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第一章 三角形的证明及其应用
【知识点01】三角形的内角和定理与外角和定理
1.三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180°.2.证明思路（一种经典证法）：过三角形的一个顶点作对边的平行线，利用同位角、内错角相等的性质，
将三个内角转化成一个平角（180°）.
3.三角形外角定义： 三角形每个顶点处，一个内角的两条边中的一条反向延长，与另一条边所夹的角称
为该顶点的一个外角.每个顶点有两个外角（它们相等，因为是对顶角），通常我们讨论的是三个顶点各
取一个外角（共三个）.
4.三角形外角和定理：三角形的三个外角（每个顶点取一个）的和等于 360°.
【知识点02】多边形的概念及内外角
1．多边形定义：在平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做多边形．其中，
各个角相等、各条边相等的多边形叫做正多边形．
2．相关概念：
边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．
顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．
内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角.
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
凹多边形
凸多边形
3.多边形的分类:画出多边形的任何一边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个
多边形就是凸多边形，如果整个多边形不在直线的同一侧，这个多边形叫凹多边形．如图：
特别说明： (1)正多边形必须同时满足“各边相等”，“各角相等”两个条件，二者缺一不可；
n(n3)
(2)过n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，n边形对角线的条数为 ；
2
(3)过n边形的一个顶点的对角线可以把n边形分成(n-2)个三角形．
4.多边形内角和：n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．
特别说明： (1)内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和求其边数；
(n2) 180°
(2)正多边形的每个内角都相等，都等于 ；
n
5.多边形的外角和：多边形的外角和为360°．
特别说明：(1)在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的
外角和恒等于360°，它与边数的多少无关；
360°
(2)正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 ；
n
(3)多边形的外角和为360°的作用是：①已知各相等外角度数求多边形边数；②已知多边形
边数求各相等外角的度数．
【知识点03】等腰三角形
1．等腰三角形的性质
性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）．
等腰三角形的其他性质：
（1）等腰三角形两腰上的中线、高分别相等．（2）等腰三角形两底角的平分线相等．
（3）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．
（4）当等腰三角形的顶角为90°时，此等腰三角形为等腰直角三角形，它的两条直角边相等，两个
锐角都是45°．
2．等腰三角形的判定
（1）定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形；
（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．
【注意】
（1）“等角对等边”不能叙述为：如果一个三角形有两个底角相等，那么它的两腰也相等．因为在
没有判定出它是等腰三角形之前，不能用“底角”“腰”这些名词，只有等腰三角形才有“底
角”“腰”．
（2）“等角对等边”与“等边对等角”的区别：由两边相等得出它们所对的角相等，是等腰三角形
的性质；由三角形有两角相等得出它是等腰三角形，是等腰三角形的判定．
【知识点04】等边三角形
1．等边三角形及其性质
等边三角形的概念：三边都相等的三角形是等边三角形．
等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
【注意】
（1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质．
2．等边三角形的判定
（1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形．
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形．
（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
3．含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
【注意】
（1）该性质是含30°角的特殊直角三角形的性质，一般的直角三角形或非直角三角形没有这个性质，
更不能应用．
（2）这个性质主要应用于计算或证明线段的倍分关系．
（3）该性质的证明出自于等边三角形，所以它与等边三角形联系密切．
（4）在有些题目中，若给出的角是15°时，往往运用一个外角等于和它不相邻的两个内角的和将15°
的角转化后，再利用这个性质解决问题．
【知识点05】线段垂直平分线
1．线段垂直平分线的定义及其性质
（1）线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
