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1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 专题01 三角形有关线段和角的综合 常考题型·精准突破 ◆题型1 三角形的三边关系 1． 【答案】C 【详解】解：对于A 选项：∵2 + 2 = 4， ∴不能组成三角形； 对于B 选项：∵2 + 3 = 5 < 6， ∴不能组成三角形； 对于C 选项：∵1 + 2 = 3 > 2， ∴能组成三角形； 对于D 选项：∵1 + 2 = 3， ∴不能组成三角形． 2． 【答案】C 【详解】解：∵𝑎= 2 cm，𝑏= 5 cm， ∴𝑏−𝑎< 𝑐< 𝑎+ 𝑏，解得3 cm < 𝑐< 7 cm， 观察选项，只有5 cm在此范围内． 3． 【答案】C 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，另一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知10 −7 < 𝑥< 10 + 7，即3 < 𝑥< 17， 由图中挡板高度为5，则3 < 𝑥≤5， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4 或5，即C 选项符合题意． 4． 【答案】5 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，𝑥，5， ∴5 −2 < 𝑥< 5 + 2，即3 < 𝑥< 7， 又∵𝑥为奇数， ∴𝑥= 5． 5． 2 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【详解】解：∵在△𝑂𝐴𝐵中，𝑂𝐴= 20 m，𝑂𝐵= 15 m， ∴根据三角形的三边关系可得：𝑂𝐴−𝑂𝐵< 𝐴𝐵< 𝑂𝐴+ 𝑂𝐵 ， 即 5m < 𝐴𝐵< 35m，选项中只有23 m符合该范围． ◆题型2·根据三角形中线求长度 6． 【答案】D 【详解】解：𝐶𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐴𝐵= 12， 𝐵𝐷= 1 2 𝐴𝐵= 6， 故选：D． 7． 【答案】B 【详解】解：∵𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线， ∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷， ∵△𝐴𝐵𝐷的周长为30，𝐴𝐵= 15， ∴𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 30 −𝐴𝐵= 30 −15 = 15， ∴𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 𝐴𝐷+ 𝐵𝐷= 15， ∵𝐵𝐶= 9， ∴△𝐵𝐶𝐷的周长= 𝐵𝐶+ 𝐶𝐷+ 𝐵𝐷= 9 + 15 = 24． 故选：B． 8． 【答案】8 【详解】解：∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐷的中线 ∴𝐴𝐷= 2𝐴𝐸， ∵𝐴𝐸= 2 ∴𝐴𝐷= 4， ∵𝐵𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线 ， ∴𝐴𝐶= 2𝐴𝐷， ∴𝐴𝐶= 8． 9． 【答案】4 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶和△𝐵𝐶𝐷中，𝐶𝐷，𝐵𝐸是中线， ∴𝐴𝐷= 𝐵𝐷= 3, 𝐷𝐸= 𝐶𝐸， 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 △𝐵𝐶𝐸的周长−△𝐵𝐷𝐸的周长= (𝐵𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸) −(𝐵𝐷+ 𝐷𝐸+ 𝐵𝐸) = 𝐵𝐶+ 𝐸𝐶+ 𝐵𝐸−𝐵𝐷−𝐷𝐸−𝐵𝐸 = 𝐵𝐶−𝐵𝐷 = 7 −3 = 4cm 故答案为：4． ◆题型 3·三角形中线与面积问题 10． 【答案】C 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶的面积为6，𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶中𝐵𝐶边上的中线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 6 = 3， 故选：C． 11． 【答案】B 【详解】解：∵𝐹点为𝐶𝐸的中点，且𝑆△𝐷𝐹𝐸= 8cm2（阴影部分）， ∴𝑆△𝐷𝐶𝐸= 2𝑆△𝐷𝐸𝐹= 16cm2， ∵𝐸点为𝐴𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐶= 2𝑆△𝐷𝐶𝐸= 32cm2， ∵𝐷点为𝐵𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐶𝐷= 64cm2． 故选：B． 12． 【答案】B 【详解】解：∵𝐹是𝐵𝐸的中点，𝑆△𝐵𝐹𝐷= 1， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2𝑆△𝐵𝐹𝐷= 2， ∵点𝐸为𝐴𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2𝑆△𝐵𝐷𝐸= 2 × 2 = 4， ∵点D 为𝐵𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐷= 2 × 4 = 8． 故选：B． 13． 【答案】C 【详解】解：连接𝐴𝐸，𝐵𝐹，𝐶𝐷， 4 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵点𝐷、𝐸、𝐹分别是线段𝐴𝐹、𝐵𝐷、𝐶𝐸的中点， ∴𝐴𝐷= 𝐷𝐹，𝐵𝐸= 𝐸𝐷，𝐸𝐹= 𝐹𝐶， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐶= 𝑆△𝐶𝐷𝐹，𝑆𝐴𝐸𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐸，𝑆△𝐵𝐸𝐹= 𝑆△𝐸𝐹𝐷，𝑆△𝐸𝐵𝐹= 𝑆△𝐵𝐹𝐶，𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐵𝐷𝐹，𝑆△𝐴𝐸𝐹= 𝑆△𝐴𝐹𝐶， ∴△𝐴𝐵𝐶被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是△𝐴𝐵𝐶的 1 7， ∴阴影部分的面积是42 × 1 7 = 6， 故选：C． 