文档文本内容
分课时教学设计
第一课时《24.2.1点和圆的位置关系》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是人教版《义务教育教科书•数学》九年级上册（以下统称“教材”）第二
十四章“圆”24.2.1 点和圆的位置关系，内容包括：理解与掌握点和圆的位置关
系，理解三角形外接圆和三角形外心的概念.在研究点和圆的位置关系时，是从其
几何特征(交点个数)和代数特性(点到圆心的距离与半径的关系)两个角度刻画的．
因此，在探究与圆有关的位置中，点和圆的位置关系是基础．对于经过不在同一直
线上的三点作圆的问题，可以从过一点、过两点开始探究，其中体现了转化的思
想．同时，在对过一点、过两点、过不在同一直线上的三点作圆的探究，其核心都
是要明确确定圆的要素——确定圆心和半径．
学习者分析 学生前面已经掌握了圆的有关概念、性质等知识，经历过“观察一猜想一合作交流
一概括、归纳”的学习过程，体会过数形结合、分类、类比等思想方法，为本节课
学习点与圆的位置关系，在知识和方法上奠定了基础.但是本节课证明“经过同一
直线上的三个点不能确定一个圆”时采用的反证法，对学生来说理解起来较难.
教学目标 1 理解与掌握点与圆的位置关系及其运用；
2 掌握不在同一直线上的三点确定一个圆；
3 理解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
教学重点 理解与掌握点和圆的位置关系.
教学难点 对反证法的理解
学习活动设计
教师活动 学生活动
环节一：引入新课
教师活动1： 学生活动1：
东京奥运会女子十米气步枪决赛中，中国 教师提出问题，学生根据所学知识回答．教师通过
选手杨倩以251.8环摘得金牌，创造了新的 多媒体展示答案
奥运会纪录。右图是射击靶的示意图，它
是由许多同心圆(圆心相同、半径不等的圆)
构成的，你知道击中靶上不同位置的成绩
是如何计算的吗？
射击点与靶心的距离决定了它在哪个圆
内，射击点离靶心越近，
它所在的区域就越靠内，对应的环数也就
越高，射击成绩越好.
活动意图说明：通过实际问题导入新知，激发学生学习的兴趣
环节二：新知探究
教师活动2： 学生活动2：观察下图中点和圆的位置关系有哪几
种？并对这六个点进行分类？
学生在教师的引导下，发现点与圆的三种位置关系，
即点在圆上（点 B），点在圆内（点 D、点 E、点
F），点在圆外（点A、点C）．
若点A在圆内，则OA < r，
若点B在圆上，则OB = r，
学生通过图形发现数量关系：点在圆内，也就是d＜
若点C在圆外，则OC > r. r，点在圆上，也就是d＝r，点在圆外，也就是d＞r
反过来
若OA < r，则点A在圆内
若OB = r，则点B在圆上，
若OC > r，则点C在圆外.
设⊙O半径为r，点P到圆心的距离OP = d
则有：
点P在圆外 d>r；
点P在圆上 d=r；
教师提出问题，先由学生根据所学知识回答，再由教
点P在圆内 d<r. 师归纳与总结
归纳总结：
1）判断点与圆的位置关系的实质是判断点
到圆心的距离和半径的大小关系.
2）已知点到圆心的距离与半径的关系，可
以确定该点与圆的位置关系，
反过来，由点与圆的位置关系也可以确
定该点到圆心的距离与半径的关系.
3）圆的外部可以看成到圆心的距离大于半
径的点的集合；.
圆的内部可以看成到圆心的距离小于半
径的点的集合.活动意图说明：引导学生用数量关系表示图形的位置关系，教师再利用几何画板验证结论，让
学生直观感受到由形到数和由数到形，体会数形结合的数学思想
环节三：探究新知
教师活动3： 学生活动3：
平面上有一点A ，经过已知A点的圆有几
个？圆心在哪里？ 教师提出问题，学生通过画图得出：能画出无数个
圆，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的
距离.
平面上有两点A、B，经过已知点A、B的圆
有几个？圆心在哪里？
教师提出问题，学生通过画图得出：能画出无数个
圆，圆心都在线段AB的垂直平分线上
平面上有三点 A、B、C，经过已知点 A、
B 、C的圆有几个？圆心在哪里？ 教师提出问题，学生通过画图得出答案
1）经过A,B两点的圆的圆心在线段AB的垂
直平分线上.
2）经过B,C两点的圆的圆心在线段BC的垂
直平分线上.
3）经过A,B,C三点的圆的圆心应该在这两条
垂直平分线的交点O的位置.
即不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
在上面探究中，我们发现，不在同一条直线 学生观察图形，教师引导学生结合图形回答
上的三个点确定一个圆。请观察该图，
这三个点顺次连接形成的三角形和圆有什么
位置关系？
这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心
是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做
这个三角形的外心.
请做出锐角三角形、直角三角形、钝角三角
形的外接圆．这些外接圆的圆心在什么位 学生动手画图、交流、思考，得到锐角三角形、直
置？ 角三角形、钝角三角形的外接圆圆心分别在：三角
形内、斜边中点、三角形外.
锐角三角形的外心位于三角形内,
直角三角形的外心位于直角三角形斜边中点
处,
钝角三角形的外心位于三角形外.
