文档内容
第 14 讲 一次函数与方程、不等式【7 个必考点】
【人教版】
【知识点1 一次函数与一元一次方程的关系】.....................................................................................................1
【必考点1 图象法求一元一次方程的解】.............................................................................................................2
【必考点2 代数法求一元一次方程的解】.............................................................................................................4
【知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系】.................................................................................................5
【必考点3 图象法解不等式（组）】.....................................................................................................................6
【必考点4 由不等式关系结合图像求参】.............................................................................................................9
【知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系】...............................................................................................11
【必考点5 图象法解二元一次方程组】................................................................................................................11
【必考点6 一次函数与方程、不等式多结论问题】...........................................................................................14
【必考点7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】.......................................................................19
【知识点1 一次函数与一元一次方程的关系】
1.一次函数与一元一次方程的关系
（1）从“数”上看：函数y=kx+b（k≠0）中，当y=0时的值 方程 kx+b=0 （ k ≠ 0 ） 的解 .
（2）从“形”上看：函数y=kx+b（k≠0）的图象与轴的交点的横坐标 方程 kx+b=0 （ k ≠ 0 ） 的解
2.利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
（1）转化：将一元一次方程转化为一次函数
（2）画图象：画出一次函数的图象
（3）找交点：找出一次函数图象与轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解.
【拓展】
方程kx+b=n（k≠0）的解 函数y=kx+b（k≠0）中，y=n时的值；方程kx+b=n（k≠0）的解 函数
y=kx+b（k≠0）的图象与直线y=n的交点的横坐标.
【必考点1 图象法求一元一次方程的解】
【例1】如图，一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点（3，0），则关于x的方程kx+b＝0的解为（ ）A．x＝﹣3 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝3
【分析】一次函数y＝kx+b与x轴交点的横坐标的意义：在一次函数y＝kx+b中，当y＝0时，就得到方
程kx+b＝0，而一次函数y＝kx+b的图象与x轴交点的坐标为（x，0），此时x的值就是方程kx+b＝0的
值．
【解答】解：已知一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点（3，0），也就是当x＝3时，y＝kx+b＝0，
∵方程kx+b＝0的解就是使y＝kx+b中y＝0时x的值，
∴关于x的方程kx+b＝0的解为x＝3．
故选：D．
1 1
【变式1】如图，已知直线y=− x+b经过点A（﹣2，3），则关于x的方程− x+b＝3的解是（ ）
5 5
A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x＝3 D．x＝﹣3
【分析】本题涉及一次函数与一元一次方程的关系．一次函数 y＝kx+b（k，b为常数，k≠0），当y取
1
