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专题 06 利用等腰三角形的三线合一作辅助线的二类综合题型
目录
典例详解
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
压轴专练
类型一、等腰三角形中底边有中点时，连中线
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例1．如图，已知 中， ， ，直角 的顶点P是 中点，两边 、 分
别交 、 的延长线于点E、F．求证： ；【答案】见详解
【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知
识是解题的关键．
先证明 ，得 ，再由已知条件即可求证；
【详解】证明：如图，连接 ，
，点P是 中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在 和 中：
，
，
，
，
，
即 ．
【变式1-1】如图，在 中， ，过 的中点 作 ， ，垂足分别为 、 ．(1)求证： ；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)110度
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形“三线
合一”，“等边对等角”，角平分线上的点到两端距离相等，以及三角形的内角和是180度，是解题的关
键．
（1）连接 ，根据“三线合一”得出 平分 ，再根据角平分线的性质定理，即可求证；
（2）先根据直角三角形两个锐角互余得出 ，再根据“等边对等角”得出 ，最后根
据三角形的内角和定理，即可求解．
【详解】（1）证明：连接 ，
，D是 的中点，
平分 ，
， ，
．
（2）解： ，
，
，
，
，
，
．
【变式1-2】如图，在 中， ，D是 的中点，过A作 ，且 ．求证：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接 ，利用等腰三角形“三线合一"的性质得 ，再利用平行线的性质得
，从而说明 垂直平分 ，则有 ；
（2）利用等角的余角相等 ，再利用 证明 ，从而证明结论．
【详解】（1）证明：连接AD，
，点 为 的中点，
，
，
，
，
，
，
垂直平分 ，
∴ ；
（2）在 和 中，
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，余角的
性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一"的性质是解题的关键．
【变式1-3】如图，在 中， ， ， 为 边的中点，点 、 分别在射线
、 上，且 ， 连接 ．
(1)如图1，当点 、 分别在边 和 上时，连接 ，
① 证明 ： ．
② 直接写出 ， 和 的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F 分别在边 、 的延长线上时， ， 和 的关系是：
(3)应用：若 ， ，利用上面探究得到的结论，求 的面积．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
(3) 或17
【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等腰三角形的性质、全等三角形的判定及其性质及三角
形的面积等，根据图形构造全等三角形求解即可。（1）①连接 ，即可证明 ；②根据 ，看图即可得出结论；
（2）连接 ，即同（1）可证明 ，根据 看图即可得出结论；
（3）根据（1），（2）中的结论，代入求解即可。
【详解】（1）证明：①如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ .
②∵ ,
∴ ,
根据图中所示，
,∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（2）解：如图，连接
在 中， ， 为 边的中点，
∴ , ,
∴ ,
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
即 ,
∵ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
在 和 中，
,
∴ .
∵ ,∴ ,
根据图中所示，
,
∵ 为 边的中点，
∴ .
∴ .
（3）如（1）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,
∴ .