（2）性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线
段AB的垂直平分线上，则PA=PB．（3）判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．书写格式：如图所示，若
PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．
【知识点06】角的平分线的性质
1．作已知角的平分线
用尺规作已知角的平分线．已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线．
作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．
（2）分别以点M，N为圆心，大于1/2MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点
C．
（3）画射线OC．射线OC即为所求．
如图所示：
★作图依据：构造△OMC≌△ONC（SSS）．
2．角的平分线的性质
内容：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【提示】
（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；
（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；
（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；
（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推
导其他结论．
3．角的平分线的判定
（1）内容：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
（2）角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，
角的外部的点不会在角的平分线上．
【知识点07】最短路问题
（1）求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点
即为所求的位置．
（2）求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称
点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．易错点1 多边形截角后的边数或内角和问题
**易错总结**
1. **截法考虑不全**：只想到一种截法（过顶点），忽略不过顶点、过两个顶点等多种情况，导致边数变
化漏解。
2. **内角和公式误用**：截角后误用原多边形内角和公式计算，忘记内角和随边数改变。
3. **图形想象错误**：对“截去一个角”理解偏差，误以为边数必然减少1。
**注意事项**：
- **分类讨论截法**：沿对角线截（边数+1）、过顶点截（边数不变）、不过顶点截（边数-1）。
- **先定边数再算角**：根据截法确定新多边形边数，再代入(n-2)×180°计算。
- **画图辅助分析**：复杂情况务必画图验证边数变化。
【例1】（24-25八年级上·湖北荆州·期末）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是
，则原来多边形的边数是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或 或
【答案】D
【知识点】多边形截角后的内角和问题
【分析】先根据多边形的内角和公式 求出截出一个角后的多边形的边数，再根据截出一个角后
边数增加 ，不变，减少 讨论得解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为 ，
则 ，
解得 ，
多边形截去一个角后边数有增加 ，不变，减少 ，
原来多边形的边数是 或 或 ．
故选： ．
【变式】1.（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）一个多边形截去一个角后，形成的多边形的内角和是其
外角和的5倍，则原来多边形的边数是（ ）
A．12 B．13 C．12或13 D．11或12或13
【答案】D
【知识点】多边形截角后的内角和问题【分析】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以
不变、增加或者减少．先根据多边形的内角和公式 求出截去一个角后的多边形的边数，再分情
况说明求得原来多边形的解．
【详解】解：设多边形截去一个角的边数为 ，根据题意得：
又 截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，
原多边形的边数为11或12或13．
故选：D．
【变式】2.（24-25八年级上·贵州安顺·期末）将一个五边形纸片，剪去一个角后得到另一个多边形，则得
到的多边形的内角和是（ ）
A． B． C． 或 D． 或 或
【答案】D
【知识点】多边形内角和问题、多边形截角后的内角和问题
【分析】本题考查了多边形的内角和，找出五边形纸片剪去一个角出现的情况，再根据 边形内角和公式
得出多边形的内角和，即可解题．
【详解】解：如图，将一个五边形沿虚线裁去一个角后得到的多边形的边数是 或 或 ，
其中四边形内角和为 ，五边形内角和为 ，六边形内角和为 ，
得到的多边形的内角和是 或 或 ，
故选：D．
易错点2 等腰（等边）三角形的性质与判定多结论问题
**易错总结**1. **判定条件混淆**：用“三线合一”逆推等腰时，忽略条件(如中线+高线→等腰需同一条线)。
2. **分类讨论遗漏**：已知等腰未指明腰底时，漏解(如顶角/底角、腰长/底边多种情况)。
3. **性质滥用出错**：误将等腰结论用于非等腰三角形，如随意用“三线合一”。
