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3.5 一元一次不等式组
题型一：判断是否为一元一次不等式组
1．（24-25 七年级下·上海宝山·期中）下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．
2
1
3
x
x
−−
B．
1
0
2
0
x
y
+
−
C．(
)(
)
3
2
0
2
3
0
x
x
x
−
−
+
D．
3
2
0
1
1
x
x
x
−
+
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【答案】A
【分析】本题考查了对一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义，需满足：①只含有一个
未知数；②所有不等式均为一次整式不等式，据此解答即可．
【详解】解：A、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
B、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
C、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：A．
2．（2025 八年级下·全国·专题练习）在下列各式中，是一元一次不等式组的是（ ）
A．
3
2
1
2
5
x
x
+
+
B．
4
6
x
y
x
y
+
−
C．
4
3
6
12
x +
−
D．
6
2
1
8
x
x
−
−
+
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义．根据一元一次不等式组的定义进行判断．几个含有同一个
未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
【详解】解：A．第二个不等式不是整式不等式，故本选项不符合题意；
B．该不等式组中有2 个未知数，故本选项不符合题意；
C．该不等式组中的第二个不等式中不含有未知数，故本选项不符合题意；
D．该不等式组符合一元一次不等式组的定义，故本选项符合题意；
故选：D．
3．（2025 七年级下·全国·专题练习）下列不等式组：
①
2
3
x
x
−
＞
＜
②
0
2
4
x
x
+
＞
＞③
1 0
4
0
x
y
+
−
＞
＜④
3 0
7
x
x
+
−
＞
＜
⑤
2
3
1
2
4
x
x
x
+
+
＞
＞
其中是一元一次不等式组的有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次不等式组的辨别能力，根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：∵③中含有x，y 两个未知数，⑤中未知项的次数不仅是1，
∴不等式组③，⑤不是一元一次不等式组；
而①，②，④都符合一元一次不等式组的概念，它们都是一元一次不等式组，
故选：B．
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4．（2025 七年级下·全国·专题练习）下列是一元一次不等式组的是（ ）
A．
2
7
6
3
3
1
x
y
−
+
B．
1
2
x
x
−
C．
2
6
3
5
1
x
x
+
=
+
D．
2
7
1
3
3
0
a
b
−
+
=
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是
解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：
1
2
x
x
−
是一元一次不等式组．
故选：B．
5．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（ ）
A．
4
0
1
5
0
x
x
+
=
−
B．
2
0
2
4
x
x
x
−
C．
2
7
x
x
−
D．
2
0
0
y
x
y
+
+
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就
组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键.
根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可
【详解】解：A、
4
0
1
5
0
x
x
+
=
−
不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意；
B、
2
0
2
4
x
x
x
−
不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意；
C、
2
7
x
x
−
是一元一次不等式组，故该选项符合题意；
D、
2
0
0
y
x
y
+
+
不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意；
故选：C
6．（24-25 七年级下·全国·单元测试）下列不等式组中，属于一元一次不等式组的是（ ）
A．
1
0
1
0
x
y
+
−
B．
2
3
0
3
x
x
−
−
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C．
3
0
1
1
0
x
x
+
D．(
)(
)
3
2
0
2
3
0
x
x
x
−
−
+
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组．解题的关键是掌握一元一次不等式组的定义．
一元一次不等式组中指含有一个相同的未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1 次，不等式的两边都
是整式，根据以上内容判断即可．
【详解】解：A、该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
B、该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意；
C、该不等式组中的第二个不等式是分式不等式，则它不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
D、该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；
故选：B．
7．（24-25 七年级下·全国·课后作业）下列不等式组：①
2
3
x
x
−
；②
0
2
4
x
x
+
；③
1
0
4
0
x
y
+
−
；④
3
0
7
x
x
+
−
；
⑤
2
2
1
2
4
x
x
x
+
+
，其中是一元一次不等式组的个数（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1 来判断．
根据一元一次不等式组的定义判断即可．
【详解】解：①
2
3
x
x
−
是一元一次不等式组；
②
0
2
4
x
x
+
是一元一次不等式组；
③
1
0
4
0
x
y
+
−
含有两个未知数，不是一元一次不等式组；
④
3
0
7
x
x
+
−
是一元一次不等式组；
⑤
2
2
1
2
4
x
x
x
+
+
，未知数是2 次，不是一元一次不等式组，
其中是一元一次不等式组的有3 个，
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故选：B．
题型二：一元一次不等式组在数轴上的表示
1．（2025·河南郑州·模拟预测）不等式组
2
3
9
1
0
x
x
−
+
−
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．分别求出
每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定出不等
式组的解集．
【详解】解：
2
3
9
1
0
x
x
−
+
−
①
②
，
解不等式①得，
3
x −，
解不等式②得，
1
x ，
不等式组的解集为3
1
−
x
，
不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：A ．
2．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）不等式组
3
4
m
m
，则m 的取值范围在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式组的解集以及在数轴上的表示，解题关键是理解解集的概念，本题根据“同大取
大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无处找”求出解集并在数轴上表示即可．
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【详解】解：不等式组{m≥3
m≤4
的解集为3
4
m
，
利用大小小大取中间，且包括3 和4，取实心点，
故选：D ．
3．（24-25 九年级上·湖南长沙·阶段练习）不等式组
1
0
2
1
5
x
x
−
−−
的解集，在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元一次不等式组的解集，数轴表示不等式解集，掌握不等式的性质，不等式组的
取值方法是关键．
根据不等式的性质，分别求出不等式的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：
1
0
2
1
5
x
x
−
−−
①
②，
解①得，
1
x ，
解②得，
2
x −，
解集表示在数轴上如图所示，
故选：D．
4．（2025·山西·模拟预测）不等式组
1
0
2
0
x
x
+
−
，的解集可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组解集的表示，解题关键是熟练运用解一元一次不等式
组的方法进行准确计算．根据解不等式组的方法求解后判断即可．
【详解】解：
1
0
2
0
x
x
+
−
①
②，
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解不等式①得：
1
x −
解不等式②得：
2
x
∴不等式组的解集为：1
2
x
−
，
把不等式组的解集表示在数轴上：
故选：B．
5．（2025·浙江·模拟预测）不等式组
1
0
5
2
1
x
x
−
−
的解在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，
根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表
示出来即可，注意在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示．
【详解】解：
1
0
5
2
1
x
x
−
−
①
②，
解不等式①，得
1
x ，
解不等式②，得
2
x
，
因此该不等式组的解集为1
2
x
，
在数轴上表示为：
故选D．
6．（24-25 八年级下·广东深圳·开学考试）不等式组
9
1
8
2
2
5
x
x
x
−
的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
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8 /
【分析】考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出
来（，向右画；,
向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的
条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用
实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．
先解每一个不等式，再求解集的公共部分，在数轴上表示解集．
【详解】解：
9
1
8
2
2
5
x
x
x
−
①
②
，
解不等式①得
1
x ，
解不等式②得
5
x
，
∴不等式组的解集为1
5
x
．
∴数轴表示为：
故选：B．
7．（2025 九年级下·全国·专题练习）在数轴上表示不等式组
1
3
x
x
的解集，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】本题考查解不等式组并在数轴上表示解集，注意若解集是“或”，则在数轴上用实心点表示，若
解集是“或”，则在数轴上用空心点表示．
根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可．
【详解】解：在数轴上表示不等式组
1
3
x
x
的解集，如下：
故选：A
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题型三：解一元一次不等式组（计算题）
1．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）解一元一次不等式组：
2
2
0
1
2
1
2
x
x
x
−
−
+
，并在数轴上表示不等式组的解
集．
【答案】1
1
x
−
，数轴表示见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，并在数轴上表示不等式组的解集．正确求出不等式组的解集是解
题的关键．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，再在数轴上表示即可．
【详解】解：
2
2
0
1
2
1
2
x
x
x
−
−
+
①
②
解①得
1
x ，
解②得x>−1，
∴原不等式组的解集为1
1
x
−
，
数轴表示为：
2．（25-26 八年级上·广东惠州·开学考试）解不等式组：
(
)
2
1
5
7
10
2
3
x
x
x
x
+
−
+
，并把它的解集在数轴上表示出
来．
【答案】
2
x
，见解析
【分析】本题考查解一元一次不等式组，将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等式组的
解法是解题的关键．先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将
不等式组的解集表示在数轴上即可．
【详解】
(
)
2
1
5
7
10
2
3
x
x
x
x
+
−
+
①
②
，
解不等式①得
3
x
，
解不等式②得
2
x
，
故不等式组的解集为
2
x
．
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把解集在数轴上表示如下：
3．（25-26 八年级上·陕西延安·开学考试）解不等式组：
3
1
2
2
4
0
3
x
x
+ −
−
，并将解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】解集为1
2
x
−
，数轴表示见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，先求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的
解集，然后在数轴上表示不等式组的解集即可．
【详解】解：
3
1
2
2
4
0
3
x
x
+ −
−
①
②，
解①得，
1
x −，
解②得，
2
x
，
∴不等式组的解集为1
2
x
−
，
将不等式组的解集在数轴上表示为：
4．（24-25 九年级下·黑龙江大庆·期末）解下列不等式组：
(1)
(
)
2
3
5
3
3
5
6
x
x
x
x
−
−
+
；
(2)
5
1
5
2
6
2
15
3
2
x
x
x
x
−
+
−
−
+
．
【答案】(1)
1
x −
(2)2
3
x
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤．
（1）先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断
不等式组的解集即可；
（2）先根据解一元一次不等式的一般步骤，求出各个不等式的解集，再根据判断不等式组解集的口诀判断
不等式组的解集即可．
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【详解】（1）解：
(
)
2
3
5
3
3
5
6
x
x
x
x
−
−
+
①
②
，
解不等式①得，
1
x −，
解不等式②得，
3
x −，
不等式组的解集为
1
x −；
（2）解：
5
1
5
2
6
2
15
3
2
x
x
x
x
−
+
−
−
+
①
②
，
解不等式①得，
2
x
，
解不等式②得，
3
x
，
不等式组的解集为2
3
x
．
5．（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）解不等式组
2
4
2
3
1
2
2
2
x
x
x
−
+
，请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集是 ．
【答案】（Ⅰ）
3
x
；（Ⅱ）
2
x −；（Ⅲ）作图见解析；（Ⅳ）2
3
x
−
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先求出不等式组中每一个不等式的解集，
再利用不等式组解集求法原则求出它们的公共部分，然后把不等式的解集分别表示在数轴上即可得到答案．
【详解】解：
2
4
2
3
1
2
2
2
x
x
x
−
+
①
②，
（Ⅰ）解不等式①，得
3
x
；
（Ⅱ）解不等式②，得
2
x −；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
；
（Ⅳ）原不等式组的解集是2
3
x
−
；
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故答案为：（Ⅰ）
3
x
；（Ⅱ）
2
x −；（Ⅳ）2
3
x
−
．
6．（24-25 八年级下·甘肃张掖·期末）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
(1)
1
1
1 1
3
2
6
y
y
y
+
−
−
−
+ ；
(2)
(
)
3
2
8
1
3
1
3
2
2
x
x
x
x
−
−
−
−
．
【答案】(1)
0
y
，见解析
(2) 1
2
x
−
，见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式（组）、将不等式组的解集表示在数轴上，熟练掌握一元一次不等
式（组）的解法是解题关键．
（1）根据不等式的性质，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 的步骤解不等式，再将不
等式的解集表示在数轴上即可得；
（2）先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集，然后将不等式组的解集
表示在数轴上即可得．
【详解】（1）解：
1
1
1 1
3
2
6
y
y
y
+
−
−
−
+ ，
(
)
(
)
2
1
3
1
1 6
y
y
y
+
−
−
−+
，
2
2
3
3
1 6
y
y
y
+
−
+
−+
，
2
3
1 6
2
3
y
y
y
−
−
−+
−
−，
2
0
y
−
，
0
y
，
把不等式的解集表示在数轴上，如图所示：
（2）解：
(
)
3
2
8
1
3
1
3
2
2
x
x
x
x
−
−
−
−
①
②，
解不等式①得：
1
x −，
解不等式②得：
2
x
，
所以不等式组的解集为1
2
x
−
．
把不等式组的解集表示在数轴上，如图所示：
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题型四：求一元一次不等式组的整数解
1．（24-25 七年级下·吉林长春·期末）不等式组
3
2
7
1 2
3
x
x
−
−
的解集中，有（ ）个整数解．
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出整数解即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小
小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：
3
2
7
1
2
3
x
x
−
−
①
②，
解不等式①得：
3
x
，
解不等式②得：
1
x −，
不等式组的解集为1
3
x
−
，
则不等式组的整数解有0 、1、2 、3共4 个．
故选：B．
2．（24-25 七年级下·河北邯郸·期末）不等式组
3(
1)
1
2
3
2
3
x
x
x
+
−
−
+
的正整数解的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．0 个
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解，先分别解两个不等式，求出解集的公共部分，再确定
其中的正整数解的个数即可．
【详解】解：解不等式：(
)
3
1
1
x
x
+
−
展开得：3
3
1
x
x
+
−
移项合并同类项：2
4
x −
解得：
2
x −；
解不等式：
2
3
2
3
−
+
x
移项得：
2
1
3 x
−
−
两边乘以
3
2
-
，得
3
2
x≤
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14 /
∴不等式组的解集为
3
2
2
x
−
，
则正整数解为
1
x =
即不等式组的正整数解的个数为1 个，
故选：A．
3．（24-25 七年级下·河南许昌·期末）不等式组
2
3
9
1 3
5
x
x
x
−
−
+
−
的整数解有（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】B
【分析】本题考查了求不等式组的整数解．
分别解两个不等式，确定解集的公共部分，再找出其中的整数解个数即可．
【详解】解：解2
3
9
x
x
−−
得：
4
x
解1 3
5
x
+
−得：
2
x −
即2
4
x
−
在2
4
x
−
内的整数为1,0,1,2,3,4
−
，共6 个．
故选：B
4．（24-25 七年级下·湖南湘西·阶段练习）一元一次不等式组
2(
3)
4
0
1
1
3
x
x
x
+
−
+
−
的最大整数解是（ ）
A．1
−
B．0
C．1
D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
先解不等式组，然后从不等式组的解集中找到最大整数解即可．
【详解】
(
)
2
3
4
0
1
1
3
x
x
x
+
−
+
−
①
②
解①得，
1
x − ，
解②得，
2
x
，
∴不等式组的解集为1
2
x
−
，
∴不等式组的最大整数解是1，
故选：C．
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15 /
5．（2025·黑龙江大庆·中考真题）不等式组
(
)
1
3
1
7
2
2
3
5
2
2
x
x
x
x
−
−
−
−
的整数解有 个．
【答案】2
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的整数解．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取
大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，找出整数解即可得答案．
【详解】解：
(
)
1
3
1
7
2
2
3
5
2
2
x
x
x
x
−
−
−
−
，
解不等式1
3
1
7
2
2
−
−
x
x ，得
4
x
，
解不等式
(
)
3
5
2
2
x
x
−
−
，得
1
x ，
原不等式组的解集为1
4
x
，
原不等式组的整数解为3，2 共2 个．
故答案为：2．
6．（2025·浙江杭州·模拟预测）不等式组
(
)
3
1
8
3
2
5
1
6
3
x
x
x
x
−
−
+
−
−
的非负整数解的和为 ．
【答案】21
【分析】本题考查求不等式组的整数解，求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组
的解集，进而确定不等式组的非负整数解，再求和即可．
【详解】解：解
(
)
3
1
8
3
2
5
1
6
3
x
x
x
x
−
−
+
−
−
，得：
5
2
19
3
x
x
−
，
∴不等式组的解集为
5
19
2
3
x
−
，
∴不等式组的非负整数解为：0，1，2，3，4，5，6
∴0 1 2
3 4
5 6
21
+ + + + + +
=
；
故答案为：21
7．（24-25 九年级下·广东佛山·阶段练习）请写出满足不等式组
2
1
2
1
5
x
x
+
−
的一个正整数解 ．
【答案】1 或2
【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，然后确定整数解计算即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键．
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16 /
【详解】解：∵
2
1
2
1
5
x
x
+
−
①
②
∴解不等式①，得
1
x −，解不等式②，得<3
x
，
∴不等式组的解集为1
<3
x
−
，
∴不等式组的正整数解为1,2 ，
故答案为：1 或2．
8．（25-26 九年级上·辽宁沈阳·开学考试）不等式组
(
)
3
2
8
1
5
2
2
x
x
x
x
−
−
−
的最大整数解是
【答案】2
【分析】本题考查了求不等式组的整数解．先求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据“同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解”的原则求出其公共解集，最后求其最大整数解即可．
【详解】解：
(
)
3
2
8
1
5
2
2
x
x
x
x
−
−
−
，
解
(
)
3
2
8
x
x
−
−
得：
1
x −，
解
1
5
2
2 x
x
−
得：
2
x
，
则不等式组的解集是：1
2
x
−
．
则最大整数解是2．
故答案为：2．
9．（24-25 七年级下·吉林·期末）不等式组
3
1
2
5
1
1
2
x
x
x
−
−
+
所有整数解的和为 ．
【答案】5
−
【分析】本题考查了解一元一次不等式组及其整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键；
分别求出两个不等式的解集，再求出其公共部分得不等式组的解集，从而可确定所有整数解，继而求得所
有整数解的和．
【详解】解：解不等式3
1
2
5
x
x
−
−，得：
4
x −；
解不等式
1
1
2
x + ，得：
1
x ；
所以不等式组的解集为4
1
x
−
≤，
则整数解为3
2
1 0 1
−−
−
，，，，，其和为3 2 1 0 1
5
−−−+ + = −；
故答案为：5
−．
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17 /
10．（24-25 八年级下·山东青岛·开学考试）不等式组
2
3
3
4
8
x
x
−
−
的最小整数解为 ．
【答案】0
【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法，根据x 的取值范围，得出x 的整数解，求不等式组的解集，
应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小解不了．正确的求出不等式的解
集是解题的关键．首先解不等式组，再根据x 是整数解得出x 的可能取值，进而得出最小整数解．
【详解】解：
2
3
3
4
8
x
x
−
−
①
②
，
由①得，
2
3
x −
，
由②得，
4
x
，
∴原不等式组的解集为：
2
4
3
x
−
，
∵x 为整数，故x 可取0、1、2、3、4，
∴最小整数解为0．
故答案为：0．
题型五：由一元一次不等式组求参数
1．（24-25 七年级下·全国·期末）若不等式组
2
7
5
8
x
x
x
n
+
−
的解集是
5
x
，则n 的取值范围是（ ）
A．
2
n
B．
2
n
C．
5
n
D．
5
n
【答案】D
【分析】本题考查根据一元一次不等式组的解集情况求参数，掌握“同大取大，同小取小，大小小大取中间，
大大小小是无解”是解本题的关键．
先求出不等式2
7
5
8
x
x
+
−的解集，再根据两个不等式解集的公共部分为
5
x
，即可确定n 的取值范围．
【详解】解：解不等式2
7
5
8
x
x
+
−，得：
5
x
，
不等式组
2
7
5
8
x
x
x
n
+
−
的解集是
5
x
，
5
n
，
故选D．
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18 /
2．（24-25 八年级下·甘肃兰州·期末）若不等式组
2
2
0
x
a
b
x
−
−
的解集是1
1
x
−
，则(
)
2025
a
b
+
= （ ）
A．1
−
B．1
C．1
D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、有理数的乘方等知识点，根据不等式的解集确定a、b 的值
是解本题的关键．
先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集求出a、b 的值，然后代入计算即可．
【详解】解：由不等式组
2
2
0
x
a
b
x
−
−
，
解得∶
2
2
x
a
b
x
+
，即
2
2
b
a
x
+
．
∵1
1
x
−
，
2
1
a
+
= −，
1
2
b = ．
3
a
= −，
2
b =
．
(
)
(
)
(
)
2025
20125
2025
3
2
1
1
a
b
+
= −+
= −
= −．
故选A．
3．
（24-25 七年级下·安徽淮南·阶段练习）不等式组
5
3
1
2
1
x
x
x
m
+
−
+
的解集是
1
x
m
+ ，则m 的取值范围是（ ）
A．
2
5
m
B．
2
5
m
C．
2
5
m
D．
2
5
m
【答案】D
【分析】本题考查了求不等式组的字母参数，解题关键是掌握求不等式组的字母参数求法．
先求出不等式
5
3
1
2
x
x
+
−的解集，再根据不等式组
5
3
1
2
1
x
x
x
m
+
−
+
的解集是
1
x
m
+ ，得到关于m 的不等式
求解．
【详解】解：解不等式
5
3
1
2
x
x
+
−，得
7
5
x
，
∵不等式组
5
3
1
2
1
x
x
x
m
+
−
+
的解集是
1
x
m
+ ，
∴
7
1
5
m+
，解得：
2
5
m
，
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故选：D．
4．（24-25 八年级下·陕西西安·开学考试）如果不等式(
)
(
)
4
2
4
a
x
a
−
−
的解集为
2
x
，则a 必须满足的
条件是（ ）
A．
4
a
B．
4
a
C．
4
a
D．
4
a
【答案】A
【分析】本题考查了不等式的性质，解不等式，先根据不等式(
)
(
)
4
2
4
a
x
a
−
−
的解集为
2
x
，可得不等
式的符号改变，故有
4
0
a −
，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵不等式(
)
(
)
4
2
4
a
x
a
−
−
的解集为
2
x
，
∴
4
0
a −
，
∴
4
a
，
故选：A ．
5．（24-25 八年级下·四川达州·阶段练习）若关于x 的不等式组
2
3
3
1
x
x
x
m
+
−
的解集为
4
x
，则m 满足的
条件是（ ）
A．
4
m
B．
4
m =
C．
4
m −
D．
4
m
【答案】D
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，
再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．解集的规律：同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、
大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式2
3
3
1
x
x
+
−得：
4
x
，
关于x 的不等式组
2
3
3
1
x
x
x
m
+
−
的解集为
4
x
，
4
m
，
故选：D ．
6．（25-26 八年级上·江苏盐城·开学考试）若不等式组
0
0
x
b
x
a
−
+
的解集为2
3
x
，则a = ，
b = ．
【答案】
2
− 3
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【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是明确两个不等式的解集，按照“同大取大，同小
取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的是无解”确定不等式组的解集．把不等式的解用含a ，b
的式子表示出来，再结合条件进行分析即可．
【详解】解：
0
0
x
b
x
a
−
+
①
②，
解不等式①得：x
b
，
解不等式②得：x
a
−，
∵不等式组的解集为：2
3
x
，
∴
3,
2
b
a
=
−=
，
即
2
a = −，
故答案为：2
−，3．
7．
（24-25 七年级下·青海玉树·期末）已知关于x 的不等式组
4
3
5
2
x
a
x
a
+
+
+
的解集为
1
x ，则a 的值是 ．
【答案】0
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法以及根据解集求参数，重点在于理解“同大取大”等不等式组解
集的确定原则．
分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集来确定参数a 的值．
【详解】解：
4
3
5
2
x
a
x
a
+
+
+
①
②
，
解不等式①得，
3
1
x
a
+ ，
解不等式②得，
2
x
a
−
，
不等式组的解集为
1
x ，
当3
1
2
a
a
+
−
时，3
1 1
a + = ，
则
0
a =
，
3
1
2
a
a
+
−
时，
2
1
a −
= ，
则a 无解．
0
a
=
，
故答案为：0.
