文档内容
一、单选题
1．若一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．若一个多边形的每个外角都等于60°，则它的内角和等于（ ）
A．360° B．540° C．720° D．960°
3．一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是( )
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
4．若正多边形的内角和是 ，则该正多边形的一个外角为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在同一平面内，将边长相等的正方形、正五边形的一边重合，那么∠1的大小是（ ）
A． B． C． D．
6．若一个多边形的内角和与外角和之和是1800°，则此多边形是（ ）边形．
A．八 B．十 C．十二 D．十四
7．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝( )
A．140° B．180° C．220° D．320°
8．如图，在六边形 中， ， 分别平分 ，则 的
度数为（ ）A． B． C． D．
9．如图，小林从P点向西直走12m后，向左转，转动的角度为α，再走12m，如此重复，小林共走了108m回到
点P，则α=（ ）
A．40 o B．50 o C．80 o D．不存在
10．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得 1000°，则这个多边形是( )
A．六边形
B．七边形
C．八边形
D．十边形
11．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（ ）
A．180° B．360° C．270° D．540°
12．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为1800°，你知道原多边形的边数为（ ）
A．11 B．12 C．13 D．11或12或13
二、填空题
13．n边形（ ）的外角和为______________度.
14．从多边形一个顶角可作17条对角线，则这个多边形内角和是____度．
15．如果一个多边形的内角和为1260º，那么从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成
_______________个三角形．
16．多边形每一个内角都等于120°,则此多边形有____________条对角线.
17．已知一个n边形，除去一个内角α外，其余内角和等于1500°，则这 个内角α=_____°．
18．若一个正多边形的每一个外角都是40°，则这个正多边形的内角和等于 ．
19．已知一个凸多边形的内角和是它的外角和的5倍，那么这个凸多边形的边数等于_____．
20．如图，是某个正多边形的一部分，则这个正多边形是_______边形．21．若一个多边形的每一个外角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，则这个多边形是_____边形．
22．若一个多边形的内角和与外角和之和是900°，则该多边形的边数是_____．
23．如图， +∠G=________．
24．小明在计算内角和时，不小心漏掉了一个内角，其和为1160 ，则漏掉的那个内角的度数是_____________．
三、解答题
25．一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求：
（1）这个多边形是几边形？
（2）这个多边形共有多少条对角线？
26．一个多边形，除一个内角外，其余各内角之和等于2020°，求这个内角的度数及多边形的边数.
27．一个正多边形的每一个内角比每一个外角的5倍还小60°，求这个正多边形的边数及内角和．
28．如图①：线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，我们把这个图形称为“对顶三角形”，由三角形内角和
定理可知：∠A+∠B+∠AOB=∠C+∠D+∠COD，而∠AOB=∠COD，我们得到：∠A+∠B=∠C+∠D．
（1）如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数；
（2）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= °；
（3）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= °；
29．如图是一个多边形，你能否用一直线去截这个多边形，使得到的新多边形分别满足下列条件： 画出图形，把截去的部分打上阴影
新多边形内角和比原多边形的内角和增加了 ．
新多边形的内角和与原多边形的内角和相等．
新多边形的内角和比原多边形的内角和减少了 ．
将多边形只截去一个角，截后形成的多边形的内角和为 ，求原多边形的边数．
30．（1）如图（1），在 ABC 中，∠BAC=70°，点 D 在 BC 的延长线上，三角形的内角∠ABC 与外角∠ACD
的角平分线 BP，CP 相交△于点 P，求∠P 的度数.（写出完整的解答过程）
（感知）：图（1）中，若∠BAC=m°，那么∠P= °（用含有 m 的代数式表示）
