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21.1.2 多边形及其内角和
知识点1：多边形的内角和外角
1．（2025年云南）一个六边形的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】C
【分析】本题考查了多边形的内角和公式，掌握n边形内角和为(n−2)×180°是解题的关键．
根据多边形的内角和公式直接计算即可．
【详解】解：由题意得：(6−2)×180°=4×180°=720°，
故选：C．
2．（2023年湖南永州）下列多边形中，内角和等于360°的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据n边形内角和公式(n−2)⋅180° 分别求解后，即可得到答案
【详解】解：A．三角形内角和是180°，故选项不符合题意；
B．四边形内角和为(4−2)×180°=360°，故选项符合题意；
C．五边形内角和为(5−2)×180°=540°，故选项不符合题意；
D．六边形内角和为(6−2)×180°=720°，故选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了n边形内角和，熟记n边形内角和公式(n−2)⋅180° 是解题的关键．
3．（2025年甘肃）如图，一个多边形纸片的内角和为1620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多
边形的边数为（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了多边形内角和问题，设原多边形的边数为n，根据内角和可解得n，按图示的剪法剪去
一个内角后，新多边形的边数比原多边形的边数多1，即可解答，熟知多边形内角和公式是解题的关键．
【详解】解：设原多边形的边数为n，
则可得180(n−2)=1620，
解得n=11，
按图示的剪法剪去一个内角后，
新多边形的边数比原多边形的边数多1，为12，
故选：A．
4．（2025年宁夏）编程机器人表演中，一机器人从沙盘平面内某点出发向前直行n步后右转15°，沿转
后方向直行n步后右转15°，再沿转后方向直行n步后右转15°…，依此方式继续行走，第一次回到出发
点时，该机器人共走了 步．
【答案】24n
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边
形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
由题意可得机器人正好走了一个正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【详解】解：∵由题意可得机器人正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为：360°÷15°=24，
则第一次回到出发点时，该机器人共走了24n步，
故答案为：24n．
5．（2025年江苏扬州）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 ．
【答案】9
【分析】本题考查了正多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的外角和等于360°是解题关键．
先求出这个多边形的每个外角都是40°，再根据多边形的外角和等于360°求解即可得．
【详解】解：∵这个多边形的每个内角都是140°，
∴这个多边形的每个外角都是180°−140°=40°，
∴这个多边形的边数为360°÷40°=9，
故答案为：9．
知识点2：多边形的对角线
6．经过五边形的一个顶点最多可以画出 条对角线．
【答案】2
【分析】本题考查多边形的对角线问题，熟知过n多边形的一个顶点最多可以画(n−3)条对角线是解答的
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学科网（北京）股份有限公司关键．据此求解即可．
【详解】解：经过五边形的一个顶点最多可以画出5−3=2条对角线，
故答案为：2．
7．如果从多边形的一个顶点出发的对角线有6条，那么它的边数是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了多边形的对角线条数问题，从n(n≥3)边形的一个顶点可以引出的对角线条数为
(n−3)，据此列出方程求解即可．
【详解】解：设多边形的边数为n，则从一个顶点出发的对角线条数为(n−3)，
由题意得n−3=6，
解得n=9，
故答案为：9．
8．过某个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分成5个三角形，那么这个多边形的所有对角线条
数为（ ）．
A．4 B．6 C．14 D．20
【答案】C
【分析】本题考查多边形的概念，掌握多边形的对角线的计算公式是解题关键．
从一个顶点引出的对角线将n边形分成(n−2)个三角形，可求出n的值，然后再计算n边形的所有对角线
条数．
【详解】解：∵ 从一个顶点引出的对角线将多边形分成(n−2)个三角形，且已知分成5个三角形，
∴n−2=5，解得n=7，
n(n−3) 7×4
∴ 所有对角线条数为 = =14．
2 2
故选：C．
9．（2025年四川凉山）已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍，则从这个多边形的一个顶点处可以
引（ ）条对角线
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形外角和和内角和综合，多边形对角线条数问题，设这个多边形的边数为n，
n边形的内角和为180°⋅ (n−2)，外角和为360°，从n边形的一个顶点出发可以引(n−3)条对角线，据此
根据一个多边形的内角和是它外角和的4倍建立方程求出n的值即可得到答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
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学科网（北京）股份有限公司由题意得，180°⋅ (n−2)=360°×4，
解得n=10，
∴这个多边形是十边形，
∴从这个多边形一个顶点可以引10−3=7条对角线，
故选：B．
知识点3：正多边形
10．正十边形的每一个内角的度数为（ ）
A．120° B．135° C．140° D．144°
【答案】D
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，正多边形的外角和为360度，据此可求出正十边形一个外
角的度数，再根据正十边形一个外角的度数和一个内角的度数之和为180度即可求出答案．
360°
【详解】解：∵正十边形的一个外角的度数为 =36°，
10
∴正十边形的每一个内角的度数为180°−36°=144°，
故选：D．
11．（2025年吉林）如图，正五边形ABCDE的边AB，DC的延长线交于点F，则∠F的大小为 度．
【答案】36
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理，三角形内角和定理，多边形外角和为360度，据此可求出
∠FBC、∠FCB的度数，再利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：五边形ABCDE是正五边形，
360°
∴∠FBC=∠FCB= =72°，
5
∴∠F=180°−∠ FBC−∠FCB=36°，
故答案为：36．
12．（2025年吉林长春）图①是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图②是其表面展开图，则
∠α为 度．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】36
【分析】本题考查的是正多边形的内角与外角的问题，先求解正五边形的每一个内角为：
360°
180°− =108°，再进一步求解即可.