14． 【答案】A 【详解】解：∵点D 为𝐴𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16， ∵点E 为𝐵𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐷𝐸= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 8， ∵点F 为𝐴𝐸的中点， ∴𝑆阴影= 1 2 𝑆△𝐴𝐷𝐸= 4， 故选：A． ◆题型 4·根据三角形的三边关系化简 15． 【答案】𝑎+ 𝑏+ 𝑐 【详解】解：∵三角形三边为𝑎，𝑏，𝑐， ∴𝑎−𝑏< 𝑐, 𝑎−𝑐< 𝑏， ∴|𝑎+ 𝑏+ 𝑐| −|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎−𝑐−𝑏| = (𝑎+ 𝑏+ 𝑐) −[−(𝑎−𝑏−𝑐)] + [−(𝑎−𝑐−𝑏)] = (𝑎+ 𝑏+ 𝑐) + (𝑎−𝑏−𝑐) −(𝑎−𝑐−𝑏) = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑎−𝑏−𝑐−𝑎+ 𝑐+ 𝑏 = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐﹒ 故答案为：𝑎+ 𝑏+ 𝑐﹒ 16． 5 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】2𝑏 【详解】解：∵𝑎，𝑏，𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长， ∴𝑎−𝑏< 𝑐, 𝑎+ 𝑏> 𝑐， ∴𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0， ∴|𝑎−𝑏−𝑐| + |𝑎+ 𝑏−𝑐| = −𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑎+ 𝑏−𝑐= 2𝑏． 故答案为：2𝑏． 17． 【答案】3𝑎−𝑏−𝑐 【详解】根据三角形三边关系𝑎+ 𝑏> 𝑐，𝑏< 𝑐+ 𝑎，𝑏+ 𝑐> 𝑎， 可得𝑎+ 𝑏−𝑐> 0，𝑏−𝑐−𝑎< 0，𝑏+ 𝑐−𝑎> 0， ∴|𝑎+ 𝑏−𝑐| = 𝑎+ 𝑏−𝑐，|𝑏−𝑐−𝑎| = 𝑎+ 𝑐−𝑏，|𝑐−𝑎+ 𝑏| = 𝑐+ 𝑏−𝑎， ∴|𝑎+ 𝑏−𝑐| + |𝑏−𝑐−𝑎| −|𝑐−𝑎+ 𝑏| = 𝑎+ 𝑏−𝑐+ 𝑎+ 𝑐−𝑏−(𝑏+ 𝑐−𝑎) = 3𝑎−𝑏−𝑐， 故答案为：3𝑎−𝑏−𝑐. 18． 【答案】0 【详解】解：解：因为a，b，c 是三角形的三边长， 所以𝑎+ 𝑏+ 𝑐> 0，𝑎−𝑏−𝑐< 0，𝑎−𝑏+ 𝑐> 0，𝑎+ 𝑏−𝑐> 0， |𝑎+ 𝑏+ 𝑐| −|𝑎−𝑏−𝑐| −|𝑎−𝑏+ 𝑐| −|𝑎+ 𝑏−𝑐|， = 𝑎+ 𝑏+ 𝑐+ 𝑎−𝑏−𝑐−𝑎+ 𝑏−𝑐−𝑎−𝑏+ 𝑐， = 0． 故答案为：0． ◆题型 5·与三角形的高有关的计算问题 19． 【答案】100° 【详解】解：∵ ∠𝐵𝐶𝐷= 30°，∠𝐴𝐶𝐵= 80°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= ∠𝐴𝐶𝐵−∠𝐵𝐶𝐷= 50°， ∵𝐶𝐷是边𝐴𝐵上的高， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐶𝐴𝐵= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐴𝐶𝐷= 40°， ∵𝐴𝐸是∠𝐶𝐴𝐵的平分线， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐶𝐴𝐵= 20°， 6 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐴𝐸𝐶= 180° −∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐴𝐶𝐵= 180° −20° −80° = 80°, ∴∠𝐴𝐸𝐵= 180° −∠𝐴𝐸𝐶= 100°． 20． 【答案】4 【详解】解：∵𝐵𝐸是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝑆△𝐴𝐵𝐸= 8， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 2𝑆△𝐴𝐵𝐸= 2 × 8 = 16． ∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 1 2 ⋅𝐵𝐶⋅𝐴𝐷， 将𝑆△𝐴𝐵𝐶= 16、𝐵𝐶= 8代入， 得16 = 1 2 × 8 × 𝐴𝐷， 解得𝐴𝐷= 4． 21． 【答案】(1)∠𝐴𝐷𝐶= 114° 【详解】（1）解：∵𝐴𝐹是△𝐴𝐵𝐶的高， ∴𝐴𝐹⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐹𝐶= 90°， ∵∠𝐶𝐴𝐹= 56°， ∴∠𝐴𝐶𝐷= 180° −∠𝐴𝐹𝐶−∠𝐶𝐴𝐹= 34°， ∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐷， ∴∠𝐷𝐶𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷= 17°， ∵∠𝐶𝐸𝐷= 49°， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 180° −(∠𝐷𝐶𝐸+ ∠𝐶𝐸𝐷) = 180° −(17° + 49°) = 114°． （2）解：∵𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，△𝐴𝐵𝐷的面积是42， ∴𝑆△𝐴𝐶𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐷= 42， ∵△𝐷𝐶𝐸的𝐷𝐸边上的高与△𝐴𝐶𝐸的𝐴𝐸边上的高相等，且𝐷𝐸: 𝐴𝐸= 3: 4， ∴𝑆△𝐷𝐶𝐸: 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 3: 4， 又∵𝑆△𝐷𝐶𝐸+ 𝑆△𝐴𝐶𝐸= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 42， ∴𝑆△𝐴𝐶𝐸= 4 3+4 × 42 = 24， 即△𝐴𝐶𝐸的面积为24． 