（探究）：如图（2）在四边形 MNCB 中，设∠M=α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD
的角平分线 BP，CP 相交于点 P.为了探究∠P 的度数与 α 和 β 的关系，小明同学想到将这个问题转化图（1）
的模型，因此，他延长了边 BM 与 CN，设它们的交点为点 A， 如图（ 3 ）， 则∠ A= （用含有 α
和 β 的代数式表示）， 因此∠P= ．（用含有 α 和 β 的代数式表示）
（拓展）：将（2）中的 α+β＞180°改为 α+β＜180°，四边形的内角∠MBC 与外角∠NCD 的角平分线所在的直线
相交于点 P，其它条件不变，请直接写出∠P＝ ．（用 α，β的代数式表示）参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°，列式求解即可．
【详解】
设这个多边形是n边形，根据题意得，
（n﹣2）•180°＝900°，
解得n＝7．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
先根据多边形外角和定理求出该多边形的边数，再根据多边形内角和定理求解即可．
【详解】
∵一个多边形的每个外角都等于60°
∴该多边形的边数
∴该多边形的内角和
故答案为：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和问题，掌握多边形外角和定理、多边形内角和定理是解题的关键．
3．D
【解析】
【分析】
先设这个多边形的边数为n，得出该多边形的内角和为（n-2）×180°，根据多边形的内角和是外角和的4倍，列
方程求解．
【详解】
解：设这个多边形的边数为n，则该多边形的内角和为（n-2）×180°，
依题意得（n-2）×180°=360°×4，
解得n=10，
∴这个多边形的边数是10．故选：D．
【点睛】
本题主要考查了多边形内角和定理与外角和定理，多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数），而多边形的
外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和始终为360°．
4．C
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式 求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的 ，依此可以求出
多边形的一个外角．
【详解】
正多边形的内角和是 ，
多边形的边数为
多边形的外角和都是 ，
多边形的每个外角
故选 ．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．
5．C
【解析】
【分析】
的度数是正五边形的内角与正方形的内角的度数的差，根据多边形的内角和定理求得角的度数即可得出结果．
【详解】
解： 正五边形的内角的度数是 ，
又 正方形的内角是 ，
；
故选：C．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理、正方形的性质，求得正五边形的内角的度数是关键．
6．B
【解析】
【分析】任意多边形的一个内角与相邻外角的和为180°，然后根据题意可求得答案．
【详解】
∵多边形的一个内角与它相邻外角的和为180°，
∴1800°÷180°=10.
故选B.
【点睛】
此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握其定理和运算公式.
7．C
【解析】
【分析】
根据∠A+∠B＝220°，可求∠A、∠B的外角和，再根据多边形外角和360°，可求∠1+∠2+∠3的值．
【详解】
解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．
根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．
故选C．
【点睛】
本题主要考查多边形的外角和公式，内外角的转化是解题的关键．
8．A
【解析】
【分析】
由多边形内角和定理求出∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝720°①，由角平分线定义得出∠BCP＝∠DCP，
∠CDP＝∠PDE，根据三角形内角和定理得出∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，得出2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，
由①和②即可求出结果.
【详解】
在六边形 A BCDEF中，
∠A+∠B+∠E+∠F+∠CDE+∠BCD＝(6-2)×180°＝720°①，
CP、DP分別平分∠BCD、∠CDE，
∠BCP＝∠DCP，∠CDP＝∠PDE，
∴ ∠P+∠PCD+∠PDE＝180°，
2(∠P+∠PCD+∠PDE)＝360°，
∴即2∠P+∠BCD+∠CDE＝360°②，
①-②得:∠A+∠B+∠E+∠F-2∠P＝360°，
即 2∠P＝360°，
α-∠P= -180°，
∴ α
故选:A.
【点睛】
本题考查了多边形内角和定理、角平分线定义以及三角形内角和定理;熟记多边形内角和定理和三角形内角和定理
是解题关键.