4. **等边判定片面**：只证两边相等或只证一角60°就断言等边，忽视条件完备性。
**注意事项**：
- **分情况讨论**：腰与底、顶角与底角不明确时，列全所有可能。
- **条件要对应**：用等腰性质时，确认三角形已证为等腰。
- **等边三条件**：三角相等、三边相等、或等腰+一角60°。
【例2】（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在 和 中， ， （
）， ，直线 ， 交于点 ，连接 ，下列结论：① ，②
，③ ，④ ，其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
先证明 ，即可证明 ，得到 ， ，从而判断
①②；设 与 的交点为 ，如图所示，由外角性质得到 ，从而判断
③；无法判定 与 的相等关系，即 不确定，进而判断④．
【详解】解：在 和 中， ， （ ）， ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
， ，故①正确，符合题意；
，
故②正确，符合题意；
设 于 的交点为 ，如图所示：
在 中，由三角形外角的性质可得， ，
在 中由三角形外角的性质可得 ，
，
② ，
，
即 ，
故③正确，符合题意；
① ， ，
要验证 ，
只需要验证 ，即可以验证 ，
结合题中条件以及前面得到的结论，仍无法判定 与 的相等关系，
故④不一定正确，不符合题意；
综上所述，正确结论有①②③，共3个，
故选：C．
【变式】1．（25-26八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在 ， 中， ，
， ，C，D，E三点在同一条直线上，连接 ．以下四个结论：① ；②
；③ ；④ ．其中错误的个数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握考查的知识点是
解题的关键．
先证明 和 为等腰直角三角形，推出 ，再证明 ，运用全等
的性质即可解题．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ 和 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，故①正确，不符合题意；
∴ ，
∵ ，
∴ ，故②正确，不符合题意；
∵ ，
，
，
，
，
∴ ，
∴ ，故③正确，不符合题意；
∵如图，延长射线 交 于点 ，∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故④正确，不符合题意；
综上，符合题意共 个．
故选：A．
【变式】2．（25-26八年级上·四川乐山·期末）如图，在 中， ， 于点 ，
平分 ，且 于点 ，与 相交于点 ， 是 边的中点，连接 ，与 相交于点 ．
下列结论：① ；② ；③ 、 都是等腰三角形；④ ．其中正确
结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①根据三角形的内角和定理求出 ，推出 ，根据 证出 即可
得出结论；
②由①得出 ，再由BF平分 和 通过 证得 ，即得
，连接 ，由 是 边的中点和等腰直角三角形 得出 ，再由直角
得出 ，从而得出 ， ， 的关系；
③根据角平分线的定义可得 ，根据等角的余角相等求出 ，再根据等角对等边可
得 ，从而得证 是等腰三角形，根据已知条件可得出 ，再证出， ，即可得证出 ，从而得证
是等腰三角形；
④根据已知条件只能得到 是 的中点， ，不能证得 一定成立．
【详解】解：①∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
在 和 中 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；故①正确；
②由①知： ，
∵ 平分 ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ；如图，连接 ．
∵ ， 是 边的中点，
∴ 是 的中垂线，
∴ ．
在 中有： ，
∴ ．故②正确；
③∵ 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∵ ， ，
∴ ， ．
∵ ，由点 是 的中点，
∴ 是 的垂直平分线．
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形，
∴ 、 都是等腰三角形，故③正确；
④根据已知条件只能得到 是 的中点， ，不能证得 一定成立，故④不一定正确 ．
综上所述，正确的结论有3个．
故选：C．易错点3 等腰（等边）三角形中的多解题问题
**易错总结**
1. **腰底不明确**：已知两边未指明腰底，或已知一角未指明顶底角时，遗漏分类讨论。
2. **图形位置单一**：点在线段上、延长线上等不同位置导致多解，常漏掉一种。
3. **忽略隐含条件**：三角形内角和、边角对应关系在分类时被忽视，导致无效解。
4. **等边特殊情况**：等边三角形三边三角相等，但分类时仍按等腰处理易漏解。
**注意事项**：
- **按元素分类**：边分腰与底，角分顶角与底角。
- **考虑点位置**：动点问题考虑在线段上、延长线上等情况。
- **验证合理性**：求出的解需满足三角形三边关系、内角和定理。
- **画图辅助**：每种情况画出草图，避免抽象思维遗漏。
【例3】（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图，在 中， ， ， ，动点
在边 上运动，连接 ，将 沿 向上折叠，得到 ，其中点 落在点 处， 交
于点 ，当 是直角三角形时， 的长是 ．
【答案】 或
【分析】本题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变
换的性质，含30度角的直角三角形性质，分类讨论，是解题关键．
由折叠的性质得： ， ，然后分两种情况： ， ，即可
求解．
【详解】解：由折叠的性质得： ， ，
