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专题01 三角形中的线与角的六类综合题型
解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用三角形中的三边关系化简
题型二、利用三角形中的中线求解
题型三、利用三角形中的高线求解
题型四、利用三角形中的角平分线求解
题型五、利用三角形中的折叠求解
题型六、利用三角形中的内外角关系求解
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
通法通法—明晰核心解法，助力能力迁移
- 题型特征：涉及角平分线、中线、高线、中垂线及内角和、外角定理，常与平行线、折叠结合求角度或
线段长。
- 解题方法：利用内角和180°、外角等于不相邻两内角和；角平分线+平行出等腰；中线倍长构造全等；
高线注意直角三角形分拆；中垂线转化等距。
- 易错提醒：外角定理误用为相邻外角；高线可能在三角形外部（钝角三角形）；角平分线性质定理需对
应比例线段；忽视“三角形三边关系”隐含条件。
题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基
题型一、利用三角形中的三边关系化简
典例1．（25-26 八年级上·山东德州·期中）已知a，b，c 是一个三角形的三边长，化简
a
b
c
b
a
c
a
b
c
−
+
−
−
−
−
−
+
．
【答案】3b
a
c
−
−
【分析】根据三角形三边关系判断每个绝对值内式子的正负，去绝对值后合并同类项即可．
【详解】解：
a
，b ，c 是三角形的三边长，
目 录
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a
b
c
+
，得
0
a
b c
+ −
；a
c
b
+
，得
0
b
a
c
−−
；b
c
a
+
，得
0
a
b
c
−−
，
∴原式
(
)
(
)
(
)
a
b
c
a
c
b
b
c
a
=
+
−
−
+ −
+
+ −
a
b c
a
c
b b
c
a
=
+ −−−+ + + −
3b
a
c
=
−
−．
题型模版
1.特征：利用两边之和大于第三边等性质，判断线段能否构成三角形或进行范围限定。
2.方法：根据三角形三边关系列出不等式组，消去绝对值或化简含绝对值的代数式，确定变量范围。
变式1-1．（25-26 七年级下·江苏盐城·阶段检测）已知ABC
的三边长分别为a，b，c．
(1)若
9
a =
，
5
b =
，且c 为整数，求ABC
周长的最大值．
(2)化简：b
c
a
c
a
b
a
b
c
+
−
−
−
−
−
−
+
．
【答案】(1)27
(2) 3a
b
c
−
+ +
【分析】（1）根据三角形的三边关系确定c 的取值范围，进而求得c 的最大值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定b
c
a
+ −
、c
a
b
−−、a
b
c
−+ 的正负，再化简绝对值，然后再合并同类
项即可解答．
【详解】（1）解：∵
9
a =
，
5
b =
，
9 5
9
5
c
−
+ ，即4
14
c
，
∵c 为整数，
∴当
13
c =
，ABC
周长的最大值为
9 5 13
27
a
b
c
+ + = + +
=
；
（2）解：
ABC
的三边长为a，b，c，
0
b
c
a
+ −
，
0
c
a b
−−
，
0
a b
c
−+
，
∴b
c
a
c
a
b
a
b
c
−
−
−
−
+
−
−
+
(
) (
)
b
c
a
a
b
c
a
b
c
−
−
−
−
=
+
+
−
+
b
c
a
a
b
c
a
b
c
= + −−−+ −+ −
3a
b
c
= −
+ + ．
变式1-2．（25-26 七年级下·河南周口·期中）已知a ，b ，c 是ABC
的三边长．
(1)若
(
)
2
0
a
b
b
c
−
+
−
=
，试判断ABC
的形状．
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(2)化简：a
b
c
b
c
a
c
a
b
−
−
+
+
−
+
−
−
．
【答案】(1)
等边三角形
(2)
3
a
b
c
−+
+
【分析】（1）根据非负数的性质，可得出a
b
c
=
= ，进而得出结论；
（2）利用三角形的三边关系得到
0
a
b
c
−−＜，
0
b
c
a
+ −
，
0
c
a
b
−−＜，然后去绝对值符号后化简即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
0
a
b
b
c
−
+
−
=
，
0
a
b
−
=
，且
0
b
c
−=
，
a
b
c
=
=
，
ABC
为等边三角形．
（2）解：∵a ，b ，c 是ABC
的三边长，
∴
0
a
b
c
−−＜，
0
b
c
a
+ −
，
0
c
a
b
−−＜，
∴：
3
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
b
c
a
c
a
b
a
b
c
−
−
−
−
−
+
+
+
= −+
+ +
+ −
−+
+
= −+
+
．
变式1-3．（25-26 七年级下·陕西西安·阶段检测）按要求完成下列各小题．
(1)在ABC
中，
6
AB =
，
2
BC =
，AC 的长为偶数，求ABC
的周长；
(2)已知ABC
的三边长分别为3，7，m，化简
2
10
2
4
m
m
m
+
−
−
+
−
．
【答案】(1)14
(2)4
16
m−
【分析】（1）利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AC 的取值范围，结合AC 为偶数
确定AC 的长度，再计算三角形周长；
（2）先根据三角形三边关系得到m 的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，化简整式得到结果．
【详解】（1）解：∵ AB
BC
AC
AB
BC
−
+
，
6
AB =
，
2
BC =
，
∴ 6 2
6
2
AC
−
+
，即4
8
AC
．
又∵AC 为偶数，
∴
6
AC =
．
∴ABC
的周长为
6
14
=
6+2+
．
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（2）解：∵ABC
的三边长分别为3，7 ，m ，
∴7 3
7
3
m
−
+ ，即4
10
m
．
∴
2
0
m+
，
10
0
m−
，
4
0
m−
．
∴原式
(
2)
(10
)
2(
4)
m
m
m
−
−
=
+
−
+
2 10
2
8
m
m
m−
=
+ −
+
+
4
16
m
=
−
．
题型二、利用三角形中的中线求解
典例2．
（25-26 七年级下·山西临汾·期末）如图，CD、CE 分别是ABC
的高和中线，若
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
90
ACB
=
(1)求CD的长
(2)求BCE
与
ACE
△
的周长差
【答案】(1) 60 cm
13
(2)7cm
【分析】( )
1 根据三角形的面积公式解答即可；
( )
2 利用三角形中线的定义可得AE
BE
=
，即得BCE
的周长
ACE
−
的周长
BC
AC
=
−
，代入已知数据即可
求解．
【详解】（1）解：∵CD是ABC
的高，
90
ACB
=
，
∴
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
AC BC
=
=
，
∵
5cm
AC =
，
12
BC
cm
=
，
13cm
AB =
，
∴1
1
13
5 12
2
2
CD
=
，
∴
60 cm
13
CD =
；
（2）解：∵CE 是ABC
的中线，
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∴AE
BE
=
，
∴BCE
的周长
ACE
−
的周长
(
)
BC
CE
BE
AC
CE
AE
=
+
+
−
+
+
BC
AC
=
−
12 5
=
−
7cm
=
．
题型模版
1.特征：已知三角形中线长度或位置，求边长、面积或角度，常涉及倍长中线构造全等。
2.方法：倍长中线构造平行四边形或全等三角形，利用全等性质及勾股定理建立边角关系求解。
变式2-1．（25-26 七年级下·广东广州·期中）如图，在ABC
中，
8
BC = ，
1
AB = ．
(1)求周长C 的取值范围；
(2)已知BD是ABC
的中线，若ABD
的周长为10，求BCD
的周长．
【答案】(1)16
18
C
(2)17
【分析】（1）根据三角形的三边关系解答即可；
（2）根据三角形的中线的定义得到AD
CD
=
，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】（1）解：∵
8
BC = ，
1
AB = ．
∴BC
AB
AC
BC
AB
−
+
，
∴7
9
AC
，
∴7 8 1
9 8 1
C
+ +
+ +
即16
18
C
．
（2）解：∵BD是ABC
的中线，
∴AD
CD
=
，
ABD
的周长为10，
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∴
10
AB
AD
BD
+
+
=
，
∵
1
AB = ，
∴
9
AD
BD
+
=
BCD
的周长
8 9
17
BC
BD
CD
BC
BD
AD
=
+
+
=
+
+
= + =
变式2-2．（25-26 七年级下·江苏南通·期末）【课本再现】
八年级上册课本上有一道题：如图1，在ABC
中，
2
AB =
，
4
BC =
，则ABC
的高AD与CE 的比是多少？
(1)请解答上述问题；
【问题探究】
爱思考的小东做完这道题后发现三角形的面积与边长之间存在一定的数量关系．他提出了以下猜想：如图2 ，
若ABC
中，D 是边BC 上的点，则
ABD
ACD
S
BD
S
CD
=
△
△
．
(2)你认为小东的猜想正确吗？如果正确，请证明；如果不正确，请说明理由；
【拓展应用】
(3)如图3，ABC
