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分层作业
30.3 正多边形和圆
目 录
A 组 巩固过关
题型01 正多边形的中心角
题型02 由正多边形的中心角求边数
题型03 正多半形与圆的综合
B 组 能力进阶
C 组 思维拔高
拓展 链接中考
正多边形的中心角
1．（2026·河南商丘·二模）正方形的中心角的度数为（ ）
A．45
B．60
C．90
D．360
2．（2026·辽宁鞍山·二模）下列图形旋转60后可以与原图形重合的是（ ）
A．正六边形
B．正五边形
C．正方形
D．正三角形
3．（25-26 七年级下·河南南阳·期末）如图，是手工课上同学们制作的正五边形卡通贴纸，将正五边形绕着
它的中心O旋转
(0
360)
n
n
后，能够与原来的图形完全重合，则n 的值可以是________（写出2 个符合
题意的数值即可）．
题型01
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4．（24-25 九年级下·上海宝山·阶段检测）如果一个正多边形的外角是3度，那么它的中心角是
___________度
5．（2025·陕西西安·三模）如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若
BOC
是正n 边形的一个中心
角，则n 的值为___________．
由正多边形的中心角求边数
6．（25-26 九年级上·浙江宁波·期末）一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是40，则该正多边形边
数是（ ）
A．8
B．9
C．10
D．12
7．（25-26 九年级上·河南驻马店·期末）如图，BC 是
O
的内接正n 边形的一边，点A在
O
上，
20
BAC
=
，则n 的值为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．18
8．（25-26 七年级下·山西长治·期末）大疆航拍无人机在距地面相同的高空，沿正多边形航线飞行完成拍摄
任务，它到达正多边形的每个顶点时需要转动36才能继续沿该正多边形的边飞行，则这个正多边形的边
数为__________．
9．（24-25 九年级上·辽宁葫芦岛·期中）若正多边形的半径与边心距的夹角为20，则该正多边形的边数为
______．
题型02
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正多半形与圆的综合
10．（2026·云南昭通·模拟预测）在中国传统文化中，“六”是一个吉祥的数字，六边形因此天然承载了美好
的祝愿．如图，正六边形ABCDEF 内接于
O
，若正六边形ABCDEF 的周长为18cm，则
O
的半径为
（ ）
A．1.5cm
B．3cm
C．4cm
D．6cm
11．如图，正方形ABCD的面积为2，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形A B C D
，若
:
1: 2
AB A B
=
，则四边形A B C D
的外接圆的半径为（ ）
A．1
B．
2
C．2 2
D．2
12．如图，正五边形ABCDE 内接于
O
中，P 是劣弧BE上一点，则
DPC
的度数为______．
13．（2026·江苏泰州·二模）高港传统建筑中的“斗拱”构件蕴含有丰富的几何知识．某正方形斗拱构件的边
长为2，其内切圆的面积为______．（结果保留π）
14．（25-26 九年级上·北京·期末）如图，O为正八边形ABCDEFGH 的中心，连接AE ，以E 为圆心的圆弧
经过点D ，F ，与AE 交于点M ，连接DM ，则
EDM
的大小为_________________．
题型03
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15．如图五边形ABCDE 是
O
的内接正五边形，点M、N 分别从点B、C 开始以相同的速度在
O
上逆时
针运动，AM 与BN 交于点P．则
APN
的度数是（ ）
A．72
B．108
C．120
D．没有确定值
16．（24-25 九年级下·江西抚州·阶段检测）如图，点O 为正六边形ABCDEF 的中心，连接AC ．若正六边
形的边长为4，则点O 到AC 的距离OG 的长为（ ）
A．2 3
B．2
C．3
D．1
17．（2026·山东菏泽·二模）如图，某中学为“数学文化节”设计纪念徽章，徽章主体为边长为2cm 的正六边
形（象征六艺兼修），内接于圆形基底，其中的阴影区域代表学生成长中“被点亮的知识星火”．请计算这部
分阴影区域的面积为（ ）（结果保留π）
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A．2π
3
B．2π
C．π
6
D．6π
18．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，
O
是正五边形ABCDE 的内切圆，点M，N，F 分别是
边AE ，AB ，CD与
O
的切点，则
MFN
的度数为（ ）
A．36
B．35
C．34
D．33
19．（25-26 九年级下·山西太原·开学考试）团扇是中国汉族传统的工艺品及艺术品，起源于商代，其雏形
可追溯至战国时期的“便面”．团扇融合了绘画、书法、雕刻等艺术形式，象征团圆吉祥，承载中华传统审
美与文化内涵．如图1 是一款名为“蝶戏芳丛”的刺绣团扇扇面，其外轮廓为如图2 所示的正八边形，已知
该正八边形的中心为点O，则
1
的度数为___________．
20．（2026·云南红河·一模）五十六个民族共同组成了中华民族大家庭，如同烯分子(
)
60
C
中的微粒像足球
一样团结在一起．一个烯分子由12 个正五边形、20 个正六边形组成（如图①所示）．如图②，在正六边
形ABCDEF 中，连接BE，若
18
BE =
，则正六边形ABCDEF 的边长为（ ）
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A．6
B．9
C．12
D．18
21．（2025·陕西咸阳·二模）如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心点，连接OB
OF
、
，则
BOF
的度数
为______．
22．作图题：
(1)尺规作图：如图，已知线段AB ．求作线段AB 的垂直平分线l，交AB 于点C；（要求：保留作图痕迹，
不写作法）
(2)已知六边形ABCDEF 是以O 为中心的中心对称图形（如图），画出六边形ABCDEF 的全部图形，并写
出作法．
23．（2026·河北邢台·二模）如图，AB 和AC 分别是某一个圆内接正六边形和圆内接正方形的一边，若