8．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）若不等式组
3
6
x
a
x
的解集是
6
x
，则a 的取值范围是 ．
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【答案】
2
a
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”
的原则是解题的关键．
根据口诀：同大取大，且结合不等式组的解集，得出3
6
a
，再解得
2
a
，可得答案．
【详解】解：不等式组
3
6
x
a
x
的解集为：
6
x
，
3
6
a
，
解这个不等式得
2
a
，
故答案为：
2
a
9．（24-25 七年级下·福建福州·阶段练习）若不等式组
2
0
0
x
x
m
−
−
的解集为
2
x
，则m 的取值范围是 ．
【答案】
2
m
【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，分别求出不等式①②的解集，根据不等式组的解集为
2
x
得到
2
m
，即m 的范围．
【详解】解：
2
0
0
x
x
m
−
−
①
②，
解不等式①得，
2
x
，
解不等式②得，x
m
，
∵已知不等式组的解集为
2
x
，
∴
2
m
，
故答案为：
2
m
．
10．（24-25 八年级下·福建宁德·阶段练习）若不等式组
1
2
3
x
a
x
b
−
−
的解集为1
1
x
−
，则a
b
−
= ．
【答案】2
【分析】本题考查了根据不等式的解集求参数．首先解出不等式组的解集，再把结果与所给的解集对比，
即可求得a，b 的值．
【详解】解：由
1
x
a
−
，解得：
1
x
a
+
，
由
2
3
x
b
−
，解得：
3
2
x
b
+
，
∴不等式组的解集为：3
2
1
b
x
a
+
+
，
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不等式组
1
2
3
x
a
x
b
−
−
的解集为1
1
x
−
，
∴
3
2
1
1
1
b
a
+
= −
+ =
，解得：
0
a =
，
2
b = −，
∴
(
)
0
2
2
a
b
−
=
−−
=
，
故答案为：2．
11．（24-25 七年级下·福建厦门·阶段练习）不等式组
2
4
2
5
x
a
x
b
+
−
的解集是0
2
x
，则ab 的值是 ．
【答案】2
−
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法，注意找准对
应关系．根据题目中的不等式组可以求得a 、b 的值，从而可以求得ab 的值．
【详解】解：由不等式组
2
4
2
5
x
a
x
b
+
−
得：
4
2
5
2
x
a
b
x
−
+
．
∵不等式组
2
4
2
5
x
a
x
b
+
−
的解集是0
2
x
，
∴
4
2
0
5
2
2
a
b
−
=
+
=
，
解得：
2
1
a
b
=
= −
，
∴
(
)
2
1
2
ab =
−
= −．
故答案为：2
−．
题型六：列一元一次不等式组
1．（2025·广西南宁·模拟预测）若干名学生乘船．若每条船坐4 人，则2 人无船坐；若每条船坐6 人，则
空一条船，还有船不空也不满，设有x 条船，则可列不等式组为（ ）
A．
(
)
(
)
4
2
6
1
0
4
2
6
1
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
B．
(
)
(
)
4
2
6
1
1
4
2
6
1
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
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C．
(
)
(
)
4
2
6
2
0
4
2
6
2
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
D．
(
)
(
)
4
2
6
2
1
4
2
6
2
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
【答案】C
【分析】先根据船的数量表示出学生人数，再结合“每船坐6 人时，空一条船且有船不空也不满”这一条件列
不等式组．本题主要考查一元一次不等式组的实际应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列不等式组
是解题的关键．
【详解】解：设有x 条船，由题意可得，
(
)
(
)
4
2
6
2
0
4
2
6
2
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
故选：C．
2．（24-25 八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4 人，则2 人无处住；若每间住6 人，
则还有一间不空也不满，若设有x 间宿舍，则可列不等式组为（ ）
A．
(
)
(
)
4
2
6
1
0
4
2
6
1
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
B．
(
)
(
)
4
2
6
1
1
4
2
6
1
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
C．
(
)
(
)
4
2
6
2
0
4
2
6
2
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
D．
(
)
(
)
4
2
6
1
1
4
2
6
2
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x 间宿舍，则一共有(
)
4
2
x +
人，根据题意可
知每间住6 人，则含有一间房住的人数大于0 人，小于6 人，据此列出不等式组即可．
【详解】解：设有x 间宿舍，则一共有(
)
4
2
x +
人，
由题意得，
(
)
(
)
4
2
6
1
0
4
2
6
1
6
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
，
故选：A．
3．（23-24 八年级上·全国·单元测试）小明在天气预报网上，查询到今年3 月8 日重庆市最高气温是20℃，
最低气温是12℃，则当天重庆市气温(
)
t ℃的变化范围是（ ）
A．
12
t
B．
20
t
C．12
20
t
D．12
20
t
【答案】D
【分析】本题考查了列一元一次不等式组，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．理解题
意是解题的关键．最高气温是20℃，即气温小于或等于20℃，最低气温12℃即温度大于或等于12℃，据此
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24 /
即可判断．
【详解】解：某天最高气温是20℃，最低气温12℃，则当天重庆市的气温t℃的变化范围是12
20
t
．
故答案为：D．
4．（23-24 八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5 元（行驶距离在3 千米内），超过3 千米按
每千米加收1.2 元，不足1 千米按1 千米计算，小明某次花费14.6 元．若设他行驶的路程为x 千米，则x 应
满足的关系式为（ ）
A．
(
)
14.6 1.2
5 1.2
3
14.6
x
−
+
−
B．
(
)
14.6 1.2
5 1.2
3
14.6
x
−
+
−
C．
(
)
5 1.2
3
14.6 1.2
x
+
−
=
−
D．
(
)
5 1.2
3
14.6
x
+
−
=
【答案】A
【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为x 千米，则付费
(
)
5 1.2
3
x
+
−
，根
据不足1 千米按1 千米计算，可得答案．
【详解】解：设他行驶的路程为x 千米，
∴
(
)
14.6 1.2
5 1.2
3
14.6
x
−
+
−
，
故选A
5．（23-24 七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球
和排球共30 个，购买资金不超过3600 元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150 元，
每个排球100 元．求共有几种购买方案？设购买篮球x 个，可列不等式组为（ ）
A．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
B．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
C．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
D．
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
设购买篮球x 个，则购买排球(
)
30
x
−
个，根据购买资金不超过3600 元、购买篮球的数量不少于排球数量的
一半，即可得出关于x 的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x 个，则购买排球(
)
30
x
−
个，
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25 /
由题意得
(
)
(
)
150
100 30
3600
1 30
2
x
x
x
x
+
−
−
．
故选：C．
6．（24-25 八年级下·福建三明·期中）一本书共98 页，张力读了一周（7 天）还没读完，而李永不到一周
就已读完．李永平均每天比张力多读3 页．若设张力平均每天读x 页，则由题意列出不等式组为（ ）
A．
7
98
7(
3)
98
x
x
+
B．
7
98
7(
3)
98
x
x
+
C．
7
98
7
3
98
x
x
+
D．
7
98
7
3
98
x
x
+
【答案】A
【分析】由“张力读了一周（7 天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组．
【详解】解：设张力平均每天读x 页，则李永平均每天读(
)
3
x +
页
由“张力读了一周（7 天）还没读完”可得：7
98
x
由“李永不到一周就已读完” 可得：(
)
7
3
98
x +
故：
7
98
7(
3)
98
x
x
+
故选：A．
7．（24-25 八年级上·浙江宁波·期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5 个苹果，则还剩12
个苹果；若每位小朋友分8 个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8 个，若小朋友的人数为x，则下列正确
的是（ ）
A．
(
)
0
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
B．
(
)
0
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
C．
(
)
1
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
D．
(
)
1
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
【答案】C
【分析】由“每位小朋友分5 个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x ”，可得出这箱苹果共(
)
5
12
x +
个，结合“若每位小朋友分8 个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8 个”，即可列出关于x 的一元一次不等
式组，此题得解．
【详解】解：每位小朋友分5 个苹果，则还剩12个苹果，且小朋友的人数为x ，
这箱苹果共(
)
5
12
x +
个，
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26 /
每位小朋友分8 个苹果，则有一个小朋友所分苹果不到8 个，
(
)
1
5
12
8
1
8
x
x
+
−
−
，
故选：C．
题型七：不等式组中行程问题
1．（24-25 七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于1km ）练习长跑，从起点出发按逆时针
方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km的记录如图
所示．小华一共跑了24km且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（ ）
A．14 圈
B．15 圈
C．16 圈
D．17 圈
【答案】D
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了1km ，跑第二圈时标
记了2km，跑第三圈时标记了3km和4km，据此可知小明跑了2 圈时，他的运动里程数小于3km ，设公园
的环形跑道周长为km
t
，小明总共跑了x 圈，然后列不等式求出t 的取值范围，再根据
24
x
t
=
，代入求出x 的
取值即可．
【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了1km ，跑第二圈时标记了2km，跑第三圈时标记了3km
和4km，
∴当小明跑了2 圈时，他的运动里程数小于3km ，
设公园的环形跑道周长为km
t
，小明总共跑了x 圈，根据题意，得
1
2
2
3
3
4
t
t
t
，
解得4
3
3
2
t
，
∴2
1
3
3
4
t
∴
24
16
18
t
，
又
24
xt =
，
∴
24
x
t
=
，
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∴
63
14
4
x
，
∴整数
17
x =
，
即他一共跑的圈数是17，
故选：D．
2．（24-25 七年级下·江苏南京·期末）如图( )
1 ，A，B 两地间的公路长360km，其中有一段长10km的施工
道路MN ，M 距离A 地200 km．甲、乙两辆轿车分别从A，B 两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚
出发20 min ．在非施工道路( 其限速情况如图( )
2 所示) ，甲车始终以100 km/ h 的速度行驶，乙车始终以V
km/ h 的速度行驶；在施工道路，两车均以40km / h 的速度行驶．
(1)若
90
V =
．
①甲车出发2h时，甲车行至______处，乙车行至______处；( 填“M”“N”或“MN 的中点”)
②甲车行至MN 的中点时，乙车行驶的时间为______h．
(2)已知两车在P 处相遇．
①若P 与N 重合，求V 的值；
②若P 在非施工道路上(P 不与M，N 重合) ，直接写出V 的取值范围．
【答案】(1)①M，N；②43
24
(2)①
1800
23
V =
，②
1800
60
23
V
或1800
120
17
V
【分析】( )
1 ①根据题意，分别得到
200km
MA=
，
10km
MN =
，
150km
NB =
，，根据甲乙两车的速度，即
可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在AM 段和MN 段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发20min ，得到乙
车所用时间；
( )
2 ①两车在P 处相遇(P 与N 重合) ，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在
,
AM NB 上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为360km，得到等式，表示出
速度，同时结合限速的要求，得到结果．
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28 /
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，
正确理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：①依题意，
200km
MA=
，
10km
MN =
，
360km
AB =
，
150km
NB
=
，
甲车从A 地出发，始终以100
/ h
km
的速度行驶，
甲车2 小时共行驶了
(
)
2 100
200 km
=
，
甲车出发2 小时，行至M 处，
乙车从B 地出发，比甲车晚出发
1
20min
3
=
小时，以90
/ h
km
的速度行驶，
乙车共行驶了
(
)
1
90
2
150 km
3
−
=
，
乙车行至N 处，
故答案为：M，N；
②甲车行至MN 的中点时，所用时间为：
( )
200
5
17 h
100
40
8
+
=
，
此时乙车行驶所用时间：
( )
17
1
43 h
8
3
24
−
=
，
故答案为：43
24 ；
（2）①两车在P 处相遇，P 与N 重合，
甲车所用时间为
( )
200
10
9 h
100
40
4
+
=
，
此时乙车所用时间为
( )
9
1
23 h
4
3
12
−
=
，
乙车的速度为
(
)
23
1800
150
km / h
12
23
V =
=
；
②P 在非施工道路上(P 不与M，N 重合) ，
若P 在AM 上，设甲的行驶时间为t，则0
2
t
，
此时甲行驶路程为100t ，乙行驶的路程为
1
150
10
150 10
3
40
V t
V
+
+
−
−
−
，
1
150
10
100
150 10
360
3
40
t
V t
V
+
+
+
−
−
−
=
，
7
350
12
100
V
t
V
+
=
+
，
7
350
12
0
2
100
V
V
+
+
，
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29 /
解得
1800
17
V
，
限速为60
120
V
，
1800
120
17
V
，
若P 在NB 上，设甲的行驶时间为t，360 10
10
15
100
40
4
−
+
=
，
则9
15
4
4
t
，
此时甲行驶路程为
200
10
200 10 100
100
40
t
+
+
−
−
，乙行驶的路程为
1
3
V t
−
，
200
10
1
200 10 100
360
100
40
3
t
V t
+
+
−
−
+
−
=
，
1
375
3
100
V
t
V
+
=
+
，
1
375
9
15
3
4
100
4
V
V
+
+
，
解得
1800
0
23
V
，
限速为60
120
V
，
1800
60
23
V
，
综上所述
1800
60
23
V
或1800
120
17
V
．
3．（24-25 七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于1km）按逆
时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑1km，软件会在运动轨迹上标注出相应
的里程数．前4km的记录数据如图所示．
(1)当李子宸同学跑了2 圈时，他的运动里程数______3km （填“”“ = ”或“”）；
(2)若
0
a
b
，利用不等式的基本性质比较10
a 与10
b 的大小；
(3)如果李子宸同学跑到10km时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数．
【答案】(1)
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(2)10
10
a
b
(3)7
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键．
（1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了1km ，跑第二圈时标记了2km，跑第三圈时标记了3km 和4km，
据此可知小明跑了2 圈时，他的运动里程数小于3km ；
（2）利用不等式的基本性质求解即可；
（3）设公园的环形跑道周长为km
t
，小明总共跑了x 圈，然后列不等式求出t 的取值范围，再根据
10
x
t
=
，
代入求出x 的取值范围即可．
【详解】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了1km ，跑第二圈时标记了2km，跑第三圈时标记
了3km 和4km，
∴当小明跑了2 圈时，他的运动里程数
3km
；
（2）解：∵
0
a
b
∴1
1
a
b
∴10
10
a
b
；
（3）解：设公园的环形跑道周长为km
t
，小明总共跑了x 圈，
由题意得：
1
2
2
3
4
3
t
t
t
，
解得：4
3
3
2
t
，
∴2
1
3
3
4
t
，
∴20
10
30
3
4
t
又∵李子宸同学跑到10km时恰好回到起点，
10
xt
=
，
∴
10
x
t
=
，
∴20
30
3
4
x
，
∵x 是正整数，
∴
7
x =
，即此时小明总共跑的圈数为7．
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31 /
题型八：不等式组中工程问题
1．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保
护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防
污治理工程已正式启动，由甲队单独做5 个月后，乙队再加入合作2 个月就可以完成这项工程．已知若甲
队单独做需要8 个月可以完成．
(1)乙队单独完成这项工程需要几个月？
(2)已知甲队每月施工费用为15 万元，比乙队多6 万元，按要求该工程总费用不超过141 万元，工程必须在
一年内竣工（包括12 个月），为了确保经费和工期，采取甲队做a 个月（a 为整数），乙队做4 个月分工
合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？
【答案】(1)乙队需要16 个月完成
(2)方案一：甲队作6 个月，乙队作4 个月；方案二：甲队作7 个月，乙队作4 个月．方案一最省钱，费用
为126 万元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的
关键．
（1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知5
2
2
1
8
8
x
+
+
= ，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需
要15 个月．
（2）根据工程总费用不超过141 万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a 的取值范围，确定工程
方案，再求出费用即可．
【详解】（1）设乙队需要x 个月完成，根据题意得：5
2
2
1
8
8
x
+
+
= ，
解得
16
x =
，
经检验
16
x =
是原方程的根
答：乙队需要16 个月完成；
（2）根据题意得：
(
)
15
15
6
4
141
4
1
8
16
a
a
+
−
+
，
解得6
7
a
方案一：甲队作6 个月，乙队作4 个月，
(
)
15 6
15
6
4
126
+
−
=
万元；
方案二：甲队作7 个月，乙队作4 个月，
(
)
15 7
15
6
4
141
+
−
=
万元；
所以方案一最省钱，费用为126 万元．
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32 /
2．（24-25 八年级上·湖北武汉·期末）2024 年初，洪山区某老旧小区，积极推动实施小区“瓶改管”燃气改
造项目甲、乙两个工程队参与该项目施工．该工程若由甲队单独施工会超过规定工期40 天；若由乙队单独
施工则会超过规定工期80 天．施工方案如下：甲、乙两队先合做64 天，剩余的由乙队单独完成，恰好如
期完成．
(1)求这项工程的规定工期是多少天？
(2)在甲、乙两队工作效率不变的前提下，为让居民更快用上天然气，工程指挥部决定缩短工期，总工期不
超过100 天，并修改原有施工方案：甲、乙两队先合做a 天，剩余的由乙队单独施工，恰好按缩短后的总
工期完成．请给出所有可行具体施工方案（合做天数a 和总工期均为正整数）
【答案】(1)120 天
(2)当
80,
100
a
t
=
=
，具体施工方案甲、乙两队先合做80 天，剩余的由乙队单独施工20 天；当
84,
95
a
t
=
=
，
具体施工方案甲、乙两队先合做84 天，剿余的由乙队单独施工11 天；当
88,
90
a
t
=
=
，具体施工方案甲、
乙两队先合做88 天，剩余的由乙队单独施工2 天．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及不等式组的应用；
（1）设这项工程的规定工期是t 天，根据甲、乙两队先合做64 天，剩余的由乙队单独完成，恰好如期完成，
再建立分式方程求解即可；
（2）由（1）求解甲队工作效率
1
1
120
40
160
=
+
，乙队工作效率
1
1
120
80
200
=
+
，设缩短后总工期t 天，可得
1
1
1
160
200
200
t
a
a
−
+
+
=
，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：设这项工程的规定工期是t 天，
根据题意得：
1
1
64
64
1
40
80
80
t
t
t
t
−
+
+
=
+
+
+
，
解得：
120
t =
，经检验，
120
t =
是所列方程的解，且符合题意，
答：这项工程的规定工期是120 天；
（2）解：由（1）得甲队工作效率
1
1
120
40
160
=
+
，乙队工作效率
1
1
120
80
200
=
+
，
设缩短后总工期t 天，
根据题意得：
1
1
1
160
200
200
t
a
a
−
+
+
=
，
解得：
5
200
4
a
t =
−
，
∵t
100
，,t a 均为正整数且由实际可知a
t
，
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33 /
∴
5
0
200
100
4
5
200
4
a
a
a
−
−
，
得
800
80
9
a
故当
80,
100
a
t
=
=
，具体施工方案甲、乙两队先合做80 天，剩余的由乙队单独施工20 天；
当
84,
95
a
t
=
=
，具体施工方案甲、乙两队先合做84 天，剿余的由乙队单独施工11 天；
当
88,
90
a
t
=
=
，具体施工方案甲、乙两队先合做88 天，剩余的由乙队单独施工2 天．
3．（24-25 七年级下·广东江门·期末）沅陵一中有360 张旧课桌需维修，经过甲、乙两个维修小组的竞标得
知，甲组工作效率是乙组的1.5 倍，且甲组单独维修完这批旧课桌比乙组单独维修完这批旧课桌少用5 天；
已知甲组每天需要付工资800 元，乙组每天需要付工资400 元；
（1）求甲、乙两个小组每天各维修多少张旧棵桌？
（2）学校维修这批旧课桌预算资金不超过7200 元，时间不超过12 天，请你帮学校算一算有几种维修方案
（天数不足1 天的按1 天算）；每种方案需要多少钱？
【答案】（1）甲每天维修张36 旧课桌，乙每天维修24 张旧课桌；（2）甲负责216 张旧课桌，乙负责144
张旧课桌，需要费用为7200 元
【分析】（1）设乙小组每天各维修x 张旧课桌，根据题意列出方程即可求出答案；
（2）分别计算甲乙单独完成该项工作的天数，设甲负责m 张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，根据
题意可列出关于m 的一元一次不等式组，得出m 的值即可得出答案．
【详解】（1）设乙小组每天维修x 张旧课桌，
∴甲小组每天维修1.5x 张旧课桌，
根据题意可知： 360
360
5
1.5x
x
=
−，
解得：x＝24，
经检验，x＝24 是原分式方程的解，
答：甲每天维修张36 旧课桌，乙每天维修24 张旧课桌；
（2）由甲单独负责，此时完成工作需要360
36 ＝10 天，需要费用为10×800＝8000 元，
由乙单独负责，此时完成工作需要360
24 ＝15 天，需要费用为15×400＝6000 元，
故由甲或乙单独负责该项目都不符合题意，需要考虑甲乙合作完成，
设甲负责m 张旧课桌，则乙负责（360﹣m）张旧课桌，
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34 /
∴
360
800
400
7200
36
24
360
12
36
24
m
m
m
m
−
+
−
+
，
解得：m＝216，
此时学校需要付费为：800× 216
36 +400×144
24 ＝7200 元
答：由甲负责216 张旧课桌，乙负责144 张旧课桌，需要费用为7200 元．
4．（24-25 七年级下·全国·单元测试）已知某项工程，乙工程队单独完成所需天数是甲工程队单独完成所需
天数的两倍，若甲工程队单独做10 天后，再由乙工程队单独做15 天，恰好完成该工程的7
10 ，共需施工费
用85 万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多1 万元．
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程对各需要多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
（3）若要完成全部工程的施工费用不超过116 万元，且乙工程队的施工天数大于10 天，求甲工程队施工
天数的取值范围？
【答案】（1）甲、乙两工程队各需要25 天和50 天；
（2）甲工程队每天的施工费为4 万元，乙工程队每天的施工费为3 万元；
（3）取值范围是：17≤m＜20．
【详解】分析：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x 天，乙工程队单独施工完成此项工程的
天数为2x 天，根据工程队单独做10 天后，再由乙工程队单独做15 天，恰好完成该工程的7
10 ，列方程求解
即可；
（2）设甲工程队每天的施工费为a 万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，根据甲队的10 天的总
费用+乙队15 天的总费用=85”列方程求解可得；
（3）根据题意表示出甲、乙两队的施工天数，再根据不等关系：①甲队施工总费用+乙队施工总费用≤116，
②乙队施工天数＞10，列出不等式组，求出范围．
详解：（1）设甲工程队单独施工完成此项工程的天数为x 天，乙工程队单独施工完成此项工程的天数为2x
天，根据题意得：
+ = ，
解得：x=25，
经检验：x=25 是原方程的根，
则2x=25×2=50（天），
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35 /
答：甲、乙两工程队各需要25 天和50 天；
（2）设甲工程队每天的施工费为a 万元，则乙工程队每天的施工费为（a-1）万元，
根据题意得：10a+15（a-1）=85，
解得：a=4，
则a-1=3（万元），
答：甲工程队每天的施工费为4 万元，乙工程队每天的施工费为3 万元；
（3）设全部完成此项工程中，甲队施工了m 天，
则甲完成了此项工程的，乙队完成了此项工程的（
），
故乙队在全部完成此项工程中，施工时间为：
=50-2m（天），
根据题意得：
，
解得：17≤m＜20．
答：甲工程队施工天数m 的取值范围是：17≤m＜20．
题型九：不等式组中经济问题
1．（24-25 七年级下·重庆·期末）据《2024 中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块
的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载3
L 级自动驾驶系统，核心部
件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构：
星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4 枚激光雷达；单台车净利润为5.2万元；
雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6 枚激光雷达；单台车净利润为7.5万元；
(1)根据生产日志，6 月份两条产线共交付车辆150 台，激光雷达使用总量为840 枚．求出星曜与雷霆的具
体产量；
(2)受产能波动影响，7 月份激光雷达到货量不超过6 月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6 月份的
情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6 月份增长50%．求该企业7 月份雷霆汽车的生产数量．
【答案】(1)星曜生产30台，则雷霆生产120台．
(2)该企业7 月份雷霆汽车的生产数量为110台．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用；
（1）设星曜生产x 台，则雷霆生产(
)
150
x
−
台，根据激光雷达使用总量为840 枚，可得
(
)
4
6 150
840
x
x
+
-
=
，
再解方程即可；
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36 /
（2）先求解6 月份的利润为：30 5.2 120 7.5 1056
?