22． 【答案】（1）如图①，𝐵𝐺即为所求．（2）𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹；（3）𝑆△𝐴𝐵𝐷 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹，𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹； （4）不成立．理由如下： 如图②，过点𝐵作𝐵𝐺⊥𝐴𝐶于点𝐺． 7 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐵𝐶+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷， ∴ 1 2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸= 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺+ 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹． ∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶， ∴𝐷𝐸= 𝐵𝐺+ 𝐷𝐹， ∴𝐵𝐺= 𝐷𝐸−𝐷𝐹． 【详解】解：（1） 略 （2）𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹 （3）因为𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐶𝐷， 所以 1 2 𝐴𝐶⋅𝐵𝐺= 1 2 𝐴𝐵⋅𝐷𝐸+ 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹． 因为𝐴𝐵= 𝐴𝐶， 所以𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹． 故答案为：𝑆△𝐴𝐵𝐷， 1 2 𝐴𝐶⋅𝐷𝐹 ，𝐵𝐺= 𝐷𝐸+ 𝐷𝐹． （4） 略 ◆题型6·与平行线有关的三角形内角和问题 23． 【答案】(1)证明：∵ 𝐴𝐵∥𝐷𝐸， ∴ ∠𝐵𝐹𝐷= ∠2， ∵ ∠𝐵𝐹𝐷= ∠1， ∴∠1 = ∠2， ∴ 𝐷𝐹∥𝐴𝐶； （2）解：∵ 𝐷𝐹平分∠𝐵𝐷𝐸， ∴∠𝐵𝐷𝐹= ∠2， ∵ ∠1 = 65°， 结合（1）可知∠𝐵𝐷𝐹= ∠2 = ∠1 = 65°， ∴∠𝐸𝐷𝐶= 180° −2 × 65° = 50°， ∴ ∠𝐶= 180° −∠1 −∠𝐸𝐷𝐶= 65°． 24． 8 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）解：∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷，∠𝐸𝐺𝐹= 27°， ∴∠𝐷𝐹𝐺= ∠𝐸𝐺𝐹= 27° ∵𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷， ∴∠𝐸𝐹𝐷= 2∠𝐷𝐹𝐺= 2 × 27° = 54°， ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐴𝐸𝐹= ∠𝐸𝐹𝐷= 54°． (2)证明：∵𝐸𝑀平分∠𝐺𝐸𝐹，𝐹𝐺平分∠𝐸𝐹𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝑀= ∠𝐺𝐸𝑀= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹，∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷 ∵𝐴𝐵∥𝐶𝐷， ∴∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷= 180°， ∴∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺= 1 2 ∠𝐺𝐸𝐹+ 1 2 ∠𝐸𝐹𝐷= 1 2 (∠𝐹𝐸𝐺+ ∠𝐸𝐹𝐷) = 90°， ∴∠𝐸𝑀𝐹= 180° −(∠𝐹𝐸𝑀+ ∠𝐸𝐹𝐺) = 180° −90° = 90°， ∴𝐸𝑀⊥𝐺𝐹， ∵𝑁𝐺⊥𝐺𝐹， ∴𝐸𝑀∥𝑁𝐺 ∴∠𝑁= ∠𝐹𝐸𝑀，∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝐺𝐸𝑀， ∴∠𝐴𝐺𝑁= ∠𝑁． 25． 【详解】解：∵∠𝐴𝐷𝐸= 155°， ∴∠𝐸𝐷𝐶= 180° −∠𝐴𝐷𝐸= 180° −155° = 25°， ∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶， ∴∠𝐶= ∠𝐸𝐷𝐶= 25°， 又∵∠𝐴= 90°， ∴∠𝐵= 90° −∠𝐶= 65°． 26． 【详解】解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 80°，∠𝐶= 30°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −80° −30° = 70°， ∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°． ∵𝐴𝑃∥𝐵𝐶， ∴∠𝑃= ∠𝐶𝐵𝑃= 35°． 27． 9 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】（1）解：∵𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝑁，∠𝐴= 40°， ∴∠𝐴𝐵𝑁= 180° −∠𝐴= 140°， ∵𝐵𝐶，𝐵𝐷分别平分∠𝐴𝐵𝑃和∠𝑃𝐵𝑁， ∴∠𝐶𝐵𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑃，∠𝑃𝐵𝐷= 1 2 ∠𝑃𝐵𝑁， ∵∠𝐶𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐷， ∴∠𝐶𝐵𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑃+ 1 2 ∠𝑃𝐵𝑁= 1 2 ∠𝐴𝐵𝑁= 70°； （2）当∠𝐴𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐷时， 