中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，AD与BE交于点O．若BD
CD
=
，
2
AE
CE
=
，
请直接写出AO
AD 的值．
【答案】(1)
1
2
AD
CE =
(2)猜想正确，
证明：如图，过点A作AE
BC
⊥
于点E ，
∴
1
2
ABD
S
BD AE
=
△
，
1
2
ACD
S
CD AE
=
△
．
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∴
1
2
1
2
ABD
ACD
BD AE
S
BD
S
CD
CD AE
=
=
．
(3) 4
5
【分析】（1）根据三角形的面积公式得出2AD
CE
=
，即可求解；
（2）过点A作AE
BC
⊥
于点E ，根据三角形的面积公式，分别表示出ABD
、ACD
的面积，再求比值，
即可求解；
（3）连接CO，设
COE
S
a
=
，
COD
S
b
=
，根据已知条件，分别得出
2
2
AOE
COE
S
S
a
=
=
△
△
，
BOD
COD
S
S
b
=
=
△
△
，
结合图形分别求得AOB
，ABD
的面积，进而根据
AOB
ABD
S
AO
AD
S
=
△
△
，即可求解．
【详解】（1）解：∵
1
1
2
2
ABC
S
BC AD
AB CE
=
=
，
∴1
1
4
2
2
2
AD
CE
=
，
∴2AD
CE
=
，
∴
1
2
AD
CE =
．
（2）略
（3）连接CO，
设
COE
S
a
=
，
COD
S
b
=
．
∵
2
AE
CE
=
，
∴
2
2
AOE
COE
S
S
a
=
=
△
△
，
∵BD
CD
=
，
∴
BOD
COD
S
S
b
=
=
△
△
．
∴
2
3
ABD
ACD
AOE
COE
COD
S
S
S
S
S
a
a
b
a
b
=
=
+
+
=
+
+
=
+
△
△
△
△
△
．
∴
3
3
AOB
ABD
BOD
S
S
S
a
b
b
a
=
−
=
+ −
=
△
△
△
．
∵
2
AE
CE
=
，
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∴
2
ABE
BCE
S
S
=
△
△
．即
(
)
2
AOB
AOE
BOD
COD
COE
S
S
S
S
S
+
=
+
+
△
△
△
△
△
，
∴
(
)
3
2
2
a
a
b
b
a
+
=
+
+
，
∴
3
4
b
a
=
．
∴
3
4
BOD
S
a
=
△
，
3
15
3
4
4
ABD
S
a
a
a
=
+
=
△
．
∴
3
4
15
5
4
AOB
ABD
S
AO
a
AD
S
a
=
=
=
△
△
．
∴AO
AD 的值为4
5 ．
变式2-3．（25-26 七年级下·四川资阳·期末）综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心O处悬吊起来，发现纸板处于水平状
态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，AD是ABC
的中线，则ABD
与ACD
的面积关系为：
ABD
S
_______
ACD
S
（填>、<或=）；
(2)如图③，点G 是ABC
的重心，猜想BFG
与CEG
的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点G 是ABC
的重心，三条中线AD、BE、CF 分别交BC 、AC 、AB 于点D 、E 、F ，求DG
AG
的值；
(4)如图④，点G 是ABC
的重心，且BD
CE
⊥
，若
6
BD =
，
4
CE =
，求四边形AEGD 的面积．
【答案】(1) =
(2)
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
，理由如下：
点G 是ABC
的重心，
1
1
,
2
2
BF
AF
AB AE
EC
AC
=
=
=
=
，
BCF
和ABC
同高，设高为H ，
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1
1
1
1
2
2
2
2
BCF
ABC
S
BF
H
AB H
S
=
=
=
，
同理得
1
2
BCE
ABC
S
S
=
，
∴
1
2
BCE
ABC
BCF
S
S
S
=
=
，
BCF
BGC
BCE
BGC
S
S
S
S
−
=
−
，
∴
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
；
(3)
1
2
DG
AG =
(4)
16
3
AEGD
S
=
四边形
【分析】本题考查三角形中线的性质以及三角形面积的计算：
（1）根据ABC
的中线得到BD
CD
=
，由于高相同，利用三角形面积公式可得出结论；
（2）根据题干中关于重心的定义得
1
1
,
2
2
BF
AB EC
AC
=
=
，由于ABC
和BCF
同高，ABC
和BCE
同高，
得出
1
2
BCF
BCE
ABC
S
S
S
=
=
，去掉公共三角形BGC
，即可得到BFG
与CEG
的面积相等；
（3）根据题干中关于重心的定义得
1
2
BD
DC
BC
=
=
，利用三角形面积公式得
1
2
ADC
ABC
BCE
S
S
S
=
=
，去掉
公共部分，得
BDG
AEG
S
S
=
，利用三角形等底同高得
BDG
GDC
S
S
=
，
EG
CGE
A
S
S
=
△
△
，即可得出结论；
（4）连接AG 交BC 于点M ，先求出
BGC
S
，通过各三角形底边之间的关系，得到
AEG
BGM
S
S
=
、
ADG
CGM
S
S
=
，
进而求出四边形AEGD的面积．
【详解】（1）解：
AD
是三角形ABC 的中线，
BD
CD
=
，
ABD
和ACD
的底边分别是BD和CD，它们共用同一个顶点A，
它们的高相等，设为h ，
1
1
2
2
ABD
ACD
S
BD h
DC h
S
=
=
=
．
（2）解：
EC
BFG
G
S
S
=
△
△
，理由略．
（3）解：点G 是ABC
的重心，
1
2
BD
DC
BC
=
=
，
ADC
和ABC
同高，设高为a ，
1
1
1
1
2
2
2
2
ADC
ABC
S
CD a
BC a
S
=
=
=
，
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1
2
ADC
ABC
BCE
S
S
S
=
=
，
∴
BDG
AEG
S
S
=
，
同理：
,
BDG
GDC
等底同高，
,
CGE
AEG
等底同高，
BDG
GDC
S
S
=
，
EG
CGE
A
S
S
=
△
△
，
∴
2
GDC
AGC
S
S
=
△
△
，
∴
1
2
DG
AG =
．
（4）解：如图，连接AG 交BC 于点M ，
G
是ABC
的重心，
由（3）可得出，
1
2
DG
GM
BG
AG
=
=
，AE
BE
=
，AD
DC
=
，
设DG
x
=
，
2
BG
x
=
，
∴
2
2
2
3
BG
BG
x
BD
BG
GD
x
x
=
=
=
+
+
，
同理得
2
3
CG
AG
CE
AM
=
=
，
1
3
GM
AM
AG
AM
AM
−
=
=
，
∵
6
BD =
，
4
CE =
，
∴
8
4
3
BG
CG
=
=
，
，
∵BD
CE
⊥
，
∴
1
1
8
16
4
2
2
3
3
BGC
S
BG CG
=
=
=
，
,
AGE
ABG
同高，
设它们的高为b ，
1
2
AEG
S
AE b
=
，
1
2
ABG
S
AB b
=
，且
1
2
AE
BE
AB
=
=
，
1
1
1
2
2
2
2
2
2
ABG
AEG
S
AB b
AE b
AE b
S
=
=
=
=
，
ABG
、BGM
和ABM
同高，设高为c ，
1
2
ABG
S
AG c
=
，
1
2
BGM
S
GM
c
=
，
1
2
ABM
S
AM
c
=
，
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2
3
AG
AM =
，
1
1
2
2
1
2
2
2
3
3
2
3
ABG
ABM
S
AG c
AM
c
AM
c
S
=
=
=
=
，
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
3
3
BGM
ABG
ABM
ABM
S
GM
c
AG c
S
S
S
=
=
=
=
=
，
2
ABG
AEG
S
S
=
，
1
1
2
1
2
2
3
3
AEG
ABG
ABM
ABM
BGM
S
S
S
S
S
=
=
=
=
，
同理可得，
ADG
CGM
S
S
=
，
∴
16
3
AEG
ADG
BGM
CGM
BGC
AEGD
S
S
S
S
S
S
=
+
=
+
=
=
四边形
．
题型三、利用三角形中的高线求解
典例3．
（25-26 七年级下·河南郑州·阶段检测）如图，在直角三角形ABC 中，
90
C
=
，
3cm
AC =
，
4cm
BC =
，
5cm
AB =
．
(1)点A到直线BC 的距离是垂线段___________的长度，该长度是___________cm．
(2)画出表示点C 到直线AB 的距离的线段，并求这个距离．
【答案】(1) AC ，3
(2)图见解析，12 cm
5
【分析】（1）根据点到直线的距离即可解答；
（2）作CD
AB
⊥
于点D ，则垂线段CD的长度就是点C 到直线AB 的距离，再利用等积法即可求出CD的长．
【详解】（1）解：∵
90
C
=
，
3cm
AC =
，
∴AC
BC
⊥
，
∴点A到直线BC 的距离是垂线段AC 的长度，该长度是3cm ；
（2）解：如图，作CD
AB
⊥
于点D ，则垂线段CD的长度就是点C 到直线AB 的距离，
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∵
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
△
，
∴
(
)
3 4
12 cm
5
5
AC BC
CD
AB
=
=
=
．
题型模版
1.特征：已知三角形高线（或垂足位置），求边长、面积或角度，常涉及直角三角形与勾股定理。