某一确定值时，应对x值就是方程kx+b＝y的解，直线y=− x+b经过点A（﹣2，3），所以在函数y
5
1 1
=− x+b中，当y＝3时，x＝﹣2的值就是方程− x+b＝3的解．
5 5
1
【解答】解：∵直线y=− x+b经过点A（﹣2，3），
5
1
∴当x＝﹣2时，y＝3满足直线方程y=− x+b，
5
1 1
对于方程− x+b＝3，它与直线y=− x+b中y＝3时的情况相对应，
5 5
1
∴当y＝3时，x＝﹣2，即方程− x+b＝3的解是x＝﹣2．
5故选：B．
【变式2】如图，直线y＝ax+2（a≠0）与x轴交点的横坐标为﹣1，则关于x的方程2ax+4＝0的解为（
）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【分析】根据一次函数与x轴交点的横坐标即为其相应一元一次方程的解，结合图象即可解答．
【解答】解：∵直线y＝ax+2（a≠0）与x轴交点的横坐标为﹣1，
∴关于x的方程ax+2＝0的解为x＝﹣1，
∵方程2ax+4＝0整理得ax+2＝0，
∴关于x的方程2ax+4＝0的解为x＝﹣1，
故选：A．
【变式3】根据一次函数y＝kx+b的图象，直接写出下列问题的答案：
（1）关于x的方程kx+b＝0的解；
（2）代数式k+b的值；
（3）关于x的方程kx+b＝﹣3的解．
【分析】（1）利用函数图象写出函数值为0时对应的自变量的值即可；
（2）利用函数图象写出x＝1时对应的函数值即可（3）利用函数图象写出函数值为﹣3时对应的自变量的值即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，y＝0，
所以方程kx+b＝0的解为x＝2；
（2）当x＝1时，y＝﹣1，
所以代数式k+b的值为﹣1；
（3）当x＝﹣1时，y＝﹣3，
所以方程kx+b＝﹣3的解为x＝﹣1．
【必考点2 代数法求一元一次方程的解】
【例 1】如图，直线 y＝ax+b（a≠0）与 x 轴交点的横坐标为 1，则关于 x 的方程 ax＝2a﹣b 的解为
（ ）
A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【分析】由直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，可得b＝﹣a，故ax＝3a，即可得答案．
【解答】解：∵直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交点的横坐标为1，
∴0＝a+b，
∴b＝﹣a，
∴ax＝2a﹣（﹣a），即ax＝3a，
∵a≠0，
∴x＝3，
故选：D．
【变式1】若一次函数y＝kx﹣b（k为常数且k≠0）的图象经过点（﹣3，0），则关于x的方程k（x﹣7）
﹣b＝0的解为（ ）
A．x＝﹣5 B．x＝﹣3 C．x＝4 D．x＝5
【分析】由y＝k（x﹣7）﹣b与y＝kx﹣b可得直线y＝kx﹣b向右平移7个单位得到直线y＝k（x﹣7）
﹣b，从而可得直线y＝k（x﹣7）﹣b与x轴交点坐标，进而求解．
【解答】解：直线y＝k（x﹣7）﹣b是由直线y＝kx﹣b向右平移7个单位所得，
∵y＝kx﹣b与x轴交点为（﹣3，0），∴直线y＝k（x﹣7）﹣b与x轴交点坐标为（4，0），
∴k（x﹣7）﹣b＝0的解为x＝4，
故选：C．
【变式 2】一次函数 y＝kx+b的图象与 x轴交于点 A（﹣3，0），则关于 x的方程﹣kx+b＝0的解为
（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝0 D．x＝2
【分析】根据题意得出b＝3k，代入方程﹣kx+b＝0，求出x的值即可．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），
∴﹣3k+b＝0，
∴b＝3k，
∵﹣kx+b＝0，
b 3k
∴x= = =3．
k k
故选：A．
【变式3】若直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），过点A（3，2），则关于x的方程kx+2k+b＝2的解为
．
【分析】根据直线y＝kx+b过点A（3，2），得出2＝3k+b，把2＝3k+b代入方程kx+2k+b＝2，整理得
出k（x﹣1）＝0，根据k≠0，得出x﹣1＝0，求出x的值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b过点A（3，2），
∴2＝3k+b，
把2＝3k+b代入kx+2k+b＝2得：kx+2k+b＝3k+b，
整理得：k（x﹣1）＝0，
∵k≠0，
∴x﹣1＝0，
解得：x＝1．
故答案为：x＝1．
【知识点2 一次函数与一元一次不等式的关系】
因为任何一个一元一次不等式都可以变形为 或 的形式，所以解一元一次不等
式可以看成求一次函数 的函数值大于0或小于0时，自变量的取值范围.一次函数 与一元一次不等式 （或 ）的关系如下：
不等于 的解集 在函数 中，y>0
时的取值范围
数的角度
不等式 的解集 在函数 中，y<0
一次函数与 时的取值范围
一元一次不
等式的关系
不等式 的解集 直线 在 x 轴上方
的部分所对应的的取值范围
形的角度
不等式 的解集 直线 在 x 轴下方
的部分所对应的的取值范围
【拓展】
直 线 与 直 线 的 交 点 的 横 坐 标 即 为 方 程
的 解 ； 不 等 式 （ 或 ） 的 解 集 就 是 直 线
在直线 上（或下）方部分对应的的取值范围.如图所
示，方程 的解为 ；不等式 的解集为 ；不等式
的解集为 .