如图1， 为直角三角形，且 ，
， ， ，，
，
∴ ，
∴ 为等边三角形，
，
，
；
如图2， 为直角三角形，且 ，则 ，
，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
；
综上所述，当 为直角三角形时， 的长度为 或 ．
【变式】1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，已知 是等边三角形，点 是 内的一点，
， ，以 为边作等边 ，连接 ．当 是等腰三角形时， 的度数为
．
【答案】 或 或【分析】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键；先
求出 ， ， ，分三种情况讨论：① ，则 ，
② ，则 ，③ ，则 ，分别求出α的角度即可．
【详解】解： 和 是等边三角形，
， ， ， ，
，
，
在 和 中，
，
，
，
，
， ， ，
当 时，
，
；
当 时，
，
，
，
当 时，
，
，
．
故答案为： 或 或 ．
【变式】2．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在 中， ， ， ，
动点 从点 出发，沿射线 以每秒2个单位长度的速度运动，设运动的时间为 秒，连接 ，当为以 为腰的等腰三角形时， 的值为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了含 角的直角三角形的性质与等腰三角形的分类讨论，解题的关键是先求出AB和
BC的长度，再分两种等腰情况（ 和 ）进行计算．
先在 中，由 、 得 ， ；再分 和 两种情况：当
时， ，可得 ；当 时，由等腰三角形三线合一得 ，可得 ．
【详解】解：在 中，
∵ ， ， ，
∴ ， ．
∵ 点 速度为每秒 个单位，运动时间为 秒，
∴ ．
分两种情况：
情况一：当 时： ，解得 ．
情况二： 当 时，
∵ ，
∴ ， ．解得 ．
故答案为： 或 ．
易错点4 等腰（等边）三角形的性质与判定综合问题
**易错总结**
1. **逻辑链条混乱**：在证明中循环使用判定与性质(如用等角推等边，又用等边推等角)。
2. **条件借用不当**：将某个三角形的等腰结论，错误地迁移到另一个未证三角形。
3. **辅助线目的不明**：作高、中线或角平分线后，未结合等腰“三线合一”性质推理。
4. **等边判定遗漏**：只证两边相等或一角60°即断言等边，缺另一条件。
**注意事项**：
- **理清因果链**：判定用“等角→等边”，性质用“等边→等角”，方向不乱。
- **步步有据**：每一步推理都注明依据(定义、定理或已知条件)。
- **综合运用**：结合全等三角形、方程思想解决复杂综合题。
【例4】（25-26八年级上·福建厦门·期末）在 中， ，点D是边 上一点，连接 ．
(1)如图1，若 ， ，求证： 是等腰三角形；
(2)以 为边，在 下方作等边三角形 ，连接 ．
①如图2，若 ，探究线段 ， ， 的数量关系，并说明理由；
②如图3，若 ， ，求线段 的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)① ，理由见解析；② ．
【分析】（1）由题意易证 ，利用三角形内角和定理即可求出 ，进而求
出 ，再利用三角形外角的性质即可求出 ，得到 ，即可证明；
（2）①先证明 是等边三角形，易得 ，再证明 ，推出 ，即可得出结论；②过点 作 垂足分别为 ，证明 ，利用直角
三角形的性质求出 ，进而得到 ，易证 是 的垂直平分线，得到 ，进而得
到 ，由点 与点 重合时， 有最小值 ，点 与点 重合时， 有最大值 ，即可解答．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形；
（2）解：① ，理由如下：
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
②过点 作 垂足分别为 ，∵ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 是 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴点 与点 重合时， 有最小值 ，点 与点 重合时， 有最大值 ，
∴线段 的取值范围为 ．
【变式】（25-26八年级上·江西宜春·期末）利用角平分线构造全等三角形是常用的方法．如图1， 平
分 ，点 为 上一点，过点 作 ，垂足为 ，延长 交 于点 ，则
．(1)【初步感知】
如图1，根据以上条件，容易发现 与 的数量关系为：_____．
(2)【类比解答】
如图2，在 中， 是 的角平分线， 于 ，若 ， ，通过上述构
造全等的方法，可求得 的度数为_____．
(3)【拓展应用】
如图3，在 中， ， ， 平分 ， ，垂足 在 的延长线上，
试探究 和 的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)
(2)
(3) ，见解析
【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，由条件证得
是解题的关键．
（1）根据 证明 与 全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据互余得出 的度数，进而利用角平分线的定义和三角形的内角和解答即可；
（3）延长 ， 交于点 ，根据 证明 解答即可．
【详解】（1）解： 平分 ，
，
，
，
在 与 中，
，，
故答案为： ；
（2）解： ， ，
，
是 的角平分线，
，
，
，
故答案为： ；
（3）解： ．
理由如下：延长 交于点 ．
，
，
，
，
，
，
，
，
．
，
平分 ，，
，
，
，
，
．
易错点5 等腰（等边）三角形中的动点问题
**易错总结**
1. **分类讨论遗漏**：动点位置变化导致等腰三角形腰底不确定，常漏解(如P在不同边上)。