又∵∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐴𝐷𝐵， ∵𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝑃，∠𝑃𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶= ∠𝐶𝐵𝑃= ∠𝑃𝐵𝐷= ∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑃+ ∠𝑃𝐵𝐷+ ∠𝐷𝐵𝑁 = 1 4 ∠𝐴𝐵𝑁 = 1 4 × 140° = 35°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 35°； （3）当点𝑃运动时，∠𝐴𝑃𝐵：∠𝐴𝐷𝐵= 2：1， 理由：∵𝐴𝑀 ∥ 𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝑃𝐵= ∠𝑃𝐵𝑁，∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝐷𝐵𝑁， ∵𝐵𝐷平分∠𝑃𝐵𝑁， ∴∠𝑃𝐵𝑁= 2∠𝐷𝐵𝑁， ∴∠𝐴𝑃𝐵：∠𝐴𝐷𝐵= ∠𝑃𝐵𝑁：∠𝐷𝐵𝑁= 2：1． 28． 【答案】(1) ∠𝐷𝐸𝐶，理由如下： ∵∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐸𝐷= 180°， ∴𝐴𝐵∥𝐷𝐸． ∴∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶； (2) 𝐴𝐷∥𝐹𝐺，理由如下： ∵𝐴𝐵∥𝐷𝐸， ∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐴𝐷𝐸． 10 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∵∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵𝐹𝐺， ∴∠𝐵𝐴𝐷= ∠𝐵𝐹𝐺． ∴𝐴𝐷∥𝐹𝐺． (3)60° （3）∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐵= 90°． ∵𝐴𝐷∥𝐹𝐺， ∴∠𝐵𝐺𝐹= ∠𝐴𝐷𝐵= 90°． ∵∠𝐵𝐹𝐺= 30°， ∴∠𝐵= 60°． ◆题型 7·与角平分线有关的三角形内角和问题 29． 【详解】（1）证明：∵𝐶𝐷⊥𝐴𝐵，𝐸𝐹⊥𝐴𝐵 ∴∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐹𝐸𝐵= 90° ∴𝐸𝐹∥𝐶𝐷 （2）解：∵𝐶𝐸平分∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐴𝐶𝐵= 90° ∴∠𝐴𝐶𝐸= 45° ∵∠𝐴= 65° ∴∠𝐴𝐶𝐷= 90° −∠𝐴= 25° ∴∠𝐷𝐶𝐸= ∠𝐴𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐷= 20° ∵𝐸𝐹∥𝐶𝐷 ∴∠𝐹𝐸𝐶= ∠𝐷𝐶𝐸= 20°； 30． 【详解】（1）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 70°， ∴∠𝐶= 180° −60° −70° = 50°， ∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐷𝐶= 90°， ∴∠𝐷𝐴𝐶= 180° −90° −50° = 40°； （2）解：∵∠𝐵𝐴𝐶= 60°，∠𝐴𝐵𝐶= 70°， 又∵𝐵𝐹是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐴𝐸是∠𝐵𝐴𝐶的角平分线， ∴∠𝐴𝐵𝑂= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 35°，∠𝐵𝐴𝑂= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 30°， ∴∠𝐴𝑂𝐵= 180° −∠𝐴𝐵𝑂−∠𝐵𝐴𝑂= 115°， 11 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝑂𝐸= 180° −∠𝐴𝑂𝐵= 65°． 31． 【详解】（1）解：∵𝐴𝐷为边𝐵𝐶上的高，△𝐴𝐵𝐶的面积为40， ∴ 1 2 𝐵𝐶· 𝐴𝐷= 40， ∵𝐴𝐷= 8， ∴𝐵𝐶= 10， ∵𝐵𝐸= 𝐶𝐸， ∴𝐶𝐸= 1 2 𝐵𝐶= 5； （2）解：∵∠𝐶= 68°，∠𝐵= 36°， ∴∠𝐵𝐴𝐶= 180° −∠𝐶−∠𝐵= 76°， ∵∠𝐵𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸， ∴∠𝐶𝐴𝐸= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐶= 38°， ∵∠𝐴𝐷𝐶= 90°，∠𝐶= 68°， ∴∠𝐶𝐴𝐷= 180° −∠𝐴𝐷𝐶−∠𝐶= 22°， ∴∠𝐷𝐴𝐸= ∠𝐶𝐴𝐸−∠𝐶𝐴𝐷= 16°． 32． 【详解】（1）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 42°，∠𝐴𝐶𝐵= 48°， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 21°，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵= 24°， ∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃= 135°； （2）解：∵𝐵𝑃，𝐶𝑃分别是∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的角平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐶𝑃= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵， ∵∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐶𝑃+ ∠𝐵𝑃𝐶= 180°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝐵𝐶𝑃 = 180° −1 2 ∠𝐴𝐵𝐶−1 2 ∠𝐴𝐶𝐵 = 180° −1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) = 180° −1 2 (180° −∠𝐴) = 90° + 1 2 ∠𝐴 = 90° + 1 2 × 80° = 130°； （3）解：∵𝐵𝑄，𝐶𝑄分别是∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑁的角平分线， 12 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐶𝐵𝑀，∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 ∠𝐵𝐶𝑁， ∵∠𝐶𝐵𝑀= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑁= ∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵𝐶𝑄= 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶， ∵∠𝐶𝐵𝑄+ ∠𝐵𝐶𝑄+ ∠𝑄= 180°， ∴ 1 2 ∠𝐴+ 1 2 ∠𝐴+ 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) + ∠𝑄= 180°， ∴∠𝐴+ 1 2 (180° −∠𝐴) + ∠𝑄= 180°， ∴∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴； （4）解：∵𝐵𝑃是∠𝐴𝐵𝐶的角平分线，𝐵𝑄是∠𝐶𝐵𝑀的角平分线， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 ∠𝐶𝐵𝑀， ∵∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀= 180°， ∴∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑀) = 90°， ∴∠𝑄𝐵𝐸= ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝐶𝐵𝑄= 90°， 由（3）知∠𝑄= 90° − 1 2 ∠𝐴， ∴∠𝐸+ ∠𝑄= 90°， ∴∠𝐸= 1 2 ∠𝐴， ∵在△𝐵𝑄𝐸中，存在一个内角等于另一个内角的3 倍，∠𝑄𝐵𝐸= 90°， ∴∠𝑄，∠𝐸都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①∠𝑄= 3∠𝐸， ∴90° − 1 2 ∠𝐴= 3 × 1 2 ∠𝐴， ∴2∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 45°； ②∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝐸， ∴3 × 1 2 ∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 60°； ③∠𝑄𝐵𝐸= 3∠𝑄， ∴3 (90° − 1 2 ∠𝐴) = 90°， ∴270° −1.5∠𝐴= 90°， ∴∠𝐴= 120°， ④∠𝐸= 3∠𝑄， ∴3 (90° − 1 2 ∠𝐴) = 1 2 ∠𝐴， 13 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 解之得：∠𝐴= 135°， 综上可知：∠𝐴的度数为45°或60°或120°或135°． 33． 【详解】（1）解：∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶（已知）， ∴∠𝑃𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶= 1 2 × 80° = 40°． 同理可得∠𝑃𝐶𝐵= 25°． ∵∠𝐵𝑃𝐶+ ∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 180°（三角形内角和定理）， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵（等式的性质） = 180° −40° −25° = 115°． （2）由折叠的性质可得∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝑃𝐸𝐷，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝑃𝐷𝐸， ∵∠1 + ∠𝐴𝐷𝑃= 180°，∠2 + ∠𝐴𝐸𝑃= 180°，∠1 + ∠2 = 100°， ∴2∠𝐴𝐸𝐷+ 2∠𝐴𝐷𝐸= 260°， ∴∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐴𝐷𝐸= 130°， ∴∠𝐴= 180° −∠𝐴𝐸𝐷−∠𝐴𝐷𝐸= 50°， ∵∠𝐴= 50°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 130°， ∵𝐵𝑃平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑃平分∠𝐴𝐶𝐵， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝑃𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝑃𝐶𝐵， ∴2∠𝑃𝐵𝐶+ 2∠𝑃𝐶𝐵= 130°， 即∠𝑃𝐵𝐶+ ∠𝑃𝐶𝐵= 65°， ∴∠𝐵𝑃𝐶= 180° −∠𝑃𝐵𝐶−∠𝑃𝐶𝐵= 115°； （3）∵𝐵𝑂是∠𝐴𝐵𝐶角平分线，𝐵𝐹是∠𝐴𝐵𝐸角平分线 ∴∠𝐴𝐵𝑂= ∠𝑂𝐵𝐶= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐹𝐵𝐴= ∠𝐹𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐸， ∵∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°， ∴∠𝐹𝐵𝑂= ∠𝐹𝐵𝐴+ ∠𝐴𝐵𝑂= 90°， ∵∠𝐹= 24°， ∴∠𝐹𝑂𝐵= 180° −90° −24° = 66°， ∵𝑂𝐷⊥𝑂𝐵， ∴∠𝐷𝑂𝐵= 90°， ∴∠𝐷𝑂𝐶= 180° −90° −66° = 24°． ◆题型 8·三角形折叠中的角度问题 34． 