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分层作业
13.2.2 三角形的中线、角平分线、高
参考答案
识别三角形的高
1.𝐷
2.B
与三角形的高有关的计算问题
3.A
4. C
5. 8或2
中线分线段问题
6.B
7.解(1)：𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 1
2𝐵𝐶= 3．
（2）解：7 ― 5 < 𝐵𝐶< 7 + 5，即2 < 𝐵𝐶< 12；
∴1 < 𝐵𝐶< 6
中线分周长问题
8. (1)20
(2)2
9.5
题型01
题型02
题型03
题型04
中线平分面积问题
10.C
11.A
与角平分线有关的计算问题
12.C
13.证明：∵𝐷𝐸⊥𝐴𝐵，
∴∠𝐴𝐷𝐸= 90°，
∵∠𝐵= 90°，
∴∠𝐴𝐷𝐸= ∠𝐵，
∴𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠1，
∵∠1 = ∠𝐶，
∴∠𝐷𝐸𝐹= ∠𝐶，
∵𝐷𝐸∥𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐷𝐸𝐹，
∴𝐷𝐸平分∠𝐴𝐸𝐹．
三角形中线、角平分线、高线概念辨析问题
14.B
15.A
三角形中线、角平分线、高线综合问题
16.C
17 解：∵𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，∠𝐶= 65°，
∴∠𝐶𝐴𝐷= 90° ― ∠𝐶= 25°，
∵∠𝐷𝐴𝐸= 15°，
∴∠𝐸𝐴𝐶= ∠𝐷𝐴𝐸+ ∠𝐶𝐴𝐷= 40°，
∵𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，
∴∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐴𝐶= 80°，
题型05
题型06
题型07
题型08
∴∠𝐵= 180° ― ∠𝐵𝐴𝐶― ∠𝐶= 35°．
1．A
2.C
3. 168
25
4.13
5.9
6. 解(1)：∵𝐴𝐵= 3
2𝐴𝐶，𝐴𝐶= 10，
∴𝐴𝐵= 3
2 × 10 = 15，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为35，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 35，
∴𝐵𝐶= 35 ― 𝐴𝐵― 𝐴𝐶= 35 ― 15 ― 10 = 10，
∵𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的中线，
∴𝐵𝐷= 1
2𝐵𝐶= 5．
（2）𝐴𝐶不能等于12，
理由如下：假设𝐴𝐶能等于12，
∵𝐴𝐵= 3
2𝐴𝐶，
∴𝐴𝐵= 3
2 × 12 = 18，
∵△𝐴𝐵𝐶的周长为35，
∴𝐴𝐵+ 𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 35，
∴𝐵𝐶= 35 ― 𝐴𝐵― 𝐴𝐶= 35 ― 12 ― 18 = 5，
∴△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为5,12,18，
此时5 + 12 < 18，不满足三角形的三边关系，
∴𝐴𝐶不能等于12．
7.解：如图所示，
∵𝐴𝐵= 𝐴𝐶,𝐵𝐷是𝐴𝐶边上的中线，
∴𝐴𝐷= 𝐶𝐷= 1
2𝐴𝐶= 1
2𝐴𝐵．
当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 15
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 6
时，即
𝐴𝐵+ 1
2 𝐴𝐵= 15
𝐵𝐶+ 1
2 𝐴𝐵= 6
，
解得𝐴𝐵= 10,𝐵𝐶= 1；
当𝐴𝐵+ 𝐴𝐷= 6
𝐵𝐶+ 𝐶𝐷= 15
时，即
𝐴𝐵+ 1
2 𝐴𝐵= 6
𝐵𝐶+ 1
2 𝐴𝐵= 15
，
解得𝐴𝐵= 4,𝐵𝐶= 13，则𝐴𝐶= 4，
∵4 + 4 < 13，
∴不能组成三角形，不符合题意．
所以腰长𝐴𝐵为10．
8.解：设𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 𝑥，则𝐴𝐶= 2𝐵𝐶= 4𝑥，
∵𝐵𝐶边上的中线𝐴𝐷把△𝐴𝐵𝐶的周长分成50 和35 两部分，𝐴𝐵> 𝐵𝐶，
①当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 50，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 35时，
4𝑥+ 𝑥= 50，
解得：𝑥= 10，
∴𝐴𝐶= 4𝑥= 4 × 10 = 40，
𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 10，
∴𝐴𝐵= 35 ― 𝐵𝐷= 35 ― 10 = 25，
∴𝐴𝐵= 25 > 𝐵𝐶= 20，满足条件；
∵𝐵𝐶+ 𝐴𝐵= 20 + 25 = 45 > 𝐴𝐶= 40，满足三边关系，
∴𝐴𝐶= 40，𝐴𝐵= 25；
②当𝐴𝐶+ 𝐶𝐷= 35，𝐴𝐵+ 𝐵𝐷= 50时，
4𝑥+ 𝑥= 35，
解得：𝑥= 7，
∴𝐴𝐶= 4𝑥= 4 × 7 = 28，
∴𝐵𝐷= 𝐶𝐷= 7，
𝐴𝐵= 50 ― 𝐵𝐷= 50 ― 7 = 43，
∵𝐴𝐶+ 𝐵𝐶= 28 + 14 = 42 < 43 = 𝐴𝐵，
∴不满足三角形的三边关系，
∴不合题意，舍去，
综上：𝐴𝐶= 40，𝐴𝐵= 25．
1．C
2.3
3．6.5
4． 50或30
5．证明(1)：由题意可得：𝑆△𝐺𝐶𝐷= 𝑆△𝐺𝐵𝐷= 𝑥，𝑆△𝐺𝐵𝐹= 𝑆△𝐺𝐴𝐹= 𝑦，𝑆△𝐺𝐴𝐸= 𝑆△𝐺𝐶𝐸= 𝑧，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐷= 𝑆△𝐴𝐶𝐷，
∴2𝑦+ 𝑥= 2𝑧+ 𝑥，
∴𝑦= 𝑧，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐸= 𝑆△𝐶𝐵𝐸，
∴2𝑥+ 𝑧= 2𝑦+ 𝑧，
∴𝑥= 𝑦，
∴𝑥= 𝑦= 𝑧；
（2）证明：由（1）可得被三条中线分成的六个三角形面积相等，
∴𝑆△𝐴𝐺𝐸= 𝑆△𝐶𝐺𝐸= 𝑆△𝐶𝐷𝐺，
∵𝑆△𝐴𝐶𝐺= 𝑆△𝐴𝐺𝐸+ 𝑆△𝐶𝐺𝐸，
∴𝑆△𝐴𝐶𝐺= 2𝑆△𝐶𝐷𝐺，
∴𝐴𝐺:𝐺𝐷= 2:1，
∵𝐺为△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐺:𝐺𝐸= 𝐶𝐺:𝐺𝐷= 2:1；
（3）解：∵𝐺为△𝐴𝐵𝐶的重心，
∴𝐵𝐺:𝐺𝐸= 𝐶𝐺:𝐺𝐷= 2:1，
∵𝐵𝐸= 10，𝐶𝐷= 9，
∴𝐵𝐺=
20
3 ，𝐶𝐺= 6，
∵𝐵𝐸⊥𝐶𝐷，
∴𝑆△𝐵𝐺𝐶= 1
2𝐵𝐺⋅𝐶𝐺= 1
2 × 20
3 × 6 = 20，
∴𝑆△𝐵𝐷𝐺= 1
2𝑆△𝐵𝐺𝐶= 10．
1．B
2.2
3. 12:15:10