②如（2）中结论，
∵ ， ，
∴ ,
,
∵ ,
∴
类型二、等腰三角形中底边无中点时，作高
1.三线合一性质核心应用：等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合。即使底边无中点，作底边的高后，高同时成为底边中线，可将等腰三角形分成两个全等直角三角形，利用直角三
角形性质（如勾股定理）求解边长、角度等。
2.辅助线与转化思想：作高是关键辅助线，将等腰三角形转化为直角三角形，把非中点条件转化为中点
条件，结合全等三角形判定（HL）和直角三角形边角关系，实现未知量向已知量的转化，体现几何中化
归的重要思想。
例2．在 中，点 是边 上的两点．
(1)如图1，若 ， ．求证： ；
(2)如图2，若 ， ，设 ， ．
①猜想 与 的数量关系，并说明理由；
②在①的条件下， ，请直接写出 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)① ；②
【分析】（1）过A作 于F，根据三线合一得到 ， ，利用线段的和差可得结果；
（2）①根据等边对等角和三角形内角和求出 ，再根据 ，整
理可得结果；②根据等边对等角和三角形内角和求出 ，再根据
，代入化简可得结果．
【详解】（1）解：如图，过A作 于F，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，即 ；（2）①猜想： ，理由是：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，即 ，
整理得： ；
②∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等边对等角，三角形内角和，角的和差计算，解题的关
键是利用这些性质找出角的关系．
【变式2-1】已知在 中， ，且 ，作等腰 ，使得 ．(1)如图1，若 与 互余，则 ___________；（用含 的代数式表示）
(2)如图2，若 与 互补，过点C作 于点H，求证： ；
(3)若 与 的面积相等，请直接写出 的度数．（用含 的式子表示）
【答案】(1)
(2)见解析
(3) 或
【分析】（1）根据 与 互余得 ，根据等腰三角形两底角相等得
，即可求出 的度数；
（2）作 ，根据AAS证明 ，则 ，由等腰三角形三线合一可得 ，
因此 ，问题得证；
（3）由 与 的面积相等得高相等.情况①：作 于 ， 于 ,根据 可得
，则可得 ；情况②: 是钝角三角形，作 于 ，作 垂直于
的延长线于 ，根据 可得 ，则可得 ，由于 与 互补，因
此 与 互补，即可得出结果．
【详解】（1）解： 中， ，且 = ,
， ，
，
，，
；
故答案为： ；
（2）证明：如图，过A点作 于E点，
中， ， ，
，
中， ，
，
，
, = ，
，
，
，
，
．
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：①如图，作 于 ， 于 ，
∵ 与 的面积相等，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
，
；
②如图，作 于 ，作 垂直于 的延长线于 ，
则 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ 与 的面积相等，∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
，
，
综上， 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相
等，.熟练掌握以上知识是解题的关键．
【变式2-2】在 中， ，过点C作射线 ，使 （点 与点B在直线 的
异侧）点D是射线 上一动点（不与点C重合），点E在线段 上，且 ．
(1)如图1，当点E与点C重合时， 与 的位置关系是 ，若 ，则 的长为 ；（用含a的式子
表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接 ．
①用等式表示 与 之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段 ， ， 之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)互相垂直；
(2)① ，证明见解析；② ，证明见解析
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得 与 的位置关系是互相垂直，过点A作 于点M，
根据等腰三角形性质得到 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质即
可得出 ；（2）当点E与点C不重合时，①过点A作 于点M、 于点N，利用 证明
，根据全等三角形性质即可得到 ；
②在 上截取 ，连接 ，利用 证明 ，根据全等三角形性质得到 ，
，根据角的和差得到 ，再利用 证明 ，根据全等三角形
性质及线段和差即可得到 ．
【详解】（1）解：当点E与点C重合时， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 与 的位置关系是互相垂直，
若 ，过点A作 于点M，如图：
则 ，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ，
故答案为：互相垂直； ；（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示 与 之间的数量关系是： ，
证明如下：
过点A作 于点M、 于点N，如图：
则 ，
∴ ，
∵ ，
即 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②用等式表示线段 ， ， 之间的量关系是： ，证明如下：
在 上截取 ，连接 ，如图：
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
由①知： ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ．一、单选题