【必考点3 图象法解不等式（组）】
【例1】如图，直线y＝kx+b经过点（0，3）和点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（ ）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【分析】依据题意，观察函数图象，结合kx+b＞0即可判断得解．
【解答】解：由图象可得：当x＜2时，kx+b＞0，
∴关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．
故选：B．
【例2】一次函数y ＝kx+b与y ＝x+a的图象如图所示，则关于x的不等式kx+b≥x+a的解集为（ ）
1 2A．x＜3 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥3
【分析】根据观察图象，找出直线y ＝kx+b在直线y ＝kx+b与y ＝x+a上方所对应的自变量的范围即
1 1 2
可．
【解答】解：当x＜3时，kx+b＞x+a，
所以不等式kx+b＞x+a的解集为x≤3．
故选：C．
{mx+n＜kx+b)
【变式 1】一次函数 y＝kx+b 与 y＝mx+n 的图象如图所示，则不等式组 的解集是
mx+n＜0
（ ）
A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＜2 D．2＜x＜5
{mx+n＜kx+b)
【分析】依据题意，由不等式组 ，结合图象可得其解集为满足mx+n＜kx+b＜0的部分
mx+n＜0
为y＝mx+n在x轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解．
【解答】解：由图象可知满足0＜mx+n＜kx+b的部分为y＝mx+n在x轴下方部分对应的自变量取值，
∴x＜1．
故选：A．
【变式2】如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），则不等式（kx+b）
（mx+n）＜0的解集为（ ）A．x＜﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜﹣1或x＞3
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【解答】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（3，0），
∴不等式（kx+b）（mx+n）＜0的解集为x＜﹣1或x＞3．
故选：D．
【变式3】已知一次函数y ＝kx+2（k≠0）和y ＝﹣2x+a（a为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式
1 2
（k+2）x＞a﹣2的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＞3 C．x＜1 D．x＜3
【分析】由图象可以知道，当x＞1时，直线y ＝kx+2（k≠0）在直线y ＝﹣2x+a的上方，即可得出答
1 2
案．
【解答】解：两条直线的交点坐标为（1，3），且当x＞1时，直线y ＝kx+2（k≠0）在直线y ＝﹣
1 2
2x+a的上方，
故关于x的不等式（k+2）x＞a﹣2的解集为x＞1．
故选：A．
【必考点4 由不等式关系结合图像求参】
【例1】在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），当x≤3时，不等
式kx+2＞2x﹣1恒成立，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1 B．﹣2＜m≤﹣1 C．﹣2≤m＜﹣1 D．m＞﹣2【分析】根据题意，得出一次函数y＝kx+2过定点（0，2），再根据点A坐标得出m与k的关系，由
x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立求出k的取值范围，进一步得出m的取值范围即可解决问题．
【解答】解：由题知，
一次函数y＝kx+2过定点（0，2）．
如图所示，
因为当x≤3时，不等式kx+2＞2x﹣1恒成立，
所以k≤2且3k+2＞5，
解得1＜k≤2，
2
所以−2＜− ≤−1．
k
因为一次函数y＝kx+2的图象与x轴交于点A（m，0），
所以mk+2＝0，
2
则m=− ，
k
所以﹣2＜m≤﹣1．