9．A
【解析】
试题解析：∵108÷12=9，
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个9边形，
∴α=360°÷9=40°．
故选A．
10．C
【解析】
【分析】
根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得1000度．则内角和是（n-2）•180°与1000°的差
一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n-2）•180° 1000°，多边形的边数n一定是最小的整数值即可，
【详解】
解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2）•180° 1000°，
解得：n 7 ，
则多边形的边数n=8；
故选C.
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
11．B
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质，可得∠DOF与∠E、∠OFE的关系，∠DOF、∠OGC、∠D的关系，根据多边形的内角
和公式，可得答案．
【详解】
如图，设AF、ED相交于点O，延长AF交DC于点G．由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得：∠DOF=∠E+∠OFE，∠OGC=∠DOF+∠D．
由等量代换，得：∠OGC=∠E+∠OFE+∠D，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠OFE=∠A+∠B+∠OGC+∠C=（4﹣2）
×180°=360°．
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质及三角形的外角和，熟知三角形的外角和是360度是解答此题的关键．
12．D
【解析】
【分析】
先根据多边形的内角和公式（n−2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再根据截去一个角后边数增加1，不
变，减少1讨论得解．
【详解】
解：设多边形截去一个角后的边数为n，
则（n−2）•180°＝1800°，
解得n＝12，
∵截去一个角后边上可以增加1，不变，减少1，
∴原来多边形的边数是11或12或13．
故选D．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，本题难点在于多边形截去一个角后边数有增加1，不变，减少1三种情况．
13．360°
【解析】
分析：根据任意多边形的外角和都等于360°回答即可.
详解：n边形（ ）的外角和为360度.
故答案为360°.
点睛：本题考查了多边形的外角和，熟练掌握任意多边形的外角和都等于360°是解答本题的关键.
14．3240°
【解析】【分析】
从多边形一个顶点可作17条对角线，则这个多边形的边数是20．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，代入
公式就可以求出内角和．
【详解】
（20-2）•180°=3240°，
所以这个多边形的内角和为3240°．
故答案是：3240°.
【点睛】
考查了多边形的内角和公式，多边形的对角线的公式，求出多边形的边数是解题的关键．
15．7
【解析】
【分析】
首先根据多边形内角和公式可得多边形的边数，再计算分成三角形的个数．
【详解】
解：设此多边形的边数为 ，由题意得： ，
解得； ，
从这个多边形的一个顶点引对角线，可以把这个多边形分成的三角形个数：9-2=7，
故答案为：7．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角，关键是掌握多边形的内角和公式 ．
16．9
【解析】
【分析】
多边形的每一个内角都是120 , 则每个外角是60 .多边形的外角和360 , 这个多边形的每个外角相等, 因而用
360 除以外角的度数, 即可得到多边形的边数, 然后根据多边形的边数与对角线之间的关系求解.
【详解】
解: 根据题意得: 360 (180 -120 )=360 60 =6, 所以六边形的对角线数: = =9
故答案为:9.
【点睛】本题主要考查了多边形内角与外角以及多边形的外角与边数之间的关系, 根据多边形的外角和求多边形的边数是常
用的一种方法,需要熟记.
17．120
【解析】
∵1500°÷180°=8…60°，
∴去掉的内角为180°﹣60°=120°，
故答案为120．
18．1260°
【解析】
∵一个多边形的每个外角都等于40°，
∴多边形的边数为360°÷40°=9，
∴这个多边形的内角和=180°×（9-2）=1260°
19．十二
【解析】
【分析】
根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可．
【详解】
解：设这个多边形是n边形，
根据题意得，（n﹣2）•180°＝5×360°，
解得n＝12．
故答案为：十二．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键．
20．十
【解析】
分析：
根据正多边形的每个外角都相等，且凸多边形的外角和为360°进行解答即可.
详解：
由题意可得：该正多边形的边数为：360°÷36°=10.
即该多边形是：十边形.
故答案为：十.
点睛：（1）正多边形的每个外角相等；（2）凸多边形的外角和都为360°.