活动意图说明：通过几何直观，问题串的方式，加深学生对三角形外接圆相关概念及性质的理解。
环节四：新知讲解
教师活动4： 学生活动4：
经过同一条直线上的三个点A，B，C能做出一个圆吗？如何证明你的结论？ 教师引导学生动手画图，发现画不出来，但是又不
能肯定，此时介绍反证法这一数学证明方法．
如图，假设经过同一直线l上的A、B、C三
点可以作一个圆.
那么点P既在线段AB的垂直平分线l 上，又
1
在线段BC的垂直平分线l 上，即点P为l 与
2 1
l 的交点，
2
而l⊥l，l⊥l，这与我们以前学过的“过
1 2
一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛
盾.所以，经过同一直线上的三点不能作圆.
上面证明“经过同一直线上的三个点不能作
圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它
不是直接从命题的已知得出结论，而是假设
命题的结论不成立(即假设经过同一直线上的
三个点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛
盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到
原命题成立.这种方法叫做反证法.
简述反证法的一般步骤？
1）假设命题的结论不成立
2）从这个假设出发，经过推理，得出矛盾 教师提出问题，先由学生根据所学知识回答，再由
教师归纳与总结
3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的
结论正确
用反证法证明平行线的性质“两直线平行，
同位角相等”. 如图，我们要证明：如果
AB∥CD，那么∠1＝∠2.
证明：假设∠1≠∠2，过点 O 作直线
A′B′，
使∠EOB′＝∠2. 学生试着解答
根据“同位角相等，两直线平行”，
可得A′B′∥CD.
这样，过点O就有两条直线AB、
A′B′都平行于CD，
这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾.
这说明假设∠1≠∠2不正确，从而∠1=∠2.
活动意图说明：通过对弧的分类，对劣弧所对圆周角与圆心位置关系的特殊情况和一般情况的分
析，感受分类证明的必要性；引导学生将一般情况化为特殊情况，渗透转化与化归的数学思想；进
一步感受三个猜想之间的逻辑关系，得到圆周角定理及其推论.
板书设计 一、过三点的圆定理
二、三角形外心的定义
三、反证法的步骤
课堂练习 【知识技能类作业】
必做题：
1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=4．以点A为圆心，r为半径
作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形．若∠ABC=45°，AC=√2，则⊙O的半
径是______．
4.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是钝角△ABC的外心，点A、B、P的
坐标分别为(1,0)，(2,5)，(4,2)，若第一象限的点C横坐标、纵坐标均为整数，则
点C的坐标为__________________．
选做题：
5.已知ΔABC中，AB=AC，求证：∠B<90°，下面写出运用反证法证明这个命
题的四个步骤：
①∴A+∠B+∠C>180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B<90°
③假设在ΔABC中，∠B≥90°
④由AB=AC，得∠B=∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
这四个步骤正确的顺序应是（ ）
A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①②
【综合拓展类作业】
6.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠APB≠∠APC。
求证：PB≠PC
课堂总结
作业设计 【知识技能类作业】
必做题：
1．用反证法证明命题钝角三角形中必有一个内角小于45°时，首先应该假设这个
三角形中（ ）
A．每一个内角都大于等于45° B．每一个内角都小于45°
C．有一个内角大于等于45° D．有一个内角小于45°
2.一个点到圆的最大距离为11 cm，最小距离为5 cm，则圆的半径为( )
A．16cm或6 cm B．3cm或8 cm C．3 cm D．8 cm
选做题：
3.如图，已知 Rt⊿ABC 中 ，若 AC=12cm，BC=5cm，求的外接圆半径。【综合拓展类作业】
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4.
(1)以点A为圆心画两个同心圆，使点B在小圆内，点C在大圆外；
(2)以点A为圆心画⊙A，设⊙A的半径为R，若点B，C，D三点中至少有一点在⊙A
内，且至少有一点在⊙A外，求R的取值范围．
教学反思 本节课从实际问题出发，引导学生探究点与圆的位置关系.学生通过动手作图，发
现点与圆的位置关系有三种：点在圆上、点在圆内、点在圆外.由圆的定义，学生
发现点与圆的位置关系与点到圆心的距离有关，从而可将位置关系转化为数量关
系.在此过程中，学生的认识从感性上升到理性，从直观感知上升到数学符号表达.
在研究几点确定一个圆的问题时，引导学生将分类思想、动手操作和逻辑推理有机
结合.类比几点确定一条直线的研究思路，由易到难，由浅入深，先研究一个点是
否能确定一个圆，依次类推.通过之前章节的学习，学生知道只有确定了圆心和半
径才可以确定一个圆，所以从寻找圆心入手，发现一个点、两个点都无法确定圆
心，因此排除.三个点有两种位置关系，需要继续分类讨论，三点在一条直线上和
三点不在一条直线上两种情况，利用反证法可以证明在同一条直线上的三点不能确
定一个圆.利用中垂线性质以及圆的定义可以证明不在同一条直线上的三点可以确
定一个圆.也就是说任何一个三角形均存在唯一一个外接圆，并且可以利用尺规作
出该外接圆.最后利用典型例题总结解答有关直线与圆位置关系的题目思路，充分
让知识得以迁移.
本节课的时间把握能力需要提高，一节课的节奏需要松紧适当、详略适中，不可拖
沓，也不可过于紧凑.