2.方法：利用高线构造直角三角形，结合已知边角与勾股定理（或面积法），列方程求解未知量。
变式3-1．（25-26 八年级上·山东日照·期末）在ABC
中，AB
AC
=
，D 为直线BC 上任意一点，连接AD，
DE
AB
⊥
于点E ，DF
AC
⊥
于点F ，BG
AC
⊥
于点G ．
(1)如图1，观察、测量、猜想、证明DE ，DF ，BG 之间的数量关系，完善空格内容．
小明是这样证明的：
ABC
S
=
__________
ACD
S
+
．
1
1
2
2
AC BG
AB DE
=
+__________．
AB
AC
=
∵
，
__________．
(2)如图1，当点D为BC 中点时，试判断BG 与DE 的数量关系__________．
(3)如图2，当点D在BC 的延长线上时，请猜想DE ，DF ，BG 之间的数量关系并证明．
【答案】(1) BG
DE
DF
=
+
；
ABD
S
；1
2 AC DF
；BG
DE
DF
=
+
(2)
2
BG
DE
=
(3) DE
BG
DF
=
+
；证明见解析
【分析】（1）根据已有的过程结合面积之间的关系列式，即可作答；
（2）由点D 为BC 中点，得到1
1
2
2
AB DE
AC DF
=
，结合AB
AC
=
，推出DE
DF
=
，然后结合BG
DE
DF
=
+
即可作答；
（3）同（1）的方法求解．
【详解】（1）解：BG
DE
DF
=
+
；
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证明：
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
△
△
△
，
1
1
1
2
2
2
AC BG
AB DE
AC DF
=
+
，
AB
AC
=
∵
，
BG
DE
DF
=
+
∴
；
（2）解：点D为BC 中点，
∴
ABD
ACD
S
S
=
1
1
2
2
AB DE
AC DF
=
，
AB
AC
=
∵
，
DE
DF
=
；
BG
DE
DF
=
+
，
2
BG
DE
=
；
（3）解：DE
BG
DF
=
+
，理由如下：
=
+
ABD
ABC
ACD
S
S
S
，
1
1
1
2
2
2
AB DE
AC
BG
AC
DF
=
+
，
AB
AC
=
∵
，
∴DE
BG
DF
=
+
．
变式3-2．（26-27 八年级·全国·暑假作业）【图形定义】
有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．
例如：如图①．在ABC
和
A B C
△
中，AD，A D
分别是BC 和B C
边上的高线，且AD
AD
=
，则ABC
和
A B C
△
是等高三角形．
【性质探究】
如图①，用
ABC
S
，
A B C
S
分别表示ABC
和
A B C
△
的面积．
则
1
2
ABC
S
BC AD
=
，
1
2
A B C
S
B C A D
=
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AD
AD
=
:
:
ABC
A B C
S
S
BC B C
=
．
【性质应用】
(1)如图②，D 是ABC
的边BC 上的一点．若
3
4
BD
DC
=
=
，
，则
:
ABD
ADC
S
S
=
△
△
__________；
(2)如图③，在ABC
中，D，E 分别是BC 和AB 边上的点．若
:
1:2
BE AB =
，
:
1:3
CD BC =
，
1
ABC
S
=
△
，
则
BEC
S
=
△
__________，
CDE
S
=
_________；
(3)如图③，在ABC
中，D，E 分别是BC 和AB 边上的点，若
:
1:
BE AB
m
=
，
:
1:
CD BC
n
=
，
ABC
S
a
=
，
则
CDE
S
=
__________．
【答案】(1)3:4
(2) 1
2 ；1
6
(3) a
mn
【分析】（1）由图可知ABD
和ADC
是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案；
（2）根据
:
1:2
BE AB =
，
1
ABC
S
=
△
和等高三角形的性质可求得
BEC
S△
，然后根据
:
1:3
CD BC =
和等高三角
形的性质可求得
CDE
S△
；
（3）根据
:
1:
BE AB
m
=
，
ABC
S
a
=
和等高三角形的性质可求得S BEC
，然后根据
:
1:
CD BC
n
=
，和等
高三角形的性质可求得
CDE
S△
．
【详解】（1）解：如图，过点A 作AE
BC
⊥
，
则
1
2
ABD
S
BD AE
=
△
，
1
2
ADC
S
DC AE
=
AE
AE
=
，
∴
:
:
3:4
ABD
ADC
S
S
BD DC
=
=
；
（2）解：∵
BEC
和ABC
是等高三角形，
∴
:
:
1:2
BEC
ABC
S
S
BE AB
=
=
△
，
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∴
1
1
1
1
2
2
2
BEC
ABC
S
S
=
=
=
；
∵
CDE
△
和
BEC
是等高三角形，
∴
:
:
1:3
CDE
BEC
S
S
CD BC
=
=
△
，
∴
1
1
1
1
3
3
2
6
CDE
BEC
S
S
=
=
=
；
（3）解：∵
BEC
和ABC
是等高三角形，
∴
:
:
1:
BEC
ABC
S
S
BE AB
m
=
=
△
，
∴
1
1
BEC
ABC
a
S
S
a
m
m
m
=
=
=
；
∵
CDE
△
和
BEC
是等高三角形，
∴
:
:
1:
CDE
BEC
S
S
CD BC
n
=
=
△
，
∴
1
1
CDE
BEC
a
a
S
S
n
n
m
mn
=
=
=
．
变式3-3．（25-26 七年级下·河南南阳·阶段检测）综合探究
(1)如图1，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
3,
4,
5,
ACB
BC
AC
AB
CD
AB
=
=
=
=
⊥
，则CD的长为_____．
(2)如图2，在ABC
中，
6
AB =
，
3
BC = ，CD，AE 为ABC
的高，试分析CD，AE 的数量关系．
(3)如图3，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，点D ，P 分别在边AB ，AC 上，且BP
AP
=
，
,
DE
BP DF
AP
⊥
⊥
，
垂足分别为
,
E F ．若BC
m
=
，求DE
DF
+
的值（用含m 的代数式表示）．
【答案】(1)
12
5
CD =
(2)
:
1:2
CD AE =
(3)m
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于
中考常考题型．
（1）利用面积法求出CD即可．
（2）利用面积法求出高CD与AE 的比即可．
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（3）利用面积法求出DE
DF
BC
+
=
，可得结论．
【详解】（1）解：在Rt
ABC
△
中，
90 ,
3,
4,
5,
ACB
BC
AC
AB
CD
AB
=
=
=
=
⊥
，
1
1
2
2
ABC
S
AC BC
AB CD
=
=
，
4 3
12
5
5
CD
=
=
；
（2）解：
1
1
2
2
ABC
S
AB CD
BC AE
=
=
，
1
1
6
3
2
2
CD
AE
=
，
2CD
AE
=
，
:
1:2
CD AE
=
；
（3）解：
1
2
ABP
S
AP BC
=
△
，
1
2
ADP
S
AP DF
=
△
，
1
2
BDP
S
BP DE
=
△
，
ABP
ADP
BDP
S
S
S
=
+
△
△
△
，
1
1
1
2
2
2
ABP
S
BP DE
AP DF
AP BC
=
+
=
△
，
又
BP
AP
=
，
1
1
1
2
2
2
AP DE
AP DF
AP BC
+
=
，
即DE
DF
BC
m
+
=
=
．
题型四、利用三角形中的角平分线求解
典例4．（25-26 八年级上·云南昆明·期中）如图，BE是ABC
的角平分线，在AB 上取点D ，使DB
DE
=
．
(1)求证：DE
BC
∥
；
(2)若
75
A
=
，
40
AED
=
，求
DEB
的度数．
【答案】(1)证明见解析
(2)32.5
【分析】本题主要考查角平分线性质，三角形内角和定理，平行线的性质定理；
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（1）根据角平分线性质得到
ABE
CBE
=
，根据DB
DE
=
，得到
ABE
DEB
=
，求出
CBE
DEB
=
，
即可证出结论；
（2）根据三角形内角和定理得到
65
ADE
=
，根据DE
BC
∥
，得到
65
ADE
ABC
=
=
，根据角平分线
得到
1
32.5
2
CBE
ABC
=
=
，推出
CBE
DEB
=
，即可求出．
【详解】（1）证明：∵BE是ABC
的角平分线，
∴
ABE
CBE
=
，
∵DB
DE
=
，
∴
ABE
DEB
=
，
∴
CBE
DEB
=
，
∴DE
BC
∥
．
（2）∵
75
A
=
，
40
AED
=
，
∴
180
180
40
75
65
ADE
AED
A
=
−
−
=
−
−
=
∠
∠
，
∵DE
BC
∥
，
∴
65
ADE
ABC
=
=
，
∵
ABE
CBE
=
，
∴
1
32.5
2
CBE
ABC
=
=
，
∵
CBE
DEB
=
，
∴
32.5
DEB =
∠
．
题型模版
1.特征：已知角平分线，求边长比例或角度，常涉及角平分线定理、面积法或全等构造。
2.方法：利用角平分线定理（对边比等于邻边比）列比例；或作对称构造全等，结合等面积法求解。
变式4-1．（25-26 八年级上·江西上饶·阶段检测）如图，在ABC
中，BE是角平分线，点D 在边AB 上（不
与点A，B 重合），CD与BE交于点O．
(1)若CD是中线，
7,
5
BC
AC
=
=
，则BCD
与ACD
的周长差为______．
(2)若
64
ABC
=
，CD是ABC
的高，求
BOC
