文档文本内容
1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 三角形的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形的识别 题型02 三角形的边、角和顶点 题型03 数三角形的个数 题型04 根据边判断三角形的形状 题型05 根据角判断三角形的形状 题型06 直角三角形 题型07 等腰三角形 题型08 三角形有关概念辨析 题型09 等腰三角形存在性问题 题型10 动点问题 ▌题型01 三角形的识别 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 易错提醒：(1)三点共线 → 不是三角形 (2)曲线、折线围成 → 不是三角形 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ） A． B． 2 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 C． D． 【变式1-1】下列图形中，是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． ▌题型02 三角形的边、角和顶点 组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角 形的内角，简称三角形的角. 【典例2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以𝐵𝐶为边的三角形有_______________，∠𝐵𝐴𝐶是 ________的内角． 3 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式2-1】如图，下面以𝐴𝐵为边的三角形是（ ） A．△𝐴𝐵𝐶 B．△𝐴𝐷𝐶 C．△𝐴𝐸𝐶 D．△𝐴𝐷𝐸 【变式2-2】如图，下列说法错误的是（ ） A．DF 是△𝐵𝐷𝐹的边 B．∠𝐹𝐵𝐶是△𝐹𝐵𝐶的内角 C．以∠𝐴为内角的三角形有3 个 D．以BC 为边的三角形有3 个 【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，点𝐸是垂足，点𝐷是边𝐵𝐶上的一点，连接𝐴𝐷． (1)写出△𝐴𝐵𝐸的三个内角； (2)在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵的对边是__________；在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，∠𝐴𝐷𝐶是哪几个三角形的公共角？ ▌题型03 数三角形的个数 方法点拨：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角 形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形. 4 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例3】图中以𝐴𝐵为边的三角形的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，D 是𝐵𝐶延长线上一点，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，𝐷𝐹交𝐴𝐶于E，图中有 （ ）个直角三角形． A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【变式3-2】如图，已知点A，B 在直线a 上，点C，D，E 在直线b 上．以点A，B，C，D，E 中的任意三 点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ） A．3 个 B．4 个 C．6 个 D．9 个 【变式3-3】如果依次用𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4分别表示图3 中(1)、(2)、(3)、(4)内三角形的个数，那么𝑎1 = 3, 𝑎2 = 8, 𝑎3 = 15，𝑎𝑛=______________． ▌题型04 根据边判断三角形的形状 5 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例4】若△𝐴𝐵𝐶的三边长a，b，c 满足(𝑎−𝑏)2 + |𝑏−𝑐| = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【变式4-1】若𝑎, 𝑏, 𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，且(𝑎−𝑏)(𝑏−𝑐) = 0，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式4-2】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为𝑎，𝑏，𝑐，且满足(𝑎−2)2 + |𝑏−2| + |𝑐−2| = 0，则此三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【变式4-3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其 中，分类错误的是（ ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 ▌题型05 根据角判断三角形的形状 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形； 有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【典例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶是直角，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，点E 在线段𝐵𝐷上，找出图中的锐角三 角形、直角三角形和钝角三角形． 6 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式5-1】在△ABC 中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC 是（ ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式5-2】在一张方格图上，有一个三角形，三个顶点的位置分别是𝐴(3,3)，𝐵(8,3)，𝐶(3,6)，这是一个 ( )三角形． 【变式5-3】图中锐角三角形的个数有________ ▌题型06 直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 【典例6】如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，𝐸是线段𝐶𝐷上一点，连接𝐴𝐸，则图中的直角三角形 共有（ ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 7 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式6-1】如图，已知𝑎∥𝑏，将等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶按图所示放置．若∠1 = 25°，则∠2 =______． 