14 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】C 【详解】解：∵在三角形纸片𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 65°，∠𝐵= 75°， ∴∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 40°， 如图： 由折叠的性质可得∠3 = 180°−∠2 2 = 77.5°，∠𝐶′ = ∠𝐶= 40°，∠4 = 180°−∠1 2 ， ∵∠4 = 180° −∠𝐶′ −∠3 = 62.5°， ∴∠1 = 180° −2∠4 = 55°． 35． 【答案】A 【详解】解：∵∠𝐴= 76°，∠𝐶= 32°， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐶= 180° −76° −32° = 72°， ∵将△𝐴𝐵𝐶沿着𝐷𝐸折叠，使点𝐵与点𝐶重合， ∴∠𝐸𝐵𝐶= ∠𝐶= 32°， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 40°． 故选：A． 36． 【答案】A 【详解】解：根据折叠的性质得，∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐹𝐷𝐸，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐹𝐸𝐷， ∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐹𝐷𝐸= 180° −∠1， ∠𝐴𝐸𝐷+ ∠𝐹𝐸𝐷= 180° −∠2， ∴∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷 = 1 2 × (180° −∠1 + 180° −∠2) = 1 2 × [360° −(∠1 + ∠2)] = 125°， ∴∠𝐴= 180° −(∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐸𝐷) = 55°， 故选：A． 37． 15 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【答案】D 【详解】解：如图， ∵△𝐴𝐵𝐶沿𝐵𝐸将此三角形对折，又沿𝐵𝐴′再一次对折，点C 落在𝐵𝐸上的𝐶′处， ∴∠1 = ∠2，∠2 = ∠3，∠𝐶𝐷𝐵= ∠𝐶′𝐷𝐵= 64°， ∴∠1 = ∠2 = ∠3， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 3∠3， 在△𝐵𝐶𝐷中，∠3 + ∠𝐶+ ∠𝐶𝐷𝐵= 180°， ∴∠3 + ∠𝐶= 180° −64° = 116°， 在△𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴+ ∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐶= 180°， ∴30° + 2∠3 + (∠3 + ∠𝐶) = 180°， 即30° + 2∠3 + 116° = 180°， ∴∠3 = 17°， ∴∠𝐶= 116° −17° = 99°， 故选：D． 38． 【答案】A 【详解】由折叠的性质可知∠𝐵𝐸𝐷= ∠𝐵′𝐸𝐷，∠𝐵𝐷𝐸= ∠𝐵′𝐷𝐸， ∵∠1 + ∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵′𝐸𝐷= 180°，∠2 + ∠𝐵𝐷𝐸+ ∠𝐵′𝐷𝐸= 180° ∴∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐸= 1 2 (360° −∠1 −∠2) = 1 2 × (360° −80°) = 140° ∴∠𝐵′ = ∠𝐵= 180° −(∠𝐵𝐸𝐷+ ∠𝐵𝐷𝐸) = 180° −140° = 40°． 故选：A． 39． 【答案】A 【详解】解：∵∠𝐴= 65°, ∠𝐵= 75°， ∴∠𝐶= 180° −∠𝐴−∠𝐵= 40°， 由折叠的性质可得∠𝐶′𝐷𝐸= ∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐷𝐸𝐶= ∠𝐷𝐸𝐶′， ∵∠2 = 15°，∠𝐷𝐸𝐶+ ∠𝐷𝐸𝐶′ −∠2 = 180°， 16 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴2∠𝐷𝐸𝐶−15° = 180°， ∴∠𝐷𝐸𝐶= 97.5°， ∴∠𝐶𝐷𝐸= 180° −40° −97.5° = 42.5°， ∴∠1 = 180° −42.5 × 2 = 95°， 故选：A． ◆题型 9·三角形内角和定理的应用 40． 【答案】C 【详解】根据三角形内角和定理，三角形撕掉的角的度数是：180° −50° −80° = 50°． 41． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：∠𝐸𝐷𝐹= 45°，∠𝐴𝐶𝐵= 90° −∠𝐴= 90° −30° = 60°， ∵𝐵𝐸∥𝐷𝐹， ∴∠𝐶𝐸𝐷= ∠𝐸𝐷𝐹= 45°， ∵∠𝐷𝐶𝐸= 180° −∠𝐴𝐶𝐵= 180° −60° = 120°， ∴∠𝐶𝐷𝐸= 180° −∠𝐶𝐸𝐷−∠𝐷𝐶𝐸= 180° −45° −120° = 15°． 42． 【答案】B 【详解】解：如图，设𝐷𝐹分别交𝐴𝐶、𝐵𝐶于点H，点Q， ∵∠𝐶𝑄𝐻= ∠𝐹𝑄𝐵，∠𝐶= ∠𝐹= 90°， ∴∠𝐶𝐻𝑄= 180° −∠𝛽， ∵∠𝐷𝐻𝐴= ∠𝐶𝐻𝑄= 180° −∠𝛽，∠𝐷+ 180° −∠𝛼+ ∠𝐷𝐻𝐴= 180°，∠𝐷= 30° ∴30° + 180° −∠𝛼+ 180° −∠𝛽= 180°， ∴∠𝛼+ ∠𝛽= 210°． 43． 【答案】A 【详解】解：根据题意得：∠𝑃𝑀𝑁= 90°， 17 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐵𝑀𝑁+ ∠𝐴𝑀𝑃= 90°， ∵∠𝐵𝑀𝑁= 60°， ∴∠𝐴𝑀𝑃= 30°， ∵∠𝐴= 100°， ∴∠𝐴𝑃𝑀= 50°， ∵𝑀𝑃∥𝑁𝑄， ∴∠𝐴𝑃𝑀= ∠𝐴𝑄𝑁= 50°， ∴∠𝑁𝑄𝐶= 180° −50° = 130° 44． 