏无锡·校考一模）一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多 ，求这个多边形的
边数及内角和度数．
22．（2023·陕西西安·校考二模）如图， ， ， 的平分线与 的平分
线交于点 ，求 的度数．23．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，AB∥CD， 平分 ，CE∥AD， .
(1)求 的度数：
(2)若 ，求 的度数.
24．（2019·山东青岛·统考一模）
（1）叙述并证明三角形内角和定理（证明用图 1）；
（2）如图 2 是七角星形，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数．25．（2023·江苏无锡·一模）如图，一组正多边形，观察每个正多边形中a的变化情况，解答下列问题．
(1) 将表格补充完整．
正多边形的边数 3 4 5 6
α的度数
(2) 观察上面表格中α的变化规律，角α与边数n的关系为 ．
(3) 根据规律，当α＝18°时，多边形边数n＝ ．
26．（2020·河北·模拟预测）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一
个各条边都相等的凸多边形（边数大于3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边
都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．
（1）已知凸五边形 的各条边都相等．
①如图1，若 ，求证：五边形 是正五边形；
②如图2，若 ，请判断五边形 是不是正五边形，并说明理由：
（2）判断下列命题的真假．（在括号内填写“真”或“假”）
如图3，已知凸六边形 的各条边都相等．
①若 ，则六边形 是正六边形；（ ）
②若 ，则六边形 是正六边形． （ ）参考答案
1．B
【分析】根据n边形内角和公式 分别求解后，即可得到答案
解：A．三角形内角和是 ，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为 ，故选项符合题意；
C．五边形内角和为 ，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为 ，故选项不符合题意．
故选：B．
【点拨】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式 是解题的关键．
2．C
【分析】根据多边形的外角和为360°进行解答即可．
解：∵多边形的外角和为360°
∴十二边形的外角和是360°．
故选：C．
【点拨】本题考查多边形的内角和与外角和的求法，掌握多边形的外角和为360°是解题的关键．
3．C
【分析】设这个外角是x°，则内角是3x°，根据内角与它相邻的外角互补列出方程求出外角的度数，
根据多边形的外角和是360°即可求解．
解：∵一个正多边形每个内角与它相邻外角的度数比为3：1，
∴设这个外角是x°，则内角是3x°，
根据题意得：x+3x＝180°，
解得：x＝45°，
360°÷45°＝8（边），故选：C．
【点拨】本题考查了多边形的内角和外角，根据内角与它相邻的外角互补列出方程是解题的关键．
4．A
【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．
解：根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，
故选：A．
【点拨】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
5．D
【分析】根据多边形的内角和公式解答即可．
解：六边形的内角和是： ；
故选：D．
【点拨】本题考查多边形的内角，熟悉相关性质是解题的关键．
6．C
【分析】进行平面镶嵌就是在同一顶点处的几个多边形的内角和应是 ，因此我们只需要验证
是不是上面所给的几个正多边形的一个内角度数的整数倍即可．
解：A、等边三角形每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
B、正方形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
C、正五边形的每个内角的度数为 ， ，故该项符合题意；
D、正六边形的每个内角的度数为 ， ，故该项不符合题意；
故选：C．
【点拨】此题考查镶嵌问题，正确掌握各正多边形的每个内角的度数及镶嵌的计算方法是解题的关键．
7．B
【分析】根据相关概念逐项分析即可．
解：A、五边形的内角和是 ，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；故选：B．
【点拨】本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形
的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．
8．A
【分析】由正八边形的外角和为 ，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可．
解：∵正八边形的外角和为 ，
∴ ，
故选A
【点拨】本题考查的是正多边形的外角问题，熟记多边形的外角和为 是解本题的关键．
9．B
【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到 ，平行线
的性质，得到 ，三角形的外角的性质，得到 ，进而求出 的度数．
解：如图：
∵正六边形的一个外角的度数为： ，
∴正六边形的一个内角的度数为： ，
即： ，
∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选B．
【点拨】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．熟练掌握多边形的外角和
是 ，是解题的关键．
10．B
【分析】利用正n边形的外角和定理计算即可解：如图，延长BA到点O，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠FAO= =60°，
∵五边形ABGHI是正五边形，
∴∠IAO= =72°，
∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，
故选B．
【点拨】本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．
11．5
【分析】正多边形的外角和为 ，每一个外角都相等，由此计算即可．
解：由题意知， ，
故答案为：5．
【点拨】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为 ，每一个外角的
度数均为 ．
12．540
【分析】根据n边形内角和为 求解即可．
解：五边形的内角和是 ．
故答案为：540．
【点拨】本题考查求多边形的内角和．掌握n边形内角和为 是解题关键．
13．72【分析】根据多边形的外角和是360°，依此即可求解．
解：正五边形的一个外角的度数为： ，
故答案为：72．
【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，正确理解多边形的外角和为360°是解题的关键．
14． /800度
【分析】根据多边形的内角和公式 即可得．
解：∵七边形的内角中有一个角为 ，
∴其余六个内角之和为 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式是解题关键．
15．10/十
【分析】本题需先根据已知条件设出正多边形的边数，再根据正多边形的计算公式得出结果即可．
解：设这个正多边形是正n边形，根据题意得：
，
解得： ．
故答案为：10．
【点拨】本题主要考查了正多边形的内角，在解题时要根据正多边形的内角公式列出式子是本题的关
键．
16．36°
【分析】首先利用多边形的内角和公式求得正五边形的内角和，再求得每个内角的度数，利用等腰三
角形的性质可得∠BAC的度数．
解：正五边形内角和：（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°
∴ ，
∴ .
故答案为36°．
【点拨】本题主要考查了正多边形的内角和，熟记多边形的内角和公式：（n-2）×180°是解答此题的
关键．17．6
解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6．
故答案为：6.