的度数．
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【答案】(1)2
(2)122
【分析】本题主要考查了三角形中线，高，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余：
（1）根据三角形中线的定义可得AD
BD
=
，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得
1
32
2
ABE
ABC
=
=
，再由三角形高的定义可得
90
BDC
=
，从而得到
90
58
BOD
ABE
=
−
=
，即可求解．
【详解】（1）解：∵CD是ABC
的中线，
∴AD
BD
=
，
∵
7,
5
BC
AC
=
=
，
∴BCD
与ACD
的周长差为(
) (
)
2
BC
CD
BD
AC
CD
AD
BC
AC
+
+
−
+
+
=
−
=
；
（2）解：∵BE是角平分线，
64
ABC
=
，
∴
1
32
2
ABE
ABC
=
=
，
∵CD是ABC
的高，
∴
90
BDC
=
，
∴
90
58
BOD
ABE
=
−
=
，
∴
180
122
BOC
BOD
=
−
=
．
变式4-2．（25-26 八年级上·江西上饶·期中）如图，AD是ABC
的高，CE 是
BC
△
的角平分线，BF 是ABC
的中线．
(1)若
50
55
ACB
AEC
=
=
，
，求
BAD
的度数；
(2)若
15
BC =
，BCF
与
BAF
△
的周长差为6 ，求AB 的长．
【答案】(1)60
(2)9或21
【分析】（1）由三角形角平分线的定义得
1
25
2
BCE
ACB
=
=
，进而由三角形外角性质得
30
ABC
AEC
BCE
=
−
=
，再根据直角三角形两锐角互余即可求解；
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（2 ）由三角形中线的定义得AF
CF
=
，即得到BCF
的周长
BAF
−
的周长
BC
AB
=
−
，进而得到
6
BC
AB
−
=
或
6
AB
BC
−
=
，据此即可求解；
本题考查了三角形的角平分线、高和中线，三角形的外角性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握知识点
是解题的关键．
【详解】（1）解：∵
50
ACB
=
，CE 是
BC
△
的角平分线，
∴
1
25
2
BCE
ACB
=
=
，
∵
55
AEC
=
，
∴
55
25
30
ABC
AEC
BCE
=
−
=
−
=
，
∵AD是ABC
的高，
∴AD
BC
⊥
，
∴
90
ADB
=
，
∴
90
90
30
60
BAD
ABC
=
−
=
−
=
；
（2）解：∵BF 是ABC
的中线，
∴AF
CF
=
，
∵
BAF
△
的周长
AB
AF
BF
=
+
+
，BCF
的周长
BC
CF
BF
=
+
+
，
∴BCF
的周长
BAF
−
的周长
(
)
BC
CF
BF
AB
AF
BF
BC
AB
=
+
+
−
+
+
=
−
，
又∵BCF
与
BAF
△
的周长差为6 ，
∴
6
BC
AB
−
=
或
6
AB
BC
−
=
，
∵
15
BC =
，
∴
9
AB = 或
21
AB =
．
变式4-3．（25-26 八年级上·全国·单元测试）【概念理解】在一个三角形中，如果一个角的度数是另一个角度
数的4 倍，那么我们称这样的三角形为“完美三角形”．例如三个内角分别为130 40 10
，，的三角形是“完美三
角形”．
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【简单应用】如图①，
72
MON
=
，在射线OM 上找一点A，过点A 作AB
OM
⊥
交射线ON 于点B，以A
为端点作射线AD，交线段OB 于点C（点C 不与点O，B 重合）．
（1）
ABO
=______°，
AOB
=______°，AOB
______“完美三角形”（填“是”或“不是”）；
（2）若
90
ACB
=
，求证：AOC
是“完美三角形”；
【应用拓展】如图②，点D 在ABC
的边AB 上，连接
,
DC DE 平分
ADC
，DE
BC
∥
．若BCD
是“完美
三角形”，请直接写出
B
的度数．
【答案】[简单应用]（1）18，72，是；（2）见解析
[应用拓展]30或80
【分析】（1）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可；
（2）利用垂直得出直角三角形，求出各角的度数，根据“完美三角形”的定义进行判断即可；
（3）利用角平分线的定义和平行线的性质得出
CDE
BCD
ADE
B
=
=
= ，然后分两种情况进行讨论，
根据“完美三角形”的定义求解即可．
【详解】解：（1）∵AB
OM
⊥
，
∴
90
OAB
=
，
∴
90
90
72
18
ABO
MON
=
−
=
−
=
；
72
AOB
MON
=
=
；
∵72
18
4
=
，
∴AOB
是“完美三角形”；
故答案为：18，72，是；
（2）∵
90
ACB
=
，
∴
180
90
ACO
ACB
=
−
=
，
∴
90
90
72
18
OAC
AOC
=
−
=
−
=
，
∵72
18
4
=
，
∴AOC
是“完美三角形”；
（3）∵DE 平分
ADC
，
∴
ADE
CDE
=
，
∵DE
BC
∥
，
∴
,
CDE
BCD
ADE
B
=
=
，
∴
CDE
BCD
ADE
B
=
=
= ，
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根据“完美三角形”的定义得，
当
4
BDC
B
= 时，6
180
B
=
，
∴
30
B
=
；
当
4
B
BDC
=
时，9
180
BDC
=
，
∴
20
BDC
=
，
∴
4 20
80
B
=
=
；
∴
B
的度数为30或80．
题型五、利用三角形中的折叠求解
典例5．（25-26 七年级下·全国·课后作业）如图，ABC
是一张纸片，把
C
沿DE 折叠，使点C 落在点C的
位置．
(1)当
45
C
=
时，求1
2
+的度数．
(2)若
C
=
，请直接写出1
2
+的度数．（用含的代数式表示）
【答案】(1)90
(2)
2
【分析】本题主要考查折叠的性质与三角形内角和定理，掌握“折叠前后对应角相等、三角形内角和为180”
是解题的关键．
（1）根据折叠性质，CDE
CDE
，故
45
C
C
=
=
，
CED
CED
=
，
CDE
C DE
=
；
（2）根据（1）以及折叠的性质，代入求解即可．
【详解】（1）解：∵点C 沿DE 折叠落在点C，
∴CDE
CDE
，
在
CDE
△
中，
180
135
CED
CDE
C
+
=
−
=
，
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1 180
2 CED
=
−
，
2
180
2 CDE
=
−
，
∴
(
)
1
2
360
2
360
2 135
90
CED
CDE
+ =
−
+
=
−
=
．
（2）解：由（1）可得：
(
)
1
2
360
2
CED
CDE
+ =
−
+
，
∵
C
=
，
∴
C
=
，
∴
180
CED
CDE
+
=
−
，
∴
(
)
1
2
360
2 180
2
+ =
−
−
=
．
题型模版
1.特征：三角形沿某直线折叠，出现重合边角，形成轴对称图形，求折痕或对应线段长度。
2.方法：利用折叠前后对应角、对应边相等，找出全等或等腰关系，勾股定理（常设未知数）建立方程求解。
变式5-1．（2025 八年级上·全国·专题练习）如图，在折纸活动中，小明制作了一张三角形纸片ABC，点D，
E 分别在边AB，AC 上．将ABC
沿着DE 所在直线折叠并压平，使点A 与点N 重合．
(1)若
35 ,
60
B
C
=
=
，求
A
的度数．
(2)若
70
A
=
，求1
2
+的度数．
【答案】(1)85
(2)140
【分析】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，平角的意义，渗透整体思想，掌握三角形的
内角和180是解决问题的关键．
（1）直接利用三角形的内角和求得答案即可；
（2）根据三角形的内角和等于180求出
ADE
AED
+
，再根据翻折变换的性质可得．
NDE
ADE
NED
AED
=
=
，
，然后利用平角等于180列式计算即可得解．
【详解】（1）解：
35
60
B
C
=
=
，
，
180
180
35
60
85
A
B
C
=
−−
=
−
−
=
．
（2）解：
70
A
=
，
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180
70
110
ADE
AED
+
=
−
=
．
由题意，得
NDE
ADE
NED
AED
=
=
，
，
(
)
(
)
1
2
180
180
360
2 110
140
NDE
ADE
NED
AED
+ =
−
+
+
−
+
=
−
=
．
变式5-2．（24-25 八年级上·河南漯河·阶段检测）如图（1）所示， 把ABC
沿DE 折叠，
(1)当点C 落在四边形BCDE 内部时，
C
与1
、
2
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这
个规律，请你写出规律并证明你的规律．
(2)当点A 落在四边形AC 上方时，
C
与1
、
2
之间数量关系是 ．
(3)当点A 落在四边形BC 下方时，
C
与1
、
2
之间数量关系是 ．
【答案】(1) 1
2
2 C
+=
，证明见解析
(2)
2
1
2 C
−=
(3) 1
2
2 C
−=
【分析】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由折叠的性质可得
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，由邻补角的定义可得1 180
2 CDE
=
−
，
2
180
2 CED
=
−
，由三角形内角和定理可得
180
CDE
CED
C
+
=
−
，由此计算即可得解；
（2）由折叠的性质可得