故选：B．
【变式1】已知一次函数y ＝kx+2（k是常数）和y ＝﹣x+1．无论x取何值，y ＞y ，则k的值是（ ）
1 2 1 2
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】由题意可知，y 的图象始终在y 上方，得到两函数不相交，平行，即可得出k＝﹣1．
1 2
【解答】解：∵无论x取何值，y ＞y ，
1 2
∴y 的图象始终在y 上方，
1 2∴两个函数的图象即两条直线平行，
∴k＝﹣1，
故选：B．
【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数 y ＝kx﹣3和y ＝n（x﹣4）+2，（n≠0），无论x取何值，始
1 2
终有y ＞y ，则n的取值范围为（ ）
2 1
5 5 5 5
A．n＜ 且n≠0 B．n＞ C．n≤ 且n≠0 D．n＜
4 4 4 4
【分析】根据题意得两直线平行，且对任何x的值，直线y ＝n（x﹣4）+2在直线y ＝kx﹣3上方，取一
2 1
个自变量的特殊值，得到对应的函数值关系，则可确定n的范围．
【解答】解：由题意知，两直线必平行；
∵直线y ＝n（x﹣4）+2在直线y ＝kx﹣3上方，
2 1
不妨取x＝0，则y ＝﹣4n+2，y ＝﹣3，
2 1
∴﹣4n+2＞﹣3，
5
∴n＜ 且n≠0；
4
故选：A．
【变式3】一次函数y ＝kx+3（k为常数，k≠0）和y ＝x﹣3．当x＜2时，y ＞y ，则k取值范围（ ）
1 2 1 2
A．k≤﹣2 B．﹣2≤k≤1且k≠0
C．k≥1 D．﹣2＜k＜1且k≠0
6
【分析】解不等式kx+3＞x﹣3，根据题意得出k﹣1＜0且− ≥2且k≠0，解此不等式即可．
k−1
【解答】解：∵一次函数y ＝kx+3（k为常数，且k≠0）和y ＝x﹣3，当x＜2时，y ＞y ，
1 2 1 2
∴kx+3＞x﹣3，
∴kx﹣x＞﹣6，
6
∴k﹣1＜0且− ≥2且k≠0，
k−1
6
当k﹣1＜0时，− ≥2时，k≥﹣2，
k−1
所以不等式组的解集为﹣2≤k＜1且k≠0；
当k＝1时，也成立，
故k的取值范围是﹣2≤k≤1且k≠0，
故选：B．【知识点3 一次函数与二元一次方程组的关系】
1.二元一次方程组 （ 都不为0，且 , 都是常数）的解是一次函数
和 图象的交点坐标.
【注意】每个二元一次方程都对应一个一次函数，也就是对应一条直线，因此每个二元一次方程组都对应
两个一次函数，也就是对应两条直线.
2.用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
（1）变函数：把方程组 化为一次函数 与 .
（2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
（3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标.
（4）写结论：依据点的坐标写出方程组的解.
【注意】用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
【拓展】二元一次方程组中的两个方程化为一次函数后，其图象可能是两条相交直线、两条重合直线或两
条平行直线，因此，方程组可能有唯一解、无穷多解或无解.如 的两个方程化为一次函数
后，其图象是两条平行的直线，故方程组无解.
【必考点5 图象法解二元一次方程组】
【例1】如图，在平面直角坐标系中，直线 l ：y＝x+4与直线l ：y＝mx+n交于点A（﹣1，b），则关于
1 2
{ x−y=−4 )
x，y的方程组 的解为（ ）
mx−y=−n
{x=−1) { x=3 )
A． B．
y=3 y=−1{x=3) {x=−1)
C． D．
y=1 y=−3
【分析】将点点A（﹣1，b）代入l ：y＝x+4得出A（﹣1，3），即可求解．
1
【解答】解：由条件可知：当x＝﹣1时，y＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
{ x−y=−4 ) {x=−1)
∴关于x，y的方程组 的解为 ，
mx−y=−n y=3
故选：A．
【变式 1】如图，一次函数 y＝kx+b 与 y＝mx+n 的图象交于（2，﹣1），则关于 x，y 的方程组
{kx+b+1=y)
的解为（ ）
mx+n+1=y
{x=2，) { x=2，)
A． B．
y=0； y=−1；
{ x=2，) {x=1，)
C． D．
y=−2； y=0.
