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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29.1.2 过三点的圆(第1 课时 确定圆的条件) （导学案） （1）理解并掌握定理：知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”，能从“存在性”和“唯一性”两个 维度解释“确定”的含义.掌握探究方法：经历“过一点→过两点→过三点”的递进式探究过程，理解确定 圆的条件从“无数个”到“唯一”的变化规律. （2)理解共线三点不能作圆的原因：能运用垂直平分线的性质解释为什么共线三点不能确定一个圆. （3）经历“操作—观察—猜想—验证”的探究过程，体会分类讨论、从特殊到一般的数学思想，发展逻辑 推理和几何直观能力. 重点:不在同一直线上的三点确定一个圆的定理及其探究过程. 难点:对“确定”一词的深刻理解（存在性与唯一性）.为什么共线三点不能作圆的逻辑解释（利用垂直平 分线性质说明无交点）.在探究过程中，发现“圆心在垂直平分线上”这一规律，并自主归纳出作图方法. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 情境创设：多媒体展示情境——“某考古队发现一块残缺的圆形古镜边缘碎片，只有一段圆弧（如图）.工 匠师傅想要复原这面古镜的完整形状，需要知道整个圆的大小和位置.” 核心问题：要复原一个圆，最关键的是确定什么？（圆心和半径）.现在只有一段弧（即圆上的若干个点）， 至少需要几个点才能确定这个圆呢？ 复习铺垫：圆的静态定义是什么？（到定点距离等于定长的所有点组成的图形） 垂直平分线的性质是什么？（到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上） 【学法指导】 新知自研：自研课本第116-118页的内容 【学法指导】自研课本P116-118 页内容 (一)过一点作圆 活动：请学生在学案上先画一个点A.经过点A，你能画多少个圆？学生用圆规试一试，如图： 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问：这些圆的圆心有什么规律？（圆心可以是平面内任意一点，只要到点A的距离等于半径即可.） （二）过两点作圆 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 活动：在再画一个点B，经过点A和点B，你能画多少个圆？试一试. 学生操作总结归纳：可以画无数个圆. 追问1：这些圆的圆心有没有什么共同特点？（圆心到A和B的距离相等，即圆心在线段AB的垂直平分线上） 追问2：你能用尺规找出几个这样的圆心吗？（在垂直平分线上任取一点作为圆心，到A（或B）的距离为半 径画圆即可） 追问3：圆心到A、B的距离满足什么关系？（OA=OB） （三）过不在同一直线上的三点作圆 活动：在学案上画三个不在同一直线上的点A、B、C，经过这三点，你能画多少个圆？ 引导性探究： 问题1：过A、B两点的圆的圆心在哪里？（在线段AB的垂直平分线l1上） 问题2：过B、C两点的圆的圆心在哪里？（在线段BC的垂直平分线l2上） 问题3：同时满足“过A、B、C三点”的圆心，应该在哪？（在l₁和l₂的交点O处） 问题4：为什么圆心必须是l₁和l₂的交点？（因为圆心既要到A、B距离相等，又要到B、C距离相等，同时满 足这两个条件的点就是两条垂直平分线的交点） 问题5：这个交点O到A、B、C三点的距离有什么关系？（OA=OB=OC，因为O在AB的垂直平分线上，所以OA=OB； O在BC的垂直平分线上，所以OB=OC；因此OA=OB=OC） 追问6：以O为圆心，OA为半径画圆，这个圆是否一定经过A、B、C三点？（一定，因为OA=OB=OC） 追问7：这样的圆有几个？唯一吗？为什么？（只有1个，因为两条垂直平分线的交点只有一个） 师生共同归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆. 关键词解读：“确定”=“存在且唯一”.存在性：总能找到两条垂直平分线的交点O，以O为圆心到任意一 点的距离为半径画圆，该圆经过三个点. 唯一性：两条垂直平分线的交点唯一，因此这样的圆只有一个. 由上图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三 角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心，这个三角形叫作圆的内接三角形. 【自研自探】 自研课本P116-118 页内容 典型例题 例1. 如图，在ABC 中， 30 B C = = ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 (1)求作 O ，使圆心O落在BC 边上，且 O 经过A，B两点．