?
（万元），该企业7 月份雷霆汽车的生产数量为y 台，
可得
(
)
(
)
4 30
1 50%
6
840
5.2 30
1 50%
7.5
1056
y
y
ì 创
+
+
?
ïí
创
+
+
?
ïî
①
②，再进一步解不等式组即可求解．
【详解】（1）解：设星曜生产x 台，则雷霆生产(
)
150
x
−
台，则
(
)
4
6 150
840
x
x
+
-
=
，
解得：
30
x =
，
∴150
120
x
−
=
，
答：星曜生产30台，则雷霆生产120台．
（2）解：由题意可得：6 月份的利润为：30 5.2 120 7.5 1056
?
?
（万元），
该企业7 月份雷霆汽车的生产数量为y 台，则
(
)
(
)
4 30
1 50%
6
840
5.2 30
1 50%
7.5
1056
y
y
ì 创
+
+
?
ïí
创
+
+
?
ïî
①
②，
由①得：
110
y £
，
由②得：
109.6
y ³
，
∴109.6
110
y
＃
，
∵y 为整数，
∴
110
y =
，
答：该企业7 月份雷霆汽车的生产数量为110台．
2．
（24-25 七年级下·陕西咸阳·期末）为增强学生体质，丰富学生课余活动，学校决定添置一批篮球和足球．已
知篮球价格为200 元/个，足球价格为150 元/个．若学校计划用不超过3550 元的总费用购买篮球和足球共
20 个，且购买篮球的数量多于购买足球的数量，求学校购买篮球的数量．
【答案】11
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，找出不等关系并列出不等式组是解题的关键．
根据总费用不超过3550 元，购买篮球的数量多于购买足球的数量，列出不等式组，求解即可．
【详解】设购买篮球x 个，则购买足球(20
)x
−
个，根据题意，得
200
150(20
)
3550
20
x
x
x
x
+
−
−
，
解得：10
11
x
，
∵篮球和足球的数量是整数，
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37 /
∴
11
x =
，
答：学校购买篮球11个．
3．（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）美丽的滨海城市深圳，不仅阳光充沛，而且特色水果丰富，其中
南山荔枝是广东省著名的荔枝品种，某经销商计划从南山购进糯米糍、桂味两种荔枝．已知购进糯米糍2
箱，桂味3 箱，共需690 元；购进糯米糍1 箱，桂味4 箱，共需720 元．
(1)糯米糍、桂味每箱的价格分别是多少元？
(2)该经销商计划用不超过5400 元购进糯米糍、桂味共40 箱，且糯米糍的箱数不超过桂味箱数的3 倍，糯
米糍最多为多少箱？
【答案】(1)糯米糍每箱的价格是120元，桂味每箱的价格是150元
(2)糯米糍最多为30箱
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确列出二元一
次方程组是解题的关键．
（1）设糯米糍每箱的价格是a 元，桂味每箱的价格是b 元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即
可求解；
（2）设糯米糍有x 箱，则桂味有(
)
40
x
−
箱，据题意列出一元一次不等式组，解不等式组得出20
30
x
，
即可求解．
【详解】（1）解：设糯米糍每箱的价格是a 元，桂味每箱的价格是b 元，
根据题意得：
2
3
690
4
720
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得：
120
150
a
b
=
=
，
答：糯米糍每箱的价格是120元，桂味每箱的价格是150元；
（2）解：设糯米糍有x 箱，则桂味有(
)
40
x
−
箱，
由题意可得：
3(40
)
120
150(40
)
5400
x
x
x
x
−
+
−
解得：20
30
x
，
x
为正整数，
糯米糍最多为30箱．
4．（24-25 七年级下·甘肃陇南·期末）车间计划生产甲乙两种零件，两种零件必须整套生产且每1 件甲零件
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38 /
与3 件乙零件配成一套，已知甲零件生产成本每件150 元，售价200 元；乙零件生产成本每件100 元，售
价130 元．如果每天限定投入成本不超过4500 元，利润要大于1300 元，则每天应该生产两种零件各多少
件？
【答案】每天应该生产甲种零件10 件，生产乙种零件30 件
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次
不等式组．设每天应该生产甲种零件x 件，则每天应该生产乙种零件3x 件，根据每天限定投入成本不超过
4500 元，利润要大于1300 元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【详解】解：设每天应该生产甲种零件x 件，则每天应该生产乙种零件3x 件，
由题意得：(
)
(
)
150
100 3
4500
200 150
130 100
3
1300
x
x
x
x
+
−
+
−
，
解得：65
10
7
x
，
∵x 为正整数，
∴
10
x =
，
∴3
30
x =
，
答：每天应该生产甲种零件10 件，生产乙种零件30 件．
5．（24-25 八年级下·陕西宝鸡·期末）某商场购进A ，B 两种商品，A 商品每件的进价为100 元，B 商品每
件的进价为60 元，该商场计划购进A ，B 两种商品共60 件，且购进B 商品的件数不少于A 商品件数的2
倍．若A 商品按每件150 元销售，B 商品按每件80 元销售，为满足销售完A ，B 两种商品后获得的总利润
不低于1770 元，则购进A 商品的件数为多少？
【答案】购进A 商品的件数为19 或20 件
【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用；设购进m 件A 商品，则购进(
)
60
m
−
件B 商品，根据题意
列出一元一次不等式组，计算求解即可．
【详解】解：设购进m 件A 商品，则购进(
)
60
m
−
件B 商品，根据题意得：
(
)
(
)(
)
60
2
150 100
80
60
60
1770
m
m
m
m
−
−
+
−
−
解得：19
20
m
，
m
整数值为19 或20．
答：购进A 商品的件数为19 或20 件．
6．（24-25 七年级下·湖南衡阳·期末）学校计划为“百年党史，红色传承”演讲比赛购买奖品，已知购买3 个
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A 种奖品和4 个B 种奖品共需170 元；购买4 个A 种奖品和3 个B 种奖品共需180 元．
(1)求A，B 两种奖品的单价；
(2)学校准备购买A，B 两种奖品共25 个，且A 种奖品的数量不少于B 种奖品数量的2 倍，购买奖品的花费
不得高于680 元，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
【答案】(1)A 种奖品的单价为30 元，B 种奖品的单价为20 元
(2)购买A 奖品17 个，购买B 奖品8 个，花费最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的解法，需熟练掌握二元一次方程组
和一元一次不等式组的解法．
（1）设出未知数，根据题目已知条件列二元一次方程组求解即可．
（2）根据A 种奖品与B 种奖品的数量关系以及钱数列不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设A 种奖品的单价为x 元，B 种奖品的单价为y 元，
∵购买3 个A 种奖品和4 个B 种奖品共需170 元，
购买4 个A 种奖品和3 个B 种奖品共需180 元，
由题意，得：
3
4
170
4
3
180
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
30
20
x
y
=
=
．
答：A 种奖品的单价为30 元，B 种奖品的单价为20 元．
（2）解：设购买A 种奖品m 个，则购买B 种奖品(
)
25
m
−
个，
∵购买奖品的花费不得高于680 元，
由题意，得：
(
)
(
)
2 25
30
20 25
680
m
m
m
m
−
+
−
，解得：50
18
3
m
≤
≤
．
∵m 为整数，
∴
1718
m =
, ，则25
=8,7
m
−
．
∴学校有两种购买方案，
方案一：购买A 种奖品17 个，则购买B 种奖品8 个，
∵A 种奖品的单价为30 元，B 种奖品的单价为20 元，
此时花费17 30 8 20
670
+
=
元；
方案二：购买A 种奖品18 个，则购买B 种奖品7 个，
∵A 种奖品的单价为30 元，B 种奖品的单价为20 元，
此时花费18 30 7 20
680
+
=
元；
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40 /
∴
17
m =
时，花费最少，
即购买A 奖品17 个，购买B 奖品8 个，花费最少．
7．（24-25 八年级下·四川成都·期末）地摊经济增加了城市的烟火气，从而让城市变得更加生动和有趣．某
个体户准备购买A，B 两款T 恤共50 套摆地摊销售，预计投资不少于1800 元，但不超过1830 元，T 恤的
进价和售价如下表：
A
B
进价（元/件）
40
30
售价（元/件）
55
40
(1)该个体户有几种购买T 恤的方案？请分别列出来；
(2)该个体户能够获得的最大利润是多少？
(3)若将每套A 款T 恤的售价降低a 元（
0
a
），且所有T 恤都可以售完，要使（1）中所有方案获利相同，
则a 的值为多少？
【答案】(1)有 4 种方案：方案1：A 款30 套，B 款20 套；方案2：A 款31 套，B 款19 套；方案3：A 款
32 套，B 款18 套；方案4：A 款33 套，B 款17 套；
(2)665 元
(3)
5
a =
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，整式加减的应
用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设购买A 款T 恤x 套，则购买B 款T 恤(
)
50
x
−
套，根据预计投资不少于1800 元，但不超过1830 元
建立不等式组求出x 的取值范围即可得到答案；
（2）根据计算出一套A 款T 恤的利润比一套B 款T 恤的利润大，则A 款T 恤越多，利润越大，据此确定利
润最大的方案，并计算出最大利润即可；
（3）设购买A 款T 恤x 套，则购买B 款T 恤(
)
50
x
−
套，用含a、x 的式子表示出总利润，根据利润不变可
知利润的值与x 值无关求解即可．
【详解】（1）解：设购买A 款T 恤x 套，则购买B 款T 恤(
)
50
x
−
套，
由题意得
(
)
(
)
40
30 50
1800
40
30 50
1830
x
x
x
x
+
−
+
−
，
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41 /
解得30
33
x
，
∵x 为整数，
∴x 的值可以为30 或31 或32 或33，
当
30
x =
时，50
20
x
−
=
当
31
x =
时，50
19
x
−
=
，
当
32
x =
时，50
18
x
−
=
，
当
33
x =
时，50
17
x
−
=
，
∴有 4 种方案：方案1：A 款30 套，B 款20 套；方案2：A 款31 套，B 款19 套；方案3：A 款32 套，B 款
18 套；方案4：A 款33 套，B 款17 套；
（2）解：∵55
40
15
40
30
10
−
=
−
=
，
∴一套A 款T 恤的利润比一套B 款T 恤的利润高，
∴购买A 款33 套，B 款17 套时所获得的利润最大，最大利润为15 33 10 17
495 170
665
+
=
+
=
元，
答：该个体户能够获得的最大利润是665 元；
（3）解：设购买A 款T 恤x 套，则购买B 款T 恤(
)
50
x
−
套，
将每套A 款T 恤的售价降低a 元（
0
a
）后，所获得的利润为(
)
(
)
(
)
15
10 50
5
500
x
a
x
a x
−
+
−
=
−
+
（元），
∵要使（1）中所有方案获利相同，
∴利润的值与x 值无关，
∴5
0
a
−
=
，
∴
5
a =
．
8．（24-25 七年级下·湖北武汉·期末）新能源汽车正逐渐成为人们喜欢的交通工具．现某汽车销售公司计划
购进一批新能源汽车进行销售．据了解1 辆A 型汽车、1 辆B 型汽车的进价共计40 万元；若单次购买A 型
汽车超过15 辆，每辆车进价打九五折；若单次购买B 型汽车超过15 辆，每辆汽车进价优惠0.5 万元．当
购买A 型和B 型汽车各20 辆时，共需775 万元．
(1)求该汽车销售公司单独购进A，B 型号汽车各一辆时，进价分别为多少万元？
(2)因资金紧张，该公司计划以不超过285 万元购进以上两种型号的新能源汽车共15 辆，每辆A 型汽车在进
价的基础上提高5000 元销售，每辆B 型汽车在进价的基础上提高6% 销售．假如这些新能源汽车全部售出，
至少要获利11 万元，该公司有几种购进方案？
(3)为打开B 型汽车的销路，该公司决定每辆B 型汽车降价a 万元，A 型汽车的售价不变，要使（2）中所有
方案获利相同，则a 的值为______．
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42 /
【答案】(1)该汽车销售公司单独购进1 辆A 型汽车的进价是15 万元，1 辆B 型汽车的进价是25 万元；
(2)该公司有3 种购进方案
(3)1
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据各数量之间的
关系，正确列出列出方程和一元一次不等式组．
（1）设该汽车销售公司单独购进1 辆A 型汽车的进价是x 万元，则该汽车销售公司单独购进1 辆B 型汽车
的进价是(
)
40
x
−
万元，根据“当购买A 型和B 型汽车各20 辆时，共需775 万元”，可列出关于x 的一元一
次方程，解之可得出该汽车销售公司单独购进1 辆A 型汽车的进价，再将其代入(
)
40
x
−
中，即可求出该汽
车销售公司单独购进1 辆B 型汽车的进价；
（2）设购进m 辆A 型汽车，则购进(
)
15
m
−
辆B 型汽车，根据“该公司计划以不超过285 万元购进以上两
种型号的新能源汽车共15 辆，且全部售出后至少要获利11 万元”，可列出关于m 的一元一次不等式组，解
之可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各购买方案；
（3）根据（2）中所有方案获利相同，可列出关于a 的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：设该汽车销售公司单独购进1 辆A 型汽车的进价是x 万元，则该汽车销售公司单独购进
1 辆B 型汽车的进价是(
)
40
x
−
万元，
根据题意得：
(
)
20 0.95
20 40
0.5
775
x
x
+
−
−
=
，
解得：
15
x =
，
∴40
40 15
25
x
−
=
−
=
（万元）．
答：该汽车销售公司单独购进1 辆A 型汽车的进价是15 万元，1 辆B 型汽车的进价是25 万元；
（2）解：设购进m 辆A 型汽车，则购进(
)
15
m
−
辆B 型汽车，
根据题意得：
(
)
(
)
15
25 15
285
0.5
25 6% 15
11
m
m
m
m
+
−
+
−
，
解得：9
11.5
m
，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为9，10，11，
∴该公司共有3 种购进方案，
方案1：购进9 辆A 型汽车，6 辆B 型汽车；
方案2：购进10 辆A 型汽车，5 辆B 型汽车；
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方案3：购进11 辆A 型汽车，4 辆B 型汽车；
（3）解：根据（2）中的方案，当方案1 和方案2 获利相同，则：
(
)
(
)
0.5 9
25 6%
6
0.5 10
25 6%
5
a
a
+
−
=
+
−
解得：
1
a = ，
此时方案1 和方案2 获利
(
)
0.5 9
25 6% 1
6
7.5
+
−
=
（万元），
方案3 获利
(
)
0.5 11
25 6% 1
4
7.5
+
−
=
（万元）
∴要使（2）中所有方案获利相同，则a 的值为1．
故答案为：1．
9．（24-25 八年级上·湖南长沙·阶段练习）某外地客商准备在百色老区采购一批特色商品，经调查，用16000
元采购A 型商品的件数是用7500 元采购B 型商品的件数的2 倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进
价多10 元．
(1)求一件A B
，型商品的进价分别为多少元？
(2)若该外地客商购进A，B 型商品共160 件进行试销，其中A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不小于
78 件，已知A 型商品的售价为240 元/件，B 型商品的售价为220 元/件，且全部售出，则共有哪几种进货方
案？
(3)在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．
【答案】(1)一件A 型商品的进价为160 元，一件B 型商品的进价为150 元
(2)见解析
(3)方案3 购进A 型商品80 件，B 型商品80 件获得利润最大，最大利润为12000 元
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量关系列出方程和不等式式
解题的关键．
（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(
)
10
x +
元，根据数量= 总价单价，结合“用
16000 元采购A 型商品的件数是用7500 元采购B 型商品的件数的2 倍”，即可得出关于x 的分式方程，解之
经检验后即可得出结论；
（2）设购进A 型商品m 件，则购进B 型商品(
)
160
m
−
件，根据“A 型商品的件数不大于B 型的件数，且不
小于78 件”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为整数即可得
出各进货方案；
（3）利用总利润= 每件的利润销售数量，可分别求出3 种进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出
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结论．
【详解】（1）解：设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为(
)
10
x +
元，依题意得
16000
7500
2
10
x
x
=
+
，
解得
150
x =
，
经检验，
150
x =
是原方程的解且符合题意，所以
10
160
x+
=
．
答：一件A 型商品的进价为160 元，一件B 型商品的进价为150 元．
（2）解：设购进A 型商品m 件，则购进B 型商品(
)
160
m
−
件，
依题意得
160
78
m
m
m
−
，
解得78
80
m
，
又∵m 为整数，即m 可以为78，79，80，
∴共有3 种进货方案，
方案1：购进A 型商品78 件，B 型商品82 件；
方案2：购进A 型商品79 件，B 型商品81 件；
方案3：购进A 型商品80 件，B 型商品80 件．
（3）解：方案1 获得的利润为(
)
(
)
240 160
78
220 150
82
11980
−
+
−
=
（元）；
方案2 获得的利润为(
)
(
)
240 160
79
220 150
81
11990
−
+
−
=
（元）；
方案3 获得的利润为(
)
(
)
240 160
80
220 150
80
12000
−
+
−
=
（元）．
∵1180
1190
12000
，
∴方案3 购进A 型商品80 件，B 型商品80 件获得利润最大，最大利润为12000 元．
题型十：不等式组中分配问题
1．（24-25 八年级下·山东枣庄·阶段练习）春雨中学九年级（1）班和九年级（2）班的同学外出参观，将两
班的所有学生分成8 组，如果每组人数比预定每组人数多1 人，那么学生总数将超过100 人；如果每组人
数比预定每组人数少1 人，那么学生总数将不到90 人．则预定每组学生有 人．
【答案】12
【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键．
设预定每组分配x 人，根据两班的所有学生分成8 组，如果每组人数比预定每组人数多1 人，那么学生总数
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将超过100 人；如果每组人数比预定每组人数少1 人，那么学生总数将不到90 人，列出不等式方程组求解
即可．
【详解】解：设预定每组分配x 人，根据题意可得：
(
)
(
)
8
1
100
8
1
90
x
x
+
−
解得：
1
1
11
12
2
4
x
∵x 为整数，
∴
12
x =
，
故答案为：12．
2．（24-25 七年级上·上海·假期作业）学校现有若干个房间分配给初三( )
1 班的男生住宿，已知该班男生不
足50人，若每间住4 人，则余15人无住处；若每间住6 人，则恰有一间不空也不满（其余均住满）．那么
该班的男生人数是 人．
【答案】47
【分析】本题考查一元一次不等式组的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，并根据题意列出不等式组．设
有x 间宿舍，利用“若每间住4 人，则余15人无住处”得出总人数为4
15
x +
，利用“若每间住6 人，则恰有一
间不空也不满（其余均住满）”列式求出x 范围，再结合x 为正整数，依次对x 的值进行判断该班男生是否
不足50人，即可求解．
【详解】解：设有x 间宿舍．
根据题意，得：
(
)
(
)
4
15
6
1
1
4
15
6
1
5
x
x
x
x
+
−
−
+
−
−
，
解得：8
10
x
，
因为x 为正整数，
当
8
x = 时，人数为4 8 15
47
+
=
；
当
9
x =
时，人数为4 9 15
51
+
=
；
当
10
x =
时，人数为4 10 15
55
+
=
；
因为该班男生不足50人，
所以该班的男生人数是47 人，
故答案为：47 ．
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3．（24-25 七年级下·甘肃甘南·期末）养殖场计划用甲乙两种原料配制饲料，已知每千克甲原料含营养物质
A 为200 克；每千克乙原料含营养物质A 为300 克．如果要求配好的饲料每千克中含营养物质A 不低于240
克、不高于245 克．求配制每千克饲料需要甲原料的重量范围．
【答案】配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于0.55千克，且小于等于0.6 千克
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设配制每千克饲料需要甲原料x 千克，则需要乙原
料(
)
1
x
−
千克，根据配好的饲料每千克中含营养物质A 不低于240 克、不高于245 克建立不等式组求解即可．
【详解】解：设配制每千克饲料需要甲原料x 千克，则需要乙原料(
)
1
x
−
千克，
由题意得，
(
)
(
)
0.2
0.3 1
0.24
0.2
0.3 1
0.245
x
x
x
x
+
−
+
−
，
解得0.55
0.6
x
，
答：配制每千克饲料需要甲原料的重量范围为大于等于0.55千克，且小于等于0.6 千克．
4．（2025 七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快
递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80 件和20
件，则他平均每天的提成是160 元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120 件和25 件，则他平均每天的
提成是230 元．
(1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元；
(2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200 件，且揽件数不大于送件数的1
4 ．如果他平
均每天的提成不低于318 元，求他平均每天的送件数．
【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5 元和2 元
(2)160 件或161 件或162 件或163 件或164 件
【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组
及不等式组求解是解决问题的关键．
（1）设快递员小李平均每送一件的提成是x 元，平均每揽一件的提成是y 元，由题意列二元一次方程组求
解即可得到答案；
（2）设他平均每天的送件数是m 件，则他平均每天的揽件数是(
)
200
m
−
件，由题意列一元一次不等式组求
解即可得到答案．
【详解】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是x 元，平均每揽一件的提成是y 元，
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根据题意得
80
20
160
120
25
230
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
1.5
2
x
y
=
=
，
答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5 元和2 元；
（2）解：设他平均每天的送件数是m 件，则他平均每天的揽件数是(
)
200
m
−
件，
根据题意得
(
)
200
4
1.5
2 200
318
m
m
m
m
−
+
−
，
解得160
164
m
，
∵m 是正整数，
∴m 的值为160，161，162，163，164．
答：他平均每天的送件数是160 件或161 件或162 件或163 件或164 件．
题型十一：不等式组中方案选择问题
1．（24-25 八年级上·湖北孝感·期末）今年4 月23 日是第29 个世界读书日．育才中学举办了“阅读伴成长，
书香满校园”主题活动．学校图书馆准备订购一批鲁迅文集（套）和四大名著（套）．
(1)采购员从市场上了解到四大名著（套）的单价比鲁迅文集（套）的单价贵25 元．花费3000 元购买鲁迅
文集（套）的数量与花费4500 元购买四大名著（套）的数量相同．求鲁迅文集（套）和四大名著（套）的
单价各是多少元？
(2)若该校图书馆计划购买鲁迅文集和四大名著共30 套，其中四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）
的购买数量至少多4 套，并且总费用不超过1960 元，问该校图书馆有哪几种购买方案？
【答案】(1)鲁迅文集（套）的单价是50 元，四大名著（套）的单价是75 元
(2)该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12 套，四大名著18 套；②购买鲁迅文集13 套，四大名
