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专题01 三角形的概念
（题型突破·举一反三）
题型01 三角形的识别
题型02 三角形的边、角和顶点
题型03 数三角形的个数
题型04 根据边判断三角形的形状
题型05 根据角判断三角形的形状
题型06 直角三角形
题型07 等腰三角形
题型08 三角形有关概念辨析
题型09 等腰三角形存在性问题
题型10 动点问题
▌题型01 三角形的识别
定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。
易错提醒：(1)三点共线 → 不是三角形
(2)曲线、折线围成 → 不是三角形
【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-1】下列图形中，是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-2】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1-3】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（）
A．
B．
C．
D．
▌题型02 三角形的边、角和顶点
组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角
形的内角，简称三角形的角.
【典例2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以𝐵𝐶为边的三角形有_______________，∠𝐵𝐴𝐶是
________的内角．
【变式2-1】如图，下面以𝐴𝐵为边的三角形是（ ）
A．△𝐴𝐵𝐶
B．△𝐴𝐷𝐶
C．△𝐴𝐸𝐶
D．△𝐴𝐷𝐸
【变式2-2】如图，下列说法错误的是（ ）
A．DF 是△𝐵𝐷𝐹的边
B．∠𝐹𝐵𝐶是△𝐹𝐵𝐶的内角
C．以∠𝐴为内角的三角形有3 个
D．以BC 为边的三角形有3 个
【变式2-3】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，点𝐸是垂足，点𝐷是边𝐵𝐶上的一点，连接𝐴𝐷．
(1)写出△𝐴𝐵𝐸的三个内角；
(2)在△𝐴𝐵𝐷中，∠𝐵的对边是__________；在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵的对边是__________．
(3)图中共有________个三角形，∠𝐴𝐷𝐶是哪几个三角形的公共角？
▌题型03 数三角形的个数
方法点拨：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角
形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形.
【典例3】图中以𝐴𝐵为边的三角形的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【变式3-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90°，D 是𝐵𝐶延长线上一点，𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于F，𝐷𝐹交𝐴𝐶于E，图中有
（ ）个直角三角形．
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式3-2】如图，已知点A，B 在直线a 上，点C，D，E 在直线b 上．以点A，B，C，D，E 中的任意三
点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（ ）
A．3 个
B．4 个
C．6 个
D．9 个
【变式3-3】如果依次用𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4分别表示图3 中(1)、(2)、(3)、(4)内三角形的个数，那么𝑎1 = 3,𝑎2 = 8,
𝑎3 = 15，𝑎𝑛= ______________．
▌题型04 根据边判断三角形的形状
【典例4】若△𝐴𝐵𝐶的三边长a，b，c 满足(𝑎― 𝑏)2 + |𝑏― 𝑐| = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状是（ ）
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．等边三角形
D．无法确定
【变式4-1】若𝑎,𝑏,𝑐为△𝐴𝐵𝐶的三边长，且(𝑎― 𝑏)(𝑏― 𝑐) = 0，则△𝐴𝐵𝐶一定是（ ）
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．锐角三角形
【变式4-2】已知△𝐴𝐵𝐶的三边长为𝑎，𝑏，𝑐，且满足(𝑎― 2)2 + |𝑏― 2| + |𝑐― 2| = 0，则此三角形一定是
（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．三边都不相等的三角形
【变式4-3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其
中，分类错误的是（ ）
A．①是不等边三角形
B．②是等腰三角形
C．③是等边三角形
D．②③是等边三角形
▌题型05 根据角判断三角形的形状
三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；
有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形．
【典例5】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶是直角，𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，垂足为D，点E 在线段𝐵𝐷上，找出图中的锐角三
角形、直角三角形和钝角三角形．
【变式5-1】在△ABC 中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC 是（ ）
A．钝角三角形
B．直角三角形
C．锐角三角形
D．等边三角形
【变式5-2】在一张方格图上，有一个三角形，三个顶点的位置分别是𝐴(3,3)，𝐵(8,3)，𝐶(3,6)，这是一个
(
)三角形．
【变式5-3】图中锐角三角形的个数有________
▌题型06 直角三角形
有一个角是直角的三角形是直角三角形
【典例6】如图，在锐角△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是边𝐵𝐶上的高，𝐸是线段𝐶𝐷上一点，连接𝐴𝐸，则图中的直角三角形
共有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【变式6-1】如图，已知𝑎∥𝑏，将等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶按图所示放置．若∠1 = 25°，则∠2 = ______．
【变式6-2】如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过
调查，秘密宝藏的位置P 满足条件：△𝑃𝐴𝐵为直角三角形，符合条件的P 点的个数为______个．
【变式6-3】如图，Rt △𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐴𝐶= 8，𝐵𝐶= 6，动点𝑃从𝐴出发沿𝐴𝐶以每秒2个单位向𝐶运动，
动点𝐷从𝐶出发沿𝐶𝐵以每秒1个单位向𝐵运动，𝑃、𝐷同时出发，设运动时间为𝑡秒．
(1)用含t 的式子表示𝑃𝐶、𝐶𝐷；
(2)当t 为何值时，△𝑃𝐶𝐷为等腰直角三角形？
▌题型07 等腰三角形
有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰
和底边的夹角叫作底角.三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和
腰相等的等腰三角形.