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断，方程组的解就是使方程组
中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此
方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
【解答】解：∵两个一次函数的图象交于点（2，﹣1），
∴一次函数y＝kx+b+1与y＝mx+n+1的图象交于点（2，0），
{kx+b+1=y，) {x=2，)
∴关于x，y的方程组 的解为 ，
mx+n+1=y. y=0；
故选：A．
【变式2】在平面直角坐标系中，一次函数 y＝kx+b与y＝mx+n的图象如图所示，则关于x，y的方程组{kx+b−y=0)
的解为（ ）
mx+n−y=0
{x=−4) { x=0 ) {x=−4) {x=−8)
A． B． C． D．
y=−6 y=−6 y=−8 y=−4
【分析】根据图示，可直接得到方程组的解．
{kx+b−y=0) {y=kx+b)
【解答】解：关于x，y的方程组 转化为两个一次函数的联立方程组 ，
mx+n−y=0 y=mx+n
{x=−8)
根据图示，可知方程组的解为： ，
y=−4
故选：D．
3 9
【变式3】如图，一次函数y=− x+ 的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（2，n），则关于x，y的方程
4 2
{3x+4 y−18=0)
组 的解是（ ）
kx−y+b=0
{x=2) {x=2) {x=3) {x=3)
A． B． C． D．
y=2 y=3 y=2 y=3
3 9
【分析】先把P（2，n）代入 y=− x+ 中计算出n的值，从而得到P（2，3），然后利用方程组的解
4 2
就是两个相应的一次函数图象的交点坐标解决问题．
3 9 3
【解答】解：把P（2，n）代入 y=− x+ 得n=− ×2+＝3，
4 2 4
即P（2，3），3 9
∵一次函数 y=− x+ 的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（2，3），
4 2
{x=2)
∴关于x，y的方程组的解为 ．
y=3
故选：B．
【必考点6 一次函数与方程、不等式多结论问题】
【例1】如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示，小
星根据图象得到如下结论：
①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；
{y=mx+n) {x=−3)
②方程组 的解为 ，
y=ax+b y=2
③当x＝0时，ax+b＝﹣1；
④方程mx+n＝0的解为x＝2；
⑤不等式mx+n≥ax+b的解集是x≥﹣3．
其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一次函数的图象及性质，一次函数与二元一次方程，一次函数与不等式对各项判断即可解
答．
【解答】解：∵由图象可知一次函数y＝ax+b，y的值随着x值的增大而减小；
故①错误；
∵由图象可知：一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象相交点（﹣3，2），
{y=mx+n) {x=−3)
∴方程组 的解为 ，
y=ax+b y=2
故②正确；∵由图象可知：一次函数y＝ax+b与y轴的交点为（0，﹣2），
∴当x＝0时，ax+b＝﹣2，
故③错误；
∵由图象可知：一次函数y＝mx+n（a＜m＜0）与x轴的交点为（2，0），
∴方程mx+n＝0的解为x＝2，
故④正确；
∵由图象可知：一次函数y＝ax+b图象在y＝mx+n（a＜m＜0）的图象下方的时x≥﹣3，
故⑤正确；
∴正确的有3个；
故选：C．
【例2】一次函数y＝mx+n与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结
论：①a＞0；②n＜0；③方程mx+n＝0的解是x＝﹣2；④不等式ax+b＞3的解集是x＞﹣3；⑤不
等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数y＝mx+n与x轴、
y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，故①正确；
∵一次函数y＝mx+n与y轴交于负半轴，与x轴交于（﹣1，0），
∴n＜0，方程mx+n＝0的解是x＝﹣1，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式ax+b＞3的解集是x＞0，故④不正确；