著17 套
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，
正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
（1）设鲁迅文集（套）的单价为x 元，则四大名著（套）的单价是(
25)
x +
元，由题意：花费3000 元购买
鲁迅文集（套）的数量与花费4500 元购买四大名著（套) 的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买鲁迅文集a 套，由题意：购买鲁迅文集和四大名著共30 套（两类图书都要买），总费用不超过
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570 元，四大名著（套）的购买数量比鲁迅文集（套）的购买数量至少多4 套，列出一元一次不等式组，求
出正整数解，即可得出答案．
【详解】（1）解：设鲁迅文集（套）的单价为x 元，则四大名著（套）的单价是(
)
25
x +
元，
由题意得：3000
4500
25
x
x
=
+
，
解得：
50
x =
，
经检验，
50
x =
是方程的解，且符合题意，
∴
25
50
25
75
x+
=
+
=
，
答：鲁迅文集（套）的单价是50 元，四大名著（套）的单价是75 元；
（2）解：设购买鲁迅文集a 套，则购买四大名著(
)
30
a
−
套，
由题意得：
(
)
(
)
50
75
30
1960
30
4
a
a
a
a
+
−
−
−
，
解得：11.6
13
a
，
∵a 为正整数，
∴
12
a =
或13，
故该该校图书馆有两种购买方案：①购买鲁迅文集12 套，四大名著18 套；②购买鲁迅文集13 套，四大名
著17 套．
2．（24-25 八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，
大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下：
型号
单价（元）
数量（台）
总金额（元）
A 型
27000
B 型
12000
已知计划购进A 型机器人比购进B 型机器人多2 台，且A 型机器人的进价比B 型机器人的进价每台高50%．
(1)求A ，B 两种型号的机器人的进价各是多少？
(2)春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000 元再次购买这两种型号的机器人共5 台，并要求
再次购买的A 型机器人的数量不少于B 型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？
【答案】(1) A 型机器人的进价为4500 元；B 型机器人的进价为3000 元；
(2)商场应购买A 型机器人3 台，B 型机器人2 台，总费用为19500 元．
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【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元
一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键．
（1）设B 型机器人的进价为x 元，则A 型机器人进价为(
)
1
50% x
+
元，设购进B 型机器人m 台，则购进A 型
机器人(
)
2
m +
台，根据题意列出方程组，解方程即可．
（2）设再次购买A 型机器人a 台，则购买B 型机器人5 a
−
（
）台，根据题意列出不等式组，解不等式即可．
【详解】（1）解：设B 型机器人进价为x 元，购进B 型机器人m 台，则A 型机器人进价为(
)
1 50%
1.5
x
x
+
=
元，购进A 型机器人(
)
2
m +
台，
根据题意，可列方程
1.5 (
2)
27000
12000
x m
xm
+
=
=
，
解得
3000
x =
，
即B 型机器人进价为3000 元，A 型机器人进价为(
)
1 50%
3000
4500
+
=
元．
（2）解：设再次购买A 型机器人a 台，则购买B 型机器人(
)
5
a
−
台，
根据题意，得
(
)
5
4500
3000 5
20000
a
a
a
a
−
+
−
，
解得5
10
2
3
a
，
由于a 为整数，所以
3
a = ，
总费用为3 4500
2 3000
19500
+
=
元，
故商场应购买A 型机器人3 台，B 型机器人2 台，总费用为19500 元．
3．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）六一儿童节到来之际，幼儿园某班计划购买哪吒玩偶和敖丙玩偶作为
礼物送给小朋友．经过调查，购买2 个哪吒玩偶和1 个敖丙玩偶需19 元，购买1 个哪吒玩偶和3 个敖丙玩
偶需22 元．
(1)求哪吒玩偶和敖丙玩偶每个价格各是多少元；
(2)该班级准备采购这两种玩偶共42 个，其中要求哪吒玩偶个数不少于敖丙玩偶个数的二倍，且总费用不超
过270 元．请求出共有哪几种购买方案．
【答案】(1)每个哪吒玩偶的价格是7 元，每个敖丙玩偶的价格是5 元；
(2)见解析．
【分析】本题考查了利用不等式组解决实际问题，并结合了二元一次方程组的实际应用．
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（1）主要考查二元一次方程组的应用，根据所求设出未知数，再根据等量关系列出方程组求解即可；
（2）主要考查一元一次不等式的应用，解题关键是根据题中的不等关系适当设出未知数，构建不等式模型
来解决实际问题，最后根据实际情况找出符合条件的方案即可．
【详解】（1）解：设每个哪吒玩偶的价格是x 元，每个敖丙玩偶的价格是y 元，
根据题意得：
2
19
3
22
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
7
5
x
y
=
=
．
答：每个哪吒玩偶的价格是7 元，每个敖丙玩偶的价格是5 元；
（2）解∶设购买m 个哪吒玩偶，则购买(
)
42
m
−
个敖丙玩偶，
根据题意得：
(
)
(
)
2 42
7
5 42
270
m
m
m
m
−
+
−
，
解得：28
30
m
．
又
m
为正整数，
m
可取的数为28，29，30．
共有3 种购买方案：
方案一：买28 个哪吒玩偶，则购买14 个敖丙玩偶；
方案二：买29 个哪吒玩偶，则购买13 个敖丙玩偶；
方案三：买30 个哪吒玩偶，则购买12 个敖丙玩偶．
4．（24-25 八年级下·贵州毕节·期末）一般灭火器的灭火原理是隔绝空气中的氧气，使燃烧失去助燃剂从而
达到目的，某消防设备公司销售甲、乙两种灭火器，已知1 支乙种灭火器的采购价比1 支甲种灭火器采购
价的2 倍多5 元，花300 元采购甲种灭火器的支数和花650 元采购乙种灭火器的支数相同．
(1)采购1 支甲种灭火器和1 支乙种灭火器分别需要多少元？
(2)若该公司准备采购这两种灭火器共50 支，总费用不超过2550 元，并且以每支甲种灭火器58 元和每支乙
种灭火器98 元的价格销售完采购的灭火器，则该公司能否实现利润不少于1540 元的目标？若能，请给出
相应的采购方案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)采购1 支甲种灭火器需要30 元，采购1 支乙种灭火器需要65 元
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51 /
(2)能，共有3 种采购方案：方案1：采购甲种灭火器20 支，乙种灭火器30 支；方案2：采购甲种灭火器
21 支，乙种灭火器29 支；方案3：采购甲种灭火器22 支，乙种灭火器28 支
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意正确列出方程和不等式组是解
题的关键．
（1）设采购1 支甲种灭火器需要x 元，则采购1 支乙种灭火器需要(
)
2
5
x +
元，根据题意列出方程，求出x
的值即可解答；
（2）设采购甲种灭火器y 支，则采购乙种灭火器(
)
50
y
−
支，根据题意列出不等式组，求出y 的范围，结合
y 是整数即可解答．
【详解】（1）解：设采购1 支甲种灭火器需要x 元，则采购1 支乙种灭火器需要(
)
2
5
x +
元，
由题意得，300
650
2
5
x
x
=
+
，
解得：
30
x =
，
经检验，
30
x =
是分式方程的解，且符合题意，
则2
5
2 30 5
65
x+ =
+ =
，
答：采购1 支甲种灭火器需要30 元，采购1 支乙种灭火器需要65 元．
（2）解：设采购甲种灭火器y 支，则采购乙种灭火器(
)
50
y
−
支，
由题意得，
(
)
(
)
(
)(
)
30
65 50
2550
58
30
98
65
50
1540
y
y
y
y
+
−
−
+
−
−
解得：20
22
y
，
∵y 是整数，
∴
20,21,22
y =
，
∴该公司能实现利润不少于1540 元的目标，共有3 种采购方案：
方案1：采购甲种灭火器20 支，乙种灭火器30 支；
方案2：采购甲种灭火器21 支，乙种灭火器29 支；
方案3：采购甲种灭火器22 支，乙种灭火器28 支．
5．（24-25 七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，
计划组织初中部1200 名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号
的客车可以租用，已知1 辆大型客车和2 辆中型客车可以载乘客105 人，2 辆大型客车和1 辆中型客车可以
载乘客135 人．
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52 /
(1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？
(2)该校计划租用两种型号的客车共27 辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2 倍，请求出所有的
租车方案？
【答案】(1)一辆大型客车可以载乘客55 人，一辆中型客车可以载乘客25 人
(2)租用大型客车18 辆，则租用中型客车9 辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设一辆大型客车可以载乘客x 人，一辆中型客车可以载乘客y 人，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设租用大型客车m 辆，则租用中型客车(
)
27
m
−
辆，根据题意，列出不等式组，即可求解．
【详解】（1）解：设一辆大型客车可以载乘客x 人，一辆中型客车可以载乘客y 人，根据题意得：
2
105
2
135
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
55
25
x
y
=
=
，
答：一辆大型客车可以载乘客55 人，一辆中型客车可以载乘客25 人；
（2）解：设租用大型客车m 辆，则租用中型客车(
)
27
m
−
辆，根据题意得：
(
)
(
)
2 27
55
25 27
1200
m
m
m
m
−
+
−
，
解得：17.5
18
m
，
∵m 为整数，
∴
18
m =
，此时27
9
m
−
=
，
答：租用大型客车18 辆，则租用中型客车9 辆．
6．（24-25 七年级下·吉林·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问
题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为
2
3m 和
2
1m .已知新建1个地上充
电桩和2 个地下充电桩需要0.8万元；新建2 个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7 万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40 个，则共有几种
建造方案？并列出所有方案．
【答案】(1)该小区新建一个地上充电桩需0.2 万元，一个地下充电桩需0.3万元
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(2)共有3种建造方案：①新建20 个地上充电桩，40 个地下充电桩；②新建19个地上充电桩，41个地下充
电桩；③新建18个地上充电桩，42 个地下充电桩
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准
等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x 万元，1个地下充电桩需要y 万元，根据新建1个地上充电桩和2 个
地下充电桩需要0.8万元；新建2 个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7 万元，列出二元一次方程组，解之
即可得出结论；
（2）设新建地下充电桩m 个，则新建地上充电桩(
)
60
m
−
个，根据该小区计划用不超过16.2万元的资金新
建60 个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40 个，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结
论．
【详解】（1）解：设该小区新建一个地上充电桩需x 万元，一个地下充电桩需y 万元，
根据题意得：
2
0.8
2
0.7
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
0.2
0.3
x
y
=
=
，
答：该小区新建一个地上充电桩需0.2 万元，一个地下充电桩需0.3万元；
（2）设新建地下充电桩m 个，则新建地上充电桩(
)
60
m
−
个，
根据题意得：
(
)
0.3
0.2 60
16.2
40
m
m
m
+
−
，
解得：40
42
m
，
又
m
为正整数，
m
可以为40 ，41，42 ，
共有3种建造方案：
①新建20 个地上充电桩，40 个地下充电桩；
②新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
③新建18个地上充电桩，42 个地下充电桩．
7．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）某旅游公司需报废更新部分车辆，选购A ，B 两款新能源汽车若干辆
（两款都要），若买10 辆A 款和5 辆B 款需付款160 万元，若买5 辆A 款和10 辆B 款需付款170 万元，设
A 款的单价为x 万元，B 款的单价为y 万元．
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(1)求x 和y 的值；
(2)若某旅游公司需购买A 款和B 款新能源汽车共14 辆，且总付款不超过150 万元也不少于144 万，请求出
所有的购买方案；
(3)根据最新汽车国家补贴政策，该公司报废更新的所有新能源汽车中，有一部分可得到国家补贴，每辆可
减2 万元．已知该公司总付款336 万元，B 款中没有享受国家补贴的数量是所购车辆总数的1
3 ，且两款汽车
均有部分享受国家补贴，求A 款中享受国家补贴的有多少辆．
【答案】(1)
10
x =
，
12
y =
(2)①购买A 款新能源汽车9 辆，B 款新能源汽车5 辆；②购买A 款新能源汽车10 辆，B 款新能源汽车4
辆；③购买A 款新能源汽车11 辆，B 款新能源汽车3 辆；④购买A 款新能源汽车12 辆，B 款新能源汽车2
辆；
(3)A 款中享受国家补贴的有8 辆
【分析】（1）根据“买10 辆A 款和5 辆B 款需付款160 万元，买5 辆A 款和10 辆B 款需付款170 万元”，
列出二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买A 款新能源汽车a 辆，则购买B 款新能源汽车(
)
14
a
−
辆，根据总付款不超过150 万元也不少
于144 万，列出一元一次不等式组，解之取正整数解，即可得出结论；
（3）设A 款中享受国家补贴的有m 辆，A 款中没有享受国家补贴的和B 款中享受国家补贴的共n 辆，则B
款中没有享受国家补贴的有(
)
1
2 m
n
+
，利用总价= 单价数量，列出关于m、n 的二元一次方程，求出符合
题意的正整数解，即可得出结论．
【详解】（1）由题意得：
10
5
160
5
10
170
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
10
12
x
y
=
=
，
即
10
x =
，
12
y =
；
（2）设购买A 款新能源汽车a 辆，则购买B 款新能源汽车(
)
14
a
−
辆，
由题意得：
(
)
(
)
10
12 14
144
10
12 14
150
a
a
a
a
+
−
+
−
，
解得：9
12
a
，
∵a 为正整数，
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∴
9
a =
，10，11，12，
∴有4 种购买方案：
①购买A 款新能源汽车9 辆，B 款新能源汽车5 辆；
②购买A 款新能源汽车10 辆，B 款新能源汽车4 辆；
③购买A 款新能源汽车11 辆，B 款新能源汽车3 辆；
④购买A 款新能源汽车12 辆，B 款新能源汽车2 辆；
（3）∵12
2
10
−
=
（万元），
∴A 款中没有享受国家补贴的单价与B 款中享受国补的单价相同，
设A 款中享受国家补贴的有m 辆，A 款中没有享受国家补贴的和B 款中享受国家补贴的共有n 辆，
则B 款中没有享受国家补贴的有(
)
1
2 m
n
+
辆，
根据题意得：(
)
(
)
(
)
1
10
2
12
2
12
336
2
m
n
m
n
−
+
−
+
+
=
，
整理得：
7
21
8
n
m
=
−
，
又∵m、n、(
)
1
2 m
n
+
均为正整数，
∴
8
14
m
n
=
=
，
∴A 款中享受国家补贴的有8 辆，
答：A 款中享受国家补贴的有8 辆．
8．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）“阅美宿迁，点亮成长”青少年读书行动启动后，某学校积极响应，计
划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜3 个、乙种书柜2 个，共需
资金1020 元；若购买甲种书柜4 个，乙种书柜3 个，共需资金1440 元．
(1)甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？
(2)若该学校计划购进这两种规格的书柜共20 个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能
够提供资金4320 元，学校有哪几种购买方案？
【答案】(1)每个甲种书柜的价格是180 元，每个乙种书柜的价格是240 元；
(2)学校共有3 种购买方案，方案1：购进8 个甲种书柜，12 个乙种书柜；方案2：购进9 个甲种书柜，11
个乙种书柜；方案3：购进10 个甲种书柜，10 个乙种书柜．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量
关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
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56 /
（1）设每个甲种书柜的价格是x 元，每个乙种书柜的价格是y 元，根据“购买甲种书柜3 个、乙种书柜2 个，
共需资金1020 元；购买甲种书柜4 个，乙种书柜3 个，共需资金1440 元”，可列出关于x y
，的二元一次方
程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m 个甲种书柜，则购进(
)
20
m
−
个乙种书柜，根据“购进乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，
学校至多能够提供资金4320 元”，可列出关于m 的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范围，再结合m ，
(
)
20
m
−
均为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设每个甲种书柜的价格是x 元，每个乙种书柜的价格是y 元，
根据题意得
3
2
1020
4
3
1440
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
180
240
x
y
=
=
，
答：每个甲种书柜的价格是180 元，每个乙种书柜的价格是240 元；
（2）解：设购进m 个甲种书柜，则购进(
)
20
m
−
个乙种书柜，
根据题意得
(
)
20
180
240 20
4320
m
m
m
m
−
+
−
，
解得8
10
m
，
又
m
，(
)
20
m
−
均为正整数，
m
可以为8，9，10，
学校共有3 种购买方案，
方案1：购进8 个甲种书柜，12 个乙种书柜；
方案2：购进9 个甲种书柜，11 个乙种书柜；
方案3：购进10 个甲种书柜，10 个乙种书柜．
9．（23-24 九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）某中学为落实《教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理
的通知》文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球．已知购买2 个篮球和3
个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元．
(1)求篮球和足球的单价分别是多少元；
(2)学校计划采购篮球、足球共50个，并要求篮球不少于31个，且总费用不超过5500元．那么有哪几种购买
方案？
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【答案】(1)篮球的单价为120元，足球的单价为90元
(2)学校一共有三种购买方案：方案一：采购篮球31个，采购足球19个；方案二：采购篮球32个，采购足球
18个；方案三：采购篮球33个，采购足球17 个
【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出
相应的方程组和不等式组．
（1）根据购买2 个篮球和3个足球共需费用510元；购买3个篮球和5个足球共需费用810元，可以列出相
应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据要求篮球不少于31个，且总费用不超过5500元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球
数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案．
【详解】（1）解：设篮球的单价为x 元，足球的单价为y 元，
由题意可得：
2
3
510
3
5
810
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得
120
90
x
y
=
=
，
答：篮球的单价为120元，足球的单价为90元；
（2）解：设采购篮球m 个，则采购足球为(
)
50
m
−
个，
∵要求篮球不少于31个，且总费用不超过5500元，
∴
(
)
31
120
90 50
5500
m
m
m
+
−
，
解得：
1
31
333
m
，
∵m 为整数，
∴m 的值可为31，32，33，
∴共有三种购买方案，
方案一：采购篮球31个，采购足球19个；
方案二：采购篮球32个，采购足球18个；
方案三：采购篮球33个，采购足球17 个．
10．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规
模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2 件甲种农机具和1 件乙种农机
具共需3.5 万元，购进1 件甲种农机具和3 件乙种农机具共需3 万元．
(1)求购进1 件甲种农机具和1 件乙种农机具各需多少万元？
(2)若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10 件，且投入资金不少于9.8 万元又不超过12 万元，设
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购进甲种农机具m 件，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)购进1 件甲种农机具需要1.5万元，1 件乙种农机具需要0.5万元
(2)共有3 种购买方案，方案1：购进甲种农机具5 件，乙种农机具5 件；方案2：购进甲种农机具6 件，乙
种农机具4 件；方案3：购进甲种农机具7 件，乙种农机具3 件
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系，
正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设购进1 件甲种农机具需要x 万元，1 件乙种农机具需要y 万元，根据“购进2 件甲种农机具和1 件乙
种农机具共需3.5万元，购进1 件甲种农机具和3 件乙种农机具共需3 万元”，可列出关于x，y 的二元一次
方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价= 单价数量，结合投入资金不少于9.8万元又不超过12 万元，可列出关于m 的一元一次不
等式组，解之可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设购进1 件甲种农机具需要x 万元，1 件乙种农机具需要y 万元，
根据题意得：
2
3.5
3
3
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
1.5
0.5
x
y
=
=
．
答：购进1 件甲种农机具需要1.5万元，1 件乙种农机具需要0.5万元；
（2）解：根据题意得：
(
)
(
)
1.5
0.5 10
9.8
1.5
0.5 10
12
m
m
m
m
+
−
+
−
，
解得：4.8
7
m
，
又
m
为正整数，
m
可以为5，6，7，
共有3 种购买方案，
方案1：购进甲种农机具5 件，乙种农机具5 件；
方案2：购进甲种农机具6 件，乙种农机具4 件；
方案3：购进甲种农机具7 件，乙种农机具3 件．
11．（24-25 七年级下·安徽六安·期末）2025 年，某省出台团队旅游及营销奖励办法，助推旅游市场强劲复
苏．某旅行社5 月1 日租住某景区A 、B 两种客房一天下面是有关信息：用6000 元租到A 客房的数量与用
4400 元租到B 客房的数量相等．已知每间A 客房的单价比每间B 客房的单价多80 元．
(1)求A ，B 两种客房的单价分别是多少；
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(2)若某旅行团现需要租住A ，B 两种客房共30 间，A 客房的数量不低于B 客房数量的1
2 ，且所花总费用不
高于7600 元，求有几种租住方案并算出最省钱方案的费用为多少?