2. **时间范围忽略**：动点运动时间超出图形范围，未考虑点已停止或超出边界。
3. **等量关系列错**：用速度×时间表示路程时，单位不统一或对应边找错。
4. **多解验证不足**：求出多个解后，未检验是否满足三角形三边关系。
**注意事项**：
- **画动态草图**：每个关键位置画出图形，标出已知量和未知量。
- **分段讨论**：按动点所在不同线段分类列方程。
- **检验合理性**：时间、长度需为正且符合几何约束。
- **巧用全等**：动点常结合全等三角形建立等量关系。
【例5】（25-26八年级上·湖北恩施·期末）（1）如图1，点P，Q分别是边长为 的等边三角形 的
边 上的动点，点P，Q从顶点A，B同时出发，分别沿 运动，且它们的速度都为 ．①点P，Q运动多少时间 是等边三角形？说明理由；
②连接 交于点M，则P，Q运动的过程中， 的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，
请求出它的度数；
（2）如图2，若点P，Q分别运动到点B，C后，P，Q两点继续在射线 上运动，直线 的
交点为M， 的度数变化吗？若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数．
【答案】（1）①当点P，Q运动 时 是等边三角形；② 是定值，不会变化，理由见详
解；
（2） ，度数不会变化，理由见详解．
【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，一元一次方程，全等三角形的判定和性质．
（1）①根据等边三角形的性质得到 ，结合题意，设运动时间为 ，则 ，由等
边三角形的判定得到 ，由此列式即可求解；
②根据等边三角形的性质可证 ，得到 ，结合三角形外角的性质即可求
解；
（2）根据题意证明 ，得 ，再证明 ，得
，最后等量代换即可求解．
【详解】解：（1）①∵ 是等边三角形，
∴ ，
设运动时间为 ，
∴ ，则 ，
当 时， 是等边三角形，
∴ ，
解得， ，
∴当点P，Q运动 时 是等边三角形；
② 是定值，不会变化，理由如下，∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴P，Q运动的过程中， 的度数不会变化；
（2） ，度数不会变化，理由如下，
∵点P，Q从顶点A，B同时出发，速度都为 ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式】（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，在等边 中， 、 分别是边 、 上的动点，
以 为边在 的下方作等边 ．(1)如图1，当点E在 边上时，
①求证： ；②若 ， ，求 的长；
(2)如图2，当点E在 下方时，过点 分别作 、 的垂线，垂足分别为 、 （点P在线段
上）．若 ，求 的值．
【答案】(1)①见解析；②
(2)
【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含 角的直角三角形的性质，勾股定
理，正确作出辅助线是解题关键．
（1）①根据等边三角形的性质可得 ， ，从而可得 ，再运用
即可证明 ；
②过点E作 ，得出 ，再根据勾股定理即可求出 ；
（2）过点E作 交 于点M，N，证明 ，设 ， ，分
别表示出 ， 即可解答．
【详解】（1）解：①证明： ， 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵在 与 中，
，∴ ．
②如图，过点E作 于H，
∵ ，
∴ ，
∵ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
，
∴ ，
在 中， ．
（2）解：如图，过点E作 ，分别交直线 于M、N，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
，
同（1）理，可得 ，∴ ， ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，即 ，可得 ，
∴ ， ，
∴ ．
易错点6 与等腰（等边）三角形有关的新定义型问题
**易错总结**
1. **定义理解偏差**：未准确理解题目自定义的“友好点”“奇特点”等新概念，套用常规等腰性质。
2. **分类标准不清**：新定义常含多种情形（如腰长比例、角度特殊关系），遗漏某一类导致漏解。
3. **几何画图不准**：按新定义画示意图时，位置关系错误，导致后续推理全盘出错。
4. **代数计算忽略约束**：列方程求解后，未检验解是否满足三角形存在条件（如两边之和大于第三边）。
**注意事项**：
- **精读定义**：圈出新定义关键词，转化为数学语言（等式或不等式）。
- **全面分类**：按定义中隐含的多种可能情况逐一讨论。
- **画图辅助**：每个分类画出草图，验证几何直观。
- **双重检验**：检验解是否满足新定义和三角形基本性质。
【例6】（25-26八年级上·广东中山·期中）阅读理解：
【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互
为“形似三角形”．
定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三
角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似
三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”．
【概念理解】(1)如图1，在 中， ， ， 平分 ，则 与 ______（填“是”或
“不是”）互为“形似三角形”．
(2)如图2，在 中， 平分 ， ， ，求证： 为 的“巧妙分割线”．
【答案】(1)是
(2)见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解决问题的关
键是利用分类讨论的思想求解．
（1）由题意推出 ， ， ，从而得出结论；