由函数图象可知，不等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2，故⑤正确；
∴正确的一共有3个，
故选：C．【变式1】如图，已知一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4）．现有下列四个结
2
论：①a＞0；②mn＞0；③方程ax+2＝mx+n的解是x＝﹣2；④若mx+n＜ax+2＜0，则﹣2＜x＜−
3
．其中正确的结论个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】直接利用一次函数的性质对①②进行判断；利用一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐
标为（﹣2，﹣4）得到x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，于是可对③进行判断；先确定一次函数y＝ax+2的解
2
析式为y＝3x+2，再求出一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（− ，0），然后结合函数图象，写出
3
在x轴下方，直线y＝ax+2在直线y＝mx+n的上方所对应的自变量的范围，从而可对④进行判断．
【解答】解：∵一次函数y＝ax+2的图象经过第一、三象限，
∴a＞0，所以①正确；
∵一次函数y＝mx+n的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交，
∴m＞0，n＜0，
∴mn＜0，所以②错误；
∵一次函数y＝ax+2与y＝mx+n图象的交点坐标为（﹣2，﹣4），
∴x＝﹣2时，ax+2＝mx+n，所以③正确；
把（﹣2，﹣4）代入y＝ax+2得﹣4＝﹣2a+2，
解得a＝3，
∴一次函数y＝ax+2的解析式为y＝3x+2，
当y＝0时，3x+2＝0，
2
解得x=− ，
32
∴一次函数y＝ax+2与x轴的交点坐标为（− ，0），
3
2
∴当x＜− 时，ax+2＜0，
3
2
∴当﹣2＜x＜− 时，mx+n＜ax+2＜0，所以④正确．
3
故选：B．
【变式2】在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与y＝mx+n（a＜m＜0）的图象如图所示．丽丽根
据图象得到如下结论：①在一次函数y＝ax+b的图象中，y的值随着x值的增大而增大；②方程组
{y−ax=b) {x=−3)
的解为 ；③方程mx+n＝0的解为x＝2；④当x＝0时，ax+b＝﹣1．其中结论正
y−mx=n y=2
确的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由函数图象经过的象限可判断①，由两个一次函数图象的交点坐标可判断②，由一次函数与
坐标轴的交点坐标可判断③④，从而可得答案．
【解答】解：由一次函数y＝ax+b的图象过二，三，四象限，可知y的值随着x值的增大而减小，故①
不符合题意；
{y=ax+b) {x=−3)
由图象可得方程组 的解为 ，
y=mx+n y=2
{y−ax=b) {x=−3)
即方程组 的解为 ，故②符合题意；
y−mx=n y=2
由函数图象可知，一次函数y＝mx+n（a＜m＜0）与x轴交于（2，0），
∴方程mx+n＝0的解为x＝2，故③符合题意；
由图可知，一次函数y＝ax+b的图象与y轴的交点在（0，﹣1）点的下方，可知当x＝0时，ax+b≠﹣1，故④不符合题意；
综上：符合题意的有②③，共2个．
故选：C．
【变式3】数形结合是解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数 y＝kx+b（k，b为常数，且k＜0）
1
的图象交x轴于点（5，0），且与直线y= x都经过点A（3，1），下列结论
3
①关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝5；
5
②直线y＝kx+b与y轴交于点(0， )；
2
1
③当kx+b＞ x时，x＞3；
3
{y=kx+b
)
{x=3)
④方程组 1 的解为 其中正确的结论有（ ）
y= x y=1
3
A．①④ B．③④ C．①②③ D．①②④
【分析】根据一次函数y＝kx+b的图象交x轴于点（5，0），即可判断①；将A（3，1），（5，0）代
入直线y＝kx+b求出解析式，令x＝0求出y值，即可判断②；根据图象及连函数交点A（3，1），即可
判断③与④．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k＜0）的图象与x轴于点（5，0），