【典例7】已知等腰三角形的底边和腰长分别为12 cm和15 cm，那么这个三角形的周长为________cm ．
【变式7-1】已知△𝐴𝐵𝐶三边长𝑎,𝑏,𝑐，且满足(𝑎― 2)2 + |𝑏― 2| + |𝑐― 3| = 0，则此三角形一定是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．底边和腰不相等的等腰三角形
D．三边都不相等的三角形
【变式7-2】用一条长为15cm的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长；
【变式7-3】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰△𝐴𝐵𝐶的周长为20，
其中一边长为6，求它的“和谐比”
题型08 三角形有关概念辨析
利用各个类型三角形的定义是解题的关键
【典例8】下列说法正确的是（ ）
A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形
B．等边三角形不是等腰三角形
C．等腰三角形是等边三角形
D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形
【变式8-1】下列语句中，不属于定义的是（ ）
A．有一个角是直角的三角形是直角三角形
B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形
C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形
D．等边三角形的三条边是相等的
【变式8-2】下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三
角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的
有（ ）个
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式8-3】下列说法正确的是（ ）
①等腰三角形是等边三角形；
②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；
③等腰三角形至少有两条边相等．
A．①②
B．②③
C．①③
D．③
▌题型09 等腰三角形存在性问题
根据等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想，画图解决问题
【典例9】在方格纸中，点P、Q 都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形：
(1)在图1 中，画一个以PQ 为腰的等腰△𝐴𝑃𝑄（𝐴为格点）；
(2)在图1 中，以𝑃𝑄为腰的等腰△𝐴𝑃𝑄（𝐴为格点）共有___________个．
【变式9-1】如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点A 的坐标为(4, ― 3)且𝑂𝐴= 5，在x 轴上确定一点P，使△𝐴𝑂𝑃
为等腰三角形．则符合题意的点P 共（ ）有个．
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点𝐴( ―1,1)，𝐵( ―3,2)，点𝐶在坐标轴上，若△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，
则满足条件的点𝐶的个数为（ ）
A．2 个
B．4 个
C．7 个
D．确定不下来
【变式9-3】如图，𝑂𝑃是平角𝑀𝑂𝑁内一射线，点𝐴是𝑂𝑃上一定点，点𝐵是直线𝑀𝑁上一动点，若△𝑂𝐴𝐵是等
腰三角形，则满足条件的点𝐵的个数为______．
▌题型10 动点问题
设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题
【典例10】如图，已知△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 90°，𝐴𝐵= 8cm，𝐵𝐶= 6cm，P、Q 是△𝐴𝐵𝐶边上的两个动点，其
中点P 从点A 开始沿𝐴→𝐵方向运动，且速度为每秒1cm，点Q 从点B 开始沿𝐵→𝐶→𝐴方向运动，且速度为每
秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t 秒．从出发_____秒钟后，△𝑃𝑄𝐵第一次能形成等腰三角形？
【变式10-1】如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶= 90°，𝐶𝐴= 8cm，𝐶𝐵= 6cm，𝐴𝐵= 10cm．点𝐷为△𝐴𝐵𝐶边上的动点，
沿𝐶→𝐴→𝐵→𝐶的路径运动（再次到达𝐶点则停止运动），点𝐷的运动速度为2cm/秒，设点𝐷运动时间为𝑡秒．
（1）当点𝐷在𝐴𝐶上运动时，若𝐷𝐶= 𝐵𝐶，则𝑡= ___________；
（2）若点𝐷与△𝐴𝐵𝐶某一顶点的连线平分△𝐴𝐵𝐶的周长时𝑡的值为___________．
【变式10-2】如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 5,𝐴𝐶= 4,𝐵𝐶= 3．点𝑃从点𝐶出发，以每秒2 个单位长度的速度沿
𝐶― 𝐴― 𝐵向终点B 运动，设点𝑃运动的时间为𝑡秒(𝑡> 0)．
(1)当点𝑃在𝐴― 𝐵上运动时，𝐴𝑃的长为 （用含𝑡的代数式表示）．
(2)当△𝑃𝐴𝐶是以𝐴𝐶为腰的等腰三角形时，求𝑡的值．
(3)当𝐶𝑃将△𝐴𝐵𝐶分成的两部分的面积相等时，求𝑡的值．
(4)当点𝑃与△𝐴𝐵𝐶的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为2:3时，直接写出𝑡的值．
【变式10-3】如图，在长方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 6cm，𝐵𝐶= 8cm，点P 从点A 出发，以2cm/s的速度沿𝐴𝐵向
点B 运动，点Q 从点B 出发，以3cm/s的速度沿𝐵𝐶向点C 运动，P、Q 同时出发，运动时间为t 秒(𝑡> 0)．
(1)用含t 的代数式表示线段𝐵𝑃、𝐵𝑄的长度；
(2)当𝑡= 1时，求△𝐵𝑃𝑄的面积；
(3)当t 为何值时，△𝐵𝑃𝑄为等腰直角三角形？