1
AB = ，则下列说法不正确的是（ ）
A．该圆的半径是1
B．弦AC 的长是2
C．BC 的长为π
3
D．AB
l
是BC
l
的2 倍
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24．（2026·山东临沂·二模）如图，
O
是边长为2 的正六边形ABCDEF 的外接圆，以点F 为圆心，AF 长
为半径画弧AE ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 π
3
B．4 π
3
C．8 π
3
D．16 π
3
25．（2026·山西朔州·模拟预测）如图，圆内接正六边形的边长为6，以其各边为直径作半圆，则图中阴影
部分的面积（ ）
A．54 3
9π
−
B．27 3
4π
+
C．27 3
4π
−
D．54 3
9π
+
26．（2026·山西长治·三模）在一次奇妙的数学拼贴艺术中，艺术家发现半径为a 的正十二边形和边长为a
的小正方形的面积之间存在着一定的数量关系．那么，这个正十二边形的面积与小正方形的面积的关系为
（ ）
A．
2
S
S
=
正方形
正十二边形
B．
3
S
S
=
正方形
正十二边形
C．
4
S
S
=
正方形
正十二边形
D．无法确定
27．（25-26 七年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四个正六边形摆放在图中，顶点A，B ，C ，D ，
E ，F 在圆上，若两个小正六边形的边长均为2 ，则大正六边形的边长是（ ）
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A．(
)
2
13
1
3
+
B．
13
1
3
+
C．(
)
2
13 1
3
−
D．
13
1
3
−
28．（25-26 九年级上·河北石家庄·期末）如图，六边形ABCDEF 是正六边形，曲线
1
1
1
1
1
1
FA BC D E F …叫做
“正六边形的渐开线”，
1
FA ，
1
1
A B ，
1
1
C B ，
1
1
C D ，
1
1
D B ，
1
1
E F ，…的圆心依次按A，B ，C ，D ，E ，
F 循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当
1
AB = 时，
1
FA 的长度为________，曲线
1
1
1
1
1
1
FA BC D E F 的长度是________
29．（2026·山西长治·三模）如图是由两个正方形和一个正八边形构成的图案，其中正方形MNQP 的顶点恰
好是正八边形的四个顶点，它们依次落在正方形ABCD的对角线上，对角线AC 与BD相交于点O，正八边
形的另外四个顶点H，I，J，K 分别是正方形ABCD各边的中点，连接KI 分别交PM 和QN 于点E，F，则
AB
EF 的值为______．
30．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，点A，B，C，D，E，F 是
O
的六等分点，连接AD，DE ，点G
为弦DE 的中点，点H 为AD上一点．已知
O
的直径为4，则FGH
的周长最小值为
____________________ ．
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31．（2026·河北石家庄·一模）如图，正方形ABCD和等边三角形EFG 内接于
O
，顶点E 在
CD 上，
6 2cm
AB =
．
（1）当点E 和点D 重合时，
CDF
的度数为______；
（2）当点F 在BC 的中点时，设EF ，FG 分别交BC 于点M ，N ，DE 的长为______cm．
32．阅读与思考
下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．
关于“等边半正多边形”的研究报告
博学小组研究对象：等边半正多边形
研究思路：类比三角形、四边形，按“概念－性质－判定”的路径，由一般到特殊进行研
究．
研究方法：观察（测量、实验）－猜想－推理证明
研究内容：
【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相
邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形
（正方形除外）就是等边半正四边形，类似的，还有等边半正六边形、等边半正八边
形…
【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：
概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF 是等边半正六边形，那么
AB
BC
CD
DE
EF
FA
=
=
=
=
=
，
A
C
E
=
= ，
B
D
F
=
=，且
A
B
．
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性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：
内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．
对角线：…
任务：
(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：_____．
(2)如图3，六边形ABCDEF 是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想
BAD
与
FAD
的数量关系，并说
明理由；
(3)如图4，已知
ACE
△
是正三角形，
O
是它的外接圆．请在图4 中作一个等边半正六边形ABCDEF （要
求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．
33．（25-26 九年级上·福建厦门·期中）如图1，正方形ABCD内接于
O
，将线段BC 绕点C 顺时针旋转
得到线段CE ，其中0
90
，连接BE并延长交
O
于点F ，连接AF ，AE ，过E 作EG
CD
⊥
于点
G ，连接FG ．
(1)如图1，若E ，O，G 共线，求的值；
(2)试探究
FGE
的大小与的关系，并说明理由；
(3)当AEF
为等腰直角三角形时，求BE
BF 的值．
34．（2026·山西长治·三模）阅读与思考
尺规作图
一把直尺，一副圆规，就能开启奇妙的几何之旅．五种基本尺规作图，是构建万
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千图形的“钥匙”．不仅能完成严谨的几何证明与图形绘制，还能设计出对称精美的几何
图案．