【答案】(1)A，B 两种客房的单价分别是300元，220元
(2)有3 种方案，分别为：方案1：租住A 客房10间，则租住B 客房20 间；方案2：租住A 客房11间，则租
住B 客房19间；方案3：租住A 客房12间，则租住B 客房18间，最省钱方案的费用为7400 元．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的解法，根据题意列出分式方程、一元一次不等
式组是解题的关键．
（1）设A 客房每间客房的租金为x 元，则B 客房每间客房的租金为(
0)
8
x −
元．根据题意列出分式方程，解
方程即可求解；
（2）设租住A 客房y 间，则租住B 客房(30
)
y
−
间，根据题意列一元一次不等式组，再解一元一次不等式组
求出取值范围，再求整数解，确定有几种方案即可．
【详解】（1）解：设A 客房每间客房的租金为x 元，则B 客房每间客房的租金为(
0)
8
x −
元．根据题意，
得：6000
4400
80
x
x
=
−
，
解得：
300,
80
220
x
x
=
−
=
，
检验：
300
x =
时，(
80)
0
x x −
，
300
x
=
是原分式方程的解．
答：A，B 两种客房的单价分别是300元，220元．
（2）解：设租住A 客房y 间，则租住B 客房(30
)
y
−
间，根据题意，
得：
1 (30
)
2
300
220(30
)
7600
y
y
y
y
−
+
−
，
解得：10
12.5
y
，
y
为整数，即
10
y =
或11或12，
故有3 种方案，分别为：
方案1：租住A 客房10间，则租住B 客房20 间
费用是10 300
20 220
3000
4400
7400
+
=
+
=
（元）；
方案2：租住A 客房11间，则租住B 客房19间；
费用是11 300 19 220
3300
4180
7480
+
=
+
=
（元）；
方案3：租住A 客房12间，则租住B 客房18间．
费用是12 300 18 220
3600
3960
7560
+
=
+
=
（元）；
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60 /
∵7560
7480
7400
∴最省钱方案的费用为7400 元
12．（24-25 七年级下·湖南长沙·阶段练习）为践行“四季莫负春光日，人生不负少年时”的教育理念，我校
七年级拟于5 月29 号组织60 名老师和1160 名学生前往浏阳博士村开展研学活动．活动前年级组准备租用
A、B 两种型号的客车(每种型号的客车至少租用5 辆)．A 型车每辆租金是500 元，B 型车每辆租金是600 元，
若2 辆A 型车和1 辆B 型车坐满后共载客140 人，3 辆A 型车和4 辆B 型车坐满后共载客335 人．
(1)每辆A 型车、B 型车坐满后各载多少人？
(2)若年级组计划租用A 型车和B 型车共28 辆，要求B 型车数量不超过A 型车数量的3 倍，请问一共有多
少种租车方案？哪种租车方案租金费用最少？最小租金费用为多少元？
【答案】(1)每辆A 型车坐满后载客45 人，每辆B 型车坐满后载客50人；
(2)一共有17 种租车方案，当租用23辆A 型车、5辆B 型车时，租金费用最少，最小租金费用为14500元．
【分析】题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用；
（1）设每辆A 型车坐满后载客x 人，每辆B 型车坐满后载客y 人，根据“2辆A 型车和1辆B 型车坐满后共
载客140人，3辆A 型车和4 辆B 型车坐满后共载客335人”，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即
可得出结论；
（2）设租用m 辆A 型车，则租用(
)
28
m
−
辆B 型车，根据租用的两种客车的共载客量不少于(
)
60 1160
+
人
且租用B 型车数量不超过A 型车数量的3倍，可列出关于m 的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范围，
结合m ，(
)
28
m
−
均为不小于5的正整数，可得出7
23
m
，进而可得出共有17 种租车方案，由500
600(
即A 型车每辆租金小于B 型车每辆租金) ，可得出当租用A 型车越多时，总租金越小，结合m 的取值范围，
即可找出租金最少的租车方案，再求出此时的总租金即可．
【详解】（1）解：设每辆A 型车坐满后载客x 人，每辆B 型车坐满后载客y 人，
根据题意得：
2
140
3
4
335
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
45
50
x
y
=
=
．
答：每辆A 型车坐满后载客45 人，每辆B 型车坐满后载客50人；
（2）设租用m 辆A 型车，则租用(
)
28
m
−
辆B 型车，
根据题意得：
45
50(28
)
60 1160
28
3
m
m
m
m
+
−
+
−
，
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解得：7
36
m
，
又
m
，(
)
28
m
−
均为不小于5的正整数，
7
23
m
，
23
7
1
17(
−
+ =
种) ，
一共有17 种租车方案．
500
600
，
即A 型车每辆租金小于B 型车每辆租金，
当租用A 型车越多时，总租金越小，
当
23
m =
时，28
28
23
5(
m
−
=
−
=
辆) ，总租金为500 23
600 5
14500(
+
=
元) ．
答：一共有17 种租车方案，当租用23辆A 型车、5辆B 型车时，租金费用最少，最小租金费用为14500元．
题型十二：不等式组中阶梯收费问题
1．（24-25 七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下：
不超过6km，2 元/ 人次；超过6km到12km（含），3元/人次；
超过12km到18km（含），4 元/人次；
超过18km到26km（含），5 元/人次；
超过26km到34km（含），6 元/人次；
超过34km到44km（含），7 元/人次；
超过44km到54km（含），8 元/人次；
超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km．
一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10元，设他乘坐地铁的里程为km
x
，用不等式表示x 的范围为 ．
【答案】69
84
x
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解
题的关键．根据“超过54km部分，票价每增加1元可再乘坐15km”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了10
元，即按里程计算超过9元且不超过10元，可列出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围．
【详解】解：根据题意得：
(
)
(
)
54
15
9
8
54
15
10
8
x
x
−
−
−
−
，
解得：69
84
x
．
故答案为：69
84
x
．
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62 /
2．（24-25 七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过6km3 元；超过6km到12km（含）
4 元；超过12km到22km（含）5 元；超过22km到32km（含）6 元；超过32km部分，每增加1 元可再
乘坐20km．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9 元，设他乘坐地铁的里程为
km
x
，用不等式表示x 的范
围 ．
【答案】72
92
x
【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32km部分，每增加1 元可再乘坐20km，从而得
出8 元和9 元最多乘坐的里程，进而得到x 的范围即可．
【详解】解：由题意，7 元可以最多乘坐：32
20
52km
+
=
；
8 元可以最多乘坐：52
20
72km
+
=
；
9 元可以最多乘坐：72
20
92km
+
=
；
∴72
92
x
；
故答案为：72
92
x
．
3．（24-25 七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在我们的生活中，经常见到共享自助洗车．它的收费标
准如下：洗车13 分钟内（包括13 分钟）收费6 元，超出后加收0.5元/分钟，不足一分钟按一分钟计算．某
同学的爸爸洗车花费了9.5元，请你写出洗车的时间a 的范围（单位：分钟） ．
【答案】19
20
a
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题关键．先求出超过13 分钟后，洗
车的最长时间为7 分钟，再根据不足一分钟按一分钟计算建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】解：由题意得：(
)
9.5
6
0.5
7
−
=
（分钟），
∵不足一分钟按一分钟计算，
∴6
13
7
a
−
，
解得19
20
a
，
故答案为：19
20
a
．
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63 /
4．（24-25 七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式
达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1 月份用水8 立方
米，则应交水费：
(
)
2 6
4
8
6
20
+
−
=
（元）．
价目表
每月用水量
单价
不超出6 立方米的部分
2 元/立方米
超出6 立方米不超出10 立方米的部分
4 元/立方米
超出10 立方米的部分
8 元/立方米
(1)若小明家2 月份用水12.5立方米，则应交水费________元；
(2)若小明家3 月用水量为a 立方米，当6
10
a
时，小明家应交水费______元，当
10
a
时，小明家应交
水费_______元；（请用含a 的代数式表示）
(3)若小明家3 月份，4 月份共用水12 立方米（4 月份用水量多于3 月份），共交水费38 元，则小明家3，
4 月份各用水多少立方米？
【答案】(1)48 ；
(2)4
12
a −
，8
52
a−
；
(3)3 月份用水1立方米，4 月份用水11立方米．
【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分
段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键．
（1）根据价目表，将12.5 立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和．
（2）当6
10
a
时，水费由6 立方米按2 元/立方米和超出6 立方米部分按4 元/立方米计算；当
10
a
时，
水费由6 立方米按2 元/立方米、4 立方米（6 到10 立方米）按4 元/立方米、超出10 立方米部分按8 元/立
方米计算，据此列代数式．
（3）分情况讨论3 月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解．
【详解】（1）解：应交水费：
(
)
(
)
6 2
10
6
4
12.5 10
8
12 16
20
48
+
−
+
−
=
+
+
=
（元），
故答案为：48 ；
（2）解：当6
10
a
时，
水费为
(
)
6 2
4
6
12
4
24
4
12
a
a
a
+
−
=
+
−
=
−
（元）
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当
10
a
时，
水费为
(
)
(
)
6 2
4
10
6
8
10
12 16
8
80
8
52
a
a
a
+
−
+
−
=
+
+
−
=
−
（元）
故答案为：4
12
a −
，8
52
a−
；
（3）解：设3 月份用水x 立方米，则4 月份用水(
)
12
x
−
立方米，由题意得，
12
x
x
−
，即
6
x
．
当
12
10
x
x
−
，即2
6
x
时，
水费为
(
)
(
)
2
4 12
6
12
2
4 6
12
2
24
4
12
36
2
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
．
令36
2
38
x
−
=
，
解得
1
x = −（舍去）．
若12
10
x
−
，即
2
x
，
水费为
(
)
(
)
2
8 12
10
16 12
2
8 2
28
2
16
8
28
44
6
x
x
x
x
x
x
x
+
−
−
+
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
−
．
令44 6
38
x
−
=
，
解得
1
x = ．
∴3 月份用水1立方米，4 月份用水12 1 11
−=
立方米．
题型一：已知一元一次不等式组中整数解求参数
1．（24-25 八年级下·宁夏银川·期末）已知关于x 的不等式组
3
2
0
4
3
0
a
x
x
−
+
＞
恰有3 个整数解，则a 的取值范围
是（ ）
A．2
4
3
3
a
B．2
4
3
3
a
C．2
4
3
3
a
D．2
4
3
3
a
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解题关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据．
分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解情况得出关于a 的不等式组，解之即可．
【详解】解：解不等式3
2
0
a
x
−
，得
3
2
x
a
，
解不等式4
3
0
x
+
得：
4
3
x −
，
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∴不等式组的解集为
4
3
3
2
x
a
−
，
∵不等式组恰有3 个整数解，
∴3 个整数解为-1、0、1，
∴
3
1
2
2 a
，
解得：2
4
3
3
a
，
故选：B．
2．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）若关于x 的不等式组
0
13
2
1
x
m
x
−
−
的所有整数解的和是18，则m
的取值范围是（ ）
A．2
3
m
B．2
3
m
C．2
3
m
或3
2
m
−
−
D．2
3
m
或3
2
m
−
−
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，
根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m 的不等式，从而求出m 的范围．
【详解】解：解不等式
0
x
m
−
，得：x
m
，
解不等式13 2
1
x
−
，得：
6
x
，
所有整数解的和是18，
不等式组的整数解为3、4 、5、6 或2
−、1
−、0 、1、2 、3、4 、5、6 ，
则2
3
m
或3
2
m
−
−，
故选：D．
3．（25-26 七年级上·全国·课后作业）若关于x 的不等式组
0
5
2
1
x
a
x
−
−
的整数解只有1 个，则a 的取值范围
是（ ）
A．2
3
a
B．3
4
a
C．2
3
a
D．3
4
a
【答案】B
【分析】此题考查的是一元一次不等式组的整数解．熟练掌握一元一次不等式组的解法，根据一元一次不
等式组的解集，确定整数解，根据整数解确定a 的取值范围．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大
取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了．
先解每个不等式，得不等式组的解集，确定整数解，据此即可写出a 的范围．
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【详解】解：
0
5
2
1
x
a
x
−
−
①
②，
解①，得x
a
，
解②，得
2
x
．
∴不等式组的解集是：2
x
a
．
∵不等式组有且只有1 个整数解，
∴一定是3．
∴3
4
a
．
故选：B．
4．（24-25 八年级下·山东潍坊·阶段练习）如果关于x 的不等式组
2
3
1
1
2
x
a
x
x
−+
−
+
恰有2 个整数解，符合条
件的a 的取值是（ ）
A．3
B．3.5
C．4
D．4.5
【答案】AB
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，关键是掌握解不等式组的方法．
先求出每个不等式的解集，再根据不等式组有且只有2 个整数解，求出a 的取值范围即可求解．
【详解】解：
2
3
1
1
2
x
a
x
x
−+
−
+
①
②，
解①得：
2
x
a
−
，
解②得：
3
x
，
不等式组有解，
不等式组的解集为
2
3
a
x
−
，
不等式组有且只有2 个整数解，
这2 个整数解为2，3，
1
2
2
a
−
，
3
4
a
，
故选：AB．
5．（24-25 七年级下·陕西西安·期末）若关于x 的不等式组
0
10
3
1
x
m
x
−
−
恰好有3 个整数解，则m 的取值范围
是（ ）
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A．6
7
m
B．6
7
m
C．6
7
m
D．6
7
m
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用．熟练掌握解一元 一次不等
式组，是解题的关键．
先求出不等式组中每个不等式的解集，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m 的范围．
【详解】解：解第一个不等式
0
x
m
−
，
得x
m
．
解第二个不等式10 3
1
x
−
，
移项得3
9
x
−
−，
两边除以3
−（不等号方向改变），
得
3
x ．
∴不等式组的解集为3
x
m
．
∵题目要求恰好有3 个整数解，
∴整数解为4、5、6．
当
6
m =
时，解集为3
6
x
，整数解为4、5、6，符合条件．
当m 接近7 但小于7 时（如
6.9
m =
），解集为3
6.9
x
，整数解仍为4、5、6．
若
7
m
，解集包含整数7，导致整数解超过3 个，不符合条件．
∴m 的取值范围是6
7
m
．
应选项B．
6．（24-25 七年级下·安徽六安·期末）若关于x 的一元一次不等式组
2
3
12
2
0
x
x
a
+
−
恰有2 个整数解，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】3
3.5
a
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的
整数解得出关于a 的不等式组是解答此题的关键．
分别对于不等式组进行求解，然后根据题意确定实数a 所满足的条件，求解即可．
【详解】解：∵
2
3
12
2
0
x
x
a
+
−
∴解2
3 12
x+
得：
4.5
x
，
解
2
0
x
a
−
得：
2
x
a
≤
，
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原不等式组恰有2 个整数解，
这2 个整数解必然是5，6，
2
6
2
7
a
a
，
解得：3
3.5
a
，
故答案为：3
3.5
a
．
7．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）若不等式组
0
1 2
2
x
a
x
x
−
−
−
恰有两个整数解，则a 的取值范围
是 ．
【答案】2
1
a
−
−
【分析】本题主要考查不等式组的解法及整数解的确定，得到关于a 的不等式组成为解题的关键．
先根据一元一次不等式组解出x 的取值范围，再根据不等式组恰有两个整数解得出a 的取值范围即可．
【详解】解：
0
1
2
2
x
a
x
x
−
−
−
①
②，
解不等式①得：x
a
，
解不等式②得：
1
x ，
则不等式组的解集是：
1
a
x
，
∵该不等式组恰有两个整数解，
∴整数解是0，1
−，
∴2
1
a
−
−．
故答案为：2
1
a
−
−．
8．（24-25 八年级下·湖南岳阳·开学考试）如果关于x 的不等式
7
0
6
0
x
a
x
b
−
−
的整数解只有1，2，3，则a 的
取值范围 ，b 的取值范围 ．
【答案】 0
7
a
18
24
b
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法，一元一次不等式组的整数解问题，解题过程中注意确定
字母取值范围时的“等于号”的确定是解题的关键．
先解不等式组可得解集为：7
6
a
b
x
，再利用整数解只有1，2，3，列不等式0
1
7
a
，3
4
6
b
，再解
不等式可得答案．
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【详解】解：
7
0
6
0
x
a
x
b
−
−
①
②
由①得：
7
a
x
由②得：
6
b
x
因为不等式组有整数解，所以其解集为：7
6
a
b
x
又整数解只有1，2，3，
∴0
1
7
a
，3
4
6
b
，
解得：0
7
a
，18
24
b
故答案为：0
7
a
，18
24
b
．
题型二：由不等式组的解集的情况求解
1．（24-25 八年级下·甘肃临夏·阶段练习）若关于x 的不等式组
0
5
2
1
x
m
x
−
−
无解，则m 的取值范围是（ ）
A．
2
m≥
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先分别求出原不等式组中两个不等式的解集，
再根据“大大小小找不到（无解）”的口诀求解即可．
【详解】解：
0
5
2
1
x
m
x
−
−
①
②，
解①得：x
m
，
解②得：
2
x
，
关于x 的不等式组
0
5
2
1
x
m
x
−
−
无解，
2
m
；
故选：C．
2．（24-25 七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知不等式组2
4
0
x
m
x
−
无解，则m 的取值范围是（ ）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m
D．
2
m
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【答案】A
【分析】本题主要考查了不等式组的无解问题，根据大大小小找不到（无解）的口诀进行求解即可．
【详解】解：2
4
0
x
m
x
−
，
即
2
x
m
x
，
∵不等式组2
4
0
x
m
x
−
无解，
2
m
，
故选：A．
3．（24-25 八年级下·广东清远·阶段练习）若关于x 的不等式组
8
4
1
x
x
x
m
+
−
有解，则实数m 的取值范围是
（ ）
A．
3
m
B．
3
m
C．
3
m
D．
3
m
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组有解，确定出m
的取值范围．
【详解】解：解不等式
8
4
1
x
x
+
−，得：
3
x
，
∵关于x 的不等式组
8
4
1
x
x
x
m
+
−
有解，
∴
3
m
，
故选：A．
4．（24-25 九年级下·辽宁锦州·开学考试）若不等式组
2
0
2
x
x
m
−
无解，则m 的值可能为（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式组无解的判定方法．核心是理解不等式组解集的几何意义，即两个解
集在数轴上无重叠区域时，不等式组无解．
首先分别解出不等式组中的两个不等式，然后根据不等式组无解的条件，即两个不等式没有公共部分，来
确定m 的取值范围，进而判断选项中哪个值符合要求．
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【详解】解：对不等式
2
0
x−
进行求解，
可得
2
2
0
2
x−+
+ ，即
2
x
．
对不等式2x
m
进行求解，
可得2
2
2
x
m
，即
2
m
x
．
因为不等式组无解，
所以
2
2
m
，解得
4
m
．
选项A 中
3
m =
，3
4
，满足
4
m
．
选项B 中
5
m =
，5
4
，不满足
4
m
．
选项C 中
7
m =
，7
4
，不满足
4
m
．
选项D 中
9
m =
，9
4
，不满足
4
m
．
故选：A ．
5．（24-25 八年级上·宁夏银川·期末）若不等式组
1
1
3
2
4
x
x
x
m
+
−
无解，则m 的取值范围为（ ）
A．
2
m
B．
2
m
C．
2
m≥
D．
3
m
【答案】A
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到可得关于m 的不等式，解之可得．
【详解】解不等式
1
1
3
2
x
x
+
−，得：
8
x ，
∵不等式组无解，
∴4
8
m
，
解得
2
m
，
故选A．
6．（2024 九年级下·河南安阳·竞赛）若不等式组
1
1
3
2
4
x
x
x
m
−
−
无解，则m 的取值范围是 ．
【答案】
1
m /1
m
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取
小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．求出第一个不等式的解集，根据口诀：
大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
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72 /
【详解】解：
1
1
3
2
4
x
x
x
m
−
−
①
②
，
由①得
4
x ，
又∵
4
x
m
，且不等式组无解，
∴4
4
m
，
解得
1
m ，
故答案为：
1
m ．
7．
（24-25 八年级下·贵州贵阳·阶段练习）若关于x 的不等式组7
2
1
x
m
x
−
有实数解，则m 的取值范围是 ．
【答案】
3
m
【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；
大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出不等式组每一个不等式的解集，再
根据口诀：大小小大中间找，确定不等式组的解集情况得出关于m 的不等式，解之即可得到答案．
【详解】解：7
2
1
x
m
x
−
解不等式7
2
1
x
−
，得
3
x ，
又x
m
且不等式组有实数解，
∴
3
m
，
故答案为：
3
m
．
题型三：不等式组与方程组的结合
1．（24-25 七年级下·湖北武汉·阶段练习）已知关于x，y 的方程组
2
1 3
3
2
4
x
y
a
x
y
a
−
= −
+
=
+
的解都为非负数，且满足
3
a
b
+
=
，2
3
b
，若z
a
b
=
−，则z 的取值范围是 ．
【答案】3
1
z
−
−
【分析】解方程组得出
1
1
x
a
y
a
= −+
=
+
，由方程组的解都是非负数得
1
0
1
0
a
a
−+
+
，解之可得1
1
a
−
，据此得出
2
3
4
a
−
，即2
4
b
，结合2
3
b
知2
3
b
，继而得出3
2
b
−−−，由
3
b
a
= −
，结合b 的取值范
围再求出a 的另一个范围，两者结合可最终确定a 的范围，从而得出a
b
−的范围，即可得出答案．
本题考查的是解二元一次方程组和一元一次不等式组，正确求出a 的取值范围和b 的取值范围是解答此题的
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73 /
关键．