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． (2)已知 6 BC = ，求 O 的半径． 【分析】（1）分别以A，B为圆心，大于2 AB 为半径在AB 两侧作圆弧，连接圆弧的交点，与BC 的交点为O， 以O为圆心，OB 为半径画圆即可； （2）连接OA，OA OB = 得 30 BAO = ，根据三角形外角与内角的关系求出 60 AOC = ，结合已知可得 90 OAC = ，运用30角所对的直角边等于斜边的一半求出 2 OC OB = ，最后由 6 BC = 代入求解即可． 【详解】（1）解：如图， （2）由（1）可知，连接OA OA OB = 30 B C = = 30 B BAO = = 60 AOC B BAO = + = 又 30 C = 90 OAC = 2 2 OC OA OB = = 6 BC = 2 3 6 OB OC OB OB OB + = + = = 2 OB = 故 O 的半径为：2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 第二环节 合作探究 1.讨论过一点可以画多少个圆. 2.讨论过二点可以画多少个圆. 3.讨论过不在一条直线上的三点可以画多少个圆？怎样画？ 拓展提升：1．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点、、 A B C ， 请在网格图中进行下列操作： (1)利用网格作出该圆弧所在圆的圆心D 点的位置，并写出D 点的坐标为______； (2)求出扇形DAC 的面积． 【详解】（1）解：根据网格作AB ，BC 的中垂线，这两条中垂线相交于点D ，连接AD，CD，AC ，则 点 (2,0) D ， 故答案为：(2,0) ； （2）解：由（1）图可知： 2 2 2 2 2 2 2 4 2 5, 2 4 2 5, 2 6 2 10 AD CD AC = + = = + = = + = ， 2 2 2 DA DC AC + = ， ADC 为直角三角形， 90 ADC = ， 即 D 的半径为2 5 ， ADC 的度数为90， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ( ) 2 90 2 5 5 360 ADC S = = 扇形 ． 课本课堂练习P118. 1.（2026·庐江三中课时练习）估计如图中三段弧的半径的大小关系，再用圆规检验你的结论． 【详解】解：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． ①在较大的弧上取点A、B，连接AB，使线段AB同时过三条弧，再作AB的垂直平分线CD； ②连接DE，作DE的垂直平分线交CD与点O″，则此点即为 DE 所在圆的圆心； ③连接GF，作GF的垂直平分线交CD与点O′，则O′即为中间的弧所在圆的圆心； ④连接BC，作BC的垂直平分线交CD与点O，则O即为较大的弧所在圆的圆心． 根据图形可知：最上面的弧的半径最大，最下面的弧的半径最小． 2．（2026·苏州校考）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两 条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系， (1)画出过A，B，C三点的圆的圆心P，并求出圆心P的坐标为 ． (2)求出圆的直径 【详解】（1）解：连接BC，作BC的垂直平分线，在BC的垂直平分线上找一点P，使得PC PA PB = = ，如图 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 所示，点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴点P的坐标为：( 1 2) − − ， ， 故答案为：( 1 2) − − ， ． （2）由（1）得：点P是过A，B，C三点的圆的圆心， ∴圆的直径为： 2 2 2 2 3 1 2 10 PA = + = ． 知识技能： 探究路径：过一点→过两点→过三点，从“无数个”到“唯一”的递进变化.核心定理：不在 同一直线上的三个点确定一个圆（存在性 + 唯一性）.重要结论：共线三点不能确定一个圆.作图思路：找 圆心→作两条垂直平分线→交点为圆心. 思想方法：分类讨论：分为“过一点、过两点、过三点”三种情况逐步探究.从特殊到一般：从简单情形（过 一点）开始，逐步过渡到复杂情形（过三点）.转化思想：将“确定圆”的问题转化为“确定圆心”的问题， 再转化为“找垂直平分线交点”的问题. 易错提醒：漏条件：切记“不在同一直线上”的前提，共线三点不能作圆.误判共线：在具体题目中，要善 于通过角度、坐标等条件判断三点是否共线.圆心位置：过三点的圆的圆心是两条垂直平分线的交点，不是 角平分线或其他线的交点.