1．如图， 中， ，D是 中点，下列结论中不正确的是（ ）
A． B． 平分
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得 ， 平分
，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A正确；根据已知条件不能判断D
正确．
【详解】解：∵ 中， ，D是 中点
∴ ，即 平分 ，
故A、B、C三项正确， D不正确．
故选：D．
2．如图，已知 的面积为12， 平分 ，且 于点 ，则 的面积是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，主要利用了等底等高的三角形的面积相等，
作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．延长 交 于 ，根据已知条件证得 ，根据全
等三角形的性质得到 ，得出 ， ，推出 ．【详解】解：延长 交 于 ，
平分 ，
，
，
，
在 和 中，
，
，
，
， ，
，
故选： ．
3．如图，在等腰 中 ， ，点 D 为边 的中点，点E在边 上， ．
若点P是等腰 的腰 上的一点，当 为等腰三角形时，则 的度数是（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，过D作 ，易证
， ，再根据四边形内角和 即可得到答案．【详解】解：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点P是等腰 的腰 上的一点， ，D为 的中点，
∴ ，
过D作 ， ，，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得
∴ ，
∴ ，
综上， 的度数是 或 ，
故选：D．
4．如图，在 中， 平分 为垂足，则下列结论：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，其中正确的个数有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，角平分线的性质定理，根据等腰三角形三线合一的
性质可判断（1）（2）（3），根据角平分线的性质定理可判断（4）．
【详解】解： 平分 ，
， ∵ ， ，
∴故（1）（2）（3）正确，
平分 ，
∵ ，
∴
∴故（4）正确，
综上，一共有4个正确，
故选：D
二、填空题
5．如图，在 中， 是边 上的中线．若 ，则 的度数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，因为 是边 上的中线，所以 是等腰三
角形， 平分 ，结合 ，即可作答．
【详解】解：∵在 中， 是边 上的中线，
∴ 是等腰三角形， 平分 ，
∵ ，∴
故答案为：
6．如图，在 中， 是 边上的中线，作 ，交 的延长线于点E．已知
，那么 ．
【答案】6
【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过作辅助线，构造全等三角形
是解题关键．过点 作 于点 ，先证出 ，根据全等三角形的性质可得 ，
再根据等腰三角形的三线合一可得 ，然后根据线段的和差求解即可得．
【详解】解：如图，过点 作 于点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵在 中， 是 边上的中线，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：6．
7．如图，在 中， ， ，把一块含 角的三角板 的直角顶点 放在 的中
点上（两直角边 ， 分别与 ， 相交），则三角板 与 重叠部分的面积是 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“ ”可证 和
全等，可得 ，即可求解．
【详解】解∶如图，连接 ，
∵ ， ， ，点D是 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案： ．
8．如图，在 中， 是 边上的高，过点A作 ，并且使 ，F是 上一点，连
接 ，使 ， 交 于G，H两点，若 ，则
【答案】 /
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关
键．延长 至点M，使 ，证明 ，推出 ， ，由等腰
三角形三线合一的性质，可得 ，结合 ，推出 ，可得
．
【详解】解：如图，延长 至点M，使 ，，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
，
是 边上的高，
，
，
，
， ，
，
，
故答案为： ．
三、解答题
9．如图，在 中， 的垂直平分线 交 于点 ，交 于点 ， 为线段 的中点，
．(1)求证： ；
(2)若 ，则 的度数为 ___________．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质，等
腰三角形的三线合一、等边对等角的性质是解题的关键．
（1）根据线段垂直平分线的性质得出 ，从而可得 ，然后根据等腰三角形的三线合一性
质即可得证；
（2）根据等边对等角可得 ， ，根据三角形外角的性质可得 ，然
后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】（1）证明：连接 ，
的垂直平分线 交 于点 ，
，
，
，
为线段 的中点，
；
（2）解： ，
，
，
由（1）知， ，
，
， ，
， ，，
．
故答案为： ．
10．如图，点D、E在 的 边上， ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）作 于点 ，利用等腰三角形三线合一的性质得到 ,相减后即可得
到正确的结论.
（2）由等腰三角形三线合一的性质得到 ， ，即可得到 ，设
，根据三角形的内角和定理可得 ，解题即可．
【详解】（1）过点 作 于 .
∵ .
∴ ,
∴ .