【变式6-2】如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过 调查，秘密宝藏的位置P 满足条件：△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，符合条件的P 点的个数为______个． 【变式6-3】如图，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 6，动点𝑃从𝐴出发沿𝐴𝐶以每秒2个单位向𝐶运动， 动点𝐷从𝐶出发沿𝐶𝐵以每秒1个单位向𝐵运动，𝑃、𝐷同时出发，设运动时间为𝑡秒． (1)用含t 的式子表示𝑃𝐶、𝐶𝐷； (2)当t 为何值时，△𝑃𝐶𝐷为等腰直角三角形？ ▌题型07 等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰 和底边的夹角叫作底角.三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和 腰相等的等腰三角形. 8 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【典例7】已知等腰三角形的底边和腰长分别为12 cm和15 cm，那么这个三角形的周长为________cm ． 【变式7-1】已知△𝐴𝐵𝐶三边长𝑎, 𝑏, 𝑐，且满足(𝑎−2)2 + |𝑏−2| + |𝑐−3| = 0，则此三角形一定是（ ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【变式7-2】用一条长为15cm的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长； 【变式7-3】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为20， 其中一边长为6，求它的“和谐比” 题型08 三角形有关概念辨析 利用各个类型三角形的定义是解题的关键 【典例8】下列说法正确的是（ ） A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形 B．等边三角形不是等腰三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 【变式8-1】下列语句中，不属于定义的是（ ） 9 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【变式8-2】下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三 角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的 有（ ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】下列说法正确的是（ ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ ▌题型09 等腰三角形存在性问题 根据等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想，画图解决问题 【典例9】在方格纸中，点P、Q 都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1 中，画一个以PQ 为腰的等腰△𝐴𝑃𝑄（𝐴为格点）； (2)在图1 中，以𝑃𝑄为腰的等腰△𝐴𝑃𝑄（𝐴为格点）共有___________个． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点A 的坐标为(4,−3)且𝑂𝐴= 5，在x 轴上确定一点P，使△𝐴𝑂𝑃 为等腰三角形．则符合题意的点P 共（ ）有个． 10 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点𝐴(−1,1)，𝐵(−3,2)，点𝐶在坐标轴上，若△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形， 则满足条件的点𝐶的个数为（ ） A．2 个 B．4 个 C．7 个 D．确定不下来 【变式9-3】如图，𝑂𝑃是平角𝑀𝑂𝑁内一射线，点𝐴是𝑂𝑃上一定点，点𝐵是直线𝑀𝑁上一动点，若△𝑂𝐴𝐵是等 腰三角形，则满足条件的点𝐵的个数为______． ▌题型10 动点问题 设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题 【典例10】如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 6cm，P、Q 是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动点，其 中点P 从点A 开始沿𝐴→𝐵方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿𝐵→𝐶→𝐴方向运动，且速度 为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．从出发_____秒钟后，△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形？ 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式10-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐶𝐴= 8cm，𝐶𝐵= 6cm，𝐴𝐵= 10cm．点𝐷为△𝐴𝐵𝐶边上的动点， 沿𝐶→𝐴→𝐵→𝐶的路径运动（再次到达𝐶点则停止运动），点𝐷的运动速度为2cm/秒，设点𝐷运动时间为𝑡秒． （1）当点𝐷在𝐴𝐶上运动时，若𝐷𝐶= 𝐵𝐶，则𝑡=___________； （2）若点𝐷与△𝐴𝐵𝐶某一顶点的连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时𝑡的值为___________． 【变式10-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5, 𝐴𝐶= 4, 𝐵𝐶= 3．点𝑃从点𝐶出发，以每秒2 个单位长度的速度沿 𝐶−𝐴−𝐵向终点B 运动，设点𝑃运动的时间为𝑡秒(𝑡> 0)． (1)当点𝑃在𝐴−𝐵上运动时，𝐴𝑃的长为 （用含𝑡的代数式表示）． (2)当△𝑃𝐴𝐶是以𝐴𝐶为腰的等腰三角形时，求𝑡的值． (3)当𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶分成的两部分的面积相等时，求𝑡的值． (4)当点𝑃与△𝐴𝐵𝐶的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为2: 3时，直接写出𝑡的值． 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【变式10-3】如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶= 8cm，点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿𝐴𝐵向 点B 运动，点Q 从点B 出发，以3cm/s的速度沿𝐵𝐶向点C 运动，P、Q 同时出发，运动时间为t 秒(𝑡> 0)． (1)用含t 的代数式表示线段𝐵𝑃、𝐵𝑄的长度； (2)当𝑡= 1时，求△𝐵𝑃𝑄的面积； (3)当t 为何值时，△𝐵𝑃𝑄为等腰直角三角形？