【详解】解：解方程组
2
1 3
3
2
4
x
y
a
x
y
a
−
= −
+
=
+
，得
1
1
x
a
y
a
= −+
=
+
，
∵方程组的解都是非负数，
∴
1
0
1
0
a
a
−+
+
，解得：1
1
a
−
，
∴1
1
a
−−，
则2
3
4
a
−
，
∵
3
a
b
+
=
，即
3
b
a
= −
，
∴2
4
b
，
∵2
3
b
，
∴b 的范围是2
3
b
，
则3
2
b
−−−，
∴2
3
3
a
−
，
解得0
1
a
，
∴
2
0 3
1
a
b
−
−
−
，
即3
1
z
−
−，
故答案为：3
1
z
−
−．
2．（24-25 八年级下·四川成都·阶段练习）在方程组
2
4
2
2
1
x
y
k
x
y
k
+
=
+
=
+
中，若3
0
x
y
−
−
，则k 的取值范围
是 ．
【答案】1
2
2
k
/0.5
2
k
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及解二元一次方程组．先根据方程组将两式相减，得到
1
2
x
y
k
−
= −
，再代入3
0
x
y
−
−
，得到关于k 的不等式组，进而得出k 的取值范围．
【详解】解：
2
4
2
2
1
x
y
k
x
y
k
+
=
+
=
+
①
②，
−
②
①得：
1
2
x
y
k
−
= −
，
又∵3
0
x
y
−
−
，
∴3
1 2
0
k
−−
，
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解得1
2
2
k
．
故答案为：1
2
2
k
．
3．（24-25 七年级下·河南三门峡·期末）若方程组
2
1
3
x
y
x
y
a
−−
=
+
= −
的解x y
，满足2
3
x
y
−
，则a 的取值范围
为 ．
【答案】
2
a −
【分析】本题主要考查解方程组及不等式的综合，理解题意，熟练掌握运用求解方法是解题关键．先将两
个方程相加，得到2
1
x
y
a
−
= −
，代入2
3
x
y
−
然后求解即可．
【详解】解：解方程组
2
1
3
x
y
x
y
a
−−
=
+
= −
①
②
①
②
+
得，2
1
x
y
a
−
= −
，
∵2
3
x
y
−
，
∴1
3
a
−
，
解得：
2
a −．
故答案为：
2
a −．
4．（24-25 六年级下·上海·期中）已知
1
1
x
y
=
=
和
2
3
x
y
=
=
是关于x ，y 的方程
5
mx
ny
+
=
的两个解，当y 取不
小于2
−的负数时，x 的取值范围是 ．
【答案】
1
1
2
2
x
−
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意，熟练掌
握二元一次方程组的解法．先根据
1
1
x
y
=
=
和
2
3
x
y
=
=
是关于x ，y 的方程
5
mx
ny
+
=
的两个解，求出
10
m =
，
5
n = −，得出10
5
5
x
y
−
=
，再根据当y 取不小于2
−的负数时，
2
1
0
2
1
2
x
x
−
−−
，解不等式组，即可得出答案．
【详解】解：∵
1
1
x
y
=
=
和
2
3
x
y
=
=
是关于x ，y 的方程
5
mx
ny
+
=
的两个解，
∴
5
2
3
5
m
n
m
n
+
=
+
=
①
②，
3
−
①
②，得
10
m =
，
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75 /
把
10
m =
代入①，得10
5
n
+
=
，
解得：
5
n = −，
∴10
5
5
x
y
−
=
，
∴
2
1
y
x
=
−，
当y 取不小于2
−的负数时，
2
1
0
2
1
2
x
x
−
−−
，
解得：
1
1
2
2
x
−
，
故答案为：
1
1
2
2
x
−
．
5．
（24-25 七年级下·江西新余·期末）已知关于x 、y 的二元一次方程组
3
4
1
3
3
x
y
k
x
y
+
=
+
+
=
的解满足0
1
x
y
+
，
求k 的取值范围 ．
【答案】1
0
k
−
【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的结合，通过将两个方程相加，可以得到x
y
+
的表达式．利用
题目给出的条件0
1
x
y
+
，建立关于k 的不等式，进而求解k 的取值范围．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加：
4
4
4
4
x
y
k
+
=
+
，
将方程两边同时除以4：
1
x
y
k
+
=
+ ，
0
1
x
y
+
0
1 1
k
+ ，
1
0
k
−
．
故答案为：1
0
k
−
．
6．（24-25 七年级下·河南周口·期末）已知关于x y
，的二元一次方程组
2
3
1
2
2
3
x
y
a
x
y
a
+
=
−
−
=
+
，若
5
3
x
y
+
=
，
则a = ；若该方程组的解满足4
3
4
x
y
−
+
，则a 的取值范围是 ．
【答案】
7
−
2
2
3
a
−
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由
−
①
②得：
5
4
x
y
a
+
= −
−
，再由
5
3
x
y
+
=
，可求出a 的值；由
+
①
②得：3
3
2
x
y
a
+
=
+
，再由该方程组的解满足4
3
4
x
y
−
+
，可
得到a 的取值范围．
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76 /
【详解】解：
2
3
1
2
2
3
x
y
a
x
y
a
+
=
−
−
=
+
①
②，
由
−
①
②得：
5
4
x
y
a
+
= −
−
，
∵
5
3
x
y
+
=
，
∴
4
3
a
−
−
=
，
∴
7
a = −；
由
+
①
②得：3
3
2
x
y
a
+
=
+
，
∵该方程组的解满足4
3
4
x
y
−
+
，
∴4
3
2
4
−
+
a
，
∴
2
2
3
a
−
．
故答案为：7
−；
2
2
3
a
−
．
7．（23-24 九年级上·四川巴中·开学考试）若关于x ，y 的二元一次方程组为
2
3
1
2
2
x
y
a
x
y
+
=
−
+
= −
，并且x ，y 满
足2
1
x
y
−
+
，求a 的取值范围．
【答案】1
2
a
−
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握其解法是解题的关键．
先解二元一次方程组，然后代入不等式即可求解．
【详解】解：
2
3
1
2
2
x
y
a
x
y
+
=
−
+
= −
①
②
，
①- ②2
，得：
(
)
4
3
1
4
y
y
a
−
=
−−−
，
3
3
3
y
a
−
=
+
，
∴
1
y
a
= −−，
代入②，得：
(
)
2
1
2
x
a
+ −−
= −，
2
2
2
x
a
−
−
= −，
∴
2
x
a
=
，
∴方程组的解为：
2
1
x
a
y
a
=
= −−
，
∴x
y
+
=
1
a −，
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∴2
1 1
a
−
−，
∴1
2
a
−
．
8．（24-25 八年级下·全国·阶段练习）已知方程组
7
1 3
x
y
m
x
y
m
+
= −−
−
= +
的解满足x 为非正数，y 为负数．
(1)求m 的取值范围；
(2)化简：
3
2
m
m
−
−
+
；
(3)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2
2
1
mx
x
m
+
+ 的解集为
1
x ．
【答案】(1) 2
3
m
−
(2)1 2m
−
(3)
1
m = −
【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，去绝对值等知识点，解题的关键是熟练掌握
不等式的基本性质以及一元一次不等式组解集的求法．
（1）解二元一次方程组求出x 和y，根据x 为非正数，y 为负数，得到关于m 的一元一次不等式组，解不等
式组即可得出m 的取值范围；
（2）根据m 的取值范围去绝对值即可；
（3）由2
2
1
mx
x
m
+
+ 可得(2
1)
2
1
m
x
m
+
+ ，根据解为
1
x ，利用不等式的基本性质可得2
1
0
m+
，结
合（1）中结论可得
1
2
2
m
−
−
，进而可得
1
m = −．
【详解】（1）解：解关于x
y
、的方程组
7
1 3
x
y
m
x
y
m
+
= −−
−
= +
，
得
3
2
4
x
m
y
m
=
−
= −
−
，
∵x 为非正数，y 为负数，
∴
3
0
2
4
0
m
m
−
−
−
，
∴2
3
m
−
；
（2）∵2
3
m
−
，
∴
3
0
m−
，
2
0
m+
，
∴
3
2
3
2
m
m
m
m
−
−
+
=
−
−
−
2
1
= −
+
m
；
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（3）∵不等式2
2
1
mx
x
m
+
+ 即(
)
2
1
2
1
m
x
m
+
+ 的解集为
1
x ，
∴2
1
0
m+
，
∴
1
2
m −
，
又∵2
3
m
−
，
∴
1
2
2
m
−
−
，
又∵m 为整数，
∴当
1
m = −时该不等式的解集为
1
x ．
9．（24-25 七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于,x y的方程组
3
2
2
2
3
4
3
x
y
m
x
y
m
+
=
+
+
=
+
．
(1)若方程组的解满足
1
x
y
+
= ，求m 的值．
(2)若方程组的解满足
1
−
x
y
，求m 的取值范围．
【答案】(1)
0
m =
(2)
2
3
m −
【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一
次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键．
（1）由
+
①
②化简得到
1
x
y
m
+
=
+ ，代入
1
x
y
+
= 解方程即可得到答案；
（2）
−
①
②得
3
1
x
y
m
−
= −
−，代入
1
−
x
y
解不等式即可得到答案．
【详解】（1）解：
3
2
2
2
3
4
3
x
y
m
x
y
m
+
=
+
+
=
+
①
②，
+
①
②得5
5
5
5
x
y
m
+
=
+
∴
1
x
y
m
+
=
+
方程组的解满足
1
x
y
+
= ，
∴
1
1
x
y
m
+
=
+ = ，
解得
0
m =
；
（2）解：
3
2
2
2
3
4
3
x
y
m
x
y
m
+
=
+
+
=
+
①
②
由
−
①
②得，
3
1
x
y
m
−
= −
−方程组的解满足
1
−
x
y
，
∴
3
1
1
x
y
m
−
= −
−，
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解得
2
3
m −
．
题型四：一元一次不等式组中新定义类问题
1．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）对x，y 定义一种新运算T，
规定：(
)
,
2
1
T x y
ax
by
=
+
−（其中 a、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：
(
)
0,1
0
2
1 1
2
1
T
a
b
b
=
+
−=
−．
(1)已知(
)
1, 1
6
T
−
= −，(
)
4,2
3
T
=
．
①求a，b 的值；
②若关于m 的不等式组
(
)
(
)
2 ,5
4
1
,3
2
T
m
m
T m
m
p
−
−
恰好有2 个整数解，求实数p 的取值范围；
(2)若
,
,
T x y
T y x
=
（
）（
）对任意实数x，y 都成立（这里T x y
（, ）和
,
T y x
（
）均有意义），则a，b 应满足怎样的关
系式？
【答案】(1)①
1,
2
a
b
= −
=
，②16
7
p
−
−
(2)
2
a
b
=
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定
义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则．
（1）①根据新定义得到T(1,−1)=a−2b−1=−6；T(4,2)=4a+4b−1=3，解方程组即可得到答案；②根据新定义
得到{T (2m，5−4m) =−2m+4(5−4m)−1≤1①
T(m,3−2m)=−m+4(3−2m)−1>p②
，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2 个整数解进行求
解即可；
（2）根据新定义得到
2
1
2
1
ax
by
ay
bx
+
−=
+
−，进而得到(a−2b)(x−y)=0，据此可得答案．
【详解】（1）解：①根据题意得：
{a−2b−1=−6
4a+4b−1=3
，
解得：
1
2
a
b
= −
=
，
②由题意得：T(x,y)=−x+4y−1，
则{T(2m,5−4m)≤1
T(m,3−2m)>p
可以化为{−2m+4(5−4m)−1≤1
−m+4(3−2m)−1>p
，
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解得：
11
1
9
p
m
−
，
恰有2 个整数解，
1,
2
m
m
=
=
故
11
2
3
9
p
−
解得16
7
p
−
−
（2）∵(
)
(
)
,
,
T x y
T y x
=
对任意实数x，y 都成立
2
1
2
1
ax
by
ay
bx
+
−=
+
−
2
2
0
ax
bx
by
ay
−
+
−
=
(a−2b)x+(2b−a)y=0
(a−2b)x−(a−2b)y=0
即(a−2b)(x−y)=0对任意实数,x y都成立
2
0
a
b
−
=
即
2
a
b
=
2．（24-25 七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）定义一种新运算：
(
)
Ω
(
)
a a
b
a b
b a
b
=
（Ω
a b 相当于取a，b 中
较大的数）．
(1)2Ω4 =_____；
(2)若(
)
(
)
1
Ω
4
5
x
x
−
+
=
，则x =_____；
(3)若y 满足(
)
(
)
(
)
2
1 Ω 2
2
5Ω 2
5
y
y
y
y
+
−
=
−
−
=
，求y 的整数解．
【答案】(1)4
(2)
1
x = 或
4
x = −
(3)
2, 1,0
y = −
−
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，不等式组的整数解；
（1）根据新定义，即可求解；
（2）根据新定义列出方程，解方程，即可求解；
（3）根据新定义列出不等式组，解不等式组并求整数解，即可求解．
【详解】（1）解：∵2
4
，
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∴2 4
4
=
．
故答案为：4 ．
（2）解：当1
4
x
x
−
+
时，即
3
2
x −
，
∵(
)
(
)
1
Ω
4
5
x
x
−
+
=
∴1
5
x
−
=
，
解得
4
x = −，
当1
4
x
x
−
+
时，即
3
2
x −
，
∴
4
5
x +
=
，解得
1
x = ．
综上，
4
x = −或
1
x = ．
故答案为：
4
x = −或
1
x = ．
（3）由(2
1)
(2
)
2
y
y
y
+
−
=
−
，得2
1
2
y
y
+
−
，解得：
1
3
y
．
由5 (2
)
5
y
−
=
，得5
2
y
−
，解得：
3
y −．
∴
1
3
3
y
−
．
∵y 为整数，
∴
2, 1,0
y = −
−
．
3．（24-25 七年级下·湖南长沙·期末）若关于x 的一元一次不等式组的解集为a
x
b
且
0
a
b
+
=
，则称这
样的不等式组为“对称不等式组”如关于的不等式组
1
4
1
2
x
x
−−
−
的解集为3
3
x
−≤
≤，其中3 3
0
−+ =
，所以该不
等式组为“对称不等式组”请同学们根据“对称不等式组”的定义完成以下问题：
(1)判断下列不等式组中哪些是“对称不等式组”_________（请填序号）
①
1
3
1
5
x
x
−
−−
②
5
1
1
3
x
x
+
−
③
1
3
1 1
x
x
−−
−
(2)若关于x 的不等式组
2
2
1
x
a
x
b
−
−
为“对称不等式组”且在解集范围内有2025 个整数解，求整数a，b 的值．
(3)若关于x 的不等式组
2
1
2
3
2
ax
b
ax
b
−
+
为“对称不等式组”且恰好有7 个整数解，求a，b 的值或取值范围．
【答案】(1)②
(2)
507
a = −
，
1011
b =
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(3)
7
7
3
4
a
−
−
或7
7
4
3
a
，且
4
b = −
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
（1）根据“对称不等式组”的定义进行判断即可．
（2）根据“对称不等式组”的定义，得到2
2
1
0
a
b
+ + + =
，然后根据整数解的个数得到2
2
1012
a +
= −
，
1 1012
b+ =
，求出整数a，b 即可．
（3）分为
0
a
和
0
a
两种情况，根据“对称不等式组”的定义得到
4
b = −，然后根据整数解的个数求出a
的取值范围即可．
【详解】（1）解：∵不等式组
1
3
1
5
x
x
−
−−
无解，
∴①不是“对称不等式组”；
解不等式组
5
1
1
3
x
x
+
−
的4
4
x
−
，且4
4
0
−+
=
，
∴②是“对称不等式组”；
解不等式组
1
3
1 1
x
x
−−
−
的2
2
x
−
，但是前边没有等于，
∴③是“对称不等式组”；
故答案为：②；
（2）解：解不等式组
2
2
1
x
a
x
b
−
−
得2
2
1
a
x
b
+
+ ，
又∵不等式组是“对称不等式组”，
∴2
2
1
0
a
b
+ + + =
，
又∵解集范围内有2025 个整数解，
∴ 整数为1012
−
到1012，
即2
2
1012
a +
= −
，
1 1012
b+ =
，
解得
507
a = −
，
1011
b =
；
（3）当
0
a
时，解不等式组
2
1
2
3
2
ax
b
ax
b
−
+
得1 2
2
3
2
b
b
x
a
a
+
−
，
∵不等式组为“对称不等式组”，
∴1 2
2
3
0
2
b
b
a
a
+
−
+
= ，
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解得
4
b = −，
又∵恰好有7 个整数解，
∴
1 2
4
3
b
a
+
−
−，
解得7
7
4
3
a
，
当
0
a
时，解不等式组
2
1
2
3
2
ax
b
ax
b
−
+
得2
3
1 2
2
b
b
x
a
a
−
+
，
∴1 2
2
3
0
2
b
b
a
a
+
−
+
= ，
解得
4
b = −，
又∵恰好有7 个整数解，
∴
2 3
4
3
2
b
a
−
−
−，
解得
7
7
3
4
a
−
−
，
综上所述，
7
7
3
4
a
−
−
或7
7
4
3
a
，且
4
b = −．
4．（24-25 七年级下·江苏无锡·期末）定义：关于x ，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
（其中
0
a
b
c
）中
的常数项c 与未知数x 的系数a 互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：ax
by
c
+
=
的“亲密方程”为cx
by
a
+
=
．
(1)方程
3
5
x
y
+
= 的“亲密方程”为___________；
(2)已知关于x ，y 的二元一次方程ax
by
c
+
=
的系数满足
2
0
a
b
c
−
+ =
，且ax
by
c
+
=
与它的“亲密方程”组成
的方程组的解恰好是关于x ，y 的二元一次方程mx
ny
p
+
=
的一个解，求代数式(
)
(
)
2
2
2025
m
n m
p p
n
−
−
−
+
的值；
(3)已知整数m ，n ，t ，满足条件t
n
m
，并且(
)
4
2025
2
4
m
t x
y
m
t
−
+
=
+
−是关于x ，y 的二元一次方程
2025
3
4
nx
y
m
+
=
+
的“亲密方程”，求m 的值．
【答案】(1)5
3
1
x
y
+
=
(2) 2025
(3)
5
m =
【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，解一元一次不等式组，正确理解新定
义是解题的关键．
（1）由亲密方程的定义即可求解；
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（2）先求出ax
by
c
+
=
与它的“亲密方程”组成的方程组的解
1
x
a
c
y
b
= −
+
=
，代入mx
ny
p
+
=
，得到
, ,
m n p的关
系，再变形代入求值即可；
（3）由 “亲密方程”得到
4
3
4
2
4
m
t
m
n
m
t
−=
+
=
+
−
，解得
4
3
12
t
m
n
m
=
−
=
−
，继而得到不等式组
4
3
12
m
m
m
−
−
，再求
解即可．
【详解】（1）解：由题意得，方程
3
5
x
y
+
= 的“亲密方程”为5
3
1
x
y
+
=
，
故答案为：5
3
1
x
y
+
=
；
（2）解：由题意得：
ax
by
c
cx
by
a
+
=
+
=
，
解得：
1
x
a
c
y
b
= −
+
=
，
∵
2
0
a
b
c
−
+ =
，
∴
2
2
a
c
b
b
b
+
=
=
∴方程组
ax
by
c
cx
by
a
+
=
+
=
的解为
1
2
x
y
= −
=
，
∵方程组
ax
by
c
cx
by
a
+
=
+
=
的解是方程mx
ny
p
+
=
的一个解，
∴
2
m
n
p
−
+
=
，
∴
2
,
2
m
n
p p
n
m
−
= −
−
= −
，
∴(
)
(
)
2
2
2025
m
n m
p p
n
−
−
−
+
(
)
2025
pm
p
m
= −
−
−
+
2025
=
；
（3）解：∵(
)
4
2025
2
4
m
t x
y
m
t
−
+
=
+
−是关于x ，y 的二元一次方程
2025
3
4
nx
y
m
+
=
+
的“亲密方程”，
∴
4
3
4
2
4
m
t
m
n
m
t
−=
+
=
+
−
，
解得：
4
3
12
t
m
n
m
=
−
=
−
，
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∵整数m ，n ，t ，满足条件t
n
m
，
∴
4
3
12
m
m
m
−
−
，
∴4
6
m
，
∴
5
m =
；
5．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）我们定义，关于同一个未知数的不等式A 和B，若A 的解都是B
的解，则称A 与B 存在“雅含”关系，且A 不等式称为B 不等式的“子式”．如A：
0
x
，B：
1
x ，满足A
的解都是B 的解，所以A 与B 存在“雅含”关系，A 是B 的“子式”．
(1)若关于x 的不等式A：
2
1
x+
，B：
3
x ，则A 与B 存在“雅含”关系，________的“子式”（填“A 是B”
或“B 是A”）；
(2)已知关于x 的不等式C：
1
1
2
3
x
a
−
+
，D：2
(3
)
3
x
x
−
+
，若C 与D 存在“雅含”关系，且C 是D 的“子
式”，求a 的取值范围；
(3)已知2m
n
k
+
=
，
3
m
n
−
= ，
1
2
m
，
1
n −，且k 为整数，关于x 的不等式P：
6
4
kx
x
+
+
，Q：
(
)
6 2
1
4
2
x
x
−
+
，请分析是否存在k，使得P 与Q 存在“雅含”关系，且Q 是P 的“子式”，若存在，请直接
．．
写出k 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)A 与B 存在“雅含”关系，B 是A 的“子式”．
(2)
13
2
a
(3)0 或1
【分析】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定，求不等式组的解集，应遵循以下原则∶同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
（1）根据“雅含”关系的定义即可判断；
（2）根据“雅含”关系的定义得出2
5
6
3
a +
，解不等式即可
（3）首先解关于m、n 的方程组即可求得m、n 的值，然后根据
1
2
m
，
1
n − ，且k 为整数即可得到一个
关于k 的范围，从而求得k 的整数值；
【详解】（1）解∶不等式A：
2
1
x+
的解集为
1
x −，
A 与B 存在“雅含”关系，B 是A 的“子式”．
（2）解：不等式C：
1
1
2
3
x
a
−
+
的解集为
2
5
3
a
x
+
，
不等式D：2
(3
)
3
x
x
−
+
的解集为
6
x
，
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且C 是D 的“子式”，
2
5
6
3
a +
，解得
13
2
a
．
（3）解：由
2
3
m
n
k
m
n
+
=
−
=
得
3
3
6
3
k
m
k
n
+
=
−
=
1
2
m
，
1
n −，
3
1
3
2
6
1
3
k
k
+
−
−
解得
3
3
2
k
−
．
k 为整数，
k
的值为1
−，0，1，2．
不等式P：
6
4
kx
x
+
+
，整理得(
)
1
2
k
x
−
−；
不等式Q：(
)
6 2
1
4
2
x
x
−
+
的解集为
1
x ．
当
1
k = 时，不等式P 的解集是全体实数，
P 与Q 存在“雅含”关系，且Q 是P 的“子式”；
当
1
k 时，不等式P 的解集为
2
1
x
k
−
−
不能满足P 与Q 存在“雅含”关系；
当
1
k 时，不等式P：
6
4
kx
x
+
+
的解集为
2
1
x
k
−
−．
P 与Q 存在“雅含”关系，且Q 是P 的“子式”，
1
0
k
−
，且
2
1
1
k
−
−
，解得1
1
k
−
．
k
为整数，
0
k
=
．
综上k 的值为0 或1．
6．（24-25 八年级下·山东青岛·阶段练习）【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，
则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：2
4
2
x +
=
的解为
1
x = −，
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的解集为
3
4
x
−
，不难发现
1
x = −在3
4
x
−
的范围内，所以2
4
2
x +
=
是
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的“子方程”．
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【问题解决】
(1)在方程①4
5
7
x
x
−=
+
，②1
1
0
11
3
x −
=
，③
(
)
2
3
2
21
x
x
+
+
=
中，不等式组
(
)
2
1
8
3
2
4
x
x
x
x
−−+
−
−
的“子方程”是
（填序号）；
(2)若关于x 的方程2
4
x
k
−
=
是不等式组
5
7
11
2
3
6
x
x
x
x
−
−
−
的“子方程”，求k 的取值范围；
(3)若方程4
4
0
x+
=
是关于x 的不等式组
2
8
1
1
3
2
3
x
m
x
x
+
+
的“子方程”，直接写出m 的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)2