5
360°
【详解】解：∵正五边形的每一个内角为：180°− =108°，
5
∴∠α=360°−3×108°=36°，
故答案为：36
知识点4：用多边形镶嵌平面
13．某人到瓷砖店购买一种正多边形的瓷砖，铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
【答案】D
【分析】平面图形镶嵌的条件：判断一种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构
成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌；反之则不能．
【详解】解：因为用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个
平面图案，所以他购买的瓷砖形状不可以是正八边形．
故选：D
【点睛】本题考查正多边形，用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能
镶嵌成一个平面图案．
14．（2025年江苏镇江）用如图（1）所示的若干张直角三角形与四边形纸片进行密铺（不重叠、无空
隙），观察示意图（图（2））可知x+2y的值等于 ．
【答案】330°
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查平面图形的镶嵌和密铺，根据两个图形能够密铺，得到每个公共顶点处各角的和为360
度，如图，易得2∠3=∠4，∠3+∠4=90° ，进而得到∠3=30°，再根据公共顶点处各角的和为360度，
进而求出代数式的值即可．
【详解】解：如图，
由题意和图（2）可知：2∠3=∠4，∠3+∠4=90°
可得∠3=30°
∴x+2y=360°− ∠3=360°−30°=330°
故答案为：330°．
15．（2022年广西玉林）如图的电子装置中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六边形ABCDEF的顶
点A处．两枚跳棋跳动规则是：红跳棋按顺时针方向1秒钟跳1个顶点，黑跳棋按逆时针方向3秒钟跳1
个顶点，两枚跳棋同时跳动，经过2022秒钟后，两枚跳棋之间的距离是( )
A．4 B．2√3 C．2 D．0
【答案】B
【分析】由题意可分别求出经过2022秒后，红黑两枚跳棋的位置，然后根据正多边形的性质及含30度直
角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：∵2022÷3=674，2022÷1=2022，
∴674÷6=112⋅ ⋅ ⋅ ，⋅ ⋅2,2022÷6=337
∴经过2022秒后，红跳棋落在点A处，黑跳棋落在点E处，
连接AE，过点F作FG⊥AE于点G，如图所示：
在正六边形ABCDEF中，AF=EF=2,∠AFE=120°，
1
∴AG= AE,∠FAE=∠FEA=30°，
2
1
∴FG= AF=1，
2
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学科网（北京）股份有限公司∴AG=√AF2 −FG2=√3，
∴AE=2√3，
故选B．
【点睛】本题主要考查图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质，熟练掌握
图形规律问题、勾股定理、含30度直角三角形的性质及正多边形的性质是解题的关键．
16．看下图解答问题．
(1)小明为什么说多边形的内角和不可能是2026°？
(2)小华求的是几边形的内角和？内角和是多少度？多加的那个外角是多少度？
【详解】（1）解：∵n边形的内角和是(n−2)×180°，
∴多边形的内角和一定是180°的整数倍．
∵2026÷180=11⋯ ， ⋯46
∴小明说多边形的内角和不可能是2026°．
（2）解：2026°÷180°=11⋯ ． ⋯46°
11+2=13，
2026°−46°=1980°．
故小华求的是十三边形的内角和，内角和是1980°，多加的那个外角是46°．
17．阅读与思考
连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫做多边形的对角线．
如图所示，过多边形的一个顶点作出所有的对角线，可以把多边形分割成若干个三角形．请仔细观察下面
的图形和表格，并回答下列问题：
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学科网（北京）股份有限公司多边形的顶点数/个 4 5 6 7 8 … n
从一个顶点出发的对角线的条数/条 1 2 3 4 5 … ①_____
分割成的三角形个数/个 2 3 4 5 6 … ②_____
(1)观察探究：请仔细观察上面的图形和表格，并用含n的代数式填写表格①______，②______；
(2)n边形有n个顶点，那么所有对角线的条数可表示为______；
(3)类比应用：数学社团共有11名同学，大家约定，春节期间每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜
年．请问，按照此约定，数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
【详解】（1）∵4边形从一个顶点出发的对角线有1=4−3条，分割成的三角形有2=4−2个，
5边形从一个顶点出发的对角线有2=5−3条，分割成的三角形有3=5−2个，
6边形从一个顶点出发的对角线有3=6−3条，分割成的三角形有4=6−2个，
7边形从一个顶点出发的对角线有4=7−3条，分割成的三角形有5=7−2个，
8边形从一个顶点出发的对角线有5=8−3条，分割成的三角形有6=8−2个，
…，
∴n边形从一个顶点出发的对角线有n−3条，分割成的三角形有n−2个，
故答案为：①n−3，②n−2；
（2）当多边形的顶点数为n时，从一个顶点可以引出n−3条对角线，则n个顶点可以引出n(n−3)条对角
1
线，其中每一条都重复算了一次，因此实际的对角线条数为 n(n−3)．
2
1
故答案为： n(n−3)；
2
（3）11名学生看成是顶点数为11的多边形，每人都要给同社团的其他同学打一个电话拜年是这个多边形
1
的对角线，则由（2）可得，数学社团的同学们一共将拨打电话 ×11×(11−3)=44（个）．
2
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