【答案】B 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 50°， ∴∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180° −∠𝐴= 130°， ∵三角尺𝑋𝑌𝑍的两条直角边𝑋𝑌，𝑋𝑍分别经过点𝐵，𝐶， ∴∠𝐵𝑋𝐶= 90°， ∴在△𝑋𝐵𝐶中，∠𝑋𝐵𝐶+ ∠𝑋𝐶𝐵= 180° −∠𝐵𝑋𝐶= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝑋+ ∠𝐴𝐶𝑋= (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵) −(∠𝑋𝐵𝐶+ ∠𝑋𝐶𝐵) = 130° −90° = 40°． 综合攻坚·知能拔高 1． 【答案】C 【详解】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型，故本选项不 合题意； B、露出的角是直角，因此是直角三角形，故本选项不合题意； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型，故本选项符合题意； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形，故本选项不合题意． 2． 【答案】C 【详解】解：如图，连接𝐴𝐵， 18 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶−𝐴𝐶< 𝐴𝐵< 𝐵𝐶+ 𝐴𝐶， ∵𝐴𝐶= 5m, 𝐵𝐶= 7m， ∴7 −5 < 𝐴𝐵< 7 + 5，即2 < 𝐴𝐵< 12， ∴𝐴, 𝐵两点之间的距离可能是10m． 3． 【答案】B 【详解】 解： ∵𝐵𝐶∥𝐸𝐹， ∴∠𝐵𝐻𝐹= ∠𝐹= 45°， ∴∠𝐷𝐻𝐵= 180° −∠𝐵𝐻𝐹= 180° −45° = 135°， ∴∠𝐹𝐷𝐵= 180° −∠𝐵−∠𝐷𝐻𝐵= 180° −30° −135° = 15°， ∴∠𝐴𝐷𝐸= 180° −∠𝐸𝐷𝐹−∠𝐹𝐷𝐵= 180° −90° −15° = 75°． 4． 【答案】A 【详解】解：过点E 作𝐸𝐹⊥𝐵𝐶交𝐵𝐶于点F，如下图， ∵𝐴𝐷为△𝐴𝐵𝐶的中线，𝐵𝐸为△𝐴𝐵𝐷的中线， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶，𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐷， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 4 𝑆△𝐴𝐵𝐶， ∵△𝐴𝐵𝐶的面积为30，𝐵𝐷= 5， ∴𝑆△𝐵𝐷𝐸= 1 2 ⋅𝐷𝐵⋅𝐸𝐹= 1 2 × 5 × 𝐸𝐹= 1 4 × 30， 解得𝐸𝐹= 3， 即△𝐵𝐷𝐸中𝐵𝐷边上的高为3． 5． 【答案】D 19 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 【详解】解：∵点𝐸，𝐹是线段𝐴𝐷的三等分点， ∴𝐷𝐹= 1 3 𝐴𝐷， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 3𝑆1 同理𝑆△𝐴𝐷𝐶= 3𝑆2， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 𝑆△𝐴𝐵𝐷+ 𝑆△𝐴𝐷𝐶 = 3𝑆1 + 3𝑆2 = 3(𝑆1 + 𝑆2)， ∵𝑆1 + 𝑆2 = 4， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐶= 3 × 4 = 12． 6． 【答案】A 【详解】解：∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐶𝐷，𝐶𝐹平分∠𝐴𝐶𝐺， ∴∠𝐵𝐶𝐷= ∠𝐵𝐶𝐴= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷, ∠4 = ∠𝐴𝐶𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺， ∵∠𝐴𝐶𝐷+ ∠𝐴𝐶𝐺= 180°， ∴∠𝐵𝐶𝐴+ ∠𝐴𝐶𝐹= ∠4 + 𝐵𝐶𝐷= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐷+ 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺= 90° = ∠𝐵𝐶𝐹， ∴𝐶𝐵⊥𝐶𝐹，①正确； ∵𝐶𝐷∥𝐴𝐵， ∴∠4 = ∠𝐴𝐹𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= ∠𝐴𝐶𝐺= 40°，∠𝐵𝐶𝐷= ∠2， ∴∠4 = ∠𝐴𝐶𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐶𝐺= 20°， ∴∠𝐵𝐶𝐷= 90° −∠4 = 70° = ∠2， ∴∠1 = ∠2 = 70°，②正确； ∵∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°， ∴∠3 = 180° −∠1 −∠2 = 40°， ∴∠3 = 2∠4，③正确； ∵∠1 = ∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐸， ∴∠𝐴𝐶𝐸= ∠1 −∠𝐵𝐴𝐶= 30° ≠2∠4，④错误； 综上：正确的为①②③． 7． 【答案】35 【详解】解：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴= 40°，∠𝐵𝐶𝐴= 105°， ∴∠𝐵= 180° −∠𝐴−∠𝐵𝐶𝐴= 180° −40° −105° = 35°， ∵𝐶𝐸∥𝐴𝐵， ∴∠𝐸𝐶𝐷= ∠𝐵= 35°． 20 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8． 【答案】2 【详解】解：∵△𝐴𝐵𝐶的面积为16，点𝐷是𝐵𝐶的中点， ∴𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 1 2 𝑆△𝐴𝐵𝐶= 8， ∵点𝐸是𝐴𝐷的中点， ∴𝑆△𝐴𝐸𝐶= 𝑆△𝐷𝐸𝐶= 1 2 𝑆△𝐴𝐶𝐷= 4， ∵点𝐹是𝐶𝐸的中点， ∴𝑆△𝐷𝐸𝐹= 𝑆△𝐷𝐶𝐹= 1 2 𝑆△𝐷𝐸𝐶= 2， 即△𝐷𝐸𝐹（阴影部分）的面积为2． 9． 