18．5
解：设这个多边形是n边形，由题意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
19．5
【分析】设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，求得外角的度数，然后根据多边形的外
角和为360°，进而求出n的值．
解：∵正 边形的一个内角度数与其外角度数的比是3：2，
∴设多边形的一个内角为3x度，一个外角则为2x度，
∴3x+2x＝180°，
解得x＝36°，
∴一个外角为2x＝72°，
360°÷72°＝5，
∴n＝5，
故答案为：5．
【点拨】本题考查了多边形的内角、外角的知识和外角和定理，理解一个多边形的一个内角与它相邻
外角互补是解题的关键．
20．48
【分析】 是正五边形的一个外角，利用多边形外交和360°算出一个外角 ，再利用
的内角和180°，即可算出
解：∵四边形ABCDE是正五边形， 是一个外角
∴
在 中：
故答案为：48
【点拨】本题考查多边形外角和和三角形内角和，注意多边形外角和均为360°
21．这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．
【分析】多边形的内角和比外角和的4倍多180°，而多边形的外角和是360°，则内角和是1620度．n边形的内角和可以表示成（n−2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．
解：根据题意，得
（n−2）•180°＝360°×4+180°，
解得：n＝11．
360°×4+180°=1620°
则这个多边形的边数是11，内角和度数是1620度．
【点拨】本题考查了多边形内角和，解题的关键是结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程
即可求解．
22．149.5°
【分析】过点 作 ，利用平行线的性质、等式性质可得 ，再根据角平
分线的性质求得 ，然后由四边形的内角和为 即可求得结论．
解：过点 作 ，如图：
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵ 、 分别平分 、
∴
∵在四边形 中，
∴ ．
【点拨】本题考查了平行线的判定和性质、等式的性质、角平分线的性质以及四边形内角和为 ，
适当地添加辅助线以及熟练掌握相关知识点是解题的关键．
23．(1)30°；(2)110°【分析】（1）根据 和CE∥AD可求得 ，然后根据AB∥CD，可求得
；
（2）由 平分 ，可得 ，然后由四边形的内角和是360°即可求得 的
度数.
（1）解：∵CE∥AD，
∴ ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【点拨】本题主要考查了平行线的性质、多边形内角和定理、角平分线的的定义，熟记相关定理是解
题的关键.
24．(1)见分析;(2) 180°
【分析】（1）先写出已知、求证，再画图，然后证明．过点A作MN∥BC，利用MN∥BC，可得
∠B=∠MAB，∠C=∠NAC，而∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°，利用等量代换可证∠BAC+∠B+∠C=180°；
（2）先根据 外角的性质得出∠D+∠G=∠CMD，∠A+∠E=∠DMN，∠B+∠F=∠MNC，再由三角形内角和
定理即可得出结论△．
解：
(1)证明：如图，过点 A 作直线 MN，使 MN∥BC，，
∵MN∥BC，
∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC（两直线平行，内错角相等）
∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°（平角定义）
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）
∴∠BAC+∠B+∠C=180°．（2）解：如图 2，
∵∠A+∠E=∠DME，∠G+∠D=∠ANG，∠C+∠F=∠BHC，
∵∠DME+∠ANG=∠BPH，
∴∠A+∠E+∠G+∠D=∠BPH，
∵∠B+∠BHC+∠BPH=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=180°．
【点拨】本题考查的知识点是三角形的内角和定理和三角形外角性质，解题关键是熟知三角形的一个
外角等于和它不相邻的两个内角的和．
25．(1) ， ， ， ；(2) ；(3)10
【分析】（1）先根据多边形的内角公式求出每一个内角的度数，再根据多边形的性质每条边都相等，
得到等腰三角形，求出 的度数．
（2）根据（1）中的数据总结规律．
（3）引用（2）中总结的公式计算即可．
解：（1）正多边形每个内角的度数为 ．
；
；
正五边形的内角 ， ；
正五边形的内角 ， ．
（2）观察（1）中结论，总结规律，则有 ．
（3）借助（2）中公式，有
，即
解得 ．
【点拨】本题考查等腰三角形的性质、多边形内角的计算及观察总结能力，解题的关键是利用多边形
内角的计算公式计算内角，并与等腰三角形两底角相等结合应用．
26．（1）①证明见分析②若 ，五边形 是正五边形（2）①真命题②真命题
【分析】（1）①用SSS证明 ，得到
，即可得证；
②先证 ，再证明 ，再根据四边形的内角和与平行的性质证得
即可得证；
（2）①先证 ，再举出等腰直角三角形的反例，得出 ，由
此即可得出结论；
②连接 、 、 ，先证 ，再证 ，得到 ，再由（2）
①即可得出结论．
解：（1）①证明：∵凸五边形 的各条边都相等
∴
在 、 、 、 、 中，
∴
∴
∴五边形 是正五边形；
②解：若 ，五边形 是正五边形，理由如下：在 、 和 中，
∴
∴ ，
在 和 中，
∴
∴ ，
∵四边形 内角和为
∴
∴
∴ ，
∴
∴
同理：
∴五边形 是正五边形；
（2）解：①若 ，则六边形 是正六边形；假命题，理由如下：
如图3所示，∵凸六边形 的各条边都相等
∴
在 、 和 中，
∴
因此，如果 都为相同的等腰直角三角形，符合题意
但 ，而正六边形的每个内角都为
∴六边形 不是正六边形故答案为：假；
②若 ，则六边形 是正六边形；假命题；理由如下：
如图4所示：连接 、 、
在 和 中，
∴
∴
∵
∴
∴
在 和 中，
∴
∴
同理：
∴
由（2）①可知：六边形 不是正六边形
故答案为：假．
【点拨】本题主要考查正多边形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．