21．正五
【解析】【分析】
首先设多边形的内角为x，则它的外角为 x，根据多边形的内角与它相邻的外角互补可得方程x+ x=180，即可
求出答案．
【详解】
解：根据题意，一个多边形的每一个外角都相等，
∴这个多边形是正多边形，
设多边形的内角为x，则它的外角为 x，
∴x+ x=180°，
解得： ，
∴外角为 ，
∴边数为 ，
∴这个多边形是正五边形．
故答案为：正五．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出多边形的外角度数．
22．5
【解析】
【分析】
先根据已知条件以及多边形的外角和是360°，解出内角和的度数，再根据内角和度数的计算公式即可求出边数．
【详解】
解：∵多边形的内角和与外角和的总和为900°，多边形的外角和是360°，
∴多边形的内角和是900﹣360＝540°，
∴多边形的边数是：540°÷180°+2＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n边形
的内角和为：(n-2) ×180°， n边形的外角和为：360°．
23．540°
【解析】【分析】
连接EF，通过三角形内角和定理和等量代换得出 ，从而利用五边形内角和即可得出
结果．
【详解】
连接EF，
五边形内角和为 ，
，
，
故答案为：540°．
【点睛】
本题主要考查多边形内角和，能够将所求角的和转化到一个五边形内是解题的关键．
24．100°
【解析】
【分析】
根据n边形的内角和是（n-2）•180°，少计算了一个内角，结果得1160 ，可以解方程（n-2）•180°≥1160 ，
由于每一个内角应大于0°而小于180度，则多边形的边数n一定是最小的整数值，从而求出多边形的边数，内角
和，进而求出少计算的内角．
【详解】
解：设多边形的边数是n．
依题意有（n-2）•180°≥1160°，
解得：
则多边形的边数n=9；
九边形的内角和是（9-2）•180=1260度；则未计算的内角的大小为1260-1160°=100°．
故答案为：100°
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和定理，正确确定多边形的边数是解题的关键．
25．（1）n＝10；（2）35条．
【解析】
【分析】
（1）根据多边形的内角和公式和外角和是360°列方程求解即可；
（2）根据多边形的对角线条数公式计算即可.
【详解】
解：（1）设这个多边形是n边形，则
（n﹣2）•180°＝4×360°，
解得n＝10，所以这个多边形是十边形.
（2）10×（10﹣3）÷2＝35（条）．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和和外角和以及多边形的对角线条数公式，熟练掌握以上知识是解题的关键.
26．内角140度；十四边形.
【解析】
【分析】
设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可．
【详解】
设这个内角度数为x°，边数为n，
则(n-2)×180-x=2020，
180•n=2380+x，
∵n为正整数，
∴n=14，
∴去掉角度数为180°×(14-2)-2020°=140°，
所以这个内角的度数为140度，多边形的边数为14.