DEC
DEC
=
，CDE
C DE
=
，从而得出1
2
180
CDE
=
−
，2
180
2 CED
=
−
，
由三角形内角和定理可得
180
CDE
CED
C
+
=
−
，由此计算即可得解；
（3）由折叠的性质可得
DEC
DEC
=
，CDE
C DE
=
，从而得出1 180
2 CDE
=
−
，2
2
180
CED
=
−
，
由三角形内角和定理可得
180
CDE
CED
C
+
=
−
，由此计算即可得解．
【详解】（1）解：1
2
2 C
+=
，证明如下：
由折叠的性质可得：
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，
∴1 180
2 CDE
=
−
，
2
180
2 CED
=
−
，
∵
180
CDE
CED
C
+
+
=
，
∴
180
CDE
CED
C
+
=
−
，
∴
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(
)
(
)
1
2
180
2
180
2
360
2
360
2 180
360
360
2
CDE
CED
CDE
CED
C
C
+ =
−
+
−
=
−
+
=
−
−
=
−
+
，即1
2
2 C
+=
；
（2）解：由折叠的性质可得：
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，
∴1
2
180
CDE
=
−
，
2
180
2 CED
=
−
，
∵
180
CDE
CED
C
+
+
=
，
∴
180
CDE
CED
C
+
=
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
2
1
180
2
2
180
360
2
360
2 180
360
360
2
2
CED
CDE
CDE
CED
C
C
C
−=
−
−
−
=
−
+
=
−
−
=
−
+
=
，即
2
1
2 C
−=
（3）解：由折叠的性质可得：
DEC
DEC
=
，
CDE
C DE
=
，
∴1 180
2 CDE
=
−
，
2
2
180
CED
=
−
，
∵
180
CDE
CED
C
+
+
=
，
∴
180
CDE
CED
C
+
=
−
，
∴
(
)
(
)
(
)
1
2
180
2
2
180
360
2
360
2 180
360
360
2
2
CDE
CED
CDE
CED
C
C
C
−=
−
−
−
=
−
+
=
−
−
=
−
+
=
，即1
2
2 C
−=
．
变式5-3．（24-25 八年级上·江西·阶段检测）（1）如图1，若
90
A
=
；则1
2
+=_______；
（2）把三角形纸片ABC 顶角A 沿DE 折叠，点A 落到点A处，记
A DB
为1,
A EC
为
2
．
①如图2，
1,
2
与
A
的数量关系是_______；
②如图3，
1,
2
与
A
的数量关系是_______；
（3）如图4，把一个三角形纸片ABC 的三个顶角分别向内折叠之后，3 个顶点不重合，那么图中
1
2
3
4
5
6
+++++= _______．
【答案】（1）270；（2）①1
2
2 A
+= ，②1
2
2 A
−= ；（3）360
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【分析】本题考查了翻着变换（折叠问题），以及三角形内角和定理．根据题意给出的条件，折叠角相等以
及三角形内角相加为180等知识即可推导出答案．
【详解】解：（1）∵
90
A
=
，∴
90
ABC
ACB
+
=
，
又∵
1
180 ,
2
180
ABC
ACB
+ =
+ =
，
∴1
2
360
ABC
ACB
+
=
++
，
∴1
2
270
+=
，
故答案为：270．
（2）①题图2 中，由折叠得
,
ADE
A DE
AED
A ED
=
=
，
∵
360 .
ADB
AEC
+
=
∴1
2
360
ADE
A DE
AED
A ED
+=
−
−
−
−
，
360
2
2
360
2(
)
360
2(180
)
2
ADE
AED
ADE
AED
A
A
=
−
−
=
−
+
=
−
−
= ，
故答案为：1
2
2 A
+= ．
②题图3 中，∵1
2
AFD
A
AFD
A
=
+
=
+
，
，
∴1
2
A
A
=
++，由折叠得
A
A
= ，
∴1
2
2
A
= +，
∴1
2
2 A
−= ．
故答案为：1
2
2 A
−= ．
（3）由（2）知1
2
2 A
+= ，
同理得
3
4
2 B
+= ，
5
6
2 C
+=
，
∴1
2
3
4
5
6
2
2
2
A
B
C
+++++= + +
2(
)
A
B
C
=
+ +
360
=
．
故答案为：360．
题型六、利用三角形中的内外角关系求解
典例6．（25-26 七年级下·重庆綦江·期末）如图，AB
CD
∥
，CE 平分
ACD
交AB 于点E ，点F 在BA的延
长线上且
110
AFC
=
．
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(1)证明：
ACE
CEA
=
．
(2)若
30
ACF
=
，求
DCE
的度数．
【答案】(1)证明：∵AB
CD
∥
，
DCE
CEA
=
．
CE
平分
ACD
，
DCE
ACE
=
，
ACE
AEC
=
；
(2)20
【分析】（1）首先由平行的性质可知
DCE
CEA
=
，然后根据角平分线的定义即可证明；
（2）首先由三角形的内角和求出
CAF
，然后根据平行线的性质求出
ACD
，进而由CE 平分
ACD
求出
DCE
．
【详解】（1）略；
（2）在
ACF
△
中，
180
CAF
CFA
ACF
+
+
=
，
180
110
30
40
CAF
=
−
−
=
．
//
AB CD
，
40
CAF
ACD
=
=
．
CE
平分
ACD
，
1
1
40
20
2
2
DCE
ACD
=
=
=
．
题型模版
1.特征：已知三角形某外角与内角关系，或外角平分线，求角度，常涉及外角等于不相邻内角和。
2.方法：利用外角定理（等于不相邻两内角和）及邻补角关系，设未知角列方程求解；或结合角平分线性质
推导。
变式6-1．
（25-26 八年级下·山东潍坊·期末）如图，在ABC
中，OA、OB 、OC 是三个内角的平分线，OD
OB
⊥
交BC 于点D ．
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(1)若
40
ABC
=
，求
ODC
的度数；
(2)判断
AOC
与
ODC
的数量关系并说明理由．
【答案】(1)110
(2)
AOC
ODC
=
，
证明：设
ODC
=
，
∴
90
OBD
ODC
BOD
=
−
=
−
，
∴
2
2
180
ABC
OBD
=
=
−
，
∴
180
360
2
BAC
BCA
ABC
+
=
−
=
−
，
∵OA平分
BAC
，OC 平分
BCA
，
∴
1
1
,
2
2
OAC
BAC
OCA
BCA
=
=
，
∴
(
)
1
180
2
OAC
OCA
BAC
BCA
+
=
+
=
−
，
∴
(
)
180
AOC
OAC
OCA
=
−
+
=
∴
AOC
ODC
=
．
【分析】（1）根据角平分线可知
OBD
，进而由三角形的外角即可求解；
（2）设
ODC
=
，根据角平分线以及三角形的内角关系即可求解．
【详解】（1）解：∵OB 平分
ABC
，
40
ABC
=
，
∴
1
20
2
OBD
ABC
=
=
，
∵OD
OB
⊥
∴
90
BOD
=
∴
110
ODC
BOD
OBD
=
+
=
（2）略
变式6-2．（25-26 七年级下·江苏宿迁·期末）如图，ABC
中，D 为AC 边上一点，过D 作DE
AB
∥
，交BC
于E ，F 为AB 边上一点，连接DF 并延长，交CB 的延长线于G ，且
DFA
A
=．
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(1) DE 平分
CDF
吗？若是，请证明；若不是，请说明理由；
(2)若
80
C
=
，
60
ABC
=
，求
G
的度数．
【答案】(1)是，
证明：∵DE
AB
，
∴
CDE
A
= ，
DFA
FDE
=
∠
∠
，
∵
DFA
A
=，
∴
CDE
FDE
=
，
∴DE 平分
CDF
；
(2)20
【分析】（1）根据DE
AB
得到
CDE
A
= ，
DFA
FDE
=
∠
∠
，结合
DFA
A
=，得到
CDE
FDE
=
即
可．
（2）先求得
180
40
A
ABC
C
=
−
−
=
∠
∠
∠
，结合
BFG
DFA
A
=
= ，三角形外角性质求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵
80
C
=
，
60
ABC
=
，
∴
180
40
A
ABC
C
=
−
−
=
∠
∠
∠
，
∵
BFG
DFA
A
=
= ，
∴
40
BFG
=
，
∵
BFG
G
ABC
+
=
，
∴
60
40
20
G
ABC
BFG
=
−
=
−
=
．
变式6-3．（25-26 七年级下·河北邯郸·期末）如图，已知直线MN
PQ
，点B 为直线PQ 上一定点，点C 为
直线MN 上的一个动点，连接BC ．在直线MN 、PQ 之间找点A使
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，设
ABP
=
，
ACM
=
．
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(1)当
40
=
时，求的度数．
(2)与有怎样的数量关系？并给出证明．
(3)设
CAB
的角平分线AE 与MN 交于点E ，当
20
AEM
=
时，求．
【答案】(1)20
(2)
60
+
=
证明：过点A作AD
PQ
∥
，如图，
∵MN
PQ
，
∴MN
AD
PQ
，
∴
ABP
DAB
=
=
，
ACM
CAD
=
=
，
∵
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
∴
60
CAB
=
，
∴
60
CAB
DAB
CAD