∴x＝5时，y＝0，
∴关于x的一元一次方程kx+b＝0的解为x＝5；故①正确；
{0=5k+b)
将A（3，1），（5，0）代入直线y＝kx+b，则 ，
1=3k+b1
{k=− )
2
解得： ，
5
b=
2
1 5
∴一次函数y＝kx+b的解析式为y=− x+ ，
2 2
5
令x＝0，则y= ，
2
5
∴直线y＝kx+b与y轴交于点(0， )；故②正确；
2
1
∵一次函数y＝kx+b与直线y= x都经过点A（3，1），
3
{y=kx+b
)
{x=3)
∴方程组 1 的解为 ，故④正确；
y= x y=1
3
1
由图象可知，当x＜3时，一次函数y＝kx+b的图象在直线y= x的上方，
3
1
∴当kx+b＞ x时，x的取值范围是x＜3，故③错误；
3
故选：D．
【必考点7 探究含绝对值函数的图象与方程、不等式的关系】
【例1】某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数 y＝|x﹣2|的图象和性质进行了研究．探
究过程如下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数：如裘是y与x的几组对应值：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 4 m 2 1 0 1 2 3 …
其中m＝ 3 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以表中各对对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一
部分，请画出该函数图象的另一部分；
（3）观察函数图象发现：
该函数图象的最低点坐标是 （ 2 ， 0 ） ，当x＜2时，y随x的增大而 减小 ；
（4）进一步探究：
①不等式|x﹣2|≥2的解集是 x ≤ 0 或 x ≥ 4 ；②若关于x的方程|x﹣2|＝kx（k≠0）只有一个解，则k的取值范围是 k ＜ 0 或 k ≥ 1 ． ．
【分析】（1）根据点与坐标的关系求解；
（2）根据描点法作图；
（3）根据数形结合求解；
（4）根据直线与不等式的关系求解．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝|﹣1﹣2|＝3，
故答案为：3；
（2）如下图所示：
（3）由图象得：该函数图象的最低点坐标是（2，0），
当x＜2时，y随x的增大而减小，
故答案为：（2，0），减小；
（4）①由图象得：不等式|x﹣2|≥2的解集是：x≤0或x≥4，
故答案为：x≤0或x≥4；
②当y＝kx经过（1，1）时，k＝1，
结合图象得：k的取值范围是：k＜0或k≥1．
故答案为：k＜0或k≥1．
【变式1】【探究发现】
某数学小组的同学在学习完一次函数后，掌握了函数的探究路径，即：定义一图象一性质一应用．他们尝试沿着此路径探究下列问题：
已知y＝2|x﹣2|﹣2，如表是y与x的几组对应值．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 6 4 2 0 ﹣2 a 2 …
（1）a＝ 0 ；
（2）描点连线：请在平面直角坐标系中描点，并用光滑的曲线依次连接．根据函数图象写出该函数的
一条性质： 当 x ＜ 2 时， y 随 x 的增大而减小 ；
【拓展应用】
（3）若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，请写出m，n满足的数量关系： m + n ＝ 4 ；
（4）结合函数y＝2|x﹣2|﹣2的图象，请写出不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集： x ＜ 1 或 x ＞ 5 ．
【分析】（1）根据函数y＝2|x﹣2|﹣2，计算出当x＝3对应的函数值，从而可以求得a的值；
（2）根据表格的数据，可以画出相应的函数图象，根据函数图象写出该函数的一条性质即可；
（3）根据图象得出结论；
（4）观察函数图象，可以得到不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集．
【解答】解：（1）当x＝3时，代入y＝2|x﹣2|﹣2，可得y＝2|3﹣2|﹣2＝2×1﹣2＝0，
∴a＝0，
故答案为：0；
（2）利用表格中的x，y的对应值作为点的横纵坐标，描出各点，用平滑的线连接各点得：观察函数图象发现：当x＜2时，y随x的增大而减小，
故答案为：当x＜2时，y随x的增大而减小；
（3）若点A（m，p），B（n，p）均在该函数图象上，则m，n满足的数量关系是：m+n＝4；
故答案为：m+n＝4；