（2）根据题意，通过计算得出 是等腰三角形， ， ，
，从而得出结论．
【详解】（1）解：∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 是互为“形似三角形”，
故答案为：是；
（2）∵在 中, ， ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ 与 是互为“形似三角形”，且 是等腰三角形，
∴ 为 的“巧妙分割线”．
【变式】（25-26八年级上·浙江金华·期末）【概念学习】规定：从三角形的一个顶点引出一条射线与对边
相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的等
腰分割线．
【概念理解】如图1，在 中， ， 的平分线交 于点 ，过 作 ，交
于点 ，求证： 为 的等腰分割线．
【概念应用】如图2，在 中， ， 是 的等腰分割线，且 ，求 的面积．
【问题探究】在 中， ，若存在一条线段是 的等腰分割线，请求出所有符合条件的
的度数．
【答案】概念理解：见解析；概念应用： ；问题探究： 或 或 或 ．
【分析】概念理解：由 ，易证 ，再根据角平分线 平行线易证 ，即可得证；
概念应用：易得 、 是等腰三角形，则 ， ，然后利用勾股求出 ，即可
得解；
问题探究：分 是等腰分割线时、 是等腰分割线时、 是等腰分割线时、 是等腰分割线时四种
情况讨论，依次画出图形，进而求解即可．
【详解】概念理解：证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 是等腰三角形，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
，∴ ，即 为等腰三角形，
∴ 为 的等腰分割线．
概念应用：解：如图，
∵ 是 的等腰分割线，
∴ 、 是等腰三角形，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
问题探究：解：①如图， 是等腰分割线时，则此时 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ；
②如图， 是等腰分割线时，则此时 ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
则有 ，
解得 ，即 ；
③如图， 是等腰分割线时，则此时 ， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
则 ，
解得 ，即 ；
④如图， 是等腰分割线时，则此时 ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
解得 ，即 ；
综上，所有符合条件的 的度数为 或 或 或 ．一、单选题
1．（25-26八年级上·广东阳江·期末）如果等腰三角形的一个内角为 ，那么该等腰三角形底角的度数为
（ ）
A． B． C． 或 D．
【答案】C
【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的定义，等腰三角形的一个角可能是顶角或底
角，需分情况讨论求出底角的度数即可．
【详解】解：∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为
①若 为顶角，则底角的度数为 ，
②若 为底角，则底角的度数为
∴该等腰三角形底角的度数为 或 ，
故选：C．
2．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值 称为这个等腰三角形
的“优美比”．若等腰三角形的周长为 ，一边长为 ，则它的“优美比” 为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义——“优美比”，熟练掌握新定义，等腰三角形定义，三角形的三边关系，
分类讨论，是解决问题的关键．
分两种情况讨论： 为底边或腰长，分别计算对应的腰长或底边，再求优美比k，并验证是否满足三角
形三边关系．
【详解】解：当 为底边时：
周长为 ，两腰之和为 ，则腰长为 ．
验证： ，满足三角形三边关系．
∴ ．2． 当 为腰长时，周长为 ，
底边长为 ，
验证： ，满足三角形三边关系．
∴ ．
综上，优美比k为 或 ．
故选：C．
3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图， ， 内有一定点 ，且 ．在 上有
一动点 ， 上有一动点 ．则 周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最短距离问题，关键是根据轴对称的性质作出各点的对称点，即把求三角形周长的问
题转化为求线段的长解答．过点 作 、 的对称点 ，连接 分别交 、 于 ，连接
，则 ，然后证明 是等边三角形即可求解．
【详解】解：过点 作 、 的对称点 ，连接 分别交 、 于 ，连接 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时 的周长最短，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
即： 周长的最小值是： ．
故选：B ．
二、填空题
4．（25-26八年级上·河南濮阳·期末）定义：若三角形内存在一条过顶点的直线，将其分成两个等腰三角
形，这样的三角形叫做对称等角三角形．在 中， ，若 是对称等角三
角形，则 = ．
【答案】 或
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，分两种情况讨论：当 为钝
角三角形时，当 为锐角三角形时，再进一步画图求解即可．
【详解】解：如图，当 为钝角三角形时，
由题意可得： ， ， ，
∴设 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
如图，当 为锐角三角形时，由题意可得： ， ， ，