=
+
=
，
∴
60
CAB
ABP
ACM
=
+
=
+
=
，
∴
60
+
=
．
(3)10
【分析】（1）根据平行线性质和三角形内角和定理计算即可．
（2）根据平行线性质计算即可．
（3）根据平行线性质和角平分线性质计算即可．
【详解】（1）解：过点A作AD
PQ
∥
，如图，
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∴
ABP
DAB
=
=
，
∵
40
=
，
∴
40
ABP
DAB
=
=
，
∵
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
∴
60
CAB
=
，
∴
CAD
CAB
DAB
=
−
，
∴
60
40
20
CAD
=
−
=
，
∵MN
PQ
，AD
PQ
∥
，
∴MN
AD
，
∴
20
ACM
CAD
=
=
，
∵
ACM
=
，
∴
20
=
．
（2）略
（3）解：∵
90
ABC
=
，
30
ACB
=
，
∴
60
CAB
=
，
如图，
∵AE 为
CAB
的角平分线，
∴
30
CAE
=
，
∵
20
AEM
=
，
∴
50
ACM
AEM
CAE
=
+
=
，
∵
ABP
=
，
ACM
=
，
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∴
50
ACM
=
=
，
由（2）可知
60
+
=
，
∴
60
60
50
10
=
−
=
−
=
．
压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限
一、单选题
1．（25-26 七年级下·陕西汉中·期末）三角形三边长分别为：2，x，6，化简
4
8
x
x
−
+
−
= （ ）
A．4
B．2
12
x −
C．12
2x
−
D．4
−
【答案】A
【分析】先根据三角形三边关系确定x 的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得
到结果．
【详解】解：∵三角形的三边长为2 ，x ，6 ，
根据三角形三边关系可得6 2
6
2
x
−
+ ，
∴4
8
x
，
∴
4
0
x−
，
8
0
x −
，
∴
(
) (
)
4
8
4
8
4
x
x
x
x
−
+
−
=
−
+
−
=
．
2．（25-26 七年级下·吉林长春·期末）如图，AD是ABC
中边BC 上的中线，E 、F 分别是AB 、AD的中
点，若ACD
的面积为
2
12 cm ，则DEF
的面积是（ ）
A．
2
6 cm
B．
2
3cm
C．
2
1.5 cm
D．
2
1cm
【答案】B
【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．
【详解】解：∵AD是ABC
中BC 边上的中线，ACD
的面积为
2
12cm ，
∴
2
12cm
ABD
S
=
△
，
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∵点E 是线段AB 的中点，
∴
2
1
6cm
2
AED
ABD
S
S
=
=
，
∵点F 是线段AD的中点，
∴
2
1
3cm
2
DEF
AED
S
S
=
=
．
3．（2026 八年级上·广东东莞·竞赛）如图，CE 是ABC
的外角
ACD
的平分线，且CE 交BA的延长线于点
E．
BAC
、
B
与
E
有什么样的关系（ ）
A．
BAC
B
E
= +
B．
2
BAC
B
E
= +
C．
2
BAC
B
E
= −
D．
BAC
B
E
= −
【答案】B
【分析】先求出
ACD
B
BAC
= +
，再根据角平分线的定义求出
(
)
1
1
2
2
ACE
ACD
B
BAC
=
=
+
，最
后根据三角形外角的性质，即可解答．
【详解】解：∵
ACD
B
BAC
= +
，CE 平分
ACD
，
∴
(
)
1
1
2
2
ACE
ACD
B
BAC
=
=
+
，
∴
(
)
(
)
1
1
2
2
E
BAC
ACE
BAC
B
BAC
BAC
B
=
−
=
−
+
=
−
，
即
2
BAC
B
E
= +
．
4．（25-26 七年级下·江苏南通·阶段检测）如图，小明从一张三角形纸片ABC 的AC 边上选取一点N，将纸
片沿着BN 对折一次使得点A 落在A处后，再将纸片沿着BA对折一次，使得点C 落在BN 上的C处，已知
68
CMB
=
，
18
A
=
，则原三角形中
C
的度数为（ ）
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A．90
B．88
C．87
D．86
【答案】C
【分析】根据折叠的性质可知
ABN
A BN
A BC
=
=
，根据三角形内角和定理可得
180 ,
3
180
A BC
C
CMB
A
A BC
C
+
+
=
+
+
=
，进而可得原三角形的
C
的度数．
【详解】解：由折叠的性质可知
ABN
A BN
A BC
=
=
，则
3
ABC
A BC
=
，
180 ,
3
180
A BC
C
CMB
A
A BC
C
+
+
=
+
+
=
，
68
CMB
=
，
18
A
=
,
即
68
180
18
3
180
A BC
C
A BC
C
+
+
=
+
+
=
，
解得
87
C
=
．
二、填空题
5．（25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在ABC
中，
35
B
=
，AD平分ABC
的外角
CAE
交BC 的
延长线于点D，若
60
DAE
=
，则
ACD
的度数为______________．
【答案】95
【分析】由角平分线的定义可得
60
DAC
DAE
=
=
，由三角形外角的定义及性质可得
25
D =
∠
，最后再
由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵AD平分ABC
的外角
CAE
交BC 的延长线于点D，
60
DAE
=
，
∴
60
DAC
DAE
=
=
，
∵
DAE
B
D
= +
，
35
B
=
，
∴
25
D
DAE
B
=
−=
，
∴
180
95
ACD
DAC
D
=
−
−
=
．
6．（25-26 八年级上·山西太原·阶段检测）如图，在ABC
中，BD是角平分线，BE是中线，若
24cm
AC =
，
则
12cm
AE =
，若
72
ABC
=
，则
ABD
=_____度．
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【答案】36
【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．
根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出
ABD
的度数．
【详解】解：∵BD是角平分线，
72
ABC
=
，
∴
2
72
ABC
ABD
=
=
，
∴
36
ABD
=
，
故答案为：36．
7．
（25-26 七年级下·广东深圳·期中）如图，ABC
中，
6
BC =
，点D、E 分别是CB 、AB 上的点，
2
CD
BD
=
，
AE
BE
=
，连接AD、CE 交于点F ．当四边形BEFD的面积为7 时，则ABC
中BC 边上的高为___________．
【答案】10
【分析】连接BF ，设
BDF
S
x
=
、
BEF
S
y
=
，根据四边形BEFD的面积得到
7
x
y
+
=
，利用AEF
和BEF
等
高求出
2
ABD
S
x
y
=
+
，同理求出
1
3
ABD
ABC
S
S
=
△
△
和
1
2
BCE
ABC
S
S
=
利用ABC
的面积列出方程，求出ABC
的
面积，从而求出BC 边上的高即可．
【详解】解：连接BF ，
2
CD
BD
=
、BC
BD
CD
=
+
，
3
6
BD
=
，
解得：
2
BD =
，
:
1:3
BD BC
=
，
AE
BE
=
，
1
2
AE
AB
=
，
设
BDF
S
x
=
、
BEF
S
y
=
，
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四边形BEFD的面积为7，
7
BDF
BEF
S
S
+
=
，即
7
x
y
+
=
，
AE
BE
=
、AEF
和BEF
等高，
AEF
BEF
S
S
y
=
=
，
2
ABD
AEF
BEF
BDF
S
S
S
S
x
y
=
+
+
=
+
，
ABD
和ABC
同高、
1
3
BD
BC
=
，
1
3
ABD
ABC
S
S
=
，
1
2
3
ABC
x
y
S
+
=
，
(
)
3
2
3
6
ABC
S
x
y
x
y
=
+
=
+
，
BDF
和
CDF
△
同高、
2
CD
BD
=
，
2
2
CDF
BDF
S
S
x
=
=
，
BCE
△
和ABC
同高、
1
2
AE
AB
=
，
1
2
BCE
ABC
S
S
=
，
2
3
BCE
BEF
BDF
CDF
S
S
S
S
y
x
x
y
x
=
+
+
=
+
+
=
+
，
1
3
2
ABC
x
y
S
+
=
，
(
)
2 3
6
2
ABC
S
x
y
x
y
=
+
=
+
，
3
6
6
2
x
y
x
y
+
=
+
，
整理得：3
4
0
x
y
−
=
，
联立
3
4
0
7
x
y
x
y
−
=
+
=
，
解得：
4
3
x
y
=
=
，
6 4
2 3
30
ABC
S
= + =
，
ABC
中BC 边上的高为：2
2 30
10
6
ABC
S
BC
=
=
．
8．（25-26 八年级下·河南郑州·开学考试）如图，有一张三角形纸片ABC ，
30
B
=
，
50
C
=
，点D 是AB
边上的固定点
1
(
)
2
BD
AB
，在BC 上找一点E，将纸片沿DE 折叠（DE 为折痕），点B落在点F处，使EF
AC
，
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则
BDE
的度数为_________．
【答案】35或125
【分析】根据题意，分两种情况进行讨论，根据平行线的性质，折叠的性质以及三角形的内角和为180 度，
进行求解即可.