【点睛】
本题主要考查多边形内角和公式的灵活运用，解题的关键是找到相应度数的等量关系．注意多边形的一个内角一
定大于0度，并且小于180度．
27．这个正多边形的边数是9，内角和是1260°．
【解析】
【分析】设这个正多边的外角为x，则内角为5x﹣60，根据内角和外角互补可得x+5x﹣60＝180，解可得x的值，再利用外
角和360°÷外角度数可得边数，根据内角和公式：（n﹣2）×180°计算内角和即可．
【详解】
设这个正多边的外角为x，则内角为5x﹣60°，
由题意得：x+5x﹣60＝180，
解得：x＝40，
360°÷40°＝9．（9﹣2）×180°＝1260°
答：这个正多边形的边数是9，内角和是1260°．
【点睛】
此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数．
28．（1）180°；（2）360°；（3）540°
【解析】
【分析】
（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E，根据等量代换和三角形内角和即可求解；
（2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F，根据等量代换和四边形内角和即可求解；
（3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D，根据等量代换和五边形内角和即可求解．
【详解】
解：（1）连接BC，如图1，可知：∠EBC+∠DCE=∠D+∠E
∴∠A+∠ABE+∠ACD+∠D+∠E
=∠A+∠ABE+∠ACD+∠EBC+∠DCE
=∠A+∠ABE+∠EBC+∠ACD+∠DCE
=∠A+∠ABC+∠ACE
=180°
（2）连接AD，如图2，可知：∠EDA+∠FAD=∠E+∠F
∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F
=∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠EDA+∠FAD
=∠BAD+∠B+∠C+∠CDA
四边形内角和：（4-2）×180°=360°，
∴∠FAB+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F =360°
故答案为：360°（3）连接CF，如图3，可知：∠DCF+∠EFC=∠E+∠D
∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G
=∠A+∠B+∠BCD+∠DCF+∠EFC +∠EFG+∠G
=∠A+∠B+∠BCF+∠CFG+∠G
五边形内角和：（5-2）×180°=540°，
∴∠A+∠B+∠BCD+∠D+∠E+∠EFG+∠G =540°，
故答案为：540°
【点睛】
本题考查多边形内角和，解题的关键是根据题中给出的思路，用等量代换将要求的角转化在同一个多边形内，根
据多边形的内角和求解即可．
29．（1）作图见解析；（2）15，16或17．
【解析】
【分析】
（1）①过相邻两边上的点作出直线即可求解；
②过一个顶点和相邻边上的点作出直线即可求解；
③过相邻两边非公共顶点作出直线即可求解；
（2）根据多边形的内角和公式先求出新多边形的边数，然后再根据截去一个角的情况进行讨论．
【详解】
如图所示：
设新多边形的边数为n，
则 ，解得 ，
若截去一个角后边数增加1，则原多边形边数为15，
若截去一个角后边数不变，则原多边形边数为16，
若截去一个角后边数减少1，则原多边形边数为17，
故原多边形的边数可以为15，16或17．
【点睛】
本题主要考查了多边形的内角和公式，注意要分情况进行讨论，避免漏解．
30．（1）35°；感知： m°，探究：α+β-180°， （α+β）-90°；拓展：90°- α- β
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠CBP= ∠ABC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平
分线的定义表示出∠DCP，然后整理即可得到∠P= ∠A，代入数据计算即可得解．
[感知]求∠P度数的方法同（1）
[探究] 添加辅助线，利用（1）中结论解决问题即可；根据四边形的内角和定理表示出∠BCN，再表示出∠DCN，
然后根据角平分线的定义可得∠PBC= ∠ABC，∠PCD=∠DCN，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和可得∠P+∠PBC=∠PCD，然后整理即可得解；
拓展：同探究的思路求解即可
【详解】
（1）∵BP平分∠ABC，
∴∠CBP= ∠ABC，
∵CP平分 ABC的外角，
△
∴∠DCP= ∠ACD= （∠A+∠ABC）= ∠A+ ∠ABC，
在 BCP中，由三角形的外角性质，∠DCP=∠CBP+∠P= ∠ABC+∠P，
△
∴ ∠A+ ∠ABC= ∠ABC+∠P，∴∠P= ∠A= ×70°=35°．
感知：由（1）知∠P= ∠A
∵∠BAC=m°，
∴∠P= m°，
故答案为： m°，
探究：延长BM交CN的延长线于A．
∵∠A=180°-∠AMN-∠ANM=180°-（180°-α）-（180°-β）=α+β-180°，
由（1）可知：∠P= ∠A，
∴∠P= （α+β）-90°；
故答案为：α+β-180°， （α+β）-90°；
[拓展] 如图③，延长MB交NC的延长线于A．
∵∠A=180°-α-β，∠P= ∠A，
∴∠P= （180°-α-β）=90°- α- β
故答案为：90°- α- β【点睛】
本题考查三角形综合题，三角形内角和定理、四边形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问
题，学会利用已知结论解决问题.