∴设 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为 或 ．
5．（25-26八年级上·全国·假期作业）如图1所示，在边长为 的等边 中，动点P以 的速度
从点A出发，沿线段 向点B运动．设点P的运动时间为 ， ．当 时， 是直角三角
形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段 向点A运动，且动点P，Q均以 的速度同时出发．
那么当 时， 是直角三角形．
【答案】 或
【分析】本题考查了等边三角形的性质，含 角的直角三角形的性质，过点C作 于点D，根据
等边三角形性质得 ， ， ，由此得当点P与点D重合时，
是直角三角形，此时点P运动的路程为 ，由此可得点P的运动时间t；依题意得 ，
，则 ，根据 得当 是直角三角形时，有以下两种情况：
①当 时，在 中，根据 得 ，则 ，由此解得；②当 时，在 中，根据 得 ，则 ，由
此解得 ，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此
题的关键．
【详解】解：过点C作 于点D，如图1所示：
∵ 是等边三角形，且边长为 ，
∴ ， ，
∵点P在 边上运动，
∴
∴当 是直角三角形时，只能是 ；
∵ 于点D，
∴ ， ，
∴当点P与点D重合时， 是直角三角形，
此时点P运动的路程为： ，
又∵点P运动的速度为 ，
∴此时点P运动的时间 ；
∵动点P以 的速度从点A出发，沿线段 向点B运动，
∴ ，
又∵动点Q从点C出发，以 的速度沿线段 向点A运动，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴当 是直角三角形时，有以下两种情况：①当 时，如图2所示：
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ；
②当 时，如图3所示：
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
综上所述：当 或 时， 是直角三角形．
故答案为： ； 或 ．
6．（22-23八年级上·浙江温州·期中）如图，在 中， ， ，动点P从点C出发，以 的速度沿折线 移动到B，当点P在 上运动时，则点P出发 秒
时， 为等腰三角形；当点P在 上运动时，则点P出发 秒时， 为等腰三角形．
【答案】 6 12或13或
【分析】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理，分类讨论是解题关键． 当点P在 上运动时， ，
为等腰三角形， ，则 ，即可求出t的值；当点P在 上运动时， 为等腰三
角形，分三种情况进行讨论即可求解．
【详解】解：当点P在 上运动时， ，
∵ 为等腰三角形， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：6
当点P在 上运动时，
∵
∴ ，
当 为等腰三角形时，
有三种情况∶①当 时
∴ ，
解得： ；
②当 时，过点P作 ，如图，∴E是 的中点，
∴ ,
设 边上的高为h,则 ,
解得： ，
∵
∴ ，
即
解得 ；
③当 时，过点C作 ，如图∶
∵ ，
∴ ，
∴
∴ ，
即 ，
解得： ，
综上：当点P在 上运动时，则点P出发12或13或 秒时， 为等腰三角形
故答案为：12或13或 ．
三、解答题7．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）如图， 中， ，现有两点 、 分别从
点 、点 同时出发，沿三角形的边顺时针运动，已知点 的速度为 ，点 的速度为 ．点
第一次到达 点时， 同时停止运动．
(1)点 运动几秒时， 两点重合？
(2)点 、 运动几秒时，可得到等边 ？
(3)当点 、 在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰 ？如存在，请求出此时点 、点
运动的时间．
【答案】(1)10
(2)
(3)
【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质
定理、等边三角形的性质是解题的关键．
（1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解；
（2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边 ，然后表示出 ， 的长，由于 等于
，所以只要 ， 就是等边三角形；
（3）首先假设 是等腰三角形，可证出 ，可得 ，设出运动时间，表
示出 、 、 的长，列出方程，可解出未知数的值．
【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，
得方程 ，
解得 ,
答：点M、N运动10秒时，M、N两点重合；
（2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边 ，如图①，， ，
是等边三角形，
，
解得 ，
∴点M、N运动 秒时，可得到等边 ．
（3）解：当点M、N在 边上运动时，可以得到以 为底边的等腰三角形，
情况一：
设点M、N运动x秒时，M、N两点重合，
，
解得： ；
即10秒时M、N两点重合，恰好在C处， ，但不是等腰三角形；
情况二：
如图②，假设 是等腰三角形，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在 和 中，，
，
，
设当点M、N在 边上运动时M、N运动的时间y秒时， 是等腰三角形，
， ， ，
即 ，
解得： ．
综上所述，故假设成立．
∴当点M、N在 边上运动时，能得到以 为底边的等腰三角形 ，
此时M、N运动的时间为 秒．
8．（25-26八年级上·浙江宁波·月考）定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这
样的三角形为“倍角三角形”．