【答案】120°/120 度 【详解】解：设∠𝐴= ∠𝐵= 𝑥，根据三角形内角和定理可得∠𝐶= 180° −2𝑥， ∵∠𝐴= ∠𝐵， ∴∠𝐴与∠𝐵的差为不可能为90° 当∠𝐶−∠𝐴= 90°时， 代入得(180° −2𝑥) −𝑥= 90° 解得𝑥= 30°， ∴∠𝐶= 180° −2 × 30° = 120°，符合三角形内角定义， 当∠𝐴−∠𝐶= 90°时， 代入得𝑥−(180° −2𝑥) = 90°， 解得𝑥= 90°， ∴∠𝐶= 180° −2 × 90° = 0°，不符合三角形内角的定义，舍去， 综上所述，∠C 的度数为120°． 10． 【答案】 22.5° 180° 2𝑛 【详解】解：∵𝑎∥𝑏， ∴∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹= 180°， ∵𝐴𝐶1，𝐵𝐶1分别平分∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐹𝐵𝐴， ∴∠𝐵𝐴𝐶1 = ∠𝐸𝐴𝐶1 = 1 2 ∠𝐸𝐴𝐵，∠𝐴𝐵𝐶1 = ∠𝐹𝐵𝐶1 = 1 2 ∠𝐹𝐵𝐴， ∴∠𝐵𝐴𝐶1 + ∠𝐴𝐵𝐶1 = 1 2 (∠𝐸𝐴𝐵+ ∠𝐴𝐵𝐹) = 90° ∴∠𝐶1 = 180° −(∠𝐵𝐴𝐶1 + ∠𝐴𝐵𝐶1) = 90°， ∵𝐴𝐶2,𝐵𝐶2分别平分∠𝐸𝐴𝐶1, ∠𝐹𝐵𝐶1， ∴设∠𝐸𝐴𝐶2 = ∠𝐶1𝐴𝐶2 = 𝑥，∠𝐹𝐵𝐶2 = ∠𝐶1𝐵𝐶2 = 𝑦， 21 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐸𝐴𝐶1 = 𝐵𝐴𝐶1 = 2𝑥, ∠𝐹𝐵𝐶1 = ∠𝐴𝐵𝐶1 = 2𝑦， ∴∠𝐵𝐴𝐶2 = 2𝑥+ 𝑥= 3𝑥，∠𝐴𝐵𝐶2 = 2𝑦+ 𝑦= 3𝑦， ∵∠𝐵𝐴𝐶1 + ∠𝐴𝐵𝐶1 = 2𝑥+ 2𝑦= 90°， ∴𝑥+ 𝑦= 45°， ∴∠𝐶2 = 180° −(∠𝐵𝐴𝐶2 + ∠𝐴𝐵𝐶2) = 180° −3(𝑥+ 𝑦) = 45° 即∠𝐶2 = 1 2 ∠𝐶1 = 45° = 180° 22 ， 同理∠𝐶3 = 1 2 ∠𝐶2 = 180° 23 = 22.5°， ∠𝐶4 = 1 2 ∠𝐶3 = 11.25° = 180° 24 ， ⋯ ∴∠𝐶𝑛= 180° 2𝑛． 11． 【答案】(1)证明：如图，延长𝐸𝐹交𝐵𝐶于点H， 因为∠1 + ∠2 = 180°（已知），∠1 = ∠4（对顶角相等）， 所以∠2 + ∠4 = 180°（等量代换）， 所以𝐴𝐵∥𝐸𝐹（同旁内角互补，两直线平行）， 所以∠3 = ∠𝐴𝐷𝐸（两直线平行，内错角相等）， 又因为∠3 = ∠𝐵（已知）， 所以∠𝐵= ∠𝐴𝐷𝐸（等量代换）， 所以𝐷𝐸∥𝐵𝐶（同位角相等，两直线平行）； （2）解：因为𝐷𝐸∥𝐵𝐶（已知）， 所以∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵= 45°（两直线平行，同位角相等）． 因为∠𝐴𝐸𝐷= 55°， 所以∠𝐴= 180° −45° −55° = 80°． 12． 【答案】(1)证明：∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶， ∴∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐵𝐸， 又∵∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐸， ∴∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐸， 22 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴𝐴𝐵∥𝐸𝐹． (2)∠𝐸+ ∠𝐹= 90°， 理由：∵∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐵𝐶𝐹= 180°，∠𝐴𝐷𝐸+ ∠𝐴𝐷𝐹= 180°， ∴∠𝐴𝐷𝐹= ∠𝐵𝐶𝐹． ∴𝐴𝐷∥𝐵𝐶． ∴∠𝐵𝐴𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐶= 180°． ∵𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐹平分∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐴𝐵𝐸= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶，∠𝐵𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷． ∴∠𝐴𝐵𝐸+ ∠𝐵𝐴𝐹= 1 2 ∠𝐴𝐵𝐶+ 1 2 ∠𝐵𝐴𝐷= 1 2 (∠𝐴𝐵𝐶+ ∠𝐵𝐴𝐷) = 1 2 × 180° = 90°． ∴∠𝐸𝑂𝐹= ∠𝐴𝑂𝐵= 180° −90° = 90°． ∴∠𝐸+ ∠𝐹= 180° −∠𝐸𝑂𝐹= 90°． 13． 【详解】（1）解：如图， ∵𝐴𝑀∥𝐶𝑁， ∴∠𝐶= ∠𝐴𝑂𝐵， ∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， ∴∠𝐴+ ∠𝐴𝑂𝐵= 90°， ∴∠𝐴+ ∠𝐶= 90°； （2）解：如图， 过点𝐵作𝐵𝐺∥𝐷𝑀， ∵𝐵𝐷⊥𝐴𝑀， ∴𝐷𝐵⊥𝐵𝐺，即∠𝐴𝐵𝐷+ ∠𝐴𝐵𝐺= 90°， 又∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶， 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴∠𝐴𝐵𝐺+ ∠𝐶𝐵𝐺= 90°， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐺， ∵𝐴𝑀∥𝐶𝑁，𝐵𝐺∥𝐷𝑀， ∴𝐵𝐺∥𝐶𝑁， ∴∠𝐶= ∠𝐶𝐵𝐺， ∴∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶； （3）解：𝐵𝐸∥𝐶𝐹，理由如下， 如图， 过点B 作𝐵𝐺∥𝐷𝑀， ∵𝐵𝐹平分∠𝐷𝐵𝐶，𝐵𝐸平分∠𝐴𝐵𝐷， ∴∠𝐷𝐵𝐹= ∠𝐶𝐵𝐹，∠𝐷𝐵𝐸= ∠𝐴𝐵𝐸， 由（2）可得∠𝐴𝐵𝐷= ∠𝐶𝐵𝐺， ∴∠𝐴𝐵𝐹= ∠𝐺𝐵𝐹， 设∠𝐷𝐵𝐸= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐹= 𝛽， 则∠𝐴𝐵𝐸= 𝛼，∠𝐴𝐵𝐷= 2𝛼= ∠𝐶𝐵𝐺，∠𝐺𝐵𝐹= 𝛽= ∠𝐴𝐵𝐹， ∴∠𝐴𝐵𝐺= 𝛽+ 𝛽= 2𝛽， ∵𝐴𝐵⊥𝐵𝐶可得2𝛽+ 2𝛼= 90°， ∴𝛼+ 𝛽= 45°， ∴∠𝐸𝐵𝐹= 𝛼+ 𝛽= 45°， ∵∠𝐵𝐹𝐶= 45°， ∴∠𝐸𝐵𝐹= ∠𝐵𝐹𝐶= 45°， ∴𝐵𝐸∥𝐶𝐹．
