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难点 09 与圆有关的计算常考题型
（5 大热考题型）
题型一：正多边形和圆
题型二：与弧长有关的运算
题型三：与扇形面积有关的计算
题型四：不规则图形的面积计算
题型五：与圆锥有关的计算
题型一：正多边形和圆
【中考母题学方法】
【典例1】（山东青岛·中考真题）如图，正六边形 内接于 ，点M在 上，则 的度数
为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（2023·上海·中考真题）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为
．
【变式1-1】（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形 和正五边形 内接于 ，AD和
相交于点 ，则 的度数为（ ）
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A． B． C． D．
【变式1-2】（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点 为正六边形 的中
心， 轴，点 在双曲线 为常数， 上，将正六边形 向上平移 个单位长度，
点 恰好落在双曲线上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
【变式1-3】（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆
术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至
于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率
的近似值为3.1416，如图， 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 的面积，
可得 的估计值为 ．若用圆内接正八边形近似估计 的面积，可得 的估计值为 ．
【变式1-4】（2024·山东潍坊·中考真题）【问题提出】
在绿化公园时，需要安装一定数量的自动喷洒装置，定时喷水养护，某公司准备在一块边长为 的正方
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形草坪（如图1）中安装自动喷洒装置，为了既节约安装成本，又尽可能提高喷洒覆盖率，需要设计合适
的安装方案．
说明：一个自动喷洒装置的喷洒范围是半径为 的圆面．喷洒覆盖率 ， 为待喷洒区域面积，
为待喷洒区域中的实际喷洒面积．
【数学建模】
这个问题可以转化为用圆面覆盖正方形面积的数学问题．
【探索发现】
（1）如图2，在该草坪中心位置设计安装1个喷洒半径为 的自动喷洒装置，该方案的喷洒覆盖率
______．
（2）如图3，在该草坪内设计安装4个喷洒半径均为 的自动喷洒装置；如图4，设计安装9个喷洒半
径均为3m的自动喷洒装置； ，以此类推，如图5，设计安装 个喷洒半径均为 的自动喷洒装置．
与（1）中的方案相比，采用这种增加装置个数且减小喷洒半径的方案，能否提高喷洒覆盖率？请判断并
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给出理由．
（3）如图6所示，该公司设计了用4个相同的自动喷洒装置喷洒的方案，且使得该草坪的喷洒覆盖率
．已知正方形 各边上依次取点F，G，H，E，使得 ，设 ，
的面积为 ，求 关于 的函数表达式，并求当 取得最小值时 的值．
【问题解决】
（4）该公司现有喷洒半径为 的自动喷洒装置若干个，至少安装几个这样的喷洒装置可使该草坪的喷
洒覆盖率 ？（直接写出结果即可）
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南昭通·一模）如图，正八边形内接于 ，连接 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模拟预测）如图，正六边形 和正六边形 均以点O为中心，连接
（A，G，H三点共线），若 ，则正六边形 的边长为
（ ）
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A． B．5 C． D．19
3．（2024·山西太原·模拟预测）如图，正五边形 内接于 ， 与 相切于点C，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖南益阳·模拟预测）如图，正五边形 的边长为5，以顶点 为圆心， 的长为半径画
圆，则圆与正五边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，等边三角形 和正方形 均内接于 ，若 ，则
的长为（ ）
A． B． C． D．
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6．（2024·广东·模拟预测）《墨子·天志》记载：“轮匠执其规、矩，以度天下之方圆．”知圆度方，感
悟数学之美．如图，以正方形 的对角线交点为位似中心，作它的位似图形 ，若四边形
的外接圆半径为4， ，则正方形 的周长为 ．
二、与弧长有关的运算
题型二：与弧长有关的运算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，四边形 为平行四边形，以点 为圆心， 长为半径
画弧，交 边于点E，连接 ， ， ，则 的长 （结果保留 ）．
【典例2】（2024·吉林长春·中考真题）一块含 角的直角三角板 按如图所示的方式摆放，边 与
直线 重合， ．现将该三角板绕点 顺时针旋转，使点 的对应点 落在直线 上，则点A经过
的路径长至少为 ．（结果保留 ）
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【变式2-1】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，已知正六边形 的边长为2，以点E为圆心，
长为半径作圆，则该圆被正六边形截得的 的长为 ．
【变式2-2】（2024·甘肃兰州·中考真题）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被
广泛应用，图1是陈列在展览馆的仿真模型，图2是模型驱动部分的示意图，其中 ， 的半径分别
是1cm和10cm，当 顺时针转动3周时， 上的点P随之旋转 ，则 ．
【变式2-3】（2024·山东济宁·中考真题）如图， 三个顶点的坐标分别是 ．
(1)将 向下平移2个单位长度得 ，画出平移后的图形，并直接写出点 的坐标；
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(2)将 绕点 逆时针旋转 得 ．画出旋转后的图形，并求点 运动到点 所经过的路径
长．
【变式2-4】（2024·辽宁·中考真题）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在 上，
， 在 的延长线上， ．
(1)如图1，求证： 是 的切线；
(2)如图2，若 ， ，求 的长．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·浙江温州·一模）点A、B、C在 上的位置如图所示， ， 的半径为3，则 的
长是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖南·模拟预测）如图，用一个半径为 的滑轮将物体G向上拉升，若物体G的上升速度为
，上升的时间为 ，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则图中线段 在这段时间内扫
过的面积（单位： ）是（ ）
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A． B． C． D．
3．（2024·陕西商洛·模拟预测）传统服饰日益受到关注，如图①为明清时期女子主要裙式之一的马面裙，
如图②马面裙可以近似地看作扇形的一部分，其中 的长度为 米，裙长 米，圆心角
，则 的长为（ ）