（2）∵ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，又∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
根据三角形的内角和可得 ，
解得： ，
∴ ，
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，方程思想，熟练掌握等腰三角形的三线合一
是解答此题的关键．
11．如图．已知 中， ，点D是边 上一点．连结 ，过点D作 ，交 于
点E，且有 ．求证：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形判定及性质，直角三角形性质，等腰三角形的性质，这些知识点的掌握是正
确解题的关键．
（1）由垂直的定义得到 ，再根据 ，结合直角三角形的性质即可证明结论；
（2）取 的中点F，连结 ，则 ，由等腰三角形的性质得到 ，由
（1）知 ；证明 ，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ；
（2）证明：取 的中点F，连结 ，则 ，
，
，
，
由（1）知 ；
，
，
，
．
12．如图1，在 中， ， ，点P是斜边 的中点，点D，E分别在边 上，
连接 ，若 ．
(1)求证： ；
(2)若点D，E分别在边 的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明；
(3)在（1）或（2）的条件下， 是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出 的度数（不用说
理）；若不能，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)成立，见解析
(3)能成为等腰三角形，此时 的度数为 或 或 或
【分析】（1）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，再由，可得 ，可证得 ，即可求证；
（2）连接 ，根据等腰直角三角形的性质可得 ，从而得到 ，
再由∵ ，可得 ，可证得 ，即可；
（3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）明∶ 连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵P为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）解： 仍成立，理由如下：
连接 ，∵ ，
∴ ，
∵P为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ；
（3）解： 能成为等腰三角形，
①当 ，点E在 的延长线上时，则 ，
又∵ ，
∴ ；②当 ，点E在 上时，则 ；
③当 时，则 ，
∴ ；
④当 ，点E和C重合，
∴ ；
综上所述， 能成为等腰三角形， 的度数为 或 或 或 ．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全
等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键．
13．已知 中， ， ．点 从点 出发沿射线 移动，同时点 从点 出发沿线段
的延长线移动，点 、 移动的速度相同， 与直线 相交于点 ．
(1)如图①，过点 作 交 于点 ，求证： ；(2)如图②，当点 为 的中点时，求 的长；
(3)如图③，过点 作 于点 ，在点 从点 向点 移动的过程中，线段 的长度是否保持不变？
若保持不变，请求出 的长度，若改变，请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)线段 的长度保持不变，
【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等．熟练掌握全
等三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据题意得出 ，根据等边对等角得出 ，根据平行线的性质得出 ，
推得 ，根据等角对等边得出 ，推得 ，根据全等三角形的判定定理即可证明；
（2）过 点作 交 于 ，先推得 ，再根据全等三角形的性质得出 ，即可
求解；
（3）过点 点作 交 于 ，根据等腰三角形三线合一的性质得出 ，根据全等三角形的
性质得出 ，即可推得 ．
【详解】（1）证明：∵点 、 移动的速度相同，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
在 与 中，，
∴ ．
（2）解：如图，过 点作 交 于 ，
∵点 为 的中点， ，
∴ 为 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
（3）解：线段 的长度保持不变．
如图，过点 点作 交 于 ，
由（1）知 ，
∵ ，
∴ ，
由（1）知 ，
∴ ，∴ ．
14．已知 平分 ，如图1所示，点B在射线 上，过点B作 于点A，在射线 上取
一点C，使得 ．
(1)若线段 ，求线段 的长；
(2)如图2，点D是线段 上一点，作 ，使得 的另一边交 于点E，连接
．
① 是否成立，请说明理由；
②请判断三条线段 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① 成立，理由见解析；② ，理由见解析
【分析】（1）如图所示，过点B作 于H，由三线合一定理得到 ，由角平分线的定义
得到 ，进一步证明 ，得到 ，则 ；
（2）①如图所示，过点B作 于H，由三线合一定理得到 ，同（1）可得
，则 ，由 ，即可推出 ；
②如图所示，在 上截取 ，连接 ，先证明 ，进而证明 ，得
到 ，进一步证明 ，从而证明 ，得到 ，
由 可证明 ．
【详解】（1）解：如图所示，过点B作 于H，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴ ，
∴
（2）解：① 成立，理由如下：
如图所示，过点B作 于H，
∵ ，
∴ ，即 ，
同（1）可得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
② ，理由如下：
如图所示，在 上截取 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三线合一定理，正确作出辅助线构造全等三角形是解
题的关键．