8
k
(3)
6
m
【分析】本题考查解一元一次方程和一元一次不等式组，以及一元一次方程的解和一元一次不等式组的解
集的关系，理解新定义得到满足条件的参数对应的不等式（组）是解答的关键．
（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答；
（2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k 的不等式组，然后解不等式组即可求解；
（3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可．
【详解】（1）解：解方程①4
5
7
x
x
−=
+
得：
4
x = ，
解方程②1
1
0
11
3
x −
=
得：
11
3
x =
，
解方程③2
3(
2)
21
x
x
+
+
=
得：
3
x = ，
解不等式组
(
)
2
1
8
3
2
4
x
x
x
x
−−+
−
−
得：3
5
x
，
所以不等式组
(
)
2
1
8
3
2
4
x
x
x
x
−−+
−
−
的“子方程”是①②．
（2）解不等式5
7
11
x
x
−
−，得：
3
x ，
解不等式2
3
6
x
x
−，得：
6
x
，
则不等式组
5
7
11
2
3
6
x
x
x
x
−
−
−
的解集为3
6
x
，
解方程2
4
x
k
−
=
，得
4
2
k
x
+
=
，
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由题意，得
4
3
6
2
k +
，
∴6
4 12
k
+
，
解得：2
8
k
；
（3）解方程4
4
0
x+
=
，得：
1
x = −，
解不等式组
2
8
1
1
3
2
3
x
m
x
x
+
+
得：
8
2
18
m
x
x
−
，
∴不等式组得解集为
8
18
2
−
m
x
，
∴
1
x = −在
8
18
2
−
m
x
范围内，
∴
8
1
2
−
−
m
，
解得：
6
m
．
7．（24-25 八年级下·贵州毕节·阶段练习）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，
则称一元一次方程为这个一元一次不等式组的“子方程”．例如：2
4
2
x +
=
的解为
1
x = −，
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的
解集为3
4
x
−
．因为
1
x = −在3
4
x
−
的范围内，所以2
4
2
x +
=
是
2
3
9
5
5
2
4
x
x
x
x
−
−
+
−
的“子方程”．
(1)方程4
5
7
x
x
−=
+
______不等式组
2
1
8
2
6
4
x
x
x
−−+
−
的“子方程”；（填“是”或“不是”）
(2)若关于x 的方程2
4
x
k
−
=
是不等式组
5
7
11
2
3
6
x
x
x
x
−
−
−
的“子方程”，求k 的取值范围；
(3)若方程4
4
0
x+
=
是关于x 的不等式组
2
8
1
1
3
2
3
x
m
x
x
+
+
的“子方程”，求m 的取值范围．
【答案】(1)是
(2)2
8
k
(3)
6
m
【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键是正确理解“子
方程”的定义．
（1）求得方程的解和不等式组的解集，即可判断；
（2）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出k 的取值范围；
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89 /
（3）求得方程的解和不等式组的解集，即可得出m 的取值范围．
【详解】（1）解：由4
5
7
x
x
−=
+
，得
4
x =
，
由
2
1
8
2
6
4
x
x
x
−−+
−
，得3
5
x
，
∵
4
x =
在3
5
x
的范围内，
∴4
5
7
x
x
−=
+
是
2
1
8
2
6
4
x
x
x
−−+
−
的“子方程”，
故答案为：是．
（2）解：由2
4
x
k
−
=
，得
4
2
k
x
+
=
，
由
5
7
11
2
3
6
x
x
x
x
−
−
−
，得3
6
x
，
∵2
4
x
k
−
=
是不等式组
5
7
11
2
3
6
x
x
x
x
−
−
−
的“子方程”，
∴
4
3
6
2
k
+
，
解得，2
8
k
，
答：k 的取值范围是2
8
k
．
（3）解：由4
4
0
x+
=
，得
1
x = −，
由
2
8
1
1
3
2
3
x
m
x
x
+
+
，得
8
18
2
m
x
−
，
∵4
4
0
x+
=
是关于x 的不等式组
2
8
1
1
3
2
3
x
m
x
x
+
+
的“子方程”，
∴
8
1
2
m−
−，
∴
6
m
，
答：m 的取值范围是
6
m
．
题型五：一元一次不等式组实际应用（压轴）
1．（24-25 七年级下·广东广州·期末）本学期，教科书在七年级下册第十一章《二元一次方程组》的“阅读
与思考”栏目中，介绍了《中国古代著名的一次不定方程组问题》，其中有《张丘建算经》记载的“百鸡问题”，
意思是：如果一只公鸡值5 个钱，一只母鸡值3 个钱，3 只小鸡值1 个钱，现用100 个钱，买了100 只鸡，
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90 /
问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
小天和小河对此很感兴趣，一起展开了研究，提出以下两个问题．
(1)小天提出的问题是：若公鸡买了8 只，则母鸡、小鸡各买了多少只？
(2)小河解答了小天的问题后，找到了一个求解“百鸡问题”的方法：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x 只，y 只，
z 只，依题意得到方程组
100
1
5
3
100
3
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
=
①
②，把②3
−①，消去z，得到一个二元一次方程7
4
100
x
y
+
=
．小
河说：“由于
100
200
x
y
= −
=
是这个二元一次方程的一组解，因此该方程的解可以含字母t 的式子表示，即为
100
4
200
7
x
t
y
t
= −
+
=
−
（t 为整数），根据题意，由x，y 的取值范围可以求出t 的值，由此可求出满足条件的公鸡、
母鸡、小鸡的数量情况．
现在，请你先解答小天的问题，然后把小河求解“百鸡问题”的过程补充完整．
【答案】(1)母鸡买了11 只，小鸡买了81 只
(2)见解析
【分析】本题考查方程组的应用和不等式组的解集；
（1）设母鸡买了m 只，小鸡买了n 只，根据题意列方程组，解方程组即可解答；
（2）设公鸡、母鸡、小鸡各买了x 只，y 只，z 只，根据题意得到
200
25
7
t
，利用t 为正整数得到购买方
案即可解答．
【详解】（1）解：设母鸡买了m 只，小鸡买了n 只，
根据题意得：
8
100
1
5 8
3
100
3
m
n
m
n
+
+
=
+
+
=
，
解得：
11
81
m
n
=
=
．
答：母鸡买了11 只，小鸡买了81 只；
（2）解：设公鸡、母鸡、小鸡各买了x 只，y 只，z 只，
根据题意得：
100
1
5
3
100
3
x
y
z
x
y
z
+
+
=
+
+
=
①
②，
(
)
3
2
−
②
①
得：7
4
100
x
y
+
=
，
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∵
100
200
x
y
= −
=
是这个二元一次方程的一组解，
∴该方程的解可以含字母t 的式子表示，即为
100
4
200
7
x
t
y
t
= −
+
=
−
（t 为整数），
则
3
z
t
=
，
∵x，y，z 非负整数，
∴
100
4
0
200
7
0
3
0
t
t
t
−
+
−
，
解得：
200
25
7
t
，
又∵t 为正整数，
∴t 可以为25，26，27，28，
当
25
t =
时，
100
4
100
4 25
0
x
t
= −
+
= −
+
= ，
200
7
200
7
25
25
y
t
=
−
=
−
=
，
100
100
0
25
75
z
x
y
=
−
−
=
−
−
=
；
当
26
t =
时，
100
4
100
4 26
4
x
t
= −
+
= −
+
=
，
200
7
200
7
26
18
y
t
=
−
=
−
=
，
100
100
4 18
78
z
x
y
=
−
−
=
−
−
=
；
当
27
t =
时，
100
4
100
4 27
8
x
t
= −
+
= −
+
= ，
200
7
200
7
27
11
y
t
=
−
=
−
=
，
100
100
8 11
81
z
x
y
=
−
−
=
−−
=
；
当
28
t =
时，
100
4
100
4 28
12
x
t
= −
+
= −
+
=
，
200
7
200
7
28
4
y
t
=
−
=
−
=
，
100
100 12
4
84
z
x
y
=
−
−
=
−
−
=
．
答：公鸡、母鸡、小鸡各买了0 只，25 只，75 只或4 只，18 只，78 只或8 只，11 只，81 只或12 只，4 只，
84 只．
2．（24-25 七年级下·江苏扬州·阶段练习）阅读材料：在本学期第十一章我们已经学习了不等式的相关知识，
而在后续的学习中我们还会接触到一些“基本不等式”，如：
2
2
2
a
b
ab
+
．其证明过程如下：
∵右边−左边
(
)
2
2
2
2
2
2
0
2
2
2
a
b
a
b
a
b
ab
ab
−
+
+
−
=
−
=
=
，
∴
2
2
2
a
b
ab
+
，即
2
2
2
a
b
ab
+
．
当(
)
2
0
2
a
b
−
=
，即当a
b
=
时，取得等号．
我们可以发现：“基本不等式”两侧中有一侧为常数时，可以快速解决一些最值问题．
如：若正数a、b 满足
9
ab =
，则利用
2
2
2
a
b
ab
+
可以得出：当且仅当
3
a
b
=
= 时，
2
2
a
b
+
取得最小值18．
(1)理解：证明“基本不等式”：
2
2
a
b
ab
+
．
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(2)感悟：已知x、y 满足
2
16
2
14
x
y
m
x
y
m
+
=
+
+
=
−
，求xy的最大值，并求出此时m 的值．
(3)应用：如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵墙（墙足够长），用围成一个“日”字形的劳动基地ABCD．外
部ABCD为长方形，中间用笆EF 隔开，且EF
AB
CD
=
=
．若篱笆的总长为20 米，则AB 边长为多少米时，
基地ABCD的面积最大，最大面积为多少？
【答案】(1)见解析
(2) xy的最大值为25，
1
m = −
(3)AB 边长为10 m
3
时，基地ABCD的面积最大，最大面积为
2
100 m
3
【分析】本题考查完全平方公式的变形和应用；
（1）仿照例题方法证明即可；
（2）根据题意求出
10
x
y
+
=
，利用（1）中结论计算解题；
（3）设
m
AB
x
=
，则
(
)
20
3
BC
x m
=
−
，表示基地面积，利用（1）中结论求出最值即可解题．
【详解】（1）证明：∵右边−左边
(
)
(
)
2
2
2
0
2
4
4
a
b
a
b
a
b
ab
ab
+
−
+
=
−
=
−
=
∴
2
2
a
b
ab
+
，即
2
2
a
b
ab
+
．
（2）解：由
2
16
2
14
x
y
m
x
y
m
+
=
+
+
=
−
得
(
)(
)
16 14
10
3
m
m
x
y
+
−
+
=
=
∴
2
2
10
25
2
2
x
y
xy
+
=
=
，即xy的最大值为25．
解
10
x
y
x
y
=
+
=
得
5
5
x
y
=
=
，
代入求得
1
m = −．
（3）设
m
AB
x
=
，则
(
)
20
3
BC
x m
=
−
．
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基地ABCD的面积
(
)
(
)
2
2
1
1
3
20
3
100
20
3
3
20
3
3
3
2
3
x
x
S
x
x
x
x
m
+
−
=
−
=
−
=
当且仅当3
20 3
x
x
=
−
，即
10 m
3
AB
x
=
=
时，基地的面积最大．
3．（24-25 七年级下·福建厦门·期末）厦门地铁为倡导低碳出行推出碳币累计功能，根据用户使用厦门地铁
App购票乘车消费金额和每日签到可获取碳币并累计，将低碳行为数字化．累计规则如下：
①使用厦门地铁App刷卡时，享受票价的9 折优惠，按实付消费金额1：10 比例进行碳币累计．例如，当
票价为2 元时，实付金额为1.8元，累计增加18 碳币．
②每日可在厦门地铁App签到一次，每次签到可累计增加10 碳币．
③用户可以用碳币在厦门地铁App上兑换各项权益．
为响应低碳出行的号召，小沧决定使用厦门地铁App刷卡乘坐地铁出行，每日上、下班各1 次，如表所示
有两种出行方式可供选择．
单程出行方式
总碳排放量/g
方式一
地铁8 站（票价4 元）+ 电动车骑行4km
1040
方式二
地铁9 站（票价5 元）+ 电动车骑行3km
1080
注：假设地铁每站碳排放量一样．
结合上述信息，回答下列问题：
(1)若小沧连续五天都选择方式一上、下班，并且每日签到，则这五天共累计增加多少碳币？
(2)求乘坐地铁每站的碳排放量和骑电动车每千米的碳排放量；
(3)为尽可能多地兑换各项权益，小沧每月需要累计增加不低于1830 碳币．他每月工作20 天，在总碳排放
量不超过42.2 千克的前提下，请设计一种出行方案，确定一个月中方式一和方式二分别出行的次数，并说
明理由．（每月按30 天计，单程只选择一种出行方式，不考虑非工作日的出行方式）
【答案】(1)这五天共累计增加410 碳币
(2)乘坐地铁每站的碳排放量为100g ，骑电动车每千米的碳排放量为60g
(3)一个月中选择25 次方式一出行，15 次方式二出行（答案不唯一），详见解析
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次不等式组的应用，解题的关
键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）根
据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；
（1）利用这五天共累计增加碳币的数量= （选择方式一单程出行累计增加碳币数2
+ 每次签到可累计增加
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碳币数）5
，即可求出结论；
（2）设乘坐地铁每站的碳排放量为x g ，骑电动车每千米的碳排放量为y g ，根据采用方式一、方式二单
程出行的总碳排放量，可列出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设一个月中选择m 次方式一出行，则选择(20 2
)
m
−
次方式二出行，根据“总碳排放量不超过42.2 千
克，且每月需要累计增加不低于1830 碳币”，可列出关于m 的一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范
围，再结合m 为整数，即可得出结论．
【详解】（1）解：根据题意得：(4 0.9 10 2 10) 5
+
(72 10) 5
=
+
82 5
=
410
=
（碳币）．
答：这五天共累计增加410 碳币；
（2）解：设乘坐地铁每站的碳排放量为x g ，骑电动车每千米的碳排放量为y g ，
根据题意得：{8x+4y=1040
9x+3y=1080
，
解得：
100
60
x
y
=
=
．
答：乘坐地铁每站的碳排放量为100g ，骑电动车每千米的碳排放量为60g ；
（3）解：一个月中选择25 次方式一出行，15 次方式二出行（答案不唯一），理由如下：
设一个月中选择m 次方式一出行，则选择(20 2
)
m
−
次方式二出行，
根据题意得：{
1040m+1080(20×2−m)≤42200
4×0.9×10m+5×0.9×10(20×2−m)+10×30≥1830
，
解得：25
30
m
，
m
为整数，
m
可以为25，26，27，28，29，30，
一个月中选择25 次方式一出行，15 次方式二出行（答案不唯一）．
4．（24-25 八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物园、
植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相同的
路线游览到游乐场游玩，路线如图所示．
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记录得到以下信息：
a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程
1y 和
2y （单位：km）与游览时间x （单位：min ）的
对应关系如下图：
b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4 个景点，从
吉林市陶瓷博物馆到这4 个景点的路程如下表：
景点
园中
园
白鸽广
场
海豹
池
猴
山
路程（km）
1
2
2.5
3
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________km；
(2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），此
时距出发经过了___________ min ；
(3)下面有三个推断：
①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是2 km/min
45
；
②然然比琦琦晚到达游乐场30min；
③60min 时，琦琦比然然多走了2 km
3
．
所有合理推断的序号是___________．
(4)求然然离开白鸽广场到游乐场时
2y 对应的函数解析式，标出自变量x 的取值范围；
(5)当琦琦和然然相距800m 时，直接写出游览时间x 的值：___________．
【答案】(1)4
(2)白鸽广场，45
(3)②③
(4)
(
)
2
1
60
120
30
y
x
x
=
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(5)72 或96
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．
（1）观察图象即可；
（2）根据两图象交点的纵坐标判断除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在哪个景点相遇；写出
1y 与x 的函数
关系式，当
1
2
y =
时，求出对应x 的值即可；
（3）①求出当0
30
x
时，
2y 与x 的函数关系式，当
2
1
y = 时，求出对应x 的值，从而根据平均速度= 总
路程总时间求出然然从园中园到游乐场游览的过程中的平均速度即可；
②观察图象即可；
③当
60
x =
时，求出对应
1y 的值，从而求出琦琦比然然多走的路程即可；
（4）根据速度= 路程时间求出这个过程中然然的速度，再由路程= 速度时间写出
2y 与x 的函数解析式即
可；
（5）按照x 的取值范围，利用
1y 和
2y 关于x 的函数关系式，当琦琦和然然相距800m 时，分别列关于x 的
方程并求解即可．
【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为4km，
故答案为：4；
（2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇，
琦琦的速度为
(
)
2
4 90
km/min
45
=
，则
1
2
45
y
x
=
，
当
1
2
y =
时，得2
2
45 x =
，
解得
45
x =
，
∴此时距出发经过了45min ，
故答案为：白鸽广场，45；
（3）解：当0
30
x
时，然然的速度为
(
)
1
2 30
km/min
15
=
，
∴
(
)
2
1
0
30
15
y
x
x
=
，
当
2
1
y = 时，得1
1
15 x = ，
解得
15
x =
，
则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是
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(
) (
)
(
)
1
4 1
120 15
km/min
35
−
−
=
，
∴①不合理，不符合题意；
然然比琦琦晚到达游乐场
(
)
120
90
30 min
−
=
，
∴②合理，符合题意；
当
60
x =
时，
1
2
8
60
45
3
y =
=
，
(
)
8
2
2
km
3
3
−
=
，
∴60min 时，琦琦比然然多走了2 km
3
，
∴③合理，符合题意．
故答案为：②③；
（4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为(
) (
)
(
)
1
4
2
120
60
km/min
30
−
−
=
，
则
(
)
2
1
1
2
60
30
30
y
x
x
=
+
−
=
，
∴然然离开白鸽广场到游乐场时
2y 对应的函数解析式及自变量x 的取值范围为
(
)
2
1
60
120
30
y
x
x
=
；
（5）解：综上，1y 与x的函数关系式为
(
)
1
2
0
90
45
y
x
x
=
，2y 与x的函数关系式为
(
)
(
)
(
)
2
1
0
30
15
2 30
60
1
60
120
30
x
x
y
x
x
x
=
，
当0
30
x
时，当琦琦和然然相距800m 时，得
1
2
0.8
15
45
x
x
−
=
，
解得
36
x =
（舍去）；
当30
60
x
时，当琦琦和然然相距800m 时，得
2
2
0.8
45 x −
=
，
解得
27
x =
（舍去）或
63
x =
（舍去）；
当60
90
x
时，当琦琦和然然相距800m 时，得
2
1
0.8
45
30
x
x
−
=
，
解得
72
x =
；
当90
120
x
，当琦琦和然然相距800m 时，得
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98 /
1
4
0.8
30 x
−
=
，
解得
96
x =
．
综上，当琦琦和然然相距800m 时，x 的值为72 或96．
故答案为：72 或96．
5．（24-25 八年级下·河北承德·期末）蚂蚁森林是支付宝客户端为首期“碳账户”设计的一款公益行动：用户
如果步行、地铁出行、在线缴纳水电煤气费、网上缴交通罚单、网络挂号、网络购票等行为，就会减少相
应的碳排放量，可以用来在支付宝里养一棵虚拟的树，这棵树长大后，公益组织、环保企业等蚂蚁生态伙
伴们，可以“买走”用户的“树”，而在现实某个地域种下一棵实体的树，为了响应支付宝蚂蚁森林活动，某健
身器材销售公司捐出五月份全部销售利润用于买“树”、种树．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号
器材若干台，每种型号器材不少于8 台，五月份支出包括这批器材进货款74 万元和其他各项支出（人员工
资和杂项开支）4.35 万元．这三种器材的进价和售价如下表，人员工资（万元）和杂项支出（万元）分别
与总销售量x（台）成一次函数关系（如图）．
型号
甲
乙
丙
进价（万元/
台）
0.9
1.2
1.1
售价（万元/
台）
1.2
1.6
1.3
(1)求
1y 与x 的函数解析式；
(2)求五月份该公司的总销售量；
(3)设公司五月份售出甲种型号器材t 台，五月份总销售利润为W（万元），求W 与t 的函数关系式；（销
售利润＝销售额－进价－其他各项支出）
(4)请推测该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额．
【答案】(1)
1
0.05
0.2
y
x
=
+
；
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99 /
(2)五月份该公司的总销售量为70 台；
(3)
0.5
11.75
W
t
=
+
；
(4)该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额为22.25 万元．
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）观察图象，一次函数过(
)
0,0.2 ，(
)
20,1.2 利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）
1
2
y
y
+
就是总销售量函数，令其等于4.35 ，可解出五月销售台数；
（3）根据销售利润＝销售额－进价－其他各项支出，得到W 与t 的函数关系式；
（4）根据题意得到捐款金额的函数关系，得到t 的取值范围，利用（3）中一次函数的性质，可求得最值．
【详解】（1）解：设
(
)
1
0
y
kx
b k
=
+
，依题意，
得
0.2
20
1.2
b
k
b
=
+
=
，
解得
0.05
0.2
k
b
=
=
，
∴
1y 与x 的函数解析式为
1
0.05
0.2
y
x
=
+
；
（2）解：依题意得：
1
2
0.05
0.2
0.005
0.3
4.35
y
y
x
x
+
=
+
+
+
=
，
解得：
70
x =
，
∴五月份该公司的总销售量为70 台；
（3）解：设五月份售出乙种型号器材p 台，则售出丙种型号器材(
)
70
t
p
−−
台，
依题意得：
(
)
0.9
1.2
1.1 70
74
t
p
t
p
+
+
−−
=
，
解得
2
3
p
t
=
−，
∴
(
)
(
)
1.2
1.6 2
3
1.3 70
2
3
74
4.35
W
t
t
t
t
=
+
−
+
−−
+
−
−
，
即W 与t 的函数关系式为：
0.5
11.75
W
t
=
+
；
（4）解：依题意有
8
2
3
8
70
2
3
8
t
t
t
t
−
−−
+
，
解得
2
8
213
t
，
又∵t 为正整数
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100 /
∴t 最大为21，
∵W 是关于t 的一次函数，由（3）知W 随t 的增大而增大，
∴当
21
t =
时，W 有最大值，最大值
0.5 21 11.75
22.25
=
+
=
∴该公司这次活动捐款用于买“树”、种树的最大的金额为22.25 万元．
6．（24-25 七年级下·福建泉州·期末）项目式学习
体育比赛计分
素
材
一
体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，比如计分规则、比赛场次、最佳策略等．不同的比赛项目有着不
同的计分规则，只有了解这些规则，才能让我们更佳清楚地看懂比赛．你是否思考过这些问题：篮球
循环赛中，你们年段球队如何获得最终胜利？
素
材
二
五一节期间，某校举办“瓷韵杯”七年级学生篮球赛，戴云队、九仙队、石牛队三支篮球队举行单循环
赛，赛前约定的比赛排名规则：
1．获胜场数多的球队排名靠前；
2．如果两队获胜场数相同时，依下列顺序排列名次：
①净胜分大的球队排名靠前；
②净胜分相同时，两队比赛获胜者排名靠前．
素
材
三
三支球队的比赛成绩如表：
戴云队
九仙队
石牛队
净胜分
戴云队
53 47
：
45 55
：
4
−
九仙队
47 53
：
58
n
：
石牛队
55 45
：
n 58
：
注：①戴云队与九仙队的比赛得分是53 47
：，则九仙队与戴云队的比赛得分是47 53
：
②净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分，如戴云队的净胜分(
) (
)
53
45
47
55
4
=
+
−
+
= −.