A．1米 B． 米 C．2米 D． 米
4．（2024·四川眉山·二模） 个半径均为 的硬币两两外切，如图所示，若将左边第一个硬币沿着剩下硬
币的圆周滚动一圈回到原来的位置（其余 个硬币固定不动），那么这个硬币在滚动时圆心移动的路径长
为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·内蒙古呼伦贝尔·一模）已知一弧长为 ，此弧所对圆心角为 ，则此弧所在圆的半径为
．
6．（2024·浙江温州·三模）在半径为 的圆上有一段弧，弧长是 ，则该弧所对的圆周角的度数
为 ．
7．（2024·山东济南·一模）如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图 是水车舀水灌溉示意
图，水车轮的辐条（圆的半径） 长约为 米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状
的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点 处离开水面，逆时针旋
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转 上升至轮子上方 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗
从 处（舀水）转动到 处（倒水）所经过的路程是 米．（结果保留 ）
8．（2023·四川绵阳·模拟预测）如图，正三角形的高是3厘米，正方形的边长是正三角形的2倍，木块从
图①的位置开始，沿着木桩的边缘滚动，滚动过程如图②，图③所示，木块滚动一周后回到原位置，那么
正三角形正中心的点A经过的路径长度为 ．
9．（22-23九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在 中，CD是直径，弦 ，垂足为点E，连接
AC，AD．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 的长度．
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题型三：与扇形面积有关的计算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·广东深圳·中考真题）如图，在矩形 中， ，O为 中点， ，
则扇形 的面积为 ．
【典例2】（2024·山东青岛·中考真题）如图， 是 上的点，半径 ， ，
，连接AD，则扇形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东
营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图， ，
，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角 ．现需在扇面一侧绘
制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ） ．
A． B． C． D．
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【变式3-2】（2024·河南·中考真题）如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的
中点，连接 ， ．以点D为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为
（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·河北·中考真题）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如
图，某折扇张开的角度为 时，扇面面积为 、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，若 ，
则 与 关系的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南·模拟预测）已知扇形的弧长为 ，面积为 ，则此扇形的圆心角为 度．
2．（2024·北京·三模）已知一个扇形的面积是 ，弧长是 ，则这个扇形的半径为 ．
3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：
作等边三角形 ；分别以点 ， ， 为圆心，以AB的长为半径作 ， ， ．三段弧所围成的
图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为 ，则它的面积是 ．
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4．（2024·甘肃·中考真题）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化
遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形 和扇形 有相同的
圆心O，且圆心角 ，若 ， ，则阴影部分的面积是 ．（结果用
π表示）
5．（2024·甘肃·模拟预测）鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结
构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具
的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为 的半圆形的鸳鸯玉石， 是半圆O的直径，
C，D是弧上两点， ．张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这
块扇形玉石的面积是 ．
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图， ， 是边长为2的正六边形 的对角线，以 为
圆心， 的长为半径画弧，得 ，则图中阴影部分的面积为 ．（用含 的式子表示）
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7．（2024·吉林长春·模拟预测）一个闹钟的时针长是 ，从下午1点到下午4点，时针所扫过的面积是
．
8．（广东深圳·一模）如图， 为半圆O的直径，C是半圆上一点，且 ，设扇形
弓形 的面积分别为 ，则它们的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·吉林长春·一模）如图为风力发电机的示意图，叶片 外端A到旋转中心O的距离为20米，叶
片 当前在塔筒 左侧且与塔筒夹角为 ．当叶片从当前位置顺时针旋转到点A与塔筒底端B距离最
大时，叶片 扫过的面积至少为 平方米．（结果保留 ）
10．（2024·浙江宁波·二模）如图，在网格中按要求作图并回答相应问题．
(1)在图 1 中以点 为旋转中心，作 绕点 顺时针旋转 后得到的 ；
(2)设 外接圆圆心为点 ，则在(1)的条件下，求 扫过的面积．
题型四：不规则图形的面积计算
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【中考母题学方法】
【典例1】（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形 中， ，点O是对角线 的
中点，以点O为圆心， 长为半径作圆心角为 的扇形 ，点D在扇形 内，则图中阴影部分的
面积为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【变式4-1】（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 的一个直径端点
与半圆 的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·山东威海·中考真题）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点
作 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴
影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·重庆·中考真题）如图，在矩形 中，分别以点 和 为圆心， 长为半径画弧，
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两弧有且仅有一个公共点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-4】（2024·江苏南通·中考真题）如图， 中， ， ， ， 与 相切于
点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设 上有一动点P，连接 ， ．当 的长最大时，求 的长．
【变式4-5】（2024·山东·中考真题）如图，在四边形 中， ， ，
．以点 为圆心，以 为半径作 交 于点 ，以点 为圆心，以 为半径作
所交 于点 ，连接 交 于另一点 ，连接 ．
(1)求证： 为 所在圆的切线；
(2)求图中阴影部分面积．（结果保留 ）
【中考模拟即学即练】
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1．（2024·浙江宁波·二模）如图，在矩形 中， ，F是 上一点， ，以点A为圆心
为半径画弧，交 于点 ，以F为圆心， 为半径画弧，交 于点 于点 ，则阴影部分的
面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·内蒙古包头·模拟预测）如图，已知，半圆的直径 ， 为圆心，点 是半圆上的一点，将
沿直线 折叠后的弧经过圆心 ，则图中阴影部分的面积是 ．
3．（2024·重庆·一模）如图，在 中，E为 边中点．以C为圆心，CD为半径画弧，恰好经过点
A．以C为圆心，CE为半径画弧，与AD相切于点F．若 ，则阴影部分的面积为 ．（结果保
留π）
4．（2024·山东济宁·二模）如图，在正方形网格中，点A、B、C、D均在格点上，过B，C，D的弧交
于点E，若每个正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
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5．（2024·四川广元·模拟预测）如图， 为半圆的直径，且 ，半圆绕点B顺时针旋转 ，点A旋
转到 的位置，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）．
6．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形 中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，
格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ．
7．（2025·湖北黄石·一模）如图， 内接于 ， 为直径，作 交 于点E，且
．
(1)求证：直线 是 的切线．
(2)如果 ， ，求图中阴影部分的面积．
8．（2024·湖北襄阳·一模）如图，在 中， ， 是 中点，以 为圆心， 为半径作 ，
分别交 及其延长线、 于 ， ， 点，连接 交 于点 ．
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(1)求证： 是 的切线；
(2)若 是 的中点， ，求阴影部分的面积．
题型五：与圆锥有关计算
【中考母题学方法】
【典例1】（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为 ，
圆心角θ为 ，圆锥的底面圆的半径为 ．
【典例2】（2023·湖北十堰·中考真题）如图，已知点C为圆锥母线 的中点， 为底面圆的直径，
， ，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B． C． D．
【变式5-1】（2024·江苏南通·中考真题）已知圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的侧面积
为 ．
【变式5-2】（2024·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，母线长为12，则其侧面展开扇形的圆
心角的度数为 °．
【变式5-3】（2024·江苏扬州·中考真题）若用半径为 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆
锥底面圆的半径为 ．
【变式5-4】（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形 中，以点F为圆心，以
的长为半径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
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【变式5-5】（2024·内蒙古·中考真题）如图是平行四边形纸片 ，
，点M为 的中点，若以M为圆心， 为半径画弧交对角线
于点N，则 度；将扇形 纸片剪下来围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），则
这个圆锥的底面圆半径为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024·云南红河·模拟预测）为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也
能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为 ，侧面积为 的圆锥形草帽，则
制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·模拟预测）圆锥的母线长为 ．底面圆的半径长为 ，则该圆锥的侧面积为
．
3．（2024·江苏扬州·模拟预测）圆锥的侧面展开图的面积为 ，圆锥母线与底面圆的半径之比为
，则母线长为 ．
4．（2024·宁夏银川·二模）如图，已知点C为圆锥母线 的中点， 为底面圆的直径， ，
，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ．
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5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，在 中， ， ，将 绕直
线 旋转一周，会得到一个几何体，则这个几何体的侧面积等于 ．（结果保留 ）
6．（2024·四川绵阳·三模）在直角三角形 中，已知 ， ， ，如果把该三角形绕
直线 旋转一周得到一个圆锥，则该圆锥侧面展开得到的扇形的圆心角大小是 ．
7．（2024·广东清远·模拟预测）综合与实践
主题：制作无底圆锥
素材：一张直径为 的圆形纸板，如图1．
步骤1：将圆形纸板对折，如图2，得出两个相同的半圆，并剪去一个半圆；
步骤2：如图3，在剪好的半圆纸板中，圆心为 ，直径为 ，使 与 重合，制作成一个无底的圆
锥．
猜想与计算：
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(1)直接写出圆形纸板的周长 与圆锥的底面周长 的大小关系；
(2)如图3．求圆锥母线 与圆锥高OH的夹角 的度数．
8．（2024·广东东莞·二模）【综合与实践】
主题：制作圆锥形生日帽．
素材：一张圆形纸板、装饰彩带．
步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为 的扇形．制作圆
锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料．
步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽，
(1)现在需要制作一个 ， 的生日帽，请帮忙计算出所需扇形纸板的圆心角度数；
(2)为了使（1）中所制作的生日帽更美观，要粘贴彩带进行装饰，其中需要粘贴一条从点A处开始，绕侧
面一周又回到点A的彩带（彩带宽度忽略不计），求彩带长度的最小值．
22