【详解】解：如图2，当点F 在BC 上方时，
∵EF
AC
，
30
B
=
，
50
C
=
，
∴
50
BEF
C
=
=
，
∵折叠，
∴
25
BED
FED
=
=
，
∴
180
30
25
125
BDE
=
−
−
=
；
如图3，当点F 在BC 下方时，
则
50
FEG
C
=
=
，
由折叠性质得：
BDE
EDF
=
，
30
F
B
= =
，
∴
50
30
80
BGD
F
FEG
= +
=
+
=
，
∴
180
30
80
70
BDG
=
−
−
=
，
∴
1
35
2
BDE
BDG
=
=
；
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综上：
BDE
的度数为35或125．
三、解答题
9．（25-26 七年级下·四川成都·期中）已知ABC
的三边长为, ,
a b c ，且, ,
a b c 都是整数．
(1)化简：a
b
c
b
c
a
a
b
c
+
+
−
−
−
+
−
+
；
(2)若
2
2
6
14
58
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
．且,a b 为等腰ABC
的边长，求ABC
的周长．
【答案】(1)a
b
c
+ +
(2)17
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得a
c
b
+
，进而化简绝对值即可求解；
（2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得,a b 的值，根据等腰三角形的三边关系求得c 的值，进而即可
求解．
【详解】（1）解：∵ABC
的三边长为a ，b ，c ，
∴a
c
b
+
，
∴a
b
c
b
c
a
a
b
c
+
+
−
−−
+
−
+
(
)
a
b
c
b
c
a
a
b
c
=
+
+
−−
−−
+
−
+
(
)
a
b
c
b
c
a
a
b
c
=
+
+
+
−−
+
−
+
a
b
c
b c
a
a b
c
=
+ + + −−+ −+
a
b
c
=
+ + ；
（2）
2
2
6
14
58
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
即
2
2
6
9
14
49
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
∴(
)
(
)
2
2
3
7
0
a
b
−
+
−
=
，
∴
3
0,
7
0
a
b
−
=
−
=
，
解得：
3,
7
a
b
=
=
，
设第三条边长为c，
∴7
3
7
3
c
−
+ ，
即4
c
10
，
∵,a b 为等腰ABC
的边长，
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∴
7
c
b
=
=
，
∴ABC
的周长为
7
7
3 17
a
b
c
+ + =
+ + =
．
10．
（25-26 七年级下·湖北武汉·期末）如图：D 为线段BC 延长线上一点，BE，CE 分别平分
ABC
、ACD
，
EF
BD
∥
．
(1)若
76
A
=
，
42
ABC
=
，GF
CE
∥
，求
EFG
的度数；
(2)已知：2
360
EFG
A
ABC
++
=
，求证：FG
EC
∥
．
【答案】(1)
121
EFG
=
(2)证明：∵CE 平分
ACD
，
∴
1
2
ACE
ECD
ACD
=
=
，
∵
ACD
A
ABC
= +
，
∴1
1
1
2
2
2
ACD
A
ABC
=
+
，
∴
1
1
2
2
ECD
A
ABC
=
+
，
∵2
360
EFG
A
ABC
++
=
，
∴
1
1
180
2
2
EFG
A
ABC
+
+
=
，
∴
180
EFG
ECD
+
=
，
∵EF
BD
∥
，
∴
FEC
ECD
=
，
∴
180
EFG
FEC
+
=
，
∴FG
EC
∥
．
【分析】（1）先求出
ECD
，然后利用平行线性质得到
59
FEC
ECD
=
=
与
180
EFG
FEC
+
=
，即
可求解；
（2）先通过三角形外角性质和平行线性质得到
1
1
2
2
ECD
A
ABC
=
+
，结合2
360
EFG
A
ABC
++
=
，
可得到
180
EFG
ECD
+
=
，进而可得
180
EFG
FEC
+
=
，
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从而可证．
【详解】（1）解：∵CE 平分
ACD
，
∴
1
2
ACE
ECD
ACD
=
=
，
由三角形外角定理可知
76
42
118
ACD
A
ABC
=
+
=
+
=
，
∴
1 118
59
2
ECD
=
=
，
∵EF
BD
∥
，
∴
59
FEC
ECD
=
=
，
又∵GF
CE
∥
，
∴
180
EFG
FEC
+
=
，
∴
121
EFG
=
；
（2）略
11．（25-26 八年级上·安徽淮南·期中）如图，AD 是ABC
的角平分线，点E 在AC 上（不与点A C
，
重合），
连接BE，交AD 于点O．
(1)如图1，若BE 是ABC
的中线，
8
5
AB
BC
=
=
，
，则ABE
与BCE
的周长差为___________；
(2)如图2，若BE 是ABC
的高，
28
BAC
=
，则
BOD
的度数为___________；
(3)如图3，若BE 是ABC
的角平分线，
62
C
=
，求
AOB
的度数．
【答案】(1)3
(2)76
(3)121
【分析】本题考查了三角形的中线，角平分线，高线以及三角形内角和．
（1）由中线的定义得AE
CE
=
，然后利用周长公式求解即可；
（2）先求出
62
ABO
=
，再根据角平分线的定义求出
1
1
2
4
B
BAD
AC
=
=
，，
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然后利用三角形内角和定理求出
180
62
14
104
AOB
=
−
−
=
，则
180
76
BOD
AOB
=
−
=
∠
，即可求解；
（3）先由三角形内角和定理求出
118
BAC
ABC
+
=
，再根据
(
)
0
1
18
2
AOB
BAC
ABC
−
+
=
求解即可．
【详解】（1）∵BE是ABC
的中线，
∴AE
CE
=
，
∴ABE
与BCE
的周长差为：
(
)
AB
BE
AE
BC
BE
CE
+
+
−
+
+
AB
BE
AE
BC
BE
CE
=
+
+
−
−
−
AB
BC
=
−
8
5
3
= −= ．
故答案为：3；
（2）∵BE是ABC
的高，
∴
90
AEB
=
．
∵
28
BAC
=
，
∴
90
28
62
ABO
=
−
=
，
∵AD是ABC
的角平分线，
∴
1
1
2
4
B
BAD
AC
=
=
，
∴
180
62
14
104
AOB
=
−
−
=
，
∴
180
76
BOD
AOB
=
−
=
∠
．
故答案为：76；
（3）∵
62
C
=
，
∴
180
62
118
BAC
ABC
+
=
−
=
，
∵AD是ABC
的角平分线，BE是ABC
的角平分线，
∴
1
1
,
2
2
BAO
BAC
ABO
ABC
=
=
，
∴
(
)
180
BA
B
OB
O
A O
A
+
=
−
(
)
1
180
2
BAC
ABC
=
−
+
1
180
118
121
2
=
−
=
．
12．（25-26 七年级下·吉林长春·期中）【教材呈现】以下是华师版数学七下第92 页的部分内容．
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如图，在ABC
中，
80
ABC
=
．
50
ACB
=
，BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
，求
BPC
的度数．
解：
BP
平分
ABC
（已知），
1
1 80
40
2
2
PBC
ABC
=
=
=
，
同理可得
PCB
=___________．
180
BPC
PBC
PCB
+
+
=
（___________），
180
BPC
PBC
PCB
=
−
−
（等式的性质）= ___________．
(1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）．
(2)【拓展延伸】如图1，在ABC
中，ABC
ACB
、
的平分线交于点P ，将ABC
沿DE 折叠，使得点A与
点P 重合，若1
2 100
+=
°，求
BPC
的度数；
(3)如图2，在ABC
中，角平分线BO
CO
、
交于点O，OD
OB
⊥
，交边BC 于点D ，点E 在CB 的延长线上，
作
ABE
的平分线交CO的延长线于点F ．若
24
F
=
，则
DOC
=_______ ．
【答案】(1)25 ；三角形内角和定理；115
(2)115
(3)24
【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可；
（2）先由折叠的性质和平角的定义得到
130
AED
ADE
+
=
，进而求出
50
A
=
，同（1）即可得到答案；
（3）根据角平分线得到
ABO
OBC
=
，
FBA
FBE
=
