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第二十四章 圆
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
学习目标：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
4.了解反证法的证明思想.
重点：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
难点：1.理解并掌握点和圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆及其运用.
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
自 主 学
习
一、知识链接
1.一个点与一条直线有哪几种关系(画图说明)？
2.经过一点可以画多少条直线？经过两点可以画多少条直线？
课 堂 探
究
二、要点探究
探究点1：点和圆的位置关系
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
第 1 页 共 8 页问题2 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量
关系？
要点归纳：设点P到圆心的距离OP=d，⊙O的半径为r，则有：
点P在⊙O内 d＜r；
点P在⊙O上 d＝r；
点P在⊙O外 d＞r；
练一练
1.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系
是：点A在 ；点B在 ；点C在 .
2.圆心为O的两个同心圆，半径分别为1和2，若OP= ，则点P在( )
A.大圆内 B.小圆内
C.小圆外 D.大圆内，小圆外
例1 如图，已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4.
(1) 以A为圆心，4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？
(2) 若以A点为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的
取值范围？(直接写出答案)
探究点2：三角形的外接圆及外心
问题1 如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？
问题2 如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？
问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
要点归纳：不在同一直线上的三个点确定一个圆.
试一试 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆.
第 2 页 共 8 页要点归纳：1. 外接圆：⊙O叫做△ABC的外接圆， △ABC叫做⊙O的内接三角形.
2.三角形的外心
定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.
作图：三角形三边中垂线的交点.
性质：到三角形三个顶点的距离相等.
判一判 下列说法是否正确
(1)任意的一个三角形一定有一个外接圆 ( )
(2)任意一个圆有且只有一个内接三角形 ( )
(3)经过三点一定可以确定一个圆 ( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
画一画 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与
它的外心的位置关系.
试一试 某一个城市在一块空地新建了三个居民小区，它们分别为A、B、C，且三个小区不在同一直线上，
要想规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等.请问同学们这所中学建在哪个位置？你怎么确定这
个位置呢？
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24cm，O到BC的距离是5cm，求△ABC的外接圆的半径．
探究点3：反证法
思考：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
第 3 页 共 8 页要点归纳：先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾(常与公理、定理、定义或已知条件相矛
盾)，由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
例3 求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
三、课堂小结
点在圆外 d＞r；
点与圆的位置关系 点在圆上 d＝r；
点在圆内 d＜r；
过一点可以作无数个圆；
作圆 过两点可以作无数个圆；
点与圆的
过不在同一直线上的三个点确定一个圆.
位置关系
①假设命题的结论不成立
②从这个假设出发，经过推理，得出矛盾
反证法的一般步骤
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正
确.
当堂检
测
1.⊙O的半径r为5㎝，O为原点，点P的坐标为(3，4)， 则点P与⊙O的位置关系为 ( )
A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外 D.点P在⊙O上或⊙O外
2.如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
3.正方形ABCD的边长为2cm，以A为圆心2cm为半径作⊙A，则点B在⊙A ；点C在⊙A ；点D
在⊙A .
4.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外接圆半径= .
5.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C的度数是 ．
6.判断：
(1) 经过三点一定可以作圆 ( )
(2) 三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的交点 ( )
第 4 页 共 8 页(3) 三角形的外心到三边的距离相等 ( )
(4) 等腰三角形的外心一定在这个三角形内 ( )
7. 请将如图所示的破损的圆盘复原.
8.如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°，若 AC=12cm，BC=5cm，求△ABC的外接圆半径.
拓展提升：一个8×12米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为5米，你准备安装几
个? 怎样安装? 请说明理由.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.如图，点与直线的位置关系有两种：点在直线上，点在直线外
第 5 页 共 8 页2.经过一个点，可以画无数条直线，经过两点，有且只能画一条直线.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：点和圆的位置关系
问题1.如图，点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
问题2
d＜r d=r d＞r
练一练：1.圆内 圆上 圆外 2.D
典例精析
例1 解：（1）AD=4=r，故D点在⊙A上；AB=3r，故C点在⊙A外.
（2）360°，∠B>60°，∠C>60°.∴∠A+∠B+∠C>60°+60°
+60°=180°.即三角形的内角和为180°.这与∠A+∠B
+∠C>180°矛盾．假设不成立．∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
当堂检测
1.B 2.B 3.上 外 上 4.5 5.70°
6.（1）× （2）√ （3）× （4）×
7.解：方法:1．在圆弧上任取三点A、B、C；2．作线段AB、BC的垂直平分线，其交点O即为圆心；3．以点O为
圆心，OC长为半径作圆．⊙O即为所求．
第 7 页 共 8 页8.解：设Rt△ABC 的外接圆的外心为O，连接OC，则OA=OB=OC.∴O是斜边AB 的中点.∵∠C=90°，
AC=12cm，BC=5cm.∴AB=13cm，OA=6.5cm.故Rt△ABC 的外接圆半径为6.5cm.
拓展提升
如图，安装两个，将大矩形平分成两个长为8，宽为6的矩形，在两个小矩形的对角线的交点位置安装自动
喷水装置即可.
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