正方形内嵌正八边形，就是其中极具代表性的经典图案．如果一个正方形里面嵌
套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称
这个正八边形内嵌于这个正方形．你能用尺规作出图1 或图2 中正方形的内嵌正八边形
吗？
初步分析：从整体特征与元素特征两个角
度回顾正八边形的性质．
（1）整体特征：具有轴对称性和旋转对称性．
（2）元素特征：各边相等，各角相等且都等于135．
深入分析：以图2 正方形内嵌正八边形为例，如图3，连接AC ，EG ，EF ，FG ，发现
的结论如下：
（1）E ，F ，G ，H 分别是正方形ABCD各边的中点；
（2）IEF
是顶角为135，底角为22.5的等腰三角形；
（3）
OEI
△
中，OE
OI
=
；
（4）___________________________．
动手作图：利用作垂直平分线和角平分线的方法作图
（1）如图4，作边AD，DC 的垂直平分线，分别交AD，BC ，AB ，CD于点E ，G ，
F ，H ；
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（2）分别作
AFE
和
AEF
的角平分线，交于点I ；利用旋转对
称性作出点J ，K ，L ；
（3）顺次连接这八个点．
∴八边形I
E FJGKHL 为正方形ABCD的内嵌正八边形．
任务：
(1)请根据“深入分析”中的条件，写出一条你发现的结论______________．
(2)类比研究图2 正方形内嵌正八边形的方法，如图5，连接AC ，BD，交于点O．线段AK 是否与线段
AO 相等，请说明理由．
(3)请根据你发现的几何结论，换一种尺规作图方式，在正方形ABCD中作出其内嵌正八边形（不写作图步
骤，保留作图痕迹）．
35．（2026·江苏南京·二模）在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动
机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示
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意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a 的正三角形ABC ，分别以A，B，C 为圆心，
以a 为半径画BC ，AC ，AB ．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形ABC ．
(1)圆弧三角形ABC 的周长为______，面积为______．（都用含a 的代数式表示）
(2)圆弧三角形ABC 运动时有何特性呢？
①如图（3），圆弧三角形ABC 沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高
点形成的图形大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
②数学家发现：圆弧三角形ABC 能在边长为a 的正方形DEFG 中转动，且始终保持与正方形的每一边都
有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C 分别在边EF ，FG 上，AC 与边DG 有
且只有一个公共点M）．求证：AB 与DE 有且只有一个公共点．
(3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a 的正方形中转动时，也能始终保持
与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法．
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36．（24-25 九年级下·广西桂林·阶段检测）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散
的条件相对集中，以达到解决问题的目的．
【探究发现】如图①，在等边三角形ABC 内部有一点,
2,
3,
1
P PA
PB
PC
=
=
= ，求
BPC
的度数．爱动
脑筋的小明发现：将线段BP绕点B 逆时针旋转60得到线段BP，连接
,
AP PP
，则
BPC
BP A
△
≌△
，然
后利用BPP
和APP
形状的特殊性求出
BPA
的度数，就可以解答这道题．
下面是小明的部分解答过程：
解：将线段BP绕点B 逆时针旋转60得到线段BP，连接
,
AP PP
．
,
60
BP
BP
P BP
=
=
，
P BP
是等边三角形，
60 ,
3
BP P
PP
PB
=
=
=
，
ABC
是等边三角形，
60 ,
ABC
BC
BA
=
=
，
ABC
ABP
P BP
ABP
−
=
−
，即
PBC
P BA
=
．
（1）请你补全余下的解答过程．
【类比迁移】
（2）如图②，在正方形ABCD内有一点P ，且
17,
2 2,
1
PA
PB
PC
=
=
= ，求
BPC
的度数．
【拓展延伸】
（3）如图③，在（2）的条件下，连接DP，若正方形ABCD的边长为2 ，则线段PD的最小值为
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________．
37．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于
O
，P 为BC 上的一点（点P 不与点C 重
合），则
CPD
的度数为（ ）
A．36
B．45
C．60
D．72
38．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距
3
OM =
，分别以
F 、C 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB ，DE 所围成的阴影部分面积是
________．
39．（2026·山东烟台·中考真题）如图，正五边形ABCDE 的边长为10，连接AC ，以AB 为直径作
O
，与
AC 交于点F ，与CB 的延长线交于点G ，则阴影部分扇形GOF 的面积为__________．
40．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在中心为O的正六边形ABCDEF 中，点G，H 分别在边AF ，CD
上，且不同于正六边形的顶点，CH
FG
=
．
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(1)证明：四边形BGEH 为平行四边形；
(2)若正六边形的边长为4，以点O为圆心，OB 为半径的扇形BOF 与正六边形形成阴影部分，求图中阴影
部分的面积．