，进而可知
90
FBO
=
，即可求出
66
FOB
=
，
根据OD
OB
⊥
得到
90
DOB
=
，根据三角形内角和即可得解．
【详解】（1）解：∵BP平分
ABC
（已知），
∴
1
1 80
40
2
2
PBC
ABC
=
=
=
．
同理可得
PCB
= 25．
∵
+
+
=
180
BPC
PBC
PCB
（三角形内角和定理），
∴
180
BPC
PBC
PCB
=
−
−
（等式的性质）
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180
40
25
=
−
−
115
=
．
（2）由折叠的性质可得
AED
PED
=
，
ADE
PDE
=
，
1
180
ADP
+
=
，
2
180
AEP
+
=
，1
2 100
+=
°，
2
2
260
AED
ADE
+
=
，
130
AED
ADE
+
=
，
180
50
A
AED
ADE
=
−
−
=
，
50
A
=
，
180
130
ABC
ACB
A
+
=
−
=
，
BP
平分
ABC
，CP 平分
ACB
，
2
ABC
PBC
=
，
2
ACB
PCB
=
，
2
2
130
PBC
PCB
+
=
，
即
65
PBC
PCB
+
=
，
180
115
BPC
PBC
PCB
=
−
−
=
；
（3）∵BO是
ABC
角平分线，BF 是
ABE
角平分线
∴
1
2
ABO
OBC
ABC
=
=
，
1
2
FBA
FBE
ABE
=
=
，
∵
180
ABE
ABC
+
=
，
∴
90
FBO
FBA
ABO
=
+
=
，
∵
24
F
=
，
∴
180
90
24
66
FOB
=
−
−
=
，
∵OD
OB
⊥
，
∴
90
DOB
=
，
∴
180
90
66
24
DOC
=
−
−
=
．
13．（25-26 八年级上·湖北武汉·期末）用悬挂法可以确定三角形匀质薄板的重心．
实践探究：在质地均匀的薄板上任意画一个三角形ABC
，把ABC
剪下来，并在ABC
的每个顶点处钉一
个小钉作为悬挂点，用下端系有小重物的细线缠绕在小钉A 上，然后把三角形薄板悬挂起来，描出细线的“痕
迹” AD；对于小钉B（或C）重复操作过程，描出细线的“痕迹” BE（或CF ），若记AD与BE的交点为G，
则发现CF 也经过G 点，如图1．G 点既是三角形薄板的重心也是ABC
的重心．
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数学思考：点P 是ABC
的重心
（1）如图2，连PA，PB，PC ，直接写出
BPC
ABC
S
S
的值；
（2）如图3，AP ，BP，CP 的延长线分别交BC ，AC ，AB 于点F，E，D，求PF
PA 的值．
拓展运用：（3）如图4，Rt
BPC
△
中，
90
BPC
=
，D，E 分别是CP ，BP延长线上的点，BD，CE 的延长
线交于点A，若D，E 刚好分别为AB ，AC 的中点，
12
CD =
，
18
BE =
，直接写出四边形ADPE 的面积．
【答案】（1）1
3 ；（2）1
2 ；（3）48
【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义，及三角形面积的计算．
（1）延长AP ，BP，CP 分别交BC ，AC ，AB 于点F，E，D，根据重心的定义可得
,
,
D E F 分别为
,
,
AB AC BC
的中点，设
APD
BPD
S
S
x
=
=
，
APE
CPE
S
S
y
=
=
，
BPF
CPF
S
S
z
=
=
，根据被中线分成的两个三角形“等底等
高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出结论；
（2）根据（1）的结论，根据
1
2
2
PCF
APC
S
PF
z
PA
S
y
=
=
=
，即可求解；
（3）根据（1）的方法，根据三角形的面积
1
2
=
底高，先求出BPC
的面积进而求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：如图，延长AP ，BP，CP 分别交BC ，AC ，AB 于点F，E，D，
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∵点P 是ABC
的重心，
∴
,
,
D E F 分别为
,
,
AB AC BC 的中点，
∴
APD
BPD
S
S
=
，
APE
CPE
S
S
=
，
BPF
CPF
S
S
=
，
设
APD
BPD
S
S
x
=
=
，
APE
CPE
S
S
y
=
=
，
BPF
CPF
S
S
z
=
=
，
∵
ABF
ACF
S
S
=
∴2
2
x
z
y
z
+
=
+
∴x
y
=
∵
ABE
CBE
S
S
=
∴2
2
x
y
z
y
+
=
+
∴x
z
=
∴x
y
z
=
=
∴
2
2
1
2
2
2
6
3
BPC
ABC
S
z
z
S
x
y
z
z
=
=
=
+
+
（2）解：由（1）可得
2
APC
S
y
=
，
CPF
S
z
=
，且y
z
=
∴
1
2
2
PCF
APC
S
PF
z
PA
S
y
=
=
=
（3）解：依题意，P 是ABC
的重心，
由（2）可得，
:
:
2:1
BP PE
CP PD
=
=
，
∵
12
CD =
，
18
BE =
，
2
12
3
BP
BE
=
=
，
2
8
3
CP
CD
=
=
∵
90
BPC
=
，
1
1 12 8
48
2
2
BPC
S
BP CP
=
=
=
，
3
144
ABC
BPC
S
S
=
=
，
1
24
2
BPD
CEP
BPC
S
S
S
=
=
=
，
∴
144
48
24
24
48
ADPE
S
=
−
−
−
=
四边形
．
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14．（25-26 七年级下·福建泉州·期末）数学探究
在ABC
中，已知
A
=
．
(1)如图1，
ABC
，
ACB
的平分线相交于点P ．
①当
70
=
时，
BPC
= ________；（直接写出结果）
②
BPC
的度数为________；（用含的代数式表示）
(2)如图2，ABC
，ACB
的平分线相交于点P ，作ABC
外角
MBC
，NCB
的角平分线交于点Q ．求
BQC
的度数．（用含的代数式表示）
(3)如图3，点M ，N 分别为AB ，AC 延长线上的一点，点P ，Q 分别在ABC
内部和外部，且满足
ABC
n PBC
=
，ACB
n PCB
=
，MBC
n QBC
=
，NCB
n QCB
=
．分别求
BPC
，BQC
的度数．
（用
含、n 的代数式表示）
【答案】(1)①125；②
1
90
2
+
(2)
1
90
2
−
(3)
(
)1 180
n
BPC
n
−
+
=
；
(
)
1 180
n
BQC
n
−
−
=
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可；
（2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可；
（3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可．
【详解】（1）解：①BP平分
ABC
，CP 平分
ACB
，
1
2
PBC
ABC
=
，
1
2
PCB
ACB
=
，
1
1
180
(
)
180
(
18
1
1
1
)
90
2
0
(180
)
18
2
0
( 80
)
2
2
PBC
PCB
A
C
B
ACB
BP
C
A
+
=
+
=
=
−
−
−
−
=
−
+
−
=
，
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当
70
=
时，
1
90
70
125
2
BPC
+
=
=
；
②由①可知，
1
90
2
BPC
=
+
．
（2）解：
MBC
A
ACB
= +
，
= +
NCB
A
ABC ，
2
180
MBC
NCB
A
ABC
ACB
+
= +
+
=
+
．
点Q 是ABC
的外角
MBC
，
NCB
的角平分线的交点，
1
2
QBC
MBC
=
，
1
2
QCB
NCB
=
，
1
1
1
(180
)
90
2
2
2
(
)
QBC
QCB
MBC
NCB
+
=
+
=
+
=
+
，
1
1
180
180
90
(
)
90
2
2
BQC
QBC
QCB
=
−
+
=
−
+
=
−
．
（3）解：
180
A
ABC
ACB
+
+
=
，
180
180
ABC
ACB
A
+
=
−=
−
．
ABC
n PBC
=
，
ACB
n PCB
=
，
1
1
(
)
80
PBC
PCB
ABC
ACB
n
n
−
+
=
+
=
，
(
)1 180
18
(
)
0
n
BPC
PBC
PCB
n
−
+
=
−
+
=
．
由（2）可知，
=180
MBC
NCB
+
+
．
MBC
n QBC
=
，
NCB
n QCB
=
，
(
)
1
180
QBC
QCB
MBC
NCB
n
n
+
+
=
+
=
，
(
)
1 180
18
(
)
0
n
BQC
QBC
QCB
n
−
−
=
−
+
=
．