(1)如图1， 中， ，求证： 是倍角三角形；
(2)若 是倍角三角形， ，求 面积；
(3)如图2， 的外角平分线 与 的延长线相交于点D，延长 到点E，使得 ，若
，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．
【答案】(1)见详解
(2)
(3) ， 是倍角三角形，证明见详解
【分析】本题主要考查等边对等角，三角形内角和定理及三角形外角的性质，勾股定理等知识，理解定理，掌握三角形内角和定理及外角的性质，勾股定理是关键．
（1）根据等边对等角得到 ，结合倍角三角形的定义即可求证；
（2）根据题意，结合三角形的内角和定理，勾股定理等知识，分类讨论即可求解；
（3）根据倍角三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）证明：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 是倍角三角形；
（2）解：∵ 是倍角三角形， ，
∴①当 时，即 ，
∴ ，不符合题意，舍去；
②当 时，
∵ ，
∴ ，
解得， ，不符合题意，舍去；
③当 时， ，
∴ ，符合题意，
如图所示，过点 作 于点 ，在 上取 ，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，在 中，设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
在 中， ，
∴ ，
整理得， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ；
（3）解： ， 是倍角三角形，证明如下，
∵ 是 的角平分线，
∴ ，且 ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
如图所示， ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ 是倍角三角形；设 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，
∴ ，
∴ 是倍角三角形；
综上所述， ， 是倍角三角形．
9．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）如图1，已知 是边长为6的等边三角形，以 为底边作一个
顶角为 的等腰三角形 ．点M，N分别是 边与 边上的点，并且满足 ．
要想证明 为 的平分线，刘同学做了如下思考，如图2，延长 至点F，使 ，连接 ，
通过证明 ① ，得到 ，进而证得 ② ，得证 为 的平分线；
(1)请你将刘同学的思考过程补充完整．①______，②______．
(2)在刘同学的思路下求 的周长；
(3)当点D在 内部时，其他条件不变，直接写出 的周长．
【答案】(1) ， ，
(2)12
(3)6
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知
识，合理作出辅助线是关键．
（1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的性质得到 ，如图所示，延长 至点F，
使 ，连接 ，可证明 ，得到 ， ，再证明，即可求解；
（2）根据（1）中三角形全等得到 ，结合三角形周长的计算即可求解；
（3）如图所示，延长 交 于P，延长 交 于Q，令 ，连接 ，证明
，得 ， ，再证明 ，得到 ，
，最后证明 ，得 ，结合三角形周长的计算即可求解．
【详解】（1）解：∵ 是边长为6的等边三角形，
∴ ，
∵以 为底边作一个顶角为 的等腰三角形 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
如图所示，延长 至点F，使 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ 为 的平分线；
故答案为：① ，② ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 的周长为： ．
（3）解：如图所示，延长 交 于P，延长 交 于Q，令 ，连接 ，
∵ 是等腰三角形，且 ，
∴ ， ， ，
∵ 等边三角形，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长为 ．
10．（25-26七年级上·山东济南·期末）规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解
如图1，在四边形 中，对角线 ， 交于点 ， ， ，问四边形 是垂美四
边形吗？请说明理由；
（2）性质探究
如图2，四边形 是垂美四边形，其对角线 ， 交于点 ．
猜想： 与 有什么关系？并证明你的猜想；
（3）解决问题
如图3，在 中， ，分别以 的直角边 和斜边 为边向外作等腰直角三角
形 和等腰直角三角形 ，其中， ，连接 ， ， ．已知 ，
，求 的长．【答案】（1）是，理由见解析；（2） ，见解析；（3）
【分析】（ ）由等腰三角形的性质可得 ，进而根据垂美四边形的定义即可求证；
（ ）由垂美四边形的定义可得 ，进而根据勾股定理即可求解；
（ ）设 交于点 ， 交于点 ，由勾股定理得 ，再根据等腰直角三角形的性质可得
， ，再证明四边形 是垂美四边形，进而根据（ ）的结论解答即可求解．
【详解】解：（1） ， ，
，
∴四边形 是垂美四边形；
（2） ，理由如下：
四边形 是垂美四边形，
，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
， ，
；
（3）如图，设 交于点 ， 交于点 ，在 中， ， ，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
，
与 都是等腰直角三角形，
， ， ，
，
即 ，
，
，
又 ，
，
，
∴四边形 是垂美四边形，
由（ ）得： ，
， ， ，
，
．