（4）观察图象，不等式2|x﹣2|﹣2＞x﹣1的解集是x＜1或x＞5；
故答案为：x＜1或x＞5．
【变式2】某学习小组在综合与实践活动中，研究一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系课题
时，对函数y＝|x+1|的图象和性质做了探究．
下面是该学习小组的探究过程，请补充完整：
（1）如表是y与x的几组对应值，请将表格补充完整：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … m 1 0 1 2 3 n 5 6 …
表格中m的值为 2 ，n的值为 4 ．
（2）如图，在平面直角坐标系中描点并画出此函数的图象；
（3）请观察函数的图象，直接写出如下结论：
①当自变量x＝ ﹣ 1 时，函数的最小值为 0 ；
②方程|x+1|＞2的解集为 x ＞ 1 或 x ＜﹣ 3 ；1
③函数y＝|x+1|与y=− x+m的图象只有两个交点，其中交点坐标分别是（1，2）和（a，3）．当
5
1
| x+1|＜− x+m时，直接写出不等式的解集．
5
【分析】（1）把x＝﹣3、x＝3分别代入解析式即可求得．
（2）描出表中以各对对应值为坐标的点，然后连线．
（3）观察图象即可得到答案．
【解答】解：（1）当x＝﹣3时，y＝|﹣3+1|＝2，则m＝2．
当x＝3时，y＝|3+1|＝4，则n＝4．
故答案为：2，4．
（2）函数图象如图所示．（3）观察函数的图象：
①当自变量x＝﹣1时，函数的最小值为0；
②方程|x+1|＞2的解是x＞1或x＜﹣3；
1
③把（1，2）代入y=− x+m，
5
1
2=− +m，
5
11
∴m= ，
5
1 11
把（a，3）代入y=− x+ ，
5 5
∴解得a＝﹣4，
1 11
画出直线y=− x+ 如图，
5 51 11
当|x+1|＜− x+ 时，不等式的解集为﹣4＜x＜1．
5 5
故答案为：①﹣1，0；②x＞1或x＜﹣3；③﹣4＜x＜1．
【变式3】某初中八年级数学兴趣小组的同学们，对函数 y＝a|x|+bx+c（a，b，c是常数，|a|≠|b|）的性质
进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整．
（1）当a＝1，b＝c＝0时，即y＝|x|．当x≥0时，y＝x；当x＜0时，y＝ ﹣ x ．
（2）当a＝﹣2，b＝1，c＝3时，即y ＝﹣2|x|+x+3．
1
①该函数自变量x和函数值y 的若干组对应值如表：
1
x … ﹣2 ﹣1 0 1 4 …
y … ﹣3 m 3 2 ﹣1 …
1
其中m＝ 0 ．
②在图中所示的平面直角坐标系内画出函数y ＝﹣2|x|+x+3结合图象写出该函数的一条性质 当 x ＜ 0
1
时， y 随 x 的增大而增大；当 x ＞ 0 时， y 随 x 的增大而减小；当 x ＝ 0 时， y 有最大值是 3 ．
③已知函数y ＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0）的直线，则关于x的不等式（﹣2|x|+x+3）
2
（mx+n）＜0的解集是 ﹣ 1 ＜ x ＜ 1 或 x ＞ 3 ．【分析】（1）根据绝对值的性质即可求解；
（2）①把x＝﹣1代入计算即可；
②运用描点、连线即可作图；
③在函数y ＝﹣2|x|+x+3中，当x＜﹣1或x＞3时，y＜0，当﹣1＜x＜3时，y＞0，在函数y ＝mx﹣m
1 2
（m＞0）中，函数y ＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，0），当x＜1时，y＜0，当x＞1时，y
2
＞0，由题意可得（﹣2|x|+x+3）与（mx+n）异号，由此即可求解．
【解答】解：（1）当x＜0时，y＝|x|＝﹣x，
故答案为：﹣x；
（2）①当a＝﹣2，b＝1，c＝3时，即y ＝﹣2|x|+x+3，
1
∴当x＝﹣1时，y＝m＝﹣2×|﹣1|+（﹣1）+3＝﹣2﹣1+3＝0，
故答案为：0；
②作图如下：∴当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y有最大值是3；
故答案为：当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＝0时，y有最大值
是3．
③根据图示可得，在函数y ＝mx﹣m（m＞0）中，函数y ＝mx+n（m＞0）的图象是一条经过点（1，
2 2
0），
∴当x＜1时，y＜0，当x＞1时，y＞0，
∵不等式（﹣2|x|+x+3）（mx+n）＜0，
∴（﹣2|x|+x+3）与（mx+n）异号，
∴不等式的解集为﹣1＜x＜1或x＞3．
故答案为：﹣1＜x＜1或x＞3．