问题解决
任
务
分别计算九仙队和石牛队的净胜分（用含n 的代数式表示）；
小学
初中
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101 /
一
任
务
二
当
56
n =
时，通过计算说明九仙队获得第几名？
任
务
三
根据排名规则和比赛成绩分析哪支球队能得第一名(
)
58
n
【答案】任务一：九仙队的净胜分是52
n
−
，石牛队的净胜分是
48
n −
；
任务二：当
56
n =
时，九仙队为第三名；
任务三：当
50
n
且
58
n
时，石牛队得第一名；当0
50
n
时，九仙队得第一名
【分析】任务一：根据净胜分=本队两场比赛的总得分-对方比赛的总得分进而计算可以得解；
任务二：依据题意，当
56
n =
时，三支篮球队均1 胜1 负，故需比较三支篮球队的净胜分，又戴云队、九仙
队、石牛队三队的净胜分分别为4
−，4
−，8，故石牛队得第一名，又戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云
队：九仙队
53
=
：47，进而可以判断得解；
任务三：依据题意，分0
50
n
、
50
n
且
58
n
分别进行分析计算即可判断得解．
本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出不等式组是关键．
【详解】任务一：（1）由题意得，九仙队的净胜分是(
) (
)
47
58
53
52
n
n
+
−
+
=
−
；
石牛队的净胜分是(
) (
)
55
45
58
48
n
n
+
−
+
=
−
．
答：九仙队的净胜分是52
n
−
，石牛队的净胜分是
48
n −
．
任务二：由题意，当
56
n =
时，三支篮球队均1 胜1 负，
需比较三支篮球队的净胜分．
戴云队、九仙队、石牛队三队的净胜分分别为4
−，4
−，8，
石牛队得第一名．
戴云队、九仙队的净胜分相同，戴云队：九仙队
53
=
：47
戴云队为第二名．
九仙队为第三名．
任务三：①当
58
n
时，石牛队两场都胜，石牛队得第一名．
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102 /
②当
58
n
时，每队各胜1 场，
若戴云队得第一名，则需
52
4
48
4
n
n
−
−
−
−
，
．
此时，这个不等式组无解，
戴云队不可能得第一名；
若九仙队得第一名，
52
4
52
48
n
n
n
−
−
−
−
，
．
50
n
，
又
0
n
，
0
50
n
；
若石牛队得第一名，
48
4
48
52
n
n
n
−
−
−
−
，
．
50
n
．
综上所述：当
50
n
且
58
n
时，石牛队得第一名；当0
50
n
时，九仙队得第一名．
7．
（24-25 八年级下·福建厦门·期末）本学期青少年宫在学校开设了多项特色课程，丰富了学生的校园生活．期
末时，青少年宫计划购买A，B 两款盲盒作为礼物送给参加剪纸班的47 名学生．这两款盲盒的销售信息如
表三：
表三
盲盒种类
单价（元／个）
优惠方案
A 款盲盒
20
优惠方案一：A 款盲盒满30 份及以上打八五折
优惠方案二：B 款盲盒满18 份及以上打八折
优惠方案三：总费用满800 元立减100 元
（备注：方案三不与方案一、方案二叠加使用）|
B 款盲盒
15
目前47 名学生都参与了选择盲盒意向调查，每人只能在A，B 两款中选一款，其中30 人已作明确选择，剩
余17 人可以接受任意一款．若按这30 人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为540 元．
(1)在已作明确选择的30 名学生里，选A 款和B 款盲盒的分别有多少人？
(2)若剩余17 人中选择A 款盲盒有m 人，购买这两款盲盒的总费用为y 元，求y 的最小值．
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103 /
【答案】(1)选A 款和B 款盲盒的分别有18、12 人
(2)700
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，解题的关键是：
（1）设选A 款和B 款盲盒的分别有x、y 人，根据“按这30 人的选择下单，由于不满足优惠条件，总费用为
540 元”列方程组求解即可；
（2）根据题意，得出选择A 款盲盒有(
)
18
m
+
人，选择B 款盲盒有(
)
29
m
−
人，然后分两种情况讨论：①
当0
11
m
时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后比较得出最
小值；②当12
17
m
时，根据一次函数的性质求出选择方案一、二的最小值和选择方案三的最小值，然后
比较得出最小值，最后比较①、②两种情况即可求解．
【详解】（1）解∶设选A 款和B 款盲盒的分别有x、y 人，
根据题意，得
30
20
15
540
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
18
12
x
y
=
=
，
答：选A 款和B 款盲盒的分别有18、12 人；
（2）解：∵剩余17 人中选择A 款盲盒有m 人，
∴选择A 款盲盒有(
)
18
m
+
人，选择B 款盲盒有
(
)
(
)
47
18
29
m
m
−
+
=
−
人，
①当0
11
m
时，18
30
m
+
，29
18
m
−
，
若选方案一、二，
则
(
)
(
)
20 18
15 0.8 29
8
708
y
m
m
m
=
+
+
−
=
+
，
∵8
0
，
∴y 随m 的增大而增大，
又0
11
m
，
∴当
0
m =
时，y 取最小值，最小值为8 0
708
708
+
=
；
若选方案三，则
(
)
(
)
20 18
15 29
800
m
m
+
+
−
，
解得
1
m ，
此时
(
)
(
)
20 18
15 29
100
5
695
y
m
m
m
=
+
+
−
−
=
+
，
∵5
0
，
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104 /
∴y 随m 的增大而增大，
又1
11
m
，
∴当
1
m = 时，y 取最小值，最小值为
0
5 1 69
70
5
+
=
；
∵700
708
，
∴当
1
m = 时，y 的最小值为700；
②当12
17
m
时，18
30
m
+
，29
18
m
−
，
若选方案一、二，
则
(
)
(
)
20 0.85 18
15 29
2
741
y
m
m
m
=
+
+
−
=
+
，
∵2
0
，
∴y 随m 的增大而增大，
又12
17
m
，
∴当
12
m =
时，y 取最小值，最小值为2 12
741
765
+
=
；
若选方案三，则
(
)
(
)
20 18
15 29
800
m
m
+
+
−
，
解得
1
m ，
此时
(
)
(
)
20 0.85 18
15 29
100
5
695
y
m
m
m
=
+
+
−
−
=
+
，
∵5
0
，
∴y 随m 的增大而增大，
又12
17
m
，
∴当
12
m =
时，y 取最小值，最小值为5 12
695
755
+
=
；
∵755
765
，
∴当
12
m =
时，y 的最小值为755；
∵700
755
，
∴当
1
m = 时，y 的最小值为700．
1．（24-25 七年级下·河南郑州·期末）若5
a
−
，
3
a+ ，2
1
a−这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次
排列，则a 的取值范围是（ ）
A．
1
a
B．
4
a
C．1
2
a
D．1
4
a
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105 /
【答案】B
【分析】本题考查实数与数轴，解一元一次不等式组．数轴上左边的点表示的数小于右边的点表示的数，
由此列不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：由题意得
5
3
3
2
1
a
a
a
a
−
+
+
−
①
②
解不等式①得：
1
a ，
解不等式②得：
4
a ，
所以该不等式组的解集为
4
a ，
故选：B．
2．（24-25 八年级下·全国·期末）不等式组
1
0
1
0
x
x
+
−
的解集在数轴上可表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解集在数轴上表示，熟悉掌握不等式组的运算方法是解题的关键．
求出不等式组的解集后在数轴上表示即可．
【详解】解：
1
0
1
0
x
x
+
−
解得：
1
1
x
x
−
，
∴不等式组的解集为：1
1
x
−
，
在数轴上表示为：
故选：B．
3．（24-25 七年级下·全国·期末）已知关于x 的不等式组
3
2
2
6
x
a
x
x
a
−
+
无解，则a 的取值范围为（ ）
A．<2
a
B．>2
a
C．
2
a
D．
2
a
【答案】B
【分析】先求得不等式组的每个不等式的解集，根据不等式组无解，建立起新的不等式，解之即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，能根据不等式组无解建立新不等式是解题的关键．
【详解】解：∵
3
2
2
6
x
a
x
x
a
−
+
①
②，
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106 /
∴解①得，x
a
，解②得，
6
2
a
x
−
，
∵不等式组
3
2
2
6
x
a
x
x
a
−
+
无解，
∴
6
>
2
a
a
−
，
∴>2
a
，
故选：B．
4．（24-25 七年级下·贵州黔东南·阶段练习）不等式组
1
1
3
2
2
x
x
x
a
−
−
−
−
有两个整数解，则a 的取值范围是（ ）
A．5
4
a
−
−
B．5
4
a
−
−
C．4
3
a
−
−
D．5
4
a
−
−
【答案】A
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数，先求出不等式组的解集，再根据解集的情况得到关
于a 的不等式组，进行求解即可．
【详解】解：解
1
1
3
2
2
x
x
x
a
−
−
−
−
，得：
4
2
x
x
a
−
，
∵不等式组有2 个整数解，
∴4
2
x
a
−，整数解为5,6 ，
∴6
2
7
a
−
，
∴5
4
a
−
−；
故选A．
5．（24-25 七年级下·江苏无锡·阶段练习）若方程组
3
1
3
3
x
y
k
x
y
+
=
+
+
=
的解x ，y 满足0
2
x
y
+
，则k 的取值
范围是（ ）
A．4
0
k
−
B．4
4
k
−
C．0
8
k
D．
4
k −
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出x
y
+
的
表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出x
y
+
关于k 的表达式，
再根据0
2
x
y
+
列出不等式组，求解得出k 的取值范围．
【详解】解：
3
1
3
3
x
y
k
x
y
+
=
+
+
=
，
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∴3
3
1 3
x
y
x
y
k
+
+
+
=
+ +
，
∴4
4
4
x
y
k
+
=
+
，
∴
4
4
k
x
y
+
+
=
，
∵0
2
x
y
+
，
∴
4
0
2
4
k +
∴0
4
8
k
+
，
解得：4
4
k
−
．
故选：B ．
6．（24-25 九年级下·四川内江·阶段练习）若关于x 的一元一次不等式组
2
1
3
3
4
2
3
x
x
x
a
+
−
+
的解集为
4
x
，且
关于y 的分式方程
8
1
2
2
a
y
y
y
−
−
=
+
+
的解均为负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ）
A．12
B．18
C．30
D．42
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确
定所有满足条件的整数a 的值，再进行相加求解．
【详解】解：
2
1
3
3
4
2
3
x
x
x
a
+
−
+
①
②
，
解不等式①，得
4
x
，
解不等式②，得
2
x
a
+
，
由题意得
2
4
a+
，
解得
2
a
；
解方程
8
1
2
2
a
y
y
y
−
−
=
+
+
得，
10
2
a
y
−
=
，且
2
y −，
∵关于y 的分式方程
8
1
2
2
a
y
y
y
−
−
=
+
+
的解均为负整数，
∴
10
0
2
a
y
−
=
，解得
10
a
，
∴2
10
a
，
当
8
a = 时，
8 10
1
2
y
−
=
= −；
当
6
a =
时，
6 10
2
2
y
−
=
= −（不合题意，舍去）；
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108 /
当
4
a =
时，
4 10
3
2
y
−
=
= −，
∴符合条件的a 有 8，4 ，
∴8
4
12
+
=
，
即所有满足条件的整数a 的值之和是 12 ．
故选：A．
7．
（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于x 的一元一次不等式组
2
0
4
x
m
x
+
下列结论错误的是（ ）
A．若不等式组所有正整数解的和为5，则4
2
m
−
−
B．若
4
m =
，则
0
x =
是不等式组的解
C．若不等式组只有3 个整数解，则2
0
m
−
D．若不等式组有解，则
8
m −
【答案】D
【分析】此题考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式、不等式组的整数解等知识，熟练掌握不等
式组解集的相关知识是关键．首先求出每个不等式的解集，再根据选项的条件进行分析解答即可．
【详解】解：由
2
0
4
x
m
x
+
得到
1
2
4
x
m
x
−
，
∵不等式组所有正整数解的和为5，
∴
1
1
2
2 m
−
，
解得4
2
m
−
−，
故A 正确，不合题意；
若
4
m =
，则不等式组的解集为2
4
−
x
，
∴
0
x =
是不等式组的解，
故B 正确，不合题意；
∵不等式组只有3 个整数解，
∴
1
0
1
2 m
−
，
解得2
0
m
−
，
故C 正确，不合题意；
若不等式组有解，则
1
4
2 m
−
，
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109 /
解得
8
m −，
故D 错误，符合题意，
故选：D
8．（25-26 八年级上·全国·单元测试）不等式组
3
5
8
2
4
x
x
a
−
−
+
的所有整数解之和为2，则a 的取值范围
为 ．
【答案】8
10
a
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤和依据，并熟记
确定不等式组解集的口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”．
分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解列出关于a 的不等式组，解之即可．
【详解】解：由3
5
8
x−−得：
1
x −，
由2
4
x
a
+
得：
4
2
a
x
−
，
因为不等式组的所有整数解之和为2，
所以不等式组的整数解为1
−、0、1、2，
则
4
2
3
2
a −
，
解得8
10
a
，
故答案为：8
10
a
．
9．（24-25 八年级上·浙江·期末）能使4
5,2
1,20
m
m
m
+
−
−
这三个数作为三角形三边长的整数m 共有
个
【答案】2
【分析】本题考查了三角形三边关系及不等式组的应用，理解题意，列出不等式是解题关键．
根据两边之和大于第三边，列出不等式组求解即可．
【详解】解：根据题意得：
4
5
2
1
20
4
5
20
2
1
2
1
20
4
5
4
5
0
2
1
0
20
0
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
m
+
+
−
−
+
+
−
−
−+
−
+
+
−
−
①
②
③
④
⑤
⑥
，
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解不等式①得：
16
7
m
，
解不等式②得：
26
m −
，
解不等式③得：
14
3
m
，
解不等式④得：
5
4
m −
解不等式⑤得：
1
2
m
解不等式⑥得：
20
m
∴16
14
7
3
m
，
∴整数m 有3，4 共2 个，
故答案为：2
10．（24-25 九年级下·山东临沂·阶段练习）不等式组
3
3
2
1 3(
1)
8
x
x
x
x
−
+
−
−
−
的解集为 ．
【答案】2
3
x
−
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，
大小小大中间找，大大小小无法找．
分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．
【详解】解：
3
3
2
1 3(
1)
8
x
x
x
x
−
+
−
−
−
①
②
，
解①，得
3
x
，
解②，得
2
x −，
∴原不等式组的解集为2
3
x
−
．
故答案为：2
3
x
−
．
11．（24-25 七年级下·江苏淮安·阶段练习）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁
钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的1
3 ，
已知这个铁钉被敲击3 次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是cm
a
，
若铁钉总长度为10cm，则a 的取值范围是 ．
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【答案】90
15
13
2
a
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，第一次敲进长度为cm
a
，第二次敲进长度为1 cm
3 a
，第三次敲
进长度最大值为1
1 cm
3
3 a
，根据前两次敲进长度之和小于铁钉总长度，前两次敲进长度与第三次敲进长度
的最大值之和大于等于铁钉总长度，列一元一次不等式组，即可求解．
【详解】解：由题意得，
1
1
1
10
3
3
3
1
10
3
a
a
a
a
a
+
+
+
①
②
，
解不等式①得：
90
13
a
，
解不等式②得：
15
2
a
，
因此不等式组的解集为90
15
13
2
a
，
故答案为：90
15
13
2
a
．
12．（24-25 八年级下·陕西西安·阶段练习）解下列不等式(组)：
(1)
1
2
1
2
6
x
x
+
−
+ ；
(2)
(
)
5
2
3
1
2
5
1
2
3
x
x
x
x
+
−
+
−
−
．
【答案】(1)
5
4
x
(2)
5
4
2
5
x
−
【分析】本题考查的是解一元一次不等式和一元一次不等式组．
（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了
确定不等式组的解集．
【详解】（1）解：
1
2
1
2
6
x
x
+
−
+
，
∴3(x+1)≤2−x+6，
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3x+3≤2−x+6，
3x+x≤2+6−3，
4
5
x ，
∴x≤
5
4；
（2）解：由5x+2≥3(x−1)得：
5
2
x −
，
由1−
2x+5
3 >x−2得：
4
5
x
，
则不等式组的解集为
5
4
2
5
x
−
．
13．（23-24 七年级下·广西河池·期末）某商店需要购进甲、乙两种商品共 180 件其进价和售价如表：（注：
获利= 售价−进价）．
进价（元/件）
4
5
售价（元/件）
0
3
(1)若商店计划销售完这批商品后能获利 1240 元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
(2)若商店计划投入资金少于 5040 元，且销售完这批商品后获利多于 1312 元， 请问有哪几种购货方案？
并直接写出其中获利最大的购货方案．
【答案】(1)甲、乙两种商品应分别购进100件和80件
(2)方案一：购进甲商品61件，购进乙商品119件；方案二：购进甲商品62 件，购进乙商品118件；方案三：
购进甲商品63件，购进乙商品117 件；当购进甲商品61件，购进乙商品119件时，获得的利润最大
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出二元一次方程
组和一元一次不等式组，是解题的关键：
（1）设甲、乙两种商品应分别购进x 件和y 件，根据购进甲、乙两种商品共 180 件，计划销售完这批商品
后能获利 1240 元，列出方程组进行求解即可；
（2）设购进甲商品m 件，根据商店计划投入资金少于 5040 元，且销售完这批商品后获利多于 1312 元，
列出不等式组进行求解即可．
【详解】（1）解：设甲、乙两种商品应分别购进x 件和y 件，由题意，得：
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(
)
(
)
180
20 14
43
35
1240
x
y
x
y
+
=
−
+
−
=
，
解得：
100
80
x
y
=
=
；
答：甲、乙两种商品应分别购进100件和80件；
（2）解：设购进甲商品m 件，则购进乙商品(
)
180
m
−
件，由题意，得：
(
)
(
)
(
)(
)
14
35 180
5040
20 14
43
35 180
1312
m
m
m
m
+
−
−
+
−
−
，解得：60
64
m
，
∵m 为整数，
∴
61,62,63
m =
，
∴共有3 种进货方案：
方案一：购进甲商品61件，购进乙商品119件；
方案二：购进甲商品62 件，购进乙商品118件；
方案三：购进甲商品63件，购进乙商品117 件；
∵甲商品的利润为20 14
6
−
=
元，乙商品的利润为43 35
8
−
=
元，
故购进的乙商品的数量越多，利润越大，即当购进甲商品61件，购进乙商品119件时，获得的利润最大．
14．（2025 八年级上·全国·专题练习）关于x 的分式方程3
1
1
3
3
x
a
x
x
x
−
+
+
=
−
−
的解为正数，且关于y 的不等式组
(
)
9
2
2
2
1
3
y
y
y
a
+
+
−
的解集为
5
y≥，求所有满足条件的整数a 的值之和．
【答案】13
【分析】本题考查了根据分式方程解的情况求参数的取值范围，根据不等式组的解集情况求参数的取值范
围，有理数的加法运算，分别求出分式方程和不等式的解集，根据解和解集的情况求出满足条件的a 的取值
范围，进而得到整数a 的值，再相加即可求解，正确计算是解题的关键．
【详解】解：分式方程两边乘以(
)
3
x −
，得
(
)
3
1
3
x
a
x
x
−
−
+
=
−，
解得
2
=
−
x
a
，
∵分式方程的解为正数，
∴
2
0
a −
且
2
3
a −
，
∴
2
a
且
5
a
，
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由
(
)
9
2
2
y
y
+
+
，得
5
y≥，
由2
1
3
y
a
−
，得
3
2
a
y
+
，
∵不等式组
(
)
9
2
2
2
1
3
y
y
y
a
+
+
−
的解集为
5
y≥，
∴3
5
2
a
+
，
解得
7
a
，
∴所有满足条件的a 的取值范围为2
7
a
且
5
a
，
∴所有满足条件的a 的整数解有3，4 ，6 ，它们的和为3 4 6
13
+ +
=
．
15．（24-25 七年级下·湖北武汉·阶段练习）学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了
解，购买20 本文学名著和30本动漫书共需2200元，购买15本文学名著比购买20 本动漫书的费用少50元（注：
所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元?
(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多40 本，动漫书和文学名著总数不低于100本，总费用不超过5250元，
请问有几种购书方案?
(3)在（2 ）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利m 元，每出售一本动漫书盈利(
)
45
2m
−
元，此时店
家获得最大利润为1668元，则m 的值为_____（直接写出结果）．
【答案】(1)每本文学名著50元，每本动漫书40 元；
(2)有7 种购书方案；
(3)12．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组和不等式
组是解题的关键．
（1）设每本文学名著x 元，每本动漫书y 元，根据题意得
20
30
2200
20
15
50
x
y
y
x
+
=
−
=
，然后解方程组即可；
（2 ）设动漫书购买a 本，则购买文学名著(
)
40
a
+
本，根据题意得
(
)
40
100
50
40
40
5250
a
a
a
a
+
+
+
+
，然后解不等式
组即可；
（3）根据题意得店家获得的利润为(
)
45
40
m a
m
−
+
，然后分①若45
0
m
−
即
45
m
和②若45
0
m
−
即
45
m≥
两种情况分析即可．
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【详解】（1）解：设每本文学名著x 元，每本动漫书y 元，
根据题意得，
20
30
2200
20
15
50
x
y
y
x
+
=
−
=
，
解得：
50
40
x
y
=
=
，
答：每本文学名著50元，每本动漫书40 元；
（2）解：设动漫书购买a 本，则购买文学名著(
)
40
a
+
本，
根据题意得，
(
)
40
100
50
40
40
5250
a
a
a
a
+
+
+
+
，
解得：
1
30
36 9
a
，
∴a 可取的整数值为30，31，32，33，34，35，36，
∴有7 种购书方案；
（3）解：根据题意得店家获得的利润为(
)
(
)
(
)
40
45
2
45
40
a
m
m a
m a
m
+
+
−
=
−
+
，
①若45
0
m
−
即
45
m
，
当
36
a =
时，利润最大，
∴(
)
45
36
40
1668
m
m
−
+
=
，解得：
12
m =
，
②若45
0
m
−
即
45
m≥
，
当
30
a =
时，利润最大，
∴(
)
45
30
40
1668
m
m
−
+
=
，解得：
31.8
m =
（不符合题意），
综上可得，m 的值为12，
故答案为：12．
16．（24-25 七年级下·广东广州·阶段练习）“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中
国同30 多个国家签署经贸合作协议，某童装厂准备生产L、M 两种型号的童装销往“一带一路”沿线国家和
地区．现工厂有甲种布料38 米，乙种布料26 米．计划用这两种布料生产这两种型号的童装50 套进行市场
调研．已知做一套L 型号的童装需甲种布料0.5 米、乙种布料1 米，可获利50 元；做一套M 型号的童装需
甲种布料0.9 米、乙种布料0.2 米，可获利30 元．
(1)按要求安排L、M 两种型号的童装的生产套数，有哪几种方案?请你设计出来；
(2)在你设计的方案中，哪种生产方案获总利润最大？最大利润是多少？
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【答案】(1)共有3 种方案，方案1：生产18 套L 型号的童装，32 套M 型号的童装；方案2：生产19 套L
型号的童装，31 套M 型号的童装；方案3：生产20 套L 型号的童装，30 套M 型号的童装；
(2)方案3 利润最大，最大为1900 元
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算；
（1）设生产L型号的童装x 件，则生产M 型号的童装(
)
50
x
−
件，根据生产50 套童装所需甲种布料不超过
38 米、乙种布料不超过26 米，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之即可得出x 的取值范围，再结合
x 为正整数即可得出各生产方案；
（2）利用总利润=每套的利润×生产数量，即可得出各生产方案获得的总利润，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设生产L 型号的童装x 件，则生产M 型号的童装(
)
50
x
−
件，
依题意得：
(
)
(
)
0.5
0.9 50
38
0.2 50
26
x
x
x
x
+
−
+
−
，
，
解得：35
20
2
x
．
又∵x 为正整数，
∴x 可以取18，19，20 ，
∴共有3种生产方案，
方案1：生产18套L型号的童装，32套M 型号的童装；
方案2 ：生产19套L 型号的童装，31套M 型号的童装；
方案3：生产20 套L型号的童装，30套M 型号的童装．
（2）方案1获得的总利润为50 18 30 32
1860
+
=
（元）；
方案2 获得的总利润为50 19 30 31 1880
+
=
（元）；
方案3获得的总利润为50 20 30 30
1900
+
=
（元）．
∵1860
1880
1900
，
∴方案3获得的总利润最大，最大利